meh sistem - dinamika sistema

7/22/2019 Meh Sistem - dinamika sistema

1/41

Mainski fakultet, Beograd - Mehanika 3 Predavanje 1 1

Opte teoreme i zakoni dinamike sistema

Koliina kretanja take

Pod koliinom kretanja take ( ) podrazumeva se vektorska veliina koja je jednaka

proizvodu mase mtake i njene brzine V

Kr

r

, tj. VmK

rr=

.

Koliina kretanja materijalnog sistema

Neka materijalni sistem ini n taaka, ije su mase , i=1,2,...,n. Koliina kretanja

materijalnog sistema je tada .

im

==

==n

i

ii

n

i

i VmKK11

rrr

Imajui u vidu relaciju za odreivanje poloaja centra masa , tada je=

=n

i

iiC rmrm

1

rr

==

=

=

n

i

ii

n

i

iiC rm

dt

drm

dt

drm

dt

d

11

)()( rrr

, =

=n

i

ii

C

dt

rdm

dt

rdm

1

rr

, ,=

=n

i

iiC VmVm

1

rr

CC KVmKrrr

==

Impuls sile

1.) Elementarni impuls sile: Pod elementarnim impulsom sileId

rpodrazumeva se veliina koja je jednaka proizvodu sile

Fr

koja deluje na taku i infinitezimalno malog intervala

vremena dt, tj. dtFIdrr

= .2.) Impuls sile (ukupni impuls sile): Ako taka pod dejstvom

sile Fr

pree iz poloaja u kome se nala u trenutku t

u poloaj M, koji odgovara trenutku t, tada je u datom intervalu vremena ( t ,t)

impuls sile

0M 0

0

Fr

odreen sa .=t

t

dtFIrr

0

Teorema o promeni koliine kretanja materijalnog sistema

Diferencijalna jednaina kretanja i-te reprezentativne materijalne take je

u

i

s

ii

i FFdt

Vdm

rrr

, ( ) uisiiii FFdt

KdVm

dt

d rrr

r+== ,+=

odakle se sumiranjem, za sve take, dobija ====

+=

=

n

i

u

i

n

i

s

i

n

i

i

n

i

i FFKdt

d

dt

Kd

1111

rrrr

.

Kako je i , tada jesR

n

i

s

i FFrr

==1

01

===

u

R

n

i

u

i FFrr s

RFdt

Kd rr

= , tj.: izvod po vremenu

koliine kretanja materijalnog sistema jednak je glavnom vektoru spoljanjih sila koje

deluju na materijalni sistem. Projektovanjem lanova prethodne relacije na ose

izabranog koordinatnog sistema, npr. Oxyz, dobijaju se teoreme o promeni koliine

kretanja materijalnog sistema u odnosu na ose, tj.s

Rx XK =& , , .s

Ry YK =& s

Rz ZK =&

Ako se teorema o promeni koliine kretanja materijalnog sistema, u diferencijalnom

obliku, napie kaorr

, integracijom se dobijadtFKd sR=


2/41


s

R

t

t

s

R IdtFKKrrrr

== 1

0

01 ,

to predstavlja teoremu o promeni koliine kretanja materijalnog sistema, u

(konanom) integralnom obliku, koja glasi: promena koliine kretanja materijalnog

sistema u konanom intervalu vremana jednak je impulsu glavnog vektora spoljanjihsila koje deluju na materijalni sistem, u istom intervalu vremena. Odgovarajue

skalarne jednaine su

s

R

t

t

s

Rxx xIdtXKK ==

1

0

01, , .s

R

t

t

s

Ryy yIdtYKK ==

1

0

01

s

R

t

t

s

Rzz zIdtZKK ==

1

0

01

Zakon o odranju koliine kretanja materijalnog sistema i zakon o odranju

poloaja centra masa

Ako na materijalni sistem deluje takav sistem spoljanjih sila da njegov glavni vektor

jednak nuli, tj. , tada iz teoreme o promeni koliine kretanja sledi zakon o

odranju koliine kretanja materijalnog sistema, u obliku

0=sRFr

0=Kdr

, .constK=r

, ili .01 constKK == rr

U specijalnom sluaju kada je i brzina centra masa materijalnog sistema u nekom

trenutku jednaka nuli, tada iz zakona o odranju koliine kretanja materijalnog

sistema sledi

0==== CCC rmVmKK &r

rrr, .constrC=

r

tj. u tom sluaju ne menja se poloaj centra masa materijalnog sistema.

esto se deava da za neku od osa inercijalnog koordinatnog sistema (npr. osu Ox)

vai . Tada vai zakon o odranju koliine kretanja za osu, tj. U

specijalnom sluaju, ako je u i nekom trenutku zadovoljeno , tada je

, tj.

0=sRX .constKx =

0t 0)( 0 =tKx

0=xK

011

=

==

==

n

i

ii

n

i

iix xmdt

dxmK & , ,.

1

constxmn

i

ii ==

.constxC = , .==

=n

i

ii

n

i

ii txmtxm

1

1

1

0 )()(

Moment koliine kretanja take

Moment koliine kretanja (kinetiki moment) take, u odnosu na neki pol Oje

VmrKrLOrrrrr

== ,

gde je rr

- vektor poloaja take u odnosu na pol O, a Kr

njena koliina kretanja.

Moment koliine kretanja take, u odnosu na neku osu Ou je projekcija na tu osu

kinetikog momenta OL

r

.

Moment koliine kretanja materijalnog sistema

Moment koliine kretanja (kinetiki moment) materijalnog

sitema, u odnosu na neki pol O je glavni vektor momenata

koliine kretanja taaka sistema odreenih u odnosu na isti

pol

==

==n

i

iii

n

i

iOiO VmrKML

11

)(rrrrr

=

=n

i

OL1

r

.


3/41


Moment koliine kretanja materijalnog sistema u odnosu na neku osu koja prolazi

kroz pol O je projekcija na tu osu kinetikog momenta OLr

u odnosu na taj pol O

uLL Ourr

= . Kako je

==

==n

i

iiiiii

n

i

iiiO

zmymxm

zyx

kji

VmrL11

&&&

rrr

rrr,

tada je

=

==n

i

iiiOx zzymiLL

1

( &rr

iiy )&

= Oz kLL

, ...,

=

=n

i

iiiii xyyxm

1

)( &&rr

.

U sluaju obrtanja materijalnog sistema oko nepokretne ose,

npr. ose Oz, vai cosizi rx = , sinizi ry = i z=& , pa je

zz

n

i

ziz

n

i

zzi

n

i

iiiiiz JrmrmxyyxmL

ii ==+==

=== 1

2

1

222

1

)sin(cos)( && .

Do istog rezultata se dolazi i kada je u pitanju kruto telo.

Veza izmeu momenta koliine kretanja materijalnog sistema u odnosu na

nepokretni pol i sredite masa sistema

Uoimo dva koordinatna sistema: Oxyz Dekartov inercijalni koordinatni sistem, i

- Dekartov translatorno pokretni koordinatni sistem

smeten u sreditu masa. Poloaj proizvoljne take

materijalnog sistema odreen je sa r

111 zyCx

iCi r rrr

+= , pa je

C

MC iV

rri

i Vdt

rdV

rr

== + .

Sada je

( ) =

++==

== dt

dVmrVmrL iCi

n

i

iC

n

i

iiiO

rrrrrrr

11

( ) +

+=

==

n

i

iiC

n

i

CiCdt

dmrVmr

11

r

rrr

+ ( ) ==

+

n

i

i

ii

n

iCii dt

d

mVm11

rrrr

.

Imajui u vidu da je ,( ) KrVmr Cn

i

CiC

rrrr=

=1

01

=

=

n

i

iiC

dt

dmr

rr

,

( ) ( ) 011

== ==

n

i

Cii

n

i

Cii VmVm

rrrr , rC

n

i

i

ii Ldt

dm

rr

r=

, dobija se

=1

r

C

r

CCO LKOCLKrLrrrrrr

+=+=

Veza izmeu kinetikih momenata u odnosu na dva nepokretna

pola

Neka su kinetiki momenti u odnosu na nepokretne polove O i O1


4/41


odreeni sa rCO LKOCLrrr

+= i rCO LKCOLrrr

+= 11 . Sada je

KOCCOLL OOrrr

+= )( 11 . Kako je OCOOCO += 11 , dobija se relacija koja

pokazuje promenu kinetikog momenta pri promeni pola, tj. KOOLL OOrrr

+= 11 .

Ako materijalni sistem vri translatorno kretanje, tada je 0=r

CL

r

, pa je kinetiki

moment takvog materijalnog sistema KOCLOrr

= .

