mecanica de suelos ii
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CONSOLIDACION DE SUELOSTRANSCRIPT
PRÁCTICA Nº5
ESFUERZOS EN UNA MASA DE SUELO
Problema 1.- un perfil de suelo se muestra en la figura 5.27. Calcule los valores de σ ,u y σ ' en los puntos A, B, C y D. grafique la variación de σ ,u y σ ' con la profundidad. Se dan los valores en la tabla.
Solución:
0 50 100 150 200 250 300
-16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
Presión de AguaEsfuerzo EfectivoEsfuerzo Total
Prof
undi
dad
Punto Aσ=0u=0σ '=0
Punto B
σ=4m⋅17,3 kNm3
=69,20 kNm2
u=0
σ '=σ−u=69,20 kNm2
PuntoC
σ=(4m ⋅17,3 kNm3 )+(5m⋅18,9 kNm3 )=163,70 kNm2u=5m⋅9,81 kN
m3=49,05 kN
m2
σ '=σ−u=163,70 kNm2
−49,05 kNm2
=114,65 kNm2
PuntoD
σ=(4 ⋅17,3 )+(5 ⋅18,9 )+(6 ⋅19,7)=281,90 kNm2
u=(5⋅ 9,81 )+(6 ⋅ 9,81)=107,91 kNm2
σ '=σ−u=281,90−107,91=173,99 kNm2
Resumiendoenuna tabla
Estrato Nº
Espesor (m)
Peso Específico (kN /m3)
I H 1=4 γ d=17.3II H 2=5 γ sat=18.9III H 2=6 γ sat=19.7
EsfuerzosPunto
APunto
BPunto
CPunto
D
σ (kN /m2) 0 69.2163.7
0281.90
u(kN /m2) 0 0 49.05 107.91
σ '(kN /m2) 0 69.2114.6
5173.99
Problema 2.- un perfil de suelo se muestra en la figura 5.27. Calcule los valores de σ ,u y σ ' en los puntos A, B, C y D. grafique la variación de σ ,u y σ ' con la profundidad. Se dan los valores en la tabla.
Solución:
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
-16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
Esfuerzo TotalPresión de AguaEsfuerzo Efectivo
Prof
undi
dad
Punto Aσ=0u=0σ '=0
Punto B
σ=4,5m ⋅15 kNm3
=67,50 kNm2
u=0
σ '=σ−u=67,50 kNm2
PuntoC
σ=(4,5m⋅15 kNm3 )+(10m ⋅18 kNm3 )=247,50 kNm2u=10m⋅9,81 kN
m3=98,10 kN
m2
σ '=σ−u=247,50 kNm2
−98,10 kNm2
=149,40 kNm2PuntoD
σ=(4,5 ⋅15 )+ (10 ⋅18 )+(8,5 ⋅19)=409,00 kNm2
u=(10⋅ 9,81 )+(8,5 ⋅ 9,81)=181,49 kNm2
σ '=σ−u=409,00−181,49=227,52 kNm2
Resumiendoenuna tabla
Estrato Nº
Espesor (m)
Peso Específico (kN /m3)
I H 1=4.5 γ d=15II H 2=10 γ sat=18III H 2=8.5 γ sat=19
EsfuerzosPunto
APunto
BPunto
CPunto
D
σ (kN /m2) 0 67.5247.5
0409.00
u(kN /m2) 0 0 98.10 181.49
σ '(kN /m2) 0 67.5149.4
0227.52
Problema 3.- Un perfil de suelo se muestra en la figura 5.27. Calcule los valores de σ ,u y σ ' en los puntos A, B, C y D. grafique la variación de σ ,u y σ ' con la profundidad. Se dan los valores en la tabla.
