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ME623APlanejamento e Pesquisa
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Experimentos Fatoriais6.1 Algumas Definições e Princípios BásicosExperimentos que envolvem dois ou mais
fatoresPermitem investigar o efeito de cada fator
na variável resposta, assim como o efeito de interações entre eles
É o tipo de delineamento mais eficiente para esse tipo de experimentos
Cada repetição completa do experimento permite investigar todas as possíveis combinações dos níveis dos fatores
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Experimentos FatoriaisExemplo: temos a níveis do fator A e b
níveis do fator B, então cada repetição terá ab tratamentos
Fatores arranjados num experimento fatorial são ditos serem cruzados
Fator A1, 2, ..., a
Fator B1, 2, ..., b
ab tratamen
tos
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Experimentos FatoriaisDefiniçõesEfeito principal de um fator: é a
mudança na variável resposta produzida pela mudança no nível do fatorRefere-se aos fatores primários de interesse
Interação: ocorre quando a diferença na resposta entre os níveis de um fator não é a mesma em todos os níveis do outro fator
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Exemplo I: Temos dois fatores (A e B) e cada fator apresenta dois níveis, alto (+) e baixo (−)
Efeitos Principais
Efeito de A em cada nível de BA = 40 – 20 = 20 (B–)A = 52 – 30 = 22 (B+)
Experimentos Fatoriais
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Exemplo II: Considere o mesmo cenário, mas note que os valores observados são diferentesEfeito de A em cada
nível de BA = 50 – 20 = 30 (B–)A = 12 – 40 = –28 (B+)
Aqui, o efeito de A depende do nível de B escolhido. Portanto, existe interação entre A e B.
A magnitude da interação é:
Experimentos Fatoriais
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Exemplo I: Interação ou Não?
Linhas aproximadamente paralelas: não temos indicação de interação entre A e B
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Exemplo II: Interação ou Não?
Linhas não paralelas: indicação de interação entre A e B
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Vantagens dos Experimentos FatoriaisPode-se estudar os efeitos de dois ou
mais fatores simultaneamente e as interações entre os eles
São mais eficientes que os experimentos “um fator por vez”
Necessário quando existe interação entre os fatores
Permite estimar os efeitos de um fator dentro dos níveis do outro fator, resultando em conclusões mais abrangentes
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Experimentos Fatoriais com Dois FatoresÉ o tipo mais simples dos experimentos fatoriaisExistem a níveis do fator A e b níveis do fator BCada replicação do experimento contém todas
as ab combinações de tratamentosEm geral, temos n replicaçõesExemplo: uma pesquisadora deseja produzir um
novo tipo de vinagre a base de kiwi. Os fatores em estudo foram: ◦ Fator A: quantidade de açúcar (a=2 níveis: 8% e 20%)
◦ Fator B: adição de nutrientes (b=2 níveis: com e sem)
◦ n = 7 repetições 4 x 7 = 28 unidades experimentais
◦ variável resposta: concentração de etanol
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Fatoriais com Dois Fatores: ExemploProjeto de uma bateria: um engenheiro
está projetando uma bateria para usar em um certo dispositivo
Fatores em estudoFator A: material (tipos 1, 2 e 3)Fator B: temperatura (15oF, 70oF e 125oF)
4 baterias são testadas para cada combinação de material e temperatura, num total de 36 baterias, testadas em ordem aleatória
Delineamento experimental: inteiramente aleatorizado
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Exemplo Bateria
O engenheiro quer responder as seguintes perguntas:
1. Qual o efeito do tipo de material e temperatura na vida das baterias?
2. Existe um material que produz uma bateria com vida mais longa independente da temperatura?
Nota: como existem dois fatores com três níveis cada, esse experimento é chamado de Fatorial 32
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Dados em Experimentos Fatoriais com Dois Fatores
Fator B1 2 ... b
Fator A
1y111, y112, ..., y11n
y121, y122
..., y12n
y1b1,y1b2,..., y1bn
2
y211, y212, ..., y21n
y221, y222
..., y22n
y2b1,y2b2,..., y2bn
.
.
.
a
ya11, ya12, ..., ya1n
ya21, ya22
..., ya2n
yab1,yab2,..., yabn
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Modelo Estatístico – Efeitos FixosAs observações podem ser descritas pelo
modelo:
Restrições:
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Hipóteses de InteresseAmbos os fatores A e B são de igual
interesseQueremos testar a igualdade dos efeitos
dos níveis de A, ou seja,
e a igualdade dos efeitos dos níveis de B:
Também estamos interessados em determinar se existe interação
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Análise Estatística – Efeitos FixosConsidere a seguinte notação:
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Decomposição das Somas de QuadradosMostre que a SST pode ser composta
como:
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Esperança dos Quadrados Médios
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ANOVA – Fatorial com Dois Fatores
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Fórmulas Simplificadas para as SSA SST pode ser calculada como:
As soma de quadrados dos efeitos principais são:
A soma de quadrados da interação é calculada em dois passos.
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Fórmulas Simplificadas para as SSInicialmente calculamos o que é chamado
de SSSubtotais
Essa soma de quadrados também contém SSA e SSB. Então calculamos SSAB como:
Por fim, a SSE é calculada por subtração:
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Exemplo Bateria - Dados
Usando os dados acima, calcule a tabela ANOVA e responda às perguntas do engenheiro
Tipo de
Material
Temperatura (ºF)
15 70 125
1 13074
155180
3480
4075
2082
7058
2 150159
188126
136106
122115
2558
7045
3 138168
110160
174150
120139
9682
10460