mef - problemas planos

8/16/2019 MEF - Problemas Planos

1/51

INTRODUCCIÓN AL MÉTODO DE LOSELEMENTOS FINITOS EN EL MEDIO

CONTINUO

Inés Peñuelas Sá[email protected]

Dpto. de Construcción eIngeniería de Fabricación

Problemas Planos


2/51

I n t r o d u c c i ó n a l M E F

PROBLEMAS PLANOS

1. Problemas planos: Tensión plana, deformación plana

2. Formulación matricial

3. Elemento triangular de 3 nodos

4. Elemento cuadrilátero de 4 nodos

5. Integración numérica


PROBLEMAS PLANOS







3/51


PROBLEMAS PLANOS

x1

x2

x3

h,L

Si L es muy grande DEFORMACIÓN PLANA

Si h es muy pequeña TENSIÓN PLANA

h

L



PROBLEMAS PLANOS




x1

x2

x3

h,L

x1

x2Modelo bidimensional


4/51


PROBLEMAS PLANOS




x1

x2

x3

h,L

x1


Incógnitas:

Desplazamientos

1 1 2 2 1 2( , ); ( , )u x x u x x

( , )

( , )

u x y

v x y

=

u


PROBLEMAS PLANOS




x1

x2

x3

h,L

x1


Incógnitas:

Desplazamientos

1 1 2 2 1 2( , ); ( , )u x x u x x

( , )

( , )

u x y

v x y

=

u

Deformaciones

11 22 12; ;ε ε ε

( )

13 23

33

33 11 22

0

0

1

ε ε

ε

ν ε ε ε

ν

= =

=

= − +

−

D.P

( )T

x y xyε ε γ =ε

T.P


5/51


PROBLEMAS PLANOS




x1

x2

x3

h,L

x1


Incógnitas:

Desplazamientos

1 1 2 2 1 2( , ); ( , )u x x u x x

( , )

( , )

u x y

v x y

=

u

Deformaciones

11 22 12; ;ε ε ε

( )

13 23

33

33 11 22

0

0

1

ε ε

ε

ν ε ε ε

ν

= =

=

= − +−

D.P

( )T

x y xyε ε γ =ε

T.P

Tensiones

11 22 12; ;σ σ σ

( )

13 23

33

33 11 22

0

0

σ σ

σ

σ ν σ σ

= =

=

= +

( )T

x y xyσ σ σ =σ

D.P

T.P


PROBLEMAS PLANOS




x1

x2

x3

h,L

x1


Relación Tensión-Deformación11 12

21 22

33

0

0

0 0

x x

y y

xy xy

d d

d d

d

σ ε

σ ε

σ γ

=


6/51


PROBLEMAS PLANOS




x1

x2

x3

h,L

x1



21 22

33

0

0

0 0

x x

y y

xy xy

d d

d d

d

σ ε

σ ε

σ γ

=

Material isótropo

11 22 12 21 11 332 ; ;

1 2(1 )

E E d d d d d d Gν

ν ν = = = = = =

− +

11 22 12 21 11 33

(1 ); ;

(1 )(1 2 ) 1 2(1 )

E E d d d d d d G

ν ν

ν ν ν ν

−= = = = = =

+ − − +D.P

T.P


PROBLEMAS PLANOS




x1

x2

x3

h,L

x1



21 22

33

0

0

0 0

x x

y y

xy xy

d d

d d

d

σ ε

σ ε

σ γ

=

Material ortótropo

T.P

11 22

12 11 21 22

33

;1 1

;

y x

xy yx xy yx

xy yx

xy

E E d d

d d d d

d G

ν ν ν ν

ν ν

= =− −

= =

= x

y


7/51


PROBLEMAS PLANOS







PROBLEMAS PLANOS


x

y

P=(Ui,Vi)

t=(tx,ty)

X=(Xx,Xy)

Modelo bidimensional

( )

( ) ( ) ( )1

x x y y xy xy

A

p

x y x y i i i i

i A L

t dA

u X v X t dA u t v t t dA u U v V

δε σ δε σ δγ σ

δ δ δ δ δ δ =

⋅ + ⋅ + ⋅ =

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

∫∫

∑∫∫ ∫

T T T T

i i

A A L

t dA t dA t ds= + +∑∫∫ ∫∫ ∫δε σ δu X δu T δu q


8/51


PROBLEMAS PLANOS


x

y

P=(Ui,Vi)

t=(tx,ty)

X=(Xx,Xy)

Modelo bidimensional

Más fácilmallar

Más

precisos


PROBLEMAS PLANOS







9/51


PROBLEMAS PLANOS



PROBLEMAS PLANOS


1 2

3

Dos grados de libertad por nodo

1

1

u

v

2

2

u

v

3

3

u

v

( , )

( , )

u x y

v x y

=

u


10/51


PROBLEMAS PLANOS


1 2

3


1

1

u

v

2

2

u

v

3

3

u

v

( , )

( , )

u x y

v x y

= u

1

1

2

2

3

3

u

v

u

v

u

v

= =

(e)

1

(e) (e)

2

(e)

3

a

a a

a

i

i

u

v

=

(e)

ia


PROBLEMAS PLANOS


1 2

3


1

1

u

v

2

2

u

v

3

3

u

v

( , )

( , )

u x y

v x y

=

u

1

1

2

2

3

3

u

v

u

v

u

v

= =

(e)

1

(e) (e)

2

(e)

3

a

a a

a

i

i

u

v

=

(e)

ia

Interpolamos cada grado de libertad de forma

independiente utilizando las mismas funciones de forma

1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

u x y N x y u N x y u N x y u

v x y N x y v N x y v N x y v

= ⋅ + ⋅ + ⋅

= ⋅ + ⋅ + ⋅


11/51


PROBLEMAS PLANOS

3. Elemento triangular de 3 nodos. FUNCIONES DE FORMA

1 2

3

1 1( , ) x y

2 2( , ) x y

3 3( , ) x y

y

1 2

3 1 1

1 2 2

3 3

1 en ( , )

( , ) 0 en ( , )

0 en ( , )

x y

N x y x y

x y

=


PROBLEMAS PLANOS


1 2

3

1 1( , ) x y

2 2( , ) x y

3 3( , ) x y

y

1 2

3 1 1

1 2 2

3 3

1 en ( , )