Solución:
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
-16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
Esfuerzo TotalPresión de AguaEsfuerzo Efectivo
Prof
undi
dad
Punto Aσ=0u=0σ '=0
Punto B
σ=3m⋅18,36 kNm3
=55,08 kNm2
u=0
σ '=σ−u=55,08 kNm2
PuntoC
σ=(3m⋅18,36 kNm3 )+(4m⋅20,11 kNm3 )=135,52 kNm2u=4m ⋅9,81 kN
m3=39,24 kN
m2
σ '=σ−u=135,52 kNm2
−39,24 kNm2
=96,28 kNm2
Resumiendoenuna tabla
PuntoD
σ=(3 ⋅18,36 )+(4 ⋅20,11)+(2 ⋅19,19)=173,90 kNm2
u=(4 ⋅ 9,81 )+(2 ⋅9,81)=58,86 kNm2
σ '=σ−u=173,90−58,86=115,04 kNm2
Cálculosauxiliares
γ d=( G s
1+e )⋅γω=( 2,621+0,4 )⋅9,81=18,36 kNm3γ sat=(Gs+e
1+e )⋅γω=(2,68+0,601+0,60 )⋅9,81=20,11 kNm3γ sat=(Gs+e
1+e )⋅γω=(2,73+0,811+0,81 )⋅9,81=19,19 kNm3
Resumiendo :
Estrato Nº
Espesor (m)
Parámetros de suelo
I H 1=3 e=0.4 Gs=2.62II H 2=4 e=0.60 Gs=2.68III H 2=2 e=0.81 Gs=2.73
EsfuerzosPunto
APunto
BPunto
CPunto
D
σ (kN /m2) 0 55.08 135.52 173.90
u(kN /m2) 0 0 39.24 58.86
σ '(kN /m2) 0 55.08 96.28 115.04
Nº de estrat
oγ d(kN /m3) γ sat (kN /m3)
I 18.36 -II - 20.11III - 19.19
Problema 4.- Grafique la variación del σ ,u y σ ' con la profundidad para los estratos de arena y arcilla mostrados en la figura.
Solución:
Punto Aσ=0u=0σ '=0
Punto B
σ=4m⋅16,93 kNm3
=67,72 kNm2
u=0
σ '=σ−u=67,72 kNm2
PuntoC
σ=(4m⋅16,93 )+(3m⋅18,39 kNm3 )=122.89 kNm2u=3m⋅9,81 kN
m3=29,43 kN
m2
σ '=σ−u=122,89 kNm2
−29,43 kNm2
=93,46 kNm2
Resumiendoenuna tabla
Cálculosauxiliares
γ d=( G s
1+e )⋅γω=( 2,641+0,53 )⋅ 9,81=16,93 kNm3
γ sat=(Gs+e1+e )⋅γω=(2,75+1,01+1,0 )⋅9,81=18,39 kNm3
Resumiendo :
Estrato Nº
Espesor (m)
Parámetros de suelo
I H 1=4 e=0.53 Gs=2.64II H 2=3 e=1.0 Gs=2.75
EsfuerzosPunto
APunto
BPunto
C
σ (kN /m2) 0 67.72 122.89
u(kN /m2) 0 0 29.43
σ '(kN /m2) 0 67.72 93.46
Nº de estrat
oγ d(kN /m3) γ sat (kN /m3)
I 16.93 -II - 18.39
0 20 40 60 80 100 120 140
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
Esfuerzo TotalPresión de AguaEsfuerzo Efectivo
Prof
undi
dad
Problema 5.- Un perfil de suelo se muestra en la figura.
a) Calcule el σ ,u y σ ' en los puntos A, B y C.b) ¿Cuánto debe ascender el nivel de agua freática para que el Esfuerzo Efectivo en
el punto C sea de σ c'=104kN /m2?.
Solución:
Punto Aσ=0u=0σ '=0
Punto B
σ=4m⋅16,21 kNm3
=64,84 kNm2
u=0
σ '=σ−u=64,84 kNm2
PuntoC
σ=(4m⋅16,21 )+(5m⋅20,88 kNm3 )=169,24 kNm2u=549,05m⋅9,81 kN
m3=49.05 kN
m2
σ '=σ−u=169.24 kNm2
−49.05 kNm2
=120,19 kNm2Resumiendoenuna tabla
Cálculosauxiliares
γ d=( G s
1+e )⋅γω=( 2,661+0,61 )⋅ 9,81=16,21 kNm3
γ sat=(Gs+e1+e )⋅γω=(2,67+0,481+0,48 )⋅9,81=20,88 kNm3
Resumiendo :
Datos :
a¿
h
4−hN . freático
Estrato Nº
Espesor (m)
Parámetros de suelo
I H 1=4 e=0.61 Gs=2.66II H 2=5 e=0.48 Gs=2.67
EsfuerzosPunto
APunto
BPunto
C
σ (kN /m2) 0 64.84 169.24
u(kN /m2) 0 0 49.05
σ '(kN /m2) 0 64.84 120.19Nº de estrato γ d(kN /m3) γ sat (kN /m3)
I 16.21 -II - 20.88
Ver figura.
