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Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
Aula 08
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Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
III.1. Introdução
III.2. Torção de Barras
III.2.1. Seção Circular
III.2.2. Seções Não Circulares
III.3. Flexão Simples de Barras
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Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
III.1. Introdução
As seções planas permanecem planas após a deformação
Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
Nas solicitações transversais esta hipótese somente é válida no caso de Torção de Seções Circulares.
seção circular torcida
dz
dj
T
T
TT
dzExemplos:• eixos de transmissão• seções de grelhas onde o fletor é nulo
Estado de Cisalhamento Puro
yz
yz
A zxyz dAyxT
seção não-circular torcida
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Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
As seções planas permanecem planas após a deformação
Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
Nas solicitações transversais esta hipótese somente é válida no caso de Torção de Seções Circulares.
Exemplos:• seções de vigas em geral
Estado Plano de Tensão
yz
yzzz
Vy Vy
dz
barra fletida com cortante (flexão simples)
A zxx dAV
A yzy dAV
dAyMA zx
A zy dAxM
III.1. Introdução
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yz
yzEstado de Cisalhamento Puro:
0cos sensen cos 0 dAdAdAF yzyzn
sen2cossen2 yzyz
dA
cosdAsendA
0sen sencos cos 0 dAdAdAF yzyzt
2cossencos 22yzyz
Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
III.1. Introdução
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2senyz
yz 4
02cos 02cos2
yzd
d
2cosyz
yz
yzEstado de Cisalhamento Puro:
dA
cosdAsendA
Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
III.1. Introdução
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4 em ,0
4
em ,
e 4
em ,
yzmin
yzmáx 2senyz
2cosyz
yz
yzEstado de Cisalhamento Puro:
dA
cosdAsendA
Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
III.1. Introdução
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02sen 02sen2
yzd
d
yzyz 2
ou 0
yz
yzEstado de Cisalhamento Puro:
dA
cosdAsendA
Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
2senyz
2cosyz
III.1. Introdução
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mente.respectiva
, 2
em e 0 em , yzmáx,min
2 em e 0 em ,0
yz
yzEstado de Cisalhamento Puro:
dA
cosdAsendA
Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
2senyz
2cosyz
III.1. Introdução
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Estado de Cisalhamento Puro:
Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
45º
tyz
tyz
tyz
tyz
tyz
tyz
tyz
tyz
III.1. Introdução
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zz
yz
yz
Estado Plano de Tensão (sy = 0):
dA
cosdA
sendA
Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
0cos sensencos
coscos 0
dAdA
dAdAF
yzyz
zn
sen22cos22
cossen2cos2yz
zzyzz
III.1. Introdução
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zz
yz
yz
Estado Plano de Tensão (sy = 0):
dA
cosdA
sendA
Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
0sen sencos cos
sen cos 0
dAdA
dAdAF
yzyz
zt
2cos2sen2
sencoscossen 22yz
zyzz
III.1. Introdução
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Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
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zz
yz
yz
Estado Plano de Tensão (sy = 0):
dA
cosdA
sendA
pz
yz
2arctan
2
1ou
02cos2sen2
yzzd
d
z
yz
2
2tan
Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
sen22cos22 yz
zz
2cos2sen2 yz
z
III.1. Introdução
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zz
yz
yz
Estado Plano de Tensão (sy = 0):
dA
cosdA
sendA
22
, 22 yzzz
minmáx
Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
sen22cos22 yz
zz
2cos2sen2 yz
z 0
z
yzp
2arctan
2
1 em
III.1. Introdução
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Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
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zz
yz
yz
Estado Plano de Tensão (sy = 0):
dA
cosdA
sendA
Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
sen22cos22 yz
zz
2cos2sen2 yz
z
cyz
z
2arctan
2
1ou
02sen2cos2
yzzd
d
yz
z
2
2tan
III.1. Introdução
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Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
zz
yz
yz
Estado Plano de Tensão (sy = 0):
dA
cosdA
sendA
Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
sen22cos22 yz
zz
2cos2sen2 yz
z
22
, 2 yzz
minmáx
2z
yz
zc
2
arctan2
1 em
III.1. Introdução
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Estado Plano de Tensão (sy = 0):
Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
45º
sz sz
smin
tyz
tyz
tyz
tyzqp
qc
smin
smáx
smáx
tmáx
sz /2
cp
2tan
12tan
Logo,
222
cp
4
cp
III.1. Introdução
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Relações entre Esforços, Tensões, Deslocamentos e Deformações
Estado de Cisalhamento Puro:
Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
A zxx dAV
A yzy dAV
A zxyz dAyxT
z
v
y
wyz
x
w
z
uzx
Gyz
yz
Gzx
zx
III.1. Introdução
yz
yz
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Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
Relações entre Esforços, Tensões, Deslocamentos e Deformações
Estado Plano de Tensão (sy = 0):
Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
dANA z
dAyMA
zx
Azy dAxM
A zxx dAV
A yzy dAV
A zxyz dAyxT
III.1. Introdução
yz
yzzz
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Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
x
ux
y
vy
z
wz
Relações entre Esforços, Tensões, Deslocamentos e Deformações
Estado Plano de Tensão (sy = 0):
Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
z
v
y
wyz
x
w
z
uzx
zyx E
Ez
z
Gyz
yz
Gzx
zx
III.1. Introdução
yz
yzzz
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Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
III.1. Introdução
III.2. Torção de Barras
III.2.1. Seção Circular
III.2.2. Seções Não Circulares
III.3. Flexão Simples de Barras
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Torção de Barras de Seção Circular
III.2. Torção de Barras
Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
dz
dj
T
T gyz
r
R0
onde R é o raio externo da seção
222 yx
x
y
x
yr tzxdA
tyzdA
dA
A seção circular é simétrica em relação a qualquer eixo que contenha o seu cento geométrico.
