MEDIDASMEDIDASDESCRITIVASDESCRITIVAS

UNIVERSIDADE FEDERALUNIVERSIDADE FEDERALDA PARAÍBADA PARAÍBA

DESCRITIVASDESCRITIVAS

Departamento de EstatísticaDepartamento de EstatísticaLuiz MedeirosLuiz Medeiros

http://www.de.ufpb.br/~luiz/

MEDIDAS DESCRITIVASMEDIDAS DESCRITIVAS

►►VimosVimos queque éé possívelpossível sintetizarsintetizar osos dadosdados sobsob aaformaforma dede distribuiçõesdistribuições dede frequênciasfrequências ee gráficosgráficos..

►► PodePode serser dede interesseinteresse apresentarapresentar essesesses dadosdadosatravésatravés dede medidasmedidas descritivasdescritivas queque sintetizamsintetizam asasatravésatravés dede medidasmedidas descritivasdescritivas queque sintetizamsintetizam asascaracterísticascaracterísticas dada distribuiçãodistribuição..

►► ParaPara representarrepresentar umum conjuntoconjunto dede dadosdados dede formaformacondensadacondensada utilizaremosutilizaremos algumasalgumas medidasmedidas dedeposiçãoposição ee dede dispersãodispersão..

ALGUMAS MEDIDAS DESCRITIVASALGUMAS MEDIDAS DESCRITIVAS

►► MínimoMínimo:: OO menormenor valorvalor observadoobservado;;

►► MáximoMáximo:: OO maiormaior valorvalor observadoobservado;;

►► MédiaMédia:: ÉÉ aa somasoma dasdas observaçõesobservações divididodividido pelopelo númeronúmero dede observaçõesobservações;;

►► ModaModa:: ÉÉ oo valorvalor queque ocorreocorre comcom maiormaior frequênciafrequência;;

►► MedianaMediana:: ÉÉ oo valorvalor queque ocupaocupa aa posiçãoposição centralcentral emem umum conjuntoconjunto dede dadosdadosordenadoordenado;;

►► QuartilQuartil:: DivideDivide oo conjuntoconjunto dede dadosdados ordenadoordenado emem quatroquatro partespartes iguaisiguais;;

►► DecilDecil:: DivideDivide oo conjuntoconjunto dede dadosdados ordenadoordenado emem dezdez partespartes iguaisiguais;;

►► PercentilPercentil:: DivideDivide oo conjuntoconjunto dede dadosdados ordenadoordenado emem cemcem partespartes iguaisiguais..

MEDIDAS DE POSIÇÃO MEDIDAS DE POSIÇÃO -- MÉDIAMÉDIA

Média Aritmética: É a soma das observações dividida pelo Média Aritmética: É a soma das observações dividida pelo número de observações e seus valores tendem a se localizar número de observações e seus valores tendem a se localizar em um ponto central dentro de um conjunto de dados. Em em um ponto central dentro de um conjunto de dados. Em geral é a medida de tendência central mais comum para um geral é a medida de tendência central mais comum para um conjunto de dados e é denotada por µ ou conjunto de dados e é denotada por µ ou

a)a) ParaPara dadosdados nãonão agrupadosagrupados:: SejamSejam XX11,X,X22,, .. .. .. ,X,XNN,, umum conjuntoconjunto dedevaloresvalores dada variávelvariável XX.. TemosTemos entãoentão queque aa médiamédia aritméticaaritmética dede XX éé dadadada

X

a)a) ParaPara dadosdados nãonão agrupadosagrupados:: SejamSejam XX11,X,X22,, .. .. .. ,X,XNN,, umum conjuntoconjunto dedevaloresvalores dada variávelvariável XX.. TemosTemos entãoentão queque aa médiamédia aritméticaaritmética dede XX éé dadadadaporpor::

Na prática não conhecemos toda a população. Logo, utilizamos a média Na prática não conhecemos toda a população. Logo, utilizamos a média amostral,dada por:amostral,dada por:

MEDIDAS DE POSIÇÃO MEDIDAS DE POSIÇÃO -- MÉDIAMÉDIA

b)b) ParaPara dadosdados agrupadosagrupados:: UmaUma vezvez queque osos valoresvalores dada variávelvariável estãoestãoagrupadosagrupados emem tabelastabelas dede frequências,frequências, temostemos queque

ondeonde kk éé oo númeronúmero dede classesclasses ee XXmimi,, parapara ii == 11,, .. .. .. ,, kk sãosão osos respectivosrespectivospontospontos médiosmédios dasdas classesclasses..

