medio continuo

FACULTAD DE INGENIERIA

ClculoDiferencialSemestre 1

Eduardo Cedillo

2013

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTNOMA DE MXICO FACULTAD DE INGENIERA

PROGRAMA DE ESTUDIO

Aprobado por el Consejo Tcnico de la Facultad de Ingeniera en su sesin ordinaria del 19 de noviembre de 2008 CLCULO DIFERENCIAL 1108 1 09

Asignatura Clave Semestre Crditos

Ciencias Bsicas Matemticas Ingeniera Mecnica Divisin Coordinacin Carrera(s) en que se imparte

Asignatura: Horas: Total (horas): Obligatoria X Tericas 4.5 Semana 4.5 Optativa Prcticas 0.0 16 Semanas 72.0

Modalidad: Curso Seriacin obligatoria antecedente: Ninguna. Seriacin obligatoria consecuente: Clculo Integral Objetivo(s) del curso: El alumno aplicar los conceptos del clculo diferencial de funciones reales de variable real, en la formulacin de modelos matemticos y para resolver problemas fsicos y geomtricos. Temario

NM. NOMBRE HORAS

1. Introduccin al Clculo 3.0

2. Funciones 13.5

3. Lmites y continuidad 13.5

4. La derivada 18.0

5. Variacin de funciones 9.0

6. Sucesiones y series 15.0

72.0

Prcticas de laboratorio 0.0

Total 72.0

CLCULO DIFERENCIAL (2 / 5)

1 Introduccin al Clculo

Objetivo: El alumno conocer el desarrollo histrico del Clculo y valorar la importancia de ste a travs de sus aplicaciones. Contenido:

1.1 Significado de la palabra Clculo. 1.2 Resea histrica del Clculo. 1.3 Importancia del Clculo y sus principales aplicaciones.

2 Funciones Objetivo: El alumno utilizar el concepto de funcin y sus caractersticas principales para aplicarlos en la formulacin de modelos matemticos. Contenido:

2.1 Definicin de funcin real de variable real y su representacin grfica. Definiciones de dominio, de codominio y de recorrido. Notacin funcional. Funciones: constante, identidad, valor absoluto.

2.2 Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas. 2.3 Igualdad de funciones. Operaciones con funciones. Funcin composicin. Funcin inversa. 2.4 Clasificacin de funciones segn su expresin: explcitas, implcitas, paramtricas y dadas por ms

de una regla de correspondencia. 2.5 Funciones algebraicas: polinomiales, racionales e irracionales. Funciones pares e impares.

Funciones trigonomtricas directas e inversas y su representacin grfica. 2.6 Formulacin de funciones como modelos matemticos de problemas fsicos y geomtricos.

3 Lmites y continuidad Objetivo: El alumno aplicar el concepto de lmite para calcular el lmite de una funcin y para determinar su continuidad. Contenido:

3.1 Concepto de lmite de una funcin en un punto. Interpretacin geomtrica. 3.2 Existencia de lmite de una funcin. Lmites de las funciones constante e identidad y demostracin

de su existencia. Enunciados de teoremas sobre lmites. Formas determinadas e indeterminadas. Clculo de lmites.

3.3 Definicin del lmite de una funcin cuando la variable independiente tiende al infinito. Clculo de lmites de funciones racionales cuando la variable tiende al infinito. Lmites infinitos.

3.4 Obtencin del lmite de sen x, cos x y (sen x) / x cuando x tiende a cero. Clculo de lmites de funciones trigonomtricas.

3.5 Concepto de continuidad. Lmites laterales. Definicin y determinacin de la continuidad de una funcin en un punto y en un intervalo. Enunciado de los teoremas sobre continuidad. Continuidad a travs de los incrementos de las variables dependiente e independiente.


4 La derivada Objetivo: El alumno aplicar el concepto de la derivada y sus interpretaciones fsica y geomtrica, en la resolucin de problemas. Contenido:

4.1 Definicin de la derivada de una funcin en un punto. Interpretaciones fsica y geomtrica. Notaciones y clculo a partir de la definicin. Funcin derivada.

4.2 Derivacin de la suma, producto y cociente de funciones. Derivacin de una funcin elevada a un exponente racional.

4.3 Derivacin de la funcin compuesta. Regla de la Cadena. Derivacin de la funcin inversa. 4.4 Derivacin de las funciones trigonomtricas directas e inversas. 4.5 Definicin de derivadas laterales. Relacin entre derivabilidad y continuidad. 4.6 Derivacin de funciones expresadas en las formas implcita y paramtrica. 4.7 Definicin y clculo de derivadas de orden superior. 4.8 Aplicaciones geomtricas de la derivada: direccin de una curva, ecuaciones de la recta tangente y

la recta normal, ngulo de interseccin entre curvas. 4.9 Aplicacin fsica de la derivada como razn de cambio de variables relacionadas. 4.10 Conceptos de funcin diferenciable y de diferencial, e interpretacin geomtrica. La derivada como

cociente de diferenciales. Permanencia de la forma de la diferencial para una funcin de funcin. Problemas de aplicacin. Diferenciales de orden superior.

5 Variacin de funciones

Objetivo: El alumno har el anlisis de la variacin de funciones para conocer las caractersticas geomtricas de la grfica de una funcin y lo aplicar en la resolucin de problemas de optimacin. Contenido:

5.1 Enunciado e interpretacin geomtrica de los teoremas de Weierstrass y de Bolzano. Enunciado, demostracin e interpretacin geomtrica del teorema de Rolle y del teorema del Valor Medio del Clculo Diferencial.

5.2 Funciones crecientes y decrecientes y su relacin con el signo de la derivada. 5.3 Mximos y mnimos relativos. Criterio de la primera derivada. Concavidad y puntos de inflexin.

Criterio de la segunda derivada. Problemas de aplicacin. 5.4 Anlisis de la variacin de una funcin.

6 Sucesiones y series

Objetivo: El alumno utilizar los conceptos fundamentales de las sucesiones y de las series para determinar su carcter y para representar funciones por medio del desarrollo en series de potencias. Contenido:

6.1 Definicin de sucesin. Lmite y convergencia de una sucesin. Sucesiones montonas y acotadas. 6.2 Definicin de serie. Convergencia de una serie. Propiedades y condiciones para la convergencia.

Definicin y propiedades de las operaciones con series: adicin y multiplicacin por un escalar. 6.3 Serie geomtrica y serie p. 6.4 Series de trminos positivos. Criterios de comparacin y del cociente o de DAlembert. 6.5 Series de signos alternados. Criterio de Leibniz. 6.6 Series de potencias de x y de x-a. Radio e intervalo de convergencia.


6.7 Desarrollo de funciones en series de potencias. Serie de McLaurin, de Taylor y desarrollo de

funciones trigonomtricas.

Bibliografa bsica: Temas para los que se recomienda:

LARSON, HOSTETLER y EDWARDS 2, 3, 4, 5 y 6 Clculo I 8a edicin Madrid McGraw-Hill, 2006 SOLAR G., Eduardo y SPEZIALE de G., Leda 6 gebra I Mxico Limusa - Facultad de Ingeniera, UNAM, 1997 STEWART, James 2, 3, 4, 5 y 6 Clculo 6a edicin Mxico Cengage Learning, 2008. Bibliografa complementaria: ANDRADE D., Arnulfo et al. 2, 3, 4 y 5 Clculo Diferencial e Integral Mxico Limusa - Facultad de Ingeniera, UNAM, 2004 ANDRADE D., Arnulfo y CRAIL, S. Carlos 2, 3, 4, 5 y 6 Cuaderno de Ejercicios de Clculo I Mxico Facultad de Ingeniera - UNAM, 2004 LEITHOLD, Louis 2, 3, 4, 5 y 6 El Clculo con Geometra Analtica 7a edicin Mxico Oxford University Press, 1998


PURCELL J. Edwin and VARBERG Dale 2,3,4,5 y 6 Calculus with Analytic Geometry 8th edition New Jersey Prentice Hall Inc., 2001 SPIVAK, Michael 2,3,4,5 y 6 Clculo Infinitesimal 2a edicin Mxico Revert, 1996 SWOKOWSKI, Earl W., OLINICK, M., PENCE, D. 2, 3, 4, 5 y 6 Calculus USA P.W.S. Publishing Company, 1994 Sugerencias didcticas:

Exposicin oral X Lecturas obligatorias X Exposicin audiovisual X Trabajos de investigacin X Ejercicios dentro de clase X Prcticas de taller o laboratorio Ejercicios fuera del aula X Prcticas de campo Seminarios Otras: Empleo de nuevas

tecnologas X

Forma de evaluar:

Exmenes parciales X Participacin en clase X Exmenes finales X Asistencias a prcticas Trabajos y tareas fuera del aula X Otras

Perfil profesiogrfico de quienes pueden impartir la asignatura Licenciatura en Ingeniera, Matemticas, Fsica o carreras cuyo contenido en el rea de matemticas sea similar. Deseable haber realizado estudios de posgrado, contar con experiencia docente o haber participado en cursos o seminarios de iniciacin en la prctica docente.

Funciones

FUNCION

Una funcion f de un conjunto X a un conjunto Y es una regla de correspondencia que asigna a cada elemento x en {X} un elemento unico f(x) en {Y}.

DOMINIO

Es el conjunto {X} de valores de x para los que la funcion f esta definida

CODOMINIO

Es el conjunto {Y} de valores que puede devolver la funcion f.

IMAGEN

Es el subconjunto del codominio con los valores que actualmente toma la funcion f.

Sus conjuntos Codominio e Imagen son iguales.

Sus valores en x no comparten valores en y.

INYECTIVA

SUPRAYECTIVA

CARACTERISTICAS

BIYECTIVA

Es Inyectiva y Suprayectiva a la vez.

Toda funcion es una relacion, pero no toda relacion es una funcion.

REPRESENTACION GRAFICA

PAR

Cuando f(-x) = f(x) es simetrica respecto al eje Y.

IMPAR

Cuando -f(x) = f(-x) es simetrica respecto al origen.

FUNCIONES NOTABLES

IDENTIDAD

CONSTANTE

VALOR ABSOLUTO

SIGNO

FUNCION RECIPROCA

FUNCION INVERSA

La funcion f tiene inversa si es biyectiva.

Limites y continuidad

LIMITE

PROPIEDADES

DERIVADA

DERIVACION IMPLICITA

DERIVACION PARAMETRICA

TEOREMA DE FERMAT

Si f tiene maximo o minimo local en c:

PUNTO CRITICO

Es aquel donde su derivada es 0 o no existe.