( , ) 0 en ( , )

0 en ( , )

x y

N x y x y

x y

=

( )

1( , ) ( )

2i i i ie

N x y a b x c y A

= + +

i, j, k = 1, 2, 3


12/51


PROBLEMAS PLANOS


1 2

3

1 1( , ) x y

2 2( , ) x y

3 3( , ) x y

y

1 2

3 1 1

1 2 2

3 3

1 en ( , )

( , ) 0 en ( , )

0 en ( , )

x y

N x y x y

x y

=

( )

1( , ) ( )

2i i i ie

N x y a b x c y A

= + +

i j k k j

i j k

i k j

a x y x y

b y y

c x x

= −

= −

= −

i, j, k = 1, 2, 3


PROBLEMAS PLANOS


1 2

3

1 1( , ) x y

2 2( , ) x y

3 3( , ) x y

y

1 2

3 1 1

1 2 2

3 3

1 en ( , )

( , ) 0 en ( , )

0 en ( , )

x y

N x y x y

x y

=

( )

1( , ) ( )

2i i i ie

N x y a b x c y A

= + +

i j k k j

i j k

i k j

a x y x y

b y y

c x x

= −

= −

= −

i, j, k = 1, 2, 3

1

1

1 1 2 2 3 3 2

1 1 2 2 3 3 2

3

3

u

v

N u N u N u uu

N v N v N v vv

u

v

+ +

= = = = + +

u N


13/51


PROBLEMAS PLANOS


1 2

3

1 1( , ) x y

2 2( , ) x y

3 3( , ) x y

y

1 2

3 1 1

1 2 2

3 3

1 en ( , )

( , ) 0 en ( , )

0 en ( , )

x y

N x y x y

x y

=

( )

1( , ) ( )

2i i i ie

N x y a b x c y A

= + +

i j k k j

i j k

i k j

a x y x y

b y yc x x

= −

= −

= −

i, j, k = 1, 2, 3

1

1

1 1 2 2 3 3 2

1 1 2 2 3 3 2

3

3

u

v

N u N u N u uu

N v N v N v vv

u

v

+ +

= = = = + +

u N

1

1

321 2 3

121 2 2

3

3

0 0 0

0 0 0 i

u

v

u N N N

v N N N

u

v

=

= =

∑ (e)i iN a


PROBLEMAS PLANOS

3. Elemento triangular de 3 nodos. MATRIZ DEFORMACIÓN

1 2

3

1 1( , ) x y

2 2( , ) x y

3 3( , ) x y

131 2

1

231 2

2

33 31 1 2 2

3

0 0 0

0 0 0

x

y

x

u N N N uv x x x x

u N v N N

v y y y y

uu v N N N N N N

y x y x y x y x v

ε

ε γ

∂∂ ∂∂

∂ ∂ ∂∂ ∂∂ ∂ ∂

= = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

ε


14/51


PROBLEMAS PLANOS


1 2

3

1 1( , ) x y

2 2( , ) x y

3 3( , ) x y

131 2

1

231 2

2

33 31 1 2 2

3

0 0 0

0 0 0

x

y

x

u N N N uv

x x x xu N v N N

v y y y y

uu v N N N N N N

y x y x y x y x v

ε

ε

γ

∂∂ ∂∂

∂ ∂ ∂∂ ∂∂ ∂ ∂ = = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

+ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

ε

3

1i =

= = ∑(e) (e)i iε B a B a


PROBLEMAS PLANOS


1 2

3

1 1( , ) x y

2 2( , ) x y

3 3( , ) x y

131 2

1

231 2

2

33 31 1 2 2

3

0 0 0

0 0 0

x

y

x

u N N N uv x x x x

u N v N N

v y y y y

uu v N N N N N N

y x y x y x y x v

ε

ε γ

∂∂ ∂∂

∂ ∂ ∂∂ ∂∂ ∂ ∂

= = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

ε

3

1i =

= = ∑(e) (e)i iε B a B a

( )

0

0

10 02

i

i

iie

i i

i i

N

x b

N c y A

c b N N

y x

∂

∂

∂

= = ∂

∂ ∂

∂ ∂

iB

Términos constantes

i

i

u

v

=

(e)

ia


15/51


PROBLEMAS PLANOS

3. Elemento triangular de 3 nodos. MATRIZ RIGIDEZ

1 2

3

1 1( , ) x y

2 2( , ) x y

3 3( , ) x y

[ ]( ) ( )

( )

1

2 1 2 3

3

1 1 1 2 1 3

2 1 2 2 2 3

3 1 3 2 3 3

e e

e

A A

A

t dA t dA

t dA

= = =

=

∫∫ ∫∫

∫∫

T

(e) T T

T

T T T

T T T

T T T

B

K B DB B D B B B

B

B DB B DB B D B

B D B B D B B D B

B DB B DB B DB


PROBLEMAS PLANOS


1 2

3

1 1( , ) x y

2 2( , ) x y

3 3( , ) x y

[ ]( ) ( )

( )

1

2 1 2 3

3

1 1 1 2 1 3

2 1 2 2 2 3

3 1 3 2 3 3

e e

e

A A

A

t dA t dA

t dA

= = =

=

∫∫ ∫∫

∫∫

T

(e) T T

T

T T T

T T T

T T T

B

K B DB B D B B B

B

B DB B DB B D B

B D B B D B B D B

B DB B DB B DB


16/51


PROBLEMAS PLANOS


1 2

3

1 1( , ) x y

2 2( , ) x y

3 3( , ) x y

[ ]( ) ( )

( )

1

2 1 2 3

3

1 1 1 2 1 3

2 1 2 2 2 3

3 1 3 2 3 3

e e

e

A A

A

t dA t dA

t dA

= = =

=

∫∫ ∫∫

∫∫

T

(e) T T

T

T T T

T T T

T T T

B

K B DB B D B B B

B

B DB B DB B D B

B D B B D B B D B

B DB B DB B DB

( ) ( )

( ) ( )

11 33 12 33

( )21 33 33 22

001 10

02 2

4

e e

j

i iT

j je e

i i A A j j

i j i j i j j i

ei j i j i j i j

bb ct dA c t dA

c b A Ac b

b b d c c d b c d b c d t

c b d b c d b b d c c d A

= = =

+ + =

+ +

∫∫ ∫∫(e)

ij iK B DB D


PROBLEMAS PLANOS


1 2

3

1 1( , ) x y

2 2( , ) x y

3 3( , ) x y

[ ]( ) ( )