NaNa práticaprática nãonão conhecemosconhecemos todatoda aa populaçãopopulação.. Logo,Logo, utilizamosutilizamos aa médiamédiaamostral,dadaamostral,dada porpor::

►►PROPRIEDADES DA MÉDIA ARITMÉTICAPROPRIEDADES DA MÉDIA ARITMÉTICA

i)i) AA somasoma algébricaalgébrica dosdos desviosdesvios dede umum conjuntoconjunto dede númerosnúmerosemem relaçãorelação aa médiamédia aritméticaaritmética éé zerozero..

ii)ii) QuandoQuando somamossomamos ouou subtraímossubtraímos umauma constanteconstante aosaos valoresvaloresdede umauma variável,variável, aa médiamédia ficafica aumentadaaumentada ouou diminuídadiminuídadede umauma variável,variável, aa médiamédia ficafica aumentadaaumentada ouou diminuídadiminuídadessadessa constanteconstante..

iii)iii) QuandoQuando multiplicamosmultiplicamos ouou dividimosdividimos todostodos osos valoresvalores dedeumauma variávelvariável porpor umauma constante,constante, aa médiamédia ficafica multiplicadamultiplicadaouou divididadividida porpor essaessa constanteconstante..

Vantagens e Desvantagens da MédiaVantagens e Desvantagens da Média

MEDIDAS DE POSIÇÃO MEDIDAS DE POSIÇÃO –– MÉDIA GEOMÉTRICAMÉDIA GEOMÉTRICA

►► Usada em casos em que o crescimento da série é Usada em casos em que o crescimento da série é muito grande (Mmuito grande (MGG é mais representativa).é mais representativa).

►► Importante: Para n grande é conveniente uso do Importante: Para n grande é conveniente uso do logaritmologaritmo

MEDIDAS DE POSIÇÃO MEDIDAS DE POSIÇÃO –– MÉDIA HARMÔNICAMÉDIA HARMÔNICA

►► Recomendada para séries de valores que são Recomendada para séries de valores que são inversamente proporcionais as frequênciasinversamente proporcionais as frequências

►►Relação entre as médiasRelação entre as médias

►► NosNos cálculoscálculos envolvendoenvolvendo médiamédia aritméticaaritmética simples,simples, todastodasasas ocorrênciasocorrências têmtêm exatamenteexatamente aa mesmamesma importânciaimportância ouou oomesmomesmo pesopeso..

►► NoNo entanto,entanto, existemexistem casoscasos ondeonde asas ocorrênciasocorrências têmtêmimportânciaimportância relativarelativa diferentediferente.. NestesNestes casos,casos, oo cálculocálculo dada

MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADAMÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA

importânciaimportância relativarelativa diferentediferente.. NestesNestes casos,casos, oo cálculocálculo dadamédiamédia devedeve levarlevar emem contaconta estaesta importânciaimportância relativarelativa ououpesopeso relativorelativo..

ExemploExemplo:: AsAs aplicaçõesaplicações maismais comunscomuns nono mercadomercado financeirofinanceiro sãosão::Poupança,Poupança, CertificadoCertificado dede DepósitoDepósito BancárioBancário (CDB),(CDB), ReciboRecibo dedeDepósitoDepósito BancárioBancário (RDB)(RDB) ee osos FundosFundos dede InvestimentoInvestimento.. UmaUmamultinacionalmultinacional decidedecide aplicaraplicar parteparte dodo seuseu lucrolucro emem trêstrêsdiferentesdiferentes aplicaçõesaplicações nono períodoperíodo dede umum anoano.. SegueSegue abaixoabaixo oomontantemontante aplicadoaplicado emem cadacada umauma dasdas aplicaçõesaplicações nono períodoperíodo..

Tipos de Aplicações Valor das Aplicações Rentabilidade (%)

QualQual foifoi aa rentabilidaderentabilidade ((%%)) médiamédia dada empresaempresa comcom asasaplicaçõesaplicações nono finalfinal dodo período?período? JustifiqueJustifique suasua respostaresposta..

Tipos de Aplicações Valor das Aplicações Rentabilidade (%)

Poupança R$ 250.000,00 7%

CDB R$ 100.000,00 11%

RDB R$ 80.000,00 12%

Exemplo: Qual a idade média da população de Exemplo: Qual a idade média da população de Recife, em 1993, que possui AIDS.Recife, em 1993, que possui AIDS.

