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MECÂNICA DOS SÓLIDOS (CINEMÁTICA) – ENSINO MÉDIO
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3
VELOCIDADE
(módulo)
ACELERAÇÃO CONSTANTE
(a = constante)
VARIÁVEL
(v = variável)
TRAJETÓRIA RETILÍNEA
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4
TIPO DE
MRUV v ∆S
PROGRESSIVO
(+) (+)
RETRÓGRADO
(-) (-)
CRITÉRIO: Quanto ao sentido do MRUV
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5
CRITÉRIO: Quanto a variação de velocidade do MUV
TIPO DE
MUV
V
(velocidade)
a
(aceleração)
VELOCIDADE
ACELERADO
(+) (+) AUMENTA
(-) (-) RETARDADO
(+) (-) DIMINUI
(-) (+)
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6
NOME DA
EQUAÇÃO
EQUAÇÃO OBSERVAÇÃO
EQUAÇÃO DA
ACELERAÇÃO
Permite calcular a
aceleração.
EQUAÇÃO
HORÁRIA DAS
VELOCIDADES
Permite calcular a
velocidade em função
do tempo.
EQUAÇÃO
HORÁRIA DOS
ESPAÇOS
Permite calcular a
posição em função do
tempo.
EQUAÇÃO DE
TORRICELLI
Permite calcular a
velocidade em função
do espaço.
tv
a
tavv .0
200 2
ta
tvSS
Savv 220
2
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7
EQUAÇÃO DA ACELERAÇÃO
tv
a
0
0
ttvv
a
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8
EQUAÇÃO HORÁRIA DAS VELOCIDADES
tv
a
tavv .0
0
0
ttvv
a
00
t
vva
00 t
tvv
a 00 t. vva
v = velocidade (m/s)
v0 = velocidade inicial (m/s)
a = aceleração (m/s²)
t = tempo (s)
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9
EQUAÇÃO HORÁRIA DOS ESPAÇOS
t
v
v0 = b
v = B
h = t
gráficoAs
hbB
Agráfico .2
)(
hbB
S .2
)(
th
B
0 v b
v
tvv
S .2
)( 0
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10
tavv .0
tvv
S .2
)( 0 t
vatvSS .
2)( 00
0
0SSS e:
tatv
SS .2
)2( 00
2)2( 2
00
attvSS
222 2
00
attvSS
200 2
ta
tvSS
200 2
ta
tvSS
S = posição (m)
S0 = posição inicial (m)
v0 = velocidade inicial (m/s)
a = aceleração (m/s²)
t = tempo (s)
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11
EQUAÇÃO DE TORRICELLI
tavv .02
02 ).( tavv
220
20
2 ....2 tatavvv
).2
(2 20
20
2 ta
tvavv
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12
).2
(2 20
20
2 ta
tvavv
200 2
ta
tvSS 200 2
ta
tvSS
Sta
tv 20 2
0SSS
Savv 220
2
20 2
ta
tvS
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13
Evangelista Torricelli nasceu em 15 de outubro de 1608 em
Faenza, perto de Modigliana, que então integrava os Estados
Pontifícios. Formou-se no colégio jesuíta de sua cidade e, na
Universidade de Roma, foi aluno de Bonaventura Cavalieri. Em
1641 escreveu um tratado sobre mecânica, De motu gravium
naturaliter descendentium et proiectorum (Sobre o movimento
dos corpos pesados naturalmente descendentes e projetados),
brilhante comentário ao terceiro diálogo dos discursos de
Galileu. No mesmo ano, foi convidado a radicar-se em Florença
para trabalhar como secretário e assistente de Galileu, função
que exerceu por apenas três meses devido à morte do
astrônomo.
Foi então nomeado para substituir o mestre como matemático
do grão-duque da Toscana e professor de matemática da
academia florentina. Retomando uma idéia de Galileu, Torricelli
realizou experimentos com um tubo parcialmente cheio de
mercúrio, no interior do qual conseguiu, pela primeira vez, fazer
vácuo. Depois de várias experiências, concluiu que as variações
na altura da coluna de mercúrio eram causadas por mudanças
na pressão atmosférica. Estava inventado o barômetro de
mercúrio, que a princípio chamou-se "tubo de Torricelli".
Ocupado com a matemática, especialmente com o estudo da
ciclóide, Torricelli nunca publicou suas experiências físicas. Na
obra Opera geométrica (1644), no entanto, incluiu as
descobertas sobre o movimento dos fluidos e a trajetória dos
projéteis. Torricelli morreu em Florença, em 25 de outubro de 1647.
Entre suas contribuições
mais importantes para a
física, Torricelli inventou o
barômetro, aperfeiçoou o
telescópio e construiu um
tipo rudimentar de
microscópio. Em
matemática, entre outras
descobertas, enunciou o
teorema que permite
determinar o centro de
gravidade de qualquer figura
geométrica por meio da relação de duas integrais.
