mecánica teórica tema 6. transformaciones...
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Mecánica Teórica
Tema 6. Transformaciones canónicas
Tema 6
Universidad de Sevilla - Facultad de Física
25 de noviembre de 2020
Tema 6 (Grupo 1) Mecánica Teórica (2020-2021) 25 de noviembre de 2020 1 / 78
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Problema 1
Mostrar que la transformación de coordenadas para un sistema de
un grado de libertad,
satisface la condición simpléctica para cualquier valor del
parámetro α. Encontrar una función generadora para latransformación. ¾Cuál es el signi�cado físico de la transformación
para α = 0? ¾Para α = π/2? ¾Funciona la función generadoraencontrada para ambos casos?.
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Solución problema 1
Comprobamos la condición simpléctica, para ello construimos,
con esto,
Ahora calculamos,
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Solución problema 1
Análogamente se puede comprobar que,
MJMT = J
para todos los valores de α. Por tanto, la transformación escanónica.
Vamos a intentar encontrar una función generadora del primer tipo
F1(q,Q) para la transformación. Las ecuaciones que gobiernan a F1son,
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Solución problema 1
Usando las ecuaciones de transformación, podemos expresar tanto
p como P en función de q y de Q, así,
Integramos ahora la primera ecuación de la función generadora,
Usando esto en la segunda ecuación de la función generadora,∂F1∂Q = −P = −qcscα+Qcotα, tenemos
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Solución problema 1
Tenemos la expresión �nal de la función generadora
Si consideramos α = 0, vemos que lo que tenemos es unatransformación identidad y la F1 está indeterminada en este caso.Lo podemos entender porque sabemos que esa trasformación está
generada por F2 = qP . Podemos sacar el comportamiento límitecorrecto, en este caso, si usamos F2 como función generadora.
Para α = π/2, tenemos la transformación de intercambio, y nuestrafunción generadora queda F1 = −qQ, que es un resultado correcto.
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Problema 2
Mostrar que la transformación de coordenadas
es canónica.
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Solución problema 2
Calculamos la matriz jacobiana, de la transformación,
Comprobamos la condición simpléctica,
La transformación es canónica.
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Solución problema 2
Algunas fórmulas útiles,
sen2x+ cos2x = 1, tg2x+ 1 = sec2x, cot2x+ 1 = csc2x
sec x =1
cos xcsc x =
1
sen x
cot x =1
tg x.
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Problema 3
Mostrar que para un sistema con un grado de libertad la
transformación de coordenadas,
es canónica, donde α es una constante arbitraria de dimensionesconvenientes.
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Solución problema 3
Calculamos la matriz jacobiana de la transformación,
Comprobamos la condición simpléctica,
La transformación es canónica.
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Problema 4
a) Mostrar que para un sistema con un grado de libertad la
transformación de coordenadas
hace que las variables Q y P sean canónicas si las variables q y p loson.
b) Demostrar que la función que genera esta transformación es,
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Solución problema 4
Calculamos la matriz jacobiana de la transformación,
Comprobamos la condición simpléctica,
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Solución problema 4
Después de multiplicar las dos matrices del lado derecho,
obtenemos el resultado,
La transformación es canónica.
b) Sabemos que F3 = F3(p,Q), debemos expresar primero la q y la Pen función de p y Q, nos queda,
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Solución problema 4
Después de multiplicar las dos matrices del lado derecho,
obtenemos el resultado,
La transformación es canónica.
b) Sabemos que F3 = F3(p,Q), debemos expresar primero la q y la Pen función de p y Q, nos queda,
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Solución problema 4
Usamos ahora las ecuaciones ligadas a la función generadora F3,
donde f(Q) es solo función de Q. Sustituimos en la segundaecuación ligada a F3,
Finalmente,
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Problema 5
Demostrar que para un sistema con dos grado de libertad la
transformación de coordenadas
es canónica y encontrar la función generadora.
