εyz 0=εzνE

− σy σx+( )⋅=

εxz 0=εy1E

σy ν σx⋅−( )⋅=

εxyσxy2G

=εx1E

σx ν σy⋅−( )⋅=

σxz σzx= σyz= σzy= 0=σz 0=Estado Plano de tensão

2 - Particularize as relações constitutivas acima mencionadas para os casos de estado de tensão e estado plano de deformação.

σzE

ν 1+( ) 1 2 ν⋅−( )⋅1 ν−( ) εz⋅ ν εy εx+( )⋅+ ⋅= σyz 2G εyz⋅=

σyE

ν 1+( ) 1 2 ν⋅−( )⋅1 ν−( ) εy⋅ ν εz εx+( )⋅+ ⋅= σxz 2G εxz⋅=

σxy 2G εxy⋅=σxE

ν 1+( ) 1 2 ν⋅−( )⋅1 ν−( ) εx⋅ ν εy εz+( )⋅+ ⋅=

εyzσyz2G

=εz1E

σz ν σy σx+( )⋅− ⋅=

εxzσxz2G

=εy1E

σy ν σx σz+( )⋅− ⋅=

εxyσxy2G

=εx1E

σx ν σy σz+( )⋅− ⋅=

Mecânica dos Sólidos I Lista de Exercícios III Tensões , Deformações e Relações Constitutivas. 1. Inverta a relação tensão deformação para materiais elásticos , lineares e isotrópicos para

obter a relação em termos de deformação.

εz 3.6− 10 4−⋅:=σx 145MPa:=ν 0.3:=E 210GPa:=Considerando :

MPa 106Pa:=µ 10 6−:=MN 106N:=GPa 109Pa:=

3-A placa plana mostrada na figura é carregada no plano xy . Sabendo-se que: σx=145 MN/m2 σxy= 42 MN/m2 e εz=-3.6 x 10-4 determinar o valor de σy.

z

y x

σzν E⋅

ν 1+( ) 1 2 ν⋅−( )⋅εy εx+( )⋅= σyz 0=

σyE

ν 1+( ) 1 2 ν⋅−( )⋅1 ν−( ) εy⋅ ν εx⋅+ ⋅= σxz 0=

σxE

ν 1+( ) 1 2 ν⋅−( )⋅1 ν−( ) εx⋅ ν εy⋅+ ⋅= σxy 2G εxy⋅=

εy1 ν+( )

E1 ν−( ) σy⋅ ν σx⋅− ⋅=

εxyσxy2G

=

εx1 ν+( )

E1 ν−( ) σx⋅ ν σy⋅− ⋅=

εxz εzx= εyz= εzy= 0=εz 0=Estado Plano de deformação

σxy 2G εxy⋅=

σxE

1 ν2

−( )εx ν εy⋅+( )⋅= σy

E

1 ν2

−( )εy ν εx⋅+( )⋅=

B

σABF−

A=

XY

Face sem tensão normal a 450 de X e a -450 de X.

A

1 0 1

1

1

aFA

=c 0:=

σxy 0=

σyF−

A:=σx

FA

=

F F

F

F

4. Uma força F é aplicada uniformemente nos lados de uma placa quadrada, de tal forma que , em duas faces opostas, tem-se tração e, nas duas outras faces opostas, compressão. Em quais planos da placa não ocorrerá tensão normal ? Qual é a tensão de cisalhamento em tais faces ?

σy 107 MPa=σy σx εzE

ν⋅+

−:=νE

− σy σx+( )⋅ εz=

εzνE

− σy σx+( )⋅=Placa em estado plano de tensão :

σns 2.42kgf

mm2=σns

σx2

− sin 2 θ⋅( )⋅:=

σn 4.2−kgf

mm2=σn

σx2

σx2

cos 2 θ⋅( )⋅+:=

θ 30deg:=No plano inclinado

σx 5.59−kgf

mm2=

σx E α⋅ ∆t⋅( )−:=σxE

α∆t+ 0==>εx 0:=Cinemática :

Barra : estado uniaxial de tensão, ou seja, a única tensão não nula é a tensão σx.

∆t 95 21−:=α 3.6 10 6−⋅:=E 21000

kgf

mm2:=

5 Uma barra de metal se encaixa entre dois suportes rígidos, à temperatura ambiente (21ºC), como se vê na figura. Calcular as tensões normal e de cisalhamento na seção inclinada, quando a temperatura aumenta para 95ºC. Admitir α = 3.6 x 10-6 por ºC e E=21 x 103 kgf/mm2.

