mehanika leta zrakoplova

420

Click here to load reader

Upload: hibozo

Post on 14-Dec-2015

109 views

Category:

Documents


44 download

DESCRIPTION

temeljna znanja iz kinematike i aerodinamike zrakoplova. Objasniti stabilnost i performanse zrakoplova u ravnotežnom letu. Analizirati upravljanje zrakoplovom u otvorenoj petlji.

TRANSCRIPT

Page 1: Mehanika Leta Zrakoplova

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU __________________________________________________________

FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE

Slobodan Janković

Prof. u mirovini

MEHANIKA LETA

ZRAKOPLOVA

Zagreb 2001

__________________________________________________________

Page 2: Mehanika Leta Zrakoplova

UDŽBENIK SVEUČILIŠTA U ZAGREBU MANUALIA UNIVERSITATIS STUDIORUM ZAGRABIENSIS

Recenzenti:

Akademik dr. sc. Stjepan Jecić Prof. dr. sc. Petar Kesić, FSB Zagreb Dr. sc. Todor Kostić, Brodarski Institut, Zagreb

Lektor: Smiljka Janaček-Kučinić Izdavač: Fakultet strojarstva i brodogradnje, Ivana Lučića 5, Zagreb Glavni urednik: Prof. de. sc. Tomislav Filetin

Odobrenje Senata Sveučilišta u Zagrebu br. 02-1241/3-2001 od 11 rujna 2001

Udžbenik

Elektronsko izdanje: ver.2 22.01.2004.

CIP - Katologizacija u publikaciji Nacionalna i sveučilišna knjižnica, Zagreb UDK 533.6:623.7 JANKOVIĆ, Slobodan Mehanika leta zrakoplova / Slobodan Janković -Zagreb : Faklutet strojarstva i brodogradnje, 2001. -410 str.: ilustr.: 24 cm. - (Udžbenici Sveučilišta u Zagrebu = Manualia Universitatis studiorum Zagrabiensis) Bibliografija i kazalo na kraju knjige. ISBN 953-6313-37-5 ..........................

Page 3: Mehanika Leta Zrakoplova

I

SADRŽAJ PREDGOVOR.........................................................................................XI

UVOD....................................................................................................XIII

1 Kinematika leta ................................................................................ 1-1

1.1 Matrični zapis vektora......................................................................................1-1

1.1.1 Baza koordinatnog sustava................................................................................. 1-1

1.1.2 Vektorski i skalarni produkt vektora...................................................................1-2

1.1.3 Derivacija vektora ..............................................................................................1-4

1.2 Matrice transformacija......................................................................................1-6

1.2.1 Definicija i svojstva matrice transformacija........................................................1-6

1.2.2 Derivacija matrice transformacija.......................................................................1-9

1.2.3 Određivanje matrice transformacije pomoću kutova........................................1-10

1.2.4 Određivanje matrice transformacije pomoću parametra ..................................1-13

1.2.5 Veze između parametara i kutova.....................................................................1-17

1.2.6 Diferencijalne jednadžbe parametara................................................................1-19

1.3 Koordinatni sustavi ........................................................................................1-23

1.3.1 Lokalni koordinatni sustav (L) .........................................................................1-24

1.3.2 Nošeni koordinatni sustav (O) ..........................................................................1-26

1.3.3 Koordinanti sustav letjelice (F) ........................................................................1-27

1.4 Brzine letjelice ...............................................................................................1-30

1.4.1 Brzina leta i brzinski koordinatni sustav (V) ....................................................1-30

1.4.2 Aerodinamička brzina i aerodinamički koordinatni sustav (A) .......................1-33

1.4.3 Primjer ..............................................................................................................1-39

2 Aerodinamika

2.1 Aerodinamički koeficijenti zrakoplova..............................................................2-1

2.1.1 Definicije.............................................................................................................2-1

Page 4: Mehanika Leta Zrakoplova

II

2.1.2 Aerodinamički moedel zrakoplova.....................................................................2-6

2.1.3 Veze između aerodinamičkih koeficijenata........................................................2-9

2.2 Noseća površina ...........................................................................................2-11

2.2.1 Geometrijske karakteristike ..............................................................................2-11

2.2.2 Veza između uzgona i normalne sile ................................................................2-11

2.2.3 Gradijent normalne sile ....................................................................................2-11

2.2.4 Položaj hvatišta normalne sile ..........................................................................2-14

2.2.5 Hvatište normlane sile polovice noseće površine .............................................2-16

2.2.6 Maksimalni uzgon ............................................................................................2-17

2.2.7 Gradijent normlane sile po otklonu upravljačke površine ................................2-19

2.3 Normalna sila kombinacije tijelo - noseća površina ......................................2-21

2.4 Usporenje i savijanje struje ..........................................................................2-23

3 Otpor, normalna sila i moment propinjanja

3.1 Otpor................................................................................................................3-1

3.1.1 Otpor trenja..........................................................................................................3-1

3.1.2 Otpor dna ............................................................................................................3-1

3.1.3 Valni otpor ..........................................................................................................3-5

3.1.4 Otpor u transonici ...............................................................................................3-8

3.1.5 Dodatni otpor ....................................................................................................3-11

3.1.6 Nulti otpor ........................................................................................................3-13

3.1.7 Inducirani otpor ................................................................................................3-14

3.1.8 Primjer ..............................................................................................................3-19

3.2 Normalna sila i moment propinjanja .............................................................3-20

3.2.1 Normalna sila i moment propinjanja kombinacije BW.....................................3-21

3.2.2 Normalna sila i moment propinjanja kombinacije hB ......................................3-25

3.2.3 Moment propinjanja tijela ................................................................................3-28

3.2.4 Nulti članovi i stacionarni gradijenti normalne sile i momenta propinajnja ....3-29

Page 5: Mehanika Leta Zrakoplova

III

3.2.5 Gradijent zbog promenljivog napadnog kuta ...................................................3-30

3.2.6 Gradijent zbog kutne brzine propinajnja ..........................................................3-31

4 Bočna sila, moment skretanja i valjanja

4.1 Bočna sila i moment skretanja ........................................................................4-1

4.1.1 Gradijent bočne sile i momenta skretanja po kutu klizanja ................................4-1

4.1.2 Gradijent bočne sile i momenta skretanja od otklona kormila pravca ...............4-4

4.1.3 Gradijent momenta skretanja zbog otklona krilaca ............................................4-5

4.1.4 Bočna sila i momenta skretanja zbog kutne brzine valjanja ..............................4-6

4.1.5 Bočna sila i momenta skretanja zbog kutne brzine skretanja .............................4-9

4.2 Moment valjanja ............................................................................................4-10

4.2.1 Gradijent po kutu klizanja ................................................................................4-10

4.2.2 Gradijent po otklonu kormila pravca ................................................................4-15

4.2.3 Gradijent po otklonu krilaca .............................................................................4-17

4.2.4 Gradijent po kutnoj brzini valjanja ...................................................................4-18

4.2.5 Gradijent po kutnoj brzini skretanja .................................................................4-21

5 Primjer

5.1 Podaci i geometrija .......................................................................…...............5-1

5.1.1 Krilo (dva polukrila) ..........................................................................….............5-1

5.1.2 Tijelo .......................................……...................................................................5-4

5.1.3 Horizontalni rep ...............................……...........................................................5-4

5.1.4 Vertikalni rep ............................................……..................................................5-5

5.1.5 Zrakoplov ...........................................................…............................................5-6

5.2 Otpor ...............................................................................................................5-7

5.2.1 Krilo ....................................................................................................................5-7

5.2.2 Tijelo ..............................................................................................……............5-7

5.2.3 Horizontalni rep .......................................................................................……...5-9

5.2.4 Vertikalni rep ........……......................................................................................5-9

Page 6: Mehanika Leta Zrakoplova

IV

5.2.5 Otpor podvozja ..............……...........................................................................5-10

5.2.6 Otpor zrakoplova ....................……..................................................................5-10

5.3 Normalna sila i moment propinjanja .............................................................5-10

5.3.1 Krilo ..................................................................................................................5-10

5.3.2 Tijelo ................................................................................................................5-12

5.3.3 Savijanje struje .................................................................................................5-12

5.3.4 Horizontalni rep ................................................................................................5-13

5.3.5 Stacionarni koeficijenti normlane sile zrakoplova............................................5-15

5.3.6 Stacionarni koeficijenti mojmenta propinjanja zrakoplova ..............................5-16

5.3.7 Nestacionarni gradijenti normalne sile i momenta propinajnja ........................5-16

5.4 Bočna sila i moment skretanja ......................................................................5-17

5.4.1 Vertikalni rep ....................................................................................................5-17

5.4.2 Skretanje struje .................................................................................................5-18

5.4.3 Bočna sila zrakoplova ......................................................................................5-18

5.4.4 Moment skretanja zrakoplova ..........................................................................5-18

5.5 Moment valjanja ............................................................................................5-20

6 Dinamika letjelica

6.1 Relativno gibanje ............................................................................................6-1

6.1.1 Kinematika relativnog gibanja ...........................................................................6-1

6.1.2 Inercijekse sile ....................................................................................................6-4

6.1.3 Akcelerometri .....................................................................................................6-5

6.2 Temeljni zakoni gibanja letjelica konstantne mase..........................................6-6

6.2.1 Gibanje središta mase..........................................................................................6-6

6.2.2 Gibanje oko središta mase...................................................................................6-9

6.2.3 Tenzor tromosti ................................................................................................6-11

6.2.4 Transformacija tenzora tromosti.......................................................................6-13

6.2.5 Primjer ..............................................................................................................6-16

Page 7: Mehanika Leta Zrakoplova

V

6.3 Zakoni gibanja letjelice promjenljive mase ...................................................6-18

6.3.1 Sustav pšromenljive mase ................................................................................6-18

6.3.2 Prividni sustav ∗Σ ............................................................................................6-19

6.3.3 Očvrsnuti sustav S ............................................................................................6-20

6.3.4 Veze između sustava ∗Σ i S .............................................................................6-21

6.3.5 Načelo očvršćivanja .........................................................................................6-22

6.4 Pogonska sila i moment mlaznog motora .....................................................6-25

6.4.1 Napadni kut i kut klizanja motora.....................................................................6-25

6.4.2 Komponente pogonske sile . ........................................................................... 6-27

6.4.3 komponente pogonskog momenta ....................................................................6-30

6.4.4 Raspoloživa sila mlaznog motora .....................................................................6-32

6.5 Pogonska sila i moment elisnog motora .......................................................6-34

6.5.1 Komponenta pgonske sile u ravni diska elise ..................................................6-34

6.5.2 Komponente momenta pogonske sile elise ......................................................6-35

6.5.3 Primjer ..............................................................................................................6-37

7 Ravnotežni let, stabilnost i upravljivost

7.1 Ravnotežni let .................................................................................................7-1

7.1.1 Definicija ravnotežnog leta .................................... ...........................................7-1

7.1.2 Zbroj pogonske i aerodinamičke sile i momenta ................................................7-2

7.1.3 Uzgon u ravnotežnom letu .................................................................................7-5

7.1.4 Normlano opterećenje ........................................................................................7-7

7.1.5 Primjer ................................................................................................................7-8

7.2 Stabilnost ravnotežnog leta ............................................................................7-8

7.2.1 Uvjeti uzdužne stabilnosti ravnotežnog leta .......................................................7-9

7.2.2 Uzdužna statička stabilnost ..............................................................................7-11

7.2.3 Neutralno točka ................................................................................................7-11

7.2.4 Primjer...............................................................................................................7-13

Page 8: Mehanika Leta Zrakoplova

VI

7.2.5 Bočna statička stabilnost...................................................................................7-14

7.3 Upravljivost u ravnotežnom letu ....................................................................7-16

7.3.1 Upravljivost u uzdužnom gibanju ....................................................................7-16

7.3.2 Primjer ..............................................................................................................7-19

7.3.3 Upravljivost bočnog gibanja ...........................................................................7-21

7.3.4 Primjer...............................................................................................................7-23

7.4 Jednadžbe gibanja ravnotežnog leta ............................................................7-24

7.4.1 Komponente ubrzanja .......................................................................................7-25

7.4.2 Komponente sile ...............................................................................................7-25

7.4.3 Veza između kutova valjanja............................................................................7-28

7.4.4 Model gibanja središta mase ............................................................................7-29

7.4.5 Program gibanja zrakoplova kao materijalne točke .........................................7-30

8 Performanse zrakoplova

8.1 Horizontalni let ................................................................................................8-1

8.1.1 Režim leta ...........................................................................................................8-1

8.1.2 Potrebna sila ili snaga .........................................................................................8-2

8.1.3 Raspoloživa sila ili snaga ...................................................................................8-5

8.1.4 Ovojnice .............................................................................................................8-6

8.1.5 Dolet zrakoplova (Breguetova jednadžba) .........................................................8-8

8.1.6 Maksimalno trajanje leta (endurance) ..............................................................8-11

8.1.7 Primjeri .............................................................................................................8-13

8.2 Stacionarno penjanje i spuštanje zrakoplova ...............................................8-15

8.2.1 Najveći kut penjanja .........................................................................................8-16

8.2.2 Najveća brzina penjanja ...................................................................................8-19

8.2.3 Vrijeme penjanja i potrošnja goriva u penjanju ...............................................8-21

8.3 Horizontalni zaokret ......................................................................................8-22

8.3.1 Jednadžbe zaokreta ...........................................................................................8-23

Page 9: Mehanika Leta Zrakoplova

VII

8.3.2 Ograničenje kutne brzine ..................................................................................8-24

8.3.3 Koordinirani zaokret .........................................................................................8-25

8.3.4 Raspoloživo opterećenje u koordiniranom zaokretu.........................................8-26

8.3.5 Najveća kutna brzina u koordiniranom zaokretu .............................................8-27

8.3.6 Najmanji polumjer zaokreta .............................................................................8-28

8.3.7 Primjer ..............................................................................................................8-29

8.4 Vertikalni zaokret ..........................................................................................8-30

8.4.1 Jednadžbe .........................................................................................................8-30

8.4.2 Najveća kutna brzina ........................................................................................8-31

8.4.3 Analiza vertikalne petlje ...................................................................................8-32

9 Polijetanje i slijetanje

9.1 Polijetanje (take off) ........................................................................................9-1

9.1.1 Tehnika polijetanja .............................................................................................9-1