Una funcion es continua en x0 si:

MAXIMO ABSOLUTO

MINIMO ABSOLUTO

CONTINUIDAD

Sucesiones y series

Esto representa una recta

Representa una parabola

SERIES DE POTENCIAS

TEOREMA DE TAYLOR RADIO DE CONVERGENCIA

SERIE P

SERIE DE SIGNOS ALTERNADOS

SERIE GEOMETRICA

SERIE EXPONENCIAL

SERIE TRIGONOMETRICA


ClculoIntegralSemestre 2

Eduardo Cedillo

2013


PROGRAMA DE ESTUDIO

Aprobado por el Consejo Tcnico de la Facultad de Ingeniera en su sesin ordinaria del 19 de noviembre de 2008 CLCULO INTEGRAL 1207 2o 09


Ciencias Bsicas Matemticas Ingeniera en Telecomunicaciones Divisin Coordinacin Carrera(s) en que se imparte


Modalidad: Curso Seriacin obligatoria antecedente: Clculo Diferencial. Seriacin obligatoria consecuente: Clculo Vectorial. Objetivo(s) del curso: El alumno aplicar los conceptos fundamentales del clculo integral de funciones reales de variable real, y las variaciones de una funcin escalar de variable vectorial, para resolver problemas fsicos y geomtricos. Temario

NM. NOMBRE HORAS

1. Las integrales definida e indefinida 11.5

2. Funciones logaritmo y exponencial 15.0

3. Mtodos de integracin 21.5

4. Derivacin y diferenciacin de funciones escalares de dos o ms variables

24.0

72.0


Total 72.0

CLCULO INTEGRAL (2 / 5)

1 Las integrales definida e indefinida Objetivo: El alumno comprender los conceptos de las integrales definida e indefinida y las aplicar en el clculo y obtencin de integrales. Contenido:

1.1 El problema del rea. Concepto de sumas de Riemann. Concepto de integral definida. Interpretacin geomtrica y propiedades. Condicin de integrabilidad.

1.2 Enunciado e interpretacin geomtrica del Teorema del Valor Medio del Clculo Integral. 1.3 Definicin de la integral indefinida, a partir de la integral definida con el extremo superior variable.

Enunciado y demostracin del Teorema Fundamental del Clculo. 1.4 Clculo de integrales indefinidas inmediatas. Cambio de variable.

2 Funciones logaritmo y exponencial Objetivo: El alumno conocer las funciones logaritmo y exponencial, as como sus propiedades, y las aplicar en el clculo de lmites, derivadas e integrales. Contenido:

2.1 La funcin logaritmo natural, sus propiedades y su representacin grfica. 2.2 La funcin exponencial, sus propiedades y su representacin grfica. 2.3 Las funciones logaritmo natural y exponencial, como inversas . Cambios de base. 2.4 Derivacin e integracin de las funciones logaritmo natural y exponencial. Derivacin de una

funcin elevada a un exponente real y a otra funcin. Desarrollo de las funciones logartmica y exponencial en series de potencias.

2.5 Las funciones hiperblicas, directas e inversas. Derivacin e integracin. 2.6 La Regla de LHpital y sus aplicaciones a formas indeterminadas de lmites de funciones. El

nmero e como un lmite. 2.7 La integral impropia.

3 Mtodos de integracin

Objetivo: El alumno adquirir habilidad en el uso de diversas tcnicas de integracin y las aplicar en la resolucin de problemas geomtricos.

Contenido:

3.1 Integracin por partes. 3.2 Integrales de expresiones trigonomtricas e integracin por sustitucin trigonomtrica. 3.3 Integracin por descomposicin en fracciones racionales. 3.4 Sustituciones diversas. 3.5 Aplicaciones de la integral definida al clculo de: reas en coordenadas cartesianas y polares,

longitud de arco en coordenadas cartesianas (en las formas explcita y paramtrica) y polares, y volmenes de slidos de revolucin.


4 Derivacin y diferenciacin de funciones escalares de dos o ms variables

Objetivo: El alumno comprender el concepto de funcin escalar de variable vectorial, determinar la variacin de este tipo de funciones en cualquier direccin y la aplicar en la resolucin de problemas fsicos y geomtricos.

Contenido:

4.1 Definicin de funciones escalares de variable vectorial. Conceptos de dominio y recorrido y la representacin grfica de stos. Concepto de regin.

4.2 Representacin grfica para el caso de funciones de dos variables independientes. Curvas de nivel. 4.3 Conceptos de lmite y continuidad para funciones escalares de variable vectorial de dos variables

independientes. Existencia y clculo de lmites. 4.4 Derivadas parciales e interpretacin geomtrica para el caso de dos variables independientes. Vector

normal a una superficie. Ecuaciones del plano tangente y de la recta normal. Interpretacin fsica. 4.5 Derivadas parciales sucesivas. Teorema de derivadas parciales mixtas. 4.6 Funcin diferenciable. Diferencial total. Comparacin entre el incremento y la diferencial total.

Diferencial de orden superior. 4.7 Funcin de funcin. Regla de la cadena. Permanencia de la forma de la diferencial total. Diversos

casos de la derivacin explcita de acuerdo al nmero de variables y a las relaciones entre ellas o con otros parmetros. Derivada total.

4.8 Funcin implcita. Derivacin implcita en sistemas de ecuaciones. 4.9 Concepto de gradiente. Operador nabla. Definicin de derivada direccional. Interpretacin

geomtrica y aplicaciones. Bibliografa bsica: Temas para los que se recomienda: LARSON, R. E., HOSTETLER, R.P. y EDWARDS, B.H. Todos Clculo I y Clculo II 8a edicin Mxico McGraw Hill, 2006 PURCELL, E.J., VARBERG, D. y RIGDON, S.E. Todos Clculo 9a edicin Mxico Pearson Educacin, 2007 STEWART, J. 1, 2 y 3 Clculo de una variable: Trascendentes tempranas 6a edicin Mxico Cengage Learning, 2008


STEWART, J. 4 Clculo de varias variables: Trascendentes tempranas 6a edicin Mxico Cengage Learning, 2008 Bibliografa complementaria: ANDRADE D., A., et al. 1, 2 y 3 Clculo Diferencial e Integral Mxico Limusa - Facultad de Ingeniera, UNAM, 2004 GARCA Y COLOM, P. 2 Integrales impropias Mxico Facultad de Ingeniera, UNAM, 2002 GARCA Y COLOM, P. 2 Funciones hiperblicas Mxico Facultad de Ingeniera, UNAM, 2002 SPIEGEL, M.R. Todos Clculo Superior Mxico McGraw-Hill, 2001 SWOKOWSKI, E. W., OLINICK, M. y PENCE, D. Todos Calculus U.S.A. P.W.S. Publishing Company, 1994 THOMAS G. y FINNEY R. 1, 2 y 3 Clculo una variable 10a edicin Mxico Pearson Educacin, 2005 THOMAS G. y FINNEY R. 4 Clculo varias variables 10a edicin Mxico Pearson Educacin, 2005


Sugerencias didcticas:

Exposicin oral X Lecturas obligatorias X Exposicin audiovisual X Trabajos de investigacin X Ejercicios dentro de clase X Prcticas de taller o laboratorio Ejercicios fuera del aula X Prcticas de campo Seminarios Otras: Empleo de nuevas X tecnologas

Forma de evaluar:


Perfil profesiogrfico de quienes pueden impartir la asignatura Licenciatura en Ingeniera, Matemticas, Fsica o carreras cuyo contenido en el rea de matemticas sea similar. Deseable haber realizado estudios de posgrado, contar con experiencia docente o haber participado en cursos o seminarios de iniciacin en la prctica docente.

INTEGRAL DEFINIDA

Sea el intervalo cerrado [A,B], el conjunto de puntos Pn={x0,x1,x2,...,xn} donde x0=a y xn=b

Bases de los poligonos

y=f(x) esta definida y limitada en el conjunto Df (dominio de la funcion), considere una particion Pn en dicho conjunto que contenga n subintervalos. Si se escoge un punto en cada subintervalo tal que:

SUMA DE RIEMANN

INTEGRAL DEFINIDA

Poligonos circunscritos(Se exceden)

Poligonos inscritos(Son menores)

Diferencial: Incremento mas pequeo

Limites de integracion

PROPIEDADES DE LA SUMA

TEOREMA DEL VALOR MEDIO

Si y=f(x) es continua en [a,b], ma es el minimo absoluto en Xm, Ma es el maximo absoluto en Xm:

Integral definida e indefinida

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO

Sea una funcion f continua en el intervalo [,]:

F es antiderivada de f en [a,b]

Si existe f(x) = F'(x) en [,]:

SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL: Antiderivada

Si a < x

Funciones logaritmo y exponencial

LOGARITMO

PROPIEDADES

LOGARITMO COMUN Y EXPONENCIAL

EXPONENCIAL

Composicion conmutativa

CAMBIO DE BASE

DERIVACION


DERIVADA DE UNA FUNCION ELEVADA A UN EXPONENTE REAL

DERIVADA DE UNA FUNCION ELEVADA A OTRA FUNCION

DESARROLLO EN SERIE DE POTENCIAS

SERIE DE TAYLOR

CRITERIO DEL COCIENTE

Funcion convergente

Funcion divergente

RADIO DE CONVERGENCIA

radio = 1centro = 1

Intervalo de convergenciaI(0,2)

Para x = 0 Para x = 2

Por comparacion con serie armonica, es Divergente

SERIE ARMONICA

Divergente

FACTORIZACION FACTORIAL


SERIE DE MACLAURIN

CRITERIO DEL COCIENTE

FUNCIONES HIPERBOLICAS

FUNCION INVERSA

INTEGRALES IMPROPIAS

REGLA DE L'HOPITAL

Sean f y g funciones derivables en (a,b) que contenga a c. Si g'(x) es diferente de cero, y el limite de f/g produce una forma indeterminada:

Metodos de integracion

INTEGRACION POR PARTES

INTEGRACION TABULAR

Se deriva hasta 0

Se integra tantas veces como f(x) se derivo

INTEGRALES TRIGONOMETRICAS

SUSTITUCION TRIGONOMETRICA

Metodos de integracion

FRACCIONES PARCIALES

Si gr(P) > gr(Q), primero se hace la division de polinomios

Q(x) puede tener las siguientes raices:

RAICES REALES DISTINTAS

RAICES REALES REPETIDAS

RAICES COMPLEJAS DISTINTAS

RAICES COMPLEJAS REPETIDAS

APLICACIONES DE LA INTEGRAL

AREA ENTRE 2 CURVAS

LONGITUD DE ARCO EN COORDENADAS CARTESIANAS

s es la longitud de arco

AREA POLAR

LONGITUD DE ARCO EN COORDENADAS POLARES

VOLUMEN DE SOLIDOS DE REVOLUCION

Campo escalar

Calcular el volumen del solido generado al girar en X la region limitada por:

Calcular el area de la superficie encerrada por la curva:

CAMPO ESCALAR

Una funcion escalar es una terna formada por: un conjunto Dominio Df c R^n, un conjunto Rango Rf c R^n, y una regla de correspondencia que asocia a cada elemento del dominio un solo elemento del rango, z = f(x)

VECINDAD (ENTORNO)

Es el conjunto de puntos dentro de una circunferencia de radio y centro en el origen. Son todos los puntos que satisfacen la desigualdad:

Sea P un punto y S un subconjunto de R^n:

- P es un punto interior de S si todos los puntos de al menos una de sus vecindades estan contenidos en S.

- P es un punto exterior si todos los puntos de al menos una de sus vecindades no pertenece a S.

- P es un punto frontera si en cualquiera de sus vecindades existen puntos que pertenecen a S y puntos que no pertenecen.

- S es cerrado si contiene puntos interiores y puntos frontera.

- S es abierto si contiene puntos interiores y no puntos frontera.

- S es semiabierto o semicerrado si solo contiene puntos interiores.

Region cerrada

Region semiabierta

REPRESENTACION GRAFICA

Una funcion de 2 variables independientes z = f(x,y) puede representarse como una superficie usando curvas de nivel.

