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MECANICA Y ONDAS
Tema 4
II
Indice general
4. Sistemas de partıculas 14.1. Conservacion de la energıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54.2. El teorema del virial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74.3. El problema de dos cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84.4. Colision de partıculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.4.1. Colisiones frontales. Coeficiente de restitucion. . . . . . . . . . . . . . . . 114.4.2. Colision de partıculas de la misma masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.5. Osciladores acoplados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.5.1. Vibraciones lineales. Calculo de los modos normales. . . . . . . . . . . . . 144.5.2. Figuras de Lissajous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.5.3. Vibraciones forzadas y modos normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.6. Principio de propulsion en cohetes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.6.1. Cohete en el espacio libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.6.2. Movimiento del cohete en gravedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.6.3. La ecuacion de Meshchersky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.7. Las ecuaciones del movimiento de sistemas para N ≥ 3 . . . . . . . . . . . . . . . 254.8. La reduccion del problema de tres cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.9. El problema restringido circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
III
IV INDICE GENERAL
Capıtulo 4
Sistemas de partıculas
Hasta este instante, salvo alguna excepcion, se han considerado sistemas consistentes en unaunica partıcula libre o sujeta a fuerzas externas. En este apartado tratamos sistemas multiples,es decir, consistentes en un numero arbitrario N de partıculas. En ocasiones, bien el numero Nes de tal magnitud o las interacciones entre las partıculas de tal naturaleza, que resulta pocopractico, o incluso imposible, determinar el movimiento aislado de cada una de las partıculas.Ejemplos de tales sistemas vienen dados por ejemplo por los atomos en una molecula o enuna mezcla de gases, o las moleculas en una red cristalina. En tales circunstancias, es habitualagrupar las partıculas en sistemas puntuales.
Sea S un sistema consistente en N partıculas de masa mi, posicion ri y fuerza Fi que actua sobrecada partıcula para i = 1, .., N , respectivamente. Para cada una de estas partıculas tenemos lasecuaciones del movimiento
Fi = mi ri, 1 ≤ i ≤ N. (4.0.1)
Toda fuerza que no provenga de la posible interaccion entre las partıculas se dira que es unafuerza externa, mientras que las fuerzas debidas a la interaccion se llamaran internas. Un sistemaen el cual no existan fuerzas externas se llama sistema cerrado. Usualmente, en la mecanica seconsideran fuerzas internas entre dos partıculas, es decir, la fuerza Fij que ejerce una partıculade masa mi sobre la partıcula de masa mj , ignorando el resto de partıculas. Claramente se tieneFij + Fji = 0 para cada par (i, j), conforme a la tercera ley de Newton.1 De acuerdo con esteconvenio, las fuerzas Fi que experimenta cada masa puntual puede descomponerse de la forma
Fi =∑i 6=j
Fij + F(e)i , (4.0.2)
donde F(e)i designa la fuerza externa. Por tanto, la fuerza que actua sobre la partıcula i-esima
es la suma de las fuerzas de interaccion por pares Fij y la fuerza externa.
Dado que las fuerzas y aceleraciones son de caracter vectorial, tiene sentido formal considerarla suma
N∑i=1
mi ri =
N∑i=1
Fi =
n∑i=1
(Fij + F
(e)i
)=
n∑i=1
F(e)i . (4.0.3)
1Cabe notar que nuevamente se trata de una simplificacion de la interaccion entre las partıculas. En multitud defenomenos dicha simplificacion no es viable.
1
2
Puesto que las fuerzas internas se cancelan mutuamente, el resultado es la suma de las fuerzasexternas. Este hecho sugiere la idea de simplificar la situacion a una ya analizada para lossistemas aislados. Con este fin, se define la masa total del sistema por
M =
N∑i=1
mi. (4.0.4)
El vector2
s =1
M
N∑i=1
miri (4.0.5)
corresponde al vector de posicion del llamado centro de masas del sistema. En este punto (que notiene que pertenecer formalmente al sistema) se supone concentrada toda la masa del sistema.De la ecuacion anterior es inmediato deducir (para masas constantes)
M s =
N∑i=1
F(e)i . (4.0.6)
Por tanto, el centro de masas esta caracterizado por concentrar la masa del sistema, y sobre elsolo actuan las fuerzas externas, quedando las fuerzas internas anuladas por compensacion. Eneste sentido, se ha reducido la descripcion dinamica del sistema al estudio de la dinamica de sucentro de masas, que corresponde a un sistema formado por una unica “partıcula”. Este hechojustifica la relevancia del estudio de sistemas aislados. Es importante destacar que el centro demasas no es una propiedad geometrica del sistema, como lo es el baricentro, sino una propiedadde la distribucion de la masa.
La introduccion del centro de masas nos proporciona una posibilidad adicional de referencia, lallamada referencia centro de masas. En ella, el origen de la referencia se situa en el centro demasas, mientras que los ejes se eligen de forma que no roten con respecto a un sistema inercial.Aunque en general esta referencia no es un sistema inercial, para un sistema cerrado, la referenciacentro de masas es simultaneamente una referencia inercial.Si consideramos el momento angular para cada una de las partıculas del sistema y sumamossobre todo el sistema, obtenemos la ecuacion
N∑i=1
ri ×mi ri =N∑i=1
ri × Fi =N∑i=1
ri ×
∑i 6=j
Fij + F(e)i
. (4.0.7)
Recordemos que el primer sumando puede escribirse como derivada respecto del tiempo (veasela ecuacion (??)). Por tanto
d
dt
(N∑i=1
ri ×miri
)=
N∑i=1
ri ×
∑i 6=j
Fij + F(e)i
. (4.0.8)
2Observamos que para sistemas continuos tambien puede definirse una nocion analoga, reemplazando las sumasfinitas por integrales indefinidas, teniendo ademas en cuenta la densidad σ del sistema.
3
En el sumando de la izquierda reconocemos la suma de los momentos angulares de las partıculas,que conviene aglutinar como el momento angular total
L =
N∑i=1
Li =
N∑i=1
mi (ri × ri) . (4.0.9)
Analicemos el sumando a la derecha. Teniendo en cuenta las propiedades de las fuerzas internas,tenemos que
N∑i=1
ri×
∑i 6=j
Fij + F(e)i
=N∑i=1
ri×F(e)i +
N∑i=1
∑i 6=j
ri×Fij =N∑i=1
ri×F(e)i +
N∑i=1
∑i<j
(ri − rj)×Fij .
(4.0.10)El termino (ri − rj)× Fij se anula para cada par, dado que, generalmente, las fuerzas internasFij actuan a lo largo de la recta que une ambas partıculas.
Figura 4.1: Anulacion de fuerzas de interaccion en la lınea de union.
En consecuencia, la ecuacion (4.0.8) se reformula mediante
d L
dt=
N∑i=1
ri × F(e)i . (4.0.11)
Esto significa que la variacion temporal del momento angular total coincide con la suma de losmomentos dinamicos de las fuerzas externas o momento dinamico externo. Con esta identidad,estamos en situacion de enunciar la ley de conservacion para sistemas de partıculas:
Conservacion del momento angular total: El momento angular total L no varıa tempo-ralmente si el momento dinamico externo es nulo. En particular, en todo sistema cerrado severifica
d L
dt= 0. (4.0.12)
4
El hecho notable de esta ley de conservacion es que el momento angular no depende de lainteraccion entre las partıculas del sistema.
Es importante darse cuenta de que la identidad (4.0.11) es vectorial. Puede darse el caso de queel momento dinamico externo no sea un vector nulo, pero sı tenga alguna componente igual acero. En este caso, la correspondiente componente del momento angular total L se conserva.
Las conclusiones anteriores son una consecuencia de suponer que se verifica la tercera ley de New-ton. No todo sistema cumple esta importante condicion. En un sistema formado por partıculascargadas, no serıa el momento angular total mecanico la cantidad conservada, sino la suma deeste y el “momento angular” electromagnetico. Informacion mas precisa sobre este particularpuede hallarse, por ejemplo, en [13].
Una propiedad relevante de los sistemas de partıculas es que la identidad para el momentoangular se satisface, de forma inalterada, en la referencia centro de masas, aun cuando esta noconstituya un sistema inercial. Supongamos que Rcm es la referencia centro de masas. Para cadapartıcula mi, el vector de posicion se reescribe como
ri = s + r′i.
Multiplicando por mi y sumando se sigue
N∑i=1
miri =
N∑i=1
mi s+
N∑i=1
mir′i.
De la definicion del vector s es inmediato comprobar que
N∑i=1
mir′i = 0. (4.0.13)
En esta referencia, la ecuacion (4.0.7) tiene la forma
N∑i=1
(s + r
′i
)×mi
(s + r
′i
)= s×
N∑i=1
mis+
N∑i=1
mir′i × r
′i =
N∑i=1
(s + r
′i
)× F
(e)i . (4.0.14)
Utilizando (4.0.6) la expresion puede simplificarse a
N∑i=1
mir′i × r
′i =
N∑i=1
r′i × F
(e)i , (4.0.15)
de la cual se deduce, mediante derivacion con respecto al tiempo, la identidad siguiente:
d L′
d t=
d
d t
(N∑i=1
mir′i × r
′i
)=
N∑i=1
r′i × F
(e)i . (4.0.16)
La comparacion con la ecuacion (4.0.8) demuestra que en ambas referencias la expresion es lamisma.