9.1.2 Duljina zalijetanja - prva faza polijetanja...........................................................9-4

9.1.3 Propinjanje zrakoplova - druga faza polijetanja ...............................................9-10

9.1.4 Treća faza polijetanja .......................................................................................9-12

9.1.5 Sigurnost polijetanja .........................................................................................9-15

9.1.6 Primjeri .............................................................................................................9-17

9.2 Slijetanje .......................................................................................................9-22

9.2.1 Opis slijetanja ...................................................................................................9-22

9.2.2 Prva faza - spuštanje .........................................................................................9-23

9.2.3 Druga faza - zaokret do dodira piste ................................................................9-23

9.2.4 Usporavanje - treća faza ...................................................................................9-23

9.2.5 Primjer...............................................................................................................9-25

10 Ukupna energija

10.1 Energetska jednadžba ................................................................................10-1

10.2 Specifični višak snage zrakoplova ..............................................................10-2

Page 10: Mehanika Leta Zrakoplova

VIII

10.2.1 Jednadžba specifičnog viška snage ................................................................10-2

10.2.2 Primjer ............................................................................................................10-3

10.3 Usporedba performansi zrakoplova ............................................................10-4

10.3.1 Specifična snaga u funkciji kutne brzine ........................................................10-4

10.3.2 Krivulje normalnog opterećenja .....................................................................10-5

10.4 Područje horizontalnog leta i optimalno penjanje .......................................10-6

10.4.1 Krivulje ( ) consthMaPS =, za određeno opterećenje ....................................10-6

10.4.2 Područje uporabe zrakoplova .........................................................................10-7

10.4.3 Minimalno vrijeme penjanja ..........................................................................10-9

10.4.4 Penjanje s najmanjom potrošnjom goriva ....................................................10-11

11 Model leta sa 6 stupnjeva slobode gibanja

11.1 Opće odrednice ..........................................................................................11-1

11.1.1 Derivacija vektora položaja ............................................................................11-2

11.1.2 Derivacija brzine leta ......................................................................................11-3

11.1.3 Derivacija kinetičkog momenta ......................................................................11-4

11.1.4 Derivacija kutova ili parametara ....................................................................11-6

11.2 Model 6DOF u simulatorima leta ................................................................11-7

11.3 Pojednostavljeni model 6DOF u trenažerima ...........................................11-12

12 Linearizacija modela 6DOF

12.1 Princip linearizacije .....................................................................................12-1

12.1.1 Jendadžbe stvarnog gibanja ...........................................................................12-1

12.1.2 Referentno gibanje .........................................................................................12-3

12.1.3 Linearne diferencijalne jednadžbe poremećaja .............................................12-4

12.2 Linearizacija modela 6DOF ........................................................................12-6

12.2.1 Linearizacija kinematičkih jednadžbi .............................................................12-6

12.2.2 Linearizacija sila .............................................................................................12-7

Page 11: Mehanika Leta Zrakoplova

IX

12.2.3 Linearizacija jednadžbi gibanja središta mase ...............................................12-9

12.2.4 Linearizacija kutnih brzina ...........................................................................12-11

12.2.5 Linearizacija komponenata aerodinamičkog momenta ................................12-11

12.2.6 Linearizacija jednadžbi gibanja zrakoplova oko središta mase ....................12-13

12.2.7 Linearni model zrakoplova ...........................................................................12-14

13 Dinamička stabilnost uzdužnog gibanja

13.1 Modovi uzdužnog gibanja .........................................................................13-15

13.2 Odgovor letjelice u vremenskom području ................................................13-17

13.2.1 Homogeno rješenje .........................................................................................13-2

13.2.2 Partikularni integral ........................................................................................13-6

13.2.3 Opće rješenje ..................................................................................................13-7

13.2.4 Primjer ............................................................................................................13-8

13.3 Prijenosne funkcije (open loop transfer function) ......................................13-10

13.4 Odgovor na jedinični impuls (impulsive admittance) .................................13-11

13.4.1 Primjer ..........................................................................................................13-12

13.5 Odgovor na jedinični odskok (impulsive admittance) ................................13-15

13.5.1 Primjer ..........................................................................................................13-16

13.6 Odgovor na harmonijsku pobudu ..............................................................13-18

13.6.1 Primjer .........................................................................................................13-20

13.7 Ocjena kvalitete neposrednog upravljanja uzdužnim gibanjem ................13-21

13.7.1 Primjer ..........................................................................................................13-23

14 Dinamička stabilnost bočnog gibanja

14.1 Modovi bočnog gibanja ...............................................................................14-1

14.1.1 Primjer ............................................................................................................14-4

14.2 Prenosne funkcije po otklonu kormila pravca ili krilca.................................14-5

14.2.1 Primjer ............................................................................................................14-8

Page 12: Mehanika Leta Zrakoplova

X

14.3 Odgovor na impuls kormila pravca ili krilca..................................................14-7

14.3.1 Primjer ............................................................................................................14-8

14.4 Odgovor na odskok kormila pravca ili krilca .............................................14-12

14.4.1 Primjer ..........................................................................................................14-13

14.5 Odgovor na harmonijski otklon kormila pravca ili krilca.............................14-18

14.5.1 Primjer ..........................................................................................................14-19

14.6 Ocjena kvalitete direktnog upravljanja bočnog gibanja .............................14-22

14.6.1 Primjer ..........................................................................................................14-24

Prilozi:

A Maksimalni uzgon krila

B Atmosfera

B.1 Opće o atmosferi ..................................................................................................B-1

B.2 Ubrzanje Zemljine teže ........................................................................................B-2

B.3 Značajke vlažnog zraka ........................................................................................B-3

B.4 Vertikalna ravnoteža ............................................................................................B-6

B.5 Standardna atmosfera ...........................................................................................B-7

B.6 Tablica standardne atmosfere ISO 2533 ............................................................B-11

C Performanse klipnog motora

C.1 Snaga klipnog motora...........................................................................................C-1

C.2 Grafička metoda određivanja snge .......................................................................C-3

D. Vrijednosti nekih jedinica izvan sustava ISO u zrakoplovstvu

Literatura

Page 13: Mehanika Leta Zrakoplova

XI

PREDGOVOR

Osnutkom studija zrakoplovstva na Fakultetu strojarstva i brodogradnje u Zagrebu, pojavila

se potreba za udžbenikom iz mehanike leta kako bi studenti mogli na najbrži način u skladu

sa svojim temeljnim znanjem stečenim na ovom fakultetu, ovladati mehanikom leta

zrakoplova, kao jednom od bitnih komponenata znanja zrakoplovne struke. Točno je da

postoji na engleskom jeziku nekoliko vrlo dobrih knjiga iz mehanike leta, ali studentima nije

lako, niti imaju dovoljno vremena učiti iz više knjiga. Osim toga, ti udžbenici obuhvaćaju

sadržaje koje su studenti tijekom studija na našem fakultetu već usvojili kroz druge kolegije,

ili zahtijevaju znanja koja ne odgovaraju programu temeljnog obrazovanja studenata na našem

fakultetu. Zato je ovaj udžbenik prije svega kompilacija najboljih knjiga po autorovu izboru,

ali prilagođena nastavnom planu fakulteta. Manjim dijelom u knjizi je i osobni autorov pristup

nekim problemima kojima se on bavio u svojoj praksi, kao što su aerodinamika letjelica i

metoda 6DOF.

S obzirom na ovako postavljenu namjenu knjige, u njoj su odabrani sadržaji prema

nastavnom planu i programu studija zrakoplovstva na našem fakultetu. Oni zadovoljavaju tri

zahtjeva: prvo, studentima daju potrebna znanja iz mehanike leta zrakoplova koja su nužna

zrakoplovnom inženjeru, drugo, temelje se na kolegijima koje su studenti slušali u prethodnim

semestrima i, treće, čine temelj za predmete koji slijede, kao upravljanje zrakoplovom,

konstrukcija zrakoplova i dr. Ako ovim uvjetima dodamo i broj sati koji je predviđen

nastavnim planom, onda je sadržaj knjige, koji ispunjava te zahtjeve, u potpunosti određen.

To je razlog što se u knjizi nalaze i neki sadržaji iz drugih oblasti, jer nisu obuhvaćeni

odgovarajućim kolegijima u zajedničkom temeljnom dijelu studija. a prijeko su potrebni za

suvremeni pristup mehanici leta. Takav je slučaj s matricama transformacija iz linearne

algebre i s mehanikom tijela promjenljive mase. Osim toga, u prilogu knjige dana su i neka

posebna znanja koja su potrebna za mehaniku leta a nisu obuhvaćena ni jednim kolegijem

postojećeg nastavnog plana, kao npr. temeljna znanja o atmosferi. U prilogu je i postupak

određivanja maksimalne sile uzgona krila jer taj sadržaj nije studijskog već empirijskog

karaktera, ali je nužan za rješavanje problema u procesu projektiranja zrakoplova.

Knjiga je pisana kao udžbenik a ne kao monografija sa znanstvenim pretenzijama. To

ne znači da su objašnjenja površna i modeli nepotpuni. Uvijek je specificirano je li neka

pojava u potpunosti objašnjena, odnosno modelirana, ili su objašnjeni samo najvažniji učinci i

samo oni modelirani. Tako se u poglavljima, u kojima se razmatra aerodinamika zrakoplova,

Page 14: Mehanika Leta Zrakoplova

XII

upotrebljavan riječ "procjena" za aerodinamičke koeficijente, čime se iskazuje da to nisu

egzaktne veličine već približne aproksimativne vrijednosti. Isto tako dinamika zrakoplova u

ovoj knjizi temelji se na gibanju krutog tijela, što znači da nisu uzeta u obzir elastična

svojstva krila koja ponekad utječu na dinamičku stabilnost zrakoplova. Ti se sadržaji prema

koncepciji našeg fakulteta izučavaju na poslijediplomskom studiju.

Mehanika leta je vrlo široka oblast tehnike, u kojoj razvoj tehnologije otvara stalno

nove i nove mogućnosti. Koliko god našim radom širili naše spoznaje, napredak tehnologije

još brže širi polje mogućnosti. Ta utrka je vrlo teška, a posljedica je to da sve što se danas

uradi ma koliko dobro bilo, sutra se može bolje i više.

Sve metode i svi proračuni u ovoj oblasti u potpunosti se oslanjaju na suvremene

mogućnosti računala tijekom pisanja knjige. U objašnjenjima, a posebno u primjerima,

korišten je MATLAB software koji se sve više upotrebljava u mehanici leta. Čitatelj student

može se koristiti i nekim drugim jezikom za programiranje. Uz objašnjenja ima dovoljno

primjera. Što više, na jednom istom, malom lakom putničkom zrakoplovu, procijenjeni su svi

aerodinamički koeficijenti, izvršen je proračun performansi, urađen proračun uzdužne i bočne

stabilnosti i konačno dana ocjenjena kvalitete tog zrakoplova. Da bi se olakšalo slijediti tekst,

svi su programi dani na disketi u prilogu knjige.

U otklanjanju propusta i u kompletiranju primjera veliku pomoć pružio je autoru

njegov neposredni suradnik Milan Vrdoljak, za što mu autor toplo zahvaljuje. Katedra motora

pomogla je autoru uskladiti sadržaj knjige s predmetima pogona zrakoplova. Svojim stručnim

savjetima autoru su pomogli i kolege sa Zrakoplovnog usmjerenja na Fakultetu prometnih

znanosti. Iskustvo i praktično znanje mehanike leta njihovih instruktora bilo je od velike

pomoći autoru. Posebno je bila dragocjena pomoć koju je autoru pružilo zapovjedništvo

Hrvatskog ratnog zrakoplovstva. Svojim primjedbama pomogli su i studenti koji su čitali

prve verzije teksta u obliku skripata i ukazali autoru na neke nedostatke. Autor svima njima

posebno zahvaljuje.

Osim ove neposredne stručne pomoći, podršku autoru pružili su odgovorni ljudi na

Fakultetu: prof. Žanić, akademik Jecić i prof. Filetin, a posebno ohrabrenije pružio je autoru i

savjetnik predsjednika Republike general Agotić. Svima njima autor srdačno zahvaljuje.

Konačno, svi oni koji su stvarali ovakva djela znaju od kolike je pomoći obitelj i domaća

atmosfera. Te uvjete rada autor duguje svojoj supruzi.

U Zagrebu, svibanja 2001 g. Autor

Page 15: Mehanika Leta Zrakoplova

XIII

UVOD

Sadržaj ove knjiga obuhvaća mehaniku leta zrakoplova kao krutog tijela. U tako definiranom

sadržaju razlikujemo pet cjelina: kinematiku leta, aerodinamiku zrakoplova, performanse

zrakoplova, simulatore leta i dinamičku stabilnost.

Prvu cjelinu čini prvo poglavlje koje se zato naziva kinematika leta. U tom poglavlju

objašnjena su ukratko načela linearne algebre na kojima se temelji suvremena mehanika leta

svih letjelica, a zatim su obrađene matrice transformacija koje se koriste u mehanici leta. Za

razliku od matrica transformacija u klasičnoj mehanici na temelju Eulerovih kutova, u

mehanici leta koriste se matrice transformacije na temelju De Sparreovih kutova. Ta dva

sustava kutova nisu kompatibilni, te ih treba razlikovati. Zato se u okviru kinematike leta

posebna pažnja poklanja matricama transformacijama na temelju De Sparreovih kutova. Ti

kutovi kompatibilni su (mogu biti zamijenjeni) s Hamilton Rodriguezovim parametrima koji

se nazivaju i Eulerovi parametri, a ponekad, zato što su četiri, kvaternion transformacije.

Poslije ovih temeljnih odrednica u prvom poglavlju, počinje kinematika leta zrakoplova u

pravom smislu riječi. Definirani su svi koordinatni sustavi koji se primjenjuju u ovoj knjizi,

dane su definicije svih kutova i veze između njih, zatim su definirane kutne brzine i drugi

kinematički pojmovi kao primjerice stav zrakoplova, veze između kutne brzine zrakoplova i

derivacije stava.

Aerodinamika zrakoplova predstavlja drugu cjelinu. Čine je drugo, treće, četvrto i peto

poglavlje. To je nastavak teorijske aerodinamike koja je primijenjena na složenu zrakoplovnu

konfiguraciju. Uglavnom je razmatrana normalna konfiguracija zrakoplova, manjim dijelom i

"canard" konfiguracija, a "bezrepac" nije obrađivan. U toj cjelini promatra se aerodinamička

uloga pojedinih dijelova zrakoplova: krila, horizontalnog repa, vertikalnog repa, krilaca,

kormila visine i kormila pravca. Razumijevanje uloge pojedinih dijelova zrakoplova

omogućuje procjenu derivativa koja se temelji na načelu aerodinamičke superpozicije. Taj

pristup predstavlja uvod u aerodinamičko projektiranje zrakoplova sa svjetskim bazama

podataka kao što su DATCOM, ESDU i dr.

