MECCANICA DEI LIQUIDI

LA PRESSIONE

• Pressione

• Unità di misura Pascal = Newton/m2

F

n

Fn

S

nFF npS S

La pressione è una grandezza scalare definita punto per punto all’interno di un liquido.

Sostituisco un campo vettoriale di forze con un campo scalare di pressione

EQUILIBRIO NEI LIQUIDI

In un fluido in equilibrio si ha

• FT = 0 (forze tangenziali)

• P indipendente dalla posizione di S (Principio di isotropia )

La forza peso su S è FP = V g = S h g

dove è la densità del liquido

La pressione nel punto P è data da:

p = FP / S = h g (Legge di STEVINO)

Per il principio di isotropia delle pressioni su tutte le superfici, comunque orientate, contenente il punto P la pressione è la stessa.

Se sul pelo libero del liquido c’è la pressione atmosferica p0 a profondità h la pressione vale :

p = p0 + h g

S

hP

PRINCIPIO DI ARCHIMEDE• Immergendo un corpo in un liquido

p1 = g h1 ; p2 = g h2 p = g h

FA = p S = g (h S) = g V

p > 0 FA è diretta verso l’alto ed è applicata

nel centro di gravità della parte sommersa mentre la forza peso agisce nel centro di gravità dell’intero corpo.

superficie libera

V=Sh

h2

h1

h

p1

p2

FA

FA

P

FA

PP

• MOTO STAZIONARIO : ogni particella che passa in un punto ha la velocità uguale a quella di tutte le particelle già passate e si quelle che passeranno.

• La PORTATA è definita come il volume V = S h = S v t di liquido che attraversa una sezione S nell’unità di tempo

• L’equazione di continuità (conservazione della massa)

IL MOTO NEI LIQUIDI

v SS v ΔtQ = = SvΔt

v1 , S1

v2 , S2S1v1 = S2v2

TEOREMA DI BERNOULLI• Liquido non viscoso: incomprimibile e senza attriti.

• Lo studio del moto del cubetto di liquido sottoposto

alla forza peso e alle forze di pressione permette di scrivere

il teorema di Bernoulli (conservazione dell’energia):

(Energie potenziali gravitazionale,delle forze “da pressione”,

Energia cinetica)

p1, v1, h1

p2, v2, h2

2 21 2

1 1 2 2

2 21 1 2 2

1 2

( ) ( )( ) ( ) ( )

2 2divido tutto per ( )

2 2

V v V vV gh pV V gh p V m V

V g

p v p vh h

g g g g

altezza geometrica altezza piezometrica altezza cinetica

LIQUIDI VISCOSI

• Liquido viscoso: nel teorema di Bernoulli devo considerare un termine di energia per unità di volume (dimensionalmente una pressione) EA dissipata per effetto delle forze di attrito nel tratto 1-2 (la ottengo dall’espressione di prima moltiplicando tutto per )

Consideriamo il seguente caso :

Poiché S1 = S2 dall’equazione di continuità v1=v2 e poiché h1=h2

EA = p1 – p2

Per ottenere una portata Q di liquido reale devo applicare una differenza di pressione. La

resistenza del condotto è definita come

R =p / Q

v1 v2

1 2

2 21 2

1 1 2 2 Aρv ρv

ρgh +p + = ρgh +p + +E2 2

g

MOTO LAMINARE

• MOTO LAMINARE: il liquido si muove a strati (lamine) che scivolano uno sopra l’altro

dove e la viscosità del liquido che dipende dalle caratteristiche del liquido e dalla sua temperatura (dimuinisce al crescere della temperaturaPer un liquido omogeneo in regime laminare la resistenza è

• EQUAZIONE DI POISEUILLE

Poiché siamo in regime stazionario la portata è costante (Q=S v= r2 v) le forze di pressione saranno

A

v2

v1

avF = -η A δ

4η 8R = π r

4πr Q = p

8 η

2 2p 4

η 8F = p S= p r = r 8π rQ v

MOTO TURBOLENTO• Superata una velocità critica il regime laminare transita verso un regime

turbolento dove siamo in presenza di vortici. Il liquido passa da un moto silenzioso ad un moto rumoroso. La resistenza del condotto aumenta ed è uguale a

dove k è un fattore di attrito e la portata Q non è più proporzionale a p

Le linee di velocità nel caso di moto laminare o turbolento si presentano

Profilo parabolico della v delle lamine Moto turbolento

R = k Q

Q Δp

MOTO NON STAZIONARIOIn un moto non stazionario che avviene in un condotto rigido o flessibile le pressioni, la portata sono delle grandezze variabili nel tempo : moto pulsato del sangue nel sistema circolatorio.