( )

1

2 1 2 3

3

1 1 1 2 1 3

2 1 2 2 2 3

3 1 3 2 3 3

e e

e

A A

A

t dA t dA

t dA

= = =

=

∫∫ ∫∫

∫∫

T

(e) T T

T

T T T

T T T

T T T

B

K B DB B D B B B

B

B DB B DB B D B

B D B B D B B D B

B DB B DB B DB

( ) ( )

( ) ( )

11 33 12 33

( )21 33 33 22

001 1

002 2

4

e e

j

i iT

j je e

i i A A j j

i j i j i j j i

ei j i j i j i j

bb c

t dA c t dAc b A Ac b

b b d c c d b c d b c d t

c b d b c d b b d c c d A

= = =

+ + =

+ +

∫∫ ∫∫(e)

ij iK B DB D


17/51


PROBLEMAS PLANOS

3. Elemento triangular de 3 nodos. VECTOR FUERZAS

1

2

3

1 1( , ) x y

2 2( , ) x y

3 3( , ) x y

( ) ( ) ( )

1 1

2 2

3 3

e e e A A A

t dA t dA t dA

= = =

∫∫ ∫∫ ∫∫

T T

(e) T T T

X

T T

N N X

f N X N X N X

N N X

( ) ( ) ( )

0

0ie e e

x i xi

i

y i yi A A A

X N X N t dA t dA t dA

X N X N

= = =

∫∫ ∫∫ ∫∫(e) T

Xf N X


PROBLEMAS PLANOS


1

2

3

1 1( , ) x y

2 2( , ) x y

3 3( , ) x y

X=(Xx,Xy)

1 2

3

( )

1 xe

X x

A

f N X t dA= ∫∫

( )

1 ye

X y

A

f N X t dA= ∫∫( )

2 xe

X x

A

f N X t dA= ∫∫

( )

2 ye

X y

A

f N X t dA= ∫∫( )

3 xe

X x

A

f N X t dA= ∫∫

( )

3 ye

X y

A

f N X t dA= ∫∫

( ) ( ) ( )

0

0i e e e

x i xi

i

y i yi A A A


X N X N

= = =

∫∫ ∫∫ ∫∫

(e) T

Xf N X


18/51


PROBLEMAS PLANOS


1 2

3

1 1( , ) x y

2 2( , ) x y

3 3( , ) x y

( ) ( ) ( )

0

0

i

e e e

x i xi

i

y i yi A A A


X N X N

= = =

∫∫ ∫∫ ∫∫(e) T

Xf N X x

y

t

t

=

t

31 1

1 12

0

0

nodo x x

y ynodo

N t N t t ds t ds

N t N t

= = =

∫ ∫1

(e)

tf

x

y

1 2

3


PROBLEMAS PLANOS


1 2

3

1 1( , ) x y

2 2( , ) x y

3 3( , ) x y

( ) ( ) ( )

0

0i e e e

x i xi

i

y i yi A A A


X N X N

= = =

∫∫ ∫∫ ∫∫

(e) T

Xf N X x

y

t

t

=

t

x

y

1 2

3

2

32 2

23

2 22

1

2

nodo x x x

y y ynodo

N t N t t t ds t ds L t

N t N t t

= = =

∫ ∫

(e)

tf

31 1

1 12

0

0

nodo x x

y ynodo

N t N t t ds t ds

N t N t

= = =

∫ ∫1

(e)

tf

x

y

1 2

3


19/51


PROBLEMAS PLANOS


1 2

3

1 1( , ) x y

2 2( , ) x y

3 3( , ) x y

( ) ( ) ( )

0

0

i

e e e

x i xi

i

y i yi A A A


X N X N

= = =

∫∫ ∫∫ ∫∫(e) T

Xf N X x

y

t

t

=

t

x

y

1 2

3

2

32 2

23

2 22

1

2

nodo x x x

y y ynodo


N t N t t

= = =

∫ ∫

(e)

tf

31 1

1 12

0

0

nodo x x

y ynodo

N t N t t ds t ds

N t N t

= = =

∫ ∫1

(e)

tf

x

y

1 2

3

3

33 3

23

3 32

1

2

nodo x x x

y y ynodo


N t N t t

= = =

∫ ∫

(e)

tf

x

y

1 2

3


PROBLEMAS PLANOS


1 2

3

1 1( , ) x y

2 2( , ) x y

3 3( , ) x y

( ) ( ) ( )

0

0i e e e

x i xi

i

y i yi A A A


X N X N

= = =

∫∫ ∫∫ ∫∫

(e) T

Xf N X x

y

t

t

=

t

1 2

3

23

1

2

x

y

t L t

t

23

1

2

x

y

t L t

t

1 2

3

( )

1 xe

X x

A

f N X t dA= ∫∫

( )

1 ye

X y

A

f N X t dA= ∫∫( )

2 xe

X x

A

f N X t dA= ∫∫

( )

2 ye

X y

A

f N X t dA= ∫∫

2( )

3 xe

X x

A

f N X t dA= ∫∫

( )

3 ye

X y

A f N X t dA= ∫∫


20/51


PROBLEMAS PLANOS







PROBLEMAS PLANOS

4. Elemento cuadrilátero de 4 nodos.


21/51


PROBLEMAS PLANOS


1 2

3


1

1

u

v

2

2

u

v

3

3

u

v

( , )

( , )

u x y

v x y

=

u

4

4

4

u

v


PROBLEMAS PLANOS


1 2

3


1

1

u

v

2

2

u

v

3

3

u

v

( , )

( , )

u x y

v x y

=

u

4

4

4

u

v

2

3

4

=

(e)

1

(e)

(e)

(e)

(e)

a

a

a a

a

i

i

u

v

=

(e)

ia


22/51


PROBLEMAS PLANOS


1 2

3


1

1

u

v

2

2

u

v

3

3

u

v

( , )

( , )

u x y

v x y

=

u

4

4

4

u

v

2

3

4

=

(e)

1

(e)

(e)

(e)

