módulo 1 – complexos e sinusóides sistema...
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1 Módulo 1 – parte I de Sistemas Multimédia
Módulo 1 – Complexos e Sinusóides Sistema Multimédia
Ana Tomé José Vieira
Departamento de Electrónica, Telecomunicações e Informática
Universidade de Aveiro
2 Módulo 1 – parte I de Sistemas Multimédia
2
Números Complexos
Notação cartesiana z - ponto no plano
a – parte real b – parte imaginária
€
−1 = j = i
€
(a,b)⇒ z = a + jb = a + ib
3 Módulo 1 – parte I de Sistemas Multimédia
3
Números Complexos
Notação polar
r - módulo φ – fase
Conversão cartesiana para polar
Conversão polar para
cartesiana
r = a2 + b2
ϕ = arctg( ba )
z = re jϕ
a = rcosϕb = rsinϕ
Fórmula de Euler
re jϕ = r cosϕ + j sinϕ( )
4 Módulo 1 – parte I de Sistemas Multimédia
Operações com números complexos
Adiçãoz1 + z2 = (a1 + a2 )+ j(b1 + b2 )Produtoz1z2 = (r1r2 )e
j (φ1+φ2 )
Quocientez1z2= r1
r2e j (φ1−φ2 )
Raizes
zn = rn e jφ+2 kπ
n ,k = 0,1,...n−1
Perguntas: 1. Adição em notação polar
é possível? 2. Produto em notação
cartesiana? 3. Quociente em notação
cartesiana? 4. Qual é o lugar geométrico
das raízes do número complexo?
5 Módulo 1 – parte I de Sistemas Multimédia
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t
Sinusóide 2Hz
Sinais Sinusoidais
Período
Am
plitu
de
6 Módulo 1 – parte I de Sistemas Multimédia
Sinais Sinusoidais
• Um sinal sinusoidal pode ser representado pela equação
• Em que – A – amplitude – f =1/T– frequência em Hertz – T – Período – ω – frequência em rad/seg. – t – tempo – ϕ – fase
x(t) = Acos(2π ft +ϕ ) = Acos(ωt +ϕ )
7 Módulo 1 – parte I de Sistemas Multimédia
Sinais Sinusoidais
Grave – 200Hz
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t
Sinusóide 200Hz
Agudo – 2000Hz
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t
Sinusóide 2000Hz
7
8 Módulo 1 – parte I de Sistemas Multimédia
Sinais Sinusoidais
• A importância das sinusóides resulta do facto de muitos sinais do mundo real poderem ser representados de forma muito aproximada por uma sinusóide ou uma soma de sinusóides. Exemplos sonoros: – Instrumentos musicais – Diapasão – Assobio
9 Módulo 1 – parte I de Sistemas Multimédia
Atraso de fase
Atraso Temporal e Atraso de Fase
• Atraso temporal de T segundos de um sinal s(t)
• No caso de s(t) ser uma sinusóide temos s(t) = cos(2π ft)
s(t −T ) = cos(2π f (t −T )) = cos(2π ft − 2π fT )
t
s(t)
T
s(t-T)
10 Módulo 1 – parte I de Sistemas Multimédia
Sinais Peródicos
• Um sinal diz-se periódico se satisfazer a condição
• A sinusóide é um sinal periódico porque cumpre esta condição
x(t) = x(t −T )
cos(2π ft) = cos(2π f (t −T )) =cos(2π ft − 2π fT ) = cos(2π ft)
11 Módulo 1 – parte I de Sistemas Multimédia
Representação Exponencial
• A representação exponencial de sinusóides é definida por
• E permite simplificar algumas operações de manipulação de sinusóides
x(t) =ℜ Ae j (ωt+ϕ ){ }= Acos(ωt +ϕ )
12 Módulo 1 – parte I de Sistemas Multimédia
• Considere-se a soma de duas sinusóides com a mesma frequência ω0
• Colocando em evidência a exponencial dependente de t
Soma de Sinusóides com a Mesma Frequência – Fasores
Acos(ω0t +α)+Bcos(ω0t +β) =ℜ{Aej (ω0t+α ) +Be j (ω0t+β )}
ℜ e jω0t Ae jα +Be jβ( ){ }=ℜ e jω0tCe jϕ{ }=ℜ Ce j (ω0t+ϕ ){ }=C cos(ω0t +ϕ )
13 Módulo 1 – parte I de Sistemas Multimédia
Soma de Sinusóides com a Mesma Frequência – Fasores
• Conclui-se assim que a soma de duas sinusóides com a mesma frequência ω0 resulta numa sinusóide de frequência ω0 com amplitude e fase dependentes das amplitudes e fases das sinusóides originais.
2cos(ω0t + π4 )+ 2cos(ω0t + π
2 )
22 πje
ℜ
ℑ
42 πje
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)cos(2)cos(2 24ππ +++ wtwt
Soma de Sinusóides com a Mesma Frequência – Fasores
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2!4
!3
!2
!1
0
1
2
3
4
t [seg.]
Sinusóide 2Hz
s1
s2
s1+s
2
15 Módulo 1 – parte I de Sistemas Multimédia
Somar Sinusóides Múltiplas de uma Fundamental
Somar sinusóides frequência
x(t) = Ak cos(2πkfot +ϕk )k=0
N
∑
fo- frequência fundamental kfo- harmónico k
x(t) = x(t +To ),To =1/ fo
O sinal x(t) é periódico
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Bibliografia
• James H. McClellan, "Signal Processing First", Prentice Hall, 2003. (Capítulo 2)
• Signal Processing First Website: http://www.ieeta.pt/dspfirst/contents/index.htm
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