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MEC 2240 DISEÑO MECANICO
Docente: Ing. Miguel A. Ruiz Orellana 1
CAP. 4
DISEÑO DE MIEMBROS EN FLEXIÓN
OBJETIVOS:
Introducir al estudiante en el diseño de elementos sometidos a
tensiones de flexión y capacitarlo en el diseño de vigas a flexión.
TEMAS:
4.1. Definición de viga
4.2. Cortadura
4.3. Convención de signos para la cortadura
4.4. Diagrama de cortantes
4.5. Momento flector
4.6. Convención de signos para los momentos flectores
4.7. Diagrama de momentos flectores
4.8. Punto de contra-flexión
4.9. Relación entre fuerza cortante, momento flector y carga
distribuida
4.10. Teoría de la flexión simple
4.11. Módulo de sección
4.12. Deflexión en vigas
4.13. Tensión de cortadura en vigas
4.14. Tensiones admisibles en vigas
4.15. Deformaciones admisibles en vigas
4.16. Diseño de vigas
MEC
Doce
4.1.
2240 DISEÑ
nte: Ing. Mig
Definició
Las viga
se pued
(sujeta d
una viga
viga con
pasador.
Los mi
a sus e
ÑO MECANIC
guel A. Ruiz O
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O
Orellana
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MEC
Doce
4.2.
2240 DISEÑ
nte: Ing. Mig
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3
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antes
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gas.
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La fuerza cortante viene como resultado de la proyección en la sección transversal de
análisis de las fuerzas solicitantes a la viga, como se puede apreciar en la figura
anterior.
De forma semejante, las fuerzas solicitantes multiplicadas por las distancias a los
planos de análisis (cortes transversales) dan como resultado los momentos flectores.
4.3 Convección de signos para la cortadura
La convección de signos a cortadura nos sugiere una regla o norma que nos guía para
la graficación de las fuerzas cortantes a lo largo de una viga.
De forma general…
La ejemplificación gráfica de lo mencionado se muestra en la figura siguiente:
En lo que se refiere a los momentos flectores, la regla de signos de estos simplemente
corrobora la de las fuerzas cortantes, por lo que se puede afirmar que:
…cuando se realiza un corte en la viga, y las fuerzas cortantes hasta la
sección de análisis tienden a llevar el tramo hacia arriba, por cuanto la
fuerza V(x) que compensa ese impulso va en dirección contraria (hacia
abajo), entonces esas fuerzas cortantes se consideran positivas.
…un momento flector se considera positivo cuando provoca la
compresión de las fibras de la viga en su parte superior.
MEC
Doce
4.4
2240 DISEÑ
nte: Ing. Mig
Diagram
Para rea
seguir lo
Ejemplo
Realizar
mostrada
ÑO MECANIC
guel A. Ruiz O
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os siguientes
1) Obte
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o 4.1
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Ra
O
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Desarrollo:
Primero se calcula las reacciones:
Sumatoria de fuerzas verticales
Sumatoria de Momentos en A
de donde se obtiene:
Análisis del tramo 1:
Análisis del tramo 2:
Una vez obtenida las ecuaciones, corresponde graficar ambos tramos seguidos, para
poder obtener la gráfica completa, cada tramo se evalua con sus ecuaciones
respectivas.
Si se cuenta con auxilio de un sistema informático, se pude juntar las ecuaciones de
los dos tramos en una sola para obtener una función única.
Ra Rb+ P− 0
Rb L⋅ PL2
⋅− 0
Ra RbP2
0 x<L2
≤
V1 x( ) Ra
M1 x( ) Ra x⋅
L2
x< L≤
V2 x( ) Ra P−
M2 x( ) Ra x⋅ P xL2
−⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
⋅−
M x( ) M1 x( ) 0 x<L2
≤if
M2 x( )L2
x< L≤if
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Por ejemplo, si damos valores a P y L obtendremos:
Análisis del tramo 1:
Análisis del tramo 2:
V x( ) V1 x( ) 0 x<L2
≤if
V2 x( )L2
x< L≤if
P 1500kgf:=
L 1.2m:=
RaP2
:=
RbP2
:=
0 x<L2
≤
V1 x( ) Ra:=
M1 x( ) Ra x⋅:=
L2
x< L≤
V2 x( ) Ra P−( ):=
M2 x( ) Ra x⋅ P xL2
−⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
⋅−⎡⎢⎣
⎤⎥⎦
:=
M x( ) M1 x( ) 0 x<L2
≤if
M2 x( )L2
x< L≤if
:=
V x( ) V1 x( ) 0 x<L2
≤if
V2 x( )L2
x< L≤if
:=
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Ejercicio 4.2.-
OBJETIVO
Graficar los diagramas de momentos flectores y fuerzas cortantes, además de
encontrar el momento flector máximo de la viga mostrada.
