meccanica 9 1 aprile 2011 corpo rigido traslazione e rotazione di un corpo rigido momento angolare,...
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Meccanica 91 aprile 2011
Corpo rigido
Traslazione e rotazione di un corpo rigido
Momento angolare, componente parallela e normale all’asse di rotazione
Momento d’inerzia
Energia cinetica di rotazione. Lavoro
Rotazione attorno ad un asse fisso con L parallelo a
Teorema di Huygens-Steiner
Pendolo fisico
Misura di g, pendolo di Kater
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Corpo rigido
• È un caso particolare dei sistemi di punti materiali
• È di grande importanza per le applicazioni pratiche
• Un corpo è detto rigido se le distanze tra tutte le possibili coppie di punti del corpo non cambiano
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Corpo rigido
• Questa è un’astrazione che si applica tanto meglio quanto più i corpi sono indeformabili
• Un corpo perfettamente rigido non esiste
• Dal punto di vista microscopico la rigidità dei solidi è dovuta a forze di natura elettrica tra gli atomi costituenti
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Moto del corpo rigido
• Lo studio del moto di un corpo rigido viene fatto normalmente – in un SR inerziale, oppure– nel SCM (sistema non inerziale ma con gli
assi sempre paralleli a quelli di un SR inerziale), oppure
– in un sistema con gli assi solidali al corpo rigido (sistema non inerziale, con assi che possono anche ruotare rispetto a quelli di un SR inerziale)
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Moto del corpo rigido
• È determinato da una o più forze esterne, generalmente applicate in punti diversi del corpo
• Le forze sono quindi caratterizzati da una forza risultante F e da un momento risultante
• Ricordiamo che il lavoro delle forze interne in un corpo rigido è nullo quindi la variazione dell’energia cinetica è uguale al lavoro delle forze esterne
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Moto del corpo rigido
• Le leggi fondamentali sono le equazioni cardinali della meccanica
• Si puo` anche usare la conservazione dell’energia meccanica nel caso in cui le forze in gioco siano conservative o si abbia attrito statico
F M
a CM dt
Ld
0E
6
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Equilibrio statico del corpo rigido
• Un corpo rigido è in equilibrio statico se e solo se valgono le due condizioni:– è inizialmente in quiete:– P e L non variano nel tempo
• Dalla prima eq. segue che la forza risultante è nulla , dalla seconda che il momento di forza risultante è nullo
• Inoltre implica che è indipendente dal polo scelto e quindi il polo puo` essere un punto qualunque
F 0
0
0P
0L
0dt
Pd
0dt
Ld
7
F 0
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Traslazione di un corpo rigido
• Tutti i punti descrivono traiettorie uguali, in genere curvilinee, con la stessa velocita`, in genere varia
• Ogni punto ha lo stesso moto del CM: la conoscenza del moto del CM basta per conoscere il moto di tutti i punti del corpo
• Gli assi del sistema solidale col corpo rimangono sempre paralleli a quelli del SCM
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Traslazione di un corpo rigido
• La dinamica e` quella di un punto materiale e non c’e` movimento rispetto al CM
• Momento angolare ed energia cinetica nel SCM sono nulle
• QdM ed energia cinetica del corpo sono
• L’equazione del moto del CM e`
CMvMP
2
2
1CMMvK
CMaMF
0* L
0* K
9
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Traslazione di un corpo rigido
• Il momento angolare non e` indipendente dalla QM
• e quindi il teorema del momento angolare
non aggiunge alcuna informazione, infatti
• Cioe` e` esprimibile in funzione di F
PrvMrLLLL CMCMCMCMCM
*
Frdt
PdrvM
dt
rdvMr
dt
d
dt
LdCMCMCM
CMCMCM
10
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Rotazione di un corpo rigido
• Ogni punto descrive un moto circolare, la traiettoria e` un arco di circonferenza, di raggio diverso per ogni punto considerato, ma con centro su una stessa retta, detta asse di rotazione
• La rigidita` del corpo implica che tutti i punti abbiano la stessa velocita` angolare in un dato istante, parallela all’asse di rotazione
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Rotazione di un corpo rigido
• Se l’asse e` fisso nel tempo puo` cambiare solo in modulo e verso
• Nel caso piu` generale puo` cambiare anche in direzione: asse di rotazione variabile
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Moto di un corpo rigido
• Traslazione e rotazione sono i moti piu` importanti, in quanto vale il teorema, di cui non diamo la dimostrazione:
• Il moto rigido piu` generale e` una rototraslazione: ogni spostamento infinitesimo puo` sempre essere considerato come somma di una traslazione e di una rotazione infinitesime con velocita` v e variabili nel tempo
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• Per descrivere una rototraslazione si utilizzano le equazioni cardinali:– il teorema del moto del CM – il teorema del momento angolare