U drugom poglavlju na početku ove cjeline definiraju se aerodinamički koeficijenti

zrakoplova, zatim opće zakonitosti ovisnosti aerodinamičkih koeficijenata o parametrima

gibanja s obzirom na geometrijsku konfiguraciju zrakoplova i način upravljanja. Na temelju

tih zakonitosti uvodi se pojam aerodinamičkog modela zrakoplova, a zatim linearni model

aerodinamike zrakoplova.

Page 16: Mehanika Leta Zrakoplova

XIV

Otpor, normalna sila i moment propinjanja čine drugo poglavlje jer pripadaju

uzdužnom gibanju (u ravnini simetrije zrakoplova), a bočna sila i moment skretanja čine treće

poglavlje. Moment valjanja obrađen je u četvrtom poglavlju. Tako se aerodinamičke sile i

momenti bočnoga gibanja nalaze u trećem i četvrtom poglavlju. U opisu aerodinamičkih sila i

momenata objašnjena je uloga svakog dijela zrakoplova. Na temelju tih objašnjenja izvode se

jednadžbe za procjenu derivativa pojedinih dijelova zrakoplova, te konačno primjenom načela

superpozicije i zrakoplova u cjelini.

Treća cjelina mehanike leta izučava performanse zrakoplova. Tu cjelinu čini pet

poglavlja: šesto, sedmo, osmo, deveto i deseto. Performanse leta određuju se na temelju

gibanja središta mase zrakoplova. Gibanje zrakoplova predstavlja gibanje tijela promjenljive

mase. Takvo gibanje je vrlo složeno i ono se može izučavati samo uz pomoć računala.

Modeliranje tog gibanja u računalu izvodi se pomoću matričnog računa na temelju primjene

linearne algebre u mehanici.

Da bi se studentima olakšao taj pristup, u šestom poglavlju izloženi su poznati

temeljni zakoni dinamike krutog tijela, ali na temelju linearne algebre, s posebnim osvrtom na

određivanje glavnih osi tenzora tromosti i na zakone relativnog gibanja koji su potrebni u

dinamici leta. Budući da se suvremena mehanika leta zrakoplova temelji na teoriji o gibanju

tijela promjenljive mase, u nastavku ovog poglavlja cjelovito je objašnjena Gantmaherova

teorija o gibanju tijela promjenljive mase. Na temelju te teorije, korištenjem kontrolne

površine i načela očvrsnuća, izvedene su jednadžbe gibanja zrakoplova kao i komponente

pogonske sile i pogonskog momenta mlaznog motora. Time su u šestom poglavlju postavljeni

temelji za izučavanje performansa zrakoplova.

Sedmo poglavlje obrađuje ravnotežni let, koji se razlikuje od klasičnog pristupa

mehanike leta zrakoplova po kome su zrakoplovi morali biti statički stabilni da bi letjeli.

Suvremena mehanika leta omogućuje let zrakoplova koji su statički nestabilni, jer imaju bolje

manevarske sposobnosti. Zato je posebna pozornost poklonjena ovoj problematici. U ovom

poglavlju u vezi s problemom statičke stabilnosti objašnjen je i pojam neutralne točke, a zatim

je u ravnotežnom letu definiran pojam vektora opterećenja kao i upravljivost letjelice. Taj isti

pristup primijenjen je na uzdužno i na bočno gibanje. Pri izučavanju bočnoga gibanja

objašnjen je i utjecaj bočnog vjetra kao i potreban otklon kormila pravca za njegovu

kompenzaciju. Posebna pažnja posvećena je sigurnosti leta u slučaju otkaza bočnog motora.

Kako je zbroj momenata za središte mase u ravnotežnom letu jednak nuli, gibanje zrakoplova

u ravnotežnom letu zamjenjuje se gibanjem upravljive materijalne točke. S tim modelom

izučavaju se performanse zrakoplova.

Page 17: Mehanika Leta Zrakoplova

XV

U osmom poglavlju najprije se objašnjava veza između performansa pogona i

aerodinamike letjelice i s tim u vezi ovojnica leta u horizontalnom letu. Zatim su objašnjeni

optimalni režimi horizontalnog leta, penjanja i spuštanja. Posebno detaljno razmatran je

koordinirani horizontalni zaokret za zrakoplove s elisom i s mlaznim motorom.

U devetom poglavlju objašnjeni su principi polijetanja i slijetanja zrakoplova, a

posebna je pažnja usmjerena na problem sigurnosti.

U desetom poglavlju proučava se totalna energija. Osim uobičajenih teorema o

specifičnom višku snage, obrađeni su i problemi usporedbe dvaju zrakoplova lovaca s gledišta

performansi. Konačno objašnjeni su načini određivanja optimalnog penjanja za najmanje

vrijeme i za najmanju potrošnju goriva.

Četvrta cjelina u jedanaestom poglavlju izučava gibanja zrakoplova kao krutog tijela

promjenljive mase (6DOF, six degrees of freedom). Postavljena su dva modela 6DOFa. Za

simulatore leta koji služe za izučavanje mnogih pojava u letu koristi se prvi model u kome

vjetar može biti promjenljiv u vremenu i prostoru. Drugi model pretpostavlja konstantan

vjetar. Taj model se prije koristio u mnogim trenažerima leta, pa je zato ovdje izložen. U oba

modela izvedene su po dvije varijante, pomoću De Sparreovih kutova ili pomoću Hamilton-

Rodriguezovih parametara.

Udžbenik Mehanike leta završava petom cjelinom koju čine dvanaesto, trinaesto i

četrnaesto poglavlje. U dvanaestom poglavlju objašnjeno je načelo linearizacije, a zatim su

pomoću njega linearizirane jednadžbe 6DOF modela. Tako su dobiveni linearni modeli

uzdužnog i bočnog gibanja. U trinaestom poglavlju analizirana je dinamička stabilnost

uzdužnog gibanja. Prvo su određeni mogući oblici poremećaja (modovi) uzdužnog gibanja, a

zatim su primjenom teorije linearnih sustava dobivene prijenosne funkcije zrakoplova i

poremećaji zbog impulsa i odskoka otklona kormila visine. Izvršena je harmonijska analiza i

objašnjena pojava rezonance. Na kraju tog poglavlja dani su kriteriji ocjene upravljivosti

zrakoplova bez povratne veze u uzdužnom gibanju. Isto tako, u četrnaestom poglavlju prvo su

određeni mogući oblici gibanja po pravcu i valjanju. Zatim se primjenom teorije linearnih

sustava istodobno dobivene prijenosne funkcije i poremećaji skretanja i valjanja zbog impulsa

i odskoka otklona kormila pravca ili krilca. Izvršena je harmonijska analiza i bočnog gibanja,

a na kraju tog poglavlja dani su kriteriji za klasifikaciju zrakoplova s obzirom na njegovu

namjenu ako se bočnim gibanje upravlja bez povratne veze.

Page 18: Mehanika Leta Zrakoplova

XVI

Page 19: Mehanika Leta Zrakoplova

Kinematika leta 1-1

1 KINEMATIKA LETA

1.1 Matrični zapis vektora

1.1.1 Baza koordinatnog sustava

Svaki Deckartov koordinatni sustav određen je s tri jedinična vektora njegovih koordinatnih

osi:

zyx bbbrrr

1.1

koje zovemo baza koordinatnog sustava. U slučaju desnog koordinatnog sustava (uvijek

ćemo se služiti desnim koordinatnim sustavom), prva dva vektora pomnožena vektorski daju

treći (drugi pomnožen s trećim daje prvi, a treći s prvim daje drugi). Bilo koji vektor r

V bit će

u tom koordinatnom sustavu određen jednadžbom:

zzyyxx bVbVbVVrrrr

++= 1.2

u kojoj su V V Vx y z projekcije vektora r

V na osi koordinatnog sustava A. Uvodimo

oznaku za matricu od jednog stupca koju čine tri komponente jednog vektora:

[ ]V Ax

y

z

x y z

TVVV

V V V=

= 1.3

i matricu od jednog stupca koju čine tri jedinična vektora nekog koordinatnog sustava

[ ]Tzyx

z

y

x

bbbbbb

rrr

r

r

r

r=

=b 1.4

Tu matricu od tri jedinična vektora nekog koordinatnog sustava zovemo baza toga

koordinatnog sustava. Matrice označavamo masnim slovima. Indeks gore označava u kojemu

su koordinatnom sustavu zadane komponente vektora i izostavljamo ga ako se

podrazumijeva u kojem su koordinatnom sustavu dane komponente. S ovim oznakama bit će:

( ) ( ) bVVbrrr TAAT

V == 1.5

ili

Page 20: Mehanika Leta Zrakoplova

Kinematika leta 1-2

VArr

bV = 1.6

1.1.2 Vektorski i skalarni produkt vektora

Poznate su nam komponente C i D dvaju vektora u koordinatnom sustavu čija je baza rb

r r

r rC

D

T=

=

b Cb DT

Želimo matrično izračunati komponente u istom koordinatnom sustavu od skalarnog i

vektorskog produkta:

S C DA C D

= ⋅

= ×

r r

r r r

Skalarni produkt lako nalazimo prema definiciji:

S T T T= ⋅ =C b b D C Dr r

,

jer je r rbbT jedinična matrica.

Da bi smo odredili komponente vektorskog produkta, pomnožimo skalarno jednadžbu

vektorskog produkta

( )r r rb A b DT TC= ×

s bazom rb . Dobivamo:

( )[ ]

A b b D

b D

= ⋅ ×

= ⋅ × × ×

r r r

r r r r r r rC

C b C b C b

T

x y z

Kako je:

( )( )( )

r r r r r r

r r r r r r

r r r r r r

b C b C b C b C b C b

b C b C b C b C b C b

b C b C b C b C b C b

x x y y z z x y z z y

x x y y z z y x z z x

x x y y z z z x y y x

+ + × = − +

+ + × = −

+ + × = − +

bit će:

( ) [ ]r r r

r

r

r

r r r r r rb b⋅ × =

⋅ − + − − +Cbbb

C b C b C b C b C b C bTx

y

z

y z z y x z z x x y y x 1.7

ili

Page 21: Mehanika Leta Zrakoplova

Kinematika leta 1-3

( )r r rb b⋅ × =

−−

CC C

C CC C

Tz y

z x

y x

00

0 1.8

Ovu antisimetričnu matricu koja ima nule na glavnoj dijagonali, sastavljenu od komponenti

vektora nazivamo kososimetrična matrica. Obično je obilježavamo sa ~C . Tako konačno

dobivamo matricu A od komponenti vektorskog produkta:

A CD=−

−−

=0

00

C CC CC C

DDD

z y

z x

y x

x

y

z

~ 1.9

Zapamtit ćemo da vektorski produkt dvaju vektora, čije su komponente poznate, ima

komponente koje se dobivaju matričnim množenjem kososimetrične matrice prvoga vektora s

matricom od jednog stupca drugog vektora.

1.1.3 Derivacija vektora

U dinamici leta vrlo se često susrećemo s problemom koji možemo formulirati ovako: u

nekom koordinatnom sustavu B, koji rotira poznatom kutnom brzinom rΩ (poznate

komponente p, q i r duž osi toga koordinatnog sustava), poznate su nam komponente duž osi

toga koordinatnog sustava od vektora r

V

[ ]V = u v wT

1.10

koje su funkcije vremena, a nama su potrebne komponente (duž osi toga istog koordinatnog

sustava B) derivacije po vremenu vektora r

V . Obilježimo tu derivaciju sa ra .

Ako je rb baza promatranog koordinatnog sustava, onda je

r r

V T= b V .

Po definiciji, tražena derivacija je

( )r rr

ra b V

bV b

V= = +

ddt

ddt

ddt

TT

T .

Komponente bilo kojeg vektora, tj. matricu komponenata, dobivamo kad dani vektor

pomnožimo skalarno ispred s bazom koordinatnog sustava:

a bb V V= +r r& &T 1.11

Page 22: Mehanika Leta Zrakoplova

Kinematika leta 1-4

Napomenimo najprije da izvod po vremenu komponenata koje obilježavamo sa

[ ]& & & &V = u v w T nije isto što i komponente izvoda koje obilježavamo sa a. Kao što vidimo,

razlika je član r rbb V& T . Razvijmo produkt

r rbb& T .

Kako je derivacija po vremenu bilo kojeg jediničnog vektora jednaka vektorskom

produktu kutne brzine toga jediničnog vektora te samog jediničnog vektora, a sva tri

jedinična vektora imaju istu kutnu brzinu koja je jednaka kutnoj brzini koordinatnog sustava

B, bit će:

r r r r rbb b b& T T= ×Ω , 1.12

a prema definiciji kososimetrične matrice, na desnoj strani je upravo kososimetrična matrica

kutne brzine koordinatnog sustava B, tj.

r rbb& ~= Ω . 1.13

Kako vidimo, dobiveni rezultat je koso simetrična matrica komponenti trenutne kutne brzine

[ ]Ω = p q r T koordinatinog sustava B, te je

a V V= +~ &Ω . 1.14

Prema tomu, zapamtimo, ako vektor rV ima komponente u v w poznate u koordinatnom

sustavu B čija je kutna brzina [ ]Ω = p q r T , onda derivacija po vremenu vektora rV ima

komponente (u koordinatnom sustavu B)

aaa

r qr pq p

uvw

uvw

x

y

z

=−

−−

+

00

0

&

&

&

1.15

Moguće je [ ]& & & &V = u v w T nazvati relativna derivacija vektora rV , jer ona ne uzima u obzir

rotaciju koordinatnih osi, dok apsolutna derivacija jest zbroj relativne derivacije i člana zbog

rotacije koordinatnih osi. U jednadžbi apsolutna derivacija nalazi se na lijevoj strani, a na

desnoj strani prvi član je posljedica rotacije koordinatnog sustava B, a drugi član predstavlja

relativnu derivaciju.