ANALISIS
Diagrama de Cuerpo libre.
Cálculo de las reacciones.
Análisis de momentos y cortantes por tramos.
Determinación del momento máximo.
0 0.5 1
2 103×
4 103×
Diagrama de Momentos Flectores
Longitud
Mom
ento
s
M x( )
x
0 0.5 1 1.5
1− 104×
5− 103×
5 103×
Diagrama de Fuerzas cortantes
Longitud
Fuer
zas C
orta
ntes
V x( )
x
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DATOS
1 ton2 ton/m
5000.0 1000.0
[Carga distribuida]
[Carga Puntual]
Cálculo de las Reacciones
Sumatoria de fuerzas
Momentos en A
Analisis por tramos
Tramo 1
F1 1tonf:= q 2tonf
m:= qe q 6⋅ m:= L1 5m:= L2 6m:=
Ra 1N:= Rb 1N:=
Dado
Ra Rb+ qe− F1− 0
qe
L2
2⋅ F1 L2⋅+ Rb L1⋅− 0
Ra
Rb
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
Find Ra Rb, ( ) 40923.64
74730.12⎛⎜⎝
⎞⎟⎠N=:=
0 x< L1≤
V1 x( ) Ra q x⋅−:=
M1 x( ) Ra x⋅ qx
2
2⋅−:=
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Tramo 2
Las funciones generales:
El momento máximo será:
L1 x< L2≤
V2 x( ) Ra q x⋅− Rb+:=
M2 x( ) Ra x⋅ qx
2
2⋅− Rb x L1−( )⋅+:=
V x( ) V1 x( ) 0 x< L1≤if
V2 x( ) L1 x< L2≤if
:=
M x( ) M1 x( ) 0 x< L1≤if
M2 x( ) L1 x< L2≤if
:=
0 2 4 6
2− 104×
2 104×
4 104×
6 104×
M x( )
x
0 2 4 6
6− 104×
2− 104×
2 104×
6 104×
V x( )
x
Ra q x⋅− 0
xM1
d
d0
xx 1mm:=
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Dado
Ra q xx⋅− 0
xx Find xx( ):=
xx 2.30m=
M 2.3m( ) 47062.18N m⋅⋅=
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LRa
q [C a rg a d is t r ib u id a ]
Mo
Vigas en voladizo
Las vigas en voladizo presentan un tratamiento algo especial. Por ejemplo en la figura
adjunta se muestra una viga en voladizo con carga distribuida. Si analizamos el
comportamiento de la viga, su extremo derecho
de la misma se flexionará libremente (sin
cortantes ni momentos opositores), pues no
tienen ningún soporte o apoyo que genere una
reacción opositora a la carga; sin embargo en el
extremo izquierdo, está sujetando a toda la vigas más la carga que está soportando,
por cuanto el extremo izquierdo presentará una reacción igual a toda la carga de la
viga más un momento flector opuesto al generado por la carga de esta.
Realizando su diagrama de cuerpo libre se tendrá:
Entonces para facilitar el análisis de la viga realizando cortes por tramos desde el lado
izquierdo, se tendrá que dar la vuelta al diagrama para que los momentos flectores
máximos resulten a derecha (a medida que crezca “x”), así:
LRa
q[Carga distribuida]
Mo
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Ejemplo
Planteamiento del Problema
Se quiere saber a cuanto asciende las fuerzas cortantes y momentos flectores de la
viga en voladizo con carga distribuida (correspondiente a un motor mas reductor) y
una carga puntual (polea).