MEDIDAS DE POSIÇÃO MEDIDAS DE POSIÇÃO -- MEDIANAMEDIANAMedianaMediana:: OcupaOcupa aa posiçãoposição centralcentral dede umauma sériesérie dede observaçõesobservações ordenadas,ordenadas,ouou seja,seja, éé oo valorvalor queque dividedivide osos dadosdados emem duasduas partespartes iguaisiguais (isto(isto é,é, ememduasduas partespartes dede 5050%% cada)cada).. ÉÉ denotadadenotada porpor MeMe..

a) Para dados não agrupados:a) Para dados não agrupados:

CasoCaso 11 -- “n”“n” ímparímpar:: ParaPara aa sériesérie dede valoresvalores ordenadosordenados emem ordemordem crescentecrescente dedegrandezagrandeza (isto(isto é,é, umum rol),rol), aa medianamediana éé oo valorvalor central,central, istoisto éé

Me Me = elemento que está na posição= elemento que está na posição (n+1)/2;(n+1)/2;Me Me = elemento que está na posição= elemento que está na posição (n+1)/2;(n+1)/2;

CasoCaso 22 -- “n”“n” parpar:: ParaPara aa sériesérie dede valoresvalores ordenadosordenados emem ordemordem crescentecrescente dedegrandezagrandeza (isto(isto é,é, umum rol),rol), aa medianamediana éé aa médiamédia aritméticaaritmética dosdos valoresvalorescentrais,centrais, istoisto éé

Me Me = média aritmética entre os elementos das posições= média aritmética entre os elementos das posições n/2 e (n/2)+1n/2 e (n/2)+1

MEDIDAS DE POSIÇÃO MEDIDAS DE POSIÇÃO -- MEDIANAMEDIANAb)b) ParaPara dadosdados agrupadosagrupados porpor valorvalor::

ÉÉ necessárionecessário construirconstruir aa frequênciafrequência acumuladaacumulada parapara encontrarencontrar ooelementoelemento medianomediano atravésatravés dada suasua ordemordem

c) Para dados agrupados por classes:c) Para dados agrupados por classes:

1º Passo: Calcula1º Passo: Calcula--se o elemento central de ordem se o elemento central de ordem n/2 (par) e (n+1/2) n/2 (par) e (n+1/2) (ímpar).(ímpar).

2º Passo: Pela frequência acumulada identifica2º Passo: Pela frequência acumulada identifica--se a classe que contém a se a classe que contém a mediana.mediana.mediana.mediana.

3º Passo: Utiliza3º Passo: Utiliza--se a fórmulase a fórmula

Onde: Onde: llmeme é o limite inferior da classe mediana;é o limite inferior da classe mediana;n é o tamanho da amostra;n é o tamanho da amostra;FFANTANT é a soma das freqüências anteriores à classe mediana;é a soma das freqüências anteriores à classe mediana;hhmeme é a amplitude da classe mediana;é a amplitude da classe mediana;ffmeme é a é a frequência frequência da classe mediana.da classe mediana.

Exemplo: Determinar a mediana dos dados Exemplo: Determinar a mediana dos dados apresentados na tabela abaixo. apresentados na tabela abaixo.

Vantagens e Desvantagens da MedianaVantagens e Desvantagens da Mediana

MEDIDAS DE POSIÇÃO MEDIDAS DE POSIÇÃO -- MODAMODAModaModa:: ÉÉ oo valorvalor (valores)(valores) maismais frequentefrequente nono conjuntoconjunto dede dados,dados, ee seráserá

denotadodenotado porpor MMOO..

aa.. SeSe todostodos osos valoresvalores sese repetemrepetem aa mesmamesma quantidadequantidade dede vezes,vezes,dizemosdizemos queque nãonão háhá moda,moda, ouou seja,seja, aa distribuiçãodistribuição éé amodalamodal;;

b. Se um valor ocorre com mais b. Se um valor ocorre com mais frequênciafrequência, dizemos que a distribuição é , dizemos que a distribuição é unimodalunimodal;;

cc.. SeSe doisdois valoresvalores sese repetemrepetem aa mesmamesma quantidadequantidade dede vezesvezes ee comcom maismaiscc.. SeSe doisdois valoresvalores sese repetemrepetem aa mesmamesma quantidadequantidade dede vezesvezes ee comcom maismaisfrequência,frequência, dizemosdizemos queque aa distribuiçãodistribuição éé bimodalbimodal..

d. Se mais de dois valores se repetem a mesma quantidade de vezes e d. Se mais de dois valores se repetem a mesma quantidade de vezes e com a mesma frequência, dizemos que a distribuição é multimodal.com a mesma frequência, dizemos que a distribuição é multimodal.

MEDIDAS DE POSIÇÃO MEDIDAS DE POSIÇÃO –– MODAMODA

ParaPara dadosdados agrupadosagrupados emem classesclasses::

�� ModaModa BrutaBruta

�� ModaModa dede KingKing

�� ModaModa dede CzuberCzuber

�� ModaModa dede PearsonPearson

►► ParaPara osos trêstrês primeirosprimeiros processos,processos, oo primeiroprimeiro passopasso ééidentificaridentificar aa classeclasse modal,modal, istoisto é,é, aa classeclasse queque apresentaapresenta aamaiormaior frequênciafrequência..

