mechanics of materials · 2016-01-21 ·...

กลศาสตรวัสดุMechanics of Materials

รองศาสตราจารย์ ดร. ชาวสวน กาญจโนมัยภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล คณะวิศวกรรมศาสตร์

มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

1

Wednesday, February 26, 14

2

สัปดาหที่ เนื้อหา เอกสาร (หนา)

8 ความเคนและความเครียดของโครงสรางรับโมเมนตดัด 1 1 - 14



11ความเคนและความเครียดของโครงสรางรับภาระผสม การวิเคราะหตำแหนงวิกฤติ

49 - 78

12การวิเคราะหขนาดและทิศทางของความเคนตั้งฉากสูงสุดและความเคนเฉือนสูงสุด

49 - 78

13 ทฤษฎีความเสียหายเบ้ืองตน 49 - 78

14 การวัดความเคนและความเครียด 49 - 78

15 สอบปลายภาค

รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร

แผนการบรรยาย


3

ความเคนและความเครียดของโครงสรางรับโมเมนตดัด



• ความเครียดตั้งฉากในคาน (normal strain in beam)

• ความเครียดในแนวขวาง (transverse strain)

• ความเคนตั้งฉากในคาน (normal stress in beam)

• ความเคนเฉือนในคาน (shear stresses in beam)

• คานที่มีหนาตัดตางๆ (beam with various cross sections)

• คานรับแรงในแนวแกน (beams with axial loads)

4


หัวขอบรรยาย


5


• คาน (beam) หมายถึง โครงสรางที่รับแรงในแนวตั้งฉากกับแกนตามยาว (longitudinal axis) โดยแรงนี้จะสงผลใหเกิดแรงเฉือน (shear force, V) และโมเมนตดัด (bending moment, M) บนคาน

• กำหนดคานที่มีแกนตามยาวเปนเสนตรง มีความสมมาตร (symmetric) เม่ือเทียบกับระนาบ x-y (y เปนแกนสมมาตรของหนาตัด) ภาระที่มากระทำสงผลใหเกิดการโกงตัว (deflection) เกิดบนระนาบ x-y ดังรูป


6

ความเครียดต้ังฉากในคาน (normal strain in beam)


• O′ คือ จุดศูนยกลางความโคง (center of curvature) ที่ระยะ x จากจุดยึด • คือ รัศมีความโคง (radius of curvature) ที่ระยะ x จากจุดยึด

• k หรือ 1/ คือ คาความโคง (curvature) ที่ระยะ x จากจุดยึด

คานยื่น (cantilever beam)


7


เม่ือ d เล็กมากๆ

ถาการโกงตัวนอยมากๆ


8


• เคร่ืองหมายของรัศมีความโคง (radius of curvature) และคาความโคง (curvature) สามารถกำหนดตามแกนอางอิง (coordinate axis)


9


• การคำนวณความเครียดตั้งฉาก (normal strain) สามารถอาศัยคาความโคงและการโกงตัวของคานมาใชในการคำนวณ ซึ่งในกรณีของการดัดแบบ pure bending

z

• โมเมนตดัด (bending moment, M) = Mo• คานมีลักษณะสมมาตร ดังนั้นหนาตัด (cross section) m-n มีลักษณะเหมือนกับหนาตัด p-q


10


• ระยะ m-p ยาวขึ้น (ความเครียดตั้งฉากเปนบวก) หรือเกิดการดึง ในขณะที่ระยะ n-q หดสั้นลง (ความเครียดตั้งฉากเปนลบ) หรือเกิดการอัด

• ระหวาง m-p และ n-q จะมีพื้นผิวซึ่งไมมีการยืดหรือหด ซึ่งแสดงไดดวยเสนประ s-s โดยเรียกพื้นผิวนี้วาพื้นผิวเปนกลางของคาน (neutral surface of beam)


11


• รอยตัดระหวางพื้นผิวเปนกลาง (neutral surface) กับหนาตัด (cross section) เรียกวา แกนเปนกลางของหนาตัด (neutral axis of cross section)

• เม่ือตอเสนตรงจาก m-n และ p-q บนคานที่โกงตัว พบวาจะตัดกันที่จุดศูนยกลางความโคง (O′) โดยมุมที่ทำระหวางระนาบ m-n และ p-q เปน d และ

