mecânica analítica - tica_revisão.pdf · pdf filedinâmica...
TRANSCRIPT
Prof. Nelson Luiz Reyes Marques
Mecânica Analítica
REVISÃO
Dinâmica Lagrangiana
Vínculos
São limitações às possíveis posições e velocidades das partículas de um
sistema mecânico, restringindo a priori o seu movimento.
• É importante salientar que os vínculos são limitações de ordem
cinemática impostas ao sistema mecânico.
• As restrições antecedem a dinâmica e precisam ser levadas em conta na
formulação das equações de movimento do sistema.
• Restrições de natureza dinâmica – decorrentes, portanto das equações
de movimento – não são vínculos.
Dinâmica Lagrangiana
Exemplo 1: Um pêndulo duplo oscila num plano vertical fixo. As equações de
vinculo são
𝑥2 + 𝑦2 − 𝑙12 = 0, 𝑥2 − 𝑥1
2+ 𝑦2 − 𝑦12 − 𝑙2
2 = 0
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑙12
𝑥2 − 𝑥12 + 𝑦2 − 𝑦1
2 = 𝑙22
Dinâmica Lagrangiana
Exemplo 2: Escreva as equações de transformação o pêndulo duplo
𝑥1 = 𝑙1 s𝑖𝑛 𝜃1
𝑦1 = 𝑙1 cos 𝜃1
𝑥2 = 𝑙1 sin 𝜃1 + 𝑙2 sin 𝜃2
𝑦2 = 𝑙1 cos 𝜃1 + 𝑙2 cos 𝜃2
O sistema tem apenas 2 grau de
liberdade com coordenadas
generalizadas q1 = θ1 e q2 = θ2
Dinâmica Lagrangiana
Exemplo 3: Um cilindro rola sem deslizar ao longo de uma linha reta. Sendo x
a posição do centro de massa do cilindro e o ângulo de rotação do centro de
massa, a condição de rolar sem deslizar é representada por
𝑥 = 𝑅𝜙 → 𝑥 − 𝑅𝜙 = 0
onde R é o raio do cilindro.
Dinâmica Lagrangiana Dinâmica Lagrangiana
A função de Lagrange ou, simplesmente, lagrangiano 𝐿 por: 𝐿 = 𝑇 − 𝑉
onde 𝑘 = 1,… , 𝑛.
As equações de movimento do sistema podem ser escritas na forma
d
dt
𝜕L
𝜕q k−
𝜕L
𝜕qk= 0 Equações de Lagrange
Se o sistema não for conservativo d
dt
𝜕L
𝜕q k−
𝜕L
𝜕qk= 𝑄𝑘
Dinâmica Lagrangiana
Exemplo 4: Considere uma partícula numa região onde existe um certo potencial
de interação.
A lagrangiana é dada por:
d
dt
𝜕L
𝜕𝑥 𝑖−𝜕L
𝜕𝑥𝑖= 0
𝐿 = 𝑇 − 𝑉 =1
2𝑚𝑣2 − V 𝑟 Solução:
Tomando as coordenadas generalizadas como coordenadas cartesianas, temos:
→ 𝜕L
𝜕𝑥𝑖= −
𝜕𝑉
𝜕𝑥𝑖 →
d
dt
𝜕L
𝜕𝑥 𝑖=
𝑑
𝑑𝑡𝑚𝑥 𝑖 = 𝑚𝑥 𝑖
O que faz com que a equação de Euler-Lagrange forneça:
d
dt
𝜕L
𝜕𝑥 𝑖−𝜕L
𝜕𝑥𝑖= 0 →
d
dt
𝜕L
𝜕𝑥 𝑖=𝜕L
𝜕𝑥𝑖 → 𝒎𝒙 = −
𝝏𝑽
𝝏𝒙𝒊
que é a segunda lei de Newton para forças conservativas. Força
Dinâmica Lagrangiana
Exemplo 5: Obtenha a Lagrangiana para um projetil (livre da resistência do ar)
em termos de suas coordenadas cartesianas (𝑥, 𝑦, 𝑧) , com 𝑧 medido
verticalmente para cima. Determine as três equações de Lagrange.