Problema 6.- Una arena tiene Gs=2.66. Calcule el gradiente hidráulico que causara inestabilidad por ebullición para los siguientes datos, además dibuje una gráfica para icr versus e.
Solución:
e γ sat (kN /m3) icr
0.35 21.87 1.23
0.45 21.04 1.14
0.55 20.32 1.07
0.7 19.39 0.98
0.8 18.86 0.92
0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.250
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
𝐆𝐫á _ 𝐟𝐢𝐜𝐚 𝐢 𝐜𝐫 𝐯𝐬 𝐞
rela
ción
de v
acío
s
Problema 7.- Un estrato de 10m de espesor de arcilla firme saturada descansa sobre un estrato de arena, la cual está sometida a presión artesiana. Calcule la profundidad máxima de corte H que puede hacer en la arcilla.
b¿
(4−h )⋅ γ d (A .seca )+ (h ) ⋅γ sat (A .seca )+(5 )⋅ γ sat (arcilla )−(5+h )⋅ γω=σc'
(4−h )⋅16,21+ (h )19,92+ (5 )⋅20,88−(5+h )⋅9,81=104
120,19−6,10h=104
h=2,65m
Cálculosauxiliares
γ sat=(Gs+e1+e )⋅γω=(2,66+0,611+0,61 )⋅9,81=19,92 kNm3
Cálculosauxiliares
γ sat=(Gs+e1+e )⋅γω=(2,66+0,351+0,35 )⋅9,81=21.87 kNm3
icr=γ sat−γωγω
=21.87−9,819,81
=1,23
Resumiendoenuna tabla
Solución:
Problema 8.- Se hace un corte en una arcilla firme saturada que descansa sobre un estrato de arena. ¿Cuál debe ser la altura h del agua en el corte, de manera que no se pierda la estabilidad de la arcilla saturada?
Solución: (Ver figura)
- Infiltración hacia arriba, por tanto el σ A
' debe ser nulo, para que no se pierda la estabilidad.
El desnivel es
(2−h)
Problema 9.- Refiérase a la figura. Dado P=30 kN , determine el incremento del esfuerzo vertical en un punto con x=5m , y=4m y z=6m. Use la solución de Boussinesq.
Considere : σ A=σ=0
(10−H )⋅ γ sat (arcilla )−(6 )⋅ γω=0
(10−H )⋅19−(6 ) ⋅9,81=0
H¿6,90m
icr=γ '
γωóρsat (arcilla)ρω
−1…….(1)
2,8
2
2−h
icr=2−h2
……….(2)
(2 ) en(1)
2−h2
=19251000
−1h=0,15m
Solución:
Datos:
Problema 10.- Refiérase a la figura. La magnitud de la carga de línea q es de 50 KN/m. Calcule y grafique la variación del incremento del esfuerzo vertical Δ σ , entre los límites x=−8m , x=+8m ,dado z=3m.
Solución:
Empleando la ecuación (5,15)
P=5 kNx=5m , y=4m y z=6m
De laecuación (5,12 )tenemos :
Δ σ x=
3 P2π
∗z3
(r 2+z2 )5 /2
Donde :r2=x2+ y2
Reemplazando valorestenemos :
Δσ x=
3∗30 kN2π
∗63
(52+42+62 )52
Δσ x=0,06kN /m2
El esfuerzototal enel punto A es iguala :
Para x=0 y z=3m
Δσ= 2∗50∗33
π (02+32 )2
Δσ= 2∗q∗z3
π ( x2+z2 )2
Δσ=10.61kN /m2
Resumiendoenuna tabla
8 7 6 5 4 3 2 1 0 - 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 80
2
4
6
8
10
12 𝐆𝐫á 𝐟𝐢𝐜𝐚 𝐝𝐞 𝚫𝛔 𝐯𝐬 𝐱
Problema 11.- Refiérase a la figura. Suponga q=65kN /m, en el punto A esta localizado a una profundidad de 1.5m bajo la superficie del terreno. Debido a la aplicación de la carga puntual, el esfuerzo vertical en el punto A se incrementa en 24 kN /m2. ¿Cuál es la distancia horizontal entre la carga de línea y el punto A?
Solución:
Datos.
Δ σ=24 kN /m2 , z=1.5m Determinar x=?? ?