Superficie es el lugar geometrico de todos los puntos que satisfacen una ecuacion del tipo f(x,y,z) = 0, de forma que al despejar una variable se obtenga una funcion escalar:

CURVAS DE NIVEL TRAZAS

Representar graficamente z = f(x,y) = 100 - x^2 - y^2 con curvas de nivel para z1 = 0, z2 = 51, z3 = 75

Determinar el dominio y rango de las siguientes funciones:

Sea z = f(x,y) definida en un dominio Df c R^2:

Si para cada numero >0, tan pequeo como se desee, existe otro numero >0 tal que:

ENTORNO REDUCIDO

La condicion necesaria y suficiente para que L exista es que el limite asociado a las distintas formas de aproximarse al punto (x0 , y0) sea siempre el mismo.

LIMITE

Campo escalar

LIMITES REITERADOS

Calcular los limites reiterados de z. Elegir 3 trayectorias para verificar que el limite no existe en el origen.

Para y = mx (familia de rectas):

Para y = px^2 (familia de curvas):

CONTINUIDAD

DERIVADAS PARCIALES

Campo escalar

TEOREMA DE SCHWARZ

Si f es un campo escalar con 2 variables independientes tal que sus derivadas parciales mixtas existen en una vecindad de (x0 , y0) y son continuas en dicho punto, entonces se cumple que:

DIFERENCIAL TOTAL

Campo escalar

SISTEMAS DE FUNCIONES IMPLICITAS Si se tiene un sistema de 3 funciones implicitas:

El jacobiano del sistema respecto a las variables dependientes definidas debe ser distinto de cero.

De un tronco de diametro d se desea obtener una viga con seccion rectangular de area maxima.

Valores criticos:

Intervalos:

VECTOR GRADIENTE

MATRIZ JACOBIANA

Es la matriz de las derivadas parciales de primer orden de una funcion.

Representa la derivada de una funcion multivariable.

SISTEMA DE FUNCIONES

DERIVADA DIRECCIONAL

La interseccion entre una superficie z y un plano vertical que forma un angulo con el eje x y contiene al punto p(x0 , y0 , 0) es una curva.

Longitud de arco de la recta L

Ecuaciones parametricas: Longitud de arco:

S es la longitud de la curva interseccion.

Derivada direccional:

Calcular la derivada direccional del campo z en el punto p en la direccion v.

Campo escalar

Parametrizacion:

Pendiente de la recta tangente a la curva interseccion de la superficie z y el plano con direccion v en el punto p.

Calcule la direccion en que el campo z permanece constante.

Campo escalar

PLANO TANGENTE Y RECTA NORMAL

Sea F(x, y, z) = 0 diferenciable en p(x0, y0, z0) tal que su vector gradiente sea distinto de cero:

PLANO TANGENTE

Es el plano que pasa por p y es normal al vector gradiente evaluado en p.

RECTA NORMAL

Es la recta que pasa por p con la direccion del vector gradiente evaluado en p.

Ecuacion vectorial:

Ecuacion simetrica:

Ecuacion parametrica:

Obtener la ecuacion cartesiana del plano tangente y la ecuacion vectorial de la recta normal a la superficie z en p.

Calcular la cantidad de pintura necesaria para cubrir un recipiente cilindrico con tapa de radio r = 2 (m) y altura z = 10 (m) con una capa de 0.5 (cm).

CAMBIOS REALES Y APROXIMADOS

Cambio absoluto:

REAL APROXIMADO

Cambio relativo:

Cambio porcentual:

Las medidas de una caja de 2 (m) de lado y 2 (m) de altura tienen un margen de error de 2% y 3%. Calcule la variacion maxima de su capacidad.

CASO 2: DERIVADA TOTAL

CASO 3

CASO 4

REGLA DE LA CADENA

CASO 1

Un recipiente cilindrico con tapa de 20 (cm) de radio y 80 (cm) de altura aumenta sus dimensiones por dilatacion termica a razon de 2 (mm/min) y 3 (mm/min). Calcule la rapidez con que aumenta su volumen.

Campo escalar




INTEGRACION POR PARTES por la funcion trascendente

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS





IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS

INTEGRACION TABULAR


ClculoVectorialSemestre 3

Eduardo Cedillo

2013


PROGRAMA DE ESTUDIO

Aprobado por el Consejo Tcnico de la Facultad de Ingeniera en su sesin ordinaria del 19 de noviembre de 2008 CLCULO VECTORIAL 0063 3 09


Ciencias Bsicas Matemticas Ingeniera en Telecomunicaciones Divisin Coordinacin Carrera(s) en que se imparte

Asignatura: Horas: Total (horas): Obligatoria X Tericas 4.5 Semana 4.5

Optativa Prcticas 0.0 16 Semanas 72.0 Modalidad: Curso Seriacin obligatoria antecedente: Clculo Integral Seriacin obligatoria consecuente: Ninguna Objetivo(s) del curso: El alumno conocer los criterios para optimizar funciones de dos o ms variables, analizar funciones vectoriales y calcular integrales de lnea e integrales mltiples para resolver problemas fsicos y geomtricos. Temario

NM. NOMBRE HORAS

1. Extremos de funciones de dos o ms variables 13.5

2. Funciones vectoriales 25.5

3. Integrales de lnea 12.0

4. Integrales mltiples 21.0

72.0


Total 72.0

CLCULO VECTORIAL (2 / 5)

1 Extremos de funciones de dos o ms variables Objetivo: El alumno determinar los valores extremos de funciones de dos o ms variables y resolver problemas de optimacin relacionados con ingeniera. Contenido:

1.1 Mximos y mnimos, relativos y absolutos, para funciones de dos y de tres variables independientes. Puntos crticos. Establecimiento de la condicin necesaria para que un punto sea extremo relativo o punto silla.

1.2 Deduccin del criterio de la segunda derivada para funciones de dos y de tres variables independientes. Conceptos de matriz y determinante hessianos. Resolucin de problemas.

1.3 Formulacin del problema de mximos y mnimos relativos con restricciones. Establecimiento de la ecuacin de Lagrange a travs de sus elementos multiplicadores. Resolucin de problemas de mximos y mnimos con restricciones y absolutos.

2 Funciones vectoriales Objetivo: El alumno utilizar e interpretar las variaciones de una funcin vectorial de variable vectorial y las aplicar para resolver problemas fsicos y geomtricos en el sistema de referencia ms conveniente. Contenido:

2.1 Definicin de funcin vectorial de variable escalar y de funcin vectorial de variable vectorial. Ejemplos fsicos y geomtricos y su representacin grfica para los casos de una, dos o tres variables independientes y dos o tres variables dependientes. Concepto de campo vectorial.

2.2 Definicin, interpretacin geomtrica y clculo de la derivada de una funcin vectorial de variable escalar y de las derivadas parciales de una funcin vectorial de variable vectorial. Propiedades de la derivada de funciones vectoriales.

2.3 Ecuacin vectorial de una curva. Anlisis de curvas a travs de la longitud de arco como parmetro. Deduccin del triedro mvil y de las frmulas de Frenet-Serret. Aplicaciones a la mecnica.

2.4 Vector normal a una superficie a partir de su ecuacin vectorial, aplicaciones. 2.5 Diferencial de funciones vectoriales de variable escalar y de variable vectorial. Interpretacin

geomtrica. 2.6 Concepto de coordenadas curvilneas. Coordenadas curvilneas ortogonales. Ecuaciones de

transformacin. Coordenadas cilndricas y coordenadas esfricas. Concepto de jacobiano de la transformacin y determinacin de la existencia de la inversa de sta. Propiedades del jacobiano. Definicin e interpretacin de los puntos singulares. Estudio de los vectores base, de los factores de escala y de la diferencial del vector de posicin. Anlisis de las coordenadas curvilneas ortogonales: polares, cilndricas, esfricas y otros sistemas.

2.7 Generalizacin del concepto de gradiente.


2.8 Definiciones de divergencia y de rotacional, interpretaciones fsicas. Campos irrotacional y solenoidal, aplicaciones. Concepto y aplicaciones del laplaciano. Funcin armnica. Propiedades del operador nabla aplicado a funciones vectoriales. Obtencin del gradiente, divergencia, rotacional y laplaciano en coordenadas curvilneas ortogonales.

3 Integrales de lnea

Objetivo: El alumno calcular integrales de lnea de funciones vectoriales y las aplicar en la resolucin de problemas fsicos y geomtricos. Contenido:

3.1 Integracin de funciones vectoriales, aplicaciones. Definicin y propiedades de la integral de lnea. Integral de lnea a lo largo de una curva cerrada. Clculo de integrales de lnea mediante parametrizacin. Independencia de la parametrizacin.

3.2 La integral de lnea como modelo matemtico del trabajo y sus representaciones vectorial, paramtrica y diferencial. Conceptos fsicos y matemtico de campo conservativo.

3.3 Concepto de funcin potencial. Integracin de la diferencial exacta. Clculo de la funcin potencial. Relacin entre la independencia de la trayectoria, la diferencial exacta y el campo conservativo.

3.4 Clculo de la integral de lnea en coordenadas polares, cilndricas y esfricas.

4 Integrales mltiples Objetivo: El alumno calcular integrales mltiples y las aplicar en la resolucin de problemas fsicos y geomtricos, as como utilizar los teoremas de Gauss y Stokes para calcular integrales de superficie. Contenido:

4.1 Definicin e interpretacin geomtrica de la integral doble. Integrabilidad de funciones continas.

4.2 Concepto de integral reiterada. Clculo de la integral doble mediante la reiterada. Concepto y representacin grfica de regiones. Clculo de integrales dobles en regiones regulares. Aplicaciones en clculo de reas y volmenes. Clculo de integrales dobles con cambio a coordenadas curvilneas.

4.3 Enunciado, demostracin y aplicaciones del teorema de Green. 4.4 Clculo del rea de una superficie alabeada en coordenadas cartesianas y cuando est dada por

sus ecuaciones paramtricas. Integral de superficie, aplicaciones. 4.5 Concepto e interpretacin geomtrica de la integral triple. Integral reiterada en tres dimensiones.

Clculo de la integral triple en regiones regulares. Clculo de volmenes. Integrales triples en coordenadas cilndricas, esfricas y en algn otro sistema coordenado curvilneo.

4.6 Teorema de Stokes. Teorema de Gauss.


Bibliografa bsica: Temas para los que se recomienda: PITA Ruiz, Claudio Todos Clculo Vectorial Mxico Prentice-Hall Hispanoamericana, 1995 MARSDEN, Jerrold E. y TROMBA, Anthony J. Todos Clculo Vectorial Mxico Prentice-Hall Hispanoamericana, 1995 MENA, Baltasar Todos Introduccin al Clculo Vectorial Mxico Thomson, 2003 Bibliografa complementaria: Temas para los que se recomienda: ESTRADA, O., GARCA, P. y MONSIVAIS, G. Todos Clculo Vectorial y Aplicaciones 1a edicin Mxico Grupo Editorial Iberoamrica, 1999 HAASER, Norman B., LA SALLE, Joseph P.Y Todos SULLIVAN, Joseph A. Anlisis Matemtico. Curso intermedio Mxico Editorial Trillas, 1970 DAVIS, Harry F. y SNIDER, Arthur D. 2, 3 y 4 Anlisis Vectorial Mxico McGraw Hill, 1993 HSU, Hwei P. 2, 3 y 4 Anlisis Vectorial EUA Addison-Wesley Iberoamericana, 1987


SWOKOWSKI, Earl W., OLINICK Michael y PENCE Dennis Todos Calculus 6th edition, USA P.W.S. Publishing Company, 1994 Sugerencias didcticas:

Exposicin oral X Lecturas obligatorias X Exposicin audiovisual X Trabajos de investigacin X Ejercicios dentro de clase X Prcticas de taller o laboratorio Ejercicios fuera del aula X Prcticas de campo Seminarios Otras: Empleo de nuevas tecnologas X

Forma de evaluar:

Exmenes parciales X Participacin en clase X Exmenes finales X Asistencias a prcticas Trabajos y tareas fuera del aula X Otras:

Perfil profesiogrfico de quienes pueden impartir la asignatura Licenciatura en Ingeniera, Matemticas, Fsica o en carreras cuyo contenido en el rea de matemticas sea similar. Deseable haber realizado estudios de posgrado, contar con experiencia docente o haber participado en cursos o seminarios de iniciacin en la prctica docente.