Page 23: Mehanika Leta Zrakoplova

Kinematika leta 1-5

1.2 Matrice transformacija

Kad izračunavamo složene probleme mehanike leta kao što je let zrakoplova, tada

primjenjujemo znanja iz više oblasti. Na primjer, aerodinamičke sile određujemo prema

teoriji i praksi aerodinamike, pogonske sile prema konstrukciji motora, a sila Zemljine teže

određena je u geofizici. Tako se susrećemo s problemom da je jedna sila poznata u jednom

koordinatnom sustavu, druga u drugomu, treća u trećemu, a mi želimo kretanje tijela u

četvrtome koordinatnom sustavu. Ovaj problem nameće potrebu za nekim jednostavnim

načinom prijelaza iz jednoga koordinativnog sustava u drugi, što znači ne zadržavati se na

problemu određivanja komponenti vektora u nekom koordinatnom sustavu ako su one

poznate u drugome. Za rješenje tog problema služit ćemo se matricama transformacija, jer je

matrični račun pogodan za rad na računalu.

1.2.1 Definicija i svojstva matrice transformacije

Ako imamo neki drugi desni koordinatni sustav čija je matrica jediničnih vektora rb (baza

koordinatnog sustava B), onda je taj isti vektor r

V u tom drugom koordinatnom sustavu:

( )r rV

T B= b V

te mora biti:

( ) ( )r ra V b VT A T B=

Množenjem ove matrice ispred s matricom rb dobivamo:

V b a VB T A=r r

Produkt matrica r rba T nazivamo matricom transformacije u koordinatni sustav B iz

koordinatnog sustava A, te je označavamo sa L BA , tj. bit će:

[ ]L b aBAT

x

y

z

x y z

x x x y x z

y x y y yz z

z x z y z z

bbb

a a ab a b a b ab a b a b ab a b a b a

= =

=

r r

r

r

rr r r

r r r r r rr r r r r rr r r r r r

1.16

ili

[ ]L BA xb

yb

zba a a= . 1.17

Korisno je znati zapis ove matrice u računalu npr. u FORTRANU ona ima oblik

Page 24: Mehanika Leta Zrakoplova

Kinematika leta 1-6

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

=

3,33,23,12,32,22,11,31,21,1

LLLLLLLLL

BAL 1.18

Matrica transformacije ima dimenzije 3x3 (kvadratna trećega reda). Njen član lij predstavlja

kosinus kuta između osi “i koordinatnog sustava B” i osi “j koordinatnog sustava A”.

Prvo svojstvo matrice transformacije dobivamo polazeći od jednakosti:

V L VBBA

A=

Množenjem inverznom matricom ispred dobivamo:

L V VBAB A− =1

te je prvo svojstvo matrice transformacije

L LA B BA= −1 . 1.19

Drugo svojstvo matrice transformacije dobivamo iz jednakosti intenziteta vektora

( ) ( )V V V VB T B A T A=

iz koje slijedi:

( ) ( )V L V V VB T

BAA A T A=

( ) ( )V L VB T

BAA T

=

L V VBAT B A=

L LBAT

AB= . 1.20

To je vrlo važno svojstvo matrice transformacije jer je mnogo lakše transponirati matricu

negoli odrediti njenu inverznu matricu. Iz ove jednadžbe slijedi i zaključak da je determinanta

matrice transformacije jednaka jedinici:

L BA = 1. 1.21

Zbroj kvadrata članova jednog stupca ili jednog retka bit će zbroj kvadrata kosinusa kutova

koje čini jedna od osi s osima drugoga koordinatnog sustava, te taj zbroj mora biti jednak

jedinici.

Ako kososimetričnu matricu treba množiti s matricom transformacije ispred LP E ,

onda će se ona transformirati, tj. sve će komponente iz jednog koordinatnog sustava prijeći u

Page 25: Mehanika Leta Zrakoplova

Kinematika leta 1-7

komponente drugoga sustava, a matrica transformacije bit će iza novo oblikovane

kososimetrične matrice

L C C LP EE P

P E~ ~

= . 1.22

Da bismo dokazali ovo svojstvo, pretpostavimo dva različita koordinatna sustava “E” i “P”.

Vektorsko množenje možemo obaviti u oba koordinatna sustava: EEE CBA =~ PPP CBA =~ .

Kako je

L C CPEE P= ,

mora biti

L A B A BPEE E P P~ ~

=

odakle dobivamo:

L A A LPEE P

PE~ ~

= . 1.23

Ova jednadžba pokazuje kako množenjem ispred, kososimetrične matrice sastavljene od

komponenata vektora u koordinatni sustav “E” s matricom transformacije, dobivamo

kososimetričnu matricu istog vektora, ali sastavljenu od komponenata u koordinatnom

sustavu “P” pomnoženu iza s istom matricom transformacije, što ima za posljedicu

transformaciju vektorskog produkta u matričnom obliku:

( )L A B L A B A L B A BPEE E

PEE E P

PEE P P~ ~ ~ ~

= = = . 1.24

1.2.2 Derivacija matrice transformacije

Neka je vektor rr konstantan u prostoru u kojemu se nalazi koordinatni sustav A koji miruje.

Matrica r A (koju čine komponente toga vektora u koordinativnom sustavu A) bit će

konstantna matrica. Koordinatni sustav B ima kutnu brzinu rΩB A/ (u odnosu na koordinatni

sustav A), te zato su komponente konstantnog vektora u koordinatnom sustavu B

promjenljive veličine, a to znači da su članovi matrice r B funkcije vremena. U svakom

trenutku postoji matrica transformacija LBA koja je također funkcija vremena, takva da je

r L rBBA

A= 1.25

te je

Page 26: Mehanika Leta Zrakoplova

Kinematika leta 1-8

& &r L rBBA

A= , 1.26

jer su članovi matrice r A konstante. Sa &r B označili smo matricu koju čine derivacije

komponenti vektora rr u koordinatnom sustavu B. Komponente derivacije bilo kojeg vektora

u koordinatnom sustavu B koji rotira kutnom brzinom rΩB A/ bit će u koordinatnom sustavu B

~&Ω r rB B+ .

Međutim, kako je vektor rr konstantan, njegova derivacija je nulti vektor, te je

&~r rB B= −Ω .

Zamijenimo li u ovoj jednadžbi &r B sa &L rBAA i r B sa L rBA

A , dobivamo traženi izvod

matrice transformacije

BAABBA LL /~Ω−=& . 1.27

1.2.3 Određivanje matrice transformacije pomoću kutova

Vrijednosti članova matrice transformacija LBA ovise o položaju koordinatnog sustava B u

odnosu na koordinatni sustav 1. U mehanici postoje tri načina za određivanje položaja jednog

koordinatnog sustava u odnosu na drugi koordinatni sustav. To su: Eulerovi kutovi, de

Sparreovi kutovi i Hamilton - Rodriguezovi parametri.

Eulerovi kutovi ne primjenjuju se u mehanici leta, već tzv. de Sparreovi kutovi, te

ćemo se i mi koristiti njima. Zadani koordinatni sustav B zaokrenut je u odnosu na

koordinatni sustav A: za kut ψ oko z osi , za kut ϑ oko novog položaja y osi i konačno za kut

φ oko najnovijeg položaja x osi. Te kutove φ ϑ ψ nazivamo de Sparreovi kutovi (sl.1-1).

Slika 1-1 De Sparreovi kutovi

Page 27: Mehanika Leta Zrakoplova

Kinematika leta 1-9

Matricu transformacije odredit ćemo postupno od ta tri kuta. Promatrat ćemo transformaciju

LBA (u B iz A) kao rezultat triju sukcesivnih transformacija:

1) za kut ψ oko treće osi Lz(ψ),

2) za kut ϑ oko druge osi L(ϑ),

3) za kut φ oko treće osi L(φ).

Svakoj od tih transformacija odgovara po jedna matrica transformacije. Rezultat svake

sljedeće transformacije jest produkt matrice transformacije ispred vektora. Tako će poslije

prve transformacije (rotacija za kut ψ oko treće osi) komponente vektora r

V biti

( )L VzAψ , 1.28

poslije druge transformacije (rotacija za kut ϑ oko druge osi) bit će

( ) ( )L L Vy zAϑ ψ 1.29

i poslije treće transformacije (rotacija za kut φ oko prve osi), bit će

( ) ( ) ( )L L L Vx y zAφ ϑ ψ . 1.30

Prema tome vidimo da je matrica transformacija u koordinatni sustav B iz koordnatnog

sustava A

( ) ( ) ( )L L L LBA x y z= φ ϑ ψ . 1.31

Koristeći se definicijom matrice transformacija, dobivamo:

( )L x φ φ φφ φ

=−

1 0 000

cos sinsin cos

1.32

( )L y ϑϑ ϑ

ϑ ϑ=

cos sin

sin cos

00 1 0

0 1.33

( )Lz ψψ ψψ ψ= −

cos sinsin cos

00

0 0 1 1.34

Produkt svih triju matrica transformacije daje:

+−+++−

−=

ϑφψϑφψφψϑφψφϑφψϑφψφψϑφψφϑψϑψϑ

ccssccscscsscsssscccssscssccc

BAL 1.35

Page 28: Mehanika Leta Zrakoplova

Kinematika leta 1-10

Radi kraćeg pisanja označili smo sa “s” sinusnu, a sa “c” kosinusnu funkciju. Općenito,

možemo reći kako je matrica transformacija jedna matrična funkciju od tri parametra te je

( ) ( ) ( ) ( )ψϑφψϑϕ ,,LLLLL =⋅⋅= ZYXBA . 1.36

U korisničkoj biblioteci možemo napraviti potprogram u kojeme su ulazni parametri ta tri

kuta (u radijanima) ϕ, ϑ i ψ, a izlaz je matrica transformacije BAL , dimenzija 3x3.

1.2.4 Određivanje matrice transformacije pomoću parametra

Proračun trigonometrijskih funkcija pomoću računala razmjerno je dugotrajan u usporedbi s

proračunom osnovnih računskih operacija. To je razlog zašto se nastoji izbjeći proračun

matrica transformacija na osnovi kutova ϕ, ϑ i ψ.

Slika 1-2. Hamilton-Rodriguezovi (Eulerovi) parametri

Prijelaz iz koordinatnog sustava A u koordinatni sustav B može se ostvariti zaokretom za

jedan kut χ oko neke osi čiji je jedinični vektor ru . Matrica od jednog stupca sastavljena od

komponenti toga jediničnog vektora u koordinatnom sustavu A poznata je i označit ćemo je

sa “u”. Cijeli koordinatni sustav okrene se oko ru za kut χ kao kruto tijelo te prijeđe iz

Page 29: Mehanika Leta Zrakoplova

Kinematika leta 1-11

položaja A u položaj B (slika 1-2). Pri tomu, svaka os koordinatnog sustava napravi isti kut

rotacije χ oko ru . Hamilton - Rodriguezovi parametri (u literaturi iz SADa nazivaju se

Eulerovi parametri) po definiciji su:

[ ] .

2

2cos

321

0

χ

χ

sineee

e

T ue ==

= 1.37

To znači da imamo četiri parametra od kojih prvi 0e jest kosinus polukuta rotacije, a preostala

tri su komponente vektora duž osi rotacije čiji je intenzitet sinus polukuta rotacije. Iz toga

slijedi prvo svojstvo parametara:

e e e e02

12

22

32 1+ + + = . 1.38

Uvedemo li oznaku za matricu od jednog stupca

[ ]p = e e e e T0 1 2 3 , 1.39

prvo je svojstvo parametara

p pT = 1, 1.40

a deriviranjem te jednadžbe bit će i

p pT & = 0 . 1.41

Za daljnje izvođenje nužne su neke jednadžbe veza između tih parametara, koje lako

dobivamo na osnovi gornjih definicija:

( )~~

~& ~ & &

~~& & &

e e I ee

e e ee Ie e ee I

= − +

= +

= +

e

e e

e e

T

T

T

02

0 0

0 0

1

1.42

Promatrajmo jednu os određenu jediničnim vektorom ra kada je koordinatni sustav u položaju

A. Trebamo odrediti jedinični vektor te iste osi poslije rotacije χ oko ru . Obilježimo sa rb taj

novi položaj jediničnog vektora osi poslije rotacije kad je koordinatni sustav došao u položaj

A. Znači jedinični vektor ra poslije rotacije χ oko osi ru postaje jedinični vektor rb (slika 1-2).

Vrh jediničnog vektora ra opisao je jedan dio kružnice KH sa središtem u C na osi rotacije ru .

U ravnini kružnice iz točke H spustimo okomicu na polumjer kružnice CK. Nazovimo tu

okomicu vektor rn , a neka je vektor rr udaljenost od središta kružnice do okomice. Intenzitet

tog vektora ra je HC sin χ , a smjer i pravac podudaraju se s vektorskim produktom r ru a× . S

Page 30: Mehanika Leta Zrakoplova

Kinematika leta 1-12

obzirom na intenzitet toga vektorskog produkta, koji je jednak polumjeru CK ili CH, bit će u

matričnom obliku:

( )[ ] .cos

~

χ

χ

uauaraun

T

sin−=

=

Sad smo u mogućnosti izraziti u matričnom obliku i jedinični vektor b:

( )( ) ( )[ ]

( )( ) .~1

~

χχχ

χχ

sincoscossincos

T

TT

T

auauuaauuauauau

nruaub

+−+=

+−+=

++=

S obzirom na vrijednosti Hamilton-Rodriguezovih parametara zamijenit ćemo

trigonometrijske funkcije njihovim vrijednostima ovisno o polukutu χ 2 .

.2

cos2

sin2sin

2sin2cos1

12

cos2cos

2

2

χχχ

χχ

χχ

=

=−

−=

Poslije tih zamjena dobivamo:

( )( ) ( ) .~2212

2cos

22~

2sin21

22

020

22

aeaeea

auauuab

ee

sincos

T

T

++−=

++

−=

χχχχ

Razvijanjem matrica možemo pokazati da je

( ) ( )e e a ee aT T= ,

te pomoću ove relacije imamo konačni izraz za zarotirani jedinični vektor osi-z:

( )[ ]b ee e a= − + +2 1 202

0e eT ~ 1.43

b je matrica komponenti (u koordinatnom sustavu A) jediničnog vektora osi koja je zarotirana

u novi položaj B, a a je matrica komponenti te osi (u istom koordinatnom sustavu A) prije

rotacije.