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GRÁFICO DE ACELERAÇÃO (a) VERSUS TEMPO (t)
v
t t1
0
0aa
t
0
t2
t1 t2 t3
t3
a
0a
)(a
)(a
14
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15
t t1
a
0
t2 t3
a
{ {
ah
tb
hbAgráfico
.taAgráfico .
tavtv
a
.
gráficoAv
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16
GRÁFICOS DE VELOCIDADE (v) VERSUS TEMPO
(t)
t
t1
v
0 t2
v1
v2
tvϴ
0vb
tavv .0
{ xmby .
atv
tgm
0vb am
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17
t
v
v0 = 0
tav .
t
v v0
tavv .0
0
MÓVEL PARTIU DO
REPOUSO
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18
GRÁFICOS DE ESPAÇO (s) VERSUS TEMPO (t)
200 2
ta
tvss
20 BxAxyy
{
t
s
t
s 0a
0a
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19
t
s 0a
t1 t2 t3
{ { MÓVEL EM
REPOUSO
(v = 0)
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20
t
s 0a
t1 t2 t3
{ { MÓVEL EM
REPOUSO
(v = 0)
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21
A partir dos gráficos (unidades SI) abaixo representados de um
móvel em MUV, determine:
a) Os valores da velocidade inicial, posição inicial e da aceleração
do móvel.
b) As equações horárias de velocidade e de espaço.
c) A velocidade, a posição, deslocamento escalar e o tipo de MUV
no instante 10 segundos.
GRÁFICO (1) GRÁFICO (2) GRÁFICO (3)
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22
00 s
2/2 sma
tv
a
smvst
vt
/105
00 00
00 v
móvel partiu da origem
dos espaços.
móvel partiu do repouso.
ssm
a5
/)010(
2/2 sma
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23
200 2
ta
tvss
2º-
tavv .0
2
00
a
vtv .20 tv .2
2
0
0
0
0
a
v
s
2
22
00 tts
2ts (SI)
(SI)
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24
1º- c)
tv .2 10.2v smv /20
2º-
2ts 2)10(s ms 100
3º-
0sss 0100s
ms 100
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25
4º-
smv /202/2 sma
{ Movimento progressivo, pois:
v(+).
Movimento acelerado, pois, a
velocidade e a aceleração
apresentam o mesmo sinal.
O móvel afasta-se da
origem dos espaços
aumentando
progressivamente sua
velocidade.
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26
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27
Um móvel em MRUV parte a 100m da origem
com velocidade de 40 m/s e (5s) depois sal
velocidade é igual a (30m/s). Determine:
a) A aceleração.
b) As equações horárias de velocidade e dos
espaços.
c) A velocidade, posição, deslocamento
escalar e o tipo de MUV no instante 10 s.
d) O instante em que o móvel entra em
repouso e a respectiva distância da origem.
e) Faça um esboço dos gráficos do
movimento.
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28
Um caminhão em MRUV parte a 50 m da
origem e apresenta os seguintes gráficos.
Determine a velocidade, a posição, o
deslocamento escalar e o tipo de MRUV no
instante (8s).
a
(m/s²)
t (s)
5
t (s)
v
(m/s)
10
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29
A posição de uma partícula que se move ao
longo do eixo (x) é dada pela equação abaixo
transcrita. Qual a velocidade da partícula no
instante 3,5 s?
)(5,220200 2 SIttx
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30
Um pequeno barco navega em uma baía sem
correntezas segundo um MRUV e
apresentando o gráfico de (S) versus (t)
abaixo representado, obtenha o valor da
aceleração do móvel.
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31
Um trem de metrô parte de uma estação com
aceleração uniforme até atingir, após (10s) a
velocidade de (90 km/h), a qual é mantida por
(30 s), para então desacelerar uniformemente
durante (10 s) até parar na estação seguinte.
a) Represente graficamente a velocidade em
função do tempo.
b) Calcule a distância entre as duas estações.
c) Calcule a velocidade média do trem nesse
percurso.
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32
Dois automóveis partem no mesmo instante de uma
cidade (A) para outra (B). O primeiro parte com
velocidade constante de 48 km/h e o segundo parte
do repouso com aceleração de 30 km/h² . Sabendo
que o segundo automóvel chegou uma hora antes, na
frente do primeiro. Qual a distância entre as cidades
(A) e (B)?
a) 240 km.
b) 120 km.
c) 80 km.
d) 40 km.
e) n.d.a.
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33
Numa linha de metrô, duas estações distam 300
metros, uma da outra. O trem do metrô atinge no
máximo uma velocidade de 20 m/s, sua aceleração e
desaceleração são de módulo igual a 5 . Qual será o
menor intervalo de tempo para que o trem percorra a
distância entre as estações (A) e (B)?
a) 40s
b) 30s
c) 19 s
d) 20 s
e) n.d.a.
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34
Um trem movendo-se com velocidade de 72 km/h é freado até o
repouso com desaceleração constante. Esse movimento
retardado desenvolve-se em (1/6) de minuto. Qual o módulo da
taxa de desaceleração?
a) 5 m/s²
b) 4 m/s
c) 3m/s²
d) 2 m/s
e) n.d.a.
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35
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