Puntos criticos

PUNTOS CRITICOS

MATRIZ HESSIANA

CAMPO ESCALAR

Su punto critico es un minimo relativo

Su punto critico es un maximo relativo

Su punto critico es un punto silla

DesplazamientoRotacion en z

PUNTO CRITICO

Es un punto de f donde su gradiente evaluado es el vector cero.

CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA z = f(x,y)

Sea f un campo escalar de 2 variables y s un punto critico de f, la naturaleza de s es:

1. Punto silla si det( H(f) )

Encuentra los puntos criticos de z y determina su naturaleza.

Es la matriz cuadrada de las segundas derivadas parciales de una funcion f.

PARAMETRIZACION DE SUPERFICIES

Cono

Cilindro

Esfera

Rectificante Normal

Osculador

COORDENADAS POLARES

COORDENADAS ESFERICAS

COORDENADAS CILINDRICAS

Elipsoide

Hiperboloide

Cono

Paraboloide

Cilindro parabolico

Cilindro circular

ECUACION NORMAL DEL PLANO

PLANOS

VECTOR UNITARIO FACTOR DE ESCALA

AREA DE UNA REGIONSi J es constante

SISTEMA ORTOGONAL

GRADIENTE "Derivada" en 1 dimension

ROTACIONAL Si es cero, el campo es conservativo

DIVERGENCIA Donde F=(Fu,Fv,Fw)

LAPLACIANO Si es cero, es una funcion armonica

JACOBIANO

Si el sistema es ortogonal, J=huhvhw

INTEGRAL DE LINEA

La integral de linea no depende de la curva

C es una curva cerrada

Campo conservativo

f: funcion potencial

INTEGRAL DE TRAYECTORIA

INTEGRAL VECTORIAL DE SUPERFICIE

FLUJO

INTEGRAL DOBLE

DIFERENCIAL DE AREA VECTORIAL

TEOREMA DE STOKES TEOREMA DE DIVERGENCIA


Mecnica delMedio Continuo

Semestre 6

Eduardo Cedillo

2014

Aprobado: Fecha: Consejo Tcnico de la Facultad 25 de febrero, 4 y 17 de marzo, y 16 de junio de 2005

Consejo Acadmico del rea de las Ciencias 8 de agosto de 2005 Fsico Matemticas y de las Ingenieras


PROGRAMA DE ESTUDIO

ELEMENTOS DE MECNICA DEL MEDIO CONTINUO 1521 4 08


Ingeniera Mecnica e Industrial Termoenerga y Mejoramiento Ambiental Ingeniera Mecnica Divisin Departamento Carrera(s) en que se imparte


Modalidad: Curso Seriacin obligatoria antecedente: Ninguna Seriacin obligatoria consecuente: Mecnica de Fluidos II Objetivo(s) del curso: El alumno obtendr las bases fsicas y matemticas para el estudio de materiales deformables, idealizados como medios continuos y ser capaz de establecer los fundamentos necesarios para mecnica y dinmica de fluidos, teora de la elasticidad, plasticidad y ecuaciones constitutivas generales. Temario

NM. NOMBRE HORAS

1. Introduccin y fundamentos generales 4.0

2. Conceptos bsicos de anlisis vectorial y tensorial 10.0

3. Esfuerzo 8.0

4. Deformacin y rapidez de deformacin 8.0

5. Ecuaciones generales de balance 10.0

6. Ecuaciones constitutivas simples: fluidos ideales y fluidos viscosos 12.0

7. Teora lineal de la elasticidad, teora de la plasticidad 12.0

Total 64.0

ELEMENTOS DE MECNICA DEL MEDIO CONTINUO (2 / 5)

1 Introduccin y fundamentos generales

Objetivo: El alumno aplicar los conceptos fundamentales de clculo vectorial e introducir los conocimientos del lgebra y clculo tensorial al medio continuo. Contenido:

1.1 Espacios vectoriales. Propiedades y operaciones. Base y base dual. Geometra diferencial. Operadores vectoriales.

1.2 Concepto de medio continuo. Ejemplos y aplicaciones.

2 Conceptos bsicos de anlisis vectorial y tensorial Objetivo: El alumno comprender los conceptos de tensor y lgebra tensorial a partir de los conocimientos de lgebra vectorial. El alumno se familiarizar con la notacin indicial. Conocer los conceptos de invariantes tensoriales, direcciones y valores principales de un tensor. Contenido:

2.1 Transformacin de coordenadas. Translaciones y rotaciones. 2.2 Definicin de tensor. Orden y rango. Notacin indicial. Representacin matricial de un tensor.

Operaciones y lgebra tensorial: adicin, multiplicacin escalar, producto, contraccin. Cambio de base. Tensores simtricos y antisimtricos. Ortogonalidad. Ejes principales y valores principales de tensores simtricos. Invariantes tensoriales.

2.3 Operadores diferenciales para tensores de segundo orden. Gradiente, divergencia y rotacional. Teoremas integrales: Green, Stokes y Gauss.

3 Esfuerzo Objetivo: El alumno desarrollar el concepto de tensor de esfuerzo y realizar un anlisis detallado del mismo. Contenido:

3.1 Vector esfuerzo. Fuerzas de volumen y fuerzas de superficie. 3.2 Tensor de esfuerzos. Representacin matricial. Esfuerzos normales y esfuerzos cortantes. Esfuerzos

principales y direcciones principales de esfuerzo. Invariantes del tensor de esfuerzos. 3.3 Estado de esfuerzo bidimensional (Esfuerzos en el plano). Esfuerzos normales y cortantes mximos 3.4 Ecuaciones de equilibrio y simetra del tensor de esfuerzos. 3.5 Descomposicin del vector esfuerzo en esfuerzos normales y cortantes (representacin de los

crculos de Mohr).

4 Deformacin y rapidez de deformacin Objetivo: El alumno obtendr los conocimientos bsicos de cinemtica del movimiento, tensor de deformaciones y tensor de rapidez de deformacin.


Contenido: 4.1 Coordenadas Materiales y coordenadas espaciales. Deformacin y gradiente de deformacin.

Deformaciones longitudinales y angulares. Rotacin de cuerpo rgido. Tensores de deformacin finita de Green, Lagrange, Cauchy y Euler. Tensor de rapidez de deformacin.

4.2 Cinemtica del movimiento. Sistemas de referencia Euler y de Lagrange. Concepto de derivada material o sustancial. Movimiento de un medio deformable. Rapideces de cambio. Tensores de Rivlin-Ericksen.

5 Ecuaciones generales de balance

Objetivo: El alumno establecer las ecuaciones generales de conservacin de masa, momentum lineal, momentum angular y energa en medios continuos. Contenido:

5.1 Masa y densidad. Ecuacin general de balance. Teorema de Transporte de Reynolds. 5.2 Ecuacin de conservacin de masa. Forma integral y forma diferencial. 5.3 Ecuaciones de conservacin de momentum lineal y momentum angular. Forma integral y

diferencial. 5.4 Ecuacin de balance de energa

6 Ecuaciones constitutivas simples, fluidos perfectos y fluidos viscosos Objetivo: El alumno aplicar los conocimientos adquiridos para el estudio de la dinmica de los fluidos ideales y de los fluidos viscosos. Contenido:

6.1 Ecuaciones constitutivas. Ejemplos principios de determinismo y accin local. Ecuaciones constitutivas lineales.

6.2 El fluido ideal. Ecuaciones de Euler. Flujo irrotacional. Ecuacin de Bernoulli. 6.3 El fluido viscoso incomprensible. Ecuaciones de Navier-Stokes y discusin de las mismas.

7 Teora lineal de la elasticidad, teora de la plasticidad Objetivo: El alumno aplicar los conocimientos adquiridos para el estudio de los slidos elsticos isotrpicos. Contenido:

7.1 Relacin entre el tensor de esfuerzo y el tensor de deformaciones infinitesimales. 7.2 Las ecuaciones de equilibrio como funcin del vector de los desplazamientos. 7.3 Ley de Hooke generalizada. Slidos elsticos 7.4 Constantes y mdulos elsticos 7.5 Ecuaciones fundamentales de la elasticidad lineal (ecuaciones de Navier) y discusin de las

mismas


Bibliografa bsica: MASE, G. T., MASE, G. E., Continuum Mechanics for Engineers 2nd edition C.R.C. Press, 1999 CHANDRASEKHARAIAH, D. S., DEBNATH, L. Continuum Mechanics Academic Press, 1994 Bibliografa complementaria: MALVERN, L. E. Introduction to the Mechanics of a Continuous Medium Prentice Hall, 1977 FUNG, Y. C. First Course in Continuum Mechanics 3rd edition Prentice Hall, 1993 GURTIN, M. E. An Introduction to Continuum Mechanics Academic Press, 1981 Sugerencias didcticas:

Exposicin oral X Lecturas obligatorias Exposicin audiovisual Trabajos de investigacin Ejercicios dentro de clase X Prcticas de taller o laboratorio Ejercicios fuera del aula Prcticas de campo Seminarios Otras

Forma de evaluar:



Perfil profesiogrfico de quienes pueden impartir la asignatura Preferentemente acadmico de la UNAM con rea de competencia y trabajo afn a la asignatura. Puede ser impartida por un profesor de asignatura con actividad profesional o acadmica directamente relacionada con el programa de la asignatura y con su aplicacin profesional.

Algebra tensorial

MEDIO CONTINUO

Molecular

Conforme aumenta la region en que se mide una propiedad de la sustancia, sus fluctuaciones en el tiempo se aproximan a un promedio efectivo util.

PROMEDIO EFECTIVO

MODELO DEL MEDIO CONTINUO

La Mecanica del Medio Continuo es un modelo matematico que unifica los analisis de Mecanica de Solidos y Mecanica de Fluidos.

El modelo retoma de la Ley 2 de Termodinamica la direccionalidad de los procesos.

NOTACION TENSORIAL

Sistema de ecuacionesMatrizVectores

Es un objeto matematico invariante a cambios en el marco de referencia del observador.

TENSOR

NOTACION INDICIAL

Orden 0: Magnitud escalar

Orden 1: Magnitud vectorial

Orden 2: Magnitud tensorial

Indice covariante y contravariante

Orden 3

La mecanica del medio continuo es un caso limite de la relatividad general.