5
4.1. Conservacion de la energıa
De forma similar a como se hizo para el caso de sistemas aislados, analizamos la ecuacion de laenergıa para sistemas de N partıculas. Multiplicando escalarmente la ecuacion del movimientode cada partıcula y sumando el resultado llegamos a la ecuacion
N∑i=1
mi ri · ri =
N∑i=1
Fi · ri =
n∑i,j=1
(Fij · ri + F
(e)i · ri
). (4.1.1)
Empleando la relacion (??), es inmediato comprobar que la energıa cinetica T del sistema vienedada por
T =1
2
N∑i=1
mi r2i . (4.1.2)
De este modo tenemos que la parte izquierda de (4.1.1) es una derivada temporal. Con el fin deexpresar tambien la parte derecha de esta ecuacion como una derivada temporal, es necesarioque exista un potencial U (r1, · · · , rN ) tal que
N∑i=1
Fi · ri = −dU
d t= −
N∑i=1
gradiUdrid t
. (4.1.3)
Esta expresion es equivalente a la condicion
Fi = −gradiU , 1 ≤ i ≤ N. (4.1.4)
La notacion gradiU se refiere al hecho de que las derivadas parciales deben tomarse para lascoordenadas de la partıcula i-esima. De forma mas precisa, si las coordenadas de la partıculai-esima son
(xi1, x
i2, x
i3
), donde 1 ≤ i ≤ N , entonces podemos visualizar el potencial U como una
aplicacion diferenciable
U : R3N ' R3 × N· · · × R3 −→ R(x1
1, x12, x
13; · · · , xN1 , xN2 , xN3
)7→ U
(x1
1, x12, x
13; · · · , xN1 , xN2 , xN3
) (4.1.5)
En consecuencia
dU =∂U
∂x11
dx11 +
∂U
∂x12
dx12 +
∂U
∂x13
dx13 + · · ·+ ∂U
∂xN1dxN1 +
∂U
∂xN2dxN2 +
∂U
∂xN3dxN3 . (4.1.6)
Definiendo ahora para cada 1 ≤ i ≤ N el vector
gradiU =
(∂U
∂xi1,∂U
∂xi2,∂U
∂xi3
), (4.1.7)
deducimos inmediatamente la ecuacion (4.1.3). En particular, el sistema (4.1.4) esta formado por3N ecuaciones. Con la nomenclatura anterior, es rutinario comprobar que la condicion necesariay suficiente para que exista un potencial (4.1.5) es la nulidad de los N rotacionales
rotiFi = 0, 1 ≤ i ≤ N. (4.1.8)
6 4.1. CONSERVACION DE LA ENERGIA
De la misma forma que en el caso de partıculas aisladas (N = 1), dividimos la fuerza en suspartes conservativa y disipativa:
Fi = Fi,cons + Fi,dis. (4.1.9)
Esto permite reescribir la formula (4.1.1) de forma abreviada como
d
d t(T + U) =
N∑i=1
Fi,dis · ri. (4.1.10)
Este es el teorema de la energıa para sistemas de partıculas: La variacion temporal de la energıadel sistema es igual a la suma de las potencias de las fuerzas disipativas.En ausencia de fuerzas disipativas, obtenemos la ley de conservacion de la energıa
T + U = E. (4.1.11)
Para terminar la descripcion, expresamos el potencial U teniendo en cuenta la separacion de las
fuerzas Fi en componentes internas y externas. Puesto que la fuerza externa F(e)i solo depende del
vector ri, el potencial correspondiente Ui solo depende de estas coordenadas. Para las fuerzasde interaccion, dado que hemos supuesto la tercera ley de Newton, Fij = −Fji, el potencialcorrespondiente Uij = Uji solo puede depender de la distancia entre ri y rj , es decir,
Uij = Uij (‖|ri − rj |‖) , (4.1.12)
de acuerdo con la identidad
Fij = −gradi Uij = gradj Uji = −Fji. (4.1.13)
Para cada par (i, j) ∈ 1, · · · , N × 1, · · · , N, el potencial Uij recibe el nombre de potencialde interaccion. El potencial total U satisface por tanto la descomposicion
U (r1, · · · , rN ) =
N∑i=1
Ui (ri) +1
2
∑i 6=j
Uij (‖|ri − rj |‖) . (4.1.14)
El segundo termino de esta ecuacion se denomina comunmente como energıa potencial interna opotencial de interaccion del sistema, dado que hace referencia a la interaccion entre las partıculas.Este termino no tiene que ser nulo, y, generalmente, varıa con el tiempo. Tan solo para sistemasde un tipo especial, llamados solidos rıgidos, que estudiaremos mas adelante, el potencial deinteraccion permanece constante.3
En adelante, se entendera por sistema conservativo todo sistema mecanico que admita un po-tencial y donde la suma total de las energıas cineticas y potenciales sea una constante delmovimiento. Para tales sistemas, diremos que la fuerza es conservativa.4
Para uso posterior, definimos como espacio de configuracion del sistema el espacio de dimension3N cuyas coordenadas
(x1
1, x12, x
13; · · · , xN1 , xN2 , xN3
)son las coordenadas de posicion de las N
partıculas.
3Provisionalmente entenderemos por solido rıgido un sistema en el cual las distancias entre las partıculas sean fijase invariantes temporalmente.
4Es importante indicar que la mera existencia de un potencial para un campo de fuerzas no implica que el sistemasea conservativo, aunque admita constantes del movimiento. Comparese con la caracterizacion obtenida en (??).
7
4.2. El teorema del virial
El teorema del virial es un postulado de naturaleza estadıstica que resulta de gran utilidad ensistemas de partıculas. Concretamente, proporciona los valores medios temporales de cantidadesmecanicas. En particular, permite deducir de forma alternativa diversas propiedades de lasfuerzas centrales.Partiendo de las ecuaciones del movimiento para cada partıcula del sistema, consideramos lacantidad
G =N∑i=1
mi ri · ri. (4.2.1)
La derivada total de G es5
dG
d t=
N∑i=1
(miri · ri +mi ri · ri) . (4.2.2)
El primer termino puede reescribirse, teniendo en cuenta las ecuaciones del movimiento, como
N∑i=1
miri · ri =N∑i=1
Fi · ri, (4.2.3)
mientras que el segundo termino corresponde simplemente al doble de la energıa cinetica T delsistema. Por tanto
dG
d t=
N∑i=1
Fi · ri + 2T. (4.2.4)
El valor medio temporal de (4.2.4) en un intervalo τ se obtiene integrando en t = 0, · · · , τ ydividiendo por τ :
dG
d t=
1
τ
∫ τ
0
dG
d tdt =
G (τ)−G (0)
τ= 2T +
N∑i=1
Fi · ri. (4.2.5)
En la hipotesis de que el movimiento esta acotado espacialmente y que las velocidades sonfinitas,6 se verifica siempre que
lımτ→∞
1
τ
∫ τ
0
dG
d tdt = 0, (4.2.6)
lo que permite reducir la ecuacion (4.2.5) a
T = −1
2
N∑i=1
Fi · ri. (4.2.7)
La ecuacion (4.2.7) se conoce como teorema del virial.7 Para el caso de sistemas conservativos,aplicando la relacion (4.1.4), el teorema virial se expresa mediante
T =1
2
N∑i=1
gradiU · ri. (4.2.8)
5Supuesto que todas las masas son constantes.6Movimientos tales como la trayectoria hiperbolica de un cometa quedan por tanto excluidos de este tratamiento.7En la teorıa cinetica de gases, el sumando a la derecha de la ecuacion se conoce como virial de Clausius. La ley de
Boyle se deduce facilmente de esta relacion. Vease por ejemplo [17] o la tercera edicion del texto de Goldstein.
8 4.3. EL PROBLEMA DE DOS CUERPOS
De este modo, el valor medio temporal de la energıa cinetica del sistema es igual a la mitad delvirial del sistema. Dependiendo de la forma especıfica del potencial U , la expresion del virialpuede simplificarse sucesivamente.
Ejemplo 1. Como caso trivial del teorema del virial, consideramos el oscilador armonico conpotencial U = k
2x2. En este caso
T =1
2gradU · x =
1
2k x2 = U,
es decir, el valor medio de la energıa cinetica coincide con el valor medio de la energıa potencial,como sabemos de secciones anteriores.
En el marco de la mecanica teorica, el teorema del virial es unos de los fundamentos utilizadosen el estudio de la estabilidad del problema de n-cuerpos. Entre otras propiedades, su aplicacionpermite determinar la masa de cuerpos celestes en sistemas estelares extragalacticos [12, 16].
4.3. El problema de dos cuerpos
Supongamos dos cuerpos celestes (tıpicamente una estrella y un planeta) de masas m1 y m2
respectivamente, sobre los cuales la unica fuerza que actua es la atraccion gravitatoria, quecorresponde a una fuerza de interaccion. En estas condiciones, la referencia centro de masas esun sistema inercial, y es conveniente considerarla. Dado que s = (m1r1 +m2r2) / (m1 +m2), elorigen de la referencia viene determinado por la condicion
m1r1 +m2r2 = 0. (4.3.1)
Dado que la fuerza interna F12 es la de gravitacion (??), se deduce que el potencial de interacciones
U12 = −γ m1m2
‖r1 − r2‖. (4.3.2)
Es inmediato comprobar que
grad1U12 = −γm1m2r2 − r1
‖r1 − r2‖3= −grad2U21, (4.3.3)
por lo que la relacion (4.1.13) se verifica. Las ecuaciones del movimiento son, en forma vectorial,
m1r1 = γm1m2r2 − r1
‖r1 − r2‖3, m2r2 = γm1m2
r1 − r2
‖r1 − r2‖3. (4.3.4)
Se trata de un sistema (acoplado) no lineal de seis ecuaciones diferenciales ordinarias de segundoorden. Aunque no es complicado resolver este sistema, podemos simplificar el calculo teniendo encuenta la relacion (4.3.1) y los terminos comunes de (4.3.4). Consideramos las nuevas coordenadas(relativas) r = r1−r2, de las que se obtiene facilmente que r = r1− r2 y r = r1− r2. La ecuacion(4.3.4) se transforma en
m1r1 = −γm1m2r
‖r‖3, m2r2 = γm1m2
r
‖r‖3, (4.3.5)
9
de acuerdo con m1r1 +m2r2 = 0.8 Despejando r1 y r2 obtenemos la relacion
r = −γ(m1 +m2
m1m2
)m1m2
r
‖r‖3. (4.3.6)
Esta ecuacion puede interpretarse como el movimiento de una partıcula de masa µ = m1m2m1+m2
en el campo gravitatorio de un cuerpo central en reposo de masa m1 + m2.9 Una expresionequivalente de (4.3.6) es la ecuacion
µ r = −γm1m2r
‖r‖3. (4.3.7)
Por las leyes de conservacion, sabemos que la trayectoria de r esta contenida en un plano. Dehecho, puede comprobarse sin dificultad que la solucion de la ecuacion (4.3.7) es una seccionconica.10 La trayectoria de los dos cuerpos se deducen de las relaciones anteriores, y son igualesa
r1 =m2
m1 +m2r, r2 = − m1
m1 +m2r. (4.3.8)
Si, por ejemplo, r describe una elipse, las trayectorias r1 y r2 son a su vez elipses, en uno decuyos focos se situa el centro de masas, y donde los ejes satisfacen la relacion de proporcionalidad
‖r1‖‖r2‖
=m2
m1. (4.3.9)
Figura 4.2: Trayectorias para masas desiguales y similares.