Teorema o promeni kinetikog momenta materijalnog sistema u odnosu na

nepokretni pol i nepokretnu osu

Za i-tu taku materijalnog sistema vai

( )iiiiiiiO Vmdt

drVmrL

rrr&r&r

+= , 0== iiiiii VmVVmrrrr

&r ,ii

i

O FrLrr&r = , ( )iOiO FML

rr&r= ,

gde je ui

s

ii FFFrrr

+= , pa je ( ) ( )uiOsiOiO FMFMLrrrr&r

+= . Sabirajui prethodnu relaciju,

za svaku od ntaaka materijalnog sistema, dobija se

uO

sOO MML

rr

&

r

+= . Imajui u vidu da je glavni moment unutranjih sila 0=uOM

r

, sledi

s

OO ML

r&r= ,

tj. izvod po vremenu kinetikog momenta materijalnog sistema, odreenog u odnosu

na nepokretni pol, jednak je glavnom momentu svih spoljanjih sila koje deluju na

sistem u odnosu na isti nepokretni pol.

Projektujui lanove prethodne relacije na ose nepokretnog koordinatnog sistema,

npr. Oxyz, dobijaju se izrazi koji predstavljaju teoremu o promeni kinetikog

momenta u odnosu na nepokretnu osus

OxOx ML =& , , .s

OyOy ML =& s

OzOz ML =&

Zakon o odranju kinetikog momenta materijalnog sistema u odnosu nanepokretni pol i nepokretnu osu

Ako za sve vreme kretanja materijalnog sistema vai da je 0=sOMr

, tada je , tj0=OL&r

.constLO =r

Dakle, ako je za sve vreme kretanja materijalnog sistema glavni moment spoljanjih

sila u odnosu na nepokretni pol jednak nuli, tada je kinetiki moment u odnosu na isti

pol konstantan.

Ako na materijalni sistem deluje takav sistem sila da za neku nepominu osu Ou vai

da je , tada je , tj.0=sOuM 0=OuL& .constLOu = , to predstavlja zakon o odranju

kinetikog momenta u odnosu na nepokretnu osu.

U posebnom sluaju, kada je 0=sOMr , a u nekom trenutku je0t 0)( 0 =tLO

r , tada je

0=OLr

, to predstavlja specijalni sluaj zakona o odranju kinetikog momenta u

odnosu na nepokretni pol. Ako za za neku nepominu osu Ou vai da je , a u

nekom trenutku je , tada je u svakom trenutku

0=sOuM

0t 0)( 0 =tLOu 0=OuL .

Teorema o promeni kinetikog momenta materijalnog sistema u odnosu na

pokretni pol i pokretnu osu

Neka je sa irr

odreen poloaj i-te materijalne take u odnosu na pol Onepokretnog

koordinatnog sistema Oxyz i neka je sa ir

odreen poloaj te take u odnosu na

pokretni polA.Tada vai iAi rr rrr += i , tj. .=

=n

i

iiiA VmL

1

rrr ( )=

=n

i

iiAiA VmrrL

1

rrrr


5/41


Diferenciranjem po vremenu dobija se

( )==

+n

i

iiAi

n

i

iiAii VmrrVmVVm

11

&rrrrrr=

=n

i

iA VL

1

r&r.

Prvi lan u prethodnom izrazu jednak je nuli, a kako je

i==n

i

iiVmK1

rr

( ) ( ) sAn

i

s

ii

n

i

u

i

s

ii

n

i

iii

n

i

iiAi MFFFamVmrrrrrrrrrr&rrr

==+== ==== 1111

,

dobija se teorema o promeni kinetikog momenta materijalnog sistema u odnosu na

pokretni pol, u oblikus

ACAA MVmVLrrr&r

=+ .

Izrazi za teoreme o promeni kinetikog momenta u odnosu na nepokretni i pokretni

pol razlikuju se za lan V CA Vmrr

. Ove dve teoreme imae isti oblik ako je:

1. V 0=Ar

, tj. i polAje nepokretan,

2. V 0=Cr

, tj. polAje pokretan, a centar masa nepokretan,

3. V CA Vr r

|| , tj. brzine oba pola su paralelne

4. , tj. za pokretni pol se usvaja sredite masa C, i tada jeCA sCC MLr&r

= .

U specijalnom sluaju, kada je 0=sCMr

, sledi da je .constLC =r

, to predstavlja zakon

o odranju kinetikog momenta u odnosu na sredite masa. Ravan koja je u tom

sluaju upravna na CLr

i nepokretna, naziva se Laplasova ravan. Ako je 0=sCMr

i ako

su u nekom trenutku sve take sistema mirovale tada je za sve vreme kretanja 0=CLr

.

Projektovanjem lanova izrazas

ACAA MVmVL rrr&r =+ na pokretnu osu Ap, dobija se

teorema o promeni kinetikog momenta materijalnog sistema u odnosu na pokretnu

osu, u obliku

( ) ( ) sApApCAApAApAr MVmVLL =++ rrrr&r

,

gde je - ugaona brzina pokretne ose.r

Kinetika energija materijalnog sistema

Kinetika energija take je pozitivna skalarna veliina koja se definie kao

2

2

1

mVEk= , gde je m - masa take, a V intenzitet njene brzine. Kineti

ka energija

materijalnog sistema predstavlja zbir kinetikih energija pojedinih taaka, tj.

( )===

===n

i

iii

n

i

ii

n

i

KK VVmVmEE i11

2

1 2

1

2

1 rr.

Kinetika energija krutog tela, koje je podeljeno na elementarne delie masa dmje

=V

dmVEK2

2

1.

Kenigova teorema

Neka se kretanje materijalnog sistema posmatra u odnosu na nepokretni koordinatni

sistem Oxyz. Uvoenjem translatorno pokretnog koordinatnog sistema ,111 zyCx


6/41


poloaj i-te take odreen je sa iCi rr rrr

+= . Apsolutna

brzina take je VirCii

VVrr r r

&r +== , pa je kinetika energija

( ) ( ) ( )=

++=n

i

rCrCiiii iiVVVVmVV

12

1 rrrrrr

=

=n

i

K mE

12

1,

( ) = =

++n

i

rr

n

i

irCiCi iiiVVmVVmV

1 1

2

2

1

2

12

rrrr

=

=n

i

K mE

12

1,

2

1

2

1

2

2

1

2

1

2

1C

n

i

iC

n

i

Ci mVmVVm ==

==

, 02

1

2

1

11

==

==n

i

i

iC

n

i

rCidt

dmVVVm

i

r

rrr,

( ) 211 2

1

2

1iii r

n

i

irr

n

i

i VmVVm ==

= rr

, 2

1

2

2

1

2

1ir

n

i

iCK VmmVE =

+=

relKCK EmVE += 2

2

1,

to predstavlja Kenigovu teoremu: Kinetika energija materijalnog sistema jednaka je

zbiru kinetike energije centra masa, kao da je u njemu skoncentrisana masa celogsistema, i kinetike energije relativnog kretanja materijalnog sistema u odnosu na

centar masa.

Kinetika energija tela koje se kree translatorno

U sluaju translatornog kretanja tela vai da je Ci VVrr

= pa je kinetika energija

22

2

1

2

1mVdmVEK ==

V

. Isti izraz moe se dobiti i iz Kenigove teoreme. U sluaju

translatornog kretanja tela je 0=rVr

, pa je22

2

1

2

1mVmVE CK == .

Kinetika energija tela koje se obre oko nepokretne ose

Neka se telo obre oko nepokretne ose Oz. Brzina uoenog elementa mase dm je

zzrV= , gde je - rastojanje uoenog elementa od ose obrtanja, azr z - ugaona

brzina tela. Tada je

( ) 222222

1

2

1

2

1

2

1zzzzzzK JdmrdmrdmVE ====

VVV

.

Kinetika energija tela koje vri ravno kretanje

Koristei Kenigovu teoremu relKCK EmVE +=2

21 , i uoavajuu delimase tela, vai

=

=N

i

riK irelVmE

1

2

2

1. Kako je brzina uoenog delia iriV = , gde je i rastojanje

delia od centra masa, a ugaona brzina tela, dobija se

( ) ==

==N

i

ii

N

i

iiK mmE

rel

1

22

1

2

2

1

2

1 .

Graninim procesom kada N , sledi 22

1

CK JE

rel= , gde je sa oznaen

aksijalni moment inercije tela za pokretnu osu koja prolazi kroz centar masa i upravna

je na ravan kretanja tela. Tada je

CJ


7/41


22

2

1

2

1

CCK JmVE += .

