mecflu aula perfil de velocidades turbulento

MECANICA DOS FLUIDOS

PUCRS - DEM - Prof. Alé 2-1

ESCOAMENTOS VISCOSOS

PERFIL DE VELOCIDADES EM ESCOAMENTOS TURBULENTOS

Mecânica dos Fluidos

Escoamentos Viscosos 2-2

PERFIL DE VELOCIDADES EM ESCOAMENTOS TURBULENTOS – TUBOS Num escoamento turbulento em dutos o perfil de velocidade cresce desde a parede até um máximo no centro da tubulação. Este escoamento pode ser divido em três regiões principais: • Uma subcamada laminar ou viscosa muito próxima da parede • Uma camada intermediaria ou de superposição • Uma camada turbulenta externa (na região central da tubulação).

A natureza do escoamento e portando do perfil de velocidade e totalmente diferente nestas três camadas:

• Na subcamada a viscosidade do fluido e um parâmetro significativo e a massa especifica não. • Na camada externa a massa especifica e um parâmetro significativo e a viscosidade não.

Escoamento turbulento num tubo (a) tensão de cisalhamento e (b) velocidade média. Sabemos que num escoamento turbulento a tensão de cisalhamento e composta por uma parcela de tensão laminar e uma turbulenta. ( )''vu

dy

udturblam ρµτττ −=+=

A equação pode ser representada como:

( )dy

udTµµτ +=

Onde µ representa a viscosidade absoluta do fluido e µT representa a viscosidade aparente ou efetiva.

dy

udlmT

2ρµ =



dy

ud

dy

udl

dy

udm

+= 2ρµτ

Visto desta forma podemos colocar que: Sub-camada laminar ou viscosa (região da parede)

Tturblam µµττ >>>> Camada de amortecedora ou de superposição:

Tturblam µµττ ≅≅ Camada turbulenta externa:

µµττ >>>> Tlamturb



EQUACIONAMENTOS PARA O PERFIL DE VELOCIDADES EM ESCOAMENTOS TURBULENTOS – TUBOS LISOS

Objetivo:

Determinar o perfil de velocidade num escoamento turbulento numa tubulação considerada lisa e um fluido com propriedades constantes.

Utiliza-se como equação básica a expressão da tensão turbulenta:

Para equacionar o perfil de velocidade e utilizado o conceito de velocidade de atrito. Velocidade de Atrito

ρτWu =*

onde Wτ e a tensão de cisalhamento na parede e ρ a massa especifica do fluido. Alem disto são introduzidas duas grandezas adimensionais:

• Velocidade adimensional +u • Distancia a partir da parede adimensional +y

Velocidade de Adimensional

*u

uu =+

Distancia da parede adimensional

v

yuy

*

=+

rRy −= Representa a distancia normal a partir da parede

ν Viscosidade cinemática do fluido Em termos das camadas: Sub-camada viscosa (região da parede) 5≤+y Camada de superposição: 305 ≤< +y Camada externa: 30>+y

dy

ud

dy

udl

dy

udm

+= 2ρµτ



SOLUCAO 1.

dy

ud

dy

udl

dy

udm2ρµτ +=

2. sabemos que kylm =

3. ( )2

2

+=dy

udky

dy

ud ρµτ

4. Dividimos a Equação pela massa especifica

5. ( )2

2

+=dy

udky

dy

ud

ρµ

ρτ

6. O termo ν

ρµ= representa a viscosidade cinemática:

7. ( )2

2

+=dy

udky

dy

udv

ρτ

8. ( )

dy

ud

dy

udkyv

+= 2

ρτ

9. ( )

dy

ud

dy

udkyvu

+= 22*

Equação Deduzir as Equações Especificas.

( )

dy

ud

dy

udkyvu

+= 22*



Caso No1 – Escoamento na Sub-camada Viscosa (Região da Parede): Como: turblam ττ >> o termo que representa a tensão viscosa da equação torna-se nulo.

( )dy

udvu =

2*

dyv

uud

2*

= sendo que : *uduud +

= e que *u

dydy

ν+=

*

2**

u

dy

v

uudu

ν++= Se obtém:

++

= dydu Integrando

cyu += ++ Nas condições de contorno na parede: 0 0 por tanto 0 0 ====

++ yeuuypara e c=0. Lei da Parede Sub-camada Laminar ou Viscosa

++

= yu para 5≤+y



Caso No2 – Camada turbulenta (Região de Externa): Como: lamTrub ττ >> o termo que representa a tensão laminar torna-se nulo. Podemos utilizar as relações adimensionais:

( )2

22*

=

dy

udkyu

dy

udkyu =*

O termo: *

2*

*

*

*

*u

dy

duy

dy

udu

u

vy

u

dy

udu

u

vy

dy

udy

+

++

+

++

+

++

=

=

=

νν

** udy

dukyu

+

++

=

+

++=

ky

dydu Integrando:

cyk

u += ++ ln1

Onde c e uma constante que depende da rugosidade da tubulação. Para paredes consideradas lisas, na literatura se encontra c=5 ou também c=5,5. Lei da Logarítmica Camada Externa plenamente turbulenta.

5,5ln5,2 += ++ yu para 30>+y

Pode ser mostrado que integrando a equação anterior se obtém a velocidade media do perfil de velocidades. Lei da Logarítmica Velocidade Media

34,1ln5,2

*+≅ +y

u

Vmedia para 30>+y

Caso No3 – Região de Superposição: Neste caso adota-se um perfil de ajuste logarítmico do tipo. Lei da Logarítmica Camada de Superposição.