A energia cinética e a energia potencial:
A lagrangiana fica:
As equações de movimento:
d
dt
𝜕L
𝜕𝑥 −𝜕L
𝜕𝑥= 0
d
dt
𝜕L
𝜕𝑦 −𝜕L
𝜕𝑦= 0
d
dt
𝜕L
𝜕𝑧 −𝜕L
𝜕𝑧= 0
𝟎 = 𝒎𝒙 𝟎 = 𝒎𝒚 −𝒎𝒈 = 𝒎𝒛 que corresponde a F=mg.
𝑇 =1
2𝑚(𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2) 𝑉 = 𝑚𝑔𝑧
𝐿 = 𝑇 − 𝑉 =1
2𝑚 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 −mgz
Solução:
Dinâmica Lagrangiana
Exemplo 6: Obtenha a Lagrangiana para uma partícula movendo-se em uma
dimensão ao longo do eixo x sujeita à força 𝐹 = − 𝑘𝑥 (com 𝑘 positivo).
Determine a equação de Lagrange do movimento.
𝐹 = −𝑘𝑥 → 𝑉 =1
2𝑘𝑥2 → 𝑇 =
1
2𝑚𝑥 2
𝐿 = 𝑇 − 𝑉 → 𝐿 =1
2𝑚𝑥 2 −
1
2𝑘𝑥2
Solução:
A energia cinética e a energia potencial:
A lagrangiana fica:
As equações de movimento:
d
dt
𝜕L
𝜕𝑥 −𝜕L
𝜕𝑥= 0 −𝒌𝒙 = 𝒎𝒙
Dinâmica Lagrangiana
Exemplo 7: Considere uma massa 𝑚 movendo-se em duas dimensões com
energia potencial 𝑉 𝑥, 𝑦 = −1
2𝑘𝑟2 , onde 𝑟2 = 𝑥2 + 𝑦2. Obtenha a
lagrangeana, usando as coordenada 𝑥 e 𝑦, e determine as equações de
movimento de Lagrange.
𝑇 =1
2𝑚 𝑥 2 + 𝑦 2 → 𝑉 = −
1
2𝑘 𝑥2 + 𝑦2
Solução:
A energia cinética e a energia potencial:
𝐿 = 𝑇 − 𝑉 → 𝐿 =1
2𝑚 𝑥 2 + 𝑦 2 +
1
2𝑘 𝑥2 + 𝑦2 A lagrangiana fica:
As equações de movimento:
d
dt
𝜕L
𝜕𝑥 −𝜕L
𝜕𝑥= 0
−𝒌𝒙 = 𝒎𝒙
d
dt
𝜕L
𝜕𝑦 −𝜕L
𝜕𝑦= 0
−𝒌𝒙 = 𝒎𝒚
Dinâmica Lagrangiana
Exemplo 8: Considere uma massa 𝑚 movendo-se em uma rampa, sem atrito, que
tem uma declividade 𝛼 com a horizontal. Obtenha a Lagrangiana em termos da
coordenada 𝑥, medida horizontalmente através da rampa, e da coordenada 𝑦,
medida para baixo da rampa. (Trate o sistema como bidimensional, mas inclua a
energia potencial gravitacional). Determine as duas equações de Lagrange e
justifique se elas são as mesmas que você esperava.