(e)

a

aa

a

a

i

i

u

v

=

(e)ia

Formulaciónisoparamétrica

1 2

34

2 ξ

η

2


PROBLEMAS PLANOS


1 2

3


1

1

u

v

2

2

u

v

3

3

u

v

( , )

( , )

u x y

v x y

=

u

4

4

4

u

v

2

3

4

=

(e)

1

(e)

(e)

(e)

(e)

a

a

a a

a

i

i

u

v

=

(e)

ia

Formulaciónisoparamétrica

1 2

34

2 ξ

η

2

1 1 2 2 3 3 4 4

1 1 2 2 3 3 4 4

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

u N u N u N u N u

v N v N v N v N v

ξ η ξ η ξ η ξ η ξ η ξ η ξ η ξ η ξ η ξ η

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅


23/51

1( , ) N ξ η = ξ η 1

(1 )2

ξ − 1

(1 )2

η −= =

1(1 )(1 )

4ξ η = − −


PROBLEMAS PLANOS

4. Elemento cuadrilátero de 4 nodos. FUNCIONES DE FORMA

1 ξ

η Elemento Lagrangiano

1(1 )(1 )

4ξ η = − −

1( , ) N ξ η = ξ η

1 (1 )2

ξ − 1 (1 )2

η −= =

1(1 )(1 )

4ξ η = − −


PROBLEMAS PLANOS

1 ξ


1(1 )(1 )

4ξ η = − −



24/51


PROBLEMAS PLANOS

1 ξ


1( , ) N ξ η = ξ η 1

(1 )2

ξ − 1

(1 )2

η −= =

1(1 )(1 )

4ξ η = − −



PROBLEMAS PLANOS

1 ξ


1ξ

η

( )( )21

( , ) 1 14 N ξ η ξ η = + −

1( , ) N ξ η = ξ η

1 (1 )2

ξ − 1 (1 )2

η −= =

1(1 )(1 )

4ξ η = − −



25/51


PROBLEMAS PLANOS

1 ξ


1( , ) N ξ η = ξ η 1

(1 )2

ξ − 1

(1 )2

η −= =

1(1 )(1 )

4ξ η = − −

1ξ

η

( )( )21

( , ) 1 14

N ξ η ξ η = + −

1

ξ

η

( )( )31

( , ) 1 14

N ξ η ξ η = + +



PROBLEMAS PLANOS

1 ξ


1( , ) N ξ η = ξ η

1 (1 )2

ξ − 1 (1 )2

η −= =

1(1 )(1 )

4ξ η = − −

1ξ

η

( )( )21

( , ) 1 14 N ξ η ξ η = + −

1

ξ

η

( )( )31

( , ) 1 14

N ξ η ξ η = + +

1

ξ

η

( )( )4 1( , ) 1 14

N ξ η ξ η = − +



26/51


PROBLEMAS PLANOS

1 ξ


1( , ) N ξ η = ξ η 1

(1 )2

ξ − 1

(1 )2

η −= =

1(1 )(1 )

4ξ η = − −

1ξ

η

( )( )21

( , ) 1 14

N ξ η ξ η = + −

1

ξ

η

( )( )31

( , ) 1 14

N ξ η ξ η = + +

1

ξ

η

( )( )41

( , ) 1 14

N ξ η ξ η = − +

( )( )1

( , ) 1 14

i i i N ξ η ξξ ηη = + +



PROBLEMAS PLANOS

1 2

34

2 ξ

η

2

Formulación isoparamétrica

1 1 2 2 3 3 4 4

1 1 2 2 3 3 4 4

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

u N u N u N u N u

v N v N v N v N v

ξ η ξ η ξ η ξ η ξ η


= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

4. Elemento cuadrilátero de 4 nodos. MATRIZ DEFORMACIÓN


27/51


PROBLEMAS PLANOS

1 2

34

2

η

2


1 1 2 2 3 3 4 4

1 1 2 2 3 3 4 4

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

u N u N u N u N u

v N v N v N v N v



= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

1

1

2

4

21 2 3 4

131 2 3 4

3

4

4

0 0 0 00 0 0 0 i

u

v

u

v N N N N u N N N N

v

u

v

=

= =

∑ (e)i i

u N a



PROBLEMAS PLANOS

1 2

34

2 ξ

η

2


1 1 2 2 3 3 4 4

1 1 2 2 3 3 4 4

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

u N u N u N u N u

v N v N v N v N v



= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

1

1

2

421 2 3 4

131 2 3 4

3

4

4

0 0 0 0

0 0 0 0 i

u

v

u

v N N N N

u N N N N

v

u

v

=

= =

∑ (e)i iu N a

4

1

i i

i=

= = ∑(e) (e)ε Ba B a



28/51


PROBLEMAS PLANOS

1 2

34

2

η

2


1 1 2 2 3 3 4 4

1 1 2 2 3 3 4 4

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

u N u N u N u N u

v N v N v N v N v



= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

1

1

2

4

21 2 3 4

131 2 3 4

3

4

4

0 0 0 00 0 0 0 i

u

v

u

v N N N N u N N N N

v

u

v

=

= =

∑ (e)i i

u N a

4

1

i i

i=

= = ∑(e) (e)ε Ba B a

0

0

i

i

i i

N

x N

y

N N

y x

∂

∂ ∂=

∂ ∂ ∂

∂ ∂

ιΒ



PROBLEMAS PLANOS

1 2

34

2

η

2

Transformaciónisoparamétrica

1 2

34

1 2

34

4 4

1 1

( , ) ; ( , )i i i ii i

N x y N yξ η ξ η = =

= ⋅ = ⋅∑ ∑ ; ; ; x x y y

ξ η ξ η

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂



29/51


PROBLEMAS PLANOS

1 2

34

2 ξ

η

2


1 2

34

1 2

34

4 4

1 1

( , ) ; ( , )i i i ii i


= ⋅ = ⋅∑ ∑

1 1 1

1 1 1

N N N x y

x y

N N N x y

x y

ξ ξ ξ

η η η

∂ ∂ ∂∂ ∂= +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂∂ ∂= +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