Prema definiciji matricu transformacije čine tri jedinična vektora osi koordinatnoga

sustava iz kojega se polazi u odnosu na sustav u koji se dolazi, a to znači da je:

[ ] ( ) ( )[ ][ ]zyxTA

ZAZ

AXAB ee aaaeeebbbL ~212 0

20 ++−==

( ) ( ),~212 020 eeeIL ee T

AB ++−= 1.44

ili

Page 31: Mehanika Leta Zrakoplova

Kinematika leta 1-13

−++−

−−++

+−−+

=

21

21

21

2

20

2310322013

103220

223021

2013302120

21

eeeeeeeeee

eeeeeeeeee

eeeeeeeeee

ABL . 1.45

S obzirom na to što je eeT simetrična matrica, a ~e kososimetrična, bit će

( ) ( )L I ee eBATe e= − + −2 1 20

20~ , 1.46

ili

L BA

e e e e e e e e e e

e e e e e e e e e e

e e e e e e e e e e

=

+ − + −

− + − +

+ − + −

2

12

12

12

12

02

1 2 0 3 3 1 0 2

1 2 0 3 22

02

2 3 0 1

3 1 0 2 2 3 0 1 32

02

. 1.47

Time smo odredili matricu transformacije ovisno o Hamilton - Rodriguezovim parametrima i,

kao što vidimo, članovi matrice nisu trigonometrijske funkcije parametara, već polinomi

drugoga reda koji se vrlo brzo računaju u procesoru računala.

1.2.5 Veze između parametara i kutova

Možemo lako naći vezu između Hamilton - Rodriguezovih parametara i de Sparreovih

kutova. Razmotrimo prvo slučaj kad poznamo de Sparreove kutove, a želimo naći Hamilton -

Rodriguezove parametre. Pomoću de Sparreovih kutova možemo izračunati matricu

transformacije ABL . Kad su nam poznati članovi ijl te matrice transformacije

=

333231

232221

131211

lll

lll

lll

ABL . 1.48

Usporedbom dobivamo zbroj članova jednak dijagonali:

142332 2

020

23

22

21 −=

−+++= eeeeetr ABL 1.49

te je:

( )4

120

+= ABtre L . 1.50

Page 32: Mehanika Leta Zrakoplova

Kinematika leta 1-14

Predznak parametra 0e time je neodređen. Pretpostavimo li da je predznak +, tada je 0e

određeno. Uspoređivanjem razlika članova simetričnih u odnosu na glavnu dijagonalu

dobivamo

0

23321 4e

e ll −= ,

0

31132 4e

e ll −= ,

0

12213 4e

e ll −= . 1.51

Ako smo odabrali pogrešan predznak za 0e vektor e promijenit će smjer te je transformacija

ista jer koordinatni sustav transformiramo iz položaja A u položaj B na isti način (suprotna

rotacija na obratnom smjeru osi rotacije isto je što i zadana rotacija oko zadanog smjera osi

rotacije).

Drugi slučaj, kada znamo Hamilton-Rodriguezove parametre, a trebamo de Sparreove

kutove, lakši je jer jednostavnom usporedbom matrica ABL , napisane pomoću de Sparreovih

kutova i pomoću Hamilton-Rodriguezovih parametara, dobivamo:

( )

21

2sin21

23

20

1032

2031

21

20

2130

−++

=

−−=−+

+=

eeeeee

tg

eeeeee

eeeetg

φ

ϑ

ψ

1.52

1.2.6 Diferencijalne jednadžbe parametara

Poseban problem jest taj kako za vrijeme gibanja nekog objekta u svakom trenutku odrediti

Hamilton-Rodriguez-ove parametre p. Budući da dinamičke jednadžbe određuju kutnu brzinu

objekta u ovisno o vremenu, problem se svodi na kinematičku zadaću iznalaženja veze

između te kutne brzine i derivacija po vremenu Hamilton-Rodriguez-ovih parametara. Da bi

lakše riješili taj problem uvodimo dvije nove pomoćne matrice:

[ ]E e J e= − +e0~ 1.53

[ ]G e J e= − −e0~ . 1.54

Te matrice imaju neka svojstva na kojima ćemo temeljiti nalaženje derivacija Hamilton-

Rodriguezovih parametara.

Prva Lema

TAB EGL = 1.55

Page 33: Mehanika Leta Zrakoplova

Kinematika leta 1-15

Dokaz

[ ] eeeJeeeJ

eeJeEG ~~~2~~

000

0 +++=

+−

+−= eee

e TT

T

Pomoću jednadžbe za matricu ABL bit će

( ) ( ) ABTT ee LeeeJEG =++−= ~212 0

20

Druga lema

& &EG EGT T= 1.56

Dokaz

eeeeJeeeJ

eeJeGE ~~~~

~]~[ 00000

0&&&&&&&&& ++++=

+−

⋅+−= eeeee

e TT

T

eeeeJeeeJ

eeJeGE &&&&&

&&

&& ~~~~~]~[ 0000

00 ++++=

+−

⋅+−= eeeee

e TT

T

a s obzirom na svojstva Hamilton-Rodriguezovih parametara dokazana je druga lema.

Treća lema

E E J ppT T= − 1.57

Dokaz

[ ]

−−−−

=+−

−−

=eeJe

eeeeeeJe

eJe

EE ~~~

~~ 2

00

00

0 eee

ee

TTTTT

Kako je

( )− = =e e eeT T~ ~ 0

i prema polaznoj jednadžbi, dobivamo konačno

E Ee

e J eeJ ppT

T

TTe e

e=

− −− −

= −

1 02

0

0

.

Isto tako možemo dokazati i drugi oblik treće leme

G G J ppT T= − . 1.58

Četvrta lema

Gp Ep= = 0 1.59

Page 34: Mehanika Leta Zrakoplova

Kinematika leta 1-16

Dokaz:

[ ]Gp e J ee

e e ee 0= − −

= − + − =e

ee e0

00 0

~ ~

Analogno tomu je i Ep = 0.

Peta lema

GG& T jednako je koso simetričnoj matrici od Gp& 1.60

Dokaz

[ ] TTT

TT ee

ee eeeeee

eJe

eJeGG &&&&&&

&& −−+=

+−

−−= ~~~

~000 .

Uz pomoć treće leme biti će

( ) TTTTT eeeeeeee eeeeeeJeeeeJeeGG &&&&&&&&&&& −−+=+−−++= ~~~~00000000 .

Odredimo vektor

[ ] eeeee

eJepG &&&&

&& ~~

000

0 −+−=

−−= ee

ee .

Kako je

~&& &

& &

& &

ee =− +

−− +

e e e ee e e ee e e e

3 2 2 3

3 1 1 3

2 1 1 2

,

bit će koso simetrična matrica od ovog vektora

00

0

1 2 1 2 1 3 1 3

2 1 2 1 2 3 2 3

3 1 3 1 3 2 3 2

& & & &

& & & &

& & & &

& &

e e e e e e e ee e e e e e e ee e e e e e e e

T T

− −− −− −

= −ee ee .

Na temelju ovog rezultata koso simetrična matrica Gp& bit će

− + − +& ~ ~& & &e e T T0 0e e ee ee ,

što je trebalo dokazati.

Derivacije Hamilton-Rodriguezovih parametara nalazimo na slijedeći način. Polazimo

od jednadžbe:

& ~L LBA B AB

BA= −Ω ,

ili poslije transformiranja

ABTAB

BAB LL &=Ω~ .

Page 35: Mehanika Leta Zrakoplova

Kinematika leta 1-17

Prema značajkama pomoćnih matrica iz prve i druge leme: T

AB EGL = TTT

AB GEGEGEL &&&& 2=+=

bit će

( ) ( ) TTTTTTTTTTBAB GGppGGGppJGGEGEGEEG &&&&& 22222~ −=−===Ω

te s obzirom na četvrtu lemu po kojoj je Gp = 0, bit će:

TAAB GG &2~ =Ω ,

a s obzirom na petu lemu

pG &2~ =BABΩ .

Pomnožimo ispred ovu jednadžbu s GT .

pGGG &TBAB

T 2~ =Ω .

S obzirom na dodatnu treće lemu, dobivamo:

( ) ( )pppppppJG &&& TTBAB

T −=−= 22Ω .

Kako je p pT & = 0 bit će konačno:

BAB

T

21

ΩGp =& . 1.61

U ovoj jednadžbi komponente rotacije definirane su u koordinatnom sustavu B. Ova matrična

jednadžba trebati će nam u raspisanom obliku.

&

&

&

&

~

eeee

e

pqr

T0

1

2

3

0

12

=−

+

eJ e

&

&

&

&

eeee

e e ee e ee e ee e e

pqr

0

1

2

3

1 2 3

0 3 2

3 0 1

2 1 0

12

=

− − −−

−−

1.62

Page 36: Mehanika Leta Zrakoplova

Kinematika leta 1-18

1.3 Koordinatni sustavi

U mehanici leta zrakoplova koristimo nekoliko koordinatnih sustava. Svaki problem zahtijeva

neki primjeren kooordinatni sustav. Tako određivanje aerodinamičkih sila i njihovih

momenata vezujemo za ravninu simetrije letjelica ili za pravac aerodinamičke brzine, dok

performanse zrakoplova izučavamo u odnosu na Zemlju, pa u tom slučaju postavljamo

koordinatni sustav vezan za Zemlju. Kada se bavimo interkontinentalnim letovima, koristimo

koordinatni sustav postavljen u središtu zemlje, a kad promatramo lokalne letove, služimo se

nekim lokalnim kooridnatnim sustavom, itd. Gibanje središta Zemlje oko Sunca u

vremenskom intervalu u kojemu izučavamo letjelicu je praktično pravocrtno s konstantnom

brzinom. Zato je koordinatni sustav s ishodištem u središtu Zemlje, a koji se ne okreće sa

Zemljom, inercijski koordinatni sustav (I). Svi ostali koordinatni sustavi jesu relativni, u

kojima djeluju i inercijske sile, jer svi imaju neku kutnu brzinu. Kao što je spomenuto na

početku, svaki se problem može najprikladnije riješiti u nekom od koordinatnih sustava. S

obzirom na probleme koje ćemo razmatrati u ovoj knjizi, trebamo pet koordinatnih sustava:

• lokalni koordinatni sustav (L),

• nošeni koordinatni sustav (O),

• koordinatni sustav letjelice (F),

• aerodinamički koordinatni sustav (A) i

• brzinski koordinatni sustav (V).

Napomenimo da su svi koordinatni sustavi desni, što znači da je dovoljno definirati dvije osi,

a treća čini desni trijedar. Uvijek si možemo pomoći desnom šakom, ako palac, kažiprst i

srednjak namjestimo okomito jedan na drugi. Palac tada označuje os-x, kažiprst os-y, a

srednjak os-z. Za svaki koordinatni sustav trebamo znati, osim definicije pravca dviju osi,

njegovu kutnu brzinu i kutove u odnosu na neki prethodno definirani koordinatni sustav.

Kutna brzina nužna je da bismo odredili inercijsku silu, a kutovi da bismo odredili matricu

transformacije u taj koordinatni sustav iz nekog drugog koordinatnog sustava.

Kutna brzina i njene komponente imat će indeks dolje kako bi se označilo na koji se

koordinatni sustav odnosi ta kutna brzina, a indeks gore označavat će koordinatni sustav na

čijim osima su komponente. Primjerice komponente kutne brzine označavamo uvijek sa

[ ]rqp . Ako su to komponente kutne brzine brzinskog koordinatnog sustava na osi

aerodinamičkog koordinatnog sustava ona ih označavamo sa [ ] AV

AV

AV

AV rqp Ω= .

Page 37: Mehanika Leta Zrakoplova

Kinematika leta 1-19

1.3.1 Lokalni koordinatni sustav (L)

Ishodište je ovog koordinatnog sustava na mjestu polijetanja letjelice. Os Lx je horizontalna u

pravcu zadanog azimuta A 0 . Kut azimuta se mjeri u pozitivnom trigonometrijskom smjeru

kada se gleda odozdo, a kad kut azimuta gledamo odozgo onda je on pozitivan u smjeru

kazaljke na satu. Os Ly je vertikalna prema gore. Geocentrične koordinate ishodišta su

λ ϕ0 0 0, , h (indeks nula podsjeća da se radi o ishodištu, kada je vrijeme obično jednako nuli).

(slika 1-3). S obzirom na to što je lokalni koordinatni sustav vezan za Zemlju, on ima istu

kutnu brzinu kao i zemlja Ω E s= − −7 27 10 5 1. .

Slika 1-3. Lokalni koordinatni sustav

Budući da se taj koordinatni sustav okreće sa Zemljom konstantnom kutnom brzinom, gibanje

je u tom kordinatnom sustavu relativno gibanje. To znači da postoje dvije inercijalne sile:

centrifugalna i Coriolisova. Inercijalna centrifugalna sila koja se pojavljuje zbog ove kutne

brzine zbraja se s privlačnom silom Zemlje i zajedno čine silu Zemljine teže. Drugim

riječima, težina svake mase je zbroj dviju sila: privlačne sile Zemlje i centrifugalne sile zbog

rotacije te mase zajedno sa Zemljom. Drugu inercijalnu silu uslijed Coriolisova ubrzanja

KE Vrr

×Ω2 zanemarujemo jer je ona zbog male kutne brzine vrlo mala u odnosu na težinu.

Primjerice je za brzinu leta 240 m/s u smjeru istoka ili zapada Coriolisova ubrzanja najveće i

iznosi 2035.0 sm , što zanemarujemo u odnosu na ubrzanje težine 281.9 sm , a u slučaju leta

s juga na sjever i obrnuto Coriolisovo ubrzanje je nula.

Page 38: Mehanika Leta Zrakoplova

Kinematika leta 1-20

1.3.2 Nošeni koordinatni sustav (O)

Nošeni koordinatni sustav ima ishodište u središtu mase letjelice. Os Ox je u horizontalnoj

ravnini, a Oz je vertikalna u smjeru prema dolje (slika 1-4). Zanemarujemo li

• zakrivljenost Zemljine površine, onda su kutovi λ λ= 0 i ϕ ϕ= 0 konstantni i

• kutnu brzinu Zemlje 0=EΩ ,

onda nošeni koordinatni sustav nema kutnu brzinu 0=OOΩ , tj. nošeni koordinatni sustav ne

rotira tijekom leta, već ostaje paralelan samom sebi. U svim problemima koje razmatramo u

ovoj knjizi opravdane su ove dvije pretpostavke o zanemarivanju zakrivljenosti Zemljinine

površine i o zanemarivanju kutne brzine..

Slika 1-4. Translacija nošenog koordinatnog sustava kada je & &λ ϕ= = 0

Radi pojednostavljenja, postavljamo nošeni koordinatni sustav paralelno s lokalnim, pa zato

on ostaje u tijeku leta paralelan s lokalnim koordinatnim sustavom, ali putuje sa središtem

mase letjelice (zato smo mu dali ime "nošeni", slika 1-5). U odnosu na nošeni koordinatni

sustav definiramo “stav” letjelice i izučavamo njeno gibanje oko središta mase.