ระยะจาก O′ ไปยังพื้นผิวเปนกลางเปนรัศมีความโคง ()


12


• พิจารณาเสน e-f ซึ่งอยูหางเปนระยะ y จากพื้นผิวเปนกลาง โดย e-f ยาว dx กอนที่จะเกิดการโกงตัว และ e-f ยาว L1 หลังจากที่เกิดการโกงตัวแลว


13


• ความเครียดในแนวตั้งฉาก (normal strain)


14


• ความเครียดในแนวตั้งฉาก (normal strain)

• y เปนบวก k เปนบวก x เปนลบ หดตัว

• y เปนลบ k เปนบวก x เปนบวก ขยายตัว


15


ตัวอยางที่ 4.1 คาน AB ยาว 4 เมตร ถูกดัดดวยโมเมนต Mo โดยระยะจากผิวดาน

บนของคานไปยังพื้นผิวเปนกลาง (neutral surface) เปน 150 มม. จงหา , k, ในแนวด่ิงของจุดก่ึงกลางคาน โดย x ที่ผิวดานบนของคานเปน 0.0014


16



17


• เนื่องจากคานมีการโกงตัว (deflection) เปนสวนหนึ่งของวงกลม (arc) โดยมีรัศมีความโคง (radius of curvature) เปน ดังนั้น


18


• อัตราสวนระหวางความยาวของคานตอการโกงตัวเปน

• ซึ่งแสดงใหเห็นวาคานเกือบจะไมมีการโกงตัว เม่ือเทียบกับความยาวของคาน








19




20

ความเครียดในแนวขวาง (transverse strain)


• จากผลกระทบของปวซองส (poison’s effect) ทำใหโครงสรางเกิดความเครียดในแนวขวาง (transverse strain) เม่ือมีภาระใดๆ มากระทำ

ใหเกิดความเครียดตั้งฉาก (normal strain, x) โดย


21


• ความเครียดตั้งฉาก (x) ทำใหเกิดความเครียดขวาง (z) ซึ่งทำใหหนาตัด (cross section) ของคานมีการเปล่ียนแปลงรูปรางไปจากเดิม


22


• สวนบนของคานซึ่งมี x เปนบวก ดังนั้น z มีคาเปนลบ ทำใหสวนบนของหนาตัดสั้นลง

• สวน s-s หรือพื้นผิวเปนกลางโดยมี x =0 ดังนั้น z =0 ทำใหสวนแกนเปนกลาง (neutral axis) หรือแกน z ไมมีการเปล่ียนแปลงขนาด

• สวนลางของคานซึ่งมี x เปนลบ ดังนั้น z มีคาเปนบวก ทำใหสวนลางของหนาตัดยาวขึ้น


23


• ผลกระทบปวซองสสงผลใหเกิดการเปล่ียนขนาดของหนาตัด ซึ่งเปนสัดสวนโดยตรงกับระยะ y จึงทำใหดานขางของหนาตัดเอียงเขาหากัน โดยมีจุดศูนยกลางความโคงในแนวขวาง (transverse center of curvature) อยูที่ O’’ และมีรัศมีความโคงในแนวขวาง (transverse radius of

curvature) เปน 1 โดย







24




25

ความเค้นต้ังฉากในคาน (normal stress in beam)


• คานที่มีพฤติกรรมแบบอิลาสติกเชิงเสน (linear elastic) สามารถหาความเคนตั้งฉาก (normal stresses, x) ที่กระทำกับหนาตัด (cross section) ไดจากความเครียดตั้งฉาก (normal strain, x) โดยพิจารณา


26


• ซึ่งเราพบวา x มีการเปล่ียนแปลงตามระยะ y (ระยะจากพื้นผิวเปนกลางไปยังตำแหนงที่พิจารณา) และคาความโคง (curvature, k)


27


• จากรูปพิจารณาความเคนตั้งฉาก (x) ในพื้นที่เล็กๆ (dA) พบวาแรงที่เกิดขึ้นมีขนาดเปน x dA ซึ่งแรงแนวแกน x และโมเมนตดัด M ตองอยูในสภาพสมดุล


• ดังนั้น หรือโมเมนตของพื้นที่คร้ังที่หนึ่ง (first moment of the area) เปนศูนยเม่ือเทียบกับแกน z