Kinetika energija tela koje se obre oko nepokretne take

Brzina uoenog delia tela, mase im , je ( )iii rrVr r rr r

== 0 , gde jer

- trenutna

ugaona brzina tela, ir

r

- vektor poloaja uoenog delia tela, u odnosu na nepokretnutaku, a 0

r- jedinini vektor trenutne ose obrtanja Op. Kinetika energija delia tela

je ( ) iiK mrE i =2

0

2

2

1 rr . Uvoenjem oznake ( ) 220 ipi dr =

rr , gde je -

rastojanje delia od trenutne ose obrtanja, uzimajui da

ipd

N , dobija se

222

1

22

1

22

1 2

1

2

1lim

2

1

2

1limlim

piii O

N

i

ipN

N

i

ipN

N

i

KN

K JdmdmdmdEE ===== =

=

=

V

gde je - promenljivi moment inercije tela u odnosu na trenutnu osu obrtanja Op.pO

J

Kinetika energija tela koje vri opte kretanjeOpte kretanje tela moe se razloiti na prenosno translatorno i relativno kretanje kojepredstavlja obrtanje oko trenutne ose obrtanja. Koristei Kenigovu teoremu, tj. da je

kinetika energijarelKCK

EmVE += 22

1, i uzimajui u obzir da je relativno kretanje

obrtanje oko nepokretne take, pri emu je u tom sluaju izraz za kinetiku energiju

2

2

1

pCK JE = , tada je kinetika energija tela koje vri opte kretanje

22

2

1

2

1

pCCK JmVE += .

Elementarni rad sileNeka se takaMkree pod dejstvom sile F

rpo putanji proizvoljnog oblika. Rad sile

Fr

na elementarnom pomeranju rdr

take ili elementarni

rad sile A jednak je skalarnom proizvodu sile Fr

i

elementarne (beskonano male) promene vektora poloajate take, tj.

rdFAr

, dtVFArr

= , IdVArr

= ,r

=

dsds

rdrd

r

dstrr

== dstFA,r r

= .

Iz prethodnih razmatranja vidi se da je

.,

,

,

A

oo

o

o

180900

900

9000

Ako se Fr

i drr

izraze u odnosu na Dekartov pravougli koordinatni sistem Oxyz

kZjYiXFrrrr

++= , kdzjdyidxrdrrrr

++= , tada je elementarni rad sile

ZdzYdyXdxA ++= .

Rad sile

Ukupni rad sile, ili samo rad sile, koja deluje na taku, predstavlja rad sile pri

konanom pomeranju take po putanji. U cilju odreivanja rada sile posmatra se

kretanje take M pod dejstvom sile Fr , po putanji proizvoljnog oblika. Ako se deo


8/41


putanje take izme nd vau dva njena proizvoljna poloaja 1M i 2M izdeli se na elo ,

dobija se poligonalna linija. Analogno definiciji elementarnog

rada sile moe se uvesti mera dejstva sile iFr

, pri malom

nanom pomeranju take iz poloaja iM u poloaj 1+iM oja

je odre sa ii rF

ko

ena

, krr

, ,i( 21 )n,...,= , gde je iFr

- s

de ir

ila koja

luje na takuMkada se ona nae u poloaju iM i gde jer

prirataj vektora poloaja

-

rr

take izme njenih poloaja iM i 1+iM . Uk na a

dejstva sile

u up mer

Fr

, pri pomeranju takeMiz poloaja 1M u poloaj M du poligon e

linije, je n

ii rF rr

. G prelazom, tj.

2 , aln

1

aninim=i

r n

, koja predstavlja rad sile

dolazi se do

=

=

n

i

iin

MM rFlimA

121

rrFr

, na njenoj putanji izmeu taaka

i . Ova granina vrednost naziva se krivolinijski integral. Dakle, rad sile1M 2M F

r

obeleava se saAili i odreen je sa .21MM

A ==2M

M

AA

M

M

ZdzYdyXdxA &&&

21MM rdF

rr

1

Ako je za izraunavanje rada sile izabran Dekartov koordinatni sistem Oxyz, tada je

( ) ++=2

, .( )dtz1 1

U optem sluaju reenje prethodnih krivolinijskih integrala zavisi i od oblika putanje

i od duine luka po kome se kree taka. Samo u posebnom sluaju rad sile ne zavisini od oblika putanje take, niti od njenog preenog puta, ve samo od koordinata

poetnog i krajnjeg poloaja take. Da bi to bilo ispunjeno, linearni diferencijalniizraz mora da bude totalni diferencijal neke skalarne funkcije

poloaja take , to znai da se X, Y i Z mogu predstaviti kao parcijalni

izvodi te funkcije. Sile koje ispunjavaju te uslove zovu se konzervativne i rad takvihsila zavisi samo od poetnog i krajnjeg poloaja take na putanji. Svaka sila koja je

funkcija poloaja ne mora da ispunjava te zahteve koji se nazivaju uslovi

konzervativnosti.

ZyYxXA

t

t

++=2

ZdzYdyXdx ++

)z,y,x(f

Snaga sile

Snaga sile je veliina koja karakterie promenu po vremenu rada sile. U cilju

definisanja snage sile posmatra se taka na koju deluje sila F

r

, koja izvri rad A

zakonaan interval vremena , pri pomeranju take iz poloaja , u kome se

nalazila u trenutku t u poloaj koji odgovara trenutku t . Srednja snaga te sile,

za posmatrani interval vremena, odreena je sa

t 1M

1 2M 2

t

APsr

= . Snaga sile F

r, u trenutku t,

predstavlja graninu vrednost srednje snage sile kada posmatrani interval vremena

tei nuli, tj.dt

A

t

AlimP

t

=

=

0. Dakle, snaga sile u datom trenutku jednaka je odnosu

elementarnog rada sile i intervala vremena u kome je taj rad izvren i predstavljabrzinu vrenja rada u tom trenutku.


9/41


Rad rezultante sistema sila

Neka na takuM, mase m, deluje sistem sila )F,...,F,F( nrrr

21 . Rezultanta ovog sistema

sila je . Rad rezultante takvog sistema sila izmeu

poloaja take i , je ,

=

=+++=n

i

in FF...FFF1

21

rrrrr

1M 2M ( ) +++==2

1

2

1

21 21

M

M

n

M

M

MM rdF...FFrdFA rrrrrr

+++=2

1

2

1

2

1

21 21

M

M

n

M

M

M

M

MM rdF...rdFrdFA rrrrrr

, .=

=+++=n

i

inMM AA...AAA

1

2121

Rad sile tee

Neka se posmatra kretanje takeM, mase mu polju tee, u odnosu

na Dekartov koordinatni sistem Oxyzkod koga je osa Ozusmerena

vertikalno navie. Projekcije teine take ( gmG rr

=

= YX

) date su sa

,0= mgZ = , pa je

( ) mghgmA MM =r21 .

U sluaju materijalnog sistema, za i tu taku vai iii gdzmA = , a za ceo sistem je

, odakle jeC

n

i

ii

n

i

ii mgdzdzmggdzmA === == 11

==2

1

21)(

C

C

z

z

CC zzmgmgdzA

Rad centralne sile

Posmatra se kretanje take M na koju deluje centralna sila Fr

,

koja je funkcija samo rastojanja iiji je centar u ta

ki O. Tada je

( ) rdr

rrFFA

r

r

rMM

rr

r

=2

1

21)( . Ako se uzme u obzir da je

2rrr =

rr,

odakle diferenciranjem sledi r rdr rd = rr

, dobija se

( )FA MM 21r

dr)r(F

r

r

r=2

1

.

Rad linearne sile elastinosti

Linearna sila elastinosti (linearna sila uspostavljanja) Fcr

, je sila

koja ima smer ka centru sile O i koja deluje shodno Hukovom

zakonu, tj. lcF , gde je c koeficijent krutosti, a

deformacija. Pod deformacijom

c =l

l podrazumeva se veliina

. Sada je0rrl =

( ) ( ) ==2

1

2

1

21 0

r

r

r

r

ccMM drrrcrdFFA rrr

,

( ) ( ) ( )2022012

1

2

121

rrcrrcFA cMM =r

, ( ) )(2

1 22

2

121llcFA cMM =

r.


10/41


Rad sile trenja klizanjaPosmatra se kretanje take M po realnoj, stacionarnoj, holonomnoj, zadravajuoj

vezi koju ini povr nekog tela. Reakcija veze Rr

, ima dve

komponente: Nr

u pravcu normale i FTr

u pravcu tangente na

putanju take. Ako otpor kretanju ta

ke M po povri poti

e od

suvog trenja, sila trenja klizanjar

jeTF

tsNV

VNFT

r&

rr

sgn == . Rad sile trenja klizanja pri

prelasku takeMiz poloaja u poloaj , je

T

rF

1M 2M

( ) ===2

1

2

1

2

1

21sgn

M

M

M

M

M

M

TTMM dsNdssNrdFFA &

rrr.