; ; ; x x y y

ξ η ξ η

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂



PROBLEMAS PLANOS

1 2

34

2

η

2


1 2

34

1 2

34

4 4

1 1

( , ) ; ( , )i i i ii i


= ⋅ = ⋅∑ ∑

1 1 1

1 1 1

N N N x y

x y

N N N x y

x y

ξ ξ ξ

η η η

∂ ∂ ∂∂ ∂= +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂∂ ∂

= +∂ ∂ ∂ ∂ ∂

i i i

i ii

N x y N N

x x

N N N x y

ξ ξ ξ

ξ ξ η η η

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = =

∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂∂

(e)J

; ; ; x x y y

ξ η ξ η

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂



30/51


PROBLEMAS PLANOS

1 2

34

2 ξ

η

2


1 2

34

1 2

34

4 4

1 1

( , ) ; ( , )i i i ii i


= ⋅ = ⋅∑ ∑

1 1 1

1 1 1

N N N x y

x y

N N N x y

x y

ξ ξ ξ

η η η

∂ ∂ ∂∂ ∂= +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂∂ ∂= +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

; ; ; x x y y

ξ η ξ η

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂

i i i

i ii

N x y N N

x x

N N N x y

ξ ξ ξ

ξ ξ η η η

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= =∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂∂

(e)

J



PROBLEMAS PLANOS

1 2

34

2

η

2


1 2

34

1 2

34

i i i

i ii

N x y N N

x x

N N N x y

ξ ξ ξ

ξ ξ η η η

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = =

∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂∂

(e)J

1 1

i ii

i i i

N N y y N

x N N x x N

y

ξ η ξ ξ

η ξ η η

−

∂ ∂∂ ∂ ∂ −

∂ ∂ ∂ ∂∂ = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂∂ ∂

(e)

(e)J

J



31/51


PROBLEMAS PLANOS

1 2

34

2 ξ

η

2


1 2

34

1 2

34

i i i

i ii

N x y N N

x x

N N N x y

ξ ξ ξ

ξ ξ η η η

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = =

∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂∂

(e)J

1 1

i ii

i i i

N N y y N

x

N N x x N

y

ξ η ξ ξ

η ξ η η

−

∂ ∂∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂∂ = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂∂ ∂

(e)

(e)J

J



PROBLEMAS PLANOS

1 2

34

2

η

2


1 2

34

1 2

34

i i i

i ii

N x y N N

x x

N N N x y

ξ ξ ξ

ξ ξ η η η

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = =

∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂∂

(e)J

1 1

i ii

i i i

N N y y N

x N N x x N

y

ξ η ξ ξ

η ξ η η

−

∂ ∂∂ ∂ ∂ −

∂ ∂ ∂ ∂∂ = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂∂ ∂

(e)

(e)J

J

1 1

( ) ( ) ( )

1 1

e e edx dy J d d A J d d ξ η ξ η

− −

= ⇒ = ∫ ∫

Para que la transformación de coordenadas sea biunívoca es necesarioque el signo del jacobiano sea constante en todo el elemento

El Jacobiano ha de sermayor que cero en todoel elemento



32/51


PROBLEMAS PLANOS

1 2

34

2 ξ

η

2


1 2

34

1 2

34

( )

00

10 0

i

i

i

ie

i ii i

N

x b N

c y J

c b N N

y x

∂

∂ ∂

= = ∂

∂ ∂

∂ ∂

ιΒ



PROBLEMAS PLANOS

1 2

34

2

η

2


1 2

34

1 2

34

( )

00

10 0

i

i

i

ie

i ii i

N

x b N

c y J

c b N N y x

∂

∂ ∂

= = ∂

∂ ∂ ∂ ∂

ιΒ

i ii

i ii

N N y yb

N N x xc

∂ ∂∂ ∂= −

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂∂ ∂= −

∂ ∂ ∂ ∂

η ξ ξ η

ξ η η ξ



33/51


PROBLEMAS PLANOS

4. Elemento cuadrilátero de 4 nodos. MATRIZ RIGIDEZ

1 2

34

2 ξ

η

2


1 2

34

1 2

34

( )

1 1

1 1

1 1

11 33 12 33

1 1 21 33 33 22

1 1

1 1

( , ) ( , )

( , )

e

T T

A

i j i j i j i j

i j i j i j i j

t dx dy t d d

d b b d c c d b c d c b t d d

d c b d b c d b b d c c

t d d

ξ η ξ η ξ η

ξ η

ξ η ξ η

− −

− −

− −

= = =

+ += =

+ +

=

∫∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

(e)

ij i j i j

(e)

ij (e)

K B DB B DB J

J

GJ


PROBLEMAS PLANOS


1 2

34

2

η

2


1 2

34

1 2

34

( )

1 1

1 1

1 1

11 33 12 33

1 1 21 33 33 22

1 1

1 1

( , ) ( , )

( , )

e

T T

A

i j i j i j i j

i j i j i j i j

t dx dy t d d



t d d

ξ η ξ η ξ η

ξ η

ξ η ξ η

− −

− −

− −

= = =

+ += =

+ +

=

∫∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

(e)

ij i j i j

(e)

ij (e)

K B DB B DB J

J

GJ


34/51


PROBLEMAS PLANOS


1 2

34

2 ξ

η

2


1 2

34

1 2

34

( )

1 1

1 1

1 1

11 33 12 33

1 1 21 33 33 22

1 1

1 1

( , ) ( , )

( , )

e

T T

A

i j i j i j i j

i j i j i j i j

t dx dy t d d



t d d

ξ η ξ η ξ η

ξ η

ξ η ξ η

− −

− −

− −

= = =

+ += =

+ +

=

∫∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

(e)

ij i j i j

(e)

ij (e)

K B DB B DB J

J

GJ Integración de funciones racionales a

no ser que el jacobiano sea constante


PROBLEMAS PLANOS

4. Elemento cuadrilátero de 4 nodos. ELEMENTO RECTANGULAR

1 2

34

2

η

2

(caso particular)

1

2

34

2a

2b

x

y


35/51


PROBLEMAS PLANOS

1 2

34

2 ξ

η

2

(caso particular)

1 2

34

2a

2bx

y

4

1 2 3 4 2 3

1

4

1 2 3 4 3 4

1

0 2 2 0 2 2

0 0 2 2 2 2

i i

i

i i

i

x N x N N a N a N N a N a

y N y N N N b N b N b N b

=

=

= = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅

= = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅

∑

∑



PROBLEMAS PLANOS

1 2

34

2

η

2

(caso particular)

