mehanika fluida - mefos.unios.hrhbrkic/vukovar/5x_bernoulli.pdf · fluidi ﬂuidi igraju vitalnu...

MEHANIKA FLUIDA

Thursday, May 12, 2011

Fluidi

fluidi igraju vitalnu ulogu u raznim aspektima naih ivota pijemo ih, diemo, plivamo u njima oni cirkuliraju naim tijelima i kontroliraju meteoroloke uvjete zrakoplovi lete kroz njih, brodovi plove njima

fluid je bilo koja tvar koja moe tei

plinovi i tekuine

razlika: plinovi su stlaivi, tekuine nisu (u veini sluajeva)


Gustoa

Definicija: gustoa je masa po jedinici obujma

= mV, kg m3 , ili g cm

3

Predmeti napravljeni od istog materijala, ali razliitih masa i obujama imaju jednaku gustou!

1 g/cm3 = 1000 kg/m3


Tlak u fluidima

Kada je fluid u stanju mirovanja, on djeluje silom koja je okomita na sve povrine koje su s njim u kontaktu, npr. na stranice posude u kojoj se nalazi ili na tijelo koje je u njega uronjeno.Plivanje: sila koja se osjea na ruke i noge!

Fluid u cjelini miruje, ali njegove molekule se stalno gibaju i sudaraju s okolinom - sila koja uzrokuje tlak u fluidu!

Definicija: tlak p je sila koja djeluje na jedinicu povrine

p = dFdA

Ukoliko je sila ista u svim tokama koje lee na povrini A:

p = FA 1 Pa = 1 N/m


Atmosferski tlak, pa, je tlak Zemljine atmosfere, i ovisi o meteorolokim uvjetima i visini.Normalan atmosferski tlak na razini mora (prosjena vrijednost) je 1 atmosfera (1 atm), koja je po definiciji 101 325 Pa.

(pa)av = 1 atm = 1.013 105 Pa = 1.013 bar = 1013 milibar

Tlak, dubina i Pascalov zakonUkoliko se teina fluida moe zanemariti tlak u fluidu je isti u cijelom volumenuNo, esto se teina fluida ne moe zanemariti pa se vrijednost tlaka mijenja s visinom (dubinom)!

Zanima nas veza izmedju tlaka p u toki y i njene visine (pretp.! je jednolik u fluidu)

dV = Adydm = dV = Adydw = dmg = gAdy

Fy = 0 pA p + dp( )A gAdy = 0dpdy

= g


Iz prethodne relacije oito je da se tlak smanjuje s rastom visine!

p2 p1 = g y2 y1( )

Tlak na dubini h ispod povrine:- toka 1 na bilo kojoj razini unutar fluida, tlak p- toka 2 na povrini fluida, tlak p0- dubina toke h ispod povrine je h = y2-y1

p0 p = g y2 y1( ) = ghp = p0 + gh

Tlak na nekoj dubini h ne ovisi o obliku posude!

Ukoliko tlak na povrini poveamo (upotrebom klipa ili neega slinoga), tlak p na bilo kojoj dubini poveat e se za istu vrijednost!Blaise Pascal (1623-1662)


Pascalov zakon: tlak izazvan djelovanjem sile u bilo nekoj toki povrine fluida jednoliko se iri kroz fluid u svim smjerovima.

Primjer: hidraulika prea(zubarske stolice, automobilske dizalice,dizala, hidraulike konice)

p = F1A1

= F2A2

F2 =A2A1F1

Oprez: izraz za ovisnost tlaka o dubini (visini) vrijedi samo za fluide kod kojih je gustoa jednaka kroz cijeli fluid (homogena). To je openito ispunjeno za tekuine ali ne za plinove!

npr. razlika gustoa zraka na povrini mora je tri puta vea nego na vrhu Mount Everesta (8882 m)


Apsolutni tlak i manometarski tlak

Kada je tlak unutar automobilske gume jednak atmosferskom - kaemo da je guma prazna. Kada kaemo da je tlak u gumi 220 kPa, to znai da je tlak u gumi VEI od atmosferskog (101 kPa) za 220 kPa. Ukupni tlak u gumi je 321 kPa. Razlika tlaka u odnosu na atmosferski obino se naziva manometarski tlak, a ukupni tlak se naziva apsolutni tlak.