Objetivo
Graficar el diagrama de fuerzas cortantes y momentos flectores de la viga en voladizo.
Datos
Según gráfica.
Análisis
1. Primero se dibuja el diagrama de cuerpo libre.
2. Se obtiene las reacciones de la viga.
3. Se obtiene las ecuaciones de fuerzas cortantes y momentos flectores.
4. Se grafica las ecuaciones.
Desarrollo
Diagrama de cuerpo libre:
2.5mRa
[Carga distribuida]
Mo
Aq=30kN/m
4 kN
2.0m
2.5mRa
Mo
A4 kN
2.0m
Tramo 2
Tramo 1
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Cálculo de las reacciones
Sumatoria de fuerzas verticales:
Sumatoria de Momentos:
Analisis por tramos:
tramo 1:
tramo 2:
Las funciones generales:
L1 0.5m= L2 2m= q 30kN
m= qe q 2⋅ m 60000N== F1 4kN=
v
Fv∑ 0= Ra qe− F1− 0= Ra F1 qe+= Ra 64kN=
M
Mo∑ 0=F1 2.5⋅ m qe 1⋅ m+ Ma− 0= Ma 70 kN m⋅⋅=
0m x< 0.5m≤
V1 x( ) F1=
M1 x( ) F1 x⋅=
0.5m x< 2.5m≤
V2 x( ) F1 q x 0.5m−( )⋅+=
M2 x( ) F1 x⋅q x 0.5m−( )2
⋅
2+=
V x( ) V1 x( ) 0 x< 0.5m≤if
V2 x( ) 0.5m x< 2.5m≤if
=
M x( ) M1 x( ) 0 x< 0.5m≤if
M2 x( ) 0.5m x< 2.5m≤if
=
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0 1 2 3
20000
40000
60000
80000Diagrama de fuerzas cortantes
Longitud de la viga [m]
Fuer
zas c
orta
ntes
[N]
V x( )
x
0 1 2 3
2 104×
4 104×
6 104×
8 104×
Diagrama de momentos flectores
Longitud de la viga [m]
Mom
ento
s fle
ctor
es [N
*m]
M x( )
x
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Vigas en Voladizo con carga variable
La resolución de este tipo de vigas, esigual que en el anterior caso, sin embargo se
debe encontrar primero la función de distribución de carga sobre la viga.
Ejercicio
Planteamiento del Problema
Se quiere conocer las ecuaciones y graficas de las fuerzas cortantes y momentos
flectores de la viga en voladizo.
Objetivo
Obtener las ecuaciones y Graficar el diagrama de fuerzas cortantes y momentos
flectores de la viga en voladizo.
Datos
Según gráfica.
Análisis
1. Primero se dibuja el diagrama de cuerpo libre.
2. Se obtiene las reacciones de la viga.
3. Se obtiene las ecuaciones de fuerzas cortantes y momentos flectores.
4. Se grafica las ecuaciones.
Desarrollo
Diagrama de cuerpo libre:
DATOS
La ecuación de la recta será por semejanza de triángulos:
L1 8m= q 200lbf
ft= qe q 8⋅ m 23350.24 N==
q
q(x)
L
x
q x( )
x
q
L= q x( )
q x⋅L
=
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LRa
q
Mo
LRa
q
Mo
q=-200lb*pie
qo=0 lb*pie
L/3
q (x)
Tramo 1
Cálculo de las reacciones
Sumatoria de fuerzas verticales:
Sumatoria de Momentos:
v
Fv∑ 0=
Ra qe− 0= Raq L1⋅
2= Ra 11.68 kN=
M
Mo∑ 0=qe
L13
⋅ Ma− 0= Maq L1
2⋅
6= Ma 31.13 kN m⋅=
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Analisis por tramos:
tramo 1:
La altura del triángulo en cualquier punto será:
0m x< L1≤ x 0m 0.1m, 8m..=
V1 x( )base altura⋅
2=
q x( )q x⋅L1
=
V1 x( ) x−q x⋅L1
12
⋅= M1 x( )q− x2
⋅
2 L1⋅
x3
⋅=
0 2 4 6 8
10000−
5000−
Diagrama de fuerzas cortantes
Longitud de la viga [m]
Fuer
zas c
orta
ntes
[N]
V1 x( )
x
0 2 4 6 8
40000−
30000−
20000−
10000−
Diagrama de momentos flectores
Longitud de la viga [m]
Mom
ento
s fle
ctor
es [N
*m]
M1 x( )
x
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DISEÑO DE VIGAS
Las tensiones normales que se presentan en una viga por una solicitación cualquiera
que produzca flexión, puede resolverse por la ecuación:
Donde:
s: Tensión de flexión.