• In una rototraslazione le velocita` v e sono, in generale, indipendenti
• In situazioni in cui e` presente un vincolo le due velocita` possono essere legate da una relazione che elimina tale indipendenza (rotolamento puro)
Moto di un corpo rigido
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Momento angolare• Calcoliamo il momento angolare di un
corpo esteso in rotazione attorno ad un asse, supposto inizialmente fisso, con velocita` angolare , rispetto al polo O scelto sull’asse
• Esprimiamo rl(t) in termini del componente 1-D lungo l’asse (diciamolo z) e del componente 2-D perpendicolare
ri
zi
i
vi
O l
llll
lll rrmvmrL
tztr lll
jtyitxt lll
15
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Momento angolare
• Abbiamo messo in evidenza la dipendenza dal tempo delle grandezze
• Fintanto che l’asse di rotazione rimane lo stesso– la coordinata z e` indipendente da t – La coordinata (t) ruota, con modulo
indipendente da t
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Momento angolare
• L diviene
• Nella parentesi quadra il termine si annulla
• Il vettore ha la direzione di e modulo
:
• Il vettore ha direzione opposta a le modulo :
l
lllll zzmL
l
llll
lll zmmL
ll
l
2l
l
2
lll
ll
17
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Momento angolare
• Cioe` L e` la somma di un termine longitudinale e di un termine trasversale
• L’esistenza di quest’ultimo significa che, in generale, il momento angolare non e` parallelo al vettore velocita` angolare
LLzmmL
llll
lll
//
2
18
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Momento angolare• Il termine longitudinale e` proporzionale al vettore
velocita` angolare
• La costante di proporzionalita` e` detta momento d’inerzia del corpo rispetto all’asse di rotazione scelto– E` indipendente dalla posizione del polo sull’asse (
non dipende dalla posizione di O)– E` indipendente dal tempo ( non dipende da t)
ImtytxmLl
lll
lll
222
//
19
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Momento angolare• Il termine trasversale
– Dipende dal tempo (tramite x e y oppure l)
– Dipende dalla posizione del polo sull’asse (tramite z)
• Questo termine e` nullo in due casi notevoli in cui l’asse di rotazione – e` un asse di simmetria della distribuzione di massa del
corpo (allora per ogni punto x,y,z esiste un punto -x,-y,z che compensa il primo)
– e` un asse principale d’inerzia (vedi oltre)
l
llll
llll tzmjtyitxzmL
20
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Momento angolare
• Il momento angolare, calcolato rispetto ad un punto sull’asse di rotazione, puo` essere scritto come
• I vettori ruotano tutti con la stessa velocita` angolare, quindi anche e ruotano con tale velocita`; quest’ultimo descrive una superficie conica attorno all’asse di rotazione
• Questo moto e` detto precessione del momento angolare attorno all’asse di rotazione
LILLL
//
i
L
L
o
L
//LL
21
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Momento d’inerzia
• Per definire il momento d’inerzia di un corpo, bisogna conoscerne la distribuzione di massa, cioe` la distanza degli elementi di massa dall’asse attorno a cui ruota
• Per una distribuzione continua di massa
l
lll
lll mtytxmI 222 ,,
dmdmtytxIcorpocorpo
222 ,,
22
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Momento d’inerzia
• Ne segue che cambiando l’asse di rotazione, cambia il momento d’inerzia, cioe` la costante (indipendente dal tempo!) che lega il momento angolare longitudinale alla velocita` angolare
• I e` una grandezza scalare estensiva, cioe` tale che per un sistema scomponibile in parti, puo` essere calcolata come somma dei contributi delle singole parti
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Momento d’inerzia
• Questa nuova grandezza e` stata introdotta per semplificare lo studio del moto dei corpi rigidi
• Le sue dimensioni fisiche sono
• e l’unita` di misura e`
2MLI
2mkgIu
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Assi principali d’inerzia
• Esiste un teorema, dovuto a Poinsot, che afferma: dato un corpo rigido qualunque, comunque venga scelto un punto O, e` sempre possibile trovare tre direzioni mutuamente ortogonali passanti per O, per ognuna delle quali L e` parallelo a
• Questi assi sono gli assi principali d’inerzia• Se O coincide con il CM, gli assi si dicono
assi centrali d’inerzia
Anche una patata!C’e` una simmetria non evidente
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Calcolo del momento d’inerzia
• Per una sbarra sottile rispetto all’asse normale mediano
• Per un cilindro rispetto al proprio asse
• Per una sfera rispetto ad un asse baricentrico
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Calcolo del momento d’inerzia
• I calcoli piu` semplici sono quelli per assi di rotazione coincidenti con assi di simmetria passanti per il CM
• Per assi paralleli a questi assi, esiste un teorema che permette di calcolare semplicemente i momenti d’inerzia relativi