Como caso lımite del problema de dos cuerpos podemos considerar un sistema en el cual lamasa m1 sea despreciable en comparacion con m2, como por ejemplo en el sistema Sol-Marteo Tierra-satelite artificial. En este caso, el centro de masas y el centro del segundo cuerpo sonmuy proximos, de modo que podemos ignorar su movimiento (vease la ecuacion (4.3.8)).
8En consecuencia, el centro de masas se mueve de manera uniforme a lo largo de una recta.9µ es la llamada masa reducida del sistema.
10Comparese con el primer caso de potencial analizado en el capıtulo precedente.
10 4.4. COLISION DE PARTICULAS
Figura 4.3: Caso lımite del problema de dos cuerpos.
Aunque hayamos resuelto el problema de dos cuerpos de forma directa, mediante el uso delas leyes de conservacion, conviene observar que, desde el punto de vista de las ecuacionesdiferenciales, el problema requiere doce constantes de integracion para su resolucion completa.Seis de estas son necesarias para la descripcion del movimiento del centro de masas, y entrelas seis restantes, tres de ellas corresponden a la conservacion del momento angular y una a laconservacion de la energıa.
4.4. Colision de partıculas
Tratamos en esta seccion, y de manera muy breve, una aplicacion tıpica de la dinamica desistemas discretos, correspondiente a las llamadas colisiones de partıculas.11 Emplearemos eltermino de colision para representar la situacion en la que dos o mas partıculas interaccionandurante un tiempo muy corto. Supondremos que las fuerzas de interaccion debidas a la colisionson mucho mayores que las fuerzas externas, o bien que estas estan ausentes. En toda colisionde partıculas, el momento lineal total es una cantidad conservada. No ocurre lo mismo conla energıa cinetica del sistema: parte de la misma se transforma en energıa termica y energıapotencial interna cuando los cuerpos se deforman durante la colision. Conviene distinguir losdiferentes tipos de colision posibles: una colision es inelastica si no se conserva la energıa cinetica.Definimos colision perfectamente inelastica como aquella en la cual los dos cuerpos que chocan nose separan. Por otra parte, si la energıa cinetica del sistema es una cantidad conservada, decimosque la colision es elastica. Con el fin de evaluar la diferencia de energıa cinetica, consideramosel coeficiente Q definido por
Q =1
2
((m1 r1 · r1 +m2 r2 · r2)− 1
2(m1u1 · u1 +m2 u2 · u2)
), (4.4.1)
donde r1 y r2, u1 y u2 designan las velocidades antes y despues de la colision, respectivamen-te. Si Q = 0, la colision es perfectamente elastica. Si Q es negativo, en el choque se pierdeenergıa cinetica como resultado de la deformacion. En procesos de descomposicion radiactiva,el coeficiente Q es positivo, dado que parte de la energıa del nucleo se transforma en energıacinetica.
11Un tratamiento exhaustivo de esta cuestion puede encontrarse, por ejemplo, en [9].
11
4.4.1. Colisiones frontales. Coeficiente de restitucion.
Para el caso especial de choque frontal de dos esferas solidas, puede establecerse experimental-mente que las velocidades relativas antes y despues del choque satisfacen la relacion
u1 − u2 = ε (r2 − r1) , (4.4.2)
donde 0 ≤ ε ≤ 1 es el llamado coeficiente de restitucion. Esta relacion, ya observada por Newton,tiene tan solo una validez aproximada. Si ε = 0, la colision es perfectamente inelastica, y losdos cuerpos se mueven como uno solo. Si ε = 1, la colision es perfectamente elastica, y amboscuerpos se mueven con independencia despues de su contacto. De la conservacion del momentoy la relacion anterior se pueden calcular facilmente las velocidades u1 y u2 :
u1 =(m1 − εm2) r1 +m2 (1 + ε) r2
m1 +m2, u2 =
m1 (1 + ε) r1 + (m2 − εm1) r2
m1 +m2. (4.4.3)
Toda colision puede descomponerse en dos fases. La primera abarca desde el primer contactode los cuerpos hasta el instante donde la distancia de los centros de masas de los cuerpos esmınima, llamada fase de compresion. Al finalizar este perıodo, ambos cuerpos tienen la mismavelocidad v, y de la conservacion del impulso se deduce
v =m1r1 +m2r2
m1 +m2. (4.4.4)
La perdida de energıa cinetica en esta fase viene dada por la diferencia
∆W =1
2(m1r1 · r1 +m2r2 · r2)− 1
2(m1 +m2)2 v · v =
m1m2
2 (m1 +m2)(r1 ± r2) · (r1 ± r2) .
(4.4.5)El signo ± de esta ecuacion depende de la posicion relativa de los vectores r1 y r2, siendo +1 sison antiparalelos y −1 si son paralelos. La energıa ∆W se transforma bien en energıa termica opotencial. La segunda fase de la colision, correspondiente al retroceso, depende de la cantidadde energıa transformada en calor durante la primera fase.
4.4.2. Colision de partıculas de la misma masa
Aunque la interaccion en el momento de una colision (no necesariamente frontal) no puededescribirse detalladamente con el modelo puntual, sı se obtiene informacion sobre el movimientode las partıculas despues del choque. Consideremos a estos efectos un sistema cerrado de dospartıculas con la misma masa m. Las velocidades, antes y despues de la colision, son r1 y r2, u1
y u2, respectivamente.
12 4.5. OSCILADORES ACOPLADOS
Figura 4.4: Colision de dos partıculas.
El momento lineal total p y la energıa se conservan, por tanto
p = m r1 +m r2 = m u1 +m u2, (4.4.6)
E =m
2(r1 · r1 + r2 · r2) =
m
2(u1 · u1 + u2 · u2) .
El centro de masas del sistema se mueve con velocidad s =12p. En la referencia centro de masas,
(4.4.6) se reduce a
m(r′1 + r′2
)= m
(u′1 + u′2
)= 0, (4.4.7)
m
2
(r′1 · r′1 + r′2 · r′2
)=m
2
(u′1 · u′1 + u′2 · u′2
).
De la primera identidad es inmediato ver que r′2 = − r′1 y u′2 = − u′1, donde r′1 · r′1 = u′1 · u′1.En la referencia de partida, que se obtiene sumando s a todos los momentos lineales, se puedeobtener una relacion precisa entre las normas de los vectores u1 y u2 y el angulo que forman.
4.5. Osciladores acoplados
Un segundo tipo de sistema fısico cuyas propiedades pueden describirse mediante un modelode partıculas discreto corresponde al acoplamiento de dos o mas osciladores, tanto armonicoscomo anarmonicos. A diferencia de la superposicion de oscilaciones, que tienen lugar en unasola dimension, el acoplamiento de osciladores se refiere a un problema esencialmente distinto,y consistente en el movimiento simultaneo de osciladores en direcciones distintas, generalmenteperpendiculares unas a otras.12
Consideremos el sistema de dos partıculas descrito por la figura siguiente:
12El acoplamiento de osciladores esta en la base del estudio de las vibraciones mecanicas, capıtulo de extremaimportancia en aplicaciones a la ingenierıa. Textos dedicados exclusivamente a esta cuestion son, por ejemplo, [6] y[14].
13
Figura 4.5: Osciladores acoplados de masa m.
donde el movimiento solo se efectua en posicion horizontal. La fuerza de interaccion F12 delsistema esta generada por el resorte central, mientras que los resortes laterales dan lugar a fuerzas
externas F(e)1 y F
(e)2 . Todas ellas son fuerzas conservativas, por lo que se expresan mediante un
potencial. Si la posicion de equilibro para la primera partıcula es x1 = a, y la de la segundax2 = b, las ecuaciones del movimiento del sistema son
mx1 = F(e)1 + F12 = −k0 (x1 − a)− k (x1 − a− x2 + b) , (4.5.1)
mx2 = F(e)2 + F21 = −k0 (x2 − b)− k (x2 − b− x1 + a) . (4.5.2)
La fuerza de interaccion solo aparece cuando la distancia de las masas difiere de a − b, corres-pondiente a la distancia en reposo de las mismas. Mediante el cambio de variable z1 = x1 − a,z2 = x2 − b, el sistema anterior se reescribe como un sistema lineal de ecuaciones de segundoorden con coeficientes constantes:
m z1 = − (k0 + k) z1 + k z2, (4.5.3)
m z2 = k z1 − (k0 + k) z2.
Sumando ambas ecuaciones obtenemos
m (z1 + z2) = −k0 (z1 + z2) , (4.5.4)
mientras que la diferencia da lugar a
m (z1 − z2) = − (k0 + 2k) (z1 − z2) . (4.5.5)
Ambas ecuaciones corresponden a osciladores, y pueden integrarse facilmente:
z1 ± z2 = A± cos (ω±t+ ϕ±) , (4.5.6)
donde ω2+ = k0m
−1 y ω2− = (k0 + 2k)m−1. Por otra parte, la ley de conservacion de la energıa
adopta la forma
E = T + U =m
2
(x2
1 + x22
)+k0
2
(x2
1 + x22
)+k
2(x1 − x2)2 , (4.5.7)
donde el ultimo termino corresponde al potencial de interaccion.
