Medicion de la velocidad de la luz.

Tochimani Castillo EdgarFısica Contemporanea Con Laboratorio

Dr. Roberto Ramirez Sanchez

Benemerita Universidad Autonoma de PueblaFacultad de Ciencias Fısico-Matematicas.

Otono 2014

ResumenSe tomara la distancia maxima posible entre el espejo fijo y el rotatorio, este ultimo girandoa gran velocidad, se observa a traves del microscopio el punto imagen y se toma la lecturacon el micrometro para calcular la velocidad de la luz. Este metodo fue inventado por LeonFoucault utilizando un sistema optico y un motor de alta velocidad.

1. Objetivo

1. Obtener la lecturas precisas del puntoimagen.

2. Usar la mayor distancia posible entreespejos para una mejor aproximacional valor real de c.

2. Introduccion.

El primer intento elaborado para me-dir la velocidad de la luz fue protagoni-zado por Galileo, el ultimo utilizando me-dios mecanicos lo ejecuto Michelson, entreambos existieron otros investigadores quecrearon metodos de medicion que fueronperfeccionando las mediciones a lo largo delos anos.Se destacaron dos metodos mecanicos para

determinar la velocidad de la luz, uno deellos es el que utiliza una rueda dentada,Fizeau (1849) y el que usa el celebre es-pejo giratorio Foucault (1862). Tambien seconsidera un clasico el metodo del espejooctogonal giratorio Michelson (1925).La historia comienza con una experienciafallida, el intento de Galileo para desen-tranar el misterio del valor de la velocidadde la luz, sigue con mediciones realizadaspor casualidad en el analisis de fenomenosde mecanica celeste y concluye con metodoselectronicos, celula Kerr y modulacion de laluz.En un principio Galileo se sintio intriga-do por la rapidez de la luz, dando riendasuelta a su capacidad de experimentacionrealizo una experiencia que no tuvo resulta-dos positivos en cuanto a la determinacionde un valor numerico, pero dejo claro la

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magnitud del valor que se pretendio mediry fue el precursor de la serie de investigado-res que se dedicaron a esa tarea.Galileo desarrolo una experiencia ingeniosacon vistas a la medicion de la velocidad dela luz, consistıa en lo siguiente: Eligio doscolinas que fueran visibles a simple vista yasposto en cada una de ellas a un ayudantemunido de una lampara que mantenıa tapa-da, en cierto momento uno de los ayudantesdestapaba su lampara, al ver la luz, el se-gundo ayudante destapaba la suya, Galileopretendıa medir el tiempo transcurrido des-de el momento en que se destapo la primeralampara hasta hasta que el operador vierala luz proveniente de su corresponsal.Los resultados obtenidos fueron erraticosy no se logro el objetivo propuesto, por esoGalileo concluyo en que la luz era muy rapi-da e imposible de medir.El metodo astronomico de Roemer.En el ano 1675 el astronomo danes OlafRoemer estaba verificando los perıodos delas lunas de Jupiter y observo que las medi-ciones que realizaba diferian segun la epo-ca del ano en que las tomaba. En efecto,Roemer comprobo que cuando la Tierra seencontraba mas cerca de Jupiter el perıododel satelite llamado IO era de 42.5 horas, enconsecuencia, se deberıa producir un eclipsecada 42.5 horas, es decir, cada 42.5 horasdeberıa aparecer el satelite por detras delplaneta.Roemer partio de la hipotesis de que el mo-vimiento del satelite era uniforme y que co-mo consecuencia de ello el atraso en la apa-ricion no se debıa a el, penso que en realidadla Tierra no estaba siempre a la misma dis-tancia de Jupiter, entonces, la luz que seproducıa cuando IO aparecıa por detras delplaneta demoraba un tiempo mayor en lle-gar a la Tierra habida cuenta de que esta seseparaba del planeta. Segun esta propuestael atraso maximo se producıa cuando la luzdebıa recorrer un espacio adicional equiva-