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Teorema di Huygens-Steiner
• Detto I il momento d’inerzia di un corpo di massa m, rispetto ad un asse a passante per il CM, il momento d’inerzia rispetto ad un asse a’ parallelo al primo e distante d da questo e`
2' mdII
CM
d
a a’
28
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• Detto P il generico punto del corpo, tracciamo il piano passante per P e perpendicolare ai due assi paralleli
• Sia la distanza di P dall’asse a e ’ la distanza di P dall’asse a’
• Vale la relazione
Teorema di Huygens-Steiner
d
'
CM
d
P
’
aa’
29
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• Il momento d’inerzia rispetto ad a’ e`
• Il secondo termine e` nullo, in quanto il centro di massa appartiene all’asse a
• quindi
Teorema di Huygens-Steiner
2
2222
2
2''
mdmdI
dmddmddmdmddmI
CM
corpocorpocorpocorpocorpo
2' mdII
30
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Energia cinetica di rotazione
• Partendo dalla definizione di K
• Ricordando che• Possiamo scrivere
• L’energia cinetica di rotazione dipende dal momento d’inerzia rispetto all’asse di rotazione, ovvero dal momento angolare longitudinale
222222
2
1
2
1
2
1
2
1 ImmvmKi
iii
iii
ii
i
vi
IL //
I
LLIK
2//
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1
2
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Lavoro
• In seguito all’azione di un momento esterno, la velocita` angolare di un corpo viene portata dal valore iniziale a quello finale
• Per il teorema dell’energia cinetica, la variazione di K e` uguale al lavoro delle forze agenti sul sistema
• Per un corpo rigido, solo le forze esterne danno un contributo
EWK 32
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Lavoro e potenza
• In termini infinitesimi
• Integrando gli ultimi due membri otteniamo il lavoro come integrale del momento nella variabile angolare
• Esprimiamo la potenza in funzione del momento e della velocita` angolare
EdWddIdtdt
dIdIIddK
//
2
2
1
EF
I
E WdWd
0
//
//// dt
d
dt
dW E
P33
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Rotazione intorno ad un asse fisso
• E` un caso particolare di grande importanza pratica nello studio di macchine e motori
• Il vettore ha la direzione fissa dell’asse, mentre modulo e verso possono cambiare nel tempo
• Se non e` costante, il vettore accelerazione angolare e` diverso da zero e diretto lungo l’asse dt
d
34
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• Dal teorema del MA, le equazioni del moto sono
• Il moto longitudinale (1-D) e` retto da , parallelo all’asse e che puo` far cambiare solo in verso e modulo ma non in direzione
• Il moto trasversale (2-D) e` retto da , perpendicolare all’asse e che tende a far ruotare l’asse, cioe` a far cambiare la direzione di
Rotazione con asse fisso e L non //
dt
Ld
I
dt
dI
dt
Id
dt
dL //
//
//
35
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Rotazione con asse fisso e L //
• Il caso piu` semplice e` quello in cui il momento angolare e` parallelo all’asse, ovvero la componente trasversale e` nulla; in tal caso
• ove I e` il momento d’inerzia del corpo rispetto all’asse
• L puo` variare in modulo e verso, ma non in direzione, quindi e` parallelo a
• Il teorema del momento angolare impone allora che il momento delle forze che fa variare L sia anch’esso parallelo a
IL
dtLd
Idt
dL
dt
Ld //
//
36
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• Risolvendo l’equazione rispetto all’accelerazione
• Noto il momento, si puo` ricercare l’integrale primo del moto
• In particolare se il momento e` costante
Rotazione con asse fisso e L //
tt
dtI
dtt0
//
0
0
tI
t //0
Idt
d //
37
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Un esempio semplice di L non //
• Consideriamo un sistema formato da una sbarra di lunghezza 2z, a ciascuna estremita` della quale e` posta una sbarretta di lunghezza e una massa m
• Supponiamo che la sbarra e le due sbarrette abbiano massa trascurabile
• Supponiamo che il sistema ruoti attorno alla direzione (fissa) della sbarra con azimut e velocita`
• Calcoliamo il momento angolare del sistema rispetto al punto mediano O della sbarra
o
zm
r
1
2
m
38
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• I contributi delle due masse sono uguali
• Poiche’ il moto delle masse e` circolare, la componente longitudinale di L vale
• E quella trasversale
lvmrvmrvmrllL2222211121
ImmL
mmrrmvlL
22
//
2////
22
2sin2sin22
tzmtzmL
zmmrrmvlL
22
2cos2cos22
o
m
l1
l2
v2
o
z
v1
r1
r2
Un esempio semplice di L non //
39
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• La componente longitudinale e` proporzionale a secondo il momento d’inerzia, che e` costante
• La componente trasversale ruota attorno all’asse (precessione) con modulo proporzionale a
o
l1
l2
o
L
//LL
Un esempio semplice di L non //
40
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• Come si e` detto il moto trasversale (2-D) e` retto dall’eq.