1

2

34

2a

2b

x

y

4

1 2 3 4 2 3

1

4

1 2 3 4 3 4

1

0 2 2 0 2 2

0 0 2 2 2 2

i i

i

i i

i



=

=

= = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅

= = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅

∑

∑

32 1 12 2 (1 )2 (1 )24 4

N N x a a a a aη η ξ ξ ξ

∂∂∂ = ⋅ + ⋅ = − + + =∂ ∂ ∂

0; 0; y x y

bξ η η

∂ ∂ ∂= = =

∂ ∂ ∂



36/51


PROBLEMAS PLANOS

1 2

34

2 ξ

η

2

(caso particular)

1 2

34

2a

2bx

y

4

1 2 3 4 2 3

1

4

1 2 3 4 3 4

1

0 2 2 0 2 2

0 0 2 2 2 2

i i

i

i i

i



=

=

= = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅

= = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅

∑

∑

32 1 1

2 2 (1 )2 (1 )24 4

N N xa a a a aη η

ξ ξ ξ

∂∂∂= ⋅ + ⋅ = − + + =

∂ ∂ ∂

0; 0; y x y

bξ η η

∂ ∂ ∂= = =

∂ ∂ ∂

0;

0

aab

b

= =

(e) (e)J J



PROBLEMAS PLANOS

1 2

34

2

η

2

(caso particular)

1

2

34

2a

2b

x

y

0 ;0a ab

b = =

(e) (e)J J

0

0

i i

ii

N N

a x

N N b

y

∂ ∂

∂ ∂ = ∂∂ ∂∂

ξ

η

i i i

i ii

N x y N N

x x

N N N x y

ξ ξ ξ

ξ ξ η η η

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = =

∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂∂

(e)J



37/51


PROBLEMAS PLANOS

1 2

34

2 ξ

η

2

(caso particular)

1 2

34

2a

2bx

y

0;

0

aab

b

= =

(e) (e)J J

0

0

i i

ii

N N

a x

N N b

y

∂ ∂ ∂ ∂ = ∂∂ ∂∂

ξ

η

1(1 )

01 4

0 1(1 )

4

ii

i i

i ii i

N N

b x a

N a N ab

y b

∂ ∂ + ∂ ∂ = = ∂ ∂ + ∂ ∂

ξ ηη ξ

η ξξ η

i i i

i ii

N x y N N

x x

N N N x y

ξ ξ ξ

ξ ξ η η η

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = =

∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂∂

(e)J

1 1

i ii

i i i

N N y y N

x

N N x x N

y

ξ η ξ ξ

η ξ η η

−

∂ ∂∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂∂ = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

− ∂ ∂ ∂∂ ∂

(e)

(e)J

J



PROBLEMAS PLANOS

1 2

34

2

η

2

(caso particular)

1

2

34

2a

2b

x

y

0 ;0a ab

b = =

(e) (e)J J

1(1 )

01 4

0 1(1 )

4

ii

i i

i ii i

N N

b x a

N a N ab

y b

∂ ∂ + ∂ ∂ = = ∂ ∂ + ∂ ∂

ξ ηη ξ

η ξξ η

1

1

1 1

10 (1 ) 0

4

10 0 (1 )

4

1 1(1 ) (1 )4 4

i i

i i

i i i i

N

x a

N

y b

N N

b a y x

ξ ηη

η ξξ

η ξξ ξ ηη

∂ +

∂ ∂ = = + ∂

∂ ∂ + + ∂ ∂

iB



38/51


PROBLEMAS PLANOS

1 2

34

2 ξ

η

2

(caso particular)

1 2

34

2a

2bx

y

0;

0

aab

b

= =

(e) (e)J J

1(1 )

01 4

0 1(1 )

4

ii

i i

i ii i

N N

b x a

N a N ab

y b

∂ ∂ + ∂ ∂ = = ∂ ∂ + ∂ ∂

ξ ηη ξ

η ξξ η

1

1

1 1

10 (1 ) 0

4

1

0 0 (1 )4

1 1(1 ) (1 )

4 4

i i

i i

i i i i

N

x a

N

y b

N N

b a y x

ξ ηη

η ξξ

η ξξ ξ ηη

∂ + ∂

∂ = = + ∂

∂ ∂ + + ∂ ∂

iB

1 1 1 1

1 1 1 1

( , ) ( , ) ( , )T t

t d d d d ξ η ξ η ξ η ξ η ξ η − − − −

= =∫ ∫ ∫ ∫(e)

ij i j ij (e)K B DB J G

J



PROBLEMAS PLANOS

4. Elemento cuadrilátero de 4 nodos. JACOBIANO

1 2

34

2

η

2

(caso particular)

( ) 3

4

e J =

0;

0

aab

b

= =

(e) (e)J J

1

2

34

x

y

2a=3

( ) ( )e edA J d d ξ η =


39/51


PROBLEMAS PLANOS

1 2

34

2 ξ

η

2

(caso particular)

( ) 3

4e J =

( ) 3

4

e J =

0;

0

aab

b

= =

(e) (e)J J

1 2

34

x

y

12

3 4

3

x

y

1

2a=3

( ) ( )e edA J d d ξ η =



PROBLEMAS PLANOS

1 2

34

2

η

2

(caso particular)

1

2

34

x

y

( ) 3

4

e J =

12

3 4

3

x

y

12

3 4

3x

y

( ) 3

4

e J =

( ) 3

4

e

J = −

1

1

2a=3

2b=1

0;

0

aab

b

= =

(e) (e)J J

(horario)

( ) ( )e edA J d d ξ η =



40/51


PROBLEMAS PLANOS

1 2

34

2 ξ

η

2

(caso particular)

1 2

34

x

y

( ) 3

4e J =

12

3 4

3

x

y

12

3 4

3

x

y

( ) 3

4

e J =

( ) 3

4

e J = −

1

1

2a=3

2b=1

0;

0

aab

b

= =

(e) (e)J J

(horario)

( ) ( )e edA J d d ξ η =

Área negativa:No se permite



PROBLEMAS PLANOS

1 2

34

2

η

2

(caso particular)