• แกน z ผานจุดเซนทรอยด (centroid) ของหนาตัด คือ แกนเปนกลาง (neutral axis) ซึ่งเปนจริงเสมอในกรณีที่วัสดุมีพฤติกรรมแบบอิลาสติกเชิงเสน

และแกน y เปนแกนสมมาตร (axis of symmetry) 28


• พิจารณาแรงรวมตลอดพื้นที่หนาตัด


• กำหนดให คือ โมเมนตอินนิเชียของหนาตัดเม่ือเทียบแกน z

29


• พิจารณาโมเมนตรวมตลอดพื้นที่หนาตัด

• โดย EI คือ flexural rigidity


• เรียกสมการนี้วา flexure formula และเรียก x วาความเคนดัด (bending stress)

30



• กำหนดให 1 และ 1 คือ ความเคนตั้งฉากสูงสุดและต่ำสุด ดังนั้น

31


โดย

โดย

• กำหนดให S1 และ S1 คือ section moduli ของพื้นที่หนาตัด


• กรณีหนาตัดรูปวงกลม (circular cross section)

32



• กรณีหนาตัดเปนรูปสี่เหล่ียม (rectangular cross section)

33



34


ตัวอยางที่ 4.2 ลวดเหล็กเสนผาศูนยกลาง d ถูกดัดรอบทรงกระบอกรัศมี r

จงคำนวณหาความเคนดัดสูงสุด (max) และโมเมนตดัดสูงสุด (Mmax) ถา E = 200 GPa, d = 4 mm และ r = 0.5 m


35


• จากรูปพบวา

• ความเคนดัดสูงสุด (max)


36


• ลวดเหล็กมีหนาตัดแบบสมมาตรรอบแกน z (double symmetry) ดังนั้นความเคนดัด

ต่ำสุด (min)


37


• จาก flexure formula

• ความเคนดัดสูงสุด (Mmax)


38


ตัวอยางที่ 4.3 เขื่อนไมถูกสรางโดยมีเสาในแนวตั้ง (vertical post) หนาตัดสี่เหล่ียมจัตุรัส (b×b) โดย S = 0.8 เมตร เม่ือระดับน้ำ h = 2 เมตร จงหาคานอยที่สุดของ b ถา σall ของไมเปน 8 MPa


39


• กำหนดใหแรงสูงสุดที่กระทำโดยน้ำคือ qo ดังนั้น

• γ คือ น้ำหนักจำเพาะของน้ำ (specific weight of water)

• h คือ ความสูงของระดับน้ำ

• s คือ ระยะหางระหวางเสา


40


• จากแผนภาพแรง (loading diagram)


41


• คาโมดูลัสของหนาตัด (section modulus, S) ของคานหนาตัดสี่เหล่ียมเปน


42


• b นอยที่สุดที่ไมทำใหความเคนเกิน σall ของไมเปน 199 มม

• คาโมดูลัสของหนาตัด (section modulus, S) ของคานหนาตัดสี่เหล่ียมเปน








43




44

ความเค้นเฉือนในคาน (shear stresses in beam)


• คาของความเคนเฉือนในแนวด่ิงจะมีคาเทากับความเคนเฉือนในแนวระดับ

• ที่จุดสูงสุดหรือจุดต่ำสุดของหนาตัดจะมีความเคนเฉือนเปนศูนยทั้งในแนวด่ิงและแนวระดับ


45


• พิจารณาหนา pn พบวาชิ้นสวน dA มีแรงมากระทำ

• ดังนั้นแรงกระทำทั้งหมดบนหนา pn เปน

โดยอินทีเกรทตั้งแต y = y1 ถึง y = h/2


46


• ดังนั้นแรงกระทำทั้งหมดบนหนา p1n1 เปน

โดยอินทีเกรทตั้งแต y = y1 ถึง y = h/2


47


• หนา pp1 มีแรงเฉือนมากระทำเปน


48


• จากสมการสมดุล


49


• จากแรงเฉือนและโมเมนตดัดของคาน ดังนั้น

• กำหนดให คือ โมเมนตของพื้นที่ pp1n1 ดังนั้น

• โดย V, I, b คงที่ และเรียกสมการนี้วาสูตรการเฉือน (shear formula)

ydA =Qy=y1

y=h 2

∫


• กรณีหนาตัดเปนรูปสี่เหล่ียม (rectangular cross section)