𝑇 =1
2𝑚 𝑥 2 + 𝑦 2 → 𝑉 = 𝑚𝑔𝑦 = 𝑚𝑔𝑦 sin 𝛼
Solução:
A energia cinética e a energia potencial:
𝐿 = 𝑇 − 𝑉 → 𝐿 =1
2𝑚 𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑚𝑔𝑦 sin 𝛼 A lagrangiana fica:
As equações de movimento:
d
dt
𝜕L
𝜕𝑥 −𝜕L
𝜕𝑥= 0 → 0 = 𝒎𝒙
d
dt
𝜕L
𝜕𝑦 −𝜕L
𝜕𝑦= 0 → 𝒎𝒈sin𝜶 = 𝒎𝒚
Dinâmica Lagrangiana
Exemplo 9: Determine a Lagrangiana e a equação de movimento de um pêndulo
simples em coordenadas polares de raio fixo r=a e θ é a única coordenada
livre.
𝑇 =1
2𝑚 𝑥 2 + 𝑦 2 =
1
2𝑚𝑎2𝜃 2
Solução:
A energia cinética e a energia potencial:
𝐿 = 𝑇 − 𝑉 → 𝐿 =1
2𝑚𝑎2𝜃 2 +𝑚𝑔𝑎 cos 𝜃
A lagrangiana fica:
𝑥 = 𝑎 cos 𝜃 → 𝑦 = 𝑎 sin 𝜃
𝑥 = −𝑎𝜃 sin 𝜃 → 𝑦 = 𝑎𝜃 cos 𝜃
𝑉 = −𝑚𝑔𝑥 = −𝑚𝑔𝑎 cos 𝜃
Dinâmica Lagrangiana
𝐿 =1
2𝑚𝑎2𝜃 2 +𝑚𝑔𝑎 cos 𝜃
A equação de movimento:
d
dt
𝜕L
𝜕𝜃 −𝜕L
𝜕𝜃= 0
d
dt𝑚𝑎2𝜃 + 𝑚𝑔𝑎 sin 𝜃 = 0
𝑚𝑎2𝜃 = −𝑚𝑔𝑎 sin 𝜃
𝑎𝜃 = −𝑔 sin 𝜃
Dinâmica Lagrangiana
Exemplo 10: Deduza as equações de Lagrange, para uma partícula que se
move em um campo conservativo bidimensional, em coordenadas
a) cartesianas
b) Polares
c) cilíndricas
Dinâmica Lagrangiana
Solução: a)
A energia cinética e a energia potencial: 𝑇 =1
2𝑚(𝑥 2 + 𝑦 2) 𝑉 = 𝑉 𝑥, 𝑦
A lagrangiana fica:
As equações de movimento: d
dt
𝜕L
𝜕𝑥 −𝜕L
𝜕𝑥= 0
𝐿 = 𝑇 − 𝑉 =1
2𝑚 𝑥 2 + 𝑦 2 − V 𝑥; 𝑦
𝜕L
𝜕𝑦= −
𝜕𝑉
𝜕𝑦= 𝐹𝑦 →
𝜕L
𝜕𝑦 = −
𝜕𝑇
