PRIMENJENA MEHANIKA FLUIDAPRIMENJENA MEHANIKA FLUIDAPredavanje XIj

dr Živojin Stamenković docentdr Živojin Stamenković, docent

Teorija sličnosti i dimenzijska analizaSličnost fizičkih pojava

U i di š ji d li ič ili lič• U prirodi uopšte postoji delimična ili potpuna sličnostizmeđu raznih objekata, pojava, živih bića itd.U h i i fl id lič t d i l d k ji• U mehanici fluida sličnost se odnosi na uslove pod kojimasu na primer dva strujanja hidrodinamički slična.

• Bez ove sličnosti se danas ne može zamisliti konstruisanje• Bez ove sličnosti se danas ne može zamisliti konstruisanjei gradnja hidroturbina, kompresora, ventilatora, pumpi,plovnih objekata, letelica, automobila, brana, preliva iplovnih objekata, letelica, automobila, brana, preliva idrugih hidrotehničkih objekata.

• Strujanje kroz navedene mašine i postrojenja je veomaj j p j j jsloženo, te se pri gradnji pomenutih mašina i objekata,pored teorije koriste i eksperimentalni rezultati iproračuni zasnovani na njima.

Teorija sličnosti i dimenzijska analiza• Oglede je često nemoguće izvoditi na objektu u

j liči i (b d i l k ) k i j t ipravoj veličini (brod, avion, luka...) a ako i jest onisu veoma skupi, pa se zato eksperimentalni oglediizvode na modelima ovih objekataizvode na modelima ovih objekata.

• Model je umanjena, ali verna kopija objekta ui đ j d k ij t tipravom izvođenju, odnosno kopija prototipa.

• Prednosti ispitvanja na modelu su: jevtinija, brža ilakša izrada samog modela, lakše i potpunijeizvođenje eksperimenata, kao i vršenje relativnob ih i k ič ih d lbrzih i ekonomičnih promena na samom modeluu cilju određivanja najpogodnijih karakteristika, it t k k i tto u toku samog eksperimenta.

Teorija sličnosti i dimenzijska analiza• Nedostaci ispitivanja na modelu• Najvažaniji neodstatak je što je nekada skoro• Najvažaniji neodstatak je što je nekada skoronemoguće ostvariti potpunu sličnost izmeđustrujanja na modelu i na pravom objektu.strujanja na modelu i na pravom objektu.

• Primena rezultata• Da bi rezultati dobijeni na modelu uopšte mogli iDa bi rezultati dobijeni na modelu uopšte mogli ikoristiti (primeniti) moraju se poznavati zakoni kojepovezuju veličine dobijene na modelu sap j jodgovarajućim koje se odnose na pravo izvođenje.

• Ovi zakoni koji povezuju geometrijske, kinematičke idinamičke karakteristike strujanja oko modela, ili umodelu, i strujanja oko objekta u pravoj veličininazivaju se zakonima ili kriterijumima sličnostinazivaju se zakonima ili kriterijumima sličnosti.

Hidrodinamička sličnost

• Dva strujanja su slična ako je zadovoljena njihova• Dva strujanja su slična ako je zadovoljena njihova geometrijska, kinematička i dinamička sličnost.T d k ž d ji t (hid di ičk )• Tada se kaže da postoji potpuna (hidrodinamička) sličnost.

• U ovom slučaju svaka se karakteristika jednogstrujanja može dobiti prostim množenjemd j ć k k i ik d j jodgovarajuće karakteristike drugog strujanja.

• U mehanici fluida se pod geometrijskom sličnošćupodrazumeva sličnost dva prostora u kojima sestrujanja odvijaju.

Geometrijska sličnostj• Ako se indeksom 1 označimo veličine koje se odnosena prvo strujanje, a sa 2 veličine koje se odnose nadrugo strujanje, onda je geometrijska sličnostg j j , j g jobeubeđena ako je za sve odgovarajućegeometrijske dužine ispunjen uslov:geometrijske dužine ispunjen uslov:

1l

l k const

• Gde je kl prevodni faktor za dužine.2

lk constl

j l p• Na osnovu prethodnog važi:

A 3V A i V predstavljaju odgovarajuće21

2l

A kA

31

2l

V kV

A i V predstavljaju odgovarajuće površine i zapremine strujnog prostora

Kinematička sličnost• Pored geometrijske mora da bude ispunjena i kinemtičkasličnostsličnost.

• Odnosi brzina i ubrzanja u odgovarajućim tačkamastrujnih prostora oba strujanja moraju da budustrujnih prostora oba strujanja moraju da budukonstantni, tj. mora da bude ispunjen uslov:

v a

• Ovo su prevodni faktori za brzinu i ubrzanje

1

2v

v k constv

1

2a

a k consta

• Ovo su prevodni faktori za brzinu i ubrzanje.• Uglovi koji karakterišu pravce vektora brzine i ubrzanja uodgovarajućim tačkama oba strujanja mora da buduodgovarajućim tačkama oba strujanja, mora da budumeđusobno jednaki.