Assim, qualquer sistema de eixos cartesianos ortogonais com origem no centro do círculo é um sistema de eixos centrais principais.
x
y
xyrdA
ttzdAtrzdAPortanto, as componentes de tensão
de cisalhamento podem ser representadas segundo os eixos radial e tangencial.
ou
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Torção de Barras de Seção Circular
Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
dz
dj
T
T gtz
r
R0
onde R é o raio externo da seção
x
y
xyrdA
ttzdAtrzdA
0A zxx dAV 0 A rzdA
No ponto de coordenadas (-x,-y) deverá haver duas componentes trzdA e ttzdA em sentido contrário às que atuam no ponto de coordenada (x,y).
0A yzy dAV 0 A tzdA
r
trzdAttzdA
y
x
As componentes no sentido radial se anulam e aquelas no sentido tangencial formam um binário.
III.2. Torção de Barras
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Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
Torção de Barras de Seção Circular
Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
dz
dj
T
T gtz
r
R0
onde R é o raio externo da seção
x
y
xyrdA
ttzdA
dz
dGG tztz
Logo,
dzd tz dz
dtz
r
ttzdA
y
x
A tzA zxyz dAdAyxT
AdA
dz
dGT 2
dz
dGIdA
dz
dGT pA
2
ptz IT
ptz I
T p
tz GI
T
III.2. Torção de Barras
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Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
Torção de Barras de Seção Circular
Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
dz
dj
T
T gtz
r
R0
onde R é o raio externo da seção
x
y
xyrdA
ttzdA
r
ttzdA
y
x
ptz I
T p
tz GI
T
ppmáx W
T
I
TR
Wp é o Módulo de Resistência da Seção à Torção e
As tensões e as deformações variam linearmente com r
GIp é o Módulo de Rigidez da Seção à Torção.
p
tz
GI
T
dz
d
ttz
tmáx
tmáx
III.2. Torção de Barras
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Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
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Torção de Barras de Seção Não Circular
Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
As seções planas NÃO permanecem planas após a deformaçãoNa superfície do contorno, não há solicitações tangenciais na direção longitudinal (z) nem direção tangencial (t) - momento atua em torno de z, isto é, no plano r-t.
tzrtzt
ztzr
z
r
t
ttrtztttz
trt
trz
plano da superfície do
contorno
plano da seção transversal
plano da seção longitudinal
0 rtrz tensões na seção
transversal
0 trzr Portanto, nessa superfície, não há também tensões tangenciais nas direções z e t..
III.2. Torção de Barras
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Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
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Torção de Barras de Seção Não Circular
Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
As seções planas NÃO permanecem planas após a deformação
0A zxx dAV 0 0 rzA rzdA
0A yzy dAV 0 A tzdA
ttz
z
tztplano da seção
longitudinal
Na seção transversal, as tensões são auto-equilibradas e tangenciais ao contorno.
