mecÁnica cuÁntica

Lic.Fs. ANIBAL ASCATE PEREZ. 1

MECANICA CUANTICA

1. Demostrar |X| = |X|

SOLUCION

|X| = | (X|)= {(|X) |}= |X|

Si X es hermtico|X| = |X|

2. Demostrar (|u)v|) = |vu|

SOLUCION

Empleando el resultado del problema anterior

|(|u)v|)| = [|(|u)v|)|]|uv| = |vu|

= |(|vu|)|

(|u)v|) = |vu|

3. Demostrar que (XY) = YX

SOLUCION

ESPACIO DE KETS

| = XY || = Y|| = X|

ESPACIO DE BRAS

| = |(XY)| = |Y| = |X = |YX

De la primera lnea y tercera lnea en el Espacio de Bras, se observa

(XY) = YX

4. Verificar si el operador L es hermtico, de lo contrario encontrar su parte hermticay antihermnica.

L =

i 0 i1 i 1i 0 i

SOLUCION


Se sabe que el Adjunto de un Operador es igual a su transpuesta, seguido de suconjugada, es decir

L = (L) =

i 1 i0 i 0i 1 i

Luego, L 6= L = L no es hermtico.La parte hermtica

Lh =L+ L

2=

1

2

0 1 01 0 10 1 0

La parte antihermtica

Lah =L L

2=

1

2

2i 1 2i1 2i 12i 1 2i

Se observa que L = Lh + Lah

5. Demostrar la desigualdad de Schwartz |1|2|2 1|12|2

SOLUCION

Dados |1 y |2 y consideremos el ket | definido por| = |1+ |2 donde es un parametro arbitrario. Ademas

| 0

Luego| = 1|1+ 1|2+ 2|1+ 2|2 0

Escogiendo para = 2|12|2 y reemplazando en la ecuacion anterior obtenemos

1|12|2 1|21|2

|1|2|2 1|12|2

6. Encontrar la forma explcita del operador L, sabiendo que su nucleo es

L(x, x) = x(x x)

SOLUCION

| = L|(x) =

L(x, x)(x)dx

(x) =

x(x x)(x)dx


Integrando por partes, y conociendo que (x) se anula en el infinito, obtenemos

(x) =

x(x)

L = x

7. El nucleo de un operador se expresa mediante la funcion L(x, x) = f(x+ x). Que propiedad debe tener la funcion indicada para que el operador correspondientesea hermtico?

SOLUCION

Se sabe queL(x, x) = f(x+ x)

La adjunta del nucleo del operador viene dado por

L(x, x) = f (x+ x)

Para que L sea hermtico, se cumple

L(x, x) = L(x, x)f(x+ x) = f (x+ x) = f (x+ x)

La funcion debe ser Real

8. Encontrar el adjunto del operador cambio de escala Mc(x) =c(cx) c > 0

SOLUCION

Se sabe que (x)Mc(x)dx =

[M c(x)]

(x)dx (i)

Tomando la adjunta del operador Mc , y reemplazando en el segundo miembro dela ecuacion (i) obtenemos

(x)Mc(x)dx =(x)

c(cx)dx (ii)

Realizando un cambio de variable tenemos(x)

c(cx)dx =

c

c

(

x

c)(x)dx (iii)

pero [M 1

c(x)

]=

1c(

x

c)

= (xc

) =c[M 1

c(x)

]


reemplazando en el segundo miembro de la ecuacion (iii), obtenemos(x)

c(cx)dx =

[M 1

c(x)

](x)dx (iv)

Comparando (i) y (iv)

M c = M 1c

9. Encontrar el adjunto del siguiente operador B = cosd

dx

SOLUCION (x)B(x)dx =

[B(x)](x)dx (i)

pero

B = cosd

dx=n=0

(1)n(2n)!

d2n

dx2n(ii)

reemplazando (ii) en el primer miembro de la ecuacion (i),obtenemos

n=0

(1)n(2n)!

(x)

d2n

dx2n(x)dx =

n=0

(1)n(2n)!

(x)

d

dx

d2n1

dx2n1(x)dx (iii)

integrando por partes el segundo miembro de la ecuacion (iii), y sabiendo que(x), se anula en el infinito, obtenemos

n=0

(1)n(2n)!