𝜕𝑦 = 𝑚𝑦 → 𝐹𝑦 = 𝑚𝑦
𝜕L
𝜕𝑥= −
𝜕𝑉
𝜕𝑥= 𝐹𝑥 →
𝜕L
𝜕𝑥 = −
𝜕𝑇
𝜕𝑥 = 𝑚𝑥 → 𝐹𝑥 = 𝑚𝑥
𝑭 = 𝒎𝒂
Dinâmica Lagrangiana
Solução: b) A energia cinética e a energia potencial:
𝑇 =1
2𝑚𝑣2 =
1
2𝑚 𝑟 2 + 𝑟2𝜙 2 𝑉 = 𝑉 𝑟, 𝜙
A lagrangiana fica:
A equações de movimento:
d
dt
𝜕L
𝜕𝑟 −𝜕L
𝜕𝑟= 0
𝐿 = 𝑇 − 𝑉 =1
2𝑚 𝑟 2 + 𝑟2𝜙 2 − V 𝑟, 𝜙
𝑣𝑟 = 𝑟 → 𝑣𝜙 = 𝑟𝜙
d
dt𝑚𝑟 − 𝑚𝑟𝜙 2 −
𝜕𝑉
𝜕𝑟= 0
𝑚𝑟 = −𝑚𝑟𝜙 2 −𝜕𝑉
𝜕𝑟
𝑭𝒓 = 𝒎(𝒓 − 𝒓𝜽 𝟐)
Dinâmica Lagrangiana
d
dt
𝜕L
𝜕𝜙 −𝜕L
𝜕𝜙= 0
𝐿 = 𝑇 − 𝑉 =1
2𝑚 𝑟 2 + 𝑟2𝜙 2 − V 𝑟, 𝜙
d
dt𝑚𝑟2𝜙 − −
𝜕𝑉
𝜕𝜙= 0
𝒎𝒓𝟐𝝓 = −𝝏𝑽
𝝏𝝓
Momento angular
Torque
Dinâmica Lagrangiana
Solução: c) A energia cinética e a energia potencial:
𝑇 =1
2𝑚𝑣2 =
1
2𝑚 𝑟 2 + 𝑟2𝜃 2 + 𝑧 2
𝑉 = 𝑉 𝑟, 𝜃, 𝑧
A lagrangiana fica:
𝐿 = 𝑇 − 𝑉 =1
2𝑚 𝑟 2 + 𝑟2𝜃 2 + 𝑧 2 − V 𝑟, 𝜃, 𝑧
𝑣𝑟 = 𝑟 → 𝑣𝜙 = 𝑟𝜃 → 𝑣𝑧 = 𝑧
Dinâmica Lagrangiana 𝐿 = 𝑇 − 𝑉 =1
2𝑚 𝑟 2 + 𝑟2𝜃 2 + 𝑧 2 − V 𝑟, 𝜃, 𝑧
d
dt
𝜕L
𝜕𝜃 −𝜕L
𝜕𝜃= 0
d
dt
𝜕L
𝜕𝑟 −𝜕L
𝜕𝑟= 0
d
dt𝑚𝑟 − (m𝑟𝜃 2
𝜕𝑉
𝜕𝑟) = 0 → 𝑚 𝑟 − 𝑟𝜃 2 = −
𝜕𝑉
𝜕𝑟
𝐹 𝑟
d
dt𝑚𝑟2𝜃 +
𝜕𝑉
𝜕𝜃= 0 → 𝑚
𝑑
𝑑𝑡𝑟2𝜃 = −
𝜕𝑉
𝜕𝜃
Torque
d
dt
𝜕L
𝜕𝑧 −𝜕L
𝜕𝑧= 0
d
dt𝑚𝑧 +
𝜕𝑉
𝜕𝑧= 0 → 𝑚𝑧 = −
𝜕𝑉
𝜕𝑟
𝐹 𝑧
Dinâmica Lagrangiana Dinâmica Lagrangiana
Exemplo 11: Determine a equação de Lagrange e as equações de movimento
para um pêndulo com suporte livre (a massa M pode se mover livremente sem
atrito no plano horizontal, enquanto o pêndulo oscila no plano vertical).
