Mecânica dos Fluidos

CAPÍTULO 3

Relações integrais para um volume de controle

Nome: Luiz Fernando Tolentino Vargas

Curso: Engenharia Aeronáutica

Matrícula: 11111EAR015

Professor: Aristeu da Silveira Neto.

Uberlândia, julho de 2013

Sumári

oLista de Equações:............................................................................................2

1. Introdução...............................................................................................3

2. Leis físicas básicas da mecânica dos fluidos.............................................3

Sistemas versus volumes de controle............................................................3

Vazão volumétrica e vazão de massa...........................................................4

3. O teorema de transporte de Reynolds.....................................................6

Volume de controle fixo arbitrário................................................................6

4. A equação da quantidade de movimento Linear.....................................8

Sistema de referência não inercial...............................................................9

5. Escoamento sem atrito: a equação de Bernoulli....................................11

6. Referências Bibliográficas......................................................................13

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Lista de Equações:

Equação 1:Conservação da massa..................................................................4Equação 2: Quantidade de movimento linear...............................................4Equação 3: Quantidade de movimento angular............................................4Equação 4: Primeira Lei da Termodinâmica.................................................5Equação 5: Segunda lei da termodinâmica....................................................5Equação 6: Quantidade de fluido deslocado..................................................5Equação 7: Vazão volumétrica total Q...........................................................6Equação 8: Vazão em massa m . � .....................................................................7Equação 9: Quantidade total de B num VC....................................................8Equação 10: Variações de B dentro do volume de controle.........................8Equação 11: TTR para um volume de controle fixo arbitrário.....................8Equação 12: Equação compacta para a superfície de controle....................9Equação 13: Forma compacta do TTR...........................................................9Equação 14: Quantidade de movimento linear para um volume de controle deformável......................................................................................10Equação 15: Aceleração inercial..................................................................10Equação 16: Segunda lei de Newton para coordenadas não inerciais.......11Equação 17: Deslocamento absoluto de uma partícula..............................11Equação 18: Velocidade absoluta.................................................................11Equação 19: Aceleração absoluta.................................................................11Equação 20: Quantidade de movimento linear em coordenadas não inerciais para volumes de controle..............................................................12Equação 21: Conservação de massa.............................................................13Equação 22: Equação de Bernoulli para escoamento sem atrito...............14Equação 23: Equação de Bernoulli Integrada.............................................14

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1. Introdução

Este capítulo trata da análise do movimento dos fluidos através do

método do “volume de controle”, o qual trabalha com uma região finita,

fazendo um balanço dos escoamentos que entram e saem, e determinando

os efeitos globais, tais como a força ou o torque sobre um corpo, ou a troca

total de energia.

2. Leis físicas básicas da mecânica dos fluidos

A análise do volume de controle é baseada em valores médios ou

“unidimensionais” das propriedades dos contornos. Ela sempre fornece

estimativas úteis à engenharia.

Sistemas versus volumes de controle

As leis da mecânica descrevem um sistema, o qual é separado de

suas vizinhanças pela sua fronteira e possui quantidade fixa de massa,

denotada por m. Então tem-se a lei da conservação da massa:

msistema=constante

Equação 1:Conservação da massa.

∴ dmdt

=0

Complementarmente, se as vizinhanças exercem uma força

resultante F sobre o sistema, a segunda Lei de Newton estabelece que a

massa do sistema começará a acelerar:

Equação 2: Quantidade de movimento linear.

F=ma=mdVdt

= ddt

(mV )

Mas também se as vizinhanças exercem um momento resultante M

em relação ao centro de massa do sistema, haverá um efeito de rotação

3

Equação 3: Quantidade de movimento angular.

M=d Hdt

em que H=∑ (r xV )δm representa a quantidade de movimento angular do

sistema em relação a seu centro de massa.

Em um sistema, se uma quantidade de calor δQ é transferida ou um

trabalho δW é realizado pelo sistema, a energia dE do sistema deve variar

de acordo com a relação de energia, ou primeira lei da termodinâmica,

Equação 4: Primeira Lei da Termodinâmica.