• Kinematička sličnost dakle zahteva sličnost kretanja• Kinematička sličnost, dakle zahteva sličnost kretanja.

Dinamička sličnost• Dinamička sličnost dvaju strujanja je ostvarena kadsu oba strujanja definisana istim dinamičkimsu oba strujanja definisana istim dinamičkimjednačinama.

• Pri tome sile koje deluju na fluid kod oba strujanjaPri tome sile koje deluju na fluid kod oba strujanjatreba da budu međusobno srazmerne.

• Kako na realni fluid u opštem slučaju deluju zaKako na realni fluid, u opštem slučaju deluju zavremen kretanja: sile inercije I, spoljašnje sile (silaZemljine teže) G, sile pritiska P i sile trenja T toprema Dalamberovom principu, dinamičkajednačina viskoznog fluida (Navije‐Stoksovajednačina) u opštem obliku glasi:jednačina) u opštem obliku glasi:

0I G P T

0I G P T

Dinamička sličnost• Saglasno prethodnoj jednačini, a zbog dinamičkesličnosti strujanja, odnos intenziteta odgovarajućihsila kod oba strujanja mora da bude stalan, tj. morada bude.

1 1 1 1F

I G P T k constI G P T

• Gde je kF prevodni faktor za sile.2 2 2 2I G P T

• Za inercijalne sile važi:1xvI v

2xvI v 1 1

1xI vx

2 2

2xI vx

2 22k vv k v k 2

1 kI

21 21 1 2 2 2

1 2 2

v xx v x vx v x x

l l l

k vv k v kI v k v v Ix k x k x k

1

2

v

l

kII k

Dinamička sličnost• Sile viskoznosti su:

21

1 1 2xvTx

22

2 2 22

xvTx

1x 2

22 221 2

1 1 2 2v xx v xk vv k k vT k

1 1 2 222 2 21 22 ll

T kx k xk x

k k 1

• Sile pritiska:

1 22v

l

k kT Tk 1

2

k

1pk • Sile pritiska:

11 pP 21 pP

1 pkP

2pk p

11 1

Px

2

2 2

Px

2 lP k k

1

2

k

Dinamička sličnost• Odnos spoljašnjih sila po jedinici mase:

1 1 1

2 2 2a

G g a kG g a

• Sada se dolazi do sledećih zavisnosti izmeđuprevodnih faktora:

2 2 2G g a

p2

2pv v

a

kk k k kk k k k

• Ukoliko se izjednače odnosi sile inercije i silet j d bij

2l l lk k k k

trenja dobija se:2v vk k k k k k 1 1 1v l

1 1 2 2

1 2

v l v l

2

l lk k v lk k k

2 2 2v l 1 2

1 2Re Re

Dinamička sličnost• Iz uslova jednakosti odnosa sila inercije i odnosa spoljašnjih sila sleduje:

2k 2v a 2 2v

al

k kk

1 1

2 1 22

v al avl

2 21 2

1 1 2 2

v va l a l

• Za strujanje u polju Zemljine teže važi:

22l

j j p j j1 2a a g

2 21 2v vg l g l

1 2Fr Fr Frudov broj

1 1 2 2g l g l 1 2

Dinamička sličnost• Izjednačavanjem sila inercije sa odnosom sila 

iti k d bijpritiska dobija se:

2 kk k 22pv

l l

kkk k k

2 pv

kk

k

21 1 222 2 1

v pv p

2 12 2

p pv v

1 2Eu Eu Ojlerov broj

• Potpuna sličnost strujanja fluida ostvaruje se kada j j d ki d i b j i d

2 2 1 1v v 1 2Eu Eu Ojlerov broj

su uzajamno jednaki navedeni brojevi, odnosno kada je:

1 2Re Re 1 2Fr Fr 1 2Eu Eu

Dinamička sličnost (gasovi)g• Kada je reč o strujanju gasova većim brzinama, tadasu dva strujanja potpuno slična ako je pored gornjihsu dva strujanja potpuno slična ako je pored gornjihjednakosti zadovoljena i jednakost:

v v1 2

1 2

v vc c

1 2Ma Ma

• Gde je:Ma‐Mahov broj, c‐brzina zvuka• Priroda problema strujanja je takva da se potpunaPriroda problema strujanja je takva da se potpunasličnost dvaju strujanja ne može da ostvari. Tada segovori o tzv. delimičnoj sličnosti.g j

• Na pojave u mehanici fluida ne utiču sve silepodjednako. Na primer, za strujanje u cevimap j p j jnajuticajnije su sile trenja pa je dovoljna sličnostprema Rejnoldsovom kriterijumu.

Dimenzijska analizaj• Pod dimenzijskom analizom podrazumeva se

t d k j b i f i j litičkih imetoda koja se bavi formiranjem analitičkih izrazaraznih fizičkih zakona korišćenjem dimenzijaodgovarajućih fizičkih veličinaodgovarajućih fizičkih veličina.

• Primenom dimenzijske analize ostvaruje se tzv.princip dimenzijske homogenosti odgovarajućeprincip dimenzijske homogenosti odgovarajućejednačine.