M: Momento flexionante
c: Distancia desde el eje neutro hasta el punto de análisis.
I: Momento de Inercia en el eje transversal a la carga
Normalmente se anota:
o
Por tanto, la ecuación se convierte en:
o despejando
Con ese valor de Wxx, conocido como módulo de sección, es como se elige
normalmente de tablas los perfiles para que resistan cierta solicitación.
EJERCICIO 4.5
Dadas las figuras y datos, calcular las dimensiones necesarias de la sección circular,
cuadrada y rectangular, la relación de pesos de las secciones y la tensión máxima en
el punto C que esta a 1.5m.
DATOS
σM c⋅
I
Ixxc
WxxIyyc
Wyy
σM
Wxx
WxxM
σ
q 600kgf
m:= σy 1600
kgf
cm2:= γ a 7.85
kgf
dm3:=
P 1000kgf:= L1 1.8m:= L2 1.2m:=
qe q 3⋅ m 1800 kgf⋅=:=
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DESARROLLO
1) Cálculo de las reacciones:
Tramo 1
Tramo 2
1.2m
3m
P=1000kgf
q=600kgf/m
Dado
Ra Rb+ P− qe− 0
Rb 3⋅ m P 1.8⋅ m− qe 1.5⋅ m− 0
Ra
Rb
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
Find Ra Rb, ( ):=
Ra
Rb
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
12748.65
14709.98⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
N=
0 x< 1.8m≤
V1 x( ) Ra q x⋅−:=
M1 x( ) Ra x⋅q x2
⋅
2−:=
1.8m x< 3m≤
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Para obtener el momento máximo derivamos M1, obteniendo
Evaluamos la ecuación en x=1.8m
El modulo de sección necesario será:
Calculamos las secciones minimas necesarias
Sección circular:
V2 x( ) Ra P− q x⋅−:=
M2 x( ) Ra x⋅ P x 1.8m−( )⋅−q x2
⋅
2−:=
x1 1.8m:=
M x( ) M1 x( ) 0 x< 1.8m≤if
M2 x( ) 1.8m x< 3m≤if
:=
M x1( ) 13415.5N m⋅⋅=
Mmax M 1.8m( ) 13415.5N m⋅⋅=:=
Wxx
Mmax
σy:=
Wxx 85.5 cm3⋅=
Wxxc
Ixx
c
π diam4⋅
64
diam2
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
Wxxcπ diam3
⋅
32
Wxxc Wxx:=
diam 1mm:=
Dado
Wxxcπ diam3
⋅
32
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Sección cuadrada:
Sección rectangular:
diam Find diam( ) 95.5 mm⋅=:=
Wxxcu
Ixx
c
b h3⋅
12
h2
Wxxcub3
6
Wxxcu Wxx:=
b 1mm:=
Dado
Wxxcub3
6
b Find b( ) 80.05 mm⋅=:=
Wxxr
Ixx
c
b h3⋅
12
h2
Wxxrb h2
⋅
6
Wxxr Wxx:=
b1 1mm:= h 1mm:=
Dado
Wxxrb1 2 b1⋅( )2
⋅
6
b1 Find b1( ):=
b1 50.43 mm⋅=
h 2 b1⋅ 100.86 mm⋅=:=
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Pesos
Circular:
Cuadrada:
Rectangular:
La tensión en el punto "C" será:
Acπ diam2
⋅
4:=
Volc Ac 3⋅ m:=
Pesc Volc γ a⋅ 168.68 kgf⋅=:=
Acu b b⋅:=
Volcu Acu 3⋅ m:=
Pescu Volcu γ a⋅ 150.92 kgf⋅=:=
Ar b1 h⋅:=
Volr Ar 3⋅ m:=
Pesr Volr γ a⋅ 119.78 kgf⋅=:=
σCM 1.5m( )
Wxx:=
σC 1491.23kgf
cm2⋅=
0 1 2 3
5 103×
1 104×
1.5 104×
M x( )
1.80.5
x
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FUERZAS CORTANTES EN VIGAS
Cuando existen cargas elevadas cerca de los apoyos de las vigas, o cuando el
material de las vigas presenta baja resistencia a esfuerzos cortantes (por ejemplo en el
caso de la madera), además de calcular a flexión, se debe verificar a esfuerzos
cortantes.