50


*

y1


• Q สามารถหาไดจากผลคูณระหวางพื้นที่ (A) กับระยะ (D) จากจุดเซนทรอยด (centroid) ของหนาตัดไปยังแกนเปนกลาง (neutral axis)

51


D*A

y1


• ดังนั้นความเคนเฉือนของคานหนาตัดสี่เหล่ียมเปน

52



• ที่แกนเปนกลาง (neutral axis) ความเคนเฉือนของคานหนาตัดสี่เหล่ียมเปน

53



• ที่แกนเปนกลาง (neutral axis) ความเคนเฉือนของคานหนาตัดสี่เหล่ียมเปน

54



55


ตัวอยางที่ 4.4 จงคำนวณความเคนดัด (σ) และความเคนเฉือน (τ) ที่จุด C บนคาน AB ดังรูป


56


V = Ra − qx =qL2

− qx

M = − qx2

2+ Rax

= − qx2

2+ qLx2


57


• จากแผนภาพโมเมนตดัด (bending moment diagram) และแผนภาพแรงเฉือน (shear diagram)

• ที่ x = 800 mm


58



59









60




61

คานหน้าตัดรูปวงกลม (beam of circular cross section)


• ความเคนเฉือนไมสามารถมีทิศทางขนานกับแกน y ไดทั้งหมด เหมือนกรณีคานหนาตัดรูปสี่เหล่ียม

• ความเคนเฉือนสูงสุด (max) จะอยูบริเวณแกนเปนกลางของหนาตัด มีทิศทางขนานกับแกน y และมีขนาดคงที่ตามแนวพื้นผิวเปนกลาง pq


62


• พิจารณาแกนเปนกลางของหนาตัดวงกลม ทิศทางขนานกับแกน y

โดย

I = πr4

4


63


• พิจารณาแกนเปนกลางของหนาตัดวงกลม ทิศทางขนานกับแกน y

โดย


64

คานหน้าตัดรูปตัวไอ (I-beam)


• แรงเฉือน (shear force, V) และความเคนเฉือน (shear stress, ) สวนใหญกระจายอยูในแกนกลาง (web)

• ตั้งสมมุติฐานวาความเคนเฉือนกระทำขนานกับแกน y และมีการกระจายคงที่ตามความหนาของแกนกลาง (t)

flange

web


65


• พิจารณาสวนแรเงา


66


• พิจารณา Q ของสวนแรเงา


67


• พิจารณา I ของพื้นที่หนาตัดทั้งหมด


68


• ความเคนเฉือน () ที่ระยะ y1 จากแกนกลาง

แทนคา I ของพื้นที่หนาตัด


69


• ความเคนเฉือนสูงสุด (max) เกิดขึ้นที่แกนเปนกลาง (neutral axis, y1 = 0)


70


• ความเคนเฉือนต่ำสุด (min) เกิดขึ้นที่ y1 = h1/2 และ -h1/2 )


71


ตัวอยางที่ 4.5 จงคำนวณความเคนเฉือนสูงสุด (max) ในแกนคานหนาตัดรูปตัวไอ เม่ือมีแรงเฉือน V = 45 N มากระทำ


72


AI

AII

• พิจารณาจุดศูนยกลางพื้นที่ โดยมีระยะ C เทียบกับขอบบน


กรณีหนาตัดเปนรูปสี่เหล่ียม

• Ic รอบจุด centroid (O) เปน

73


• I ขอบบนและลางเปน

Ic =bh3

12

I = bh3

12+ bh( ) h

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

= bh3

12+ bh

3

4= bh

3

3

• I ที่ระยะ d จาก centroid (O) เปน I = Ic +Ad2


74


• พิจารณา I ของพื้นที่ AI รอบ nn

= 75.77 mm I =bh3

3=

100 mm( ) 24 mm( )33

= 460,800 mm4

• พิจารณา I ของพื้นที่ AII รอบ nn

I = bh3

3=

24 mm( ) 176 mm( )33

= 43,614,208 mm4

O

• พิจารณา I ของพื้นที่ทั้งหมด (AI + AII) รอบ nn

Inn = 460,800 + 43,614,208 = 44,075,008 mm4


75


= 75.77 mmO

• จาก โดย Ic คือ I ของพื้นที่รอบจุด centroid (O) และ d คือ ระยะจาก nn ไปยัง O

I = Ic +Ad2

Ic = Inn − Ad2

= 44,075,008 mm4( ) − 2,400 mm2 + 4,224 mm2( ) 75.77 - 24 mm( )2 = 26,321,807.67 mm4 = 26.32 × 106 mm4