Mjerenje tlaka1. Manometar s otvorenom cijevi- U-cijev, tekuina gustoe , najee voda ili iva- lijevi kraj je spojen na posudu u kojoj elimo mjeriti tlak, desna strana p = patm- tlak na dnu posude: p + gy1 = patm + gy2

p patm = g y2 y1( ) = ghp = apsolutni tlakp-patm = manometraski tlak


2. ivin tlakomjer- dugaka staklena cijev, zatvorena na jednom kraju koja je bila napunjena sa ivom, i nakon toga uronjena u posudu punu ive- prostor na vrhu cijevi sadri samo ivine pare, iji tlak je zanemariv- tada vrijedi- ivin tlakomjer mjeri atmosferski tlak izravno iz visine ivinog stupca

patm = p = 0 + g y2 y1( ) = gh

- tlakovi se esto opisuju pomou visine stupca ive- tlak 1 mm Hg naziva se 1 torr, po Evangelista Toricelliju, koji je izumio ivin tlakomjer- problemi: ovisnost o gustoi ive (koja ovisi o T) i vrijednosti g- jedna vrsta tlakomjera za mjerenje tlaka krvi, sphygmomanometar, takoer koristi ivin tlakomjer- krvni tlak npr. 130/80 daje maksimalan i minimalan tlak u arterijama, mjeren u mm Hg


3. Bourdenov tlakomjer- spiralna metalna cijev- s promjenom tlaka mijenjaju se dimenzije cijevi, spirala se ili otputa ili sabija i time dolazi do otklona kazaljke


Uzgon

Uzgon - poznati fenomen; tijelo koje je uronjeno u vodu ini se manje teko nego kada je u zrakuKada je tijelo manje gustoe nego tekuina, ono plutanpr. ljudsko tijelo obino pluta na vodi, balon napunjen helijem lebdi u zraku

Arhimedov princip: kada je tijelo u potpunosti ili djelomino uronjeno u fluid, fluid djeluje na tijelo silom prema gore a iznos te sile je jednak teini fluida koji je tijelo istisnulo

- fluid je u ravnotei- zbroj svih y komponenti sila = 0- rezultantna sila je mg fluida prema gore- zbroj svih momenata = 0- rezultatna sila prolazi kroz CM


Taj element fluida zamijenimo s krutim tijelom identinog oblika! Tlak u svakoj toki je isti kao i prije zamjene. Dakle, ukupna sila na tijelo je opet jednaka teini istisnutog dijela fluida, i djeluje vertikalno prema gore.Ova sila zove se sila uzgona.

F1 = gh1 AF2 = gh2 AFrez = g h2 h1( )A = ghA

= Vg = mflg

tijelo = fluid tijelo lebditijelo < fluid tijelo tonetijelo > fluid tijelo pluta


ulje za bebe

alkohol

ulje za kuhanje

vosakvoda

aluminij

Uzgon

Primjer: hidrometar- mjerenje gustoe fluida- kalibrirani plovak uronjen je u fluid do razine kada je njegova teina jednaka teini fluida koju je istisnuo- na skali se jednostavno oita gustoa fluida


Povrinska napetost

Primjer: spajalica moe plutati na vodi iako je njena gustoa nekoliko puta vea od gustoe vode - povrinska napetost

Ukupna sila na molekulu unutar fluida je 0. To nije sluaj za molekulu na povrini - na nju okolne molekule djeluju privlanom silom koja je usmjerena unutar fluida!

Kapi kie su sferne zbog povrinske napetosti!


Dinamika fluida

Model idealanog fluida - nestlaiv (gustoa mu se ne mijenja!) i bez unutarnjeg trenja (viskoznosti)- tekuine su uglavnom nestlaive, a za plinove to vrijedi ukoliko im se tlak ne mijenja bitno od jednog podruja do drugog- viskoznost izaziva smina naprezanja kada se dva susjedna sloja gibaju relativno jedan u odnosu na drugog (npr. unutar cijevi ili oko neke prepreke)- ove smine sile neki puta se mogu zanemariti, jer su malene u odnosu na sile koje se pojavljuju zbog gravitacije ili razlike u tlakovima


Dinamika fluida

laminarni protok turbulentni protok

Putanja estice u fluidu koji tee naziva se strujnica- ukoliko se reim protoka ne mijenja u vremenu priamo o stacionarnom protoku- strujnice koje teku platom zamiljenog dijela fluida ine cijev protoka- kod stacionarnog protoka fluid ne izlazi izvan cijevi protoka- turbulentni protok: kaotian, nepravilan, pun vrtloga


Jednadba kontinuiteta

masa fluida ne mijenja se s protjecanjem!u vremenu dt:

dV1 = A1v1dt, dV2 = A2v2dt

ukoliko se gustoa ne mijenja:dm1 = A1v1dt, dm2 = A2v2dt

A1v1dt = A2v2dt

A1v1 = A2v2(jednadba kontinuiteta za nekompresibilni fluid)

dVdt

= Av - brzina protoka volumena

(jednadba kontinuiteta za kompresibilni fluid)

1A1v1 = 2A2v2generalizacija:Thursday, May 12, 2011

Zato tlak ovisi o brzini?

Bernoullijeva jednadba

- u skladu s jednadbom kontinuiteta brzina fluida moe varirati du putanje fluida- tlak takoer moe varirati!- tlak ovisi o visini ali i o brzini fluida!

Bernoullijeva jednadba daje vezu izmedju p, v i h za idealan nestlaiv fluid

jednadba kontinuiteta promjena brzine fluida element fluida mora imati akceleracijusila koja izaziva to ubrzanje (u sluaju horizontalne cijevi) mora dolaziti od okolnog fluida!tlak je razliit u podrujima razliitog presjeka!


