MECHATRONIKA ALAPJAI

Dr. Huba Antal c.  egyet.  tanár

BME  Mechatronika,  Optika  és  Gépészeti  Informatika  Tanszék

2012. szept.

ELSŐ  TÉMAKÖR

3  ÓRA

MI A MECHATRONIKA?

MECHATRONIKA  KIALAKULÁSA

Súlyponteltolódás,  funkció  - átvétel

Kialakulásának  oka  (1980-as  évek):

Szórakoztató  elektronika  (itt  kezdődött) Közlekedés,  űrkutatás Automatizálás Mezőgazdaság Építőipar  (Japán:  aktív  rengéscsillapítás) Gyógyászat

Lényege •Nagyfokú  integráció és  méretcsökkenés (Napjaink  példája  a  CD  fej) •Interdiszciplinaritás

Elektronika

Informatika

Gépészet

Hatása

A  XXI.  század  új  csúcstechnikája:  A  mikrorendszer-technika (MEMS)

Így  kezdődött…

Yasakawa  Electric  Company  (Japán)

Mechatronics®  1969

„Minek  nevezzük  az  új,  teljesen  automatikus  fényképezőgépet?”

A  mechatronika  nem  a  „semmiből”  keletkezett,  hanem  a  gépészet  fejlődésének  egyenes  következménye,  hiszen  alapvetően  mindig  az  volt  a  cél,  hogy  az  ember  egyre  ügyesebb,  kisebb  és  „intelligensebb”  berendezéseket  hozzon  létre,  életének  és  munkájának  megkönnyítésére.  Napjainkra  világossá  vált,  hogy  a  mechatronika  inkább  tekinthető  korszerű  mérnöki  személetmódnak,  mint  külön  tudományágnak,  hiszen  legalább  három  tudományterület  integrációját jelenti.

Tisztán  mechanikus  rendszerek

Mechanikus rendszerek •elektromos  szabályozással

Mechanikus rendszerek •automatikus  szabályozással

Mechanikus rendszerek •elektronikus  (analóg)  szabályozással  

•szekvenciális  szabályozással

Mechanikus rendszerek •folyamatos  digitális  szabályozással

•szekvenciális  digitális  szabályozással

Mechatronikus rendszerek •mechanika  és  elektronikus  hardver  integrációja

•szoftver  által  meghatározott  funkciók •új  tervezési  eszközök  a  szimultán  tervezéshez

•egymást  segítő  és  erősítő  hatások

◄ Mikrokontroller 1978 ◄ Személyi  számítógép  1980 ◄ Buszrendszer ◄ Új  aktuátorok,  szenzorok ◄ A komponensek integrálása

◄Digitális  számítógép  1955 ◄ Folyamat  számítógép  1959 ◄ Valós  idejű  szoftver  1966 ◄ Mikroszámítógép  1971 ◄ Digitális  decentralizált automatizálás  1975

◄ Egyenáramú  motor  1870 ◄ Váltakozó  áramú motor 1889

◄ Tranzisztor 1948 ◄Tirisztor 1955

◄ Relék,  tekercsek ◄ Hidraulika, pneumatika ◄ Elektronikus  erősítők   ◄ PI-kontrollerek 1930

< 1900

1920

1935

1955

1975

1985

Gőzgép  1860 Dinamók  1870 Forgó  szivattyúk  1880 Belsőégésű  motor  1880 Mechanikus  írógép  

Elektromos  írógép Gőzturbinák Repülőgép  ipar

Számjegyvezérlésű  szerszámgépek Ipari robotok Ipari parkok Lemezmeghajtók

Elektronikus vezérlésű  felvonók

Mobil robotok CIM (Computer Integrated Manufacturing) Mágneses  csapágyak Gépkocsi  szabályozás (ABS, ESP (Elektronikus Stabilitási  Program))

Hagyományos  szerszámgépek Villamos  hajtású  szivattyúk

Isermann:  A  GÉPÉSZET      FEJLŐDÉSE                Mechatronics  Vol  12.

Modell  és  EU-meghatározás,  definíció:

A mechatronika, a gépészet, az elektrotechnika/elektronika és az informatika egymást segítő (szinergikus) integrációja termelőrendszerek és termékek előállítására (és termék tervezésére) és működtetésére.

MECHATRONIKA FOGALMA

Mechatronika                Egyben  új  szemléletmód  is!

Képzése: Kiegészítés,

ráképzés

Bázisképzés

Tananyag: • Rendszerek  és  folyamatok  modellezése(jelek  és  rendszerek  din.  tulajdonságai) • Aktorok/szenzorok  felépítése  és  működtetése(folyamatok  méréstechnikája) • Számítógépes  folyamat-irányítás,  real-time  feldolgozás • Kinematika, dinamika, szabályozástechnika

Tudományos  előzmények  (1940  – 1960) : Rendszertechnika  kialakulása Kibernetika – szabályozástechnika Számítástechnika  - számítógépek

BSc  szakirányok

MSc  szakirányok

1. Mechatronikai  tervezés • Mechatronikai  berendezések  blokk • Biomechatronika blokk • Optomechatronika blokk

2. Integrated Engineering 3. Termelési  rendszerek  mechatronikája 4. Gépészeti  modellezés

1. Járműmechatronika 2. Precíziós  berendezések 3. Biomechatronika 4. Optomechatronika 5. Industrial Electronics (VIK) 6. Intell.  beágyazott  mechatronikai  rendszerek 7. Gyártórendszerek  mechtronikája 8. Robotmechatronika

Javaslat a  szabadon  választható  tárgyakra

• Intézményi  (BME)  keretből  választani  (valamennyi  kar  kínálatából) • Olyan  műszaki  jellegű  tantárgyakra  célszerű  koncentrálni,  amelyek  szakmai  szempontból  illeszkednek  a  később  választani  kívánt  szakirányhoz • Más  egyetem  szakirányhoz  illeszkedő  tárgyait  befogadtatni  (engedélyhez  kötött)

A MECHATRONIKA legfontosabb  segédtudományai:

Rendszertan: Analízis  és  szintézis  eszköztára Lineáris  – nemlineáris  modellezés Elosztott – koncentrált  modellezés Lényegkiemelés  – kapcsolódások  feltárása Matematika: Differenciálegyenletek Mátrix-számítás Fourier,  Laplace,  Z    transzformáció Híradástechnika: Jelek  analízise,  jelátvitel,  jelfeldolgozás Gépészet: Mechanika (dinamika) Áramlástan Hőtan Folyadékok  és  gázok  mechanikája Elektrotechnika: Elektrosztatika - elektrodinamika Hálózatszámítás Analóg  és  digitális  áramkörök Teljesítményelektronika Szabályozástechnika,  vezérléstechnika Informatika

MECHATRONIKÁHOZ  KAPCSOLÓDÓ  IRODALMAK

Szabó: Gépészeti  rendszertechnika Petrik/Huba/Szász: Rendszertechnika Csáki/Bars: Automatika Kuo: Önműködő  szabályozó  rendszerek Heimann, Gerth, Popp: Mechatronik Fachbuchverlag Leipzig, 2001. Isermann: Mechatronische Systeme Springer, 1999. Roddeck: Einführung  in  die  Mechatronik   Vl. Teubner, 1997, Stuttgart Bradley et co.: Mechatronics Chapman & Hall, London, 1991. Min: Mechatronics Springer, New York, 1993. Shetty e't Kolk: Mechatronics System Design PWS Publ. Comp., Boston, 1997. Preumont: Mechatronics Springer, e-book