La deducción de la ecuación de esfuerzos cortantes, considera idealizar una sección
de la viga, tal cual la figura de abajo. En esta, la sección analizada tiene un ancho “b” y
un largo “dx”. Si esta sección se encuentra en la parte superior de una viga en flexión,
sufrirá compresión de sus extremos derecho e izquierdo, por lo que para equilibrar las
fuerzas de compresión, las fuerzas producto de los esfuerzos cortantes internos se
sumará a estas fuerzas externas al volumen de control, pudiendo escribir:
Por sumatoria de fuerzas horizontales en el volumen de control:
siendo la tensión:
además la fuerza debido al esfuerzo cortante viene dado por:
reemplazando:
por definición:
h
Fh∑ 0dF H2 H1−
dFy1
c
Aσ2⌠⎮⎮⌡
dy1
c
Aσ1⌠⎮⎮⌡
d−
σM y⋅
I →
dF
y1
c
AM2 y⋅
I
⌠⎮⎮⎮⌡
d
y1
c
AM1 y⋅
I
⌠⎮⎮⎮⌡
d−
dFM2 M1−
I y1
c
Ay⌠⎮⎮⌡
d⋅dM M2 M1−
dF τ b⋅ dx⋅
τdM
I b⋅ dx⋅ y1
c
Ay⌠⎮⎮⌡
d⋅
dM
dxV
τV
I b⋅ y1
c
Ay⌠⎮⎮⌡
d⋅
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La expresión:
representa el momento estático del área analizada, pudiéndose escribir:
Q: momento estático del área.
yc: distancia desde la linea neutra
hasta el centroide de la sección analizada.
A: el área de la sección analizada.
y1
c
Ay⌠⎮⎮⌡
d
Qy1
c
Ay⌠⎮⎮⌡
d yc A⋅
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En el caso de secciones rectangulares uniformes, donde:
se tiene:
La tensión cortante horizontal máxima se da en la Linea Neutra "y=0"
Con lo que se comprueba que el simple análisis de cortantes verticales en una viga,
puede no satisfacer una condición segura en el diseño.
Ib h3
⋅
12yc y
12
h2
y−⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
⋅+ A bh2
y−⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
⋅
τV
2 I⋅h2
4y2
−⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
⋅
τmax32
VA
⋅
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DELFLEXION EN VIGAS - ECUACION ELÁSTICA DE LA VIGA
La mayor parte del proceso de diseño de vigas, se define por la rigidez que esta
presenta. Realizando una observación a priori, se puede apreciar que muchas de las
vigas comunes a nuestro medio (galerías de madera, rieles de cortinas, tuberías
colgadas, etc), si bien resisten a las cargas solicitantes, estas se deforman curvándose
en sentido de la carga, muchas veces de forma exagerada; en el campo industrial la
aplicación de las vigas es común al utilizarlas como elementos base para montaje de
piezas de mayor peso encima como ser tanques, motores, reductores, mezcladoras,
etc., por cuanto en estos casos, si bien la exigencia de resistencia a la solicitación se
cumple, se debe verificar que la viga sufra una mínima deformación, pues la holgura a
la deformación para montar los equipos industriales suele ser de milímetros.