76


= 75.77 mm

• ความเคนเฉือนสูงสุด (max) เกิดขึ้นที่ neutral axis หรือ แกนที่ผานจุด centroid (O) ดังนั้น Q เปน

Q = A ⋅D= 24 mm( ) ⋅ 176 - 75.77 + 24 mm( ) ⋅ 176 - 75.77 + 24 mm( )2

= 185,197.11 mm3 = 185.20 × 103 mm3


77


= 75.77 mm

• ความเคนเฉือนสูงสุด (max) เกิดขึ้นที่ neutral axis หรือ แกนที่ผานจุด centroid (O) ดังนั้น

τmax =VQIt

=45×103 N( ) 185.20×103 mm3( )

26.32×106 mm4( ) 24 mm( ) = 13.19 MPa








78




79


• แรง P กระทำที่จุดเซนทรอยด (centroid) ของหนาตัด

• แรง P สามารถแยกสวนประกอบออกเปนแรง Q และ S ซึ่งสงผลใหเกิดแรงเฉือน (V), โมเมนตดัด (M) และแรงในแนวแกน (N) ในคาน


80


• แรงในแนวแกน (axial force, N) ทำใหเกิดความเคนที่กระจายตัวอยางสม่ำเสมอบนหนาตัดของคาน


81


• โมเมนตดัด (bending moment, M) ทำใหเกิดความเคนตั้งฉากที่มีการเปล่ียนแปลงแบบเชิงเสน (linearly varying stress) ตามแกน y


82


• ความเคนตั้งฉากทั้งหมดที่กระทำบนหนาตัดเปน


83


• ความเคนตั้งฉากทั้งหมดที่กระทำบนหนาตัดเปน

• เม่ือมีแรงในแนวแกน และโมเมนตดัดกระทำบนหนาตัดพรอมๆ กัน พื้นผิวเปนกลาง (neutral surface) จะไมผานจุดเซนทรอยด (centroid) ของหนาตัด


84


• แรงเฉือน (shear force, V) ทำใหเกิดความเคนเฉือนบนหนาตัดของคาน


85


การบาน 13

1) แผนเหล็กยาว L = 0.8 ม. หนา t = 2 มม. ถูกกระทำดวยแรงคูควบ Mo

ถาระยะโกงตัว d = 143 มม. จงหา (a) รัศมีความโคง () ของแผนเหล็กและ (b) ความเครียดตั้งฉาก () ในแนวยาวของแผนเหล็ก โดยกำหนดใหพื้นผิวสมมาตร (neutral surface) อยูที่ก่ึงกลางความหนาของแผนเหล็ก


86


2) ลวดเหล็ก (E = 200 GPa) เสนผาศูนยกลาง d = 0.8 มม. ถูกงอรอบลูก

ลอกรัศมี r = 200 มม. จงหา (a) ความเคนสูงสุดที่เกิดในลวด (max) และ (b) ความสัมพันธระหวางความเคนสูงสุดในเสนลวดกับรัศมีของลอก


87


3) จงหาความเคนตั้งฉากสูงสุด (max) ภายใตโมเมนตดัด (M) ของเพลาที่มีหนาตัดตางๆ (a) ทรงกระบอกกลวง d1 = d และ d2 = 1.5d , (b) ทรงกระบอก

ปาดผิวเสนผาศูนยกลาง d และ = 45o, และ (c) หกเหล่ียมซึ่งมีดานยาว b


88


4) รถ ABC เคล่ือนที่ในแนวระดับดวยความเรง ao จงหาความเคนตั้งฉาก

สูงสุด (max) ใน AB เม่ือกำหนดใหความหนาแนนของวัสดุที่ใชทำรถเปน


89



5) คานยาว L = 3 ม. และมีแรง P = 90 kN มากระทำที่ก่ึงกลาง จงหาความ

เคนดึงสูงสุด (t) และความเคนอัดสูงสุด (c) โดยกำหนดให b = 450 มม., h = 180 มม. และ t = 30 มม.