14 4.5. OSCILADORES ACOPLADOS
El acoplamiento de osciladores es una situacion tıpica en el estudio de redes cristalinas o lasvibraciones moleculares. En este contexto, se conocen como oscilaciones normales aquellos es-tados del sistema en los cuales tan solo una de las oscilaciones (desacopladas) es no nula. Estetipo de estados suelen estar relacionados con altos grados de simetrıa en el movimiento de laspartıculas. A mero tıtulo informativo, anadimos que la teorıa de grupos es una herramienta muyeficaz para el estudio de tales sistemas.13
4.5.1. Vibraciones lineales. Calculo de los modos normales.
El ejemplo anterior de acoplamiento de osciladores corresponde a un caso especial de una clasede sistemas mecanicos mas general dada por la ecuacion matricial
M x = −K x, (4.5.8)
donde x ∈Rn es un vector y M,K son matrices constantes definidas positivas.14 Formalmenteesta ecuacion es similar a la de un oscilador, por lo que es comun denotar la matriz M comomatriz de masa y K como la matriz de rigidez del sistema.15 El caso mas sencillo correspondea la matriz identidad M = Idn.16 Como K es definida positiva, sus autovalores son todospositivos, y, siendo una matriz simetrica, K es una matriz diagonalizable. Con el fin de obtenerlos autovectores, consideramos la ecuacion caracterıstica de K
det [K − λIdn] = 0. (4.5.9)
Si v1 es un autovector de autovalor λ1, es decir, se satisface Kv1 = λ1v1,17 tomando x (t) =f (t) v1 y evaluando la condicion (4.5.8) se obtiene
M x = f ′′ (t) v1 = −K x = −λ1f (t) v1, (4.5.10)
de la que extraemos la ecuacion de segundo orden
f ′′ (t) + λ1f (t) = 0 (4.5.11)
con solucion general f (t) = A cos(√λ1t)
+B sin(√λ1t).18 Por tanto
x (t) =[A cos
(√λ1t)
+B sin(√
λ1t)]
v1 (4.5.12)
es una solucion del sistema (4.5.8). Por ser K diagonalizable, existe siempre una base ortogonalv1, · · · ,vn de Rn formada por autovectores de K, por lo que la solucion general del problemaviene expresada, mediante el principio de superposicion, por las funciones
x (t) =n∑j=1
[Aj cos
(√λjt)
+Bj sin(√
λjt)]
vj . (4.5.13)
13El lector interesado puede encontrar informacion mas especıfica en [3].14Recordemos que una matriz A es definida positiva si es simetrica y si para todo v no nulo se verifica la condicion
(Av) · v >0. En particular, los autovalores de A son todos positivos.15Para sistemas de este tipo, el vector x no denota necesariamente una posicion, sino las coordenadas generalizadas
de un sistema de partıculas.16Equivalente al caso de matrices escalares M = λ Idn tomando K′ = λ−1K.17Intuitivamente podemos interpretar esta identidad como una “ley de Hooke” generalizada.18Observese que
√λ1 esta bien definida por ser λ1 el autovalor de una matriz simetrica.
15
Llamaremos modos normales (de vibracion) a las soluciones fundamentales
xj (t) =[Aj cos
(√λjt)
+Bj sin(√
λjt)]
vj (4.5.14)
para (1 ≤ j ≤ n), donde las llamadas frecuencias normales ωj estan definidas por
ωj =√λj , 1 ≤ j ≤ n. (4.5.15)
En consecuencia, cualquier vibracion en torno a un punto de equilibrio es una superposicion delos modos normales.Para el caso general de M 6= Idn, al ser una matriz definida positiva, su determinante es nonulo,19, lo que permite reducir la ecuacion (4.5.8) al caso analizado multiplicando por M−1:
M−1M x = −M−1K x =⇒ x = −M−1K x = −K ′x. (4.5.16)
Fısicamente, lo que se ha hecho es desacoplar n osciladores cuyas ecuaciones del movimientovienen dadas por (4.5.8), mediante la busqueda de una nueva referencia en la cual cada modonormal describe la vibracion a lo largo de un eje de la nueva referencia. Un procedimientosimilar, basado en las herramientas del algebra lineal, sera empleado mas adelante en el estudiodel movimiento de solidos rıgidos.
Como ejemplo practico del procedimiento, consideremos cuatro partıculas de masa m que puedenmoverse sobre una circunferencia de radio R. Cada una de las masas esta unida a la adyacentemediante un resorte con constante de Hooke k. La posicion de equilibrio del sistema viene dada
Figura 4.6: Configuracion circular del sistema.
por los angulos
ϕ01 = 0, ϕ0
2 =π
2, ϕ0
3 = π, ϕ04 =
3π
2,
donde ϕ0i designa el angulo de la partıcula i-esima. Sea ψi la desviacion de la posicion de
equilibrio de cada partıcula, y sea ω0 =√k/m. Supuesto que solo se consideran oscilaciones en
torno a la posicion de equlibrio, las ecuaciones del movimiento se obtienen facilmente a partirde la configuracion del sistema:
ψ1 + ω20 (2ψ1 − ψ2 − ψ4) = 0; ψ2 + ω2
0 (2ψ2 − ψ1 − ψ3) = 0;
ψ3 + ω20 (2ψ3 − ψ2 − ψ4) = 0; ψ4 + ω2
0 (2ψ4 − ψ1 − ψ3) = 0.
19Esto se deduce del llamado criterio de Sylvester del algebra lineal. Vease por ejemplo [5].
16 4.5. OSCILADORES ACOPLADOS
En forma matricial tenemos
[ψ]
= K [ψ] =
2 −1 0 −1−1 2 −1 00 −1 2 −1−1 0 −1 2
[ψ] .
Del polinomio caracterıstico pc (K) = X (X − 4) (X − 2)2 se deduce que los valores propios sonλ1 = 0, λ2,3 = 2, λ4 = 4 con vectores propios asociados v1 = (1, 1, 1, 1), v2 = (0,−1, 0, 1),v3 = (−1, 0, 1, 0) y v4 = (1,−1, 1,−1) respectivamente. Tomando como nueva referencia orto-normal la dada por los vectores propios anteriores, las ecuaciones del movimiento, en coordenadasx = (x1, x2, x3, x4) adoptan la forma reducida
x1 = 0; x2 + 2ω20x2 = 0;
x3 + 2ω20x3 = 0; x4 + 4ω2
0x4 = 0.
Observamos que el autovalor λ1 = 0 no corresponde a una frecuencia normal, sino a un movi-miento de la circunferencia, por lo que no se produce una vibracion en torno a una posicion deequilibrio.20 Las frecuencias normales son ω1,2 =
√2ω0 y ω3 = 2ω0. Graficamente, el resultado
puede representarse de la forma siguiente: Observese que las dos configuraciones inferiores, co-
Figura 4.7: Desplazamiento global y vibraciones normales del sistema.
rrespondientes a la frecuencia normal√
2ω0, estan relacionadas mediante la simetrıa con eje larecta que contiene las masas m2 y m4.Observamos finalmente que el sistema es claramente conservativo, con terminos cinetico y po-tencial dados respectivamente por
T =m
2
(x2
1 + x22 + x2
3 + x24
), U = −mω2
0
2
(2x2
2 + 2x23 + 4x2
4
)en las coordenadas normales.
4.5.2. Figuras de Lissajous
Como caso especial del acoplamiento de osciladores armonicos, consideramos la superposicionde dos vibraciones a lo largo de rectas ortogonales. Este tipo de sistemas fue analizado en detalle
20Siempre que aparezca λ = 0 como autovalor, se trata de un movimiento global del sistema, por lo que el problematiene degeneracion.
17
por Lissajous en 1855, que establecio el metodo optico para el estudio de vibraciones compuestas,y que se considera el antecedente del osciloscopio moderno.21
La composicion de dos oscilaciones independientes a lo largo de los ejes x1 y x2 da lugar a lacurva plana dada por la expresion
x1 (t) = A1 cos (ω1t+ ϕ1) ,x2 (t) = A2 cos (ω2t+ ϕ2) .
(4.5.17)
La graficas de estas curvas (es decir, la trayectoria) se conocen como figuras de Lissajous. Laprimera cuestion que surge de (4.5.17) es la periodicidad del movimiento. Claramente cada os-cilacion por sı misma es periodica, al corresponder a un oscilador armonico. Analizamos lascondiciones que garanticen que el movimiento compuesto sigue siendo periodico. Para ello, su-pongamos que para t1 6= t2 se verifican x1 (t1) = x1 (t2) y x2 (t1) = x2 (t2). Considerando laprimera igualdad, es evidente que
ω1 (t2 − t1) = 2k1π, k1 ∈ Z. (4.5.18)
Analogamente se obtiene que ω2 (t2 − t1) = 2k2π para un cierto entero k2. Comparando ambasexpresiones se deduce
t2 − t1 = 2πk1
ω1= 2π
k2
ω2, (4.5.19)
y por tanto la relacion de frecuencias
ω1
ω2=k1
k2∈ Q. (4.5.20)
En consecuencia, la figura de Lissajous es periodica si y solo si la proporcion de sus frecuenciasω1 : ω2 es un numero racional.
Figura 4.8: Figuras de Lissajous periodicas y cerradas.
21Las llamadas figuras de Lissajous fueron, no obstante, descritas por primera vez en 1815 por Bowditch.
18 4.5. OSCILADORES ACOPLADOS
Si, por el contrario, la proporcion ω1 : ω2 no da lugar a un numero racional, puede demostrar-se mediante utiles topologicos22 que la curva definida por la ecuacion (4.5.17) es densa en elrectangulo [−A1, A1]× [−A2, A2].23 En particular, para este caso la trayectoria resultante no esnunca una curva cerrada.
Figura 4.9: Figuras de Lissajous no cerradas.
Es importante observar que la periodicidad de la trayectoria no implica que esta sea forzosamenteuna curva cerrada en el plano. El que la figura de Lissajous sea cerrada o no depende esencial-mente de la diferencia de fases |ϕ1 − ϕ2|. El prototipo de movimiento periodico no cerrado sededuce de las proporciones de frecuencias
ω1 : ω2 = 1 : n, n ∈ N (4.5.21)
y diferencia de fases nula. En este caso especial, suponiendo que A1 = A2 = 1, la trayectoriaviene dada por
x1 = cos (t) , x2 = cos (n t) . (4.5.22)
Es inmediato ver que t = arc cosx1. De la formula de Euler eiθ = cos θ + i sin θ deducimos que
x2 = Re(eint
)=(Re ei t
)n. (4.5.23)
Por otra parte,
ei t = cos (arc cosx1) + i sin (arc cosx1) = x1 + i√
1− x21. (4.5.24)
22Consultese [10] para repasar las principales propiedades topologicas de interes en la fısica.23Dado que las amplitudes tan solo suponen un factor de escala, no es infrecuente tomar amplitudes iguales A =
A1 = A2 y considerar las figuras de Lissajous en el cuadrado [−A,A]× [−A,A].
19
Sustituyendo esta expresion en (4.5.23) da lugar a la formula
x2 =
(x1 + i
√1− x2
1
)n= Re
(n∑k=0
n!
k! (n− k)!ikxn−k1
(1− x2
1
) k2
). (4.5.25)
Dado que solo interesa la parte real, las potencias impares se ignoran, dando lugar a la expresion
x2 =
[n2 ]∑k=0
(−1)k n!
(2k)! (n− 2k)!xn−2k
1
(1− x2
1
)k. (4.5.26)
Como consecuencia, x2 es un polinomio en x1, lo que implica que la trayectoria no puede sercerrada, aun siendo periodica.