(Szemelvények)

MÁSODIK  TÉMAKÖR

3  ÓRA

PÉLDÁK  MECHATRONIKAI

RENDSZEREKRE (GYAKORLÁS)

PÉLDÁK MECHATRONIKAI RENDSZEREKRE Felületszerelő  automaták CD  és  DVD Finompozicionálók  (NC  és  CNC  gépek) Aktív  mágneses  csapágy Precíziós  rezgéscsillapító Aktív  lengéscsillapító

MECHATRONIKAI  RENDSZER  STRUKTURÁJA ÉS  FELADATAI

Mérőjelek

Alapjelek (előírt  érték)

Mérendő  mennyiségek

ELŐíRT:

Erő,  nyomaték,

SMT - Surface Mount Technology /felületszerelés/

Felépítése: Két  portál:  nagy  csavarómerevségű,  rezgéscsillapított  acélöntvény  keretből  szénszálas  kompozit  anyagból    (CFK  – Carbon Fiber Composites) A CFK-portálok  előnyei: - Tömegük  az  acélkonstrukciók  1/5-e,  viszont  merevségük  kétszer  olyan  nagy.   - A  szén  hőtágulási  együtthatója  jelentősen  kisebb,  mint  a  fémé.  Ezért  ez  a  robusztus  és  mégis   könnyű  konstrukció  nagy  pontosságot  és  megbízhatóságot  garantál.   - Az x-y  tengelyek  nagy  teljesítményű  lineáris  hajtásaival  együtt  így  4  szigmánál  30  µm-ig terjedő  beültetési  pontosság  érhető  el,  óránként  13  500  alkatrészig  terjedő  valós   beültetési  teljesítmény  mellett.

SMT - Surface Mount Technology /felületszerelés/

SMT - Surface Mount Technology /felületszerelés/

SMT - Surface Mount Technology /felületszerelés/

Lencse Függőleges  mozgatástvégző  tekercs

Forgatást-tolástvégző  tekercs

m

L,R

Tekercsfoglalatk,b

Uref,Vref=0

CD-fej Címkeoldal Védőréteg Tükrözőréteg Pit

Transparens  réteg

Lézersugár

CD lemez metszete

A CD-fej  elvi  felépítése

Folyamatos  távolság  mérés  a  CD-fej  és  a  lemez  között

Lencsefoglalat a  lineáris  motorral

A  kvadráns  fotódetektor,  mint  mérőtag

Cél  az  értéktartás: 0dbcaUE

Amit  egy  klasszikus  villamosmérnök egy optomechatronikai rendszerből  „lát”

Claus Biaesch-Wiebke: CD-Player und R-DAT-Recorder Vogel  Verlag,  Würzburg  1988.

Bemutató  példa  a  CD  fej  helyes  dinamikai  modelljének  meghatározására  és  a  szabályozás  megtervezésére

• Első  lépés  a  szabályozott  szakasz  modelljének  meghatározására.  Két  módszer  összehasonlítása. • Második  lépés  a  szabályozó  kiválasztása. • Befejezés  a  szabályozás  behangolása.

AZAZ:  HOGY  NÉZ  KI  A  TANULMÁNYAINK  VÉGCÉLJA  EGY  PÉLDÁN?

A lencse, annak foglalata, a rugalmas egyenes vezeték,  és  a  lineáris  motor  tekercsei

A szabályozott szakasz hálózati (impedancia) modellje 5 passzív elem impedanciájával és az energia átalakítóval.

A  SZABÁLYOZOTT  SZAKASZ  DINAMIKAI  MODELLJE  OPERÁTOR  

TARTOMÁNYBAN

villvv

vmech ZnIn

UnZ

FV

21

1

sksmb

Ze

1

„I/O”  szemlélet: Az  átviteli  függvény  közvetlenül  meghatározható  impedancia  módszerrel

2v22v

22v

2

F nsksbmssLRns

ksbmss

nsLR

ksbmss

VV

KM=nv

Implicit  átviteli  függvény

vKdtdiLRiu

uuuu

Mk

iLRk

0

0

0

dtvkdtdvmvbiK

FFFF

M

kbmv

0)(

)()( sUsVsI

sksmbK

KsLRk

M

M

MÁS  MÓDSZER: DINAMIKAI  MODELLEZÉS IDŐ  TARTOMÁNYBAN

A  két  rendszerváltozóra felírt  mátrix-vektor egyenlet  operátor tartományban  

A  szabályozott  szakasz  struktúra   gráfja  az  5  passzív  elemmel  és  az  energia  átalakítóval    

KM=nv

kM

M

k

M

M

u

RkK

RL

kbs

km

kb

RLs

km

RLs

RkKs

u

sksmbsLRK

Kv

1

1

)()(

223

2

1saasasA

1Rk

KRL

kbs

km

kb

RLs

km

RLs

1Rk

K)s(U)s(X

s1

sUsVG

122

332

M23

M

k

S

k

SS

Az  átviteli  függvény  a  kimenőjel  és  a  bemenőjel  Laplace  transzformáltjának  hányadosa.  Elméletileg  harmadrendű  a  szakasz:

A  keresett  változóhoz  a  mátrix  egyenletből  leggyorsabban  a  Cramer  szabály  alkalmazásával  juthatunk:

HzsT

f 0,19103689,82

12

13

1Ts2Ts

AsUsXG 22S

Minden elmélet próbája: Ellenőrzés méréssel

A szakasz dominánsan másodrendű, azaz pont az induktivitás a legkevésbé fontos elem! (V.ö.: Áramköri rajz)

A szabályozókör tömbvázlata

Kvadráns fotodetektor

0 FKI XXE

U

0AU

1sT1sT

1sT1sTAAsUsU

43

212C1C

B

k

1Ts2Ts

AsUsX

22S

k

dbcaUE

VY

KIX

|G(ω)|  /dB

ω [rad/s]

1/T3 1/T1 1/T2 1/T4

PID PT2 Result

A szabályozott szakasz és a PID szabályozó eredő Bode-diagramja (frekvenciamenete)

1 Átmeneti  függvény  (rendszerválasz)  szabályozás  nélkül

2 Átmeneti  függvény  PID  szabályozással

A szabályozott szakasz átmeneti függvénye (fókuszálás)

NC,  CNC  pozicionáló  rendszerek  

Jelfeldolgozó

Alapjel  (előírt  érték)

-

Jelformáló (szabályozó)

D/A

konverter

PC, vagy mikrokontroller

Aktív  csapágyazás  (N>20.000/min) Pl.: Lézer  TV  poligon  tükre,  spec.  hűtőkompresszor,  

www.s2m.fr

Teljesítmény  erősítő

Szabályozó

Jelfeldolgozó

Távolságszenzor-pár  (utadó)

Elektromágnes-pár Forgórész

www.s2m.fr

Mechatronikai  rezgéscsillapító ultrapreciziós  mérő-és  gyártóberendezésekhez  

po

p1

vf(t)

v(t)t

m

Cf

A k

R L

KM

F Fel p

ue

speisep

pneum.

Regler

a (t)

v (t)

t

t

a (t)

v (t)

f

fRechnerglied

1/s

1/s

elektrischer PI-Regler

C

C

R

q

m

k

1

2

f t (t)

v

vt

f

Kv

abs. Ref.

