UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDECENTRO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA

UNIDADE ACADEMICA DE FÍSICAPÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA

Mecânica Quântica III

Professor: Rômulo Rodrigues

Aluno: Diego Barros

Objetivos

• Calculo dos comutadores das matrizes de rotação abaixo usando o programa MAPLE

e

• Calculo dos comutadores dos momentos angulares abaixo a partir dos comutadores das matrizes de rotação

e

ˆ ˆ( ), ( )y zR R ˆ ˆ( ), ( )x zR R

ˆ ˆ,y zJ J ˆ ˆ,x zJ J

2 ˆˆ ˆ ˆ( ), ( ) ( ) 1y z xR R R

ˆˆˆ( ( )) 1

ˆˆˆ( ( )) 1

yy

zz

JD R i

JD R i

2 ˆˆ ˆ ˆ( ( )), ( ( )) ( ( )) 1y z xD R D R D R

Consequência do postulado do mesmo grupo

Análogo a teorias de translação e evolução temporal, temos:

Usando a subroutina conSakurai escrita em MAPLE encontramos o comutador:

2ˆ ˆˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ1 ,1 1 1y xzJ JJ

i i i

Assim:

2

22

22

ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ1,1 1, ,1 ,

ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ1,1 1, ,1 ,

ˆˆ ˆ,

ˆ ˆ ˆ,

y yz z z

xz y y z

xy z

y z x

J JJ J Ji i i i i

Ji i iJ J J J i

JiJ J i

J J i J

Usando propriedades do comutador, obtemos:

2ˆˆ ˆ ˆ( ), ( ) 1 ( )x z yR R R

2ˆˆ ˆ ˆ( ( )), ( ( )) 1 ( ( ))x z yD R D R D R

ˆˆˆ( ( )) 1

ˆˆˆ( ( )) 1

xx

zz

JD R i

JD R i

Analogamente:

Consequência do postulado do mesmo grupo:

Sabemos que:

Resultado obtido via conSakurai

2ˆˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ1 ,1 1 1 yx zJJ J

i i i

Assim:

2

22

22

ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ1,1 1, ,1 ,

ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ1,1 1, ,1 ,

ˆˆ ˆ,

ˆ ˆ ˆ,

yx xz z

yz x x z

yx z

x z y

JJ JJ Ji i i i i

Ji i iJ J J J i

JiJ J i

J J i J

Novamente usando propriedades do comutador, obtemos:

ˆ ˆ ˆ,i j ìjk kJ J i J

1 3 132 2ˆ ˆ ˆ,

ˆ ˆ ˆ, ( 1)

ˆ ˆ ˆ,

x z y

x z y

J J i J

J J i J

J J i J

2 3 231 1ˆ ˆ ˆ,

ˆ ˆ ˆ, (1)

ˆ ˆ ˆ,

y z k

y z k

J J i J

J J i J

J J i J

Vamos verificar nosso resultado com a relação de comutação, dada por:

123

132

1

1

123

213

231

1

1

1

Sabemos que:

Permutando 3 com 2

Analogamente:

Permutando 2 com 1

Permutando 3 com 1

OBS: Calculo do símbolo de Levi-Civita