CONVENCION DE SUMA DE EINSTEIN

Para un indice contravariante (asociado a una letra nucleo) que aparece solo 1 vez mas como indice covariante en el mismo termino, corresponde la suma implicita de los valores contenidos en el indice.

i: indice librej: indice de suma

PRODUCTO DE MATRICES

SISTEMA DE ECUACIONES

ESPACIO EUCLIDIANO

Es un espacio vectorial que tiene metrica y donde esta definido el producto punto entre sus vectores. Las premisas que los distingue de otros son:

1. La distancia mas corta entre 2 puntos es una recta unica.

2. La suma de los angulos internos de un triangulo es igual a .

La superficie de una esfera es un Espacio de Riemman (no Euclidiano) donde:

1. La distancia mas corta entre los polos no es una recta unica, sino curvas iguales infinitas.

2. La suma de los angulos internos de un triangulo es igual a 3/2.

ESPACIO DE RIEMANN

ESPACIO VECTORIAL

Algebra tensorial

SISTEMA DE COORDENADAS

Es un marco de referencia que asigna univocamente un conjunto de numeros a cada punto en el espacio.

SUPERFICIES COORDENADAS

Son superficies que definen un sistema de coordenadas.

CURVAS COORDENADASSon la interseccion de 2 superficies coordenadas.

PUNTO COORDENADO

Es la interseccion de 3 superficies coordenadas.

SUPERFICIES CURVILINEAS

Cada punto de un espacio euclidiano E3 definido en coordenadas cartesianas es tambien la interseccion de 3 superficies curvilineas unicas y no coincidentes (no degeneradas).

Algebra tensorial

TEOREMA DE LA FUNCION IMPLICITA

La transformacion de coordenadas inversa existe si el Jacobiano es diferente de cero, porque esto garantiza que las superficies coordenadas no son degeneradas.

TRANSFORMACION DE COORDENADAS

El sistema es positivamente orientado

El sistema es negativamente orientado

VECTORES BASE NATURALES

El conjunto base no es necesariamente constante, ortogonal o unitario. Solo debe ser linealmente independiente.

TRANSFORMACION DE BASE

TENSOR BASE

Determine los vectores base naturales del sistema de coordenadas cilindricas.

Para coordenadas esfericas:

METRICA

TENSOR METRICO

TENSOR METRICO FUNDAMENTAL

FACTOR DE ESCALA

Un sistema de coordenadas es ortogonal si:

DELTA DE KRONECKER

Es asociado como tensor identidad.

Calcule el tensor metrico fundamental del sistema de coordenadas esfericas.

Calcule la longitud de arco de una curva parametrica sobre una esfera de radio constante.

La rapidez de cambio de un punto a otro es:

La metrica del sistema curvilineo es:

La longitud de arco de la curva es:

Este es el inicio del calculo de geodesicas (las trayectorias con menor longitud de arco entre 2 puntos sobre la superficie de una esfera).

TENSOR RECIPROCO

Algebra tensorial

Algebra tensorial

Conocer la base reciproca facilita el calculo del producto punto para conocer el modulo de un vector.

VECTORES BASE RECIPROCOS

TENSOR RECIPROCO

Componentes contravariantes

Componentes covariantes

TENSOR TRANSPUESTO

SIMETRIA

Primero comprobamos que los vectores base son linealmente independientes:

Calcule la base reciproca del sistema de coordenadas definido por los vectores:

Tensor asimetrico

Tensor simetrico

Tensor antisimetrico

Todo tensor puede descomponerse en una parte simetrica otra antisimetrica.

Simetrico Antisimetrico

ORTOGONALIDAD

TRAZA DE UNA MATRIZ

Cancelacion de la convencion de suma

Algebra tensorial

PRODUCTO ESCALAR

PRODUCTO TENSORIAL

No conmutativo

Es un caso particular del producto tensorial.

El orden resultante es n1 + n2

PRODUCTO TENSORIAL

SUMA

T. de componente

T. de base

SUMA

PRODUCTO VECTORIAL

TENSOR DE LEVI - CIVITA

TENSOR DE PERMUTACION

-1, si el numero de permutaciones es impar

Es un tensor cuya respuesta depende del numero de permutaciones entre sus indices necesarias para llevarlos a una secuencia creciente 1, 2, 3...

Tiene 3 respuestas posibles:

0, si algun indice se repite

1, si el numero de permutaciones es par

PRODUCTO VECTORIAL

Algebra tensorial

El orden resultante es n1 + n2 - 1

PRODUCTO PUNTO

PRODUCTO PUNTO

Demostrar el teorema:

PRODUCTO PUNTO DOBLE

TENSOR IDENTIDAD

TRAZA

MODULO

ANALISIS DIMENSIONAL



Algebra tensorial

DIMENSIONES

El vector velocidad s tiene esta representacion tensorial en coordenadas cilindricas:

VECTOR BASE UNITARIO

componente fisico del vector velocidad

COMPONENTES FISICOS

COMPONENTE FISICO

REPRESENTACION MATRICIAL

SISTEMAS ORTOGONALES

Son escalares independientes del sistema de referencia que permiten identificar un tensor.

Algebra tensorial

INVARIANTES

EIGENVALORES Y EIGENVECTORES

ECUACION CARACTERISTICA

Los eigenvalores del tensor T son los valores de que dan solucion a la ecuacion caracteristica.

Los eigenvectores correspondientes a cada eigenvalor son linealmente independientes y conforman una base.

EIGENVALORES

EIGENVECTORES

TENSORES SIMETRICOS

Los eigenvalores (de un tensor simetrico de segundo orden) son numeros reales.

Los eigenvectores (de un tensor simetrico de segundo orden) correspondientes a diferentes eigenvalores son reales y mutuamente ortogonales.

Q es un tensor ortogonal que representa una rotacion local del marco de referencia.

Estructura cristalina

Se quiere estudiar el comportamiento de un cuerpo cuya estructura cristalina tiene un angulo de 60 entre sus caras.

SUPERFICIES COORDENADAS

Para x1 constante, es el plano rojo.

Para x2 es el plano violeta.

Para x3 es el plano azul.

TRANSFORMACIONES

JACOBIANO

VECTORES BASE NATURALES

VECTORES BASE RECIPROCOS

TENSOR METRICO

Sistema no ortogonal

VECTORES BASE UNITARIOS

SISTEMA DE COORDENADAS


El volumen del paralelepipedo es:

SIMBOLOS DE CHRISTOFFEL

Todos los simbolos son cero porque los vectores base son constantes en cada punto del espacio.


Se tiene un tensor T en terminos del sistema cartesiano:

TENSOR GENERICO


EIGENVECTORES

INVARIANTES

ECUACION CARACTERISTICA

EIGENVALORES

TENSOR CARTESIANO

Elementos de Mecnica del Medio Continuo Sem 2014-IISerie 1: lgebra Tensorial

Fecha de entrega: 25 de febrero.

1. Desarrolla las siguientes expresiones que estn en notacin indicial y despus escrbelas en notacindirecta. Indica de qu orden es el tensor que se tiene en cada una de las expresiones.

(a) ui vi

(b) ui vi wj gj

(c) Tij uj g

i

(d) %i j %jk %

kl

(e) E = fm Amm(f) Ri m = Pmj Qmji

(g) Rkl gkm gln

(h) Akl glm gkn

2. Se tienen los vectores u = 2 g^1 ! g^2 ! 2 g^3 y v = g^1 ! g^2 + g^3 en un sistema coordenado con elsiguiente tensor mtrico fundamental en un punto P

(gij) =

0@ 4 1 1=21 9=4 !1=41=2 !1=4 1=4

1A :Calcula la base recproca, los componentes covariantes de u y v, u " v, uv, u# v y kuvk : Con baseen la informacin proporcionada por el tensor mtrico, describe cmo es la base natural, realiza unbosquejo de ella, de la base recproca y de los vectores u y v.

3. Demuestra que la doble contraccin de la parte simtrica de un tensor con su parte antisimtrica esigual a cero, es decir, si

A =1

2

%A+AT

&+

1

2

%A!AT & = D+W

entoncesD : W = 0

4. En el punto en coordenadas polares cilndricas'x1 = 1=2; x2 = 1=3; x3 = 2

(se tiene el tensor

T = ! g^1 g^1 + 8 g^1 g^2 + 9 g^1 g^3 + g^2 g^1 ! 5 g^2 g^2 ! 3 g^2 g^3 + g^3 g^1 ! 5 g^3 g^2 ! 8 g^3 g^3Calcula los componentes fsicos y verica que los invariantes del tensor son los mismos en ambasrepresentaciones.

5. Comprueba que para el sistema de coordenadas esfricas se tiene que

g^1 (x) = 1 sinx2 cosx3 + 2 sinx2 sinx3 + 3 cosx2;g^2 (x) = 1 x1 cosx2 cosx3 + 2 x1 cosx2 sinx3 ! 3 x1 sinx2;g^3 (x) = !1 x1 sinx2 sinx3 + 2 x1 sinx2 cosx3:

1 = g^1 sinx2 cosx3 + g^2cosx2 cosx3

x1! g^3 cscx

2 sinx3

x1;

2 = g^1 sinx2 sinx3 + g^2cosx2 sinx3

x1+ g^3

cscx2 cosx3

x1;

3 = g^1 cosx2 ! g^2 sinx2

x1:

Calcula la mtrica del espacio, los vectores base recprocos, los vectores base unitarios y los componentesfsicos.

1

6. Una modicacin muy simple del sistema de coordenadas polares es la siguiente

z1 = a x1 cosx2 (1)

z1 = a x1 cosx2 (2)

z3 = x3 (3)

en donde a es una constante positiva. Calcula, para esta modicacin, si se trata de un sistema decoordenadas vlido, los vectores de la base natural y los vectores base recprocos, su tensor mtricofundamental y el recproco. Describe que caractersticas tiene este nuevo sistema de coordenadas y enque aplicaciones lo podras utilizar.

2

Serie 1

COMPONENTE CONTRAVARIANTE

DERIVACION

SIMBOLO DE CHRISTOFFEL

DERIVADAS PARCIALES

Vector de rapidez de cambio (analogo a la aceleracion centripeta)

Calculo tensorial

DERIVADA COVARIANTE

COMPONENTE COVARIANTE

TENSOR

PROPIEDADES

Es una generalizacion de la derivada parcial en coordenadas cartesianas a coordenadas curvilineas.

Calculo tensorial

TEOREMAS DE RICCI

DERIVADA CONTRAVARIANTE

TEOREMA DE GABITO

La derivada parcial de un tensor de orden 0, resultado de la contraccion de tensores de orden superior, es igual a la derivada covariante del mismo.

GRADIENTE

CAMPO ESCALAR

Sistema de coordenadas ortogonal

CAMPO VECTORIAL

CAMPO TENSORIAL

El orden resultante es n + 1

Para funciones continuas bien comportadas:

DIVERGENCIA

CAMPO VECTORIAL

Coordenadas cilindricas

El orden resultante es n - 1

CAMPO TENSORIAL

PROPIEDADES

TEOREMA DE LA DIVERGENCIA

Establece la relacion entre una integral de volumen y una integral de superficie.

Es la declaracion matematica del hecho fisico de que la densidad de fluido dentro de una region del espacio puede cambiar solo por un flujo (entrante o saliente) si no hay creacion ni destruccion de materia.

Calculo tensorial

Tensor de orden 1

Calculo tensorial

ROTACIONAL

CAMPO VECTORIAL

CAMPO TENSORIAL

El orden resultante es n

TEOREMA DE STOKES

Establece la relacion entre una integral de superficie y una integral de linea.

Flujo en un tubo debido a un gradiente de presion.