1

2

34

x

y

( ) 3

4

e J =

12

3 4

3

x

y

12

3 4

3x

y

( ) 3

4

e J =

( ) 3

4

e

J = −

1

1

2a=3

2b=1

0;

0

aab

b

= =

(e) (e)J J

(horario)

( ) ( )e edA J d d ξ η =

Área negativa:

No se permite

1 1 1 1

1 1 1 1

( , ) ( , ) ( , )T t


= =∫ ∫ ∫ ∫(e)


J



41/51


PROBLEMAS PLANOS

1 2

34

2 ξ

η

2

1

3

4

(0,0)

2

(1,0)

(2,2)

(0,1)

4 4

1 1

( , ) ; ( , )i i i ii i

x N x y N yξ η ξ η = =

= ⋅ = ⋅∑ ∑

( )1 1, (1 )(1 )4

N = − −ξ η ξ η

( )( )21

( , ) 1 14

N ξ η ξ η = + −

( )( )31

( , ) 1 14

N ξ η ξ η = + +

( )( )41

( , ) 1 14

N ξ η ξ η = − +

( )( )1( , ) 1 14

i i i N ξ η ξξ ηη = + +



PROBLEMAS PLANOS

1 2

34

2

η

2

1

3

4

(0,0)

2

(1,0)

(2,2)

(0,1) 1(1 )(3 )

4

1(1 )(3 )

4

x

y

ξ η

η ξ

+ +

= + +

4 4

1 1

( , ) ; ( , )i i i ii i


= ⋅ = ⋅∑ ∑

( )11

, (1 )(1 )4

N = − −ξ η ξ η

( )( )2 1( , ) 1 14

N ξ η ξ η = + −

( )( )31

( , ) 1 14

N ξ η ξ η = + +

( )( )41

( , ) 1 14

N ξ η ξ η = − +

( )( )1

( , ) 1 14i i i

N ξ η ξξ ηη = + +



42/51


PROBLEMAS PLANOS

1 2

34

2 ξ

η

2

1

3

4

(0,0)

2

(1,0)

(2,2)

(0,1)

1 1

4 4

1 14 4

/ / (3 ) (1 )

/ / (1 ) (3 ) x y x y

ξ ξ η η η η ξ ξ

∂ ∂ ∂ ∂ + + = = ∂ ∂ ∂ ∂ + +

(e)J

1(1 )(3 )

4

1(1 )(3 )

4

x

y

ξ η

η ξ

+ +

= + +

4 4

1 1

( , ) ; ( , )i i i ii i


= ⋅ = ⋅∑ ∑



PROBLEMAS PLANOS

1 2

34

2

η

2

1

3

4

(0,0)

2

(1,0)

(2,2)

(0,1)

1 14 4

1 1

4 4

/ / (3 ) (1 )

/ / (1 ) (3 )

x y

x y

ξ ξ η η

η η ξ ξ

∂ ∂ ∂ ∂ + + = =

∂ ∂ ∂ ∂ + +

(e)J

1(1 )(3 )

4

1(1 )(3 )

4

x

y

ξ η

η ξ

+ +

= + +

4 4

1 1

( , ) ; ( , )i i i ii i


= ⋅ = ⋅∑ ∑

( ) 1(4 )

8

e J ξ η = + +



43/51


PROBLEMAS PLANOS

1 2

34

2 ξ

η

2

1

3

4

(0,0)

2

(1,0)

(2,2)

(0,1)

1 1

4 4

1 14 4

/ / (3 ) (1 )

/ / (1 ) (3 ) x y x y


∂ ∂ ∂ ∂ + + = = ∂ ∂ ∂ ∂ + +

(e)J

1(1 )(3 )

4

1(1 )(3 )

4

x

y

ξ η

η ξ

+ +

= + +

4 4

1 1

( , ) ; ( , )i i i ii i


= ⋅ = ⋅∑ ∑

( ) 1(4 )

8

e J ξ η = + + ( ) ( )e edA J d d ξ η =



PROBLEMAS PLANOS

1 2

34

2

η

2

1

3

4

(0,0)

2

(1,0)

(2,2)

(0,1)

( ) 1(4 )

8

e J ξ η = + +

( ) ( )e edA J d d ξ η =

( ) 0 4

0 4 00 4

e J

ξ η ξ η

η ξ

= = −= ⇒ + + = ⇒

= = −



44/51


PROBLEMAS PLANOS

1 2

34

2 ξ

η

2

1

3

4

(0,0)

2

(1,0)

(2,2)

(0,1)

( ) 1

(4 )8

e

J ξ η = + +

( ) ( )e edA J d d ξ η =

( ) 0 4

0 4 00 4

e J

ξ η ξ η

η ξ

= = −= ⇒ + + = ⇒

= = −

( )0

e J =

( )0

e J <

( )0

e J >

( )0

e J >

( )0

e J <

( )0

e J =



PROBLEMAS PLANOS

1 2

34

2

η

2

1

3

4

(0,0)

2

(1,0)

(2,2)

(0,1)

( ) 1(4 )

8

e J ξ η = + +

( ) ( )e edA J d d ξ η =

( ) 0 4

0 4 00 4

e J

ξ η ξ η

η ξ

= = −= ⇒ + + = ⇒

= = −

( )

0e

J = ( )

0e

J < ( )

0e

J >

1 1 1 1

1 1 1 1

( , ) ( , ) ( , )T t


= =∫ ∫ ∫ ∫(e)


J

( ) 0e

J >

( )0

e J <

( )0

e J =



45/51


PROBLEMAS PLANOS

1 2

34

2 ξ

η

2

4 4

1 1

( , ) ; ( , )i i i i

i i


= ⋅ = ⋅∑ ∑

( )1 1, (1 )(1 )4

N = − −ξ η ξ η

( )( )21

( , ) 1 14

N ξ η ξ η = + −

( )( )31

( , ) 1 14

N ξ η ξ η = + +

( )( )41

( , ) 1 14

N ξ η ξ η = − +

1

4

2

(0,0) (3,0)

(1,1)3

(0,2)

1(1 )(4 2 )

4

1(1 )(3 )