δQ−δW=dE

Ou

Q−W=dEdt

Esta última equação tal como a equação da conservação da massa,

representa uma relação escalar, com um único componente.

Por fim, a segunda lei da termodinâmica relaciona a variação de

entropia dS com o calor transferido δQ e a temperatura absoluta T :

Equação 5: Segunda lei da termodinâmica.

dS ≥δQT

O volume de controle é uma parcela material separada para análise,

a qual tem massa que pode variar como tempo. Um V.C admite fluxo de

massa por usa superfície de controle.

Vazão volumétrica e vazão de massa

Neste capítulo, as análises envolvem a vazão volumétrica Q ou a

vazão em massa m que atravessa uma superfície(imaginária) definida no

escoamento.

Suponha que um fluido passa sem resistência por uma superfície S.

Se V varia com a posição, devemos integrar sobre a superfície elementar dA

mostrada na figura. Além disso, V pode travessar dAcom um ângulo θ em

relação à normal. Seja n o vetor unitário normal a dA . Então, à quantidade

4

de fluido deslocado através de dA durante o tempo dt corresponde o

volume do paralelepípedo inclinada da figura 1a:

Equação 6: Quantidade de fluido deslocado.

dV = V dtdAcosθ=(V .n )dAdt

Figura 1: Vazão volumétrica do escoamento através de uma superfície arbitrária:(a) uma área elementar dA sobre a superfície;(b) o volume incremental de fluido deslocado através de dA.

A integral de dVdt

é a vazão volumétrica total Q através da superfície

S:

Equação 7: Vazão volumétrica total Q.

Q=∫s

❑

(V .n )dA=∫s

❑

V ndA

Visto que, V .n representa um fluxo de saída, se for positivo, e um

fluxo de entrada, se for negativo. Sendo V n o seu equivalente na direção

normal a dA .

Análise da equação 7:

V ndA>0quando0 °<θ<90 °

V ndA<0quando90 °<θ<180 °

Quando:

θ=0 ° a vazão é máxima.

θ=90 ° avazão é zero .

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A vazão volumétrica pode ser multiplicada pela massa específica

para obter a vazão em massa m. Se a massa específica variar sobre a

superfície, deverá fazer parte da integral de superfície:

Equação 8: Vazão em massa m . �

m=∫s

❑

ρ (V .n )dA=∫s

❑

ρV ndA

Se a massa específica for constante, ela pode sair de integração,

resultando uma proporcionalidade direta: m=ρQ=ρAV .

3. O teorema de transporte de Reynolds.

O objetivo do transporte de Reynolds é estabelecer uma relação

entre sistema e volume de controle de forma a aplicar as leis da mecânica

clássica e termodinâmica também para o volume de controle.

Volume de controle fixo arbitrário

A figura 2 mostra um volume de controle fixo generalizado, com um

escoamento de padrão arbitrário que o atravessa. Há partes variáveis de

fluxo de entrada e de saída, ao longo da superfície de controle. Em geral, em

cada elemento de área dA da superfície haverá uma velocidade V diferente,

formando um diferente ângulo θcom a normal local a dA .

Figura 2: Um volume de controle arbitrário com um padrão arbitrário de escoamento.

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Seja B uma propriedade qualquer do fluido e β=dBdm

a grandeza

intensiva correspondente. A quantidade total de Bno volume de controle é,

portanto

Equação 9: Quantidade total de B num VC.

Bvc=∫vc

❑

βdm=∫vc

❑

βρd V

Analisando a figura anterior, vemos três fontes de variações em B

relacionadas com o volume de controle:

Equação 10: Variações de B dentro do volume de controle.

Uma variação no interior do volume de controle

ddt (∫vc

❑

βρdV ) Fluxo de saída de β no volume de controle

∫sc

❑

βρVcosθd A saída

Fluxo de entrada de βno volume de controle

∫sc

❑

βρVcosθd Aentrada

As notações VC e SC referem-se ao volume de controle e à superfície

de controle, respectivamente.