Izvod Bernoullijeve jednadbe

Koristimo rad-energija teorem- u poetnom trenutku element fluida izmeu a i c- u vremenu dt dolazi na poloaj bd- volumen koji prolazi u tom vremenu:

dV = A1ds1 = A2ds2Rad koji je obavljen na taj element fluida u vremenu dt:(tlak je idealan, jedini rad osim gravitacijske sile obavljaju vanjski dijelovi fluida)

dW = p1A1ds1 p2A2ds2 = p1 p2( )dV

dW = promjena mehanike energije


na poetku dt fluid izmeu toaka a i b ima kinetiku energiju: 1

2 A1ds1( )v12

na kraju dt fluid izmeu toaka c i d ima kinetiku energiju: 1

2 A2ds2( )v22

Kinetika energija?

Ukupna promjena kinetike energije:


dK = 12dV v2

2 v12( )



na poetku dt fluid izmeu toaka a i b ima pot. gr. energiju: dmgy1 = dVgy1

na kraju dt fluid izmeu toaka c i d ima pot. gr. energiju:

Potencijalna gravitacijska energija?

dmgy2 = dVgy2

Ukupna promjena potencijalne gravitacijske energije:

dU = dVg y2 y1( )



Kombiniranjem svih ovih izraza dolazimo do:

p1 p2( )dV = 12 dV v22 v1

2( ) + dVg y2 y1( )p1 p2 =

12 v2

2 v12( ) + g y2 y1( )

Odnosno:

p1 + gy1 +12v1

2 = p2 + gy2 +12v2

2 Bernoullijeva jednadba

p + gy + 12v2 = const

Oprez: Bernoullijeva jednadba vrijedi samo za nekompresibilne fluide!


Bernoullijeva jednadba-primjer

Na slici je prikazan spremnik benzina s poprenim presjekom A1, napunjen do visine h. Iznad povrine benzina nalazi se samo zrak pod tlakom p0, a benzin polako istjee kroz kratku cijev poprenog presjeka A2. Kolika je brzina istjecanja benzina?


Bernoullijeva jednadba-primjer: Ventourijeva cijev

Na slici je prikazana Ventourijeva cijev, koja slui za mjerenje brzine protoka u cijevi. Ukoliko je razlika visine stupaca u dvije vertikalne cijevi h, a povrine poprenih presjeka u cijevi A1 i A2, odredite brzinu strujanja fluida v1.


Bernoullijeva jednadba-primjer: avionsko krilo

Kompjutorskasimulacija:


Viskoznost i turbulencija

dosadanja razmatranja, pretpostavke: fluid nema unutranjeg trenja i protok je laminaran

iako su te pretpostavke valjane u velikom broju sluajeva, ipak postoje situacije kada su viskoznost i turbulencije ekstremno bitne

- viskoznost je unutarnje trenje u fluidu; viskozne sile opiru se relativnom gibanju slojeva fluida u odnosu jedan na drugi- primjer: plivanje, veslanje- fluidi koji lako teku, npr. voda ili benzin, imaju manju viskoznost od fluida koji teko teku, npr. med ili motorno ulje


Viskoznost i turbulencija

- kada brzina fluida postane vea od neke kritine vrijednosti protok vie nije laminaran nego prelazi u turbulentan reim- turbulentni protok: neregularan i kompleksan, mijenja se u vremenu, pun vrtloga- da li je protok turbulentan ovisi o viskoznosti: to je vea viskoznost to je vea vjerojatnost da e protok biti lamenaran- kritina brzina: brzina pri kojoj protok prelazi iz laminarnog u turbulentan reim- neregularnosti u protoku mogu biti izazvane nepravilnostima u stijenkama cijevi, varijacijama u gustoi fluida i ostalim faktorima...

laminarno turbulentno


Turbulencija - primjer: zakrivljena lopta


U jednoj U-cijevi, povrine poprenog presjeka S = 0.5 cm2, nalazi se odreena koliina ive. Promjenom tlaka u jednom kraku ove cijevi izazovu se oscilacije ive u njoj. Koliki je period oscilacija ovog sustava ako je masa ive m, a gustoa ?

!

U ravnotenom stanju, razina ive u oba kraka U-cijevi je isti. Ako se pod djelovanjem povienog tlaka u jednoj strani cijevi snizi razina ive za x, onda je ukupna visinska razlika razina u krakovima cijevi 2x.Intenzitet sile koja tei ivu vratiti u ravnoteni poloaj je

gdje je k = 2Sg,pa izraz za period oscilacija dobiva oblik

F = m g = 2xSg = kx

T = 2 m k

T = 2 m

2 S g

Zadatak:


mehanika fluida - mefos.unios.hrhbrkic/vukovar/5x_bernoulli.pdf · fluidi ﬂuidi igraju vitalnu...

Documents