Figura 4.10: Polinomios de Chebyshev para n = 2, 3, 4, 11.
Definamos para cada n entero
Tn (x) =
[n2 ]∑k=0
(−1)k n!
(2k)! (n− 2k)!xn−2k
(1− x2
)k. (4.5.27)
No es difıcil comprobar que estos polinomios satisfacen la relacion de recurrencia
Tn (x) =(−1)n 2n n!
(2n)!
√1− x2
dn
dxn(1− x2
)n− 12 . (4.5.28)
Estas funciones constituyen un ejemplo importante de los llamados polinomios ortogonales, yreciben del nombre de polinomios de Chebyshev de primera especie.24 En terminos de ecua-ciones diferenciales, estos polinomios son una de las soluciones de la ecuacion diferencial linealhomogenea de segundo orden (
1− x2)z − x z + n2z = 0. (4.5.29)
24Conviene observar que los llamados polinomios ortogonales clasicos aparecen deforma natural en diversos problemasde naturaleza fısica, lo que les confiere una importancia especial en la descripcion de modelos. Vease por ejemplo [1]para una lista completa de tales polinomios y sus principales propiedades, ası como [?].
20 4.5. OSCILADORES ACOPLADOS
Los polinomios de Chebyshev de segunda especie, definidos por
Un (x) =1
n
√1− x2
d
d tTn (x) , (4.5.30)
permiten describir la solucion general de (4.5.28) mediante una superposicion:
z(x) = λ1Tn(x) + λ2Un(x). (4.5.31)
Las relaciones de ortogonalidad vienen especificadas respectivamente por
∫ 1
−1Tp (x)Tq (x)
dx√1− x2
=
∫ π
0cos (p θ) cos (q θ) dθ =
0, p 6= qπ, p = q = 0π2 , p = q 6= 0
(4.5.32)
∫ 1
−1Up (x)Uq (x)
dx√1− x2
=
∫ π
0sin (p θ) sin (q θ) dθ =
0, p 6= q0, p = q = 0π2 , p = q 6= 0
(4.5.33)
4.5.3. Vibraciones forzadas y modos normales
El caso de osciladores acoplados visto hasta ahora solo se refiere a oscilaciones libres. Cabepreguntarse si el metodo puede ser generalizado para el caso de vibraciones forzadas, y comohacerlo. Con el fin de ilustrar el procedimiento, y por simplicidad en los calculos, nos ocupamossolamente del caso n = 2, advirtiendo que puede analizarse el problema para un numero deosciladores arbitrario n.25 Supongamos un sistema acoplado de la forma siguiente:
m x = −(k + k0 −k−k k + k0
)x+
(F0 cos (ωt)
0
). (4.5.34)
Tal como se hizo en el caso unidimensional, primero se analiza el caso correspondiente al sistemahomogeneo. Para la matriz dada en (4.5.34), los autovalores son λ1 = k0 y λ2 = k0 + 2k,26
correspondientes a los autovectores v1 = e1 + e2 y v2 = −e1 + e2, respectivamente. Tomandolas coordenadas normales q1 = x1 + x2, q2 = −x1 + x2, el sistema (4.5.34) se transforma en
m q = −(k0 00 2k + k0
)q+
(F0 cos (ωt)F0 cos (ωt)
). (4.5.35)
El termino transitorio y la solucion particular pueden determinarse para cada ecuacion de laforma ya estudiada.27 Denotando las frecuencias normales por ω1 =
√k0 y ω2 =
√k0 + 2k, el
termino estacionario de cada oscilador es
q1 (t) = F0
m(ω21−ω2)
cos (ωt− ϕ) ,
q2 (t) = F0
m(ω22−ω2)
cos (ωt− ϕ) .(4.5.36)
25El libro de French [7] contiene un estudio detallado de esta cuestion en el capıtulo 5.26Comparese con el sistema dado por las ecuaciones (4.5.1)-(4.5.2)27Vease la ecuacion (??).
21
Observamos que las amplitudes dan lugar al mismo comportamiento de resonancia que aparecıapara un oscilador forzado (amortiguado). Para las coordenadas x1 y x2 de partida, las amplitudescorrespondientes al termino estacionario son
A1 (ω) =
(ω2
2 − 2ω2 + ω21
)F0
2m(ω2
1 − ω2) (ω2
2 − ω2) , A2 (ω) =
(ω2
2 − ω21
)F0
2m(ω2
1 − ω2) (ω2
2 − ω2) . (4.5.37)
En el diagrama siguiente se observa que en la region ω < ω1, ambas amplitudes tienen el mismosigno (estan en fase), mientras que para ω > ω2, son de signo opuesto. Es importante observarque, aunque A1 (ω) tenga un cero en el intervalo [ω1, ω2], esto corresponde a una situacion quefısicamente no puede darse.28
Figura 4.11: Comparacion de amplitudes en un acoplamiento forzado.
4.6. Principio de propulsion en cohetes
En este apartado tratamos un ejemplo especıfico de un sistema ya comentado, pero no analizadocon detalle: las ecuaciones del movimiento de una cuerpo de masa variable, en el cual la expulsionde masa imprime una aceleracion al cuerpo. El problema de propulsion de un cohete es un ejemploestandar para esta situacion. En este caso, la masa se reduce conforme se va consumiendo elcombustible. El modelo simplificado esta esquematizado en la figura siguiente:
Figura 4.12: Modelo simplificado de propulsion.
El sistema esta en reposo cuando una fuente de energıa interna ocasiona la expulsion del com-bustible con una velocidad v relativa al cohete. Suponiendo que no hay fuerzas externas, el
28La frecuencia ω0 para la cual A1 (ω0) = 0 serıa la de un oscilador aislado, estando el otro fijo. Anadiendo unamortiguamiento al sistema esta anomalıa desaparece. Ver [7] para mas detalles.
22 4.6. PRINCIPIO DE PROPULSION EN COHETES
momento lineal total p es una cantidad conservada. Por tanto se verifica la identidad
M r+m (r− v) = 0, (4.6.1)
donde r corresponde a la velocidad del cohete despues de la expulsion de combustible. Despejandor de esta ecuacion se tiene que el cohete adquiere la velocidad
r =m
m+Mv. (4.6.2)
Esta ecuacion es el principio basico de la propulsion de un cohete. En todo cohete real, laexpulsion o quema de combustible es un proceso continuo, lo que conlleva ciertas diferenciasmecanicas significativas con el modelo de la ecuacion (4.6.2).
4.6.1. Cohete en el espacio libre
El esquema siguiente muestra un modelo mas realista de propulsion de un cohete, donde supo-nemos inicialmente que el sistema es cerrado.
Figura 4.13: Expulsion continua de combustible.
Inicialmente, la masa del cohete y su combustible es m0, y ambos se mueven con velocidadconstante v0. En el instante t = 0 se encienden los motores y el combustible es eyectado convelocidad w respecto al cohete. El combustible se agota en un tiempo T0, despues del cual lamasa final del cohete es m1. Sea m (t) la masa del cohete (y el combustible no utilizado) entiempo t. Esta funcion es decreciente, donde la cantidad de masa expulsada es −m. Sin perdidade generalidad, suponemos que, una vez expulsado, el combustible sigue propagandose a lamisma velocidad w.29 Dado que el sistema formado por el cohete y el combustible es cerrado, seconserva el momento lineal total. El momento lineal de partida es m0v (0), y el momento linealfinal del cohete es m (s) v (s). Falta determinar el momento del combustible expulsado. Paraello, observamos el intervalo [t, t+ dt]. La masa del combustible en este intervalo es −m (t) dt,y su velocidad en el instante de expulsion es v (t)−w. En consecuencia, el momento lineal delcombustible expulsado es
−∫ s
0m (v −w) dt. (4.6.3)
29Esta suposicion implica que cada partıcula de combustible esta aislada de las otras y del cohete. Esta independenciase da en el espacio libre, aunque es cuestionable si se satisface tambien en el momento del despegue del cohete.
23
La conservacion del momento lineal implica la identidad
m0v (0) = m (s) v (s)−∫ s
0m (v −w) dt,
que puede escribirse de forma integral como∫ s
0
[d
d t(mv)− m (v −w)
]dt = 0. (4.6.4)
Esta expresion integral tiene que verificarse para cualquier eleccion de s, por lo que forzosamentetiene que cumplirse la condicion
d
d t(mv)− m (v −w) = 0. (4.6.5)
La hipotesis de que el sistema formado por el cohete y el combustible sea cerrado puede relajarse.Una expresion similar se deduce, de forma completamente analoga, para un sistema con fuerzasexternas F. En este caso, la ecuacion de propulsion del cohete adopta la forma
d
d t(mv)− m (v −w) = F. (4.6.6)
Si interpretamos esta expresion en terminos de la segunda ley de Newton, vemos que correspondea las ecuaciones del movimiento de un sistema de masa variable, donde el termino −mw juegael papel de una fuerza. En cualquiera de los casos, la energıa no es una cantidad conservada, altransformarse la energıa quımica del combustible en energıa mecanica.30
4.6.2. Movimiento del cohete en gravedad
Supongamos que el cohete se mueve verticalmente bajo la accion de la gravedad. En este caso,la fuerza externa F es −mg e3, de modo que la ecuacion de propulsion del cohete se sigue de(4.6.6):
md v
d t= −m u −mg. (4.6.7)
Observese que, al ser el movimiento vertical, las componentes nulas de los vectores son irrele-vantes, y podemos reformular la ecuacion de propulsion como una ecuacion diferencial escalar.Esta ecuacion sigue siendo una simplificacion, dado que se supone g constante y se ignora elefecto de resistencia del aire.31 Para el caso en que g y u sean constantes, la ecuacion (4.6.7) esfacilmente integrable
v (t) = −u ln (m (t))− gt+ C.
Si la condicion inicial es v (0) = v0, m (0) = m0, la velocidad del cohete queda expresadafinalmente por
v (t) = v0 + u ln
(m0
m (t)
)− gt. (4.6.8)
30Un sistema de este tipo constituye uno de los mas elementales ejemplos de los llamados sistemas de Meshchersky,correspondientes a sistemas de masa variable [2].
31La aceleracion gravitatoria g puede suponerse constante hasta una altura de 100 km. Por otra parte, la resistenciadel aire es relevante hasta los 150− 200 km de altura.