05,3ln0,5 −=

++ yu para 305 ≤< +y



RESUMO DAS EQUACOES DO PERFIL DE VELOCIDADES Sub-camada viscosa (região da parede) ++

= yu para 5≤+y Camada de superposição: 05,3ln0,5 −=

++ yu para 305 ≤< +y Camada externa: 5,5ln5,2 += ++ yu para 30>+y

Perfil de velocidade turbulenta num tubo liso

Escoamento turbulento num tubo (a) tensão de cisalhamento e (b) velocidade média.

y+=u*y/ν

u+



PERFIL DE VELOCIDADES EM ESCOAMENTOS TURBULENTOS – TUBOS RUGOSOS

• Uma superfície e considerada hidraulicamente lisa quando as saliências da superfície ( ε) ou rugosidade for muito menor que a espessura da sub-camada viscosa (δV)).

• Define-se o parâmetro Parâmetro de Rugosidade

*u

ν

εε =+

• Estudos em tubos em escoamento turbulento utilizando rugosidade areia para aumentar artificialmente a rugosidade permitem concluir que a as superfícies podem ser classificadas em função do parâmetro:

Hidraulicamente Lisa: • Sem efeito da rugosidade sobre o atrito

50 ≤≤ +ε

Transitórias • Efeito moderado do numero de Reynolds

705 ≤< +ε

Completamente Rugosa • A subcamada viscosa e totalmente destruída e o

atrito dependem do numero de Reynolds.

70>+ε

Resultados mostram que para escoamento em tubos rugosos, a lei logarítmica da velocidade para escoamento plenamente turbulento e dado por: Lei da Logarítmica da Velocidade

• Tubos Rugosos • Camada Externa plenamente

turbulenta.

5,8ln5,2 +=+

ε

yu para 70>+ε

Integrando esta equação se obtém a velocidade media do perfil de velocidades na tubulação: Velocidade media

• Tubos Rugosos • Camada Externa plenamente

turbulenta.

5,8ln5,2

*+=

ε

D

u

Vmedia para 70>+ε



PERFIL DE VELOCIDADES EM ESCOAMENTOS TURBULENTOS – LEI EXPONENCIAL Uma alternativa para descrever a distribuição de velocidade num escoamento turbulento numa tubulação e dada pela lei exponencial: Lei Exponencial

n

R

ruu

/1

max 1

−=

onde o expoente n e uma função do numero de Reynolds e da rugosidade do material e varia de 5 a 10. Para tubos lisos: Re 4x103 105 106 > 2x106 n 6 7 9 10 Podemos também utilizar uma expressão aproximada. 96.1Relog85.1 −=n

O expoente n esta relacionado com o fator de atrito pela equação empírica: Expoente n

fn

1=



Lembrando que tanto para escoamentos laminar e turbulento o atrito esta relacionada com: Equações validas para Escoamento Laminar e turbulento

2

8

media

W

Vf

ρτ

= 4

D

L

PW

∆=τ g

V

D

LfhL 2

2

=

• O perfil de velocidades da lei exponencial não poder ser utilizado para determinar a tensão de cisalhamento na parede já que:

• ∞=

parede

dy

ud

• Para determinar Wτ deve-se relacionar o fator de atrito com a tensão de cisalhamento com as equações apresentadas acima.

Pode-se obter a velocidade media em função da velocidade máxima pela integração da velocidade:

A

dAu

A

QV

R

media

∫==

0 ( ) max

2

20

)12(1

22)(

unn

n

R

rdrru

V

R

media++

==∫π

π

Relação entre a velocidade media e velocidade máxima.

( ) )12(1

2 2

max ++=

nn

n

u

Vmedia



EXEMPLO - 1: Numa tubulação de 140mm de diâmetro escoa ar a 200C. A tensão de cisalhamento na parede e igual a 0,062Pa. Considere tubo liso e pressão atmosférica padrão. Determinar : (a) a velocidade no centro da tubulação (

maxu ) (a) a velocidade media ( mediaV )

EXEMPLO - 2: Numa tubulação de 97mm de diâmetro escoa água com uma vazão de 18 m3/h ar a 400C. A variação de pressão num trecho de 30 metros de comprimento e igual a 1255 Pa. Considerando tubulação lisa determinar:

(a) Velocidade na tubulação numa distancia media entre a parede e o centro do tubo. (b) A distancia a partir da parede em que a velocidade e igual a velocidade media da tubulação. (c) Considerando os limites das diferentes camadas determine a espessura da subcamada laminar, da camada de

transição e da camada turbulenta..

Propriedades da água a 400C sPaxmkg .1051,6 /992 43 −

== µρ

EXEMPLO – 3: Numa tubulação de 100mm de diâmetro escoa água ( 400C.)com uma velocidade media igual a 1,6m/s. A rugosidade do material e igual a 0,046mm. (a) Determine a espessura da sub-camada viscosa. (b) Especifique se a parede da tubulação e considerada lisa ou rugosa.

• Uma superfície e considerada hidraulicamente lisa quando as saliências da superfície ( ε) ou rugosidade for muito menor que a espessura da sub-camada viscosa (δV)). SCVδε <<

EXEMPLO – 4 Numa tubulação lisa horizontal de 400mm de diâmetro escoa água ( 200C.) com uma vazão de 14,4 m3/h. Utilize a lei de exponencial para determinar: (a) O fator de atrito (b) Velocidade máxima (c) A posição radial em que u=Vmedia (d) A tensão de cisalhamento na parede (e) a queda de pressão para um comprimento de 10m. (f) A velocidade máxima utilizando a lei logarítmica.

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