nete al diametro de la orbita de la Tierra,a la cual se le atribuıa en esos tiempos unvalor de 277 millones de kilometros, en basea los datos de distancia y tiempo Roemercalculo para la velocidad de la luz un valorde 277000 kilometros por segundo.Metodo de Bradley.En 1728 el astronomo ingles James Bradleyutilizo el fenomeno llamado aberracion de laluz para determinar la velocidad de esta. Laaberracion consiste en un fenomeno por elcual las estrellas distantes parecen describiren un ano una orbita elıptica de 20,47”dearco como eje mayor.Bradley explico el hecho como resultado dela composicion de la velocidad de la luz pro-veniente de la estrella con la velocidad detraslacion de la tierra. Mediante los calculosque realizara determino que la velocidad encuestion era de 298 000 km/s.Es de hacer notar que Bradley comete unerror que fuera descubierto en el presentesiglo en virtud de la teorıa de la relatividad.Fizeau, el primer metodo terrestre.Ese experimento adecuadamente controladopodrıa usarse para determinar la velocidadde la luz con precision creciente.El inconveniente maximo era la falta de undispositivo para medir cortos intervalos detiempo. Fizeau logro este cometido en basea una ruedas dentada que giraba a una ve-locidad considerable y permitıa medir ası eltiempo que demoraba la luz en recorrer unadistancia de 8.663 metros de ida y vuelta.El valor obtenido con este ingenio fue de313000 km/s, valor que supera al admitidoen un 4pero tiene el invalorable merito de serun metodo enteramente terrestre. Se debedestacar el cuidado con que se debio prepa-rar el sistema, las dificultades en el logro deuna fuente de luz adecuada y el enfoque delos espejos, en este aspecto creemos que setrata de una azana valorable tambien desdeel punto de vista de la mecanica.Foucault y el espejo giratorio.

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Foucault, contemporaneo de Fizeau,realizo mediciones exitosas de la velocidadde la luz, tuvo la idea de utilizar un disposi-tivo que se basaba en un espejo giratorio quepodıa determinmar el tiempo que empleabaun rayo de luz en recorrer una distancia pe-quena, del orden de unos pocos metros.Con este dispositivo se pudo realizar medi-ciones dentro de los lımites de un laborato-rio, esto permitio ajustar el procedimientologrando un control mas eficaz.El mayor progreso que impuso esta nuevaforma de medicion fue la posibilidad de me-dir la velocidad de la luz en diferentes me-dios transparentes, agua, vidrio, etc. Estasmediciones funcionaron como experimen-tos cruciales en la adopcion de la teorıaondulatoria como superadora de la teorıacorpuscular.Michelson.Michelson fue sin duda el mas grande de losestudiosos de la velocidad de la luz, paso 25anos de su vida ocupandose de medir la ve-locidad de la luz, para ello uso casi todoslos metodos utilizados por sus predeceso-res, algunos perfeccionados por el mismoy ademas creo metodos, el mas conocidoes el espejo octogonal giratorio (1925), es-te dispositivo recuerda a la rueda de Fizeauconjuntmente con el espejo giratorio de Fou-cault, con este dispositivo midio la velocidadde la luz en un recorrido de 66 kilometros,se trata de la famosa experiencia realizadaen el observatorio llamado Monte Wilson.Consiguio medir la velocidad de la luz conun error probable del 0,1fundamentalesfue la perfeccion con que se midieron los33 kilometros que separaban el espejo gi-ratorio del fijo. El valor obtenido para lavelocidad de la luz fue de 299790 km/s.Se debe destacar que para determinar lavelocidad de la luz con una precision del0.1superando ası en exactitud a todas lasmediciones producidas hasta entonces, me-dido invento un aparato que hoy se conoce

con el nombre de interferometro de Michel-son y es utilizado para la medicion de lon-gitudes del orden de la longitud de onda dela luz.

3. Marco Teorico.

Primero el haz es centrado en un puntoS, luego se refleja desde el espejo rotatorioMR hacia el espejo fijo MF y de regreso aMR. El haz regresa a traves del divisor dehaz y reencontrado en un punto S

′que pue-

de ser visto a traves del microscopio. Estehaz de luz es reflejado desde un punto enparticular de MF . Se debe determinar comoel punto de reflexion en MF se relaciona conel angulo de rotacion de MR.

Figura 1: Diagrama del metodo de Foucault.