A

Zum Vergleich:

Herkömmlicher pneumatischerSchwingungsisolierungstischmit Lageregelung(vgl. Abschnitt 4.)

po

p1

vf(t)

v(t)t

m

Cf

A k

R L

KM

F Fel p

ue

speisep

pneum.

Regler

a (t)

v (t)

t

t

a (t)

v (t)

f

fRechnerglied

1/s

1/s

elektrischer PI-Regler

C

C

R

q

m

k

1

2

f t (t)

v

vt

f

Kv

abs. Ref.

A

Zum Vergleich:

Herkömmlicher pneumatischerSchwingungsisolierungstischmit Lageregelung(vgl. Abschnitt 4.)

Aktív  lengéscsillapítás  

-

-

HARMADIK  TÉMAKÖR

3  ÓRA

MECHATRONIKAI

RENDSZEREK STRUKTÚRÁJA

MECHATRONIKAI RENDSZEREK FELADATAI

Klasszikus gépészeti  kérdésfelvetés

Előírva: Gerjesztések

Mekkora,  és  milyen  irányú  lesz  ? x, φ, v, Ω, a, ε, F, M,

Tömegek, tehetetlenségek

Mekkorák  legyenek  a  gerjesztések,  hogy  teljesüljenek  az  előírt  mennyiségek? Előírva:

x, φ, v, Ω, a, ε, F, M,

Tömegek, tehetetlenségek

Mérés (Visszacsatolás)

Mechatronikai szemléletű

kérdésfelvetés

SZENZOROK

Processzor

(szabályozó)

AKTUÁTOROK

Előírt  értékek

MECHATRONIKAI  RENDSZEREK  STRUKTÚRÁJA Tervezési  módszer: Szintézis

Alapstruktúra:    Szabályozókör Működési  mód:  Automatikus,  zavarkompenzált Működés  feltétele: Mennyiségek  folyamatos  mérése

Tömbvázlatos

formában: szabályzókör

Alapstruktúra Jelfeldolgozás

Szenzor

Jelformálás

Erősítés

Ekülső

x, a, v, f , , , M u, i p, qv , qE

Aktuátor

Előírt  értékek

NEGYEDIK  TÉMAKÖR

3  ÓRA

ÁTVITELI  FÜGGVÉNY: KOMPLEX  FÜGGVÉNY

Alapvető  matematikai  modellek

(ELŐZETES)

Időtartományban

Operátor  (frekvencia)  tartományban

I/O  szemlélet  (idő-és  operátor  tartományban)

Megjegyzés: Idő-és  operátor  tartományban,  valamint  lineáris  és  nemlineáris  rendszerek  esetében  is  a  legjobban  alkalmazható  modell-típus  az  állapottér  modell.  Ez  későbbi  tananyag.

g(t) Impulzusválasz

u(t) bemenőjel

y(t) Kimenőjel

(Konvolucióval)

G(s) Átviteli függvény

U(s) bemenőjel

Y(s) Kimenőjel

A  modellezés  absztrakciós  szintjei  és  a  matematikai  modell létrejöttének  folyamata  egy  példán  bemutatva

Finomítás

Valóságot  tükröző  működési  modell

Struktúra  modell

Matematikai modell

Megoldások:

a ) fbe = 0, akkor vm(0) = v1 b ) fbe = (t),  akkor  ált.  megoldás vref = 0

mfbe

vm

b Fbe (s)

vm

vref = 0

v1

vm(t)

t

T

)(1)()( tfb

tvtvT mm

Fbe Vm

1

1

sbmb

FVbe

m

Matematikai modellek a mechatronkában  (automatikában)

• Differenciál  egyenlet  (idő-tartomány,  egy  változóra  rendezve,  lineáris/nemlineáris) • Átviteli  függvény  (operátor-tartomány,  csak  lineáris) • Állapottér  modell  (idő-tart.,  operátor-tart., elsőrendű  diff.  egyenlet  rendszer,  lineáris/nemlineáris,  kimeneti  egyenlet  algebrai)

MECHATRONIKÁBAN  – IRÁNYÍTÁSTECHNIKÁBAN  HASZNÁLATOS

MATEMATIKAI  MODELLEK  ÁTTTEKINTÉSE

ÁLLAPOTTÉR  MODELL IDŐ  ÉS  OPERÁTOR  TART.

x1,…xn állapotjelzők  (n) u1,…um gerjesztések

Rendszám=egyenletszám:  n Lineáris/nemlineáris Állandó/változó  együtthatós Felírási  módszerek: •Energia  (Lagrange)  módszer •Hálózati  módszer •Kerülő  úton,  csak  lin.  és    áll./vált.  együtthatós  rsz.  esetén  impedancia  módszer   Szimulációs  forrásnyelv Modern  szabályozások  alapja

mnnn

mn

uuxxfx

uuxxfx

,...;,...

,...;,...

11

1111

ÁTVITELI  FÜGGVÉNY ÉS  MÁTRIX

OPERÁTOR  TART.

Rendszám:  n Csak  lineáris Állandó  együtthatós Felírási  módszerek: •Impedancia  módszer  (direkt  út) •Kerülő  úton  hálózati  és  energia  módszerek G(s)  az  impulzusválasz  Laplace  transzformáltja

nmasa...sabsb...sb

)s(X)s(X)s(G

01n

n

01m

m

BE

KI

DIFFERENCIÁLEGYENLET n-ed  rendű

IDŐ  TARTOMÁNY

Lineáris/nemlineáris Állandó/változó  együtthatós Felírási  módszerek: •Energia  (Lagrange)  módszer •Hálózati  módszer •Kerülő  úton,  csak  lin.  és    áll./vált.  együtthatós  rsz.  esetén  impedancia  módszer   Homogén  diff.  egyenlet  megoldása  az  autonóm  rendszerválasz,  műszaki  néven  „Impulzusválasz”

tzxxxx sin2

be0be1)m(

bem

ki0ki1)n(

kin

xbxb...xb)t(z)t(zxaxa...xa

ALAPVETŐ  FOGALMAK

g(t) SÚLYFÜGGVÉNY (időtartományban értelmezett): • homogén differenciál egyenlet megoldása, • autonóm rendszer válasza, • egység impulzus gerjesztésre adott rendszerválasz.

G(s)  ÁTVITELI  FÜGGVÉNY   (frekvenciatartományban, és  csak  lineáris  rendszerekre  értelmezett):

U(s)Y(s)G(s)

• komplex  függvény • |G(jω)|:  amplitúdó  arány

• Arc{G(j ω)}:  fáziskülönbség Gerjesztés

Válasz

MATEMATIKAI MODELLEK

Idő-tartomány

Operátor,  v.  frekvenciatartomány

u(t) y(t) g(t) U(s) Y(s) G(s)

1  dimenzió  („SISO”-rendszer)

g(t)        impulzusválasz,   homogén  differenciál    egyenlet        megoldása

Szabályozástechnikában  még: h(t)      átmeneti  függvény,  azaz  az  ugrásfüggvényre  adott  válasz  [1(t)]  

Arc{G(j ω)}: fáziskülönbség

G(jω) |G(j ω)|:  amplitúdó-arány

átviteli  függvény  

s = jω

MŰVELETEK  A  MATEMATIKAI  MODELLEKKEL A  SZABÁLYOZÁSTECHNIKÁBAN

Hogyan  jutunk  időbeli  válaszhoz?