������������

������������

60º

σx σadm 3⋅=σx3 σadm⋅

2 sin 2π3

⋅

=

Neste caso :

Portanto o máximo admissivel ocorre em θ = 600

0.5 10

2

4

6

normal maximacisalhante maxiimamaximo admissivel

smax θ( ) if σ θ( )( ) τ θ( )≤ σ θ( ), τ θ( ), :=

θ 10deg 15deg, 60deg..:=τ θ( ) 32 sin 2θ( ):=σ θ( ) 2

1 cos 2θ( )+( ):=

σx3 σadm⋅

2 sin 2θ( )≤σx2 σadm⋅

1 cos 2θ( )+( )≤

σx−

2sin 2 θ⋅( )⋅

34

σadm⋅≤σx2

1 cos 2θ( )+( ) σadm≤

Para P ser máximo, σx deve ser máximo. Logo:

τadm34

σadm⋅=σxy 0=σy 0=σxPA

=

6 Uma barra tracionada é composta de dois pedaços de material que são colados ao longo da linha mn. Por razões práticas, o ângulo θ é limitado `a faixa de 0º a 60º. A tensão de cisalhamento permissível , τ adm, na junta colada é ¾ da tensão de tração permissível (σadm). Qual deve ser o valor do ângulo θ , afim de que a barra suporte o máximo de carga P , admitindo que a resistência da junta colada controle o projeto.

θ

m

n

P P

ε23 120.38 µ=ε23ε2 ε3−

2:=

ε13 170.38 µ=ε13ε1 ε3−

2:=

ε12 50 µ=ε12ε1 ε2−

2:=

Tangenciais máximas

ε3 150.77− µ=ε3 εz:=

ε2 90 µ=ε2 c a−:=

ε1 190 µ=ε1 c a+:=

Deformações principais

aεx εy−

2

2

εxy2

+:=c

εx εy+

2:=

(a) Deformações principais e tangenciais máximas

εzν

1 ν−( )

− εy εx+( )⋅:=εxy 30µ:=εy 180µ:=εx 100µ:=

GE

2 1 ν+( )⋅:=ν 0.35:=E 45GPa:=

(Estado Plano de Tensão)σz σxz= σzx= σyz= σzy= 0=Superficie livre :

7 As deformações medidas em um ponto sobre uma superfície livre de um elemento de máquina fornecem os seguintes dados de deformações:

εx= 100 µ εy= 180 µ e γxy= 60 µ . 0 material é liga de magnésio com um módulo de elasticidade de 45GPa e coeficiente de Poisson de 0.35. (a) Determine as deformações principais e tangenciais máximas (b)Usando os resultados da parte (a), determine as tensões principais e tangenciais máximas no ponto.

E δ( )

0

0

0

0

0

0

0

0

δL

:=T p( )

p−

0

0

0

p−

0

0

0

σz

:=σzP−

A:=

CinemáticaEstado de tensão na borracha

A 1.96 103× mm2

=Aπ d2

⋅4

:=

ν 0.45:=d 5cm:=P 500kgf:=

8 Um cilindro, A, de borracha de diâmetro d é comprimido em um cilindro, B, de aço por uma força P. Determinar a pressão p entre a borracha e o cilindro, quando P= 500 kgf, d= 5cm e o coeficiente de Poisson para a borracha é 0.45.

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

P

A

d

B

σ23 4.01 MPa=σ23 2G ε23⋅:=

σ13 5.68 MPa=σ13 2G ε13⋅:=

σ12 1.67 MPa=σ12 2G ε12⋅:=

Tangenciais máximasσ3 0:=

σ2 8.03 MPa=σ2E

ν 1+( ) 1 2 ν⋅−( )⋅1 ν−( ) ε2⋅ ν ε3 ε1+( )⋅+ ⋅:=

σ1 11.36 MPa=σ1E

ν 1+( ) 1 2 ν⋅−( )⋅1 ν−( ) ε1⋅ ν ε2 ε3+( )⋅+ ⋅:=

Considerando o material isotrópico:

Tensões principais

(b)Tensões principais e tangenciais máximas

εn 341.87 µ=εn ε en⋅ en⋅:=en

0.6

0.8

0

:=

ε

120

173.33

0

173.33

206.67

86.67−

0

86.67−

313.33−

µ=ε

εx

εxy

εxz

εxy

εy

εyz

εxz

εyz

εz

:=

εyzσyz2G

:=εz

1E

σz ν σy σx+( )⋅− ⋅:=

εxzσxz2G

:=εy1E

σy ν σx σz+( )⋅− ⋅:=

εxyσxy2G

:=εxεx1E

σx ν σy σz+( )⋅− ⋅:=

σxz 0MPa:=

σz 49− MPa:=σyz 14− MPa:=σy 35MPa:=σxy 28MPa:=σx 21MPa:=

GE

2 1 ν+( )⋅:=ν 0.3:=E 210GPa:=

9 O tensor de tensões em um ponto é da do como se segue:

T = −− −

21 28 028 35 140 14 49

Se E =210 GPa e ν =0.3, qual é a deformação normal na direção

en=0.6 i + 0.8 j

p 20.83kgf

cm2=p

ν− σz⋅

1 ν−( ):=logo :