Refazendo o desenho e tomando o
nível de referencia na origem, temos
Dinâmica Lagrangiana
𝑇 =1
2𝑀𝑥 2 +
1
2𝑚 𝑋 2 + 𝑌 2 𝑉𝑀 = 0 𝑒 𝑉𝑚 = −𝑚𝑔𝑌, 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑉 = −𝑚𝑔𝑌
𝑋 = 𝑥 + 𝑙 sin 𝜃 → 𝑋 = 𝑥 + 𝑙𝜃 cos 𝜃
𝑌 = 𝑙 cos 𝜃 → 𝑌 = −𝑙𝜃 sin 𝜃
𝑋 2 + 𝑌 2 = 𝑥 2 + 𝑙2𝜃 2 + 2𝑙𝑥 𝜃 cos 𝜃
Podemos escrever as energias cinética e potencial
Como
Logo
𝑇 = 𝑚 +𝑀
2𝑥 2 +
𝑚𝑙2
2𝜃 2 +𝑚𝑙𝑥 𝜃 cos 𝜃 𝑉 = −𝑚𝑔𝑙 cos 𝜃
Podemos reescrever as energias cinética e potencial como
A lagrangiana fica 𝑳 = 𝑻 − 𝑽 = 𝒎 +𝑴
𝟐𝒙 𝟐 +
𝒎𝒍𝟐
𝟐𝜽 𝟐 +𝒎𝒍𝒙 𝜽 𝐜𝐨𝐬𝜽 +𝒎𝒈𝒍𝒄𝒐𝒔𝜽
Dinâmica Lagrangiana
Podemos, agora, determinar as equações de movimento
d
dt
𝜕L
𝜕𝑥 −𝜕L
𝜕𝑥= 0
𝐿 = 𝑚 +𝑀
2𝑥 2 +
𝑚𝑙2
2𝜃 2 +𝑚𝑙𝑥 𝜃 cos 𝜃 + 𝑚𝑔𝑙 cos 𝜃
d
dt𝑚 +𝑀 𝑥 + 𝑚𝑙𝜃 cos 𝜃 − 0 = 0
𝑚+𝑀 𝑥 + 𝑚𝑙𝜃 cos 𝜃 − 𝑚𝑙𝜃 2 sin 𝜃 = 0
d
dt
𝜕L
𝜕𝜃 −𝜕L
𝜕𝜃= 0
d
dt𝑚𝑙2𝜃 + 𝑚𝑙𝑥 cos 𝜃 − −𝑚𝑙𝑥 𝜃 sin 𝜃 − 𝑚𝑔𝑙 sin 𝜃 = 0
𝑚𝑙2𝜃 + 𝑚𝑙𝑥 cos 𝜃 − 𝑚𝑙𝑥 𝜃 sin 𝜃 + 𝑚𝑙𝑥 𝜃 sin 𝜃 + 𝑚𝑔𝑙 sin 𝜃 = 0
𝑚𝑙2𝜃 + 𝑚𝑙𝑥 cos 𝜃 + 𝑚𝑔𝑙 sin 𝜃 = 0
Dinâmica Lagrangiana
1º) Se m = 0 𝑚+𝑀 𝑥 + 𝑚𝑙𝜃 cos 𝜃 − 𝑚𝑙𝜃 2 sin 𝜃 = 0
0 +𝑀 𝑥 = 0 → 𝒙 = 𝟎 → 𝑀 𝑠𝑒 𝑚𝑜𝑣𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑢𝑚 𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜 𝑙𝑖𝑣𝑟𝑒
Como as equações de movimento são difíceis de resolver (equações não lineares – não existe um
método geral de resolução, cada caso é um caso), vamos analisar alguns casos limites
(particulares) afim de verificarmos se essas equações estão corretas.
2º) Se M 𝑚+𝑀 𝑥 + 𝑚𝑙𝜃 cos 𝜃 − 𝑚𝑙𝜃 2 sin 𝜃 = 0
Divide-se todos os termos por M 𝑚 +𝑀 𝑥
𝑀+𝑚𝑙𝜃 cos 𝜃
𝑀−𝑚𝑙𝜃 2 sin 𝜃
𝑀= 0 → 𝑥 = 0
Substituindo 𝑥 = 0 na segunda equação de movimento
𝑚𝑙2𝜃 + 𝑚𝑙𝑥 cos 𝜃 + 𝑚𝑔𝑙 sin 𝜃 = 0 e dividindo por 𝑚𝑙2, obtemos
𝜽 +𝒈
𝒍𝒔𝒊𝒏𝜽 = 𝟎
que corresponde a equação do pêndulo simples com ponto de suspensão fixo.