Hogyan  jutunk  időbeli  amplitudó  és  fázis  információhoz?

tgtuty

dtgutyt

0

Konvolució sUsGsY

sYy(t)tusUtgsG

1

LLL

ωu

ωY

ω

ωU

ωYωG

dutBoxttyt

o

kezdeti érték  hatása

gerjesztés  hatására

és

Konvolució  több  bemenet  és  kimenet  esetében:

Harmonikus  jelek  helyettesítése  a  komplex  exponenciális  függvény  segítségével.

(Közvetlen  előnyök  a  deriválás  és  integrálás  során.)

2U

1U

tj22U22

tj11U11

eUImtsinUtu

eURetcosUtu

j2eesin

2eecos

sinjcose:formulákEuler

jj

jj

j

tjtj

tjtj

ej

dte

ejedtd

1

Fentiek  alkalmazásával  egy  harmonikus  jel  egyszerű  alakban  írható  fel.  Ezért  kedvelik  az  elektrotechnikában:

Esetleg  még  egyszerűbben  (de  nem  precízen): tjUetu

Általános  alakban  jól  látható  az  egyszerűbb  írásmód,  és  egyszerűbbek  a  matematikai  műveletek  is.  A  komplex  e-függvény  magába  foglalja  mindkét  trigonometrikus  

függvény  típust,  lásd  a  komplex  síkon:

|U|cosφ

j|U

|sinφ

+φ

Im

Re

πf2Tπ2ωP

tjeUtu

Legyen  u(t)  az  általános  bemeneti  (gerjesztés)  és  v(t)  az  általános  kimeneti  (válasz)  időfüggvény.

u(t)  egy  U  hosszúságú  vektor  forgó  mozgását  írja  le  az  idő  függvényében  a  komplex  síkon.  u(t)  tehát  a  vektor  pillanatnyi  helyzetét  mutatja  t=tk időpillanatban.  

Im

Re

ktjk eUttu

kktjk tsinjtcosUeUtu k

kt

Ha  az  u(t)  és  v(t)  vektor  hányadosát  képezzük  (osztás),  akkor  a  két  vektor  abszolút  értékét  osztjuk,  és  a  fázisszögek  

különbségét  képezzük.  Ez  mutatja  egy  adott  körfrekvencián  a  kimenő  és  bemenő  jel  arányát,  és  a  közöttük  lévő  

fáziskülönbséget.

Az  átviteli  függvény  ilyen  módon  felfogható  úgy  is,  mint  két  körfrekvenciától  függő  vektor  hányadosa.

A  bemenőjel  és  a  kimenőjel,  mint  vektorok,  adott  körfrekvenciával  forognak.  A  vektorok  hossza  és  a  

fázishelyzetük  a  körfrekvenciától  függ,  ha  a  rendszerben  energiatárolók  vannak  (magyarázat  később).

Másrészt,  definíció  szerint,  az  átviteli  függvény  a  kimenőjel  és  a  bemenőjel  Laplace-transzformáltjának  hányadosa.

UYUY

U

Yjttj

tj

tj

eUYe

UY

eUeY

jUjYjG

ωΔφωUArcωYArc fáziskülönbség

A vektorok komplex alakja:

U

Y :        amplitúdó  arány  

uuj sinjcosUeU u

YYj sinjcosYeY Y

AZ  ÁTVITELI  FÜGGVÉNY  ÉRTELMEZÉSE  EGY  ADOTT  KÖRFREKVENCIÁN,  MINT  VEKTOROK  OSZTÁSA  

Y(jω)

UYjeUY

)j(G

ÖTÖDIK  TÉMAKÖR

3  ÓRA

KOMPLEX  SZÁMOK  ÉS

FÜGGVÉNYEK GYAKORLÁSA

HATODIK  TÉMAKÖR

3  ÓRA

JELFOLYAM  GRÁF  ÉS  AZ ÁTVITELI  FÜGGVÉNY

ALKALMAZÁSA  SZABÁLYOZÓ  KÖRÖKRE

A  modellalkotás  célja,  oka  és  eszközei: Miért  szükséges  a  matematikai  leírás?

Szabályozott  szakasz

gs(t)

Gs(s)

Visszacsatoló  tag

gv(t)

Gv(s)

Szabályozó  (jelformáló)

gc(t)

Gc(s) - xr

xs xa

xe

xb

Az  általános  mechatronikai  rendszer  szabályozástechnikai  tömbvázlata

CÉL:  A  feladat  szempontjából  optimális  dinamikával,  stabilan  működő rendszer megtervezése.   OK:  A  tervezéséhez  ismerni  kell  az  átviteli  tagok  viselkedését mind  az  idő,  mind  az  operátor  tartományban.

ESZKÖZ:  Az  absztrakt matematikai modellek mindegyike alkalmas a tervezéshez  szükséges  bizonyos  tulajdonságok  megjelenítésére.  A  modellek  nem  kizárják,  hanem  ellenkezőleg,  szervesen  kiegészítik  egymást.

w(t)

W(s)

Szabályozott  szakasz

gs(t)

Gs(s)

Visszacsatoló  tag

gv(t)

Gv(s)

Szabályozó  (jelformáló)

gc(t)

Gc(s) -

xr

xs xa

xe

xb

Első  lépésben  a  szabályozott  szakasz  dinamikai  viselkedését  kell  megismerni,  „leírni”  a  matematika  eszközeivel.  Csak  e  dinamikus  tulajdonságok  ismeretében  történhet  meg  a  kör  többi  tagjának  kiválasztása,  illetve  tervezése  úgy  hogy  a  szabályozókör  teljesítse  az  előírt  dinamikai  követelményeket  és  stabilan  működjön!

A  SZABÁLYOZÁS  MINŐSÉGI  KÖVETELMÉNYEI:

DINAMIKAI  KÖVETELMÉNYEK  (IDŐ  TARTOMÁNY):

•Minimális  maradó  hiba  (szabályozási  eltérés)

•Rövid  szabályozási  idő

•Rövid  lappangási  idő

•Rövid  felfutási  idő

•Kis  túllendülés

STABILITÁS  (FREKVENCIA  TARTOMÁNY):

•Elméletben  0  ≤  ω ≤  ∞  tartományban  működjön  stabilan

•Gyakorlatban  a  releváns  frekvencia  tartományban  legyen  stabil

ELLENTMONDÓ  KÖVETELMÉNYEK:

Rövid  felfutási  idő  és  kis  túllendülés

Kis  túllendülés  és  minimális  maradó  hiba

Rövid  szabályozási  idő  és  stabilitás

Dinamikai  követelmények

KtxS

K 0.95K

0.05K

Túllendülés

t

xs(t)

TF

Tsz

TL

Állandósult hiba (maradó eltérés)

xa(t)

t

1 1(t)

GERJESZTÉS

VÁLASZ

YC(s)

YS(s)

YV(s)

Gc(s) GS(s)

GV(s)