(1)

d2n1

dx2n1(x)

d

dx(x)dx (iv)

integrando sucesivamente por partes la ecuacion (iv)

...

tenemos lo siguiente

n=0

(1)n(2n)!

(1)2n(x)

d2n

dx2n(x)dx =

n=0

(1)n(2n)!

d2n

dx2n(x)(x)dx (v)

reacomodando terminos [ n=0

(1)n(2n)!

d2n

dx2n(x)

](x)dx =

[cos(

d

dx)(x)

](x)dx (vi)

De la ecuacion (i) y (vi) (cos

d

dx

)= cos

d

dx

Se observa que el operador B = cosd

dxes hermtico


10. Dados dos operadores: C es hermtico y A arbitrario, demostrar que ACA eshermtico

SOLUCIONSea

D = ACA

El operador hermticoD = (CA)A = ACA

Si C es hermtico, entonces C = CLuego

D = ACA = D

Se demuestra que el operador ACA es hermtico

11. Demostrar que [L1L2, N ] = L1[L2, N ] + [L1, N ]L2

SOLUCION

[L1L2, N ] = L1L2N NL1L2= L1L2N L1NL2 + L1NL2 NL1L2= L1[L2, N ] + [L1, N ]L2

12. Demostrar que eLAeL = A+ [L, A] +1

2!

[L, [L, A]

]+

1

3!

[L,[L, [L, A]

]]+ . . .

SOLUCION

Seaf() = eLAeL

derivando con respecto a

df

d= eLLAeL eLALeL

= eL[L, A]eL

d2f

d2= eL[L, A]eL eL[L, A]LeL

= eL[L, [L, A]

]eL

d3f

d3= eL

[L,[L, [L, A]

]]eL

Empleando serie de Taylor

f() = eLAeL =n

1

n!

(dnf

dn

)=0

n

desarrollando la serie de Taylor obtenemos

f() = A+ [L, A]+1

2!

[L, [L, A]

]2 +

1

3!

[L,[L, [L, A]

]]3 + . . .

para = 1

eLAeL = A+ [L, A] +1

2!

[L, [L, A]

]+

1

3!

[L,[L, [L, A]

]]+ . . .


13. Demostrar que: AB =1

2[A,B] +

1

2{A,B}

SOLUCIONSea

AB =1

2[A,B] +

1

2{A,B} (i)

El anticonmutador {A,B} se define como

{A,B} = AB +BA (ii)

y sabiendo que el conmutador [A,B] se define como

[A,B] = AB BA (iii)

reemplazando (ii) y (iii) en (i) tenemos

AB =1

2(AB BA) + 1

2(AB +BA) = AB

Es decir desconponemos un producto de operadores en una parte simetrica y unaantisimetrica

14. Calcular el siguiente conmutador [A, B] si A = xd

dxy B =

d

dx x

SOLUCION

[A, B] = (AB BA)= AB BA= A

d

dxx Bx d

dx

= A(xd

dx+ ) Bxd

dx

= xd

dx(xd

dx+ ) d

dx(x2

d

dx)

= x(xd2

dx2+ 2

d

dx) x2d

2

dx2 2xd

dx= 0

15. Demostrar que [x, F (p)] = i~F (p)

SOLUCION

En primer lugar calcularemos [x, pn]Se sabe que [x, p] = i~Luego

[x, p2] = [x, p]p+ p[x, p] = 2i~p...

[x, pn] = i~npn1


Verifiquemos para n n+ 1[x, pn+1] = [x, ppn]

= [x, p]pn + p[x, pn]

= i~npn + i~nppn1

= i~(n+ 1)pn

Ademas por definicion, cualquier funcion de un operador se puede representar poruna expansion en serie de potencias

F (p) =n=0

fnpn

Luego

[x, F (p)] = [x,n=0

fnpn]

=n=0

fn[x, pn]

=n=0

fni~npn1

= i~F (p)