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Solución problema 5
Comprobamos la condición simpléctica usando las matrices de las
coordenadas
y la matriz jacobiana de la transformación
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Solución problema 5
La condición simpléctica queda,
al cumplirse la transformación es canónica.
Para obtener la función generadora, dada la estructura de las
ecuaciones de transformación, es mejor escoger una función del
tipo F ′ = F ′(p1, p2, Q1, P2, t). Esta función no pertenece a ningunode los cuatro tipos estudiados, la función generadora total en este
caso, será,
F = F ′(p1, p2, Q1, P2, t)−Q2P2 + q1p1 + q2p2.
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Solución problema 5
Ahora la condición para la transformación canónica es, como
hemos visto,
que se simpli�ca a,
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Solución problema 5
Podemos obtener las ecuaciones asociadas a la función generadora,
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Solución problema 5
Tenemos que modi�car las ecuaciones de la transformación
canónica de manera que podamos integrar fácilmente las
ecuaciones de la función generadora. Las ecuaciones deseadas son,
Usando las ecs. (1) y (6),
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Solución problema 5
Usando lo anterior en las ecs. (2) y (8),
Usando las ecs. (3) y (9),
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Solución problema 5
Usando este resultado en las ecs. (4) y (7), se tiene
donde hemos tomado h = 0 por conveniencia.Llegamos a la expresión �nal de la función generadora,
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Problema 6
a) Usando los corchetes fundamentales de Poisson encontrar los
valores de α y β para que las ecuaciones de transformación
representen una transformación canónica.
b) ¾Para que valores de α y β representan estas ecuaciones unatransformación canónica extendida? Encontrar una función
generadora del tipo F3 para la transformación.
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Solución problema 6
a) Hemos visto que los corchetes fundamentales de Poisson deben
permanecer invariantes bajo una transformación canónica
Esta expresión se satisface si,
2α− 1 = 0 =⇒ α = 12, β =
1
α= 2.
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Solución problema 6
b) Cuando α = 1/2 y β se toma como una constante arbitraria,tenemos
[Q,P ]q,p =β
2
que representa una transformación canónica extendida para
cualquier valor de β 6= 2. Recordemos que una transformacióncanónica extendida era,
con λ 6= 1. Las ecuaciones de la transformación son ahora,
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Solución problema 6
Cuando F = F3(p,Q, t) + λqp, obtenemos
que nos lleva a,
Expresamos primero P y q en términos de p y Q, nos queda,
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Solución problema 6
Combinamos las ecs. (1) y (4)
Usando este resultado en combinación con las ecs. (2) y (5),
tenemos,
llegamos �nalmente a la expresión de la función generadora,
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Problema 7
Demostrar que usando los corchetes de Poisson para un oscilador
armónico en una dimensión, hay una constante de movimiento ude�nida como,
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Solución problema 7
Sabemos que una cantidad u es una constante de movimiento si,
Para el oscilador armónico simple en una dimensión, el
Hamiltoniano es,
luego,
u es una constante de movimiento.Tema 6 (Grupo 1) Mecánica Teórica (2020-2021) 25 de noviembre de 2020 31 / 78
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Problema 8
Un sistema con dos grados de libertad está descrito por el
Hamiltoniano,
donde a y b son constantes. Demostrar que,
son constantes de movimiento.
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Problema 8
Goldstein problema 9.32
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Solución problema 8
Debido a que tanto F1 como F2 no tienen dependencia explicita enel tiempo (∂F1∂t =
∂F2∂t = 0), usando la ecuación de evolución de una
variable dinámica u
para F1 y F2, tendremos,
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Solución problema 8
Calculamos los dos corchetes de Poisson que aparecen en las
ecuaciones anteriores,
y
Tanto F1 como F2 con constantes de movimiento.