Dinâmica Lagrangiana
Exemplo 12: Uma partícula de massa m move-se em um campo de força conservativo. Ache
(a) a função lagrangiana, (b) as equações do movimento em coordenadas cilíndrica
𝑟, 𝜃, 𝑧 .
Solução: (a) A energia cinética total em coordenadas
cilíndricas
𝑇 =1
2𝑚 𝑟 2 + 𝑟2𝜃 2 + 𝑧 2
A energia potencial 𝑉 = 𝑟, 𝜃, 𝑧 . Então a função
lagrangiana é
𝐿 = 𝑇 − 𝑉 =1
2𝑚 𝑟 2 + 𝑟2𝜃 2 + 𝑧 2 − 𝑉 𝑟, 𝜃, 𝑧
(b) As equações de Lagrange são
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝐿
𝜕𝑟 −𝜕𝐿
𝜕𝑟= 0 →
𝑑
𝑑𝑡𝑚𝑟 − 𝑚𝑟𝜃 2 −
𝜕𝑉
𝜕𝑟= 0 → 𝑚 𝑟 − 𝑟𝜃 2 = −
𝜕𝑉
𝜕𝑟
Dinâmica Lagrangiana
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝐿
𝜕𝜃 −𝜕𝐿
𝜕𝜃= 0 →
𝑑
𝑑𝑡𝑚𝑟2𝜃 +
𝜕𝑉
𝜕𝜃= 0 → 𝑚
𝑑
𝑑𝑡𝑟2𝜃 = −
𝜕𝑉
𝜕𝜃
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝐿
𝜕𝑧 −𝜕𝐿
𝜕𝑧= 0 →
𝑑
𝑑𝑡𝑚𝑧 +
𝜕𝑉
𝜕𝑧= 0 → 𝑚𝑧 = −
𝜕𝑉
𝜕𝑧
(b) As equações de Lagrange são
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝐿
𝜕𝑟 −𝜕𝐿
𝜕𝑟= 0 →
𝑑
𝑑𝑡𝑚𝑟 − 𝑚𝑟𝜃 2 −
𝜕𝑉
𝜕𝑟= 0 → 𝑚 𝑟 − 𝑟𝜃 2 = −
𝜕𝑉
𝜕𝑟
Dinâmica Lagrangiana
Exemplo 13: Considere um pêndulo plano formado por uma haste inextensível de
comprimento 𝑙 e massa desprezível tendo na sua extremidade uma partícula
pontual de massa 𝑚. Escreva as equações de movimento da partícula em
coordenadas polares 𝑟 e 𝜃.
Solução:
;
A lagrangiana fica:
𝑇 =1
2𝑚𝑟 2 +
1
2𝑚𝑟2𝜃 2
𝑉 = 𝑚𝑔𝑧 = 𝑚𝑔𝑟 1 − cos 𝜃
𝐿 = 𝑇 − 𝑉 → 𝐿 =1
2𝑚𝑟 2 +
1
2𝑚𝑟2𝜃 2 −𝑚𝑔𝑟 1 − cos 𝜃
Dinâmica Lagrangiana ;
As equações de movimento são: :