90


6) โครงสราง ABCD ทำจากทรงกระบอกตัน โดยมีแรง P = 36 N กระทำ

ที่จุด D จงหาเสนผาศูนยกลางต่ำสุด (dmin) ที่ไมทำใหเกิดความเสียหาย

ถาความเคนดัดที่วัสดุสามารถรับไดเปน all = 30 MPa และ b = 100 มม. (ไมคิดน้ำหนักของโครงสราง)


91


7) จงหาโมดูลัสหนาตัด (section modulus, S) ต่ำที่สุดของคาน ถาคาน

สามารถรับความเคนดัด (bending stress) ไดไมเกิน 100 MPa (ไมคิดน้ำ

หนักของโครงสราง)


92


8) คานซึ่งมีหนาตัดดังรูป รับโมเมนตดัดรอบแกน z จงหาความหนา t ที่ทำให

อัตราสวนระหวางความเคนดัดที่จุดบนสุดตอความเคนดัดที่จุดลางสุดเปน 7:3


93


9) จงคำนวณหาอัตราสวนระหวางน้ำหนักของโครงสรางทั้งสาม ถาโครงสรางทั้ง

สามทำจากวัสดุชนิดเดียวกัน ยาวเทากัน รับโมเมนตดัดสูงสุดไดเทากัน และเกิด

ความเคนดัดสูงสุดเทากัน



94


10) กำแพงไมซึ่งประกอบดวยไมแผนตามแนวขวาง และเสาไมในแนวด่ิง โดย

ขนาดของโครงสราง และแรงดันที่มากระทำถูกแสดงดังรูป ถาไมสามารถรับ

ความเคนไดไมเกิน 8 MPa จงคำนวณหาระยะหางระหวางเสาไม (s) สูงสุดโดย

ไมทำใหเกิดความเสียหาย


95


11) จงคำนวณหาความเคนเฉือนสูงสุด (max) และความเคนดัดสูงสุด (max) ในเสาทรงกระบอกตัน โดย L = 2 ม., d = 150 มม. และ P = 2.5 kN


96


12) ทอนไมสามทอนประกอบกันดวยกาวเปนคานยาว 1 เมตร ถากาวสามารถ

ทนความเคนเฉือน (all) ได 0.35 MPa และความเคนดัด (all) ได 11 MPa ถานำไมทอนนี้ไปทำคานยื่น (cantilever beam) จงคำนวณหาแรงสูงสุดที่กระทำที่

ปลายของคาน (Pmax) โดยมาทำใหคานเสียหาย (ไมคิดน้ำหนักของโครงสราง)

Pmax

1 m


97



14) โครงสราง ABC ดังรูป จงหา (a) แรง P มากที่สุดที่ไมทำใหความเคนบิด

สูงเกิน 8 MPa และ (b) แรง P มากที่สุดที่ไมทำใหความเคนเฉือนสูงเกิน 0.7

MPa (ไมคิดน้ำหนักของโครงสราง)


A

98


15) จงหาความเคนเฉือนสูงสุดและต่ำสุดที่ (a) neutral surface, และ (b) ขอบ

ดานซายและขวาของคาน (จุด A) ซึ่งมีหนาตัดสี่เหล่ียมจตุรัสกลวง เม่ือมีแรง

เฉือน V = 60 kN มากระทำ


99


16) จงหาความเคนเฉือนสูงสุดและต่ำสุดของชิ้นสวนในแนวตั้ง (web)

เม่ือมีแรงเฉือน V = 62 kN มากระทำ โดย b = 220 มม., h = 300 มม.,

และ h1 = 275 มม.


100


27) คานหนาตัดรูปวงกลม ถูกกระทำดวยแรงดึงตามแนวแกน T = 26 kN

และโมเมนตดัด M = 3.2 kN.m ถาวัสดุที่ใชทำคานสามารถรับความเคนดึงได

all = 120 MPa จงหาเสนผาศูนยกลางนอยที่สุด (dmin) ของคานที่จะไมเกิดความเสียหาย (ไมคิดน้ำหนักของคาน)


จบการบรรยาย

101



mechanics of materials · 2016-01-21 ·...

Documents