1.3.3 Koordinatni sustav letjelice (F)

Ovaj koordinatni sustav Oxyz kruto je vezan za letjelicu. Najprikladnije je usvojiti glavne

ose tromosti kao koordinatni sustav letjelice, a da je njegovo ishodište u središtu mase (ako se

drukčije ne odredi). Os x i os z nalaze se u ravnini simetrije letjelice i to os x duž tijela u

Page 39: Mehanika Leta Zrakoplova

Kinematika leta 1-21

smjeru leta, a os z je nadolje, dok je os y okomita na ravninu simetrije. Zato što je taj

koordinatni sustav kruto vezan za letjelicu, njegova je kutna brzina ujedno i kutna brzina

letjelice. Slovo F sa kojim označavamo taj koordinatni sustav dolazi od engleske riječi

"frame", ali kako je to najviše upotrebljavan koordinatni sustav, sve veličine definirane u tom

koordinatnom sustavu nemaju nikakvih oznaka. Usmjerenost tog koordinatnog sustava

određena je u odnosu na nošeni pomoću tri kuta (slika 1-5)

ψ u horizontalnoj ravnini oko osi z O , nazivamo ga kut zanosa,

θ u vertikalnoj ravnini oko horizontalne osi ~y , nazivamo ga kut propinjanja,

φ oko osi x, nazivamo ga kut valjanja letjelice.

Matrica transformacije za ove tri rotacije ψ θ φ, , je

( ) ( ) ( )L L L LF O X Y Z= φ θ ψ , 1.63

Slika 1-5. Koordinatni sustav letjelice

što pišemo kraće ( )ψϑφ ,,OFL . Kutna brzina letjelice koja je i kutna brzina njenog

koordinatnog sustava

φθψr&

r&

r&

r++=Ω 1.64

ima projekcije na osi tog koordinatnog sustava

Page 40: Mehanika Leta Zrakoplova

Kinematika leta 1-22

( )

+

+

=

00

0

000 φ

θφψ

&

&

&XOF LLΩ .

Poslije množenja matrica i zamjene dobivamo

−++−

=

=

φθθφψφθθφψ

φθψ

sincoscoscoscossin

sin

&&

&&

&&

rqp

Ω . 1.65

Kao što je već spomenuto, nije potrebno posebno označavati da su to projekcije na osi

letjelice, jer kada nije tako onda to i posebno označimo. Matricu na desnoj strani gornje

jednadžbe možemo rastaviti u produkt dviju matrica

−=

−++−

ψθφ

θφφθφφ

θ

φθθφψφθθφψ

φθψ

&

&

&

&&

&&

&&

coscossin0cossincos0

sin01

sincoscoscoscossin

sin

Matricu 3 3× na desnoj strani označavamo sa R. Ona je funkcija dvaju kutova ϑφ i , nije

matrica transformacije i na nju se ne odnose pravila o matrici transformacija. Sa s

označavamo novi pojam stav. To je matrica koju čine tri kuta

[ ]s = φ θ ψT

. 1.66

S ovim oznakama je

( ) sR &⋅= ϑφ ,Ω

( ) Ω⋅= −1Rs ϑφ ,& , 1.67

ili

−=

rqptgtg

θφθφφφθφθφ

ψθφ

coscoscossin0sincos0

cossin1

&

&

&

. 1.68

1.4 Brzine letjelice

Razlikujemo dvije brzine letjelice. Prva je brzina letjelice u odnosu na Zemlju. Nazivamo je

brzina leta i označavamo je sa r

VK . Druga je brzina letjelice u odnosu na zrak r

V i nju

nazivamo aerodinamička brzina (bez indeksa). Između te dvije brzine imamo vezu

r r r

V V VK W= + , 1.69

Page 41: Mehanika Leta Zrakoplova

Kinematika leta 1-23

gdje je WVr

brzina zraka (u odnosu na Zemlju) ili, kratko, vjetar.

Ponekad nam je potrebna brzina zraka u odnosu na letjelicu, ali ne u neposrednoj

blizini letjelice, gdje je zračna struja poremećena prisutnošću letjelice. Tu brzinu nazivamo

"brzina opstrujavanja", a označavamo je sa ∞Vr

. Ona je jednaka po intenzitetu i pravcu

aerodinamičkoj brzini, ali suprotnog je smjera. Drugim riječima, brzina opstrujavanja je

VVrr

−=∞ .

1.4.1 Brzina leta i brzinski koordinatni sustav (V)

Kao što je rečeno brzina leta je brzina letjelice u odnosu na Zemlju. Ona je određena svojim

intenzitetom VK i pomoću dva kuta (slika 1-6).

• χ je kut u horizontalnoj ravnini oko osi Oz od osi Ox do horizontalne projekcije

brzine (pozitivan oko osi z prema dolje), nazivamo ga kut skretanja,

• γ je u vertikalnoj ravnini od horizontalne projekcije do brzine leta (pozitivan

prema gore), nazivamo ga kut prenjanja.

Slika 1-6. Brzinski koordinatni sustav

Projekcije brzine leta na osi letjelice obilježavamo uvijek sa

[ ]VK K K K

Tu v w= . 1.70

Za rješenje nekih problema kao što su to izračunavanja performansa zrakoplova,

dovoljno je promatrati samo gibanje središta mase. Tada je pogodno primjenjivati brzinski

koordinatni sustav. Brzinski koordinatni sustav ima os Vx u pravcu i smjeru brzine leta, os

Page 42: Mehanika Leta Zrakoplova

Kinematika leta 1-24

Vz mu je u vertikalnoj ravnini kroz brzinu leta prema dolje, a os Vy koja čini desni

koordinatni sustav je horizontalna. Prema slici 1-6 iz nošenog koordinatnog sustava “O” u

brzinski prelazi se s dvije rotacije: prvo oko osi 0z za kut χ , a zatim oko osi Vy za kut γ :

( ) ( )χγ ZYVO LLL = . 1.71

Taj koordinatni sustav ima dvije kutne brzine:

• χ& kutnu brzinu oko vertikalne osi 0z i

• γ& oko horizontalne osi Vy

γχr&

r&

r+=VΩ , 1.72

ili

−=

+

=

γχγ

γχγ

χΩ

cos

sin

VOVV

&

&

&

&

& 0

000

L . 1.73

γ&KV

γχ cos&KV

KV&

Slika 1-7. Ubrzanja uzduž osi brzinskoga koordinatnog sustava

Komponente brzine leta u brzinskom koordinatnom sustavu su [ ]TK

VK 00V=V , pa su

komponente ubrzanja u brzinskom koordinatnom sustavu

Page 43: Mehanika Leta Zrakoplova

Kinematika leta 1-25

T

K

K

KKVK

VV

VK

V

VV

VV

00V

−=

−−

−+

=+=γ

γχγχγ

γχγχγγχ

&

&

&

&&

&&

&&&

& cos00

0sinsin0cos

cos0~ VVa Ω . 1.74

Do tih komponenata ubrzanja u brzinskom koordinatnom sustavu mogli smo doći ako tražimo

komponente brzine hodografa. Iz mehanike znamo da je hodograf putanja točke čiji je vektor

položaja brzina. Znamo da je brzina derivacija vektora položaja. Ako je vektor položaja

jednak brzini leta, onda je derivacija tog vektora položaja tj. brzina hodografa jednaka

ubrzanju.

1.4.2 Aerodinamička brzina i aerodinamički koordinanti sustav (A)

Položaj aerodinamičke brzine određujemo prvenstveno u odnosu na letjelicu, jer o njenom

intenzitetu i položaju u odnosu na letjelicu ovise aerodinamičke sile i momenti. Primjenjuju

se dva načina za određivanje položaja aerodinamičke brzine u odnosu na letjelicu.

Slika 1-8. Napadni kut i kut klizanja

Prvi način su kutovi α βi . Napadni kut α nalazi su u ravnini simetrije (vanjske

površine letjelice), od projekcije aerodinamičke brzine na tu ravninu do osi x letjelice u toj

ravnini (slika 1-8), a kut klizanja β je od projekcije aerodinamičke brzine do aerodinamičke

brzine. Drugim riječima, kut klizanja je otklon aerodinamičke brzine od ravnine simetrije

letjelice (simetrije vanjske površine letjelice). Sa tim kutovima komponente aerodinamičke

brzine u koordinatnom sustavu letjelice su

Page 44: Mehanika Leta Zrakoplova

Kinematika leta 1-26

.sincos

sincoscos

αββ

αβ

VwVvVu

===

1.75

Na osnovu tih jednadžbi dobivamo zavisnost napadnog kuta i kuta klizanja od komponenti

aerodinamičke brzine:

sin β α= =vV

tgwu

. 1.76

Uočavamo da je napadni kut α pozitivan kad je pozitivna komponenta w , te isto tako da je

kut klizanja pozitivan ako je pozitivna komponenta v aerodinamičke brzine. To je

najsigurniji način kontrole predznaka napadnog kuta i kuta klizanja. Vrlo često su os letjelice

i aerodinamička brzina vrlo blizu, te su napadni kut i kut klizanja mali kutovi. To nam

omogućava primjenu pojednostavljenih jednadžba

v V w V= =β α . 1.77

Slika 1-9. Kutovi ψ θ φ, , , α β, , γχ , .

Drugi način su kutovi χ A i γ A (isto kao što su kutovi χ i γ za brzinu leta).

Kut χ A je u horizontalnoj ravnini od osi x0 nošenog koordinatnog sustava do

projekcije aerodinamičke brzine na horizontalnu ravninu, a kut γ A je u vertikalnoj ravnini od

horizontalne projekcije aerodinamičke brzine do aerodinamičke brzine letjelice.

Page 45: Mehanika Leta Zrakoplova

Kinematika leta 1-27

Između kutova χ γA A, i kutova ψ θ φ, , , α β, postoje veze. Te veze dobivaju se iz

relacije:

OFO

wvu

VL=

( )

−=

A

AA

AA

FO

VVV

VV

V

γχγχγ

ψϑφαβ

βαβ

sinsincoscoscos

,,sincos

sincoscos

L .

Možemo skratiti aerodinamičku brzinu na lijevoj strani s aerodinamičkom brzinom na desnoj

i tako dobiti tri jednadžbe, od kojih su dvije neovisne, a treća se može dobiti kombinacijom

tih dviju odabranih jednadžbi.

Slika 1-10. Aerodinamičke osi i glavne osi tromosti

U aerodinamici zrakoplovnih konfiguracija upotrebljava se osim koordinatnog sustava

letjelice i aerodinamički koordinatni sustav (slika 1-10). Njegovo ishodište je u središtu mase

ili nekoj određenoj točki letjelice, a os Ax je u pravcu i smjeru aerodinamičke brzine. Os Az

je u ravnini simetrije letjelice. Kako je ta os okomita na aerodinamičku brzinu (jer je brzina

Page 46: Mehanika Leta Zrakoplova

Kinematika leta 1-28

na osi Ax ), ona se nalazi u presjeku dviju ravnina, ravnine okomite na aerodinamičku brzinu i

ravnine simetrije letjelice.

Najviše trebamo matricu transformacije u koordinatni sustav letjelice iz

aerodinamičkog koordinatnog sustava. Ta transformacija predstavlja dvije sukcesivne rotacije

(vidi sliku 1-10):

• prvo, oko osi zA za kut β i to u negativnom smjeru rotacije (dok os Ax ne uđe u

ravninu simetrije letjelice)

• drugo, oko novodobivene osi y , za kut α (dok os Ax ne dođe u položaj osi x ).

Prema tome je matrica transformacije

( ) ( )L L LFA Y Z= −α β , 1.78

što množenjem daje

−−=

αβαβαββ

αβαβα

cossinsincossin0cossin

sinsincoscoscos

FAL . 1.79

Ako su kutovi mali, onda je

−−=

1001

1

αβ

αβ

FAL . 1.80

Od nošenog koordinatnog sustava do brzinskog dolazimo pomoću tri rotacije (slika

1-11)

• za kut χ A u horizontalnoj ravnini oko osi z0 do horizontalne projekcije

aerodinamičke brzine;

• za kut γ A u vertikalnoj ravnini oko osi y, od horizontalne projekcije do

aerodinamičke brzine;

• za kut µ A oko aerodinamičke brzine dok os z ne uđe u ravninu simetrije letjelice.

To znači da je matrica transformacije u aerodinamički iz nošenog koordinatnog sustava

( ) ( ) ( ) ( )AZAYAXAAAAO χγµχγµ LLLL =,, . 1.81

Uočimo da je to ista matrična funkcija kao ( )ψϑφ ,,FOL .

Page 47: Mehanika Leta Zrakoplova

Kinematika leta 1-29

Slika 1-11. Transformacija iz nošenog koordinatnog sustava

u aerodinamički koordinatni sustav

Kada nema vjetra, možemo lako usporediti aerodinamički i brzinski koordinatni

sustav, jer su tada brzina leta i aerodinamička brzina jednake, pa oba koordinatna sustava

imaju istu os x. Osi Az i Vz se razlikuju. Obje su u ravnini okomitoj na brzinu, ali dok je os

Az u ravnini simetrije letjelice, os Vz je u vertikalnoj ravnini kroz brzinu (slika 1-11).

Između njih je kut Aµ koji se nalazi u ravnini okomitoj na brzinu od osi Vz do osi Az ,

mjeren oko brzine. Zato je matrica transformacije iz aerodinamičkog u brzinski koordinatni

sustav

( )AXVA µ−= LL . 1.82

Kada nema vjetra, može se lako prijeći iz koordinatnog sustava letjelice u brzinski kroz

aerodinamički koordinatni sustav. Matrica transformacije u brzinski iz koordinatnog sustav

letjelice jest produkt dviju matrica

AFVAVF LLL = , 1.83

Page 48: Mehanika Leta Zrakoplova

Kinematika leta 1-30

pa se množenjem matrica ( )AXVA µ−= LL i ( ) ( )αβ −= YZAF LLL , dobiva tražena matrica

transformacije

( ) ( ) ( )αβµ −−= YZAXVF LLLL 1.84

koja vrijedi samo u slučaju ako nema vjetra.