A continuación se da como referencia algunos valores sugeridos de deformaciones
máximas para aplicaciones usuales:
Vigas de techos y pisos Ymax=1/360 luz del techo
Piezas de máquinas en general Ymax=0.00005…0.003 mm/mm
Piezas de precisión moderada Ymax=0.00001…0.0005 mm/mm
Piezas de alta precisión Ymax=0.000001…0.00001 mm/mm
L
L/2
Ra Rb
P
Ymax
Ecuación dela elástica
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Para obtener la ecuación de la elástica, es decir la ecuación de la curva de
deformación, deducimos la relación entre la deformación y el momento flexionante en
la viga, del gráfico siguiente y relacionando las variables se tiene:
de la relación del sector circular:
despejando dθ:
despues de operaciones:
si dx se toma como la longitud del segmento (o como si fuera "L"):
dx ρ dθ⋅
dθdx
ρ
dx δ+
ρ c+
c
ρ
δ
dx
δ
Lε
c
ρε
σ
E
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Que resulta ser la ecuación diferencial que define la curva elástica de una viga,
recordando que el momento está en función de la posición de "x".
Cada punto sobre la elástica de la viga tendrá una deflexión particular "y", y una
pendiente particular "dy/dx".
La relación de las expresiones matemáticas con el concepto físico derivadas de la
ecuación de la elástica se expresa de la siguiente forma:
además como:
simplificando:
Por calculo integral, se tiene que la ecuación del radio de curvatura de un
arco es:
la derivada al cuadrado se desprecia por ser un valor pequeño
conjuncionando las ecuaciones anteriores:
σM c⋅
Icρ
M c⋅I E⋅
1
ρ
MI E⋅
1
ρ
2xyd
d
2
1x
yd
d
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
2
+⎡⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎦
3
2
1
ρ 2xyd
d
2
E I⋅2x
yd
d
2⋅ M x( )
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PROCEDIMIENTO DE DOBLE INTEGRACION
Luego de analizar las cargas de una viga, obtener las ecuaciones y gráficas de fuerzas
cortantes y momentos flectores, se está en capacidad de encontrar la ecuación de la
elástica utilizando la ecuación de momentos flectores obtenidos y reemplazando en la
ecuación diferencial correspondiente.
Ejemplo: Encontrar la ecuación de la elástica para la viga mostrada en la figura.
L
L/2
Ra Rb
P
Ymax
Ecuación dela elástica
la deflexión:
la pendiente:
el momento flector:
la cortante:
la carga distribuida:
y
θx
ydd
ME I⋅ 2x
yd
d
2
3xyd
d
3 dMdx
1
E I⋅⋅
VE I⋅
4xyd
d
4 dVdx
1
E I⋅⋅
qE I⋅
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Resolviendo las ecuaciones para obtener las reacciones se tiene:
La ecuación del momento flector será:
El momento máximo se produce en el punto medio (para este caso):
cuando x=L/2
reemplazamos en la ecuación diferencial
Integrando la ecuacion anterior:
con apoyo de las condiciones iniciales, encontramos las constantes de integración:
cuando
finalmente
para el momento máximo en x=L/2
Ra RbP2
M x( )P x⋅
2
M x( )P L⋅4
M E I⋅2x
yd
d
2⋅
→
P x⋅2
E I⋅2x
yd
d
2⋅
x2x
yd
d
2⌠⎮⎮⎮⎮⌡
dP
2 E⋅ I⋅xx
⌠⎮⎮⌡
d⋅
→ xyd
d
P x2⋅
4 E⋅ I⋅C1+
xx
ydd
⌠⎮⎮⎮⌡
d xP x2
⋅
4 E⋅ I⋅
⌠⎮⎮⎮⌡
d xC1
⌠⎮⎮⌡
d+
→y x( )
P x3⋅
12 E⋅ I⋅C1 x⋅+ C2+
x 0 y 0 → C2 0
xL2 x
yd
d0
→C1
P− L2⋅
16 E⋅ I⋅
y x( )P x3
⋅
12 E⋅ I⋅
P− L2⋅
16 E⋅ I⋅x⋅+
y x( )P− L3
⋅
48 E⋅ I⋅
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DEFLEXION DE VIGAS - FUNCIONES DE SINGULARIDAD
El proceso de obtención de la ecuación de la elástica de una viga, cuando esta
presenta muchas discontinuidades debido a cambios de carga, deriva en la
formulación y resolución de muchas ecuaciones, que a la vez incrementan la
probabilidad de cometer errores en los cálculos.
