mecÂnica - dinÂmica dinâmica de um ponto material: impulso e quantidade de movimento cap. 15
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MECÂNICA - DINÂMICA
Dinâmica de um Ponto Material: Impulso e
Quantidade de Movimento
Cap. 15
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 2
Desenvolver o princípio do impulso e quantidade de movimento.
Estudar a conservação da quantidade de movimento para pontos materiais.
Analisar a mecânica de colisões.Introduzir o conceito de impulso angular e momento
angular.
Objetivos
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15.1 Princípio do Impulso e Quantidade de Movimento
A equação de movimento para um ponto material de massa
pode ser escrita como:
(15.1)
onde e são medidas num ref. inercial. Rearranjando e
integrando entre os limites , e 1 1 2
m
dm m
dt
t
vF a
a v
v v
1
2
1 1
2 1
, :
ou:
(15.2)
2
2t
2
t
t
tdt
t
dt
m
d
m
m
v
vv
F v
F
v
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15.1 Princípio do Impulso e Quantidade de Movimento
12 1 (15.2)
.
Proporciona um meio direto para cálculo de a partir
de sem necessidade do cálculo da aceleração.
2t
t
2
1
princípio do impulso e quantidade de moviment
dt
o
m m
F v
v
v
v
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15.1 * - Quantidade de Movimento
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15.1 * - Impulso
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15.1 * - Impulso
1
O módulo do impulso pode ser representado
pela área sombreada da curva força versus tempo:
2t
tdtI F
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15.1 Princípio do Impulso e Quantidade de Movimento
12
2
1
1
1
(15.3)
a quantidade de movimento do ponto no instante mais
a somatória dos impulsos aplicados no intervalo a é
igual a quantidade de movimento do ponto no instante
2t
t
t
t t
t
m dt m
v F v
2.
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15.1 * - Equações Escalares
1
1
1
1 2
1 2
1 2
(1 5 .4)
2
2
2
t
x x xt
t
y y yt
t
z z zt
m v F dt m v
m v F dt m v
m v F dt m v
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Ao engradado de 50 lb aplica-se uma força de intensidade
variável 20 lb, onde é dado em segundos.
Determine a velocidade do engradado 2 após o início da
aplicação da força. A velocidade inicial do
P t t
s
1
engradado é
3 pés/s, plano abaixo, e o coeficiente de atrito cinético
entre o engradado e o plano é 0.3.c
v
Exemplo 15.2
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Exemplo 15.2 - Solução
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Exemplo 15.2 - Solução
Diagrama de corpo livre
ax
1.5528 slugs
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Exemplo 15.2 - Solução
ax
1.5528 slugs
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Exemplo 15.2 – Solução cinemática
2
0
2
2
3 0
20 0.3 43.301 50sen 30 1.5528
12.880 7.7342
Sendo:
12.88
44.2 p
0 7.7342
és/s
v
x x
t a
a t
dv adt dv t
F
v
m
t
a
d
ax
1.5528 slugs
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15.2 Princípio do Impulso e Quantidade de Mov. para um Sist. de Pontos Materiais
A equação de movimento para um sistema de pontos
materiais de massa pode ser escrita como:
(15.5)
onde são medidas num ref. inercial.
As forças internas aparecem aos pares e
i
ii i
i
i m
dm
dt v
F
v
se anulam ao serem somadas, não
aparecendo na eq. (15.5).
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15.2 Princípio do Impulso e Quantidade de Mov. para um Sist. de Pontos Materiais
1
1
1 2
Rearranjando a eq. (15.5) e integrando entre
os limites , e , :
(15.6)
a quantidade de movimento do sistema
no instante mais a somatória dos impulsos
das
2t
i i i i it
1 1 2 2
m dt m
t
forças e
t
er
t
xt
v
v v
v F
1 2
2
aplicados no intervalo
a é igual a quantidade de movimento
do sistema no instante .
t
n s
t
t
a
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15.2 Princípio do Impulso e Quantidade de Mov. para um Sist. de Pontos Materiais
O centro de massa G do sistema é determinado por
, onde é a massa total do
sistema. Então a derivada temporal nos fornece:
equação que estabelece que a quantidade
de movimento tota
G i i i
G i i
m m m m
m m
r r
v v
l do sistema é
equivalente à quantidade de movimento
de um ponto material fictício de massa
igual à massa total do sistema e de posição
igual ao do centro de massa do sistema.