1.4.3 Primjer

Zadana je brzina horizontalnog leta [ ]smVK 4.54= i njen kut pravca 08.10=χ . Intenzitet

brzine vjetra je [ ]smVW 8= , koji puše iz pravca čiji je azimut 0120=WA , a to znači da je kut

pravca kud puše vjetar 0300=Wχ . Treba odrediti aerodinamičku brzinu, napadni kut i kut

klizanja kada je stav zrakoplova [ ]T000 192.5 9.2−=s

Projekcije su brzine leta na osi nošenog koordinatnog sustava:

−=

γχγχγ

sinsincoscoscos

K

K

KOK

VVV

Vr

Uvijek pretpostavljamo da je vjetar horizontalan te su njegove projekcije na osi nošenog

koordinatnog sustava:

=

0sincos

WW

WWO

W VV

χχ

Vr

.

Projekcije aerodinamačke brzine na iste osi nošenog koordinatnog sustava bit će: O

WOK

O VVV −= .

Intenzitet ove brzine je

( ) ( ) ( )222 OOO wvuV ++= ,

a njene su projekcije na osi letjelice

( )OW

OKFO

OFO VVLVLV −== .

Matrica transformacije u koordinatni sustav letjelice iz nošenog koordinatnog sustava jest

produkt triju temeljnih matrica:

( ) ( ) ( )ψϑφ ZYXFO LLLL ⋅⋅=

Na osnovu tih vrijednosti izračunavamo komponente aerodinamičke brzine u koordinatnom

sustavu letjelice, a s tim komponentama bit će napadni kut i kut klizanja

Page 49: Mehanika Leta Zrakoplova

Kinematika leta 1-31

.arcsin

arctan

Vvuw

=

=

β

α

Rješenje se nalazi u fileu primjer.m. na disketi u direktoriju kinematika.

Page 50: Mehanika Leta Zrakoplova

Kinematika leta 1-32

Page 51: Mehanika Leta Zrakoplova

Projektna aerodinamika 2-1

2 PROJEKTNA AERODINAMIKA

2.1 Aerodinamički koeficijenti zrakoplova

2.1.1 Definicije

Djelovanje zraka na letjelicu može se zamijeniti jednom aerodinamičkom silom u središtu

mase i jednim aerodinamičkim momentom oko središta mase. Ta aerodinamička sila i taj

aerodinamički moment imaju po tri komponente u koordinatnom sustavu kojim se koristimo.

Kada su u pitanju aerodinamička sila ili aerodinamički moment zrakoplova upotrebljavamo

dva koordinatna sustava: koordinatni sustav letjelice ili aerodinamički koordinatni sustav.

Ovisno o problemu koji rješavamo, odabrat ćemo jedan od tih dvaju koordinatnih sustava.

Komponente obilježavamo i nazivamo:

• u koordinatnom sustavu letjelice komponente sile [ ]TZYX nazivamo :

− X aksijalna sila i označavamo je sa A,

Y je bočna sila i

Z− normalna sila, označava se sa N.

Komponente momenta [ ]L M NT

nazivamo :

L je moment valjanja,

M moment propinjanja i

N moment skretanja;

• u aerodinamičkom koordinatnom sustavu komponente sile[ ]X Y ZA A A T nazivamo :

− X A je otpor, označava se sa D, AY je bočna sila i

− ZA je uzgon, označava se sa L.

Komponente momenta [ ]L M NA A A T nazivamo:

AL moment valjanja, AM moment propinjanja i

AN moment skretanja.

Ovisno o oznaci kažemo da je to moment propinjanja ili skretanja u aerodinamičkom

koordinatnom sustavu ( M A ili N A ), odnosno u koordinatnom sustavu letjelice (M ili N), s

tim što aerodinamičke komponente duž osi letjelice nemaju nikakvih oznaka iznad slova ni

Page 52: Mehanika Leta Zrakoplova

Projektna aerodinamika 2-2

indeksa, a aerodinamičke komponente u aerodinamičkom koordinatnom sustavu imaju

oznaku "A". Isto tako treba napomenuti da se u aerodinamičkom koordinatnom sustavu

obično koriste samo komponente sila, a ne i komponente momenata. Pomoću matrica

transformacija lako se izračunane komponente u jednom koordinatnom sustavu prenose u

drugi koordinatni sustav.

U praksi se umjesto komponenata aerodinamičke sile i aerodinamičkog momenta

koriste njihovi aerodinamički koeficijenti. To su bezdimenzijske veličine koje dobivamo

dijeljenjem komponenata aerodinamičke sile s referentnom silom, a komponente

aerodinamičkog momenta s referentnim momentom. Zato moramo definirati referentnu silu i

referentni moment. Referenta sila je produkt referentnog tlaka i referentne površine, a

referentni moment je produkt te referentne sile i referentne duljine.

Referentni tlak je uvijek isti. To je dinamički tlak izračunan sa aerodinamičkom

brzinom, odnosno s brzinom opstrujavanja (rekli smo da su te dvije brzine po intenzitetu

jednake, samo su suprotnog smjera):

qV

∞ =ρ 2

2 2.1

Za zrakoplove referentna površina je površina krila s nepostojećim dijelom kroz tijelo

zrakoplova.

Tablica 2-1

Koeficijent

aksijalne sile

refX Sq

XC∞

=

Koeficijent

momenta

valjanja

CL

q S brefl =

Koeficijent

bočne sile

refY Sq

YC∞

=

Koeficijent

momenta

propinjanja

Arefm cSq

MC∞

=

Normalne

sile

refZ Sq

ZC

=

Koeficijent

momenta

skretanja

bSqNC

refn

=

Premda standardi propisuju da zrakoplov ima jednu referentnu duljinu, u praksi je

referentna duljina propinjanja različita od referentne duljine valjanja i skretanja, tj. za

Page 53: Mehanika Leta Zrakoplova

Projektna aerodinamika 2-3

zrakoplove se u praksi primjenjuju dvije referentne duljine. Za propinjanje referentna je

duljina aerodinamička tetiva krila Ac , a za valjanje i skretanje raspon zrakoplova b .

Kao što komponente sila i momenata određujemo u nekom koordinatnom sustavu, tako

će isto i aerodinamički koeficijenti biti definirani za određeni koordinatni sustav. Ako su

komponente bile duž osi koordinatnog sustava letjelice, onda ne treba nikakvo posebno

označavanje koordinatnog sustava. Jednostavno označenim koeficijentima ,,, ZYX CCC

nm CCC ,,l podrazumijeva se da su u koordinatnom sustavu letjelice. U tablici su prikazani

aerodinamički koeficijenti zrakoplova za koordinatni sustav letjelice.

Duž osi aerodinamičkog koordinatnog sustava upotrebljavamo samo aerodinamičke

koeficijente sila C CXA YA, CZAi . Ti aerodinamički koeficijenti su algebarski brojevi koji

imaju predznak komponenata X YA A, Z Ai . Budući da su uvijek komponente X A i Z A

negativne, uvijek su negativni i njihovi aerodinamički koeficijenti

C C C C C CXA D YA K ZA L= − = = −, , , 2.2

gdje smo sa C C CD L K, i označili uvijek pozitivne koeficijente, a to su aerodinamički

koeficijenti: sile otpora D, sile uzgona L i bočne sile K. Veličine D i L su uvijek pozitivne, jer

su njihov pravac i smjer poznati. Aerodinamički koeficijenti momenata duž osi

aerodinamičkog koordinatnog sustava obično nisu potrebni.

Svi aerodinamički koeficijenti u općem slučaju su funkcije:

• aerodinamičkih parametara:

Machova broja aVMa = i Reynoldsova broja

νlVRe = 2.3

gdje je l duljina opstrujavanja, a ν je kinematički koeficijent viskoznosti zraka,

• kutova položaja aerodinamičke brzine u odnosu na letjelicu

βα i ; 2.4

• bezdimenzijskih kutnih brzina aerodinamičke brzine u odnosu na letjelicu

AcV∞

∗ =αα&

& bV∞

∗ =ββ&

& ; 2.5

• bezdimenzijskih kutnih brzina letjelice

bV

pp∞

∗ = AcV

qq∞

∗ = bV

rr∞

∗ = ; 2.6

• otklona upravljačkih površina

lδ otklon krilaca (aileron)

Page 54: Mehanika Leta Zrakoplova

Projektna aerodinamika 2-4

mδ otklon kormila visine oko osi y letjelice (elevator)

nδ otklon kormila pravca oko osi z letjelice (ruder)

• otklona

δ f otklon zakrilca (flaps)

otklon pretkrilca

zračnih kočnica (spoiler) itd.

Slika 2-1. Pozitivni smjerovi rotacija, momenata i otklona upravljačkih površina

Određivanje aerodinamičkih koeficijenata ovisno o parametarima i konfiguraciji letjelice

zadaća je aerodinamike. Ona se rješava na različite načine. Teoretski pristup na temelju

mehanike fluida vodi nas na numeričko rješavanje sustava parcijalnih diferencijalnih

jednadžbi sa zadanim rubnim uvjetima na letjelici i u beskonačnosti, koji rješavamo

numeričkim metodama na računalima. Eksperimentalno aerodinamički koeficijenti se

određuju u zračnom tunelu, ili na temelju izmjerenoga gibanja letjelice u letu.

Pokazat ćemo kako se mogu metodama “projektne aerodinamike” procijeniti

aerodinamički koeficijenti.

Page 55: Mehanika Leta Zrakoplova

Projektna aerodinamika 2-5

2.1.2 Aerodinamički model zrakoplova

Danas su najčešće dvije bitno različite konfiguracije zrakoplova. To je klasična shema

zrakoplova, prikazana na slici 2-1, i shema canard. U prvoj krilo je isprijed, a horizontalni rep

straga, a u drugoj krilo je straga a isprijed su canari. Iza tih vidljivih razlika postoje i bitno

različite uloge nosećih površina. Kod obje sheme krilo ima ulogu stvaranja velike normalne

sile. Međutim, dok kod normalne sheme horizontalni rep ima ulogu stabilizatora, kod sheme

canard krilo ima ulogu kreatora normalne sile i stabilizatora.

Za obje sheme a priori su svi aerodinamički koeficijenti funkcije svih parametra:

( )( )( )nmZZ

nmYY

nmXX

,,,r,q,p,,,,CC

,,,r,q,p,,,,CC

,,,r,q,p,,,,CC

δδδβαβα

δδδβαβα

δδδβαβα

l

l

l

&&

&&

&&

∗∗∗∗∗

∗∗∗∗∗

∗∗∗∗∗

=

=

=

2.7

( )( )( )nmnn

nmmm

nm

,,,r,q,p,,,,CC

,,,r,q,p,,,,CC

,,,r,q,p,,,,CC

δδδβαβα

δδδβαβα

δδδβαβα

l

l

lll

&&

&&

&&

∗∗∗∗∗

∗∗∗∗∗

∗∗∗∗∗

=

=

=

2.8

Prvo trebamo iskoristiti činjenicu da je koordinatna ravnina 0xz ujedno ravnina simetrije

konfiguracije. To znači da XC mora biti parno po kutovima β δi n :

( )22nmXX ,,,r,q,p,,,,CC δδδβαβα l

&& ∗∗∗∗∗=

Osim te egzaktne činjenice, koristimo i druga svojstva zrakoplova.

Gibanje zrakoplova u vertikalnoj ravnini bez valjanja nazivamo uzdužno gibanje, a

valjanje i skretanje nazivamo bočno gibanje, jer se ta dva gibanja za zrakoplovne

konfiguracije pojavljuju zajedno. To je logična posljedica načina upravljanja zrakoplova, koji

ima polarni način upravljanja. O tome će biti više riječi u vezi s performansama zrakoplova.

Za vrijeme leta zrakoplova u vertikalnoj ravnini njegova ravnina simetrije ostaje u toj

vertikalnoj ravnini. U tom letu upravlja se otklonom δm , a mijenjaju se varijable α i q , kao i

dvije koordinate središta mase u vertikalnoj ravnini. Te veličine mq, δα i nazivamo varijable

uzdužnog leta, dok su varijable bočnog gibanja lδδβ i,,, nrp . Bez obzira na to kakav je taj

let, tj. kolike su te varijable, ne pojavljuje se ni bočna aerodinamička sila Y, ni moment

skretanja N, ni moment valjanja L . Na temelju te činjenice opravdano usvajamo da

komponente Y, N i L nisu funkcije varijabli uzdužnoga gibanjaα α, & , q , i δm :

( )( )( )nnn

n

nYY

,,r,p,,CC

,,r,p,,CC

,,r,p,,CC

δδββ

δδββ

δδββ

l

lll

l

&

&

&

∗∗∗

∗∗∗

∗∗∗

=

=

=

Page 56: Mehanika Leta Zrakoplova

Projektna aerodinamika 2-6

U poglavlju o dinamičkoj stabilnosti zrakoplova bit će dokazano da mali poremećaji

varijabla bočnog gibanja lδδβ i,,, nrp ne utječu na uzdužno gibanje. To omogućuje

pretpostavku po kojoj u komponentama uzdužnog gibanja Z i M možemo zanemariti utjecaj

varijabli poprečnog gibanja nrp δδβ i,,, l :

( )( )mmm

mZZ

qCC

qCC

δαα

δαα

,,,

,,,∗∗

∗∗

=

=

&

&

Na veličinu koeficijenta aksijalne sile, možemo zanemariti utjecaj svih kutnih brzina (kutne

brzine p, q i r), derivacije napadnog kuta α& i kuta klizanja β& , kao i otklone upravljačkih

površina, ali ne i utjecaj napadnog kuta α niti kuta klizanja β .