4

x

y

ξ η

η ξ

+ −

= + −



PROBLEMAS PLANOS

1 2

34

2

η

2

4 4

1 1

( , ) ; ( , )i i i ii i


= ⋅ = ⋅∑ ∑

( )11

, (1 )(1 )4

N = − −ξ η ξ η

( )( )2 1( , ) 1 14

N ξ η ξ η = + −

( )( )31

( , ) 1 14

N ξ η ξ η = + +

( )( )41

( , ) 1 14

N ξ η ξ η = − +

1

4

2

(0,0) (3,0)

(1,1)3

(0,2)

1(1 )(4 2 )

4

1(1 )(3 )

4

x

y

ξ η

η ξ

+ − =

+ −

1 14 4

1 12 4

/ / (4 2 ) (1 )

/ / (1 ) (3 )

x y

x y

ξ ξ η η

η η ξ ξ

∂ ∂ ∂ ∂ − − + = =

∂ ∂ ∂ ∂ − + −

(e)J



46/51


PROBLEMAS PLANOS

1 2

34

2 ξ

η

2

4 4

1 1

( , ) ; ( , )i i i i

i i


= ⋅ = ⋅∑ ∑

( )1 1, (1 )(1 )4

N = − −ξ η ξ η

( )( )21

( , ) 1 14

N ξ η ξ η = + −

( )( )31

( , ) 1 14

N ξ η ξ η = + +

( )( )41

( , ) 1 14

N ξ η ξ η = − +

1

4

2

(0,0) (3,0)

(1,1)3

(0,2)

1(1 )(4 2 )

4

1(1 )(3 )

4

x

y

ξ η

η ξ

+ −

= + −

1 14 4

1 12 4

/ / (4 2 ) (1 )

/ / (1 ) (3 )

x y

x y


∂ ∂ ∂ ∂ − − + = = ∂ ∂ ∂ ∂ − + −

(e)J

( ) 1(5 3 4 )

8

e J ξ η = − −



PROBLEMAS PLANOS

1 2

34

2

η

2

1

4

2

(0,0) (3,0)

(1,1)3

(0,2)( ) 1

(5 3 4 )8

e J ξ η = − −

( ) 0 5/ 4

0 5 3 4 00 5/3

e J

ξ η ξ η

η ξ

= == ⇒ − − = ⇒

= =

( ) ( )e edA J d d ξ η =



47/51


PROBLEMAS PLANOS

1 2

34

2 ξ

η

2

1

4

2

(0,0) (3,0)

(1,1)3

(0,2)( ) 1

(5 3 4 )8

e

J ξ η = − −

( ) 0 5/ 4

0 5 3 4 00 5/3

e J

ξ η ξ η

η ξ

= == ⇒ − − = ⇒

= =

( ) ( )e edA J d d ξ η =

El Jacobiano cambia designo dentro del elemento:

NO SE PERMITE



PROBLEMAS PLANOS

1 2

34

2

η

2

1

4

2

(0,0) (3,0)

(1,1)3

(0,2)( ) 1

(5 3 4 )8

e J ξ η = − −

( ) 0 5/ 4

0 5 3 4 00 5/3

e J

ξ η ξ η

η ξ

= == ⇒ − − = ⇒

= =

( ) ( )e edA J d d ξ η =


NO SE PERMITE

Ningún ángulo interior entredos lados del elemento

puede ser mayor de 180º



48/51


PROBLEMAS PLANOS

1 2

34

2 ξ

η

2

1

4

2

(0,0) (3,0)

(1,1)3

(0,2)( ) 1

(5 3 4 )8

e

J ξ η = − −

( ) 0 5/ 4

0 5 3 4 00 5/3

e J

ξ η ξ η

η ξ

= == ⇒ − − = ⇒

= =

( ) ( )e edA J d d ξ η =


NO SE PERMITE

Ningún ángulo interior entredos lados del elemento

puede ser mayor de 180º1 1 1 1

1 1 1 1

( , ) ( , ) ( , )T t


= =∫ ∫ ∫ ∫(e)


J



PROBLEMAS PLANOS







49/51


PROBLEMAS PLANOS

5. Integración numérica1 1 1 1

1 1 1 1

( , ) ( , ) ( , )T t d d g d d ξ η ξ η ξ η ξ η ξ η

− − − −

= =∫ ∫ ∫ ∫(e)

ij i jK B DB J


PROBLEMAS PLANOS


1 1 1 1

( , ) ( , ) ( , )T

t d d g d d ξ η ξ η ξ η ξ η ξ η − − − −

= =∫ ∫ ∫ ∫(e)

ij i jK B DB J

Evaluamos la integral por una cuadratura de Gauss-Legendrebidimensional

1 1 1

1 1 11 1 1

( , ) ( , ) ( , )q p qn n n

q q p q p q

q p q

g d d d g W g W W ξ η ξ η ξ ξ η ξ η = = =− − −

= =

∑ ∑∑∫ ∫ ∫


50/51


PROBLEMAS PLANOS


1 1 1 1


− − − −

= =∫ ∫ ∫ ∫(e)

ij i jK B DB J


1 1 1

1 1 11 1 1

( , ) ( , ) ( , )q p qn n n

q q p q p q

q p q


= =

∑ ∑∑∫ ∫ ∫

Número de puntos de integraciónseleccionados en cada una de las direcciones


PROBLEMAS PLANOS


1 1 1 1

( , ) ( , ) ( , )T


= =∫ ∫ ∫ ∫(e)

ij i jK B DB J


1 1 1

1 1 11 1 1

( , ) ( , ) ( , )q p qn n n

q q p q p q

q p q


= =

∑ ∑∑∫ ∫ ∫


Coordenadas naturalesdel punto de integración


51/51


PROBLEMAS PLANOS


1 1 1 1


− − − −

= =∫ ∫ ∫ ∫(e)

ij i jK B DB J


1 1 1

1 1 11 1 1

( , ) ( , ) ( , )q p qn n n

q q p q p q

q p q


= =

∑ ∑∑∫ ∫ ∫


Coordenadas naturalesdel punto de integración

Pesos correspondientesa cada dirección


PROBLEMAS PLANOS


1 1 1 1

( , ) ( , ) ( , )T


= =∫ ∫ ∫ ∫(e)

ij i jK B DB J


1 1 1

1 1 11 1 1

( , ) ( , ) ( , )q p qn n n

q q p q p q

q p q


= =

∑ ∑∑∫ ∫ ∫


Pesos correspondientesa cada dirección

mef - problemas planos

Documents