[x, F (p)] = i~F (p)NOTA: El lector tambien puede expresar la funcion de un operador en una serie

de Taylor F (p) =n=0

F n(0)

n!pn

16. Considere 2 operadores A y B, donde ambos conmutan con su conmutador. Demostrar

la formula de Glauber eAeB = eA+Be12[A,B]

SOLUCION

Del enunciado del problema

[A, C] = [B, C] = 0

dondeC = [A, B]

ademas[A, F (B)] = [A, B]F (B) (i)

Definamos el operador F (t) como una funcion de t

F (t) = eAteBt (ii)

derivando (ii) con respecto a t

dF

dt= AeAteBt + eAtBeBt = (A+ eAtBeAt)F (t) (iii)


Dado que A y B conmutan con su conmutador, la formula (i) puede ser aplicadopara calcular

[eAt, B] = t[A, B]eAt (iv)

por tanto

eAtB = BeAt + t[A, B]eAt (v)

multiplicando ambos miembros por la derecha por eAt

eAtBeAt = B + t[A, B] (vi)

sustituyendo en (iii), tenemos

dF

dt= (A+ B + t[A, B])F (t) (vii)

Por hipotesis los operadores A + B y [A, B] conmutan. Por lo tanto podemos

integrar la ecuacion diferencial anterior, como si A + B y [A, B] fueran numeros,entonces

F (t) = F (0)e(A+B)t+12[A,B]t2 (viii)

ademas F (0) = 1luego

F (t) = e(A+B)t+12[A,B]t2 (ix)

de la ecuacion (ii) y (ix)

F (1) = eAeB = e(A+B)+12[A,B]

FinalmenteeAeB = eA+Be

12[A,B]

17. Demostrar que [pl, F (~x)] = i~F (~x)xl

SOLUCION

Se sabe que la funcion de un operador se puede expresar en una serie de Taylor, esdecir

F (~x) =n=0

F n(0)

n!~xn

luego

[pl, F (~x)] =n=0

F n(0)

n![pl, ~x

n]

pero[pl, ~x

n] = ni~~x n1~elahora

[pl, F (~x)] =n=0

F n(0)

n!(n)i~~x n1~el

sabiendo que~x = xl~el + xm~em + xn~en


entoncesF (~x)

xl=n=0

F n(0)

n!n~x n1~el

por lo tanto

[pl, F (~x)] = i~F (~x)xl

18. Demostrar que tr(xy) = tr(yx) , siendo x , y operadores

SOLUCION

La traza de un operador A, esta definido como la suma de los elementos de sudiagonal

tr(A) =i

ei|A|ei

donde {|ei} es la base ortonormal del espacio donde esta definido x , ysea xy=A

tr(xy) =i

ei|xy|ei

introduciendo el operador identidad

1 =j

|ejej|

tr(xy) =i,j

ei|x|ejej|y|ei

dado que los dos miembros del lado derecho son numeros, entonces se puedenintercambiar, luego

tr(xy) =i,j

ei|y|ejej|x|ei

=j

ej|y1x|ej

=j

ej|yx|ej

= tr(yx)

por lo tantotr(xy) = tr(yx)

19. Considere 2 kets | y | . Suponga que a1|, a2|, . . . y a1|, a2|, . . .son conocidos, donde |a1, |a2, . . . forman un conjunto completo de bases ket.Encontrar la representacion matricial del operador || en esta base.

SOLUCION


Aplicando el operador identidad al ket | y al bra |, tenemos

|| = 1||1=

i

|aiai|||j

|ajaj|

=i,j

|aiai||ajaj|

=i,j

ai|aj||aiaj|

La expresion anterior es una forma mas compacta de expresar el operador, dondeel elemento {ai, aj} de la matriz representativa sera

ai|aj|

El operador || expresado en forma matricial viene dado por

|| =

a1|a1| a1|a2| a1|a3| . . .a2|a1| a2|a2| a2|a3| . . .a3|a1| a3|a2| a3|a3| . . .

......

......

20. Cual de los siguientes operadores es lineal? Si es afirmativa la respuesta, calcular

las autofunciones.

i) O1[(x)] = ddx

+ a

ii) O2[(x)] = exp[(x)]iii) O3[(x)] = (x)

iv) O4[(x)] = x

()d

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