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Solución problema 8
Hacemos los cálculos,
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Solución problema 8
Hacemos los cálculos,
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Solución problema 8
Hacemos los cálculos,
Usamos la identidad de Jacobi,
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Solución problema 8
Si u = H y v y w son dos constantes de movimiento, tal que[H, v] = [H,w] = 0 entonces el corchete de Poisson de v y w también esuna constante de movimiento. Lo aplicamos a F1 Y F2,
Este corchete es también una constante de movimiento pero es una
constante trivial, ya que no es una función algebraica de las variables qy p.
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Problema 9
Dada la función generadora
F (q, p, t) = pq − p2t
2m,
encontrar la expresión general de las fórmulas correspondientes de
transformación canónica a unas nuevas variables Q y P , tales que
si en las antiguas el Hamiltoniano es H = p2
2m + V , en las nuevasvariables, el Hamiltoniano sea K = V .
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Solución problema 9
La ecuación de transformación canónica es,
dF = pdq − PdQ+ (K −H)dt.
Expresamos Q aquí en función de q, p y t,
Q = Q(q, p, t)→ dQ = ∂Q∂q
dq +∂Q
∂pdp+
∂Q
∂t,
dF = pdq − P(∂Q
∂qdq +
∂Q
∂pdp+
∂Q
∂t
)+ (K −H)dt,
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Solución problema 9
Comparamos con el enunciado,
F (q, p, t) = pq − p2t
2m→ dF = pdq +
(q − pt
m
)dp− p
2
2mdt,
vemos que,
p = p− P ∂Q∂q
;
−P ∂Q∂p
= q − ptm
de la primera ecuación, P ∂Q∂q = 0⇒ Q = Φ(p, t) ,
de la segunda ecuación, P =ptm−q
∂Φ∂p
.
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Solución problema 9
Las dos ecuaciones anteriores son las ecuaciones de la
transformación, siendo Φ(p, t) una función arbitraria
Q = Φ(p, t), P =ptm − q∂Φ∂p
Igualamos los coe�cientes en t en ambas expresiones,
K = H + P∂Q
∂t− p
2
2m= V (Q,P ) + P
∂Q
∂t.
Hemos usado la expresión del Hamiltoniano y expresado el
potencial V en las nuevas variables.
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Solución problema 9
Según el enunciado queremos que K = V (Q,P ), es decir,
K = V (Q,P ) = H − p2
2m,
luego Q no puede depender explícitamente de t,
Φ = Φ(p).
La ecuaciones de transformación canónica nos quedan
de�nitivamente en la forma,
Q = Φ(p),
P =ptm − q∂Φ∂p
.
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Problema 10
El Hamiltoniano en un 'problema de Kepler' plano e independiente
del tiempo está dado por,
H(q1, q2, p1, p2) =1
2(p21 + p
22)−
µ
r.
con r =√q21 + q
22 y µ = G(m1 +m2) con G la constante
gravitacional, siendo m1 y m2 las masas de los cuerpos.a) Demostrar que el momento angular L = q1p2 − q2p1 constituyeun invariante de todos los sistemas con campos de fuerzas centrales.
b) Demostrar que otro invariante de este sistema es
R1 = q1p22 − q2p1p2 − µ
q1r .
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Solución problema 10
Calculamos las derivadas totales,
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Solución problema 10
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Solución problema 10
También,
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Problema 11
Goldstein problema 9.25
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Solución problema 11
a) Con el Hamiltoniano dado,
La ecuación de movimiento para q es,
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Solución problema 11
b) Suponer que tomamos Q2 = 1/q2 y P 2 = p2q4. Entonces,Q = ±1/q y P = ±pq2. Ahora,
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Solución problema 11
Los signos de Q y P no pueden ser idénticos si queremos tener unaTC, tomamos,
que es una TC válida. Ahora el Hamiltoniano es,
Las ecuaciones de movimiento son,
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Solución problema 11
Tenemos Q̈+Q = 0, ponemos la solución en la formaQ = Acos t+B sen t. Esto nos da, P = Q̇ = B cos t−Asen t.Ahora
tal que,
Las ecuaciones de movimiento son,
la solución de la ecuación transformada para Q satisface laecuación original de movimiento para q.