A  szabályozások  szintjei

Kanonikus  szabályozókör Állapotszabályozás Adaptív  szabályozás

Állapotszabályozás  alapformája uDxCy

uBxAx

Cél:  A  szabályozás  „gyorsítása”  az  energiatárolók  közvetlen  „felügyeletével”,  állapot  visszacsatolással.  A  struktúra  optimális,  

alkalmas  lineáris  és  nemlineáris  és  idővariáns  rendszerek  tervezésére

A jelfolyamgráfon a jelvektorokat vastag vonallal jelöltük

Állapotmegfigyelés Lueneberger szerint

Cél:  A  nem  mérhető  állapotjelzők  „megfigyelése”  

Ez a forma az un.  paraméter- adaptív  szabályozások  „előképe”  változó  paraméterű  rendszerek szabályozá-sához

Cél:  A  szabályo-zókör paraméterei  (főként  a  szakasz-paramé-terek) megválto-zásához igazodó  szabá-lyozás

Paraméter-adaptív  szabályozás  egy  lehetséges  formája

A  FOLYAMATOK  SZEMLÉLTETÉSÉNEK  LEGJOBB  ESZKÖZEI  A

JELFOLYAMGRÁFOK  ÉS  A  TÖMBVÁZLATOK

Jelfolyam  gráf A  jelfolyam  gráfot  (ábrát)  a  tömbvázlat  egyszerűsített  jelölésének  lehet  tekinteni. A  jelfolyam  ábra  és  a  tömbvázlat  alakjában  mutatkozó  különbségen  kívül  a  jelfolyam  ábrának  általában  szigorúbb  matematikai  összefüggéseknek  kell  eleget  tennie,  míg  a  tömbvázlaton  alapuló  jelölésmód  felhasználásának  szabályai  sokkal  rugalmasabbak  és  kevésbé  szigorúak.

A  jelfolyam  ábra  grafikus  eszköz,  amelyet  eredetileg  S. J. Mason vezetett be a lineáris  algebrai  egyenletrendszer változói  között  fennálló  ok  és  okozati  kapcsolatok  ábrázolására:  „egyenlet  gyorsírás”.

HOGYAN  MŰKÖDIK  A  SZABÁLYOZÓKÖRBEN  LÉVŐ  HUROK?

G(s)

sGsUsY

G(s)

U(s) Y(s)

Y(s) U(s)

AZ  ÁTVITELI  FÜGGVÉNY  ÁBRÁZOLÁSÁNAK

LEHETŐSÉGEI

JELFOLYAMGRÁFFAL TÖMBVÁZLATTAL

A  dinamikus  rendszerek  szimulációs  váza  tömbvázlatos  formában  nemlineáris  rendszerek  megjelenítésére  is  alkalmas.

A  differenciálegyenlet  rendszert  sem  mindig  feltétlenül  szükséges  Laplace  transzformált  alakban,  algebrai  egyenletrendszer  formájában  előállítani.

Vannak  azonban  olyan  gráf  tulajdonságok,  amelyek  a  szimuláció  alapját  képezik:

•A  jel  a  gráf  élen  kizárólag  csak  a  megadott  irányban  terjedhet.

•A  gráf  csomópontokban  mind  kereszt,  mind  átmenő  változók,  valamint  az ezekből  származtatott  mennyiségek  is  megjelenhetnek,   de  kizárólag  a  csomópontokba  befutó  éleket  szabad  csak  összegezni,       mégpedig  előjelhelyesen.  A  kimenő  élek  az  összegzésben  nem számítnak. •A  gráf  él  fordított  irányban  nem  jelent  minden  esetben  összefüggést.

12,12 xax

Műveletek  jelfolyam  gráfokkal

a12 lehet  matematikai  művelet,  pl.  szorzás,  integrálás,  de  lehet  átviteli  függvény  is

32,312,12 xaxax 42,423,23 xaxax 43,424,24 xaxax

45,425,25 xaxax

Egyszerű  feladat:

Rendszeregyenlet  ábrázolása  „gyorsírásos”  jelfolyam  gráffal:

Adott  az  alábbi  fiktív  rendszermodell:

Fontos  összefüggések:

Előrevezető  út. Ez  egy  bemenő  csomópontból  egy  kimenő  csomópon-tig  vezető  olyan  út,  amely  minden  érintett  csomóponton  csak  egyszer  halad  át. Az  út  átviteli  tényezője. Egy  út  befutása  során  érintett  ágak  átviteli  té-nyezőinek  szorzatát  az  út  átviteli  tényezőjének  nevezzük.  

Hurok. Olyan  út,  amely  ugyanabból  a  csomópontból  indul,  mint  amelyikbe  végül  befut  és  amelyik  minden  érintett  csomóponton  csak  egyszer  halad  át. Huroktényező. A  huroktényezőt  a  hurkot  alkotó  út  eredő  átviteli  tényezőjeként  definiáljuk.  

Szerkesztési  szabályok  összefoglalása: •Egy  csomóponti  változó  értéke  a  csomópontba  belépő  jelek  összege. •A  csomóponti  változó  értékét  minden,  a  csomópontot  elhagyó  ág  továbbítja. •Azokat  az  ágakat,  amelyek  ugyanolyan  irányításúak  és  két  csomópontot  kötnek  össze,  egyetlen  olyan  ággal  helyettesíthetünk,  amelynek  átviteli  tényezője  a  párhuzamos  ágak  átviteli  tényezőinek  az  összege. •A  sorba  kötött,  egyirányú  ágakat  egyetlen  olyan  ággal  helyettesíthetjük,  amelynek  átviteli  tényezője  az  ágak  átviteli  tényezőjének  szorzata.   •A  jelfolyam  gráfot  a  tömbvázlatot  helyettesítő  egyszerűbb  jelölésnek  is  tekinthetjük.

A  szabályozásokban  és  a  szimulációs  programokban  alapvető  alakzat  a  hurok:

x1 x2 x3

a b

c

HUROK1ELÖRE

G1G

db1ba

xx

H

E

1

3

13

313

23

312

1 abxbcxbcxabxx

bxxcxaxx

Ha  a  visszacsatolás  operátora  negatív  előjelű,  akkor  természetesen  a  szabályozástechnikában  megszokott  formát  kapjuk.  A  továbbiakban  csak  a  negatív  visszacsatolásokkal  foglalkozunk.

x1 x2 x3

a b

-c H

E

1

3

G1G

cb1ba

xx

Amennyiben  egy  rendszerben,  vagy  annak  matematikai  modelljében  visszacsatolás  van,  akkor  a  stabilitás  elsőrangú  feltétele,  hogy  ez  a  visszacsatolás  negatív  legyen.  Ez  nem  csak  a  szabályozásokra  vonatkozik,  hanem  a  differenciálegyenletek  megoldására  is.

Az  állapottér  modell  főegyenlete  elsőrendű  differenciálegyenleteket  tartalmaz,  a  változók  első  deriváltjára  rendezve.  Az  egyenletrendszert  jelfolyam  gráf  alakban  felírva  látjuk,  hogy  stabilis  rendszerben  egy  adott  változót  a  deriváltjához  csak  negatívan  lehet  visszacsatolni.