24 4.6. PRINCIPIO DE PROPULSION EN COHETES
Una vez comsumido el combustible en tiempo t = T , el incremento de la velocidad del cohete es
∆v = u ln
(m0
m (t)
)− gT. (4.6.9)
Dado que ∆v debe ser positivo, la velocidad de expulsion u y el tiempo de combustion T estanrelacionados mediante
g T < u ln
(m0
m (t)
). (4.6.10)
Si el cohete despega de la superficie terrestre, podemos suponer en (4.6.8) que v0 = 0 y m (t) =m0 − m t. Integrando nuevamente esta ecuacion, obtenemos que la altura alcanzada es
r (t) =(u t− um0
m
)ln
(m0
m0 − m t
)+ u t− 1
2g t2. (4.6.11)
En el instante T , el cohete aun avanza debido a su velocidad, y supuesto que a esta altura gtiene el mismo valor, la altura H se deduce facilmente de la relacion v =
√2 g H como
H =1
2g
(u ln
(m0
m0 − m t
)− g t
)2
.
Se concluye que la altura maxima que puede alcanzar el cohete es
Hmax = r (T ) +H =1
2g
(u ln
(m0
m0 − m T
))2
− um0
mln
(m0
m0 − m T
)+ uT. (4.6.12)
4.6.3. La ecuacion de Meshchersky
Tratamos en este apartado la cuestion de las ecuaciones del movimiento de un sistema cuyamasa m varıa durante el movimiento, bien por perdida de la misma, como en el caso de loscohetes analizados anteriormente, bien por aumento de la masa. Veremos que, salvo un casoparticular, ya considerado con anterioridad, la ecuacion de Newton no es la expresion validapara las ecuaciones del movimiento.
Supongamos un sistema inercial R, y designamos por u el vector que describe la variacion de lamasa m. Tomando una referencia auxiliar R′ cuya velocidad sea exactamente la de la partıculaen el tiempo t, resulta que esta esta en reposo al ser observada en esta referencia. En un intervalode tiempo t + dt, la partıcula adquiere el momento mdv como consecuencia de la interacciondescrita por F y el momento ±δmu debido a la variacion de la masa. Por tanto, el momentoadmite la descomposicion
mdv = F dt± δmu, (4.6.13)
donde el signo determina si la masa aumenta o se desprende. Ambos casos pueden tratarseconjuntamente interpretando ±δm como una diferencial de la masa dm, lo que permite reescribirla expresion (4.6.13) como
mdv = F dt+ dmu, (4.6.14)
de la que se deduce inmediatamente que
mdv
dt= F +
dm
dtu, (4.6.15)
25
donde u es la velocidad de la masa aportada o desprendida con relacion a la partıcula en mo-vimiento. La expresion (4.6.15) constituye la ecuacion fundamental de la dinamica de sistemasdiscretos con masa variable, y se conoce con el nombre de ecuacion de Meshchersky. Esta ecua-cion es valida en todo sistema inercial, como puede comprobarse facilmente. Observamos que,despejando la parte derecha de la ecuacion, obtenemos
mdv
dt− dm
dtu = F , (4.6.16)
y en consecuencia, la fuerza corresponde a la variacion temporal del momento p solo si severifica la igualdad u = −v. Este caso particular, ya tratado brevemente en el capıtulo 2,corresponde a que la masa aportada esta inmovil en el sistema de referencia, o bien a que lamasa desprendida queda inmovil. Por tanto, salvo este caso especial, para los sistemas en loscuales se tenga u + v 6= 0, la ecuacion de Newton no es la expresion correcta para la ecuaciondel movimiento, y debe reemplazarse por la ecuacion de Meshchersky. La fuerza reactiva dm
dt u sedebe a la interaccion de la partıcula con la masa desprendida o adherida, y, en consecuencia, sedetermina el signo de m. Otro caso especial notorio es cuando la variacion de masa se producesin velocidad, por lo que se satisface u = 0. En este caso, la ecuacion de Meshchersky se reducea
mdv
dt= F , (4.6.17)
donde debe observarse que el termino de la izquierda no corresponde a la variacion temporal delmomento p.
4.7. Las ecuaciones del movimiento de sistemas para N ≥ 3
En el estudio de la dinamica de una partıcula hemos constatado que las leyes de conservacionson una herramienta eficaz para resolver o simplificar significativamente las ecuaciones del mo-vimiento, reduciendo la cuestion a un problema de cuadraturas. Es por tanto natural plantear lacuestion si para el caso de sistemas (cerrados) son posibles simplificaciones o reducciones simila-res. La respuesta, en general, es negativa. Puesto que la dinamica del centro de masas se describeen el espacio de configuracion, para un sistema de N partıculas las ecuaciones del movimientoforman un sistema de 3N ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden. Segun la teorıageneral de Jacobi [8], para obtener la solucion general a un tal sistema se requieren al menos6N−2 constantes del movimiento.32 Supuesto que el sistema es cerrado, las leyes de conservaciondel momento angular total y la energıa nos proprocionan un numero insuficiente de constantesdel movimiento. En efecto, la energıa es una constante del movimiento, a la que se anaden lastres componentes del momento angular total y las seis componentes de los vectores de posiciony velocidad, respectivamente. Esto suma 10 constantes del movimiento. Para cualquier N ≥ 3se observa que
10 < 6N − 2, (4.7.1)
lo que pone de manifiesto que las dos leyes de conservacion anteriores no son un numero suficientede integrales primeras. 33
32Es importante no confundir esta nocion de integrabilidad con el concepto de integrabilidad en el sentido de Louiville.Vease [11]
33Para N = 2 tenemos que 12− 2 = 10, lo que coincide con el numero de constantes del movimiento halladas. Enterminos de la teorıa de ecuaciones diferenciales ordinarias, la solucion completa del sistema requiere 12 soluciones. Noobstante, tal como se deduce de la teorıa de Jacobi, dos de las constantes son inesenciales.
26 4.8. LA REDUCCION DEL PROBLEMA DE TRES CUERPOS
Como ejemplo importante, las ecuaciones del movimiento para N ≥ 3 partıculas de masa mi
sujetas a la interaccion gravitatoria pueden describirse, con ayuda del potencial
U (r1, · · · , rN ) =1
2
N∑i=1
N∑j=1
(1− δji
)γ
mimj
‖ri − rj‖(4.7.2)
mediantemi ri = gradiU (r1, · · · , rN ) , 1 ≤ i ≤ N. (4.7.3)
Son necesarias por tanto al menos 6N − 12 constantes del movimiento adicionales. Para N = 3,el defecto ya es de seis. Es posible demostrar que con las construcciones estudiadas, no puedenencontrarse nuevas constantes del movimiento. Historicamente, uno de los primeros analisis delllamado problema de tres cuerpos, en el sistema formado por el Sol, la Tierra y la Luna, fueconsiderado por el propio Newton, que llego a soluciones aproximadas. En 1760, L. Euler obtuvosoluciones, mediante funciones elıpticas, para el caso especial en el que dos de los cuerpos estanfijos en el espacio y el tercero se mueve en su campo gravitatorio. Esta e ideas posterioresfueron generalizadas a lo que se conoce como el problema restringido de los tres cuerpos. En esteproblema, dos de las masas son mucho mayores que la tercera, lo que tiene como consecuenciaque el movimiento de las dos masas principales no se ven afectadas por el cuerpo pequeno. Unejemplo de esta situacion, importante en la practica, viene dado por el sistema formado por laTierra, la Luna y un vehıculo espacial en una trayectoria lunar. La idea esencial subyacente alproblema restringido es la separacion en etapas. El movimiento de los dos cuerpos de mayormasa se analiza como un problema de dos cuerpos. Una vez resuelto este caso, se analiza elmovimiento del cuerpo pequeno en el campo gravitatorio de los dos cuerpos primarios.34 Otrocaso de relevancia es el estudiado por Lagrange, donde los cuerpos primarios se mueven encircunferencias. Lagrange detecto la existencia de cinco puntos en el plano del movimiento enlos que las fuerzas que actuan sobre el cuerpo pequeno, consistentes en la atraccion gravitatoriay fuerzas centrıfugas, estan en equilibrio.35 A efectos practicos, esto permite hallar posicionesde estabilidad relativa para sondas espaciales.
4.8. La reduccion del problema de tres cuerpos
El problema de tres cuerpos, generalizacion natural del problema de dos cuerpos, tiene unaimportancia capital en la mecanica celeste, dado que los cuerpos que forman el Sistema Solarobedecen a las leyes de Newton36, son de forma aproximadamente esferica y la razon dimen-sion/distancia es muy pequena. Esto permite analizar el problema del movimiento de formaidealizada, reemplazando los cuerpos celestes por partıculas de la misma masa que el cuerpocuya posicion sea la del centro de gravedad.37 Desde el punto de vista analıtico, el problema detres cuerpos general no puede resolverse explıcitamente, y es preciso considerar reducciones osimplificaciones que disminuyan el numero de grados de libertad del problema.
34El problema restringido de los tres cuerpos esta estrechamente relacionado con la teorıa de perturbaciones. Veasepor ejemplo [12].
35Estos son los llamados puntos de Lagrange L1, · · · , L5 de la mecanica celeste.36Salvo cuestiones muy particulares, como ciertas anomalıas en el movimiento de Mercurio, el estudio de las orbitas
celestes puede llevarse a cabo sin tener en cuenta las correcciones relativistas.37El movimiento de cada cuerpo con respecto al centro de gravedad corresponde a un problema distinto que se trata
generalmente en la teorıa de precesion y nutacion, siempre que esta division sea posible.
