TEORIA TECNICA DELLE TRAVI

STATICA E CINEMATICA DELLE TRAVI

Equazioni indefinite di equilibrio:

dF

ds+ f = 0

dM

ds+ m + et × F = 0

Equazioni di discontinuita:

�F (s+

i )− F (s−i ) + F i = 0M(s+

i )−M(s−i ) +Mi = 0

Equazioni di equilibrio al contorno:

�F (0) = −F0

M(0) = −M0

�F (l) = F l

M(l) = Ml

Equazioni indefinite di equilibrio della trave piana:

dN

dz− cN + p = 0

dT

dz+ cN + q = 0

dM

dz+ m− T = 0

Spostamenti dei punti della sezione retta:

uP = u + ϕ× (P −O)

u = uex + vey + wet

ϕ = ϕxex + ϕyey + ϑet

Spostamento relativo per unita di linea (prima equazione di congruenza linearizzata):

γ + εet =du

ds− ϕ× et

γx =du

ds· ex − ϕy

γy =du

ds· ey + ϕx

Curvatura (seconda equazione di congruenza linearizzata):

K =dϕ

ds

K = Kf + θet = Kxex + Kyey + θet

Equazioni di congruenza nel caso della trave piana ad asse rettilineo:

K =dϕ

dz

1

ε =dw

dz

γ =dv

dz+ ϕ

�Kl =

dα

dz= − d2v

dz2

�

Principio dei lavori virtuali per le travi spaziali deformabili:

Le =

Z l

0

�Nε + T · γ + Mtθ + Mf ·Kf

�ds = Li

LEGAME COSTITUTIVO

Dilatazione della generica fibra longitudinale:

εpez = εez + Kf × (P −G)

εp = ε + KyyP −KyxP

Scorrimento della generica fibra longitudinale:

γP

= γ + θez × (P −G)

γPx = γx − θyP

γPy = γy + θxP

Vettore di deformazione:

D = {ε Kx Ky θ γCx γC

y }T

Vettore delle caratteristiche della sollecitazione:

S = {N Mx My MC Tx Ty}T

Principio dei lavori virtuali (nuova formulazione):

Li =

Z

l

S ·D ds = Le

Lavoro di deformazione:

dLd =

Z l

0

(f · du + m · dϕ) ds +

nXi=0

�F i · du(si) +Mi · dϕ(si)�

=

Z l

0

S · dD ds

Lavoro di deformazione totale lungo un percorso:

Ld =

Z l

0

�Z l2

l1

S · dD

�ds

Energia elastica di deformazione per unita di linea:

dφ = S · dD = Ndε + T · γc+ MCdθ + Mf · dKf

Energia elastica di deformazione totale per unita di linea nel caso di elasticita lineare:

φ =1

2S ·D =

1

2D · E[D]

2

Energia elastica di deformazione totale per unita di linea nel caso della trave pianainflessa:

φ =1

2

�EAε2 + EJK2

f

�

Energia complementare elastica totale per unita di linea nel caso di elasticita lineare:

ψ =1

2S · C[S]

Energia complementare elastica totale per unita di linea nel caso della trave pianainflessa:

ψ =1

2

�N2

EA+

M2

EJ

�

Teorema di Clapeyron:

Ld =1

2

Xi

F i · ui

Teorema di Betti:

Lab =X

i

F (a)i · u(b)

i =X

j

F (b)j · u(a)

j = Lba

Teorema di Castigliano:

ut =∂Ld(Fi, F )

∂F

����F=F

Potenziale delle forze:

V (u, ϕ) =

Z

l0

(f · u + m · ϕ) ds +

nXi=0

(F i · ui(si) +Mi · ϕ(si))

Energia potenziale totale:

Π(u, ϕ) =

Z

l0

φ(u, ϕ) ds− V (u, ϕ)

Variazione del funzionale energia potenziale totale:

∆Π = Π(u2, ϕ2)−Π(u1, ϕ1

)

Incremento di energia potenziale totale:

∆Π(δu, δϕ) = Π(u + δu, ϕ + δϕ)−Π(u, ϕ)

Variazione prima:

δΠ =dΠ

dα

����α=0

= −Z

l0

(f ·δu+m·δϕ) ds+

nXi=0

(F i ·δui(si)+Mi ·δϕ(si))+

Z

l0

(S ·δD) ds

PROBLEMA DI SAINT-VENANT

Caratteristiche della sollecitazione:8<:

N = Fz

Mx = Mx −Fy(l − z)My = My + Fx(l − z)

3

Problema di Saint-Venant:Dato un corpo cilindrico B caricato solo alle estremita si determini un campo di

tensioni σ, di deformazioni ε e di spostamenti u tali che siano soddisfatte le seguenticondizioni nel volume B:

8>><>>:

divσ = 0ε = 1

2

�grad u + (grad u)T

ε = 1

E{(1 + ν)σ − ν(tr σ)I}

σx = σy = τxy = 0

le seguenti condizioni al contorno locali sulla superficie laterale:

σn = 0

e le seguenti condizioni di equivalenza statica sulle sezione rette:�

F =R

Aσ ez dA

M =R

A(P −G)× σ ez

Equazioni di Beltrami:

(1 + ν)∇2σ +∂2

∂xi∂xj(tr σ) = 0

Energia complementare elastica per unita di linea:

ψl =

Z

A

σ2z

2EdA +

Z

A

τ2xz + τ2

yz

2GdA

Soluzione del problema di Saint-Venant in termini di tensioni normali:

σz =N

A+

Mx

Jxy − My

Jyx

PROBLEMA DELLA TORSIONE

Campo di spostamenti:8<:

u = −θ(y − yc)zv = θ(x− xc)zw = θωc(x, y)

Campo di deformazione:(

γxz = θ�

∂ω∂x− y�

γyz = θ�

∂ω∂y

+ x�

γ = θn

grad ω + R π2(P −G)

o

Campo di tensione:(

τxz = Gθ�

∂ω∂x− y�

τyz = Gθ�

∂ω∂y

+ x�

τ = Gθn

grad ω + R π2(P −G)

o

Funzione di ingobbamento (problema di Neumann per l’equazione di Laplace):� ∇2ω = 0

∂ω∂n

= ynx − xny

4

Fattore torsionale di rigidezza:

Jt =

Z

A

�∂ω

∂yx− ∂ω

∂xy + x2 + y2

�dz

Equivalenza statica:

Mt = GJtθ

Energia complementare elastica per unita di linea:

ψl =M2

t

2GJt

Funzione delle tensioni:

τ = RTπ2grad F

gradω = RTπ2

�Jt

Mtgrad F + (P −G)

�

Funzione delle tensioni (problema di Dirichlet per l’equazione di Poisson) (condizionedi integrabilita di ω):

� ∇2F = −2MtJt

in A

F = 0 su ∂A

Condizione di integrabilita di ω per sezioni pluriconnesse:

Z

∂Ai

∂ω

∂sds =

Z

∂Ai

grad ω · t ds = 0

Condizione equivalenza statica:

Mt = 2

Z

A

F dA−X

i

FiAi

!

ESTENSIONE DEL PROBLEMA DI SAINT-VENANT

Centro di taglio:

xc = − 1

Jx

Z

A

ωy dA

yc =1

Jy

Z

A

ωx dA

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