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Problema 12a
Considerar la transformación canónica para un sistema con un
grado de libertad generada por
F2(q, P, t) =
(q +
1
2gt2)− P
2t
2m.
a) Encontrar la forma explícita de la transformación canónica.
b) Veri�car que se satisface las relaciones canónicas usando loscorchetes de Poisson.
Para el resto del problema considerar la partícula moviéndose en
una dimensión en un campo gravitacional constante:
L(q, q̇) = 12mq̇2 −mgq.
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Problema 12b
c) Usar el hecho de que para cualquier variable dinámica A,dAdt = [A,H] +
∂A∂t para demostrar que
dQdt = 0 y
dPdt = 0.
d) El resultado de la parte c) implica que K, el Hamiltonianoasociado con Q y P , debe ser cero salvo una posible constante condependencia temporal independiente de Q y P . Demostrar a partirde la forma explícita de ∂F2(q,P,t)∂t que este es el caso.
e) ¾Cuál es la interpretación física de Q y P?
f) Demostrar que F2(q, P, t) satisface la ecuación
H(q, ∂F2∂q
)+ ∂F2∂t = 0, esta es una ecuación de Hamilton-Jacobi
(siguiente tema).
g) Introducir la función f(Q,P, t) = F2(q(Q,P, t), P, t). Demostrar
que ∂f(Q,P,t)∂t = L(q(Q,P, t), q̇(Q,P, t)).
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Solución problema 12
a) Tenemos
Ahora,
La transformación será canónica si,
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Solución problema 12
b) Tenemos
La transformación satisface las relaciones de los corchetes de
Poisson.
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Solución problema 12
c) Usamos la Lagrangiana,
El momento canónico es,
y el Hamiltoniano queda,
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Solución problema 12
c) Ahora con,
se tiene,
También,
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Solución problema 12
De esta forma obtenemos,
Ahora con,
se tiene,
y
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Solución problema 12
También se obtiene ahora que,
d) Calculamos,
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Solución problema 12
El Hamiltoniano asociado a las variables Q y P , es,
Así, el Hamiltoniano K es cero salvo una constante dependiente deltiempo −mg2t2, pero no es función ni de Q ni de P , ya que[Q,H] = [P,H] = 0 como hemos demostrado.
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Solución problema 12
e) Q y P son cantidades que se conservan, sin importar el valor inicialde la posición y del momento, respectivamente. Son constantes con
el tiempo, cuando q y p varían,
f) Calculamos,
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Solución problema 12
De forma que,
como hemos mostrado en la parte d). Esto implica,
Así, se satisface la ecuación de Hamilton-Jacobi, excepto en un término
constante dependiente del tiempo que aparece en la parte derecha.
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Solución problema 12
g) Calculamos,
se cumple,
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Solución problema 12
También, p = mq̇ = P −mgt. Así,
De esta forma, L(q(Q,P, t), q̇(Q,P, t)) = ∂f(Q,P,t)∂t salvo un términodependiente del tiempo mg2t2.
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Problema 13
Considerar el Hamiltoniano H = 12(p2 + q2) . Determinar si la
transformación Q = 12(q2 + p2) y P = −arctg( qp) es canónica. Si
es así, encontrar una función generadora del tipo F1 .
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Solución problema 13
Para que la transformación sea canónica, pδq−PδQ = dF debe seruna diferencial exacta. Veamos que ocurre con los datos del
enunciado,
pδq − PδQ = pδq + arctg qpδ
(q2 + p2
2
)
=
(p+ q arctg
q
p
)δq + p arctg
q
pδp
Para que la anterior sea una diferencial exacta, dF , debe cumplirseque,
∂
∂p
(p+ q arctg
q
p
)=
∂
∂q
(p arctg
q
p
)Nota: f(x) = arctg u(x), f ′(x) = u
′
1+u2
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Solución problema 13
Se comprueba que ambos lados de la condición anterior dan como
resultado p2
p2+q2luego la transformación es canónica.