27
Si P1, P2, P3 son las tres partıculas de masa mi, designamos sus mutuas distancias por r23, r13
y r12,38 respectivamente. En una referencia ortonormal dada, suponemos las coordenadas deP1, P2, P3 dadas por
(qi1, q
i2, q
i3
), 1 ≤ i ≤ 3. El termino cinetico del sistema es por tanto
T =3∑i=1
mi
2
((qi1)2
+(qi2)2
+(qi3)2)
. (4.8.1)
Sin perdida de generalidad podemos suponer que en la referencia ortogonal elegida, la constantegravitacional γ tiene el valor unidad. Esto permite simplificar la expresion del termino potencialU (q) del sistema a
U (q) = −∑
1≤i<j≤3
mimj
rij= −
∑1≤i<j≤3
mimj
√(qi1 − q
j1
)2+(qi2 − q
j2
)2+(qi3 − q
j3
)2. (4.8.2)
Las ecuaciones del movimiento del sistema son por tanto
mi qik = − ∂U
∂qik, 1 ≤ i, k ≤ 3. (4.8.3)
Se trata en este caso de un sistema de nueve ecuaciones diferenciales ordinarias de segundoorden. En consecuencia, el orden del sistema es 18, correspondiente al numero de constantes deintegracion. Es posible, no obstante, reducir el orden del sistema teniendo en cuenta las leyes deconservacion. Puesto que se satisface la condicion
d (T + U)
dt= 0,
el sistema es conservativo. Introduciendo las nuevas coordenadas pij = miqij , la energıa E puede
escribirse como39
E =∑
1≤i,j≤3
(pij
)2
2mi+ U (q) . (4.8.4)
Es facil verificar que el sistema de ecuaciones de primer orden
qij =∂E
∂pij, pij = −∂E
∂qij, 1 ≤ i, j ≤ 3. (4.8.5)
es equivalente a las ecuaciones del movimiento (4.8.3). Partiendo de esta forma (4.8.5), mos-tramos que las ecuaciones del movimiento pueden reducirse a un sistema de sexto orden, esdecir, que involucra tan solo seis constantes de integracion. Observamos que, puesto que soloestamos considerando la fuerza de interaccion entre las masas, el centro de masas debe moverse
38Por tanto se verifica la relacion
rij =
√−−→PiPj , 1 ≤ i < j ≤ 3.
39Al tratarse el formalismo hamiltoniano se vera la conveniencia de definir estos momentos.
28 4.9. EL PROBLEMA RESTRINGIDO CIRCULAR
de manera uniforme. Este hecho se traduce en la existencia de seis constantes α1, · · · , α6 talesque
p1j + p2
j + p3j = αj , (4.8.6)
m1q1j +m2q
2j +m3q
3j −
(p1j + p2
j + p3j
)t = α3+j (4.8.7)
donde 1 ≤ j ≤ 3. Mediante el uso de estas seis integrales, el sistema puede reducirse de orden 18a orden 12. Por otra parte, el momento angular de las tres masas en torno a los ejes coordenadospermanece constante durante el movimiento, de lo cual deducimos la existencia de tres constantesadicionales α7, α8, α9 tales que
q11p
12 − q1
2p11 + q2
1p22 − q2
2p21 + q3
1p32 − q3
2p31 = α7, (4.8.8)
q12p
13 − q1
3p12 + q2
2p23 − q2
3p22 + q3
2p33 − q3
3p32 = α8, (4.8.9)
q13p
11 − q1
1p13 + q2
3p21 − q2
1p23 + q3
3p31 − q3
1p33 = α9. (4.8.10)
Es factible, por tanto, reducir el orden del sistema de 12 a 9. De hecho, el sistema puedereducirse a uno de orden 8, tomando como una de las coordenadas de posicion del sistema comocoordenada acimutal con respecto al eje e3.40 Resulta de ello que dicha coordenada acimutal noaparece explıcitamente en las ecuaciones del movimiento, por lo que, usando una de las integralesanteriores, el orden del sistema se reduce en dos unidades. Finalmente, utilizando la conservacionde la energıa y eliminando la variable temporal, es posible obtener una nueva reduccion del ordenen dos unidades, con lo que las ecuaciones del movimiento quedan reducidas a un sistema deorden 6.41
Las diez integrales anteriormente deducidas, es decir, la integrales de energıa, del momentoangular y las seis correspondientes al centro de masas, se conocen como integrales clasicas delproblema de tres cuerpos. Todas ellas son de tipo algebraico, es decir, satisfacen una relaciondel tipo
J(t, q1
1, · · · , q33, p
11, · · · , p3
3
)= C, (4.8.11)
donde J es una funcion algebraica de sus argumentos. Un resultado importante establece que,fuera de estas, no existen integrales algebraicas suplementarias.42
Teorema de Bruns: Las integrales clasicas son las unicas integrales algebraicas independientesdel problema de tres cuerpos.
4.9. El problema restringido circular
Al margen del problema general de los tres cuerpos, cuya reduccion se ha resumido anteriormen-te, existen multitud de casos particulares o restringidos de interes para la mecanica celeste, ycuya resolucion es posible gracias a ciertas hipotesis adicionales o simplificaciones del problema.El primero de estos casos restringidos consiste en suponer que los tres cuerpos corresponden,respectivamente, a una estrella, un planeta y un planetoide. La estrella y el planeta se conocencomo cuerpos primarios, cuyas orbitas se suponen circulares. Por otra parte, se impone que el
40Las restantes coordenadas definen la posicion en relacion al plano cuyo vector normal es el vector de acimut.41Vease [19], capıtulo XIII, para una exposicion detallada de esta reduccion sucesiva.42Para una demostracion, vease [19] capıtulo XIV.
29
movimiento del planetoide este confinado al mismo plano que los cuerpos primarios. La notablediferencia de masas entre el planetoide y los cuerpos primarios permite ignorar las perturbacio-nes que el planetoide ocasiona, permitiendo el calculo de las posiciones de los cuerpos primarios.Una hipotesis adicional, y no exenta de consecuencias, es suponer que la masa del planetoidees practicamente nula. Observamos que este hecho corresponde a descartar la tercera ley deNewton, por lo que la energıa del sistema, en su forma usual, deja de ser una constante delmovimiento y debe ser reemplazada por otra similar.43
Con el fin de elegir una referencia adecuada para el problema restringido circular que tan solodependa de un parametro, designamos por µ 1 la masa del planeta y por (1− µ) aquella dela estrella. Imponemos adicionalmente que la distancia entre los cuerpos primarios sea asimismola unidad, de modo que la distancia del planeta del centro de masas es (1− µ) y la de la estrellaµ. Finalmente, suponemos que la constante gravitatoria vale uno.
Como referencia inercial tomamos R = O; ξ, η,44 donde O designa el centro de masas delsistema. Los vectores de posicion de la estrella y el planeta son, respectivamente
rE (t) = −µ cos t eξ − µ sin t eη, (4.9.1)
rP (t) = (1− µ) cos t eξ + (1− µ) sin t eη. (4.9.2)
Consideramos asimismo una referencia R′ = O; ξ′, η′ no inercial con el mismo origen, y querota con velocidad angular constante ω = 1 rad/s con respecto a R.45 En R′, las coordenadasde los cuerpos primarios son constantes, dadas por
r′E (t) = −µ ξ′; r′P (t) = (1− µ) ξ′. (4.9.3)
Con ρE y ρP designamos las distancias del tercer cuerpo de los primarios.
Figura 4.14: Referencias siderea y sinodica del problema restringido.
43Un desarrollo de este caso basado en las ecuaciones canonicas de Hamilton puede encontrarse en [18].44Llamada generalmente la referencia siderea.45R′ es la llamada referencia sinodica.
30 4.9. EL PROBLEMA RESTRINGIDO CIRCULAR
Es inmediato comprobar que en la referencia siderea R tenemos las identidades
ρE =√ξ2 + η2 + µ2 + 2µ (ξ cos t+ η sin t), (4.9.4)
ρP =
√ξ2 + η2 + (1− µ)2 − 2 (1− µ) (ξ cos t+ η sin t), (4.9.5)
mientras que en la referencia sinodica las distancias estan especificadas por
ρE =
√(ξ′ + µ)2 + η′2, ρP =
√((1− µ)− ξ′)2 + η′2. (4.9.6)
El facil comprobar que, en R, la fuerza de interaccion que actua sobre el planetoide esta deter-minada por el potencial
U = −(
1− µρE
+µ
ρP
), (4.9.7)
mientras el termino cinetico es simplemente T = 12
(ξ2 + η2
). Dado que la referencia sinodica
se mueve con velocidad angular constante con respecto a la referencia siderea, para determinarlas ecuaciones del movimiento del planetoide en R′ deben emplearse las ecuaciones (??) y (??).En este caso, el vector velocidad angular ω puede identificarse con el vector normal ez al planodel movimiento, de lo que resultan las ecuaciones
ξ′ = ξ′ + 2η′ − ∂U
∂ξ′= ξ′ + 2η′ +
∂
∂ξ′
(1− µρE
+µ
ρP
), (4.9.8)
η′ = η′ − 2ξ′ − ∂U
∂η′= η′ − 2ξ′ +
∂
∂η′
(1− µρE
+µ
ρP
). (4.9.9)
Considerando los terminos dependientes tan solo de ξ′ y η′, introducimos el potencial efectivoΩ definido por
Ω =1
2
(ξ′2 + η′2
)− U =
1
2
(ξ′2 + η′2
)+
(1− µρE
+µ
ρP
), (4.9.10)
lo que permite simplificar las ecuaciones del movimiento (4.9.8)-(4.9.9) a
ξ′ − 2η′ =∂Ω
∂ξ′, η′ + 2ξ′ =
∂Ω
∂η′. (4.9.11)
Escritas en esta forma, la obtencion de una constante del movimiento es inmediata utilizandoun factor integrante adecuado. Multiplicando la primera ecuacion por ξ′, la segunda por η′ ysumando da lugar a la identidad
ξ′ξ′ + η′η′ = ξ′∂Ω
∂ξ′+ η′
∂Ω
∂η′(4.9.12)
Es evidente que ambas partes son una diferencial total con respecto al tiempo, por lo que seobtiene
d
dt
(ξ′2 + η′2
2
)=dΩ
dt. (4.9.13)
En consecuencia,ξ′2 + η′2 − 2 Ω +K = 0 (4.9.14)
31
es una constante del movimiento del sistema, llamada integral de Jacobi.46 Observamos queξ′2 + η′2 corresponde a un multiplo del termino cinetico T , por lo que su valor es siemprepositivo. En consecuencia, el movimiento del planetoide solo es posible en la region del plano enla que se verifica la condicion
2 Ω−K ≥ 0. (4.9.15)
La desigualdad (4.9.15) posibilita un estudio cuantitativo sobre las regiones del plano en lascuales el movimiento es posible. En efecto, conocidas la posicion y la velocidad iniciales del pla-netoide, el calculo de la funcion Ω permite determinar si un cierto punto (ξ′, η′) puede alcanzarsepara dichas condiciones iniciales. No obstante, el procedimiento no ofrece informacion algunasobre la trayectoria particular que sigue el planetoide, en el caso de que un punto sea alcanzablepara las condiciones iniciales establecidas.