• Prema principu dimenzijske homogenosti svip p j gčlanovi jednačine koja iskazuje zakon određenefizičke pojave, imaju istu dimenziju, tj. jednačina jedi i hdimenziono homogena.

• Uopšte uzev, svaka se fizička pojava odvija podd j t d j ć b j fi ičkih ličidejstvom odgovarajućeg broja fizičkih veličinaa1,a2,..., an

Dimenzijska analizaj• Svaka fizička pojava može da se izrazi u funkcijibezdimenzijskih kaombinacija (monoma) fizičkihveličina koje utiču na posmatranu pojavu.

• Kod svake pojave, zavisno od oblasti gde seposmatrana pojava javlja, izvestan broj veličinameđusobno je nezavisan.

• To su osnovne fizičke veličine koje se merejosnovnim jedinicama mera.

• U mehanici fluida su osnovne veličine: dužina l,U mehanici fluida su osnovne veličine: dužina l,vreme t i masa m; a osnovne jedinice metar (m),sekunda (s) i kilogram (kg).( ) g ( g)

‐teorema• Ako sa m označimo broj osnovnih veličina onda se na

š k kosnovu Vaši‐Bakingemove teoreme, koja je poznatijakao ‐teorema, svaki fizički zakon se uvek može svesti

blikna oblik:

1 2, ,..., 0

• Svaki od ovih članova pi sastojaće se od m+1 faktora

1 2, ,..., 0n m

Svaki od ovih članova pi sastojaće se od m+1 faktora(od veličina a1,a2,...,an) pri čemu se prvih m stepenujui biraju se proizvoljno a poslednji faktor je na prvomi biraju se proizvoljno, a poslednji faktor je na prvomstepenu i menja se od monoma do monoma.

• U mehanici fluida je m=3 (M L T)• U mehanici fluida je m=3 (M,L,T)

‐teorema

• Uzimajući u obzir rečeno moguće je napisatiUzimajući u obzir rečeno, moguće je napisatistrukturu članova i u obliku:

1 1 11 1 2 3 4a a a a

2 2 2a a a a 2 1 2 3 5a a a a

1 2 3n m n m n ma a a a

• Izložioci se određuju iz uslova da monomi 1 2 3n m na a a a

budu bezdimenzioni.

Primena ‐teoreme• Pretpostavimo da se izučava problem strujanjapreko preliva.

• Očigledno protok Q preko preliva zavisi od naporg p Q p p pH, širine preliva b, ubrzanja Zemljine teže g igustine tečnosti .gustine tečnosti .

• Zato je:

, , ,Q f b g H

, , , , 0Q b g H

Primena ‐teoreme• Ovde je pet međusobno povezanih fizičkihveličina.

• Koristi se ‐teorema.• Za jednačinu kojom je definisana funkcija imamo n m=5 3=2 bezdimenzijska monoma paimamo n-m=5-3=2 bezdimenzijska monoma, paje moguće napisati.

0 1 2, 0

1 1 11 Q b g 2 2 2

2 Q b H

• Dimenzije su:1 Q b g 2 Q

3 1Q LT b L 3ML 2g LT

Primena ‐teoreme

• Za 1 imamo da važi:1

1 1 1

1 Q b g

• Da bi monom bio bezdimenzionisan, treba da je zbir izložioca za svaku dimenziju jednak nuli:zbir izložioca za svaku dimenziju jednak nuli:

• Za L: 1 1 13 3 1 0 1 2

• Za T: 1 2 0

01 5

0

• Za M:

1 13 1 3 2

1 0 1 0

1 113 1 3 21 L T L ML LT

Primena ‐teoreme

• Konačno nalazimo monom za 1:1

5

2 5 01 2

b gQ b gQ

1 2Q gQ

2 2 2Q b H 2 223 1 32 L T L ML L

2 Q b H 2 L T L ML L

2 2 23 3 1 0 2 0

2 0 2

2 10

2 0 2 0

12 b H

Primena ‐teoreme• Sada se može napisati jednačina:

5

11 2 2, , 0b g b H

• Izraz za 1 može da se transformiše na sledeći način:

1 2 2, ,Q

5 5 5 3

1 2 2 22 2 2 2 2 21 1b g b g b g b gv HQ v b H v Hv bH

2v HQ v b H v Hv bHgb b

• Te se može napisati:

0HF

2vFrgb

1 2, , 0Fr

b

g

Primena ‐teoreme• Dobijena zavisnost određuje (iskazuje) daisticanje kod preliva zavisi od Frudovog broja.

• U drugim slučajevima može se pokazati, daj i i d R j ld b j ilirazmatrana pojava zavisi od Rejnoldsovog broja ili

neke druge veličine.P t i ši k i K i t ći• P‐teorema ima široku primenu. Koristeći se ovomteoremom, moguće je određivati strukturuformula koje opisiju dato kretanje fluidaformula, koje opisiju dato kretanje fluida,istovremeno organizovati eksperimentalneradove i sl.

• Ipak ne može se smatrati da je p‐teoremauniverzalno sredstvo rešavanja hidrauličkihzadataka.