𝐿 = 𝑇 − 𝑉 → 𝐿 =1
2𝑚𝑟 2 +
1
2𝑚𝑟2𝜃 2 −𝑚𝑔𝑟 1 − cos 𝜃
;
d
dt
𝜕L
𝜕𝑟 −𝜕L
𝜕𝑟= 0
d
dt𝑚𝑟 − [𝑚𝑟𝜃 2 −𝑚𝑔 1 − cos 𝜃 ] = 0
𝑚𝑟 = 𝑚𝑟𝜃 2 −𝑚𝑔 1 − cos 𝜃
𝒓 = 𝒓𝜽 𝟐 − 𝒈 𝟏 − 𝐜𝐨𝐬𝜽
Dinâmica Lagrangiana ;
As equações de movimento são:
𝐿 = 𝑇 − 𝑉 → 𝐿 =1
2𝑚𝑟 2 +
1
2𝑚𝑟2𝜃 2 −𝑚𝑔𝑟 1 − cos 𝜃
;
d
dt
𝜕L
𝜕𝜃 −𝜕L
𝜕𝜃= 0 →
d
dt𝑚𝑟2𝜃 − 𝑚𝑔𝑟 sin 𝜃 = 0
𝑚𝑟2𝜃 + 2𝑚𝑟𝑟 𝜃 = 𝑚𝑔𝑟 sin 𝜃
𝒍𝜽 = 𝒎𝒈 sin𝜽 → 𝜽 =𝒈
𝒍sin𝜽
Como, 𝑟 = 𝑙 e 𝑟 = 0 :
temos:
Dinâmica Lagrangiana
Exemplo 14:
Dinâmica Lagrangiana
Dinâmica Lagrangiana
Dinâmica Lagrangiana
Dinâmica Lagrangiana
Dinâmica Lagrangiana
Momentos generalizados (canônicos)
𝒑 𝒊 =𝝏𝑳
𝝏𝒒𝒊 𝒑𝒊 =
𝝏𝑳
𝝏𝒒 𝒊
Estas equações podem ser chamadas de equação de movimento de Lagrange
Equações de Hamilton
Se um sistema for conservativo, o hamiltoniano 𝐻 pode ser interpretado como
a energia total (cinética e potencial) do sistema. 𝑯 = 𝑻 + 𝑽
𝑯 𝒒, 𝒑, 𝒕 = 𝒒 𝒊𝒑𝒊
𝒏
𝒊=𝟏
− 𝑳 𝒒, 𝒒 , 𝒕 O hamiltoniano 𝐻 𝑞, 𝑝, 𝑡 definida por:
Equações de movimento de Hamilton
𝒒 𝒊 =𝝏𝑯
𝝏𝒑𝒊 𝒑 𝒊 = −
𝝏𝑯
𝝏𝒒𝒊
Dinâmica Hamiltoniana
Exemplo 15: A lagrangiana de um oscilador harmônico é dada por
𝐿 =𝑚𝑥 2
2−𝑘𝑥2
2
a) o momento conjugado
, determine:
𝑝𝑥 = 𝑚𝑥 → 𝑥 =𝑝𝑥𝑚
b) A hamiltoniana
𝐻 = 𝑥 𝑝𝑟 − 𝐿 =𝑝𝑥2
𝑚−𝑚
2
𝑝𝑥𝑚
2
+𝑘𝑥2
2
Dinâmica Hamiltoniana
Exemplo 16: A partícula livre em coordenadas esféricas. O vetor velocidade é
dado por 𝒓 = 𝒓 𝒓 + 𝒓𝜽 𝜽 + 𝒓𝝓 sin 𝜽𝝓 , determine:
a) a lagrangiana
𝐿 = 𝑇 + 𝑉 = 𝑇 =1
2𝑚𝑣2 =
1
2𝑚 𝑟 2 + 𝑟2𝜃 2 + 𝑟2𝜙 2𝑠𝑖𝑛2𝜃