Conviene analizar la funcion Ω mas detalladamente. Determinamos en primer lugar los puntoscrıticos. De la definicion en (4.9.10) obtenemos
∂Ω
∂ξ′= ξ′ +
(µ− 1) (µ+ ξ′)
ρ3E
− µ (ξ′ + µ− 1)
ρ3P
= 0, (4.9.16)
∂Ω
∂η′= η′
(1 +
µ− 1
ρ3E
− µ
ρ3P
)= 0. (4.9.17)
Fijandonos en primer lugar en la segunda ecuacion, tenemos la solucion η′ = 0. Sustituyendo enla primera ecuacion, resulta
∂Ω
∂ξ′= ξ′ +
(µ− 1) (µ+ ξ′)
|(ξ′ + µ)|3− µ (ξ′ + µ− 1)
|(1− µ)− ξ′|3= 0. (4.9.18)
Con el fin de simplificar esta ultima identidad, hay que tener en cuenta los signos en los nume-radores. Se distinguen claramente tres casos:
1. µ+ ξ′ < 0, por tanto µ+ ξ′ − 1 < 0.
2. µ+ ξ′ > 0 y µ+ ξ′ < 1, de lo que se obtiene µ+ ξ′ − 1 < 0.
3. µ+ ξ′ > 1, de donde µ+ ξ′ − 1 > 0.
En consecuencia, hay que resolver las tres ecuaciones
ξ′ − (µ−1)
(ξ′+µ)2+ µ
((1−µ)−ξ′)2 = 0, µ+ ξ′ < 0
ξ′ + (µ−1)
(ξ′+µ)2+ µ
((1−µ)−ξ′)2 = 0, 0 < µ+ ξ′ < 1
ξ′ + (µ−1)
(ξ′+µ)2− µ
((1−µ)−ξ′)2 = 0, µ+ ξ′ > 1
(4.9.19)
Buscando denominador comun en ellas, el problema se reduce a encontrar las raıces reales delas tres ecuaciones de quinto grado siguientes:
Λi = ξ′(ξ′ + µ
)2 ((1− µ)− ξ′
)2+ ai (µ− 1)
((1− µ)− ξ′
)2+ biµ
(ξ′ + µ
)2= 0, (4.9.20)
46Introducida por Jacobi en 1836, constituye uno de los primeros ejemplos del uso de formas diferenciales exactas enmecanica para la determinacion de constantes del movimiento. Vease la nota original en C.G.J. Jacobi 1836 ComptesRendus Acad. Sci. III, 59-61.
32 4.9. EL PROBLEMA RESTRINGIDO CIRCULAR
donde (ai, b1) = (−1, 1), (1, 1) y (1,−1) para i = 1, 2, 3, respectivamente. Las restriccionesimpuestas sobre los valores posibles de ξ′ indican a su vez las regiones en las que deben buscarsetales raıces.
Consideremos la ecuacion Λ1: las raıces reales deben buscarse para ξ′ < −µ. Un calculo elementalmuestra que
Λ1 (−µ) = 1− µ > 0, Λ1 (−2) = −63 + µ(109− 71µ+ 20µ2 − 2µ3
)< 0 (4.9.21)
para cualquier valor 0 < µ < 1, por lo que Λ1 admite una raız real en el intervalo [−2,−µ].Utilizando metodos numericos puede comprobarse que Λ1 no tiene otra raız real para ξ′ < −µ.47
Para Λ2, el intervalo que debe considerarse es [−µ, 1− µ]. La existencia de una raız real en esteintervalo esta garantizada por satisfacerse
Λ2 (−µ) = µ− 1 < 0, Λ2 (1− µ) = µ > 0, (4.9.22)
y nuevamente esta raız es unica en este intervalo. Finalmente, para Λ3 se tiene
Λ3 (1− µ) = −µ < 0, Λ3 (2) =(1 + 19µ+ 23µ2 + 12µ3 + 2µ4
)> 0, (4.9.23)
por lo que existe una (unica) raız real en el intervalo [1− µ, 2].Para cada valor de µ, los valores de las raıces pueden determinarse mediante cualquier metodode aproximacion numerica. La tabla siguiente especifica los valores de las raıces para algunosvalores de µ.
µ %1 ∈ [−2,−µ] %2 ∈ [−µ, 1− µ] %3 ∈ [1− µ, 2]
0,01 −1,004 0,848 1,1460,05 −1,020 0,715 1,2280,1 −1,041 0,609 1,2590,15 −1,062 0,519 1,2700,2 −1,083 0,438 1,2710,25 −1,103 0,361 1,2650,3 −1,120 0,286 1,2560,4 −1,162 0,141 1,136
Los puntos (%1, 0), (%2, 0) y (%3, 0) se llaman puntos de Lagrange, y se designan tradicionalmentepor L1, L2 y L3, respectivamente. Estos puntos corresponden a puntos estacionarios de Ω queno son extremos, por lo que corresponden a puntos de equilibrio inestables.48
Volvamos a la ecuacion (4.9.17) para analizar el caso donde η′ 6= 0. En este caso, se satisface laidentidad
1 +µ− 1
ρ3E
− µ
ρ3P
= 0. (4.9.24)
Sustituyendo el termino (µ− 1) ρ−3E en (4.9.16) por
(µρ−3
P − 1)
obtenemos
ξ′ +(µ+ ξ′
)( µ
ρ3P
− 1
)− µ (ξ′ + µ− 1)
ρ3P
= µ
(1
ρ3P
− 1
)= 0. (4.9.25)
47Veanse por ejemplo los capıtulos 4 y 5 de [4], donde se indican varios criterios para estimar las raıces reales depolinomios.
48Es un calculo rutinario pero tedioso comprobar que L1, L2 y L3 son puntos de ensilladura de Ω.
33
Dado que µ es movil, ha de verificarse que ρ3P = 1. Analogamente, reemplazando en (4.9.16) el
termino µρ−3P por 1 + (µ− 1) ρ−3
E , llegamos a la condicion
ξ′ +(µ− 1) (µ+ ξ′)
ρ3E
−(
1 +µ− 1
ρ3E
)(ξ′ + µ− 1
)= (µ− 1)
(1
ρ3E
− 1
)= 0, (4.9.26)
lo que obliga a que se verifique ρ3E = 1. Puesto que ρP y ρE son las distancias a los cuerpos
primarios y son, por tanto, positivas, obtenemos que han de verificarse ρP = 1 y ρE = 1,respectivamente. De la diferencia de estas distancias se sigue que
ξ′ =1
2− µ, (4.9.27)
y de ahı, la condicion η′2 − 34 = 0. Designamos como puntos de Lagrange L4 y L5 :
L4 =
(1
2− µ,
√3
2
), L5 =
(1
2− µ,−
√3
2
). (4.9.28)
Puede comprobarse facilmente que el determinante de la matriz jacobiana de Ω tiene el mismovalor en ambos puntos
det
(Ωξ′ξ′ Ωξ′η′
Ωξ′η′ Ωη′η′
)(Lj) =
27
4µ (1− µ) > 0, j = 4, 5. (4.9.29)
Esto demuestra que se trata de extremos locales, en este caso mınimos. En consecuencia, lospuntos L4 y L5 son estables.
Volviendo a la integral de Jacobi (4.9.14), pasamos a continuacion a analizar la estructura de lasregiones prohibidas 2 Ω −K < 0 en dependencia de la constante K.49 Como pauta general, setendra que la region prohibida estara mas extendida cuanto mayor sea el valor de la constanteK. Con el fin de ilustrar la situacion especıficamente, consideramos el sistema reducido para elvalor particular µ = 0,2.Para valores muy pequenos de K no existe region prohibida, de modo que el planetoide no estasujeto a limitaciones. Incrementando el valor de K observamos que aparecen los dos puntos deLagrange L4 y L5, que estan contenidos en las dos regiones prohibidas simetricas respecto deleje ξ.
Figura 4.15: Region prohibida no conexa.
49Suponemos implıcitamente que las condiciones iniciales del movimiento del planetoide son conocidas.
34 4.9. EL PROBLEMA RESTRINGIDO CIRCULAR
Conforme va aumentado K, dichas regiones crecen hasta eventualmente coincidir en el punto deLagrange L1, momento a partir del cual la region prohibida es conexa. Observamos que dicharegion empieza a cerrarse en torno al punto L3, con lo que la region prohibida divide el espacioen dos regiones bien definidas: el planetoide puede moverse en una orbita proxima a los doscuerpos primarios, u orbitar en una region externa separada de los cuerpos primarios por laregion prohibida.
Figura 4.16: Region prohibida conexa.
Un aumento progresivo muestra que, a partir de cierto valor, la region interna se cierra en tornoal punto L2, aislando a los cuerpos primarios. En este caso, son tres las regiones permisiblespara la orbita del planetoide, la citada region exterior, u orbitas en torno a uno de los cuerposprimarios, sin posibilidad de escape.
Figura 4.17: Aislamiento de los cuerpos primarios.
Formalmente, un incremento de K da lugar al colapso de las regiones posibles en torno a loscuerpos primarios, ası como de la region externa. Tales casos, no obstante, estan descartadosfısicamente.
Para finalizar, observamos que existen muchos otros casos especiales del problema de tres cuerposrestringido, desarrollados en diferentes contextos y con un grado variable de aplicabilidad ointeres en el contexto del problema general. Entre ellos, los mas notables son probablemente elcaso triangular de Lagrange, el problema elıptico restringido, el problema restringido no plano
35
(el planetoide no se mueve en el mismo plano orbital que los cuerpos primarios), el problemarestringido de Poincare o el problema unidimensional. Muchos de estos sistemas son, a su vez, deinteres en el analisis del llamado problema de N cuerpos. El lector interesado puede encontrarestos casos en [16, 18], donde ademas su incluyen datos historicos concernientes al problema detres cuerpos general.
Como resultado estructural fundamental, Poincare demostro que el problema general de los trescuerpos no admite una solucion matematica “cerrada”. La relevancia de esta conclusion reside,no obstante, en las deducciones realizadas sobre el movimiento, aun en ausencia de expresionesanalıticas. Por otra parte, salvo en algunos casos especiales, el movimiento que resulta no esperiodico. Podemos considerar este hecho como una primera aparicion de movimientos caoticos,en el sentido de un comportamiento que dependa sensiblemente de las condiciones inicialestomadas [15]. La moderna teorıa del caos y la dinamica no lineal, que no trataremos, emergefundamentalmente en la decada de 1960, con la introduccion de modelos computacionales parael estudio de sistemas no lineales y los trabajos pioneros de E. N. Lorenz.50
Referencias complemenarias
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