Rad unutranjih sila izmenljivog i neizmenljivog materijalnog

sistemaNeka su uoene bilo koje dve take materijalnog sistema. Njihovi

vektori poloaja su r1r

i r2r

, a sile kojima meusobno deluju su

. Zbir elementarnih radova ovih sila jeuu FF 2112rr

=

121221122112221112 )()( MMdFrrdFrdrdFrdFrdFA uuuuuu ===+= rrrrrrrrrrr

,

( ) ( )( )udMMuMMdFuMMdFMMdFA uuuuirrrrrr

12121212121212 +=== .

Kako je: u ,2uu =rr

02 = udu rr

, 012 = udMM r

, 012 = udFu r

r, tada sledi

- ako je materijalni sistem izmenljiv, tada je ( ) 012 MMd , ( ) 01212 uMMdFu rr ,01212

= udMMF

u rr

i , tj. rad unutranjih sila izmenljivog materijalnogsistema nije jednak nuli.

0u

iA

- ako je materijalni sistem neizmenljiv, tada je ( ) 012 =MMd i F 012 = udrur , pa je, tj. rad unutranjih sila neizmenljivog materijalnog sistema jednak je

nuli. Zakljuci izvedeni za posmatrani par unutranjih sila proiruju se na radsvih unutranjih sila. Kruto telo moemo smatrati neizmenljivim materijalnim

sistemom pa je u tom sluaju rad unutranjih sila jednak nuli.

0=uiA

Rad spoljanjih sila koje deluju na kruto telo

Rad spoljanjih sila koje deluju na kruto telo koje se kree translatorno

Na telo, koje se kree translatorno, deluje sistem spoljanjih silas

iF

r

(i=1,2,...,N).Trajektorije taaka tela koje se kree translatorno istovetne, a pomeranja svih taaka

tela meusobno su jednaka, tj. rdrd irr

= . Elementarni rad spoljanje sile je tada

rdFA siirr

= , a elementarni rad svih sila koje deluju na telo je

rdFrdFAA sR

N

i

s

i

N

i

i

rrrr===

== 11

.

Ukupni rad svih sila, pri prelasku tela iz poloajaI, u poloajII, je

===

II

I

s

R

N

i

II

I

s

i rdFrdFA rrrr

1

.


11/41


Rad spoljanjih sila koje deluju na kruto telo koje se obre oko nepokretne ose

Neka se telo obre oko nepokretne ose Oz, ugaonom brzinom dtdkkz /rrr

== .

Ako u nekoj taki tela, iji je vektor poloaja rr

, deluje spoljanja sila Fr

, tada je njen

elementarni rad

( ) ( ) dMdtkMdtFrdtrFdtVFrdFAOzzO

======

rrrrrrrrrrrr

,

pa je ukupni rad .=2

1

dMAOz

Rad spoljanjih sila koje deluju na kruto telo koje vri ravno kretanje

Neka je telo koje vri ravno kretanje izloeno dejstvu sistema spoljanjih sila siFr

(i=1,2,...,N). Ako se izvri paralelno prenoenje svih sila u pol translacije (centar

mase), dobija se glavni vektor sRFr

i glavni moment spoljanjih sila. Elementarni

rad sada je odreen sa

s

CM

dMrdFA

s

CC

s

R += rr

, dok je rad na konanom pomeranju

+=2

1

2

1

dMrdFA sC

C

C

C

s

Rrr .

Rad spoljanjih sila koje deluju na kruto telo koje se obre oko nepokretne takeU sluaju kada se telo obre oko nepokretne take O, i ako na njega deluje sistem

spoljanjih sila, njihovim paralelnim prenoenjem u nepokretnu taku O dobija se

glavni vektor sRFr

i glavni moment sOMr

. Kako je taka O nepokretna, tada rad vri

samo glavni moment. Imajui u vidu da se sferno kretanje moe predstaviti obrtanjem

oko trenutne ose obrtanja Op, elementarni rad svih spoljanjih sila je

sOpMA = ,

gde je - elementarni ugao obrtanja tela oko trenutne ose obrtanja. Treba imati uvidu da takav ugao ne postoji i da d jer trenutna ugaona brzina nije izvodnekog ugla po vremenu, veje funkcija tri Ojlerova ugla.

Rad spoljanjih sila koje deluju na kruto telo koje vri opte kretanjeKada telo vri opte kretanje, moe se smatrati da se ono obre oko pokretne take C,pa u ovom sluaju, za razliku od prethodnog, rad vri i glavni vektor sistema

spoljanjih sila. Tada je elementarni rad odreen sa

sCCs

R pMrdFA +=

rr,

gde je - glavni moment spoljanjih sila u odnosu na trenutnu osu obrtanja koja

prolazi kroz pokretni pol (centar masa) C.

s

CpM

Polje sile. Potencijalna energija

Polje sile. Funkcija sile. Konzervativna sila

Polje neke fizike veliine je ogranien ili neogranien deo prostora ijoj svakoj takiodgovara odreena vrednost te fizike veliine. Zavisno od prirode fizike veliine

postoje skalarna (npr. temperaturno, ) ili vektorska polja (polje sile, brzine, ).

Polje sile je ogranien ili neogranien deo prostora u ijoj svakoj taki se oseadejstvo sile, koja zavisi od poloaja take i vremena. Bie razmatrana samo

stacionarna polja sila, tj. )z,y,x(fFrr

= . U sluaju Dekartovog koordinatnog sistema

Oxyz, slede odgovarajua skalarna polja ),,(1 zyxfX= . Ako postoji takva skalarna funkcija

),,(2 zyxfY=),,(3 zyxfZ= ( )z,y,xU , iji su parcijalni izvodi


12/41


po koordinatama jednaki projekcijama sile na odgovarajue ose Dekartovog

koordinatnog sistema, tj. Xx

U=

, Y

y

U=

, Z

z

U=

, onda se takva funkcija U

naziva funkcija sile, a polje okarakterisano takvom funkcijom naziva se potencijalno

ili konzervativno polje sile. Takva sila Ugradkz

Ujy

Uix

UF =

+

+

=

rrrr

, naziva se

konzervativna sila. Funkcija sile ( )z,y,xU odreena je do na proizvoljnu konstantu

jer je )CU(gradUgradF 1+==r

, gde je proizvoljna konstanta. Elementarni rad

konzervativne sile

1C

Fr

ima oblik

dUZdzYdyXdxrdFA =++== rr

, dUA= .

Uslovi konzervativnosti sile

Konzervativna sila moe se napisati i na sledei nain UUgradF ==r

, gde se

gradijent funkcije smatra kao primena operatora

(Hamiltonov operator) na skalarnufunkciju U, tj. k

zj

yi

x

rrr

+

+

= . Sada je ( ) 0=== UUF

r,

0=

==

ZYX

zyx

kji

FrotF

rrr

rr, 0,0,0 =

=

=

y

X

x

Y

x

Z

z

X

z

Y

y

Z.

Ovi uslovi nazivaju se uslovi konzervativnosti sile.

Potencijalna energija

Za konzervativne sisteme, tj. sisteme u kojima deluju konzervativne sile, pojampotencijalne energije uvodi se na sledei nain: ( ) ( z,y,xUz,y,xEp )= , gde je

funkcija sile. Tada je( z,y,xU ) pEgradUgradF ==r

,x

EX

p

= ,

y

EY

p

= ,

z

EZ

p

= . Elementarni rad tako date konzervativne sile ima oblik

pdEZdzYdyXdxrdFA =++== rr

, pdEA = ,

a rad konzervativnog polja sila, pri prelazu take iz poloajaM1u poloajM2, je

( ) ( 211

2

2

1

21 MEMEdEdEA pp

M

M

p

M

M

pMM === ).

Rad konzervativnih sila nezavisan je od oblika putanje pokretne take kao i od njenog

preenog puta i zavisi samo od potencijalne energije u poetnom i krajnjem poloaju

take, pa je rad konzervativne sile po zatvorenoj putanji take jednak nuli.

Polazei od relacije , sledidUdEp = 1CUEp += , gde je C1 konstanta koja se

moe izabrati proizvoljno. Ova injenica koristi se tako to se poloaj take

u kojem e, uslovno, potencijalna energija biti jednaka nuli, tj.

, moe izabrati za taku nultog potencijala ili nulti nivo potencijalne

energije.

( 0000 z,y,xM )( ) 0000 =z,y,xEp


13/41


Ekvipotencijalne povri

Jednaina , predstavlja geometrijsko mesto taaka u kojima je ista

vrednost potencijalne energije. Ta jednaina predstavlja jednainu povri koja senaziva ekvipotencijalna povr. Za sve vrednosti parametra C dobija se familija

ekvipotencijalnih povri. U sluaju kada je

( ) Cz,y,xEp =

0C= , dobija se nulta ekvipotencijalnapovr.