01E

p− ν p− σz+( )−( )⋅=Portanto, pela relação constitutiva:

11 D d i d d ã d i õ i i i di ã

ε

80−

0

0

0

400

0

0

0

80−

µ=ε

εx

εxy

εxz

εxy

εy

εyz

εxz

εyz

εz

:=

εxz 0:=εxyσxy2G

:=εyz 0:=

εzνE

− σy σx+( )⋅:=εy1E

σy ν σx⋅−( )⋅:=εx1E

σx ν σy⋅−( )⋅:=

σxy 0MPa:=

σy 14MPa:=σx 0MPa:=Superfície livre:

(Estado Plano de Tensão)σz σxz= σzx= σyz= σzy= 0=

ν 0.2:=E 35GPa:=

10. Uma placa de baquelite, com um orifício elíptico, é ensaiada para determinaro fator de concentração de tensões K. Estando a placa em um estado planode tensões , determinou-se por meio de fotoelasticidade que a tensão σy noponto A, na borda da placa, como sendo de 14 MPa. Qual é o tensor dedeformações em A ? Assumir E=3,5 x 104 MPa e ν =0.2.

y

x A

emax

0.78

0.39

0.49

=emaxe1 e3+

e1 e3+:=Direção :

τmax 6.25 MPa=τmax maxσ0 σ1−

2

σ0 σ2−

2,

σ1 σ2−

2,

:=

Cisalhamento máximo

e3

0.14

0.81

0.57

=e3 eigenvec T σ2,( ):=

e2

0.24−

0.53−

0.81

=e2 eigenvec T σ1,( ):=e2 eigenvec T σ1,( ):=

e1

0.96

0.25−

0.12

=e1 eigenvec T σ0,( ):=

σ

6.15−

0.9−

6.35

MPa=σ eigenvals T( ):=

Direções Principais: cálculo de auto- valorers

T

5.6−

2.1

0

2.1

3.5

3.5

0

3.5

1.4

MPa=T

σx

σxy

σxz

σxy

σy

σyz

σxz

σyz

σz

:=

σyz 3.5MPa:=σxz 0MPa:=σxy 2.1MPa:=

σz 1.4MPa:=σy 3.5MPa:=σx 5.6− MPa:=

11. Dado o seguinte estado de tensão, determinar as tensões principais e a direção da tensão de cisalhamento máximo:

σx = -5.6 MPa σxy= 2.1 MPa σy = 3.5 MPa σxz= 0 σz = 1.4 MPa σyz= 3.5 MPa

(Estado plano de tensão )T

σx

0

σxz

0

0

0

σxz

0

σz

=logo:

σyy σxy= σyz= 0=Estado de Tensão em A, localizado na superfície livre do tubo =>

SOLUÇÃO:

εz 1370µ:=εx 3460µ:=

ν 0.25:=E 140GPa:=

P 0.45kN:=l 600mm:=

Rm 24.2 mm=RmD d−

2:=d 1.6mm:=D 50mm:=

kN 103N:=DADOS:

12. Um tubo de paredes finas, com curva em ângulo reto, é

representado na figura abaixo. O diâmetro externo D do tubo é de 50 mm e a espessura é de 1.6 mm . Uma carga de 0.45 kN é aplicada na extremidade livre do sistema. Um extensômetro acha-se orientado na direção x em A, na parte superior do tubo, e fornece uma deformação de 0.00346 . Um segundo extensômetro em A, orientado na direção z, fornece uma deformação de 0.00137. Quais são as componentes do tensor de tensões no ponto A em relação ao sistema xyz. O coeficiente de Poisson é 0.25 e o módulo de Elasticidade de Young é 14 x 104 MPA. Determinar também εy.

x

y

z

A D

600 mm

P

A

σzz

σxz σzx σxx

Detalhe do estado de tensão próximo de A

εy 1610− µ=εyν−

Eσz σx+( )⋅:= Deformação

σz 333.76 MPa=σzE

1 ν2

−( )εz ν εx⋅+( ):=

σx 567.84 MPa=σxE

1 ν2

−( )εx ν εz⋅+( ):=De onde se obtem que:

εz1E

σz ν 0 σx+( )⋅− ⋅=

εy1E

0 ν σz σx+( )⋅− ⋅=

εx1E

σx ν σz 0+( )⋅− ⋅=

Relação constitutiva para Estado plano de tensão:

σxz 45.86− MPa=σxzMt

2 π⋅ Rm2

⋅ d⋅:=logo:

Mt 0.27− kN m⋅=Mt P− l⋅:=

Componentes do tensor de tensão