El matemático alemán A. Clebsch planteó la resolución de las ecuaciones de la
elástica utilizando las funciones de Singularidad, así la base lógica de estas funciones
permite analizar la respuesta transitoria de un circuito, que en este caso se convierte
en la respuesta transitoria (en el tramo) de la ecuación de deflexión de una viga.
Una particularidad de estas funciones es que nos permite establecer una sola función
de deflexión para toda la viga, con lo que se anula la necesidad de establecer
condiciones de coincidencia (condiciones de frontera) para cada ecuación en cada
tramo.
De forma general se puede exponer las siguientes relaciones:
00
Cuando n>0 y x>=x0
Cuando n>0 y x< x0
10 Cuando x>=x0
Cuando x< x0
11
Cuando n>=0
Cuando n>=1
La expresión general de las funciones de singularidad se escriben como: <x-x0>n
donde:
n: cualquier entero (positivo o negativo).
x0: el valor de x en la frontera del intervalo.
x: el valor de la longitud de análisis.
Los corchetes se reemplazan por paréntesis algebraicos (susceptibles de evaluación)
cuando se cumple x =>x0, y por "0" cuando x<x0.
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Para entender mejor el planteamiento de la ecuación, se analiza la viga siguiente:
Ra Rb
Pq
x1
x2
x3
L
Ahora planteando una sola ecuación de singularidad:
para 0<x<L
La ecuación de momentos por tramos sería:
Tramo 1
Tramo 2
Tramo 3
0 x< x1<
M1 x( ) Ra x⋅
x1 x< x2<
M2 x( ) Ra x⋅ P x x1−( )−
x2 x< x3<
M3 x( ) Ra x⋅ P x x1−( )− qx x2−( )2
2⋅−
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Ejemplo: encontrar la deflexión en el punto medio entre los dos apoyos:
Ra Rb
Pq
x1
x4
L
x2
x3
2m 6m 4m 6m
Para encontrar la ecuación de los momentos en la viga, se utilizará un artificio de
física, en la cual la carga distribuida se extenderá hasta el final de la viga, restándola
la misma en toda la longitud extendida, asegurando asi no cambien las condiciones
iníciales.
Ra Rb
Pq
x1
x4
L
x2
x3
DATOS
Por sumatoria de fuerzas horizontales y sumatoria de momentos se tiene las
reacciones:
q 60kgf
m:=
P 120kgf:= E 29000ksi:=
Ra 150kgf:= Rb 330kgf:=
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realizando un único corte en el extremo derecho:
Las condiciones iniciales en los extremos:
Por cuanto para obtener la flecha en el punto x=6m, evaluamos la ecuación, sin
embargo por la regla de las funciones de singularidad, los términos (x-8)4 y (x-12)3, no
se evalúan pues se hacen cero, así:
E I⋅2x
yd
d
2⋅ M 150 x⋅
602
x 2−( )2⋅−
602
x 8−( )2⋅+ 330 x 12−( )⋅+
E I⋅x
yd
d
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
⋅ 75 x2⋅ 10 x 2−( )3
⋅− 10 x 8−( )3⋅+ 165 x 12−( )2
⋅+ C1+
E I⋅ y⋅ 25 x3⋅
104
x 2−( )4⋅−
104
x 8−( )4⋅+
1653
x 12−( )3⋅+ C1 x⋅+ C2+
x 0 → y 0 → C2 0
x 12 → y 0
0 25 12( )3⋅
104
12 2−( )4⋅−
104
12 8−( )4⋅+
1653
12 12−( )3⋅+ C1 12( )⋅+
C1 1570−:= kgf m3⋅
E I⋅ y⋅ 25 6( )3 104
6 2−( )4⋅− 1570 6( )⋅−
x 6m:=
y x( )1
E I⋅25kgf x3 10kgf
4 m⋅x 2m−( )4
⋅−⎡⎢⎣
⎤⎥⎦
⋅:=
y x( ) 66.703mm=