En la figura se muestra el camino del hazde luz desde el laser hacia MF cuando MR

esta a un angulo θ. Como MR esta a unangulo θ, el angulo de incidencia es igual alangulo de reflexion y por tanto el angulo en-tre el rayo incidente y reflejado es 2θ. En eldiagrama el pulso de luz golpea MF en elpunto etiquitado como S.Una cosa importante L1 a la de 48mm y co-mo L2 a la de 252mm.Podemos ver el camino de luz, si sale dellaser un pequeno tiempo despues cuando

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MR esta aun angulo θl = θ + ∆θ. El angulode incidencia ahora es igual a θl = θ + ∆θ,de modo que el angulo entre el haz incidentey el reflejado es 2θ = 2(θ + ∆θ).Esta vez se etiqueta el punto donde el pulsogolpea MF como S1. Si se define D como ladistancia entre MR y MF , entonces la dis-tancia entre S y S1 es

S1−S = D(2θl−2θ) = D[2(θl−θ)] = 2D∆θ(1)

Figura 2: Analisis de imagenes virtuales.

La geometrıa de las imagenes virtualeses la misma como para las imagenes refleja-das. Con MR en un angulo θl, el punto S1

esta en el eje focal de la lente L2, pero esta auna distancia ∆S = S1−S lejos del eje focal.Basandose en la teorıa de lentes delgadas sesabe que un objetode altura ∆S en el planofocal de L2 sera concentrado en el plano delpunto S con una altura (−i/o)∆Sl. Aquı iy o son las distancias de las lentes desde laimagen y el objeto respectivamente, y el sig-nomenos corresponmde a la inversion de laimagen. Comose ve en la figura 2, la refle-xidesde el divisor de haz forma una imagende la misma altura, por lo tanto ignorandoelsigno negativo debido a que no es de interesque la imagen este invertida se puede es-cribir una expresion para el desplazamiento(∆S

′) del punto imagen como:

∆S′= ∆S = (i/o)∆S =

A

D +B∆S (2)

Combinando las ecuaciones 1 y 2

∆S′=

2DA∆θ

D + b(3)

El angulo ∆θ depende de la velocidad ro-tacional de MRy el tiempo que le toma alpulso de luz viajar ida y vuelta entre losespejos una distancia 2D, la ecuacion paraesta relacion es:

∆θ =2Dω

c(4)

Donde c es la velocidad de la luz y ω es lavelocidad rotacional del espejo en radianespor segundo. 2D/c es el tiempo que le tomaviajar al pulso desde MR a MF y regresar.usando la ecuacion 4 para sustituir ∆θ en laecuacion 3 nos da:

∆S′=

4AD2ω

c(D +B)(5)

De donde tenemos que,

c =4AD2ω

∆S ′(D +B)(6)

La cual es la ecuacion final para poder me-dir la velocidad de la luz donde:c =velocidad de la luz.ω =Velocidad angular del espejo rotatorioMR.A =Distancia entre las lentes menos la dis-tancia L1.B =Distancia entre la lente L2 y el espejorotatorio.D =Distancia entre los espejos.∆S

′=Desplazamiento del punto imagen

visto a traves del microscopio.∆S

′= S1−S donde Ses la posicion del pun-

to imagen cuando MResta estacionario, y S1

es la posicion del punto imagen cuando MR

esta rotandocon una velocidad angular ω.Una ecuacion equivalente a 6,

c =8πAD2f

∆S ′(D +B)(7)

Materiales.

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Kit PASCO para medir la velocidadde la luz.

Laser de He-Ne.

Riel optico.

Flexometro.

Espejo fijo.

4. Resultados

Arreglo Experimental

Figura 3: Arreglo experimental.

Figura 4: Lentes y microscopio.

Figura 5: Espejo rotatorio.

Figura 6: Espejo fijo.

En la siguiente tabla se muestra nues-tros resultados:

A(cm) B(cm) D(m) f(Hz) ∆S′(νm) c(108m/s)

26.2 49.2 6.7 1603 216.9 3.037526.2 49.2 6.7 1649 223.1 3.0378

Podemos observar que nuestro valor ob-tenido esta cerca del valor de velocidad dela luz.

Referencias

[1] Krane, K. S. (1983). Modern physics.New York: Wiley.

[2] Practica, Medicion de la luz, LFM, ma-nual clase.

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