Két,  sorosan  illeszkedő  hurok  átviteli  függvénye,  ha  a  hurkoknak  nincsen  közös  csomópontjuk,  úgy  fogható  fel,  mint  soros  eredő:

x1 x2 x3 a b

-c

x4 x5 d e

-f

2H1H2H1H

E

1

5

GGGG1G

bcefefbc1abde

ef1de

bc1ab

xx

Két,  olyan  sorosan  illeszkedő  hurok  átviteli  függvénye,  amelyek  közös  csomóponttal,  rendelkeznek,  a  nevezőjében  már  nem  tartalmazza  a  hurkok  szorzatát:

x1 x2 x3 a b

-c

x4 e

-f

2H1H

E

1

4

GG1G

efbc1abe

xx

4442

34

4423

41312

111 xeef

bx

bfx

bex

exxexfxbxx

xecaxcxaxx

414411 x

bebcefaxx

ecx

beef

Átviteli  függvények  és  a  stabilitás

xa(t)

t A

t

xe(t)

-A

G1

GGGGG1

GGsWsxsx sc

vsc

sc

a

s

GImjGReeGjsG

1sGj

180GArc

1XX

Ga

eHa  a  zárt  kör  nevezője  valamely  frekvencián  zérus:

G C (s)

G S (s)

G V (s)

HETEDIK  TÉMAKÖR

3  ÓRA

JELFOLYAMGRÁF    GYAKORLÁSA

NYOLCADIK  TÉMAKÖR

3  ÓRA

A  MODELLEZÉS  ELVEI,

JELEK  IDŐ-ÉS  FEKVENCIA  TARTOMÁNYBAN

MODELLEZÉSI  ALAPELVEK

Struktúrától  a  matematikai  leírásig  

Koncentrált paraméterű

Elosztott paraméterű

Nemlineáris Lineáris

AlR

I.  absztrakció II.  absztrakció

Matematikai modell

Válaszok

Teszt, gerjesztések

Finomítás

Fizikai- technikai valóság

Lényeg  kiemelés  a  célnak  alárendelve

Struktúra  modell

Fizikai törvény

0  ≤  f  <  ~20  kHz

MODELLEZÉSI  ALAPELVEK

u(t) i(t) közönséges  differenciál- egyenlet, kétpólus  módszer

u(t,x) i(t,x) Parciális  differenciál- egyenlet, négypólus  módszer

Koncentrált paraméterű

Elosztott paraméterű

KONCENTRÁLT  PARAMÉTERŰ ELOSZTOTT  PARAMÉTERŰ

LINEÁRIS

NEM-

LINEÁRIS

TANANYAG

Pl.: k(x), b(v)

Tápvonalak        u(t,x)

„Természet” (…és  még  sokkal

bonyolultabb)

A  valóság  és  a  modelljeink

A  MŰSZAKI  MODELLEZÉS  LÉNYEGE:

A  MODELL  A  KITŰZÖTT  FELADATHOZ  ILLESZKEDJEN,  A  LÉNYEG  KIEMELÉSE  SORÁN  A  FELADAT  MEGOLDÁSA  SZEMPONTJÁBÓL  LEGFONTOSABB  ISMÉRVEKRE  KELL  KONCENTRÁLNI.  A  FELESLEGES  ELBONYOLÍTÁS  KÖLTSÉGEKKEL  JÁR,  DE  A  HIBÁS  ELNAGYOLT  MODELL  IS!

Absztrakciós  szintek A  MODELLEZÉS  FOYAMATA  PÉLDÁN

Finomítás

Valóságot  tükröző  működési  modell

Struktúra  modell

Matematikai modell

Megoldások:

a ) fbe = 0, akkor vm(0) = v1 b ) fbe = (t),  akkor  ált.  megoldás vref = 0

mfbe

vm

b Fbe (s)

vm

vref = 0

v1

vm(t)

t

T

)(1)()( tfb

tvtvT mm

Fbe Vm

1

1

sbmb

FVbe

m

Matematikai modellek ISMÉTLÉS

Állapot  leírás  (idő-és  operátor  tartományban)

)t,x(A :pl. :lrendszerné sNemlineári

)t(uD)t(xC)t(y)t(zR)t(uB)t(xA)t(x

Időtartományban Operátor  (frekvencia)  tartományban

I/O  szemlélet  (idő-és  operátor  tartományban)

(t)y

g(t) Impulzusválasz

u(t) bemenőjel

y(t) Kimenőjel

(Konvolucióval)

G(s) Átviteli függvény

U(s) bemenőjel

Y(s) Kimenőjel

g(t) SÚLYFÜGGVÉNY (időtartományban értelmezett): • homogén differenciál egyenlet megoldása, • egység impulzus gerjesztésre adott rendszerválasz.

G(s)  ÁTVITELI  FÜGGVÉNY   (frekvenciatartományban, és  csak  lineáris  rendszerekre  értelmezett):

U(s)V(s)G(s)

• komplex  függvény • |G(jω)|:  amplitúdó  arány

• Arc{G(j ω)}:  fáziskülönbség Gerjesztés

Válasz

ISMÉTLÉS

MATEMATIKAI MODELLEK

Idő-tartomány

Operátor,  v.  frekvenciatartomány

u(t) y(t) y(t) U(s) Y(s)

G(s)

1  dimenzió  (SISO  rendszer)

y(t)        Impulzus  válasz, homogén  differenciál    egyenlet        megoldása

Szabályozástechnikában  még: h(t)      átmeneti  függvény,  azaz  az  ugrásfüggvényre  adott  válasz  [1(t)]   Arc{G(j ω)}:

fáziskülönbség

G(jω) |G(j ω)|:  amplitúdó-arány

átviteli  függvény  

s = jω

sinjcosGeGjsG j

BEKIBE

KIj

BE

KIj

BE

jKIj e

XX

eXeX

eG

ISMÉTLÉS

ISMÉTLÉS MATEMATIKAI MODELLEK

Idő-tartomány

Operátor,  v.  frekvenciatartomány

n – dimenzió  („MIMO”-rendszer)

Φ(t) rezolvens  mátrix

u(t) y(t) Φ(t)

U(s) Y(s) F(s)

DBCsFsUY

AEss)t(

et111

tA

LL

Állapottér  modell

AEsdetAEsadj

t 1-L

1AEs

AEs1s

JELEK    (VÁLTOZÓK)

A RENDSZEREKBEN

Idő- tartomány

Operátor  (frekvencia)  tartomány

x(t)=Asin ω0t

ω ω0

|F(ω)|

JELEK  FELOSZTÁSA

DETERMINISZTIKUS SZTOCHASZTIKUS

DISZKRÉT ANALÓG

PERIÓDIKUS NEM PERIÓDIKUS

HARMO-NIKUS

ÁLTALÁ-NOS

PERIO-DIKUS

KVÁZI PERIO-DIKUS

EGY-ÉS  KÉTOL-

DALASAN HATÁROLT

AMPLI-TÚDÓ  KVAN-TÁLT

IDŐ  KVAN-TÁLT

AMPLI-TÚDÓ  ÉS  IDŐ  KVAN-TÁLT

ERGO-DIKUS

NEM ERGO-DIKUS

Folytonos jelek Időben  határolt  jelek

Diszkrét  spektrum Folytonos spektrum

Legfontosabb  jeltípusok

idő  és  frekvencia  tartományban

JELÁTVITEL  PROBLÉMÁINAK  SZEMLÉLTETÉSE  A  SPEKTRUM  SEGÍTSÉGÉVEL

Másodrendű  átviteli  tag  frekvencia  menete  (pl.)

Mérendő  jel

Regisztrált  jel

CSAK  BEMUTATÁS  CÉLJÁBÓL,  EZ  KÉSŐBBI  TANANYAG!

CSAK  BEMUTATÁS  CÉLJÁBÓL,  EZ  KÉSŐBBI  TANANYAG!