• con perpendicolare all’asse e che tende a farlo ruotare, cioe` a far cambiare in direzione
• Cerchiamo ora di capire l’origine di
Un esempio semplice di L non //
dt
Ld
41
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• Affinche’ le masse descrivano un moto circolare, e` necessario che sia presente una forza centripeta per ciascuna di esse
• Tali forze devono essere generate dall’asse• Se vogliamo che l’asse rimanga fisso,
occorre che i supporti che lo sostengono resistano alle forze dovute all’asse stesso
• I supporti reagiscono con forze uguali e contrarie a quelle dell’asse (ed uguali a quelle centripete)
o
z
mf
r
1
2
Un esempio semplice di L non //
42
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• Il momento delle forze centripete e`
• I due contributi sono uguali, hanno direzione e modulo
• quindi
2211 frfr
22 222 zmzmfz
fz
Un esempio semplice di L non //
o
z
f
r
1
2
43
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• Ricordando l’espressione del momento angolare trasversale
• e la derivata del versore • si verifica facilmente il teorema del momento
angolare
zmL 2
222 zm
dt
dzm
dt
Ld
dt
d
Un esempio semplice di L non //
44
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• Per riassumere: l’asse agisce sulle masse generando il momento di forza trasversale e le due masse agiscono sull’asse con forze che tendono a farlo ruotare
• Il momento generato dai cuscinetti che supportano l’asse e` uguale e contrario a quello dell’asse (per la 3a legge della dinamica) e quindi uguale al momento trasversale
• Questi momenti devono essere resi piu` piccoli possibile, per ridurre l’usura dei cuscinetti
• Si cerca quindi di rendere L parallelo a , facendo ruotare il corpo attorno ad un asse di simmetria
Un esempio semplice di L non //
45
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Pendolo fisico
• E` un qualunque corpo rigido oscillante attorno ad un asse orizzontale (non passante per il CM)
• Consideriamo la sezione del corpo perpendicolare all’asse e contenente il CM
• Sia O la traccia dell’asse di rotazione e r la distanza di O dal CM, W il peso del corpo e l’angolo formato dal da r con la verticale
CM
O
W
r
46
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• L’asse e` vincolato a rimanere fisso, esistera` quindi una forza vincolare V che agisce sul corpo
• Come ogni forza vincolare, essa e`, a priori, incognita e sara` determinata dopo aver risolto l’equazione del moto
• Scegliamo un sistema di coordinate cilindriche con origine O, asse polare verticale e asse z = asse di rotazione con verso uscente dal foglio
Pendolo fisico
CM
O
W
r
V
47
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• Le componenti del peso sono allora
• E le componenti della forza vincolare
• Entrambe le forze hanno componente z nulla
Pendolo fisico
sin
cos
WW
WWr
VVr ,
CM
O
W
r
VV
Vr
Wr
W
48
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Pendolo fisico
• Scegliamo O come polo per il calcolo dei momenti: questo e` conveniente perche’ la forza vincolare incognita ha momento nullo rispetto a O e il momento risultante e` uguale al momento della forza peso
• Applichiamo al corpo le equazioni cardinali
• Proiettando queste equazioni vettoriali lungo gli assi coordinati otteniamo equazioni 1-D
CMaMVW
dt
Ld
Wr
49
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• Per i momenti• Note le espressioni del momento di forza e del
momento angolare
(I e` il momento d’inerzia rispetto all’asse di rotazione) l’equazione diviene:
• che e` sufficiente per trovare la legge oraria (t)
Pendolo fisico
ILz
dt
dLzz
sinrWrWz
2
2
sindt
dI
dt
dII
dt
drW
50