Postavlja se pitanje pravca i smera konzervativne sile Fr

. Neka se taka pod dejstvom

konzervativne sile Frpomera po ekvipotencijalnoj povri saglasno jednainama koje u

odnosu na Dekartov koordinatni sistem Oxyzglase )(txx= )(tyy= )(tzz= . Tada iz

sledi ,[ ] C)t(z),t(y),t(xEp = 0=

+

+

= z

z

Ey

y

Ex

x

EE

ppp

p &&&& , ,0=++ zZyYxX &&&

0=VFrr

, odakle sledi zakljuak: sila konzervativnog polja ima pravac normale na

ekvipotencijalnu povr u datoj taki. Za odreivanje smera konzervativne sile moe se

pretpostaviti da se taka pomera u pravcu i smeru sile konzervativnog polja.

Elementarni rad konzervativne sile Fr

na tom pomeranju, dat je sa 0>= rdFA rr

.

Kako je pdEA = sledi da je 0


14/41


Integracijom prethodne jednaine, pri konanom pomeranju sistema iz poloaja 1 u

poloaj 2, dobija se teorema o promeni kinetike energije materijalnog sistema ukonanom obliku

+=)2(

)1(

)2(

)1(

12 )()( us

KK AAtEtE ,

a ako se integrali na desnoj strani mogu izraunati, tada je usKK AAtEtE += )()( 12U sluaju neizmenljivog materijalnog sistema, rad unutranjih sila jednak je nuli, pa je

tada . Diferenciranjem po vremenu izraza koji predstavlja

teoremu o promeni kinetike energije materijalnog sistema u diferencijalnom obliku

dobija se , tj. izvod po vremenu kinetike energije sistema jednak je

zbiru snaga svih spoljanjih i unutranjih sila koje deluju na materijalni sistem.

s

KK AtEtE = )()( 12

us

K PPE +=&

Zakon o odranju mehanike energije materijalnog sistema

Neka se materijalni sistem od n taaka kree pod dejstvom konzervativnih sila. To

znai da postoji funkcija koordinata taaka sistema( )

nnnPP zyxzyxEE ,,,...,,, 111=

koja se zove potencijalna energija sistema, takva da jei

P

ix

EX

= ,

i

P

iy

EY

= i

i

P

iz

EZ

= . Kako je pdEA = , sledi da je ( ) ( )21 tEtEA PP = , pa se iz teoreme o

promeni kinetike energije materijalnog sistema u konanom obliku dobija da je

( ) ( )2112 )()( tEtEtEtE PPKK = , ( ) ( ) .)()( 1122 consttEtEtEtE PKPK =+=+ ,tj. , to predstavlja zakon o odranju mehanike energije

materijalnog sistema.

.constEE PK =+

Ako na taku deluju konzervativne sile i sila otpora proporcionalna brzini take

VbFVrr

= , tada se iz diferencijalnog oblika teoreme o promeni kinetike energije

take dobija

rdVbdErdFdEdE PVPKrrrr

=+= .

Kako je dtbVdtVVbrdVb2==

rrrr, , tj.dtbVdEdE PK

2=

( ) dtEEd PK =+ 2 ,

gde je2

2bV

= , funkcija rasipanja (disipacije) ili Relejeva funkcija. Izraz na desnoj

strani prethodne jednaine je negativna veliina odakle sledi da, u sluaju delovanjaotporne sile, mehanika energija take opada. Mehanika energija, u ovom sluaju ne

nestaje, ona samo prelazi u drugi oblik energije.


15/41


Kretanje take pod dejstvom centralne sileZakon povrine

Neka se posmatra kretanje takeM, mase m, na koju deluje samo centralna sila Fr

, pri

emu je centar sile u nepokretnoj taki O. Moment sile Fr

u odnosu na taku Oje za sve vreme kretanja take jednak

nuli, tj. ( ) 00 =FMrr

, tako da vai zakon o odranju

momenta koliine kretanja take. Odatle sledi

( ) .constVrmLO == rrr

, 00 VmrVmrLOrrrrr

== .

Razlikuju se dva sluaja: 0. =constLOr

i 0=OLr

. Ako je

0. =constLOr

vektor LOr

je upravan na vektore rr

i Vmr

,

pa sledi da je trajektorija take kriva koja pripada ravni koja prolazi kroz centar sile

O, a upravna je na vektor OLr

. Ta ravan naziva se Laplasova ravan. Ako je 0=OLr

taka se kree pravolinijski. Sektorska brzina take moe se izraziti u obliku

( )Vrdt

AdS

rr

r

,r

==2

1.constS=

r2 , to znai da je u sluaju kretanja take pod dejstvom

centralne sile sektorska brzina take konstantan vektor, pa je Cdt

dA= , ,

gde je - integraciona konstanta. Dakle, pri kretanju take na koju deluje centralna

sila, povrina koju opisuje njen vektor poloaja menja se proporcionalno vremenu. Na

osnovu prethodnog sledi da je

1CCtA +=

1C

SmLOrr

2= , a ako se taka na koju deluje centralna sila

kree u ravni, na primer Oxy, a vektor OLr

je stalno upravan na tu ravan, sledi

, odnosnozzOz CmSL = 2 m

C

S z

z 2= . Kinetiki moment ta

ke, izraen u prethodnom

obliku naziva se integral povrine. U polarno-cilindarskom koordinatnom sistemu je

0

002

100

&&

rr r

r

rr

r

kpr

S= , kSkrS zrr

&r

== 22

1, .&2mrLOz =

Diferencijalne jednaine kretanja take pod dejstvom centralne sile

00rVr cos0V=& , sin0V000 rpV= = =&

r

mma = (&p

mma

Iz osnovne jednaine dinamike take dobija se

r

Frr = )2&& ,p

Frr =+= )2( &&&& .

Kako je )r(dt

d

rrra , diferencijalne jednaine

kretanja take su m ,

p &&&&&21

2 =+=

= )( 2&&& rFrr 0)(1 2 =&r

dt

d

r.

Iz druge, od prethodnih jednaina, sledi njen prvi integral koji se moe izraziti preko

projekcije zS sektorske brzine Sr

na osu Oz, tj. .constCSr z ==== 22& . Na taj

sinVr 000 = .

2

nain je Vrrr p002

0

2 == &&

Tada vai da je sinVrrrC , a diferencijalne jednaine su0002

0

2

2

1

2

1

2

1=== &&

)()(2

rFrrm r= &&& .C22

constr ==&


16/41


Bineova jednaina

Pretpostavlja se da je 000 Vmrrr

, tj. da je 0C . Izvodi po vremenu potega take

su

===

rd

dC

r

C

d

dr

d

drr

12

22

&& ,

=

==

rd

d

r

C

rd

dC

d

d

r

C

d

rdr

1412

22

2

2

2

2

&&

&& ,

pa je

2

2

2

2

4

11

mC

)r(Fr

rrd

d r=+

,

to predstavlja Bineovu jednainu, tj. diferencijalnu jednainu kretanja take poddejstvom centralne sile.

Kretanje take pod dejstvom Njutnove sile opte gravitacije

Neka se posmatra kretanje take mase m, koju privlai telo mase M sa centromprivlaenja u taki O, silom koja se definie pomou Njutnove sile opte gravitacije

rr

rmMfF

rr

2= , gde jef univerzalna gravitaciona konstanta, a r rastojanje take od

centra tela centra privlaenja. Projekcija sile Fr

na pravac koji prolazi kroz centar

tela i taku, a koji je odreen jedininim vektorom 0rr

( 0rrr rr

= ), data je sa

2r

mMf)r(Fr = . Diferencijalna jednaina kretanja posmatrane take je

22

2

4

11

C

Mf

rrd

d=+

,

pC

Mf 1

4 2 = ,

prrd

d 1112

2

=+

,

a reenjeph rrr

+

=

111, sinCcosC

r h21

1+=

,

pr p

11=

,

psinCcosC

r

1121 ++= ,

cosCsinC

V

V

r

r

rd

dr

rrd

d

p

r

2122

1111+====

&

&.

,sin,0

,cos,

000

000

0

0

VrV

VrVOM

p

r

==

==

&

&,0

0

00

rt

=

==

0

1

0

1

1

prC = ,

0

2r

ctgC

= ,

p

sin

r

ctgcos

11

00

+

prr

11

0

= ,

Uvoenjem novih konstanti cosA=11

0 pr ,

sinA

0r

ctg= ,

reenje jep

)cos(Ar

11+= ,

22

0

2

0

2

0

2

pr

)rp(

r

ctgA

+=

,

pr

ctgptg

=

0

, a ako je

p

eA = i = , reenje je

cose

pr

+=

1i predstavlja liniju putanje posmatrane

take. Poteg r dostie ekstremnu vrednost za 0= pri 1e , odnosno za =

pri .U prvom sluaju imenilac u prethodnoj relaciji ima minimalnu vrednost, tj.1e

eprr min+

===1

0 , a u drugom sluaju poteg dostie maksimalnu vrednost, tj.