DIVERGENCIA

ROTACIONAL

LAPLACIANO

Coordenadas cartesianas

CAMPO ESCALAR

CAMPO VECTORIAL

Calculo tensorial

El orden resultante es n

PROPIEDADES

ECUACION DEL CALOR

RAPIDEZ DE CAMBIO CONVECTIVA

La derivada direccional es la proyeccion del campo en el campo de velocidad.

CAMPO ESCALAR

CAMPO VECTORIAL

La placa inferior de la figura se mueve con velocidad angular . Entre ellas se encuentra un fluido.

La divergencia del campo indica que no hay acumulacion de masa en el sistema entre las placas.

Coordenadas cilindricas

ANALISIS FISICO

Calculo tensorial

GRADIENTE

DIVERGENCIA

ROTACIONAL

El rotacional del campo indica la rotacion que sufre una particula en un punto dado del sistema entre las placas.

Elementos de Mecnica del Medio Continuo Sem 2014-IISerie 2: Clculo Tensorial

Fecha de entrega: 18 de marzo de 2014.

1. Los smbolos de Christoel de segundo tipo tambin se pueden calcular utilizando la siguiente ecuacin!l

i j

"=

1

2gkl

#@gkj@xi

+@gik@xj

! @gij@xk

$: (1)

Calcula los smbolos de Christoel que son diferentes de cero para el sistema de coordenadas esfricascon la ecuacin anterior !

1

2 2

"= !x1 = !r; (2)!

1

3 3

"= !x1 sin2 x2 = !r sin2 *; (3)!

2

3 3

"= ! sinx2 cosx2 = ! sin * cos *; (4)!

2

1 2

"=

!2

2 1

"=

1

x1=

1

r; (5)!

3

1 3

"=

!3

3 1

"=

1

x1=

1

r; (6)!

3

2 3

"=

!3

3 2

"= cotx2 = cot *; (7)

!i

mk

"= 0 para todos los dems (8)

y comprueba que se obtienen los mismos resultados que se obtienen con la ecuacin!l

i j

"=

@ xl

@zm@2zm

@xi @xj: (9)

Discute los casos en que usaras cada una de estos mtodos.

1. Calcula las derivadas parciales de los vectores base del sistema de coordenadas polares cilndricas

@ e^i@xk

:

2. Demuestra que el operador nabla en coordenadas polares cilndricas queda como

r = e^r @@r

+e^'r

@

@*+ e^z

@

@z;

cuando se expresa en trminos de los vectores unitarios.

3. Utilizando los resultados de los dos ejercicios anteriores, calcula que el gradiente de un campo vectorialu = ur e^r + u' e^' + uz e^z en trminos de sus componentes fsicos en coordenadas polares cilndricas es

ru =24 @ur@r @u"@r @uz@r1

r

'@ur@' ! u'

(1r

'@u"@' + ur

(1r@uz@'

@ur@z

@u"@z

@uz@z

35 :De forma similar se puede generalizar el operador nabla para la divergencia y el rotacional. Plantealas generalizaciones y comprubalas para el caso de campos vectoriales.

1

4. La velocidad del campo de ujo estacionario generado entre dos cilindros concntricos que se muevencon velocidad angular constante es

v =

#r0 !0

r1=r ! r=r1r1=r0 ! r0=r1 + r1 !1

r=r0 ! r0=rr1=r0 ! r0=r1

$e^':

en donde el cilindro interior tiene un radio r0, y velocidad angular !0, mientras que el cilindro exteriortiene un radio r1, y velocidad angular !1. Calcula el gradiente, la magnitud del gradiente, la divergen-cia, el rotacional y la rapidez de cambio convectiva en componentes tensoriales y componentes fsicos,e interpreta el signicado fsico de lo que calculaste para ese campo de ujo.

5. El campo de velocidad alrededor de un esfera es

v = !U1 cos *#1! 3R

2r+

R3

2r3

$e^r + U1 sin *

#1! 3R

4r! R

3

4r3

$e^' (10)

en donde R es el radio de la esfera, U1 es la magnitud del campo de velocidad lejos de la esfera queviene en direccin negativa del eje z3 cartesiano. Calcula el gradiente, la divergencia, el rotacional y larapidez de cambio convectiva e interpreta el signicado fsico de lo que calculaste para ese campo deujo.

6. Demuestra las siguientes identidades vectoriales utilizando notacin indicial

(a) r # (3rv) = 3r2v+r3 # rv(b) 12r (v # v)! v $ (r$ v) = v #rv(c) r$ (r$ v) =r (r # v)!r2v

2

Serie 2

Examen 1

Calcula el gradiente, divergencia, rotacional y la rapidez convectiva de cambio del campo v, dado en coordenadas polares cilindricas en componentes tensoriales.

Calcula los invariantes del tensor H ubicado en el punto P de coordenadas polares cilindricas.

Examen 1

Se tienen los vectores u y v en un sistema coordenado con tensor metrico g. Calcula la base reciproca y los componentes covariantes de u y v, uv, vu, vxu y |uv|

FUERZA

Es una generalizacion de la fuerza. Puede ser de distintos tipos.

Las fuerzas pueden ser de distintos tipos:

- Mecanico- Electromagnetico- Termico- Quimico- Nuclear

CARGA

CARGA DE SUPERFICIE

(Tension superficial, presion hidrostatica)

Se ejerce sobre la superficie de 2 cuerpos en contacto fisico.

CARGA DE VOLUMEN

Se ejerce sobre todas las particulas de 2 cuerpos sin contacto fisico.

(Gravedad, electromagnetismo, inercia)

CARGA PUNTUAL

Se ejerce sobre el volumen diferencial de un cuerpo.

(Fuerza puntual, explosion, punta de grieta)

BALANCE DE FUERZAS

BALANCE DE MOMENTOS

Equilibrio dinamico:

Cantidad de movimiento:

Es la intensidad de una fuerza en el interior o en la frontera de un cuerpo sujeto a cargas.

VECTOR DE TENSION

Tension

TENSION

VECTOR DE TENSION

Es la intensidad de fuerza aplicada en el diferencial de area con vector normal n.

TEOREMA DE LA RECUPERACION

TENSOR DE TENSION

Para un volumen diferencial en coordenadas cilindricas:

TENSOR DE TENSION

Para el volumen diferencial de un sistema curvilineo:

Es la transformacion lineal que relaciona el vector de tension con el vector normal al plano del mismo.

SISTEMAS ORTOGONALES

Para un volumen diferencial en coordenadas cartesianas:

SISTEMAS CURVILINEOS

Tension

Tensiones normalesTensiones tangenciales

TENSION NORMAL

TENSIONCOMPRESION

TENSION TANGENCIAL

Tension

TENSIONES TANGENCIALES MAXIMAS

Para un sistema de coordenadas ortonormal, las tensiones normales son:

Componentes fisicos del vector unitario Las tensiones tangenciales maximas se localizan en la direccion de los vectores n1, n2 y n3.

Los componentes de los vectores normales en que estan las tensiones tangenciales maximas son planos a 45 de cada par de direcciones principales.

Para una probeta se emplean coordenadas cartesianas:

Para un tubo con un fluido estatico se emplean coordenadas cilindricas:

El plano de corte para n2 es un cono (superficie de revolucion)

TENSOR DIAGONALIZADOR

Los eigenvectores conforman una base y son ortonormales.

Sistema linealmente dependiente

EIGENVALORES

Esfuerzos principales

Direcciones principales

Tension

TENSIONES OCTAEDRICAS

El plano octaedrico es aquel en que coincide el esfuerzo medio con su vector normal.

TENSION NORMAL OCTAEDRICA

TENSION TANGENCIAL OCTAEDRICA

Los componentes de la tension tangencial del tensor deviatorio son relevantes porque la cedencia de un material solido depende de la tension tangencial maxima que puede soportar.

DESCOMPOSICION DE TENSIONES

TENSION NORMAL MEDIA

TENSOR DE TENSION ESFERICO

Eigenvalores:

El estado de tension esferico tiene todas las tensiones normales iguales.

Para una rotacion cualquiera, el vector de tension esferico es una esfera invariante:

Es llamado esfuerzo hidrostatico porque la presion sobre la esfera es igual en toda su superficie.

Las tensiones deviatorias principales son los eigenvalores de S.

TENSOR DE ESFUERZOS DEVIATORIO

El vector v rota un angulo

TENSOR DE TENSIONES DIAGONALIZADO

El vector v y el sistema de referencia rotan un angulo

Tension

Elementos de Mecnica del Medio ContinuoSerie Esfuerzos.

Fecha de entrga: 29 de abril de 2014, antes del examen

Esfuerzos cortantes mximos

Un vector de esfuerzos t(n) relativo a un plano con vector normal unitario n, se puede descom-poner en sus componentes normal y tangencial a dicho plano, de forma que el componentenormal es

!N = (n !T) ! n " t(n) ! n (1)y el componente tangencial !S es

!2S = t(n) ! t(n) # !2N ; (2)

en donde se ha utilizado el teorema de Pitgoras para realizar la descomposicin en compo-nentes. De forma equivalente, ese componente se puede calcular de la siguiente forma

!S =!!(1# nn) ! t(n)!! : (3)

Si consideramos el tensor de esfuerzos evaluado en ese punto p representado en un sistemaortonormal, podemos representar en trminos de sus componentes fsicos, y podemos di-agonalizar el tensor. Considerando los valores principales del tensor de esfuerzos, !i, yordenndolos de tal forma que !1 > !2 > !3; el vector de esfuerzos con respecto al tensor deesfuerzos diagonalizado queda como

t(n) = !1 n(1)e^1 + !2 n

(2)e^2 + !3 n(3)e^3; (4)

en donde el vector unitario n est expresado en trminos de sus componentes fsicos. Calcu-lando el componente normal del vector de esfuerzos

!N = t(n) ! n = !1"n(1)

#2+ !2

"n(2)

#2+ !3

"n(3)

#2(5)

y la magnitud al cuadrado de dicho vector es

t(n) ! t(n) = !21"n(1)

#2+ !22

"n(2)

#2+ !23

"n(3)

#2: (6)

Ahora, para calcular el componente cortante, sustitumos los correspondientes trminos enla ecuacin 2 y obtenemos los siguiente

!2S = !21

"n(1)

#2+ !22

"n(2)

#2+ !23

"n(3)

#2 # $!1 "n(1)#2 + !2 "n(2)#2 + !3 "n(3)#2%2 : (7)Adicionalmente, como n es un vector unitario, se tiene que n(1) n(1)+n(2) n(2)+n(3) n(3) = 1;de tal forma que podemos despejar uno de sus componentes y dejarlo referido a los otrosdos, as que, por ejemplo, podemos despejar el componente n(3) de tal forma que"

n(3)#2

= 1# "n(1)#2 # "n(2)#2 (8)1

y entonces sustituyendo esta relacin en 7, obtenemos que

!2S = !21

"n(1)

#2+ !22

"n(2)

#2+ !23

$1# "n(1)#2 # "n(2)#2%

#$!1

"n(1)

#2+ !2

"n(2)

#2+ !3

$1# "n(1)#2 # "n(2)#2%%2 (9)

y reacomodando

!2S ="!21 # !23

# "n(1)

#2+"!22 # !23

# "n(2)

#2+ !23

#$(!1 # !3)

"n(1)

#2+ (!2 # !3)

"n(2)

#2+ !3

%2(10)