No limite quando dt→0, a variação instantânea de B no sistema é a

soma de sua variação no interior do VC, mais o seu fluxo que sai, menos o

fluxo que entra:

Equação 11: TTR para um volume de controle fixo arbitrário.

ddt

(B sist )=ddt (∫vc

❑

βρdV )+ ∫sc

❑

βρVcosθd A saída+ ∫sc

❑

βρVcosθd Aentrada

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Fazendo B ser a massa, a quantidade de movimento linear ou

angular ou a energia, podemos reescrever todas as leis básicas na forma de

volume de controle. Reescrevendo a equação anterior, obtemos

Termos de fluxo=∫sc

❑

βρV nd A saída−∫sc

❑

βρV nd Aentrada=¿∫sc

❑

β dmsaída−∫sc

❑

β d mentrada

Em que d m=ρV ndA representa o elemento de fluxo de massa

através da superfície.

Outra simplificação da equação 11 pode ser obtida, considerando

V .n=V n na saída e V .n=−V n na entrada. Logo

Equação 12: Equação compacta para a superfície de controle.

Termos de fluxo=∫sc

❑

βρ(V .n)dA

A forma compacta do teorema de transporte de Reynolds é, portanto,

Equação 13: Forma compacta do TTR.

ddt

(B sist )=ddt (∫vc

❑

βρdV )+∫sc

❑

βρ(V .n)dA

4. A equação da quantidade de movimento Linear

Na segunda Lei de Newton, a propriedade que está sendo

diferenciada é a quantidade de movimento linear mV . Portanto, nossa

variável muda é B=mV e β=d Bdm

=V , e a aplicação do teorema do

transporte de Reynolds nos fornece a relação da quantidade de movimento

linear para um volume de controle deformável:

Equação 14: Quantidade de movimento linear para um volume de controle

deformável.

ddt

(mV )sist=∑ F=ddt (∫vc

❑

VρdV )+∫sc

❑

Vρ(V r . n)dA

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Os pontos relacionados a seguir, concernentes a essa relação,

devem ser fortemente enfatizados:

1. A grandeza V é a velocidade do fluido em relação a um

referencial inercial.

2. O termo ∑ F é a soma vetorial de todas as forças atuantes

no volume de controle material, considerando como um

corpo livro.

3. A equação inteira é uma relação vetorial.

Sistema de referência não inercial

Figura 3: Geometria de coordenadas fixas versus coordenadas sob aceleração.

Considere que o escoamento de um fluido tem velocidade V

relativa a um sistema de coordenadas não inercial xyz, como mostra a figura

3. Então dVdt

representará uma aceleração não inercial que deve ser

adicionada vetorialmente a uma aceleração arel para se obter a aceleração a i

em relação a algum sistema de coordenadas inercial XYZ . Logo

Equação 15: Aceleração inercial.

a i=dVdt

+arel

Aplicando a segunda lei de Newton:

∑ F=mai=m¿

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Equação 16: Segunda lei de Newton para coordenadas não inerciais.

∑ F−marel=mdVdt

O deslocamento absoluto da partícula é

Equação 17: Deslocamento absoluto de uma partícula.

Si=r+R

A derivada fornece a velocidade absoluta

Equação 18: Velocidade absoluta.

V i=V + d Rdt

+Ωx R

A segunda diferenciação fornece a aceleração absoluta;

Equação 19: Aceleração absoluta.

a i=ddt

V + d2 Rd t2

+ ddt

Ω x R+2Ωx V +Ω x(Ωx R)

Sendo:

a.d2Rd t 2

a aceleração da origem das coordenadas não

inerciais xyz.

b.ddt

Ω x R o efeito da aceleração angular.

c. 2Ω xV a aceleração de Coriolis.

d. Ω x (Ω x R) é a aceleração centrípeta.

Logo, a formulação de volume de controle da quantidade de

movimento linear, em coordenadas não inerciais, meramente adiciona

termos inerciais resultantes da integração das acelerações relativas

adicionais sobre cada elemento de massa do volume de controle.

Equação 20: Quantidade de movimento linear em coordenadas não inerciais para

volumes de controle.