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• Per le forze abbiamo le due equazioni
che ci servono per trovare le componenti della reazione vincolare una volta nota (t)
Pendolo fisico
2
2
dt
dMrrMMaVW CM
rrr
2
2
dt
dMrr
dt
dMMaVW CM
2MrWV rr
2
2
dt
dMrWV
51
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• Risolviamo ora l’equazione differenziale per (t)
• Per piccole oscillazioni possiamo confondere il seno con l’arco, ottenendo
• Che e` l’equazione del moto armonico con pulsazione e periodo
Pendolo fisico
sin
2
2
I
rW
dt
d
22
2
I
rW
dt
d
Mgr
I
rW
IT
222
52
![Page 53: Meccanica 9 1 aprile 2011 Corpo rigido Traslazione e rotazione di un corpo rigido Momento angolare, componente parallela e normale allasse di rotazione](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062319/5542eb4d497959361e8baa2f/html5/thumbnails/53.jpg)
• La soluzione e`• Con A e due costanti determinabili imponendo
le condizioni iniziali
Pendolo fisico
tAsent
53
![Page 54: Meccanica 9 1 aprile 2011 Corpo rigido Traslazione e rotazione di un corpo rigido Momento angolare, componente parallela e normale allasse di rotazione](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062319/5542eb4d497959361e8baa2f/html5/thumbnails/54.jpg)
Misura di g
• Risolviamo l’equazione del periodo rispetto a g
• Questa equazione e` la base per la misura di g mediante un pendolo
• Due grandezze sono facilmente misurabili: M e T, le altre due I e r (o I/r) sono invece difficili
• Una soluzione del problema si ottiene cercando altri assi, paralleli al primo, per cui l’oscillazione del pendolo abbia ugual periodo
r
I
MTg
2
24
54
![Page 55: Meccanica 9 1 aprile 2011 Corpo rigido Traslazione e rotazione di un corpo rigido Momento angolare, componente parallela e normale allasse di rotazione](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062319/5542eb4d497959361e8baa2f/html5/thumbnails/55.jpg)
Misura di g
• Detta r’ la distanza di un tale asse dal CM, e I’ il relativo momento d’inerzia, vogliamo che
• Ovvero• Poiche’ I dipende da r, ricorriamo al th. di HS,
introducendo il MdI I0 rispetto all’asse parallelo passante per il CM
'
'
2'2Mgr
IT
Mgr
IT
'
'
r
I
r
I
'
20
20 '
r
MrI
r
MrI
55
![Page 56: Meccanica 9 1 aprile 2011 Corpo rigido Traslazione e rotazione di un corpo rigido Momento angolare, componente parallela e normale allasse di rotazione](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062319/5542eb4d497959361e8baa2f/html5/thumbnails/56.jpg)
• Semplificando otteniamo
• Scartando la soluzione r’=r, poco interessante, rimane la soluzione
Misura di g
rrrMrrrI '''0
Mr
Ir 0'
CM
O
rO’
r’
56
![Page 57: Meccanica 9 1 aprile 2011 Corpo rigido Traslazione e rotazione di un corpo rigido Momento angolare, componente parallela e normale allasse di rotazione](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062319/5542eb4d497959361e8baa2f/html5/thumbnails/57.jpg)
Misura di g
• Dato un punto O, cerchiamo il punto O’ che sia allineato con O e il CM e opposto a O rispetto al CM: e` il punto coniugato di O
• La distanza tra i due assi e`
• Ora ecco l’idea brillante: per trovare il rapporto I/r basta trovare due punti coniugati e misurarne la distanza d=OO’=r+r’
CM
O
r
O’r’
Mr
I
Mr
IMr
Mr
Irrr
0
20'
57
![Page 58: Meccanica 9 1 aprile 2011 Corpo rigido Traslazione e rotazione di un corpo rigido Momento angolare, componente parallela e normale allasse di rotazione](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062319/5542eb4d497959361e8baa2f/html5/thumbnails/58.jpg)
Misura di g
• Cioe` non occorre conoscere ne’ la posizione del CM ne’ il MdI
• Ne segue che
• Il pendolo reversibile di Kater realizza praticamente questa idea
dT
g2
24
58