17/41


e

prr max

===

1 . Zapaa se da su potezima i odreene dve take na pravcuminr maxr

0= . Ako se taj pravac usvoji za osu Ox Dekartovog pravouglog koordinatnog

sistema Oxy, linija putanje take moe se izraziti i na sledei nain

, tj. predstavlja jednainu konusnog preseka

u Dekartovim koordinatama. Pri tome je: taka O- fokus (ia)

konusnog preseka; r- fokusni poteg; Ox- fokusna osa simetrijekoja prolazi kroz najbliu taku Pkonusnog preseka (perihel) i

najudaljeniju taku konusnog preseka (afel), a usmerena je

prema perihelu;

(

222

expyx =+

)

- ugao izmeu fokusne ose simetrije i potega;

p - parametar duina potega normalnog na fokusnoj osi

simetrije i e- ekscentricitet konusnog preseka. U sluaju kada je

sledi , to predstavlja jednainu parabole.

Kada je izraz

1=e pxpy 222 =

1>e cose+1 moe biti jednak nuli to znai da poteg moe da bude

i beskonano veliki. Ovakvo svojstvo ima hiperbola. Kada je 1


18/41


2.) Vektori poloaja planeta u odnosu na Sunce opisuju za jednaka vremena,jednake povrine.

3.) Kvadrati vremena obilaenja planeta oko Sunca, odnose se kao kubovi veihpoluosa njihovih putanja.

Zapaa se da je razmatrano kretanje pod dejstvom Njutnove sile opte gravitacije, u

saglasnosti sa I Keplerovim zakonom. Takoe se zapaa da je u dosadanjimrazmatranjima prouen i II Keplerov zakon koji ukazuje na injenicu da je sektorska

brzina planeta, pri kretanju planeta oko Sunca, konstantna.

Pri jednom punom obilasku planete oko Sunca vektor poloajaplanete opie povrinu elipse koja je odreena sa

CTabA == gde je a velika poluosa elipse, b malapoluosa elipse, C sektorska brzina planete i T vreme

obilaska planete oko Sunca. Kako je )rr(a maxmin+=2

1,

2

1 e

pa

= , a rastojanje izmeu ia (fokusa) celipse dato sa

sledi . Mala poluosa elipse b moe se povezati sa veliinom p

polazei od relacije

minrac = aec=

22cab , pa je= apb . Sada je vreme obilaska planete oko

Sunca

=

2

232

C

paT

= , 3

22 4

afM

T = . Ako su Ti T vremena obilaenja dveju planeta

oko Sunca, a i a vee poluose njihovih putanja, sledi

1 2

1a 2 31

3

2

2

1

2

2

a

a

T

T= .

Trajektorije vetakih Zemljinih satelita

Neka su poetni uslovi kretanja satelita dati sa: minre

p

r =+= 10

ili maxre

pr =

=

10 i ( ) o90=V,r 00

rr, odnosno da se

ekscentricitet e moe izraziti u obliku 12

00 =ZfM

Vre ,gde je sa

oznaena masa Zemlje. Kada se satelit nalazi na povri

Zemlje, tada se Njutnova sila opte gravitacije svodi na

ZM

2R

mMfmg)r(F Zr ==

r, gde

jeRpoluprenik Zemlje i uzima se da je kmR 3706 , pa je , tako da je

intenzitet poetne brzine satelita

2gRfMZ =

0

2

0

1

r

)e(gRV .+=

a) Trajektorija satelita bie krunica ako je 0=e i tada je0

2

0r

gRV .=

b) Trajektorija satelita bie elipsa ako je 0 1


19/41


Ako je0

2

0

0

2 2

r

gRV

r

gR .

Za uslove poletanja satelita u blizini Zemlje, kada je Rr =0 , dobija se prva kosmika

brzina, tj. neophodan intenzitet poetne brzine satelita da bi on kruio oko Zemlje

s

km,gRVV 9701 == . Druga kosmika brzina, tj. neophodan intenzitet poetne

brzine satelita da bi on napustio orbitu oko Zemlje jes

km,gRVV 211202 == .

Samo trajektorije oblika krunice i elipse, koje se postiu poetnim brzinama

odreenim sas

km,V

s

km, 21197 0


20/41


dt

dr oznaen lokalni (relativni) izvod po vremenu, i gde su

rr, i

r- jedinini vektori

pokretnog koordinatnog sistema A . Sada je RFamamam acorrprrrrr

+=++ ,

odnosno corpa

r amamRFam rrrrr

+= . Ako se uvedu oznake inpp Famrr

= ,

in

corcor Famrr = , prethodna jednaina dobija oblik

in

cor

in

p

a

r FFRFamrrrrr

+++= .

Vektori inpFr

i incorFr

imaju dimenziju sile, a njihov smer je suprotan od smera vektora

ubrzanja par

i corar

, respektivno. Vektor inpFr

naziva se prenosna inercijalna sila, a

vektor incorFr

- Koriolisova inercijalna sila.

Prethodna jednaina odreuje kretanje take u odnosu na neinercijalni koordinatni

sistem A i ona se naziva osnovna jednaina dinamike relativnog kretanja take.

U optem sluaju, prenosna inercijalna sila ima tri komponente: Ain

pA amF rr= -

prenosna translatorna, )(mFinp rrr

=1 - prenosna obrtna i

))((mF ppin

p rrrr

=2 - prenosna aksipetalna.

Ako je za neinercijalni (pokretni) koordinatni sistem A izabran Dekartov

pravougli koordinatni sistem, tada jein

cor

in

p FFRFm

+++=&& , , .in

cor

in

p FFRFm

+++=&& in

cor

in

p FFRFm

+++=&&

Ako je za neinercijalni (pokretni) koordinatni sistem izabran prirodni trijedar, u taki

relativne putanje, tada se dobijaju sledee skalarne diferencijalne jednaine relativnog

kretanja take

inptt

at

r FRFdt

dVm ++= ,in

ncorin

pnna

n

k

r FFRFRVm +++=

2

, .in bcorinpbbab FFRF +++=0

Relativna ravnotea take

Pod relativnom ravnoteom (mirovanjem) take podrazumeva se njeno mirovanje u

odnosu na neinercijalni koordinatni sistem. Tada je 0=rVr

, 0=rar

i

02 == rpin

cor VFrrr

, pa je

in

p

aFRFrrr

++=0 .

Ova jednaina predstavlja jednainu relativne ravnotee take.

Teorema o promeni kinetike energije pri relativnom kretanju ta

keDiferencijalna jednaina relativnog kretanja take je

)V(mFRFam rpin

p

a

r

rrrrrr++= 2 .

Mnoei skalarno, relativnom brzinom take r

&r

&r

&

rr

++==dt

dV rr , levu i desnu

stranu prethodne jednaine, sledi

rrpr

in

prr

arrr V)V(mVFVRVF

dt

VdVm

rrrrrrrrrr

r++= 2 . (7.47)

Kako je 0= rr V)V(rrr

, tj. rrrrrrrr

r

in

prr

a

rrr dFdRdFVdVm ++= . Leva strana

ove jednaine moe se transformisati na slede

i na

in


21/41


krrrrrr dEmVdVdVm =

= 2

2

1rr, to znai da predstavlja diferencijal kinetike

energije take pri njenom relativnom kretanju. Sabirci na desnoj strani jednaine

predstavljaju elementarne radove odgovarajuih sila na relativnoj putanji take. Toznai da se ta jednaina moe pisati u obliku

( ) ( ) ( )inprrarkr FARAFAdE rrr ++= ,to predstavlja diferencijalni oblik teoreme o promeni kinetike energije take pri

njenom relativnom kretanju i moe se formulisati na sledei nain: diferencijalkinetike energije take, pri njenom relativnom kretanju, jednak je zbiru elementarnih

radova na relativnom pomeranju rezultante svih aktivnih sila, reakcije veze i prenosneinercijalne sile.

Integracijom, u odgovarajuim granicama relativne brzine take, od do i u

granicama od poloaja do poloaja relativne putanje, tj.

1rV

2rV

1M 2M

( ) ( ) ( ++=

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2

1 M

M

in

pr

M

M

r

M

M

a

r

V

V

rr FARAFAmVd

r

r

rrr

),dobija se

( ) ( ) ( inp)MM(r)MM(ra)MM(rrr FARAFAmVmV )rrr

21212112

22

2

1

2

1++= , (7.52)

to predstavlja teoremu o promeni kinetike energije take u konanom obliku, pri

njenom relativnom kretanju, a koja se moe formulisati na sledei nain: konanapromena kinetike energije take, pri njenom relativnom kretanju, na nekom

konanom relativnom pomeranju take, jednaka je zbiru radova svih aktivnih sila,

reakcija veza i prenosne inercijalne sile na tom istom relativnom pomeranju take.