Ez az oka annak, hogy a FFT programokkal  kiszámított  

spektrum  „kétoldalas”.  A  negatív  körfrekvenciákra  eső  részt  a  pozitív  oldalhoz  kell  számítani.

KILENCEDIK  TÉMAKÖR 3  ÓRA

NÉGYSZÖGJEL FOURIER SORA

Harmonikus  függvények integráljai  

Példa állandó  amplitúdójú, periodikus  függvény Fourier  sorának kiszámítására

Annak  szemléltetése,  hogy  az  egyes  együtthatók  meghatározása  során  milyen  integrálási  határokkal  kell  számolni.

2

2

TT

Alap-harmonikus, és  behelyettesítési alakja az integrálásnál

1

0 sincosk

kk tkBtkAAtx

21 2/

0

2/

00

htThhdt

TA T

T

Az  úgynevezett  egyen-összetevő  (lin.  átlag):

00sinsin2sin2cos2 2/0

2/

01 T

htThtdth

TA T

T

hTTh

Th

Tht

Thtdth

TB T

T 22

41120coscos2cos2sin2 2/0

2/

01

00sin2sin2sin222cos2 2/

0

2/

02 T

htThtdth

TA T

T

0110cos2cos2cos222sin2 2/

0

2/

02 T

hTht

Thtdth

TB T

T

32

23411

320cos3cos

323cos

323sin2 2/

0

2/

03

hTTh

Th

Tht

Thtdth

TB T

T

52

25411

520cos5cos

525cos

525sin2 2/

0

2/

05

hTTh

Th

Tht

Thtdth

TB T

T

72

27411

720cos7cos

727cos

727sin2 2/

0

2/

07

hTTh

Th

Tht

Thtdth

TB T

T

2

2

TT

A Fourier - együtthatók  ábrázolása  a  körfrekvenciák  függvényében:

A  „spektrum”

A Fourier - együtthatók alapján  megrajzolt harmonikus összetevők, és  eredőjük. Elméletben,  ha az  eredőt  az  összes  összetevő figyelembe vételével  rajzoljuk meg, akkor az eredeti függvényt  látjuk viszont.

TIZEDIK  TÉMAKÖR 3  ÓRA

MŰVELETEK  A  MATEMATIKAI

MODELLEKKEL

ABSZTRAKT MODELLEK

Műveletek  az  absztrakt  matematikai  modellekkel

(Dinamikai  tulajdonságok  vizsgálata) Időtartományban

•Gerjesztetlen rendszer

•Gerjesztett rendszer

Operátor  (frekvencia)  tartományban

•Gerjesztetlen rendszer

•Gerjesztett  (harmonikus  összetevőkre  bontható  jelek)

IDŐTARTOMÁNY

=0

A./ Gerjesztetlen

IDŐTARTOMÁNY

Impulzusválasz

IDŐTARTOMÁNY

B./ Gerjesztett. (Konvoluciós tétel)

t

0

d)t(g)(u)t(yA  forgó  kapcsoló  csak  illusztráció!  A    valóságban  ez  a  felbontás  mintavételezéssel  és  tartótaggal  történhet.  

OPERÁTOR  (FREKVENCIA)  TARTOMÁNY

δ(t)ydtdyT

jωss,dtd

1)s(Y)s(TsY

)t(ydtdyT

L

Tt

1 ec1sT

1)t(y1sT

1)s(Y

L

A./  Gerjesztetlen.  Az  energia  tároló  szimbolikus  feltöltése  Dirac  impulzussal

OP ERÁTOR TART.

1T1

1Tj1)s(G

)s(G1sT

1)s(U)s(Y

22

1Tlg101Tlg101lg201T

1lg20)j(Glg20dB)j(G 222222

|G(ω)|/dB

B./ Gerjesztett (szinuszos jellel)

-20dB/dek

TIZENEGYEDIK  TÉMAKÖR 3  ÓRA

MŰVELETEK  A  MATEMATIKAI

MODELLEKKEL (Gyakorlás  példákon)

TIZENKETTEDIK  TÉMAKÖR

3  ÓRA

A RENDSZER-SZINTEK,

JEL – HÍR  – INFORMÁCIÓ DINAMIKUS RENDSZEREKBEN

BOULDING-FÉLE  SZINTEK  Publ.: General View of System Science, 1986

Struktúrák

Dinamikus rendszerek

Önműködő  rendszerek

Regeneratív  rendszerek

Reflexív  rendszerek

Adaptív  rendszerek

Egyes ember

Társadalom

Transzcendens rendszerek

Gépek  nyugalomban

Gépek  mozgásban

Automaták

Öntanuló  automaták

Növények

Állatvilág

Tudatos  biológiai  lény

Tudatos  lények  csoportjai

E,A

E,A,I,M

E,A,I,M,T

E,A,I,G

E,A,I,G,M,T

E,A,I,G,M,T,K

E,A,I,G,M,T,K

Boulding:  Minden  szint  involválja  az  összes  alatta  lévőt,  és  új  minőséget  reprezentál. A  szint  elnevezése  a  megjelenő  új  minőséget emeli ki. Saját  kiegészítés:  Mi  szükséges  jellemzően  a  „működésükhöz”?

E,A: Energia-és  anyagáram        I:  Információáram        M:  ROM/RAM,  Sejtmemória,  T:Tanulás,  adaptivitás,  RAM        G:  „Genetikus”  memória,  ROM        K:  Kreatív  öntudat  

Kizárólag  információ

Minden  szabályozás  előfeltétele  a  folyamatos információáramlás

Mi  a  mérés  információelméleti  modellje?

A Shannon-féle  szemléleten  alapul,  és  általánosan  használatos  a  

hírközlési  rendszerek  esetében.

ADÓ

ÁTV.CSAT. DEKÓD. VEVŐ

VEVŐ ÁTV.CSAT.

ADÓ KÓDOLÓ

HÍRKÖZLÉSI  MODELLEK

MÉRENDŐ

VÁLTOZÓ JELÁTVIVŐ

(ÉRZÉKELŐ) JEL-

FELDOLGOZÓ KIJELZŐ

(EREDMÉNY)

FEL-

HASZNÁLÓ

MÉRŐLÁNC,  MINT  ÁTVITELI  CSATORNA

ZAVARÁSOK,  ZAJOK

Mérőlánc  például  szabályozási  körökben  a    visszacsatolás,  amely  ellenőrző  tagot  tartalmaz.

KÓDOLÓ DEKÓDOLÓ

FORRÁS VEVŐ n-1.

állapotban

VEVŐ n.

állapotban

ÁTVITELI  CSATORNA

Információ  veszteség Zaj,  zavarások

Szinkronizáció

AZ  INFORMÁCIÓ  ÁTVITEL  ÁLTALÁNOS  MODELLJE

• Mi  az  információelmélet? Tudományterület  (~1948), amely valamilyen fizikai rendszeren  továbbítható,  időfüggő  jelekkel  és  a  jeltovábbítás  feltételeivel  foglalkozik.