Los valores mximos de !2S se obtienen resolviendo el sistema de ecuaciones generado a partirde las derivadas de !2S con respecto a n

(1) y n(2) igualadas a cero

@!2S@n(1)

= 2"!21 # !23

#n(1) # 4 "(!1 # !3)n(1)#$$

(!1 # !3)"n(1)

#2+ (!2 # !3)

"n(2)

#2+ !3

%(11)

y simplicando un poco ms

@!2S@n(1)

= 2n(1) (!1 # !3)h(!1 + !3)# 2

$(!1 # !3)

"n(1)

#2+ (!2 # !3)

"n(2)

#2+ !3

%i(12)

entonces

2n(1) (!1 # !3)h(!1 # !3)# 2

$(!1 # !3)

"n(1)

#2+ (!2 # !3)

"n(2)

#2%i= 0 (13)

Para obtener las races de n(1) de la ecuacin anterior se tiene que

n(1) = 0; (14)

y adems que

(!1 # !3)# 2$(!1 # !3)

"n(1)

#2+ (!2 # !3)

"n(2)

#2%= 0 (15)

de la cual se obtiene

n(1) = %s

1

2# (!2 # !3)

(!1 # !3) (n(2))

2: (16)

Para n(2) seguimos un procedimiento similar, y entonces se tiene

@!2S@n(2)

= 2"!22 # !23

#n(2) # 4 "(!2 # !3)n(2)#$$

(!1 # !3)"n(1)

#2+ (!2 # !3)

"n(2)

#2+ !3

%(17)

2

@!2S@n(2)

= 2 (!2 # !3) n(2) [(!2 + !3)

#2$(!1 # !3)

"n(1)

#2+ (!2 # !3)

"n(2)

#2+ !3

%i(18)

2 (!2 # !3) n(2)h(!2 # !3)# 2

$(!1 # !3)

"n(1)

#2+ (!2 # !3)

"n(2)

#2%i= 0: (19)

Para obtener las races de n(1) de la ecuacin anterior se tiene que

n(2) = 0: (20)

y adems que

(!2 # !3)# 2$(!1 # !3)

"n(1)

#2+ (!2 # !3)

"n(2)

#2%= 0 (21)

de donde se obtiene

n(2) = %s

1

2# (!1 # !3)

(!2 # !3) (n(1))

2:

Desarrolla el caso en donde se utilice"n(2)

#2= 1# "n(1)#2# "n(3)#2 o "n(2)#2 = 1# "n(1)#2#"

n(3)#2

sustitudo en la Ec. 7, realiza un procedimieto similar al anterior, y comprueba quese llega a las siguientes soluciones para el componente n(3)

n(3) = 0; (22)

n(3) = %s

1

2# (!1 # !2)

(!3 # !2) (n(1))

2; (23)

n(3) = %s

1

2# (!2 # !1)

(!3 # !1) (n(2))

2: (24)

Foinalmente, los vectores normales a los planos en donde se encuentran los valores del esfuerzocortante mximo son los siguientes

n(1) = 0; n(2) = %r

1

2; n(3) = %

r1

2: !S =

****12 (!2 # !3)**** (25)

n(1) = %r

1

2; n(2) = 0; n(3) = %

r1

2: !S =

****12 (!1 # !3)**** (26)

n(1) = %r

1

2; n(2) = %

r1

2; n(3) = 0 : !S =

****12 (!1 # !2)**** (27)

y en el caso en donde los esfuerzos principales se han colocado en el orden !1 > !2 > !3, elesfuerzo cortante mximo es

!S max =

****12 (!1 # !3)**** : (28)

Observa que los valores de los componentes de los vectores normales en donde se tienenesfuerzos cortantes mximos corresponden a planos que se encuentran a 45 ! de cada par dedirecciones principales.

3

1. Calcula para los siguientes tensores de esfuerzos evaluados en un punto p; los inva-riantes, los esfuerzos principales, las direcciones principales, el tensor de rotacin, losesfuerzos cortantes mximos y sus direcciones, el tensor deviatorio, el tensor esfrico,y el esfuerzo cortante octadrico (estos ltimos tres conceptos los puedes revisar en lasnotas).

(a) T =

24 5 2 #22 3 2#2 2 #1

35,(b) T =

24 2 1 11 2 11 1 2

35,2. El estado de esfuerzos en un cuerpo elstico en coordenadas cartesianas es

T =

24 (1# x2) y + y2 #x (5# y2) 0#x (5# y2) (y3 # 2y) 00 0 # (3# x2) y

35 :(a) Calcula el vector de esfuerzos en el punto P (5;#2; 4) del plano 3x+6y+2z = 11.(b) Calcula los invariantes, los esfuerzos principales, las direcciones principales, los

esfuerzos cortantes mximos y sus direcciones.

(c) Demuestra que para el tensor ortogonal

Q =

24 n^1n^2n^3

35 ;el producto Q !T !QT da el tensor de esfuerzos diagonalizado

(d) Calcula la divergencia del tensor.

3. El siguiente tensor de esfuerzos para un cilindro est dado en coordenadas polarescilndricas

T = T ij g^i g^j = # g^2 g^3 # g^3 g^2 + x1"sin x2 + cosx2

#g^3 g^3

(a) Calcula los invariantes, los esfuerzos principales, los esfuerzos cortantes mximos,el tensor deviatorio, el tensor esfrico, y el esfuerzo cortante octadrico.

(b) Calcula r !T y r$T(c) Calcula el vector de esfuerzos en los planos con vector normal n1 = e^z, n2 = e^',

n3 = (e^' + e^z) =p2, n4 = (e^r + e^z) =

p2, n5 = (e^r + e^') =

p2, n6 = (e^r + e^' + e^z) =

p3.

Calcula el componente normal y cortante.

4

(d) Los eigenvectores del tensor son los siguientes

n^1 = g^1;

n^2 =(F +H) g^2 + 2 x

1 g^3

x1q

4 + (F +H)2;

n^3 =(F #H) g^2 + 2 x1 g^3x1q

4 + (F #H)2;

donde

F = sin x2 + cosx2;

H =pF 2 + 4:

Demuestra que nî !T = !inî y que los esfuerzos cortantes mximos1

2j!i # !jj = k(1# nn) ! (n !T)k (29)

en donde n =q

12nî +

q12n^j

(e) Demuestra que el tensor de esfuerzos cartesiano

T =

24 0 0 C z20 0 #C z1C z2 #C z1 Az2 +B z1

35es el mismo que el que est expresado en coordenadas polares cilndricas.

(f) Demuestra que para ambos casos el vector de esfuerzos que se tiene sobre lasupercie de un cilindro vertical de radio arbitrario es nulo.

4. Demuestra que el esfuerzo octadrico

!oct =1

3

q(S1 # S2)2 + (S2 # S3)2 + (S3 # S1)2

es equivalente a

!2oct =

rS1

2 + S22 + S3

2

3=

r#23IIS

5. Demuestra que !S =!!(1# nn) !t(n)!! : Explica grcamente cmo es que esta op-

eracin da el componente cortante del vector de esfuerzos.

6. Investiga qu es el crculo de Mohr, explica cmo se relaciona con los temas que hemosvisto y cules son las ventajas y desventajas de los dos mtodos.

7. Investiga qu son los criterios de cedencia de Tresca y de von Mises y cmo se relacionancon los esfuerzos deviatorios y octadricos.

5

ESTADO DE REFERENCIA

La particula material se etiqueta con las coordenadas materiales (de Lagrange) de su posicion:

Cuerpo inicial

DEFORMACION

ESTADO DEFORMADO

Cuerpo deformado

La particula material se etiqueta con las coordenadas espaciales (de Euler) de su posicion:

COORDENADAS MATERIALES

Vector constante

Deformacion

VECTOR DE POSICION

COORDENADAS ESPACIALES

CAMPO DE DESPLAZAMIENTO

METODO DE LAGRANGE

Se estudia el movimiento individual de las particulas materiales.

METODO DE EULER

Se estudian los campos fisicos de interes en las posiciones espaciales individuales, sin importar las particulas que alcanzan esas posiciones.

Vector de desplazamiento

Es el modelo matematico que describe la trayectoria del transito de la particula entre el estado de referencia y el estado deformado.

CINEMATICA DE LA PARTICULA

El estado de referencia para este modelo es:

ECUACION DE MOVIMIENTO

El estado de referencia para este modelo es:


La ecuacion de movimiento debe ser una funcion continua y biyectiva.

Al ser biyectiva se garantiza que la particula no puede tomar mas de 1 trayectoria simultanea durante el fenomeno,

PRINCIPIO DE LA IMPENETRABILIDAD

ECUACION DE MOVIMIENTO INVERSA

Sus componentes son las coordenadas de los puntos por los que se desplaza la particula material, por lo que no es un vector asociado a la base.



2 placas planas paralelas se desplazan y crean un campo de velocidad. La figura muestra un estado estacionario de las placas:

CONDICIONES DE FRONTERA

Deformacion

TENSOR GRADIENTE DE DEFORMACION

Es la matriz jacobiana de la transformacion entre el estado de referencia y el estado deformado.

K: Conjunto de puntos del espacio ocupados por el solido en el estado inicial.K': Conjunto de puntos del espacio ocupados por el solido en el estado deformado.

VECTORES DE DEFORMACION

COORDENADAS MATERIALES COORDENADAS ESPACIALES

TENSORES DE DEFORMACION

DEFORMACION

Es el cambio de distancia y angulo entre las particulas de un medio continuo.

No hay deformacion entre los puntos P y Q

Si hay deformacion entre los puntos P y Q

TENSOR DE DEFORMACION

Es un tensor simetrico que describe la deformacion en un punto P del cuerpo.

La deformacion de cuerpos tridimensionales se representa por un campo tensorial.

Deformaciones axiales

Deformaciones angulares

Deformacion

Este termino cuadratico le da al modelo de deformacion soluciones no lineales.

TENSOR DE DEFORMACION DE GREEN TENSOR DE DEFORMACION DE CAUCHY

Este termino cuadratico le da al modelo de deformacion soluciones no lineales.

TENSORES FINITOS DE DEFORMACION

Deformacion

TENSOR DE DEFORMACION DE LAGRANGE TENSOR DE DEFORMACION DE EULER

Estado de referencia

Deformacion lineal

Deformacion no lineal

Para una deformacion infinitesimal:

TENSORES INFINITESIMALES DE DEFORMACION

Medida de Cauchy

Medida de Swainger

PLASTICIDAD

Medida de Hencky

ELASTICIDAD NO LINEAL

Medida de Green

Medida de Almansi

ELASTICIDAD LINEAL

Deformacion

El pseudo-tensor de rotacion describe la rotacion de cuerpo rigido del cuerpo.

El tensor de deformacion de Euler describe la deformacion lineal del cuerpo.

VECTOR DE ROTACION

Eigenvalores de e

Deformacion principal

Eigenvectores de e

Direcciones principales (base ortonormal)

GRADIENTE DE DESPLAZAMIENTO

Deformacion

Rapidez de cambio local

Rapidez de cambio convectiva

Las propiedades de la derivada material son iguales a las de la derivada.

COORDENADAS MATERIALES

COORDENADAS ESPACIALES

Se forma un sistema de ecuaciones

Se forma un sistema de ecuaciones no lineal

VELOCIDAD Y ACELERACIONDIFERENCIACION TEMPORAL

Es la rapidez de cambio temporal de un campo fisico evaluada en un punto material X.