22/41


Pravolinijske oscilacije takeOsnovne postavke

Kretanje take du prave linije, kod koga se rastojanje posmatrane take, od neke

nepokretne take, vie puta naizmenino poveava i smanjuje, naziva se pravolinijsko

oscilatorno kretanje. Ovakvo kretanje take, du neke prave linije, nastaje kada na

taku koja je izvedena iz poloaja u kome bi mirovala pod dejstvom sila (poloajstatike ravnotee), deluje sila koja nastoji da vrati taku u poloaj ravnotee. Takve

sile zavise od udaljenja take od poloaja ravnotee. Ove sile nazivaju se sile

uspostavljanja ili restitucione sile. Najrasprostranjeniji sluaj pravolinijskog

oscilatornog kretanja je onaj kod koga je sila uspostavljanja proporcionalna prvom

stepenu udaljenja take od poloaja ravnotee. Takve sile se nazivaju linearne sile

elastinosti ili linearne sile uspostavljanja i one deluju saglasno Hukovom zakonu.

- , gde se koeficijent proporcionalnosti c naziva

koeficijent krutosti i gde jex izduenje opruge. Znak minus

obezbeuje da linearna sila elastinosti bude uvek usmerena ka

poloaju ravnotee. Deformacija opruge u poloaju statikeravnotee naziva se statika deformacija opruge.

cxFc =

Zavisno od vrste oscilatornog kretanja, osim linearne sile elastinosti cFr

, koja je

funkcija samo poloaja, moe se uzeti da na taku deluju i sile koje su funkcije samo

brzine Vr

take ili samo vremena t. Od svih sila koje su funkcija samo brzine take,

ovde e biti razmatrane samo sile otpora WFr

, koje mogu biti posledica postojanja:

viskoznog trenja reje o silama koje nastaju pri kretanju take ili tela u fluidu i ove

sile otpora e biti oznaene sa TVFr

; suvog trenja reje o silama koje nastaju izmeu

posmatrane take i podloge i ove sile otpora e biti oznaene sa TFr

. Treu vrstu sila,

koje se u razmatranjima pravolinijskih oscilacija take uzimaju u obzir, predstavljajusile koje zavise od vremena. Ove sile e biti oznaene sa F

r i nazivaju se prinudne

(poremeajne sile).

U zavisnosti od toga koje sile deluju na taku, razlikuju se sledei sluajevi

pravolinijskih oscilacija take:

- slobodne (sopstvene) nepriguene oscilacije take,

- slobodne (sopstvene) priguene oscilacije take i one mogu biti slobodne

(sopstvene) priguene oscilacije take pri dejstvu viskoznog trenja i slobodne

(sopstvene) priguene oscilacije take pri dejstvu suvog trenja,

- prinudne nepriguene oscilacije take,

- prinudne priguene oscilacije take.

Slobodne nepriguene oscilacije take

NGFam crrrr

++= , cxxm =&& , ,02 =+ xx &&m

c=

)tsin(C)tcos(Cx 2+1= .

Neka je pretpostavljeno da je u poetnom

trenutku 00 =t taka zapoela kretanje iz

poloaja 00 x)t(x = , poetnom brzinom

ixi)t(xVr

&r

&r

000

== . Tada je ,01

xC =

0

2

xC ,

&= )tsin(

x)tcos(xx

0

0

&+= .


23/41


Za sinRC =1 i cosRC =2 je )tsin(Rx += , gde je2

02

0

2

2

2

1

+=+=

xxCCR

& .

Ugao += t je faza slobodnih nepriguenih oscilacija, a ugao ==0t je

poetna faza slobodnih nepriguenih oscilacija ),( ,0

0

2

1

x

x

C

Ctg

&

== . Sledi

da su amplituda i poetna faza oscilovanja take konstantne veliine koje se odreuju

iz njenih poetnih uslova kretanja. Oscilatorna kretanja take kod kojih se koordinata

take menja po sinusnom ili kosinusnom zakonu nazivaju se harmonijska.

Vreme koje protekne izmeu dva uzastopna prolaza takeMkroz isti poloaj, u istom

smeru, to predstavlja vreme jedne oscilacije, naziva se period T slobodnih

nepriguenih oscilacija. Ako su to trenuci i , tada vaint 2nt

)t(x)t(x nn 2= , )tsin()tsin( nn +=+ 2 , 22 ++=+ nn tt ,

22 == nn ttT , tj.

c

mT 2= . Osobina perioda oscilovanja da ne zavisi od

amplitude naziva se izohronost oscilovanja. Reciprona vrednost perioda oscilovanja

T , tj.m

c

Tf

2

11== , naziva se frekvencija oscilovanja i ona odreuje broj punih

oscilacija u jednoj sekundi (jedinici vremena), pa je fT

22

== .

Ekvivalentna krutost dve paralelno vezane opruge je 21 ccce += , a u sluaju dve

redno vezane opruge vai21

111

ccce+= .

Slobodne priguene oscilacije take pri dejstvu viskoznog trenja

Na taku deluje sila elastinosti opruge cFr

, sila viskoznog trenja VbFTVrr

= koja se

javlja u cilindru amortizera kao posledica postojanja fluida u cilindru, zatim teina

take Gr

i reakcija glatke podloge Nr

.

Diferencijalna jednaina kretanja posmatranetake tada je

NGFTVcFamrrrrr

+++= xm&& =

2 2 =++ xxx &&&

, ,

,

xbcx &

0

m

b

2= - koeficijent priguenja.

Karakteristina jednaina je ,02 22 =++ 2221 =, .

1.) Ako je < , tada je u pitanju malo priguenje, a koreni karakteristinejednaine su konjugovano kompleksni brojevi.

2.) Ako je > , tada je u pitanju veliko priguenje, a koreni karakteristinejednaine su realni i razliiti.

3.) Ako je = , tada je u pitanju granini (kritini) sluaj priguenja, a korenikarakteristine jednaine su realni i jednaki.

1.) Malo priguenje ( < ): ,222 p= ip, = 21 . ,tt eAeAx 21 21 +=iptiptt

eAeAex += 21

, ( ))ptsin(C)ptcos(Cex t 21 +=

.


24/41


Neka je taka Mu poetnom trenutku 00 =t bila u poloaju 000 = )(xx , i imala

brzinu ija je projekcija na osu Ox 000 = )(xx && . Tada je

01 xC = ,p

xxC 002

+=

&,

++= )ptsin(

p

xx)ptcos(xex t 000

& ,

)ptsin(Rex t +=

inilac ukazuje na to da e se amplitude oscilacija smanjivati u toku vremena, pa

se ovo kretanje naziva prigueno.

te

Vremena prolaska take kroz ravnoteni poloaj dobijaju se iz jednaina

0=+ )psin(Re ,p

nn

= , ,...),,n( 321= ,

pp

)n(

p

nnn

222 =

=

Veliinap

Tp2

= ne zadovoljava uslov periodinosti zbog postojanja lana u

zakonu kretanja, tj.

te

)Tt(x)t(x p , a naziva se period prividno periodinih

oscilacija (kvaziperiodinih oscilacija), ili period slobodnih priguenih oscilacija, iliuslovni period. Takoe, vai

222

1

2

2

=

=

pT ,

21 =

TTp , gde je

= - bezdimenzionalni

koeficijent priguenja.

2.) Veliko priguenje ( > ): U sluaju kada je > , . Ako seuvede oznaka ,

022 >222

q= q, = 21 . ( )tqtqt eAeAex += 21 ,

[ ])qt(shC)qt(chCex t

21 +=

.Karakteristika svih ovih kretanja je da su neoscilatorna i da je .0=

)t(xlim

t

3.) Granini sluaj(= ): U sluaju kada je , tj.022 = == 21 ,

( )21 CtCex t += , ( ) 0==

tt

t

t e

tlimetlim

. U graninom sluaju kretanja, taka

asimptotski tei ka svom ravnotenom poloaju. Takvo kretanje je prigueno

neoscilatorno kretanje ili aperiodino kretanje.

Prinudne nepriguene oscilacije take

NFFgmamc

r r rr r+++=

)t(Fx

F

, .)tcos(F =0

rdat je sa

=Period prinudne sile

2T .

(Fcxxm x )t= +&& cos(2

hxx =+&&, ,)t

gde jem

c=2 i

m

Fh .0=

Homogeni deo reenja je )tsin(C)tcos(Cxh 21 += , a naziva se partikularni

integral i njegov oblik je vezan za odnos veliina

px

i . Sa fizike take gledita,

ovaj deo opteg integralaxposledica je dejstva prinudne sile Fr

, zbog ega se naziva

prinudna oscilacija take.1.) Nerezonantni sluaj ;


25/41


2.) Bijenje (podrhtavanje) i 0>> ;3.) Rezonancija = .1.) Nerezonantni sluaj : )tcos(Cxp = , .)tcos(h)tcos()(C 22

)tcos(h

xp = 22 , )tcos(

h

xp = 22

1 , gde je sa oznaena

bezdimenzionalna veliina koja se naziva koeficijent

poremeaja, tj.