b) Os momentos conjugados
𝑝𝑟 = 𝑚𝑟
𝑝𝜃 = 𝑚𝑟2𝜃
𝑝𝜙 = 𝑚𝑟2𝑠𝑖𝑛2𝜃𝜙 →
𝑟 =𝑝𝑟𝑚
𝜃 =𝑝𝜃𝑚𝑟2
𝜙 =𝑝𝜙
𝑚𝑟2𝑠𝑖𝑛2𝜃
Dinâmica Hamiltoniana
c) a hamiltoniana
𝐻 𝑞, 𝑝, 𝑡 = 𝑞 𝑖𝑝𝑖
𝑛
𝑖=1
− 𝐿 𝑞, 𝑞 , 𝑡
𝐻 = 𝑟 𝑝𝑟 + 𝜃 𝑝𝜃 + 𝜙 𝑝𝜙 − 𝐿
𝐻 =𝑝𝑟2
𝑚+
𝑝𝜃2
𝑚𝑟2+
𝑝𝜙2
𝑚𝑟2𝑠𝑖𝑛2𝜃−𝑚
2
𝑝𝑟𝑚
2
−𝑚𝑟2
2
𝑝𝜃𝑚𝑟2
2
−𝑚𝑟2𝑠𝑖𝑛2𝜃
2
𝑝𝜙
𝑚𝑟2𝑠𝑖𝑛2𝜃
2
𝑯 =𝟏
𝟐𝒎𝒑𝒓𝟐 +
𝒑𝜽𝟐
𝒓𝟐+
𝒑𝝓𝟐
𝒓𝟐𝒔𝒊𝒏𝟐𝜽
Dinâmica Hamiltoniana
Exemplo 17: Maquina de Atwood
Pelos dados da figura, temos
𝑇 =1
2𝑚1𝑥
2 +1
2𝑚2𝑥
2 𝑉 = −𝑚1𝑔𝑥 −𝑚2𝑔 𝑙 − 𝑥
𝑉 = −𝑚1𝑔𝑥 −𝑚2𝑔𝑥
Desprezando o termo constante, temos
𝐿 = 𝑇 − 𝑉 𝐿 =1
2𝑚1 +𝑚2 𝑥 2 + 𝑚1 −𝑚2 𝑔𝑥
𝐻 = 𝑞 𝑖𝑝𝑖 − 𝐿 = 𝑝𝑥 − 𝐿
A expressão do hamiltoniano é dada por
𝐻 = 𝑝𝑥 − 𝐿 = 𝑝𝑥 −1
2𝑚1 +𝑚2 𝑥 2 + 𝑚1 −𝑚2 𝑔𝑥
A expressão do lagrangiano fica
Dinâmica Hamiltoniana
𝐻 = 𝑝𝑥 − 𝐿 = 𝑝𝑥 −1
2𝑚1 +𝑚2 𝑥 2 + 𝑚1 −𝑚2 𝑔𝑥
O hamiltoniano deve ser escrito apenas em termos de coordenadas e momentos,
eliminando as velocidades.
𝑝 =𝜕𝐿
𝜕𝑥 = (𝑚1 +𝑚2)𝑥
Substituindo a equação
𝐻 = 𝑝𝑥 −1
2𝑚1 +𝑚2 𝑥 2 + 𝑚1 −𝑚2 𝑔𝑥
𝑝 =𝜕𝐿
𝜕𝑥 = (𝑚1 +𝑚2)𝑥
no hamiltoniano
obtemos 𝐻 =𝑝2
2 𝑚1 +𝑚22+ 𝑚1 −𝑚2 𝑔𝑥
Dinâmica Hamiltoniana
Calculando as equações de Hamilton
𝐻 =𝑝2
2 𝑚1 +𝑚22+ 𝑚1 −𝑚2 𝑔𝑥
𝑞 𝑖 =𝜕𝐻
𝜕𝑝𝑖→ 𝑥 =
𝜕𝐻
𝜕𝑝=
𝑝
𝑚1 +𝑚2
𝑝 𝑖 = −𝜕𝐻
𝜕𝑞𝑖 → 𝑝 = −
𝜕𝐻
𝜕𝑥= 𝑚1 −𝑚2 𝑔
Combinando as duas expressões, obtemos a expressão para a aceleração
com que as massas se deslocam
𝑥 =𝑚1 −𝑚2
𝑚1 +𝑚2𝑔
Dinâmica Hamiltoniana
Exemplo18:
Dinâmica Hamiltoniana
Dinâmica Hamiltoniana
Dinâmica Hamiltoniana
Dinâmica Hamiltoniana