III.2. Torção de Barras
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Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
Torção de Barras de Seção Não Circular
Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
As seções planas NÃO permanecem planas após a deformação
A Teoria da Elasticidade, por outro lado, determina que, para todas as seções,
Tmáx W
T
TGI
T
dz
d
eObservações:
onde
WT é o Módulo de Resistência da Seção à Torção,GIT é o Módulo de Rigidez da Seção à Torção eIT é a Constante de Torção da Seção
Para as seções circulares,
pT II e pT WW
A constante de torção IT é também designada por J
III.2. Torção de Barras
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Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
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Torção de Barras de Seção Não Circular
Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
Seção Retangular:
a >= b
b
A máxima tensão ocorre no ponto médio do maior lado do retângulo.
3abIT 2abWT e
Tmáx W
T
TGI
T
dz
d
tmáx
0 5 10 15 20 25 30 35 400
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
a
b
a/b
a = b = 1/3, a/b>10
III.2. Torção de Barras
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Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
Torção de Barras de Seção Não Circular
Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
Perfis Abertos:T
máx W
T
TGI
T
dz
d
a) Perfis de seção formada por retângulos
b1
b2
b3
t3
t2
t1
Cada retângulo i absorve uma parcela do momento Ti .
iTT
Em cada retângulo a máxima tensão ocorre no ponto médio do maior lado e vale
2
3
ii
i
T
imáx tb
T
W
T
i
i
III.2. Torção de Barras
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Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
Torção de Barras de Seção Não Circular
Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
Perfis Abertos:T
máx W
T
TGI
T
dz
d
b1
b2
b3
t3
t2
t1
O ângulo unitário de torção da seção é único.
31
1
3
1 ii
i
T
n
T
i
T
ni
tbG
T
GI
T
GI
T
GI
T
dz
d
dz
d
dz
d
dz
d
ni
a) Perfis de seção formada por retângulos
Logo, para n retângulos,
III.2. Torção de Barras
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Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
Torção de Barras de Seção Não Circular
Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
Perfis Abertos:T
máx W
T
TGI
T
dz
d
b1
b2
b3
t3
t2
t1
Dessa expressão se conclui que
33
33
iiii
i
T
i
tbG
T
tbG
T
GI
T
dz
d
i
T
T
ii
Ti I
TI
tb
TIT ii 3
3e
3
3 iiT
tbI
a) Perfis de seção formada por retângulos
este valor será substituído na expressão da máxima tensão
III.2. Torção de Barras
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Torção de Barras de Seção Não Circular
Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
Perfis Abertos:T
máx W
T
TGI
T
dz
d
b1
b2
b3
t3
t2
t1
Logo,
T
iii
TiiTii
T
ii
imáx I
Tttb
Itb
T
Itb
TI
tb
Ti
i
3
333 3
222
a) Perfis de seção formada por retângulos
(máxima tensão em cada retângulo)
Assim, T
máxmáx I
Tt e
máx
TT t
IW
III.2. Torção de Barras
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Torção de Barras de Seção Não Circular
Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
Perfis Abertos:a) Perfis de seção genérica
Esta seção pode ser considerada como formada por infinitos retângulos de largura Ds e espessura ti.
t
ds
onde S é o comprimento da Linha Média da seção do perfil.
Assim,3
1
3
i
i
T
stI
S
T dstI0
3
3
1
máx
TT t
IW
Tmáx W
T
TGI
T
dz
d
Caso t seja constante, 33StIT e 32StWT
III.2. Torção de Barras
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Torção de Barras de Seção Não Circular
Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
Perfis Fechados (Teoremas de Bredt):T
máx W
T
TGI
T
dz
d
tyz2
tyz1
Em planos ortogonais, as tensões de cisalhamento são iguais e formam binários de sentidos opostos.
dztdAdF yzyzz 11 111
Logo, no elemento infinitesimal, as forças resultantes no sentido longitudinal são:
dztdAdF yzyzz 22 222
dz
ds t1
t2
T
T
dz
III.2. Torção de Barras
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Torção de Barras de Seção Não Circular
Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
Tmáx W
T
TGI
T
dz
d
T
T
dz
tyz2
tyz1
Da condição de equilíbrio dessas forças longitudinais:
21 21tt yzyz
).,( etckN/cm,N/mmtf yzc
Este produto se denomina fluxo cisalhante (fc) e é constante ao longo da seção.