Empleando la ecuación (5.15) tenemos:
24= 2∗65∗1.53
π (x2+1.52)2……… .. x2=0.162m2
Problema 12.- Refiérase a la figura (5.32). Determine el incremento del esfuerzo vertical, Δ σ, en el punto A, con los siguientes valores: q1=60kN /m, x1=1.5m, z=1.5m yq2=0 , x2=0.5m.
Solución:
x=0,40m
El esfuerzototal enel punto A es iguala :
Δσ=Δσ1+Δσ 2
Δσ= 6∗60∗1,53
π (22+1,52 )2+ 2∗0∗1,53
π (0,52+1,52 )2
Δσ=3,30kN /m2
z (m) x (m) Δ σ (kN /m2)3 8 0.163 7 0.263 6 0.423 5 0.743 4 1.383 3 2.653 2 5.093 1 8.593 0 10.61
Problema 13.- Resuelva el problema 12 con los siguientes datos: q1=15kN /m, x1=8m, z=4m y q2=9 , x2=3m.
Solución:
Tenemos dos campos de línea sobre la superficie, entonces el esfuerzo en el punto A es:
Problema 14.- Refiérase a la fig. (5.12) , se dan:B=4m ,q=20 kN /m2 , x=1.5m y z=2m; determine el incremento del esfuerzo vertical, Δ σ, en el punto A.
Solución:
Empleando la ecuación (5.17)
Problema 15.- resuelva el problema 14 para:
Solución:
a) Empleando la ecuación (5.17) b) haciendo uso de la tabla (5.4)
Con estos valores recurrimos a la tabla 5.4 y determinamos la variación de:
El esfuerzototal enel punto A es iguala :
Δσ=Δσ1+Δσ 2
Δσ= 2∗15∗43
π (82+42 )2+ 2∗9∗43
π (32+42 )2Δσ=0,68 kN /m2
Δσ=2qπ
∗z3 ∫−B /2
B /21
[ (1,5−x )2+22 ]2dx
Δσ=2∗20π
∗23∗(0,12)
Δσ=12,49kN /m2
q=600kN /m2
x=1,5mz=3m
Δσ=2qπ
∗z3 ∫−3 /2
3 /21
[ (1,5−x )2+32 ]2dx
Δσ=2∗600π
∗33∗(0,02)
Δσ=245,49kN /m2
Determinamos lo siguiente :2∗xB
y2∗zB
2∗1,53
=1 y 2∗33
=2
Δσq
=0,409 Luego tenemos : Δσ=600 kNm20,409 Δσ=245,40 kN /m2
Problema 16.- Considere un área flexible circularmente cargada sobre la superficie del terreno. Dado el radio del área circular, R=2m, y la carga uniformemente distribuida, q=170kN /m2, calcule el incremento del esfuerzo vertical,∆ σ , en el punto localizado a 1.5m debajo de la superficie del terreno (inmediatamente abajo del centro del área circular).
Solución: Empleando la ecuación (5.21) tenemos:
Problema 17.- Resuelva el problema 16 con: R=3m,q=250kN /m2 y z=2.5m.
Solución:
Procediendo de la misma forma que el anterior ejercicio tenemos:
Empleando la ecuación (5.21) tenemos:
Problema 18.- La planta de un área rectangular flexible cargada se muestra en la figura (5.33). La carga uniformemente distribuida sobre el área flexible, si q=85kN /m2. Determine el incremento del esfuerzo vertical, ∆ σ , a una profundidad z=5m, debajo de los siguientes puntos:
a) Punto Ab) Punto Bc) Punto C
Solución:
- Determinando el ∆ σ, en el punto A, causado por el área cargada se determina con la ecuación (2.25),
entonces tenemos:
a) Punto A
Datos :R=2mq=170kN /m2
z=1,5m
∆ σ=q {1− 1
[ (R /z )2+1 ]3 /2 }Reemplazando valores :
∆ σ=170 {1− 1
[ (2/1,5 )2+1 ]3 /2 } Δσ=133,28kN /m2
Datos :R=3mq=250kN /m2
z=2,5m∆ σ=q {1− 1
[ (R /z )2+1 ]3 /2 }Reemplazando valores :
∆ σ=250 {1− 1
[ (3/2,5 )2+1 ]3 /2 } Δσ=184,41kN /m2
Punto A :z=5mB=5mL=10m
Variacionde I 2 conm y n .