• Jelelmélet,  kódolás-elmélet,  mint  segédtudományok

•Méréstechnikai  értelmezésben:

Zajos  jelátviteli  csatorna

MÉRŐLÁNC

ZAJ

BEMENŐJELEK KIMENŐJELEK

JEL: (IDŐBEN  VÁLTOZÓ)  FIZIKAI  (KÉMIAI)  MENNYISÉG

HÍR/KÖZLEMÉNY: (IDŐBEN)  KORLTOZOTT  JELEK

INFORMÁCIÓ  (Shannon, Bell Laboratories): BIZONYTALANSÁG,  AMELYET  A  HÍR MEGSZŰNTET(ETT).

HÍRKÉSZLET: ÖSSZES  LEHETSÉGES  HÍR

INFORMÁCIÓ  MENYISÉG/HÍRTARTALOM:

A  HÍR  KÖZLÉSE  ÁLTAL    ELOSZLATOTT  BIZONYTALANSÁG  NAGYSÁGA.  EZÉRT  ANNAK  A  HÍRNEK  VAN  NAGYOBB  INFORMÁCIÓTARTALMA,  AMELYNEK  A  BEKÖVETKEZÉSI  VALÓSZÍNŰSÉGE  KISEBB.  ANLÓGIA  :  ENTRÓPIA

Shannon  (1948)  csak  a  műszaki  értelemben  vett  információk  (elsősorban  digitális  villamos  jelek  által  hordozott  hírtartalom)  mérésére  dolgozott  ki  módszert!

A  HÍR  ENTRÓPIÁJA      (Shannon)

A  valószínűség  szemléltetésére  gyakran  alkalmazzák  a  dobókocka  példáját,  és  a  dobást  kísérletnek  nevezik.  Egyetlen  kísérlet  eredményéről  szóló  hír  információtartalma,  mert  ebben  az  esetben  minden  lehetséges  eredmény  egyforma  valószínűséggel  következhet  be:

PH 1log

Milyen  megfontolások  és  milyen  analógiák  vezettek  a  fogalom  megalkotásához?

Biztosan  bekövetkező  esemény  valószínűsége  P=1,  de  hírtartalma  H=0 Lehetetlen  esemény  valószínűsége  P=0,  ennek  hírtartalma  viszont  H~∞

Milyen  függvénykapcsolat  képes  leírni  ezt  a  gondolatmenetet?

78,06log6/1

1log 1010 H

Emlékeztetőül: 2log

log)(log2AAldA

Kolmogorov (1933): 0 ≤  P  ≤  1

Hartley (1928):

Neumann  János  javaslata:  Az  elektronikus  számológép  a  zavarérzékenység  miatt  ne  analóg,  és  ne  több  szinten  kvantált  jelekkel  végezze  a  műveleteket,  hanem  csupán  két  jelszint  legyen  engedélyezett  (igen-nem logika).

A  két  lehetséges  állapot  következménye,  hogy  az  elektronikus  rendszerekben  a  hírtartalom  (entrópia)  mérésére  a  kettes  alapú  logaritmust  használják.

n

i ii PldPbitH

1

1

Különböző,  Pi valószínűségű  eseményekből  álló  hír  eredő  átlagos  entrópiájának  számítása:

A  „bit”  egységet  Tukey  javasolta

A  hírelmélet  szorosan  együtt  fejlődött  a  valószínűség  számítással  és  a  halmazelmélettel.

Shannon  és  Kolmogorov  mellett  Kotelnyikov,  Hincsin,  Feinstein  és  Fano  alapozták  meg  a  korszerű  hírelméletet.

BINÁRIS  HÍRFORRÁS  ENTRÓPIÁJA

Mindkét  kimenet  (1,0)  azonos  valószínűséggel  jelentkezhet:  P(1)=P(0)

P(1)=1 – P(0)

Az  „1”  jel  információtartalma:

A  „0”  jel  információtartalma:

A  forrás  átlagos  információtartalma:

0)1(1 PldI 0)1(10 PldI

11111

111

PldP

PldPH

P(1) 0,00 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,4 0,5 -P(1) ld P(1) 0,00 0,22 0,33 0,41 0,46 0,5 0,52 0,53 0,5 (1-P(1))ld (1- P1) 0,00 0,07 0,14 0,2 0,26 0,31 0,36 0,44 0,5

H 0,00 0,29 0,47 0,61 0,72 0,81 0,88 0,97 1

A  legnagyobb  entrópia  akkor  jelentkezik,  ha  mindkét  érték  (1;;0)  azonos  valószínűséggel  fordulhat  elő.  Kisebb  eltérés  a  valószínűségben,  pl.:  0,4  – 0,6 nem okoz  csupán  0,03  bit  csökkenést.  Ez  kedvez  a  bináris  jelekkel  való  kódolásnak.

0,5

0,5

P(1) 0

P(0) 1

1

0

H/bit

1

0,5

BINÁRIS  HÍRFORRÁS  ENTRÓPIÁJA

Olyan  bináris  hírforrás  entrópiáját  keressük,  amelynek  kimenetén  azonos  valószínűséggel  fordulhat  elő    „1”  és  a  „0”  jel, azaz 15,05,0)0()1( PP

bitldII 15,0

101

bitldldH 125,025,0

Az  „1”,  vagy  „0”  hír  információtartalma:

A  forrás  átlagos  entrópiája:

TIZENHARMADIK  TÉMAKÖR

(Csak  bemutatásra)

Másodrendű  mechanikai  rendszer

matematikai modelljei:

Egy  változóra  felírt  n-ed  rendű  differenciálegyenlet  (t)

Átviteli  függvény  (s)

Állapottér  modell  (t,  s)

EGYSZERŰ  BEMUTATÓ  PÉLDA:

Másodrendű  (2  független  energia  tároló)  mechanikai  rendszer

f(t) v(t)

Vref=0

k b

m

tfvdtkbvdtdvm

ffftf kbm 0

tfAxxTxT

tfk

xxkbx

km

tfkxxbxm

vdtdx

2

1

2

sGasasa

b1Ts2sT

AsFsX

sFAsXsTsX2sXTs

012

2

022

22

k

k

fv

x

fxvx

2

1

vkf

tfm

fm

vmbv

k

k

11

tf

m101000

x

m1

mb

0b1b

k101001

y

tf0m1

x0km1

mb

x

tfkvvbvm

Állapottér

modell

Átviteli

függvény

Differenciál-egyenlet

Csomóponti  módszer

)t(g)s(XL)t(x1)s(F

1A:továbbá)t()t(f1Ts2sT

AsFsX

1

22

MEGOLDÁS:

1T1

Ts

sGtg

22,1

1

L

t3

2,12,1

etctg:ól-táblázatb

Ts

scsillapítákritikus1

L t2t1

2

2

2

1

2

1

21 ecectg:ól-táblázatb

T1

Ts

T1

Ts

ítotttúlcsillap1

L

t

y(t)

ξ ≥ 1 ξ < 1

A ck konstansok  értéke  a  kezdeti  feltételektől  függ.

tcosectg:Másként

tsine1tg

:ól-táblázatb

1T

1

jT

1jT

s

jT

1jT

s

pítottalulcsilla1

lt

4

lt

l

22

l

l

2

2

l

2

1

L

MÁSODRENDŰ  TAG  OPERÁTOR  TARTOMÁNYBAN

sGasasa

b1Ts2sT

AsXsX

sXAsXsTsX2sXTs

012

2

022

BE

KI

BEKIKIKI22

Átviteli

függvény

„Frekvencia-

menet”

Bode

diagram

|G(jω)|[dB]

TIZENNEGYEDIK  ÓRA Ellenőrzés  (ZH)