DERIVADA MATERIAL

Es la rapidez de cambio temporal a lo largo de la trayectoria de una particula material en un campo de coordenadas espaciales.

Deformacion

Tensor de rapidez de deformacion

Pseudo-tensor de vorticidad

Es un modelo valido para casos lineales y no lineales.

VECTOR DE VORTICIDAD

RAPIDEZ DE CORTE

Esta relacionado con la intensidad de la rapidez de deformacion.

INCOMPRESIBILIDAD

Un medio continuo es incompresible cuando el primer invariante de D es 0.

RAPIDEZ DE DEFORMACION

GRADIENTE DE VELOCIDAD

Representa la velocidad angular generada por gradientes del campo velocidad en un punto.

Deformacion

Determine el campo de velocidad para el campo de desplazamiento en coordenadas cilindricas:

CAMPO DE VELOCIDAD

Deformacion

Elementos de mecnica del medio continuoSerie Cinemtica de la Deformacin

Fecha de entrega: 3 de abril

1. Para la siguiente ecuacin de movimiento de un medio continuo (en coordenadas carte-sianas)

z1 = Z1 cosh t+ Z2 sinh t

z2 = Z1 sinh t+ Z2 cosh t (1)

z3 = Z3!1 + 1

3sin (2 $ t)

"(a) Demuestra que es una ecuacin de movimiento vlida y calcula la ecuacin de

movimiento inverso. Realiza un bosquejo de lo que representa dicha ecuacin.

(b) Calcula el tensor gradiente de deformacin y el tensor gradiente de deformacininverso.

(c) Calcula los vectores de deformacin CK y ck usando el resultado del inciso ante-rior, y calcula los tensores de deformacin de Green y de Cauchy.

(d) Calcula el campo de desplazamiento tanto en coordenadas materiales como es-paciales y calcula los tensores de deformacin de Green y de Cauchy usando elcampo de desplazamiento y comprueba que el resultado es el mismo que el incisoanterior.

(e) Calcula los tensores de deformacin lagrangiano y euleriano.

(f) Calcula ds2 ! dS2:(g) Calcula los eigenvalores y eigenvectores de los tensores de deformacin y da la

interpretacin fsica de lo que obtienes.

(h) Calcula el campo de velocidad y de aceleracin en trminos de las coordenadasmateriales.

(i) Utilizando la ecuacin de movimiento inverso expresa el campo de velocidad y deaceleracin en trminos de las coordenadas espaciales.

(j) Calcula el campo de velocidad y de aceleracin a partir del campo de desplaza-miento expresado en coordenadas espaciales.

(k) Calcula rv; r # v, r$ v:(l) Calcula D yW.

2. El campo de desplazamiento correspondiente al generado por platos circulares paralelosde radio R separados una distancia H en donde el plato superior est girando a lavelocidad angular - y el inferior est esttico, en componentes fsicos y coordenadaspolares cilndricas, es el siguiente

ur = r#1! cos

#- t

z

H

$$;

u$ = r sin#- t

z

H

$;

uz = 0;

1

en donde 0 % r % R; 0 % z % H; y 0 % t < 1: (R, - y H son cantidades con-stantes).Calcula:

(a) el tensor de deformacin de Cauchy,

(b) el tensor de deformacin euleriano,

(c) ds2 ! dS2,(d) el campo de velocidad,

(e) la aceleracin,

(f) el tensor de rapidez de deformacin,

(g) el tensor de vorticidad,

(h) la compresibilidad del medio (la divergencia del campo de velocidad),

(i) el vector de vorticidad (rotacional del campo de velocidad),

(j) las deformaciones principales y sus direcciones (eigenvalores y eigenvectores, si tecuesta trabajo hacerlo de forma analtica, da valores numricos a las constantesy escoge un punto dentro del campo), y

(k) las rapideces de deformacin principales y sus direcciones.Interpreta fsicamente los resultados que obtienes.

3. La siguiente ecuacin de movimiento es la correspondiente al movimiento generado porplatos circulares paralelos en coordenadas polares cilndricas del problema anterior

x1 = X1;

x2 = X2 + - tX3

H;

x3 = X3;

Comprueba que efectivamente el campo de desplazamiento del ejercicio 2 se obtiene deesta ecuacin de movimiento. (Tip. Utiliza el concepto del vector delta de posicin delos apndices).

4. Investiga cmo se obtienen las ecuaciones para calcular el cambio en el ngulo, el reay el volumen durante un proceso de deformacin de un medio continuo.

2

Serie 3

JACOBIANO


BOSQUEJOECUACION DE MOVIMIENTO

CAMPO DE DESPLAZAMIENTO

TENSOR GRADIENTE DE DEFORMACION

TENSOR GRADIENTE DE DEFORMACION INVERSO

VECTORES DE DEFORMACION

TENSOR DE DEFORMACION DE GREEN

Serie 3

TENSOR DE DEFORMACION DE LAGRANGE

TENSOR DE DEFORMACION DE CAUCHY

TENSOR DE DEFORMACION DE EULER

Serie 3

DEFORMACION

EIGENVALORES

El sistema es linealmente dependiente.

CAMPO DE VELOCIDADEIGENVECTORES

Serie 3

CAMPO DE ACELERACION

Examen 2

1. El estado de esfuerzos en un cuerpo en coordenadas cartesianas es:

(a) Calcula las fuerzas de cuerpo para que se cumpla la ecuacion de la elastoestatica:

(b) Calcula el vector de esfuerzos, su componente normal y su componente cortante, en el punto P(-1, 2, 3) del plano -2x +4y +3z = cte.

(c) Calcula para el mismo punto los esfuerzos principales, las direcciones principales, los esfuerzos cortantes maximos y sus planos, el esfuerzo normal en esos planos, el esfuerzo cortante octaedrico y su plano, y explica cual es el significado fisico de cada uno de ellos.

Ecuacion caracteristica:

Las tensiones principales asociadas a las direcciones principales son:

Las direcciones principales del tensor de tensiones T en el punto P son:

Las tensiones tangenciales maximas son:

Los planos de las tensiones tangenciales maximas y sus vectores normales son:

Las tensiones normales en dichos planos de tension tangencial maxima son:

La tension tangencial octaedrica corresponde al plano en que coincide la tension media con su vector normal:

2. El campo de flujo generado entre 2 cilindros concentricos por la velocidad angular estacionaria de uno o ambos de ellos es:

donde el cilindro interno tiene radio r0 y el cilindro externo tiene radio r1. Calcula la compresibilidad, vorticidad, aceleracion, tensor D, las rapideces de deformacion principales y sus direcciones. Realiza un bosquejo del campo de velocidad y explica en este el significado fisico de lo calculado.

Examen 2

Examen 2

La compresibilidad del campo de flujo es:

El vector de vorticidad es:

El campo de aceleracion es:

Examen 2

3. La distribucion de esfuerzos de un cilindro hueco con radio interno r0 y radio externo r1 es:

y cero para los otros componentes.

(a) Calcula el vector de esfuerzos en las superficies interior y exterior del cilindro.

(b) Calcula las fuerzas de cuerpo que satisfacen la ecuacion de equilibrio de la elastoestatica.

(c) Calcula la localizacion del esfuerzo cortante maximo y su plano.

(d) Calcula el esfuerzo cortante octaedrico y la posicion de los valores maximos y minimos del tensor de esfuerzos.

La superficie de tension tangencial maxima es un cono con angulo de 45.

Ecuaciones generales de balance

- Conservacion de la masa

Son modelos matematicos que describen el comportamiento de la totalidad de un cuerpo.

- Conservacion del movimiento

- Conservacion del momento de movimiento

- Conservacion de la energia

- Desigualdad de la entropia

TEOREMA DEL TRANSPORTE DE REYNOLDS

AXIOMA DE LA LOCALIDAD

Si se divide el sistema en subconjuntos, todos deben cumplir la ecuacion de conservacion.

Si un subconjunto del sistema no cumple la ecuacion de conservacion, presenta creacion o destruccion de la propiedad del campo.

ECUACIONES DE BALANCERelaciona la tasa de cambio en el tiempo de una propiedad extensiva H con la generacion y el flujo de la propiedad intensiva correspondiente , relacionadas por la ecuacion:

Rapidez de cambio local del campo

Flujo del campo

Las formas integrales de la ecuacion de conservacion de la masa son:

Las formas diferenciales son:

Para un fluido incompresible:

CONSERVACION DE LA MASA

TEOREMA DEL VALOR MEDIO

El Teorema del Valor Medio nos permite simplificar el modelo de gasto masico, perdiendo la informacion de los picos de ruido.

CONSERVACION DEL MOVIMIENTO


Ecuacion de equilibrio de la elastoestatica

Es la Segunda Ley de Newton para un medio continuo. La rapidez de cambio del movimiento es:

PRIMERA LEY DEL MOVIMIENTO DE CAUCHY


CONSERVACION DEL MOMENTO DE MOVIMIENTO

La rapidez de cambio del momento de movimiento es:

Momento de las cargas de a

Momento de las cargas de v

El tensor de tensiones T debe ser simetrico para cumplir la conservacion del momento de movimiento.

Segunda ley del movimiento de Cauchy

Los ferrofluidos y los cristales liquidos son excepciones a la segunda ley.

SEGUNDA LEY DEL MOVIMIENTO DE CAUCHY

CONSERVACION DE LA ENERGIA


La rapidez de cambio de la energia total del cuerpo es:

Fuentes internas de calor (reacciones quimicas, radiacion)

Pseudotensor


ENERGIA LIBRE DE HELMHOLTZ

Es la energia que se puede convertir en trabajo util en un sistema cerrado.

DESIGUALDAD DE CLAUSIUS-DUHEM

Es la desigualdad de la entropia aplicada a un medio continuo.

DESIGUALDAD DE LA ENTROPIA

entropia especifica

La rapidez de cambio de la entropia total de un cuerpo es:

Flujo de entropia

El flujo de calor siempre es en sentido contrario al gradiente de temperatura

RELACIONES DE GIBBS

Sistema cerrado

Sistema abierto

La desigualdad de la entropia indica el sentido de los procesos.


La ecuacion de conservacion de la energia establece el equivalente mecanico de la energia termodinamica.

Es la rapidez del trabajo de compresion de un medio continuo

Para un sistema abierto:

Para el primer experimento de Joule:

Para un sistema cerrado:

ENERGIA LIBRE DE GIBBS

Es la energia que se puede convertir en trabajo util en un sistema abierto.

SISTEMA ABIERTO

Ecuaciones de constitucion

Deben establecerse las causas relevantes de un fenomeno de interes.

Todos los funcionales deben depender de las mismas causas para cumplir las ecuaciones de conservacion.

La respuesta de una particula de interes del continuo depende de la respuesta del resto de las particulas y de la historia pasada de eventos (no puede saberse con antelacion).

Posicion del resto de particulas del continuo

Posicion de una particula de interes

Historia del continuo

AXIOMAS DE CONSTITUCION

CAUSALIDAD

EQUIPRESENCIA

DETERMINISMO

LOCALIDAD

Para materiales con una microestructura simple, la respuesta de una particula depende solo de la contribucion de las primeras particulas inmediatas.

Para un sistema unidimensional discreto:

Expansion en series de Taylor:

ECUACION DE CONSTITUCION

Es el modelo que describe el efecto macroscopico de las interacciones microscopicas de un material sometido a fenomenos externos.

Las

medio continuo

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