m= Bz=55=1
n=Lz=105
=2
I 2=14 π [ 2mn√m2+n2+1m2+n2+m2n2+1 (m
2+n2+2m2+n2+1 )+ tan−1( 2mn√m
2+n2+1m2+n2−m2n2+1 )]
(1)
(3)
(2)
(4)
De la ecuación (5.24), tenemos:
b) Punto B
Se tiene el efecto de cuatro rectángulos como se muestra en la figura, por consiguiente obtenemos la siguiente relación:
Datos (1) (2) (3) (4)
z(m) 5 5 5 5
B(m) 3 3 2 2
L(m) 6 4 4 6
Datos (1) (2) (3) (4)I 2(parcial) 1.143 0.125 0.093 0.03
c) Punto C
Esta fuera del área rectangular cargado, solo recibe esfuerzo vertical causado por una carga en línea, empleando la ecuación (5.15) tenemos:
Problema 19.- Resuelva el problema 18. Use la carta de influencia de Newmark para la distribución de presiones verticales.
Reemplazando valorestenemos :
I 2=14 π [ 2∗1∗2√12+22+112+22+12∗22+1 ( 12+22+212+22+1 )+ tan−1( 2∗1∗2√12+22+112+22−12∗22+1 )] I 2=0,20
∆ σ=q ¿ I 2 Reemplazando valores :
∆ σ=85 kNm2
∗0,20 Δσ=17 kN /m2
∆ σ=∆σ1+∆ σ2+∆σ3+∆σ4
Resumiendoenuna tabla
Reemplazando valorestenemos :
I 2(1)=14 π [ 2∗0.6∗1.2√0.62+22+10.62+1.22+0.62∗1.22+1 ( 0.62+1.22+20.62+1.22+1 )+ tan−1( 2∗0.6∗1.2√0.6
2+22+10.62+1.22−0.62∗1.22+1 )]
I 2(2)=14 π [ 2∗0.6∗0.8√0.62+0.82+10.62+0.82+0.62∗0.82+1 ( 0.62+0.82+20.62+0.82+1 )+ tan−1( 2∗0.6∗0.8√0.62+0.82+10.62+0.82−0.62∗0.82+1 )]
I 2(3)=14 π [ 2∗0.4∗0.8 √0.42+0.82+1
0.42+0.82+0.42∗0.82+1 ( 0.42+0.82+20.42+0.82+1 )+ tan−1( 2∗0.4∗0.8√0.42+0.82+10.42+0.82−0.42∗0.82+1 )]I 2(4)=
14 π [ 2∗0.1∗1.2√0.12+1.22+10.12+1.22+0.12∗1.22+1 ( 0.12+1.22+20.12+1.22+1 )+tan−1(2∗0.1∗1.2√0.12+1.22+10.12+1.22−0.12∗1.22+1 )]
Resumiendoenuna tabla Finalmente tenemos∆ σ=q ( I1+ I 2+ I 3+ I 4 )∆ σ=85 (0,143+0,125+0,093+0,03 )
Δσ=33,24 kN /m2
Δσ= 2∗q∗z3
π ( x2+z2 )2Reemplazando valores :
Δσ= 2∗85∗53
π (32+52 )2Δσ=5,85kN /m2
Nº de rectángul
o(1) (2) (3) (4)
m= BL
0.6 0.6 0.4 0.1
n=Lz
1.2 0.8 0.8 1.2
Solución:
Problema 20.- Refiérase a la fig. (5.34). El área circular flexible esta uniformemente cargada. Dada q=250kN /m2, y usando la carta de Newmark, determine el incremento del esfuerzo vertical, ∆ σ , en el punto A
Solución:
AB C
Valor de influencia=0,005
Punto A :Elnúmero deelementos dentrodel contorno esaproximadamente26 , por lotanto tenemos :
∆ σ=( IV )∗qM=0,005∗85∗26
Δσ=11,05 kN /m2
Punto B:Elnúmero deelementos dentrodel contorno esaproximadamente37,5 , por lo tanto tenemos :
∆ σ=( IV )∗qM=0,005∗85∗37.5
Δσ=15,94 kN /m2
PuntoC :Elnúmero deelementos dentrodel contorno esaproximadamente17 , por lotanto tenemos :
∆ σ=( IV )∗qM=0,005∗85∗17
Δσ=7,23kN /m2
Punto A :
Elnúmero deelemen tos dentrodel contorno es
aproximadamente35 , por lo tanto tenemos :
∆ σ=( IV )∗qM=0,005∗85∗35
Δσ=43,75kN /m2
Valor de influencia=0,005