Daí se conclui que a máxima tensão de cisalhamento ocorre nos pontos de menor espessura.
dz
ds t1
t2
Perfis Fechados (Teoremas de Bredt):
III.2. Torção de Barras
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T
T
dz
Torção de Barras de Seção Não Circular
Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
Tmáx W
T
TGI
T
dz
d
tyz2
tyz1
dArrdFdT yz
onde S é o comprimento da Linha Média da seção do perfil
rdF
tdsrdT yz
dz
ds t1
t2
S
yz
S
yz rdsttdsrT00
Perfis Fechados (Teoremas de Bredt):
III.2. Torção de Barras
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Torção de Barras de Seção Não Circular
Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
Tmáx W
T
TGI
T
dz
d
dz
ds t1
t2
x
y
r
ds
tyz2
tyz1
S
yz rdstT0
S
m rdsA02
1Am
2
rdsdAm
tAT yzm2
Perfis Fechados (Teoremas de Bredt):
tA
T
myz 2
Am: área delimitada pela LM da seção
T
T
dz
rdF
III.2. Torção de Barras
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Torção de Barras de Seção Não Circular
Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
Tmáx W
T
TGI
T
dz
d
dz
ds t1
t2
x
y
r
ds
tyz2
tyz1 Am
Perfis Fechados (Teoremas de Bredt):
tA
T
myz 2
1º Teorema de Bredt
Am: área delimitada pela LM da seção
minmmáx tA
T
2
minmT tAW 2
T
T
dz
rdF
III.2. Torção de Barras
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Torção de Barras de Seção Não Circular
Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
Tmáx W
T
TGI
T
dz
d
dz
ds t1
t2tyz2
tyz1
Perfis Fechados (Teoremas de Bredt):
yzyzdV
dU 2
1
A energia potencial de deformação acumulada no elemento de volume infinitesimal dV = t.ds.dz é
tdsdzdU yzyz2
1
Como ,G
yzyz
tdsdz
GdU yz
2
2
1
dzt
dst
GU
L S
yz
0 0
22
2
1 (1)
T
T
dz
rdF
III.2. Torção de Barras
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Torção de Barras de Seção Não Circular
Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
Tmáx W
T
TGI
T
dz
d
dz
ds t1
t2tyz2
tyz1
Perfis Fechados (Teoremas de Bredt):
TddU2
1
Por outro lado, esta energia pode ser escrita como
dzdz
dTU
L
02
1 (2)
T
dj
dz
dT
dz
dU 2
1
dUT
T
dz
rdF
III.2. Torção de Barras
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Torção de Barras de Seção Não Circular
Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
Tmáx W
T
TGI
T
dz
d
dz
ds t1
t2tyz2
tyz1
Perfis Fechados (Teoremas de Bredt):
Igualando as expressões (1) e (2)
LL S
yz dzdz
dTdz
t
dst
G 00 0
22
2
1
2
1
ou
dz
dT
t
ds
G
t Syz 0
22
T
T
dz
rdF
III.2. Torção de Barras
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Torção de Barras de Seção Não Circular
Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
Tmáx W
T
TGI
T
dz
d
dz
ds t1
t2tyz2
tyz1
Perfis Fechados (Teoremas de Bredt):
2º Teorema de Bredt
S
mT
tds
AI
0
24
S
m t
ds
GA
T
dz
d024
dz
dT
t
ds
GA
T S
m
02
2
4Como ,
2 myz A
Tt
Logo,
Caso t seja constante,
S
tAI m
T
24
T
T
dz
rdF
III.2. Torção de Barras
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z1
Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
TGI
T
dz
d
III.2. Torção de Barras
Cálculo dos Deslocamentos
dzGI
Td
T
dz
dj
T
T
T
S1
z2
S2
L
2
121
z
zT
dzGI
T deslocamento relativo entre as seções S1 e S2
L
T
dzGI
T0
deslocamento relativo entre as seções extremas da barra
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III.2. Torção de Barras
Projeto de Barras Torcidas
TT
R
limd
Resistência e Estabilidade: e
R
limd
onde
lim
R
d são, respectivamente, as máximas tensões de cálculo normal e de cisalhamento
são, respectivamente, as tensões limites normal e de cisalhamento (funções dos estados limites considerados) e
é o coeficiente de resistência
e d
e lim
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Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
III.2. Torção de Barras
Projeto de Barras Torcidas
TT
R
limd
Resistência e Estabilidade: e
R
limd
R
lim
T
dd W
T
R
limTd
WT
e
R
lim
T
dd W
T
R
limTd
WT
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III.2. Torção de Barras
Projeto de Barras Torcidas
TTlim
lim
L
T
dzGI
T 0
Rigidez: onde
lim
é o ângulo de torção entre duas seções
é o ângulo de torção limite
Se T for constante ao longo do comprimento, limT
L
GIT
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Fim da Aula 08