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15.2 Princípio do Impulso e Quantidade de Mov. para um Sist. de Pontos Materiais
1
1 2
1
Substituindo a eq. anterior em (15.6):
(15.7)
a quantidade de movimento do
de massa no instante
mais a somatória dos impulsos das
aplicados
2t
G it
i
G
ponto
fictício
forças externa
m
m
m
m
t
d
s
t
v F v
1 2
2
no intervalo
a é igual a quantidade de
movimento do ponto no instante .
t t
t
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Um operário de 180 lb está preso por um sistema
de segurança. Determine a
desenvolvida na corda quando o operário cai se a
a corda AB tem uma folga de 4 pés. D
tens
espr
ão impul
eze o
tam
siv
anh
a m
o
édia
do operário e suponha uma duração de
0.6 s para o impulso (frenagem proporcionada
pela pequena elasticidade da corda).
Problema 15.4
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Problema 15.4 - Solução
2
Diagrama cinemático da queda livre:
32.2 m/s
180
32.25.5900 slugs
g
m m
5.5900 slugs
0 0v
5.5900 slugs
1v
y
4 pésg
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Problema 15.4 - Solução
0 1
2 20
0 0 1 1
0 1 1 0
1
21 1
Princípio do Trabalho e Energia:
Trabalho do Peso:
180 4
1 1720
2 21
0 720 5.59
720 lb.pés
16.050 pés/s002
W
W
W
T U T
U W y
U U
U
m
y
mv
v
U
v
v
5.5900 slugs
0 0v
5.5900 slugs
1v
y
4 pésg
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12.2 * Fórmulas da Aceleração Constante
0
20 0
2 20 0
1
2
2
c
c
c
c
a a
v v a t
s s v t a t
v v a s s
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Problema 15.4 - Solução
0
2 20
1
0
21
16.050 pés/s
0.4984
Fórmulas de aceleração constante:
0 2 32.2 4
16.050 0 32.2
4 s
2
c
c
v v a t
v v a s s
v
v
t
t
5.5900 slugs
0 0v
5.5900 slugs
1v
y
4 pésg
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15.1 Princípio do Impulso e Quantidade de Movimento
12
2
1
1
1
(15.3)
a quantidade de movimento do ponto no instante mais
a somatória dos impulsos aplicados no intervalo a é
igual a quantidade de movimento do ponto no instante
2t
t
t
t t
t
m dt m
v F v
2.
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Problema 15.4 - Solução
Diagrama das quantidades de movimento e
impulso proporcionado pela corda: 5.5900 slugs
1 16.050 pés/sv
y
F
Altura desprezível
1 0t
5.5900 slugs
2 0v
2 0.6 st
180 lb
5.5900 slugs
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Problema 15.4 - Solução
11 2
Princípio do Impulso e Quantidade de
Movimento:
5.5900 16
330 l
.050 180 0.6 0.6 0
89.7195 108 0
b
.6
2t
x x xtm v
F
F
F dt m
F
v
5.5900 slugs
1 16.050 pés/sv
y
F
5.5900 slugs
2 0v
0.6 st
180 lb
5.5900 slugs
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Problema 15.4 - Solução
1
1
Diagrama de corpo livre e dinâmico:
180 5.5900 32.2
No início do da corda
a tensão na mesma é nula.
No final ela é igual ao peso do
operário. Durante o a
tensão vari
0
a, t
y y
F
estiramento
es
F
tiramento
a
F
m
endo o valor médio ,
calculado.
F
5.5900 slugs
y
F
Altura desprezível
1 0t
5.5900 slugs
180 lb2 0.6 st
180 lb
180 lb
1F5.5900 slugs
180 lb
yag