MODA BRUTAMODA BRUTA

MODA DE KINGMODA DE KING

MODA DE CZUBERMODA DE CZUBER

MODA DE PEARSONMODA DE PEARSON

RELAÇÕES ENTRE MÉDIA, MEDIANA E MODARELAÇÕES ENTRE MÉDIA, MEDIANA E MODA

►► Média = mediana = moda Média = mediana = moda --> distribuição simétrica> distribuição simétrica

►► Média > Mediana > Moda Média > Mediana > Moda --> distribuição simétrica positiva> distribuição simétrica positiva

►► Média < Mediana < Moda Média < Mediana < Moda --> distribuição assimétrica negativa> distribuição assimétrica negativa

Exemplo: Determinar a moda através dos 4 Exemplo: Determinar a moda através dos 4 processos. processos.

Vantagens e Desvantagens da ModaVantagens e Desvantagens da Moda

Exemplo: Calcular a média, moda e mediana Exemplo: Calcular a média, moda e mediana para os seguintes casospara os seguintes casos

1)1) Idade dos alunosIdade dos alunos18 18 –– 25 25 –– 20 20 –– 19 19 –– 22 22 –– 22 22 –– 21 21 –– 1919

2)2) Altura dos alunosAltura dos alunos1,75 1,75 –– 1,69 1,69 –– 1,81 1,81 –– 1,72 1,72 –– 1,73 1,73 –– 1,66 1,66 –– 1,591,59

ExemploExemplo:: NumNum estudoestudo sobresobre rotatividaderotatividade dede mãomão dede obraobra nanaindústria,indústria, anotouanotou--sese oo númeronúmero dede empregosempregos nosnos últimosúltimos 33anosanos parapara operáriosoperários especializadosespecializados ee nãonão especializadosespecializados..CalculeCalcule aa média,média, modamoda ee medianamediana ee tiretire suassuas conclusõesconclusões..

MEDIDAS DE POSIÇÃO MEDIDAS DE POSIÇÃO –– QUANTIS OU SEPARATRIZESQUANTIS OU SEPARATRIZES

EmEm algunsalguns casos,casos, oo pesquisadorpesquisador temtem interesseinteresse ememconhecerconhecer outrosoutros aspectosaspectos relativosrelativos aoao conjuntoconjunto dededadosdados..

QuantisQuantis ouou SeparatrizesSeparatrizes sãosão medidasmedidas queque dividemdividemQuantisQuantis ouou SeparatrizesSeparatrizes sãosão medidasmedidas queque dividemdividemoo rolrol dede umum conjuntoconjunto dede dadosdados emem partespartes iguaisiguais..

ObsObs:: AA medianamediana éé umum quantilquantil,, poispois dividedivide ooconjuntoconjunto dede dadosdados emem duasduas partespartes iguaisiguais..

MEDIDAS DE POSIÇÃO MEDIDAS DE POSIÇÃO -- QUARTILQUARTIL►► QuartisQuartis: São as observações que dividem o rol em 4 partes : São as observações que dividem o rol em 4 partes

iguais e são denotadas por Qiguais e são denotadas por Q11, Q, Q22 e Qe Q33..

MEDIDAS DE POSIÇÃO MEDIDAS DE POSIÇÃO -- QUARTILQUARTIL

MEDIDAS DE POSIÇÃO MEDIDAS DE POSIÇÃO -- DECISDECIS

►► DecisDecis: São as observações que dividem o rol em 10 partes : São as observações que dividem o rol em 10 partes iguais e são denotadas por Diguais e são denotadas por D11,D,D22, . . . ,D, . . . ,D99..

MEDIDAS DE POSIÇÃO MEDIDAS DE POSIÇÃO -- DECISDECIS

MEDIDAS DE POSIÇÃO MEDIDAS DE POSIÇÃO -- PERCENTISPERCENTIS

►► PercentisPercentis: São as observações que dividem o rol em 100 : São as observações que dividem o rol em 100 partes iguais e são denotadas por Ppartes iguais e são denotadas por P11, P, P22, . . . , P, . . . , P9999..

Note que QNote que Q22 = D= D55 = P= P5050 = Me.= Me.

MEDIDAS DE POSIÇÃO MEDIDAS DE POSIÇÃO -- PERCENTISPERCENTIS

Exemplo: Calcular o Exemplo: Calcular o primeiro primeiro quartil, o oitavo quartil, o oitavo decildecil e o trigésimo percentil. e o trigésimo percentil.

ExemploExemplo:: NumNum estudoestudo sobresobre rotatividaderotatividade dede mãomão dede obraobra nanaindústria,indústria, anotouanotou--sese oo númeronúmero dede empregosempregos nosnos últimosúltimos 33anosanos parapara operáriosoperários especializadosespecializados ee nãonão especializadosespecializados..CalculeCalcule oo terceiroterceiro quartil,quartil, oo sextosexto decildecil ee oo vigésimovigésimo percentilpercentil..