∑ F−∫vc

❑

aℜ ldm=ddt (∫vc

❑

V ρdV )+∫sc

❑

V ρ(V r .n)dA

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5. Escoamento sem atrito: a equação de Bernoulli

Estreitamente relacionada à equação da energia para escoamento

permanente, existem uma relação entre pressão, velocidade e elevação para

um fluido sem atrito, conhecida como a equação de Bernoulli.

Considere-se, na figura 4, um volume de controle formado por um

tubo de corrente elementar, fixo, de área variável A(s) e de comprimento ds

, em que s é uma coordenada natural na direção das linhas de corrente. As

propriedades (ρ ,V , p) podem variar com se com o tempo, mas são

consideradas uniformes sobre a seção transversal A. A orientação θ do tubo

de corrente é arbitrária, com uma variação de elevação dz=ds senθ. O atrito

no tube de corrente está mostrado, mas é desprezado – uma hipótese

altamente restritiva. Observe que, no limite quando a área tenta a zero, o

tubo de corrente é equivalente a uma linha de corrente de escoamento. A

equação de Bernoulli é valida para ambos e usualmente é enunciada como

válida “ao longo de uma linha de corrente” em escoamento sem atrito.

A conservação da massa, para esse volume de controle elementar,

se conduz a

ddt (∫vc

❑

ρdϑ )+msai−ment=0≈∂ ρ∂t

dϑ+dm

Figura 4: A equação de Bernoulli para escoamento sem atrito ao longo de uma linha de corrente: (a)forças e fluxos;(b) força líquida de pressão após subtração uniforme de p.

Em que m = ρAV e dϑ ≈ Ads. Logo, nossa forma desejada para a

conservação da massa é

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Equação 21: Conservação de massa.

d m=d ( ρAV )=∂ ρ∂ t

Ads

Essa relação não requer a hipótese de escoamento sem atrito.

A relação da quantidade de movimento linear na direção das linhas

de corrente é:

∑ d F s=ddt (∫vc

❑

Vρdϑ )+(mV )sai−(mV ent)=0≈∂ ( ρV )∂ t

Ads+d (mV )

Em que V s=V , pois s está na direção da própria linha de corrente.

Desprezando a força devido ao cisalhamento nas paredes, as forças se

devem à pressão e à gravidade:

d F s , grav=−dP senθ=−γAdz

d F s , press=12dPdA−dP (A+dA )≈−AdP

Substituindo esses dois termos de força na relação de quantidade

de movimento linear:

∑ d F s=−γAdz−AdP= ∂∂ t

( ρV ) Ads+d (mV )=∂ ρ∂t

VAds+ ∂V∂ t

ρAds+m dV +Vd m

O primeiro e o último termo da direita se cancelam, em virtude da

relação da continuidade. Dividindo o que resta por ρA e rearranjando,

obtém-se a relação final desejada:

Equação 22: Equação de Bernoulli para escoamento sem atrito.

∂V∂ t

ds+ dpρ

+VdV +gdz=0

Essa é a equação de Bernoulli para escoamento sem atrito, não

permanente, ao longo de uma linha de corrente. Ela está numa forma

diferencial e pode ser integrada entre dois pontos 1 e 2 quaisquer sobre a

linha de corrente:

Equação 23: Equação de Bernoulli Integrada.

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∫1

2∂V∂ t

ds+∫1

2dpρ

+12(V 2

2−V 12)+g(z2−z1)=0

A equação de Bernoulli é uma relação de forças baseadas na

quantidade de movimento e foi deduzida usando as seguintes hipóteses

restritivas:

1. Escoamento permanente.

2. Escoamento incompressível.

3. Escoamento sem atrito.

4. Escoamento ao longo de uma única linha de corrente.

A dedução de Bernoulli não leva em conta as possíveis trocas de

energia devidas a calor ou trabalho.

6. Referências Bibliográficas.

White, F. Mecânica dos Fluidos, McGraw Hill, RJ, 1991.

Fox & McDonald. Introdução à Mecânica dos Fluidos, LTC.

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