= . Kako je ,mhcfF st ==0

sst Ch

f ==2

, dobija se )tcos(f

x stp

=21

. Za

dst C

f=

21 dobija se )tcos(Cx dp = . Odnos veliina

i C naziva se dinamiki faktor pojaanja i obeleava se sadC S d , tj.

21

1

==

S

dd

C

C .

2.) Bijenje (podrhtavanje) ( i 0>> )3.) Rezonancija ( )= [ ])tsin(D)tcos(Ctxp += .Prinudne priguene oscilacije take

NFFFgmam TVcrrrrrr

++ ++=

xm

.

)tcos(Fxbcx += 0&&&

hxxx =++ 22 &&&

,

,)tcos(

gde jemc=

2 ,mb=2 i

mFh .0=

[ ]

( )( ),CtCex

;eCeCex

;)ptsin(C)ptcos(Cex

t

h

qtqtt

h

t

h

21

21

21

+==

+=>

+=+=

n

i

ii

a

i rNF rrr

. Kako su veze idealne,

tada je 01

>=

rr

tj. za svaku taku sistema mora da vai a NF

n

i

i

a

i rF , to je suprotno pola pretpostavka pogrena,

ii

znom uslovu, pa je

0=+r r

.

ncip moe seOvaj pri izraziti i u generalisanim koordinatama. S obzirom da za sistem

sa s stepeni slobode vai =s

jQA=

q , onda je uslov ravnotee =j 1 1

j 0=

s

j

a

j qQ .

Varijacije generalisanih kordinata

j

jq meusobno su nezavisne, pa da bi bila

cija mora bits

konzervativnzadovoljena prethodna rela i 0=== aaa QQQ L . Za i

sistem uslovi ravnotee su

21

021

=

==

=

ppp E

qq

EL . Ovaj princip moe se

Def. Zbir virtualnih radova svih aktivnih sila koje deluju na mehaniki si

sq

E

primeniti i kada materijalni sistem iji je broj stepeni slobode jednak nuli.

Lagran-Dalamberov princip. Opta jednaina dinamike

stem i svih

slovno pridodatih sila inercije jednak je nuli.

erovog principa, vai

u

Za i-tu taku materijalnog sistema, primenom Dalamb

0=++ iniia

i FNFrrr

. Saoptavajui sistemu virtualno pomeranje i koristei Lagranev

princip, dobija se

( ) 0=++n

i

in

ii

a

i rFNF rrrr

.1=i


39/41

6

, a veze idealne, tj. , tada je01

==

n

i

ii rN rr ( ) 0

1

==

n

i

iii

a

i ramF rrr

ii

in

i amF rr=Kako je .

a ima oblikOvaj princip, izraen u Dekartovim koordinatam

( ) ( ) ( )[ ] 01

=++=

n

ii zzmZyymYxxmX &&&&&& ,

a u generalisanim koordinatama, koristei

i

iiiiiiiiii

aaa

=

=

s

j

j

j

ii q

q

rr

1

rr

, je

( ) 0=+ n s

jiin

i

a

i qr

FF 1 1= =i j jq

rrr

, 01 11

=

+

s nin

iF= ==

j

j i j

in

i j

ia

i qq

r

q

rF

r rrr

.

Ako se uvedu oznake =n

=

i j

ia

i

a

jq

rFQ

1

r

=

=

n

i j

iin

i

in

jq

rFQ

1

rrr

, , tada je

=j

, (j=1,2,...,s)

Lagraneve jednaine I vrste

Kinetika energija materijalnog sistema je

( ) 0=+s

j

in

j

a

j qQQ , tj. + in

j

a

j QQ .

I1

0=

( )tqqEVVmE jjKn

i

iiiK ,,2

1

1

&rr

== =

, pa je

=

n iii

K

q

VVm

q

Er

=i jj 1 &

r. Kako je

&j

ii

q

r

q

V

=

r

j

r

, sledi =

=

n

i j

iii

j

K

q

rVm

q

E

1

rr

&&.

Diferenciranjem pret aza po vre obija sehodnog izr menu, d

==

+

=

i

ii

i j

i

j dtVm

qdtm

qdt 11

n

j

in

iiK

q

rdVdd rEr

rr r

&.

Osnovna jednaina kretanja take je ia

ii

i NFdt

Vdm

rrr

+= , a ve je pokazano da vai

j

ii

q

V

q

r

dt

d

=

r

j

r, pa je

( ) ==

+

+=

d

n

i j

i

ii

n

i j

i

i

a

i

j

K

q

VVm

q

rNF

q

E

dt 11

rrrrr

&.

Prvi lan na desnoj strani prethodnog izraza predstavlja zbir odgovarajuih

generalisanih sila

Nj

aj

ni

i

nia

i QQrNrF +=+ r

r

i ji j qq == 11

rr

,

a drugi lan je parcijalni izvod kinetike energije po generalisanoj koordinati, tj.

=

n iK VE

=

i jii

j qVm

q 1

rr

, pa je sadaj

jj

j qQQ

qdt ++=

&

. U sluaju stacionarnihKNaK EEd

idealnih veza je 011

=

=

=

s

i

N

j N ==

s

j j

i

i

j j

i

q

VN

q

rQ

&

rr

rr

e pravac vektora, jer jj

iVr

q&

ektora , pri emu je

odreen pravcem v iVr

ii NVrr

. T e II

vrste

ada su Lagraneve jednain


40/41

7

aKEd

.j

j

K

j

Qq

E

qdt=

&

Za sisteme koji su izloeni dejstvu konzervativnih sila jej

p

jq

EQ

= , pa prethodna

jednaina postaje

j

p

j

K

j

K

q

E

q

E

q

E

dt

d

=

&.

U sluaju stacionarnih konzervativnih sistema vai da je , pa se dobija)( jpp qEE =

( ) ( )0=

j

pK

j

pK

qqdt &,

EEEEd0

dt,=

jj q

L

q

Ld

&

gde je - Lagraneva funkcija ili kin

Ako Lagraneva funkcija

etiki potencijal.pK EEL =

pK EEL = ne zavisi od neke od generalisanih koordinata,

jenpr. od koordinate rq , tada 0=

rqdt &KEd , pa je

.conr= stCq

E

r

K =

&,

to predstavlja prvi integral jedne od diferencijalnih jednaina kretanja i naziva se

ciklini integral. U tom sluaju generalisana koordinata naziva se ciklinarq

koordinata.

Kinetika energija sistema izraena u generalisanim koordinatama

Kako je

( )tqqEVVmE jjKn

iiiK ,,1 &rr == ,

i2 1=

t

rq

q

r

t

rq

q

rq

q

rq

q

rrV i

s

j

j

j

iis

s

iiiii

+

=

+

++

+

==

=

r

&

rr

&

r

L&

r

&

r

&rr

1

2

2

1

1

,

tada je

=

+

++

+

==

==

2

1

2

2

1

11

2

2

1

2

1 n

i

i

s

s

iii

i

n

i

iiKt

rq

q

rq

q

rq

q

rmVmE

r

&

r

L&

r

&

r

=

+

++

+

++

n

i

ss

s

i

s

iii

s

s

ii

i qq

q

r

q

rqq

q

r

q

rq

q

rq

q

rm

1

1

1

21

21

22

1

1

22

2

1&&

rr

L&&

rr

&

r

L&

r

+

++

2

1

1

22t

rq

t

r

q

rq

t

r

q

ri

si

s

iii

r

&

rr

L&

rr

.

Uvoenjem oznaka, zaj=1,2,...,si k=1,2,...,s,

k

in

i j

ikjjkqq

maa

== i rr

=

rr

1

,t

r

q

rmb

i

k= in

k

ii

=

r

1

r

, =

=

n

i

i

it

rmc

1

2

0

r

izraz za kinetiku energiju moe se napisati kao

== = kj k

kjjkK qqaE1 12

&& ++=s

kk

s s

cqb1

0

2

1& .

1


41/41

Mainski fakultet, Beograd - Mehanika 3 Predavanje 10 i 11 8

Koeficijenti kjjk aa = nazivaju se inercioni koeficijenti (koeficijenti metrikog

tenzora).

U sluaju stacionarnog sistema je

0=

t

rir

, odakle sledi da je 0=kb i 00 =c . Tada je

kinetika energija odre

ena sa

= =

=s

j

s

k

kjjkK qqaE1 12

1&& .

meh sistem - dinamika sistema

Documents