Podemos comprobar también que los corchetes fundamentales de
Poisson se cumplen,
[Q,P ] =∂
∂q
(1
2(q2 + p2)
)∂
∂p
(−arctg q
p
)
− ∂∂p
(1
2(q2 + p2)
)∂
∂q
(−arctg q
p
)= q
(q/p2)
1 + q2/p2− p
(− 1/p
1 + q2/p2
)= 1.
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Solución problema 13
Podemos obtener F integrando cualquiera de los dos factoresanteriores, hacemos,
F =
∫ (p+ q arctg
q
p
)dq =
qp
2+q2 + p2
2arctg
q
p.
Ahora bien, la forma anterior no puede ser una función generadora
ya que no depende las variables nuevas. Como buscamos una
función del tipo F1, debemos eliminar p. Para ello sustituimosp =
√2Q− q2 tal que arctg qp = arctg
q√2Q−q2
= arcsen q√2Q
. Con
estas sustituciones, se tiene,
F = Qarcsenq
2Q+
1
2q√
2Q− q2 = F1(q,Q)
El Hamiltoniano K = 12(q2 + p2) = Q, así, Q̇ = ∂K∂P = 0,
Q = constante y Ṗ = −∂K∂Q = −1, Q y K con constantes y Pdisminuye en el tiempo.
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Problema 14
Considerar la transformación de coordenadas,
Q = lnsen p
q
P = q cot p.
1 Demostrar que la transformación es canónica
2 Encontrar las funciones generadoras F1, F2, F3 y F4 asociadas a estatransformación.
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Solución problema 14
1 Comprobamos que es una transformación canónica,
pδq − PδQ = (p+ cot p)δq − q cot2 p δp.
Vemos que∂
∂p(p+ cot p) =
∂
∂q(−q cot2p),
la transformación es canónica.
2 Integramos la parte derecha de la última ecuación,
Φ(q, p) = qp+ q cot p.
Si buscamos una F1 debemos tener Φ(q,Q), cambiamos a lasvariables apropiadas,
F1(q,Q) = q arc cot√
1− q2 e2Q +√e−2Q − q2.
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Solución problema 14
Ahora,∂F1∂q
= arc cos√
1− q2 e2Q = p,
∂F1∂Q
= −√e−2Q − q2 = −P.
Veamos F2(q, P ),
F2(q, P ) = qp+QP + q cot p = Φ(q, p) +QP.
Evaluamos cada término, usando (q, P ) como variables, tendremos que,
qp = Qarc tgq
p
QP = −P ln√q2 + P 2
q cot p = P.
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Solución problema 14
Llegamos a,
F2(q, P ) = q arc tgq
p+ P (1− ln
√q2 + P 2).
Se veri�ca,∂F2∂q
= arc tgq
p= p,
∂F2∂P
= −ln√q2 + P 2 = Q.
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Solución problema 14
De forma similar se calcula,
F3(p,Q) = F1 − qp = e−Q cos p.
Se veri�ca,∂F3∂p
= −e−Q sen p = −q,
∂F3∂Q
= −e−Q cos p = −P.
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Solución problema 14
Finalmente,
F4(p, P ) = F2 − qp = QP + q cot p = P + P ln(cos p
P
).
Se veri�ca,∂F4∂p
= −P tg p = −q,
∂F4∂P
= ln(cos p
P
)= Q.
Ninguna función generadora depende explícitamente del tiempo. Por
tanto,
K(Q,P, t) = H(q, p, t).
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Problema 15
Demostrar que la transformación,
P =1
2(q2 + p2),
Q = arc tgq
p.
es canónica.
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Solución problema 15
pdq −QdQ,
debe ser diferencial exacta. Calculamos,
pdq −QdQ = pdq − 12
(q2 + p2)pdq − qdpq2 + p2
= pdq − 12
(pdq − qdp)
=1
2(pdq + qdp) = d(
1
2qp).
Es una diferencial exacta y tenemos una transformación canónica.
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1.Introducción