( )2βα ,CC XX =

Konačno u koeficijentu valjanja zanemarujemo utjecaj kutne brzine skretanja ∗β& , pa su pod

ovim pretpostavkama konačno aerodinamički koeficijenti

( )( )( )( )( )( )nnn

mmm

n

mZZ

nYY

XX

,,r,p,,CC

,q,,CC

,,r,p,CC

,q,,CC

,,r,p,,CC

,CC

δδββ

δαα

δδβ

δαα

δδββ

βα

l

lll

l

&

&

&

&

∗∗∗

∗∗

∗∗

∗∗

∗∗∗

=

=

=

=

=

= 2

2.9

Ako napadni kut α i kut klizanja β ne prelaze granice linearnosti primjenjujemo linearni oblik

ovih funkcija:

mZZqZZZZ

nYYrYpYY

XXXX

m

n

CqCCCCC

CrCpCCC

CCCC

δαα

δβ

βα

δαα

δβ

βα

++++=

+++=

++=

∗∗

∗∗

&&0

20 2

2.10

C C C p C r C C

C C C C C q C

C C C r C p C C

p r n

m m m m mq m m

n n nr np n n n

n

m

n

l l l l l l l

l

l

l

= + + + +

= + + + +

= + + + +

∗ ∗

∗ ∗

∗ ∗

β δ δ

α α δ

β δ δ

β δ δ

α α δ

β δ δ0 & & 2.11

Parcijalne derivacije aerodinamičkih koeficijenata po parametrima nazivamo derivativi ili

gradijenti. U ovom aerodinamičkom modelu ima 24 parcijalnih derivacija aerodinamičkih

koeficijenata i sve su a priori funkcije Machova broja. Otkloni upravljačkih površina prelaze

granice proporcionalnosti pa su zato derivativi uz otklone, funkcije i tih otklona upravljačkih

površina. Osim ta 24 derivativa, trebamo i tri nulte vrijednosti: za aksijalnu silu CX0 , za

Page 57: Mehanika Leta Zrakoplova

Projektna aerodinamika 2-7

koeficijent normalne sile CZ0 i za moment propinjanja Cm0 . Te nulte vrijednosti, kao i

parcijalne derivacije čine zajedno 27 funkcija Machova broja.

2.1.3 Veze između aerodinamičkih koeficijenata

Pri određivanju performansi zrakoplova upotrebljavamo aerodinamičke koeficijente u

aerodinamičkom koordinatnom sustavu ( C CD Li ). Pomoću matrice transformacije L AF

(u aerodinamički koordinatni sustav iz koordinatnog sustava letjelice) možemo povezati

komponente aerodinamičke sile [ ]X Y ZA A A Tu aerodinamičkom koordinatnom sustavu s

komponentama [ ]X Y ZT

u koordinatnom sustavu letjelice. U prethodnom poglavlju

vidjeli smo da je matrica transformacije u aerodinamički koordinatni sustav iz koordinatnog

sustava letjelice

( ) ( )L L LAF Z Y= − = − −−

β αα β β α βα β β α βα α

cos cos sin sin coscos sin cos sin sin

sin cos0. 2.12

Dijeljenjem s referentnom silom dobivamo veze između koeficijenata

=

CCC

CCC

D

K

L

AF

X

Y

Z

L . 2.13

Tako dobivamo jednadžbe veza :

.cossin

sinsincossincoscossinsincoscos

ααβαββαβαββα

ZXL

ZYXK

ZYXD

CCCCCCCCCCC

−=−+−=−−−=

2.14

Derivacijom treće jednadžbe po napadnom kutu dobivamo:

ααα

αααα

sincoscossin ZZ

XXL C

CC

CC+

∂∂

−+∂∂

=∂∂

.

Za 0=α dobivamo vezu

0

00

∂∂

−=

∂∂

ααZ

XL C

CC

. 2.15

Kako je 00 DX CC −= , a NZ CC −= , ovu jednadžbu možemo napisati u obliku

( ) ( ) 000 DNL CCC −= αα . 2.16

Page 58: Mehanika Leta Zrakoplova

Projektna aerodinamika 2-8

Iz toga vidimo da je uvijek ( )0αLC manje od ( )0αNC za vrijednost 0DC . U slučaju zrakoplova

treba razlikovati ( )0αLC od ( )0αNC , jer 0DC nije zanemarivo u odnosu na ( )0αLC ili ( )0αNC .

No, ta razlika nije velika.

Za male vrijednosti kutova α i β jednadžbe veza imaju oblik

.ZXL

YXK

ZYXD

CCCCCC

CCCC

−=+−=

−−−=

αβ

αβ 2.17

Na isti način možemo dobiti inverzne ovisnosti:

αβαβαββ

αβαβα

cossinsincossincossin

sinsincoscoscos

LKDZ

KDY

LKDX

CCCCCCC

CCCC

−−−=+−=

+−−=

koje za male kutove imaju oblik

.LDZ

KDY

LKDX

CCCCCC

CCCC

−−=+−=

+−−=

αβ

αβ 2.18

2.2 Noseća površina

2.2.1 Geometrijske karakteristike

Koordinatni sustav noseće površine ima ishodište u vrhu korijenske tetive, os x duž korijenske

tetive, os y je okomito na ravninu simetrije noseće površine, a os z čini desni trijedar (u

ravnini simetrije krila).

Aerodinamička apscisa je srednja udaljenost napadnog ruba krila od os y

( ) ( )∫ ⋅⋅=2

00

2 b

A dyycyxS

x , 2.19

gdje je ( )yx0 jednadžba napadnog ruba krila. Za trapeznu noseću površinu po toj jednadžbi

nalazi se aerodinamička apscisa na udaljenosti od vrha korijenske tetive :

61

21 LEA

tanbx

Λλλ⋅

++

= . 2.20

Aerodinamička tetiva noseće površine dana je jednadžbom

( )[ ]∫=2

22 b

oA dyyc

Sc . 2.21

Page 59: Mehanika Leta Zrakoplova

Projektna aerodinamika 2-9

Za trapeznu noseću površinu po toj jednadžbi aerodinamička tetiva se izračuanava prema

obrascu :

+

+=λ

λ1

132 2

rA cc . 2.22

Udaljenosti svih točaka u pravcu osi x letjelice označavat ćemo sa l ako ih mjerimo

od vrha zrakoplova. Međutim, u zrakoplovstvu se često udaljenosti mjere od aerodinamičke

apscise krila, gdje se nalazi početak aerodinamičke tetive. Tu točku nazivamo aerodinamičko

ishodište. Ako je početak krila udaljen W0l od vrha zrakoplova, onda je Al udaljenost

aerodinamičkog ishodišta od vrha AW0A x+= ll . Kada udaljenosti točaka mjerimo od

aerodinamičkog ishodišta, označavamo ih sa h. Tako na primjer središte mase je udaljeno od

vrha letjelice ml , a od aerodinamičkog ishodišta mh . Treba li prelaziti s jedne na drugu

udaljenost, onda koristimo vezu

hA += ll . 2.23

b/2

c t =λc r

x0(y) c(y)

xA cA

0W c r

Slika 2-2. Aerodinamička tetiva i aerodinamičko ishodište

Bez obzira na to odakle mjerimo udaljenosti uvijek ih izražavamo u multiplima

aerodinamičke tetive krila Ac , koja je referentna duljina u svim problemima propinjanja.

Uvest ćemo oznake

Acl

l = i Ac

hh = . 2.24

Page 60: Mehanika Leta Zrakoplova

Projektna aerodinamika 2-10

2.2.2 Veza između uzgona i normalne sile

Podsjetimo se da je uzgon letjelice komponenta aerodinamičke sile koja je u ravnini simetrije

okomita na projekciju aerodinamičke brzine na ravninu simetrije letjelice, a da je normalna

sila okomita na os x tromosti u istoj ravnini simetrije letjelice. Vezu između gradijenata

uzgona i normalne sile vidjeli smo na kraju prethodnog odjeljka.

( ) ( ) 000 DNL CCC −= αα . 2.25

Ova jednadžba vrijedi za zrakoplov u cjelini, ali i za krilo ili horizontalni rep. Krilo,

horizontalni rep, vertikalni rep i canare zajednički nazivamo noseće površine. Napadni kut

noseće površine α mjerimo od aerodinamičke brzine do korijenske tetive krila. Kada je u

pitanju noseća površina, treba uzeti u obzir još tri činjenice:

• Prvo, za noseću površinu 0DC je vrlo malo u odnosu na ( )0αLC ili ( )0αNC (manje od

1%), pa u granicama točnosti, s kojom radimo, možemo 0DC u gornjoj jednadžbi

zanemariti te je

( ) ( )00 αα NL CC = . 2.26

• Drugo, tipična ovisnost koeficijenta uzgona krila o napadnom kutu prikazana je na slici

2-3.

Slika 2-3. Ovisnost sile uzgona krila o napadnom kutu

Na većem dijelu, gdje napadni kut nije mali (npr. do 020≈ ), ona se može predstaviti

linearnom zavisnošću

Page 61: Mehanika Leta Zrakoplova

Projektna aerodinamika 2-11

( ) ( )OLLL CC ααα α −= , 2.27

u kojoj je αLC konstantno u odnosu na napadni kut (ali je ovisno o Machovu broju). To

znači da je na linearnom dijelu ( )0αα LL CC = .

Zato je opravdano ne praviti razliku između αLC i αNC noseće površine.

• Treće, iz jednadžbe

αα cossin ZXL CCC −=

za 0=α slijedi da je

00 NL CC = . 2.28

Na temelju ovih činjenica slijedi zaključak da na linearnom području, imaju sile uzgona i

normalna sila isti gradijent i istu vrijednost pri nultom napadnom kutu. Drugim riječima, na

linearnom području sila uzgona je brojno jednaka normalnoj sili i obje imaju istu ovisnost o

napadnom kutu (slika 2-4).

( ) ( ) ( ) ( )00 αααααα αα −=≡−= LLNN CCCC , 2.29

ali ne i isti pravac. U ovim jednadžbama je 00 <α , što znači da je uzgon (ili normalna sila)

jednak nuli kada je napadni kut 0<= Oαα , tj. kada je os x krila ispod brzine (točnije ispod

aerodinamičke projekcije brzine na ravninu simetrije krila). Taj negativni napadni kut Oα pri

kome je uzgon (normalna sila) jednak nuli nazivamo “kut nultog uzgona”. Ako je u letu

napadni kut krila jednak nuli, tj. aerodinamička brzina je u pravcu osi x krila, uzgon, pa i

normalna sila, nisu jednaki nuli, već je to neka određena pozitivna vrijednost koeficijenta

uzgona (ili normalne sile) ( ) 00 αα αα LOL CC =−⋅ . Ako noseća površina nije uvijena (tj. ako

su tetive profila u svim presjecima paralelne) onda je kut nultog uzgona samog krila zapravo

jednak kutu nultog uzgona profila koji je značajka profila.

Osim koeficijenta uzgona noseće površine LC , koristimo i koeficijent uzgona profila

koji označavamo sa cl , što ne treba dovoditi u vezu s koeficijentom momenta valjanja koga

označavamo s velikim slovom Cl , ali s istim indeksom.

2.2.3 Gradijent normalne sile

Dobru procjenu gradijenta koeficijenta uzgona u subsonici sve do kritičnog Machovog broja,

možemo dobiti pomoću jednadžbe koja daje količnik gradijenta uzgona krila (ili gradijent

normalne sile) prema vitkosti krila:

Page 62: Mehanika Leta Zrakoplova

Projektna aerodinamika 2-12

W

N

tW

L

AC

Matg

cAA

C

=

−+

++

=

α

α

α

Λπ

π

2

22

11242

2

l

A je vitkost noseće površine, tΛ je strijela geometrijskog mjesta najveće debljine, a αlc

gradijent uzgona profila. Ta jednadžba je dobivena na temelju teorije vrtloga, uzimajući u

obzir utjecaj stlačivosti i korekcije prema eksperimentalnim mjerenjima.

Linearizirana teorija noseće površine pokazuje da je u transsonici i supersonici,

količnik gradijenta uzgona (ili gradijenta normalne sile) i vitkosti, funkcija triju parametara :

( )β=α AAAfA

CCm

N ,, , 2.30

Gdje su

3

tan

tAA

AA

C

mm

=

= Λ

>−<−−=

1111

2

2

MaMaMaMaβ 2.31

U tim parametrima je t t c= srednja relativna debljina noseće površine, Λ m je kut strijele

geometrijskog mjesta srednjih točaka tetiva. Na slikama od 2-4 do 2-7, prikazana su četiri

dijagrama za vrijednosti parametra 3i210 ,,Am = prema [15]. Na tim dijagramima je Λm

označeno sa Lm, a β sa BETA.

Slika 2-4. Krivulje ( )βα A,AfA

CC

N = za slučaj 0=mA

Page 63: Mehanika Leta Zrakoplova

Projektna aerodinamika 2-13

U literaturi [20] preporučuje se povećati vitkost krila kako bi se uzeli u obzir dodaci

na kraju krila koji mijenjaju raspored vrtloga na krilu. Za kraj krila u obliku “endplate”

preporučuje se

A Ahbeffective = +

1 19. ; 2.32

h je visina “endplate”, a za kraj krila u obliku “winglet”

A Aeffective = 12. . 2.33

Slika 2-5. Krivulje ( )βα A,AfA

CC

N = za slučaj 1=mA

Slika 2-6. Krivulje ( )βα A,AfA

CC

N = za slučaj 2=mA

Page 64: Mehanika Leta Zrakoplova

Projektna aerodinamika 2-14

Slika 2-7. Krivulje ( )βα A,AfA

CC

N = za slučaj 3=mA

2.2.4 Položaj hvatišta normalne sile

Položaj napadne točke normalne sile krila određen je također trima parametrima:

( )βλ A,,Afh mc = . 2.34

Za vrijednosti parametra 3i210 ,,Am = napravljena su četiri dijagrama na slikama od 2-8 do

2-11 prema [15].

Slika 2-8. Krivulje ( )βλ A,fhc = za slučaj 0=mA

Page 65: Mehanika Leta Zrakoplova

Projektna aerodinamika 2-15

Slika 2-9. Krivulje ( )βλ A,fhc = za slučaj 1=mA

Slika 2-10. Krivulje ( )βλ A,fhc = za slučaj 2=mA

Svaki dijagram je izrađen za jednu vrijednost parametra mA , a na jednom dijagramu

predočene su krivulje za šest raznih vrijednosti parametra suženja krila λ . Na horizontalnoj

Page 66: Mehanika Leta Zrakoplova

Projektna aerodinamika 2-16

osi je parametar βA , a na vertikalnoj osi je ch udaljenost hvatišta normalne sile od

aerodinamičkog ishodišta krila podijeljena s aerodinamičkom tetivom.

Slika 2-11. Krivulje ( )βλ A,fhc = za slučaj 3=mA

2.2.5 Hvatište normalne sile polovice noseće površine

U mnogim procjenama aerodinamičkih koeficijenata potrebno je hvatište normalne sile jedne

polovice noseće površine cy . Na slici 2-12 prema [13] predočeni su dijagrami za procjenu

napadne točke normalne sile na polukrilu:

( )βλ AAfy mc ,,= . 2.35

Prikazana su dva dijagrama na slici 2-12. Na prvom su dijagramu dvije familije krivulja:

gornja familija za romboidno krilo ( 1=λ ), i donja za trokutasto ( 0=λ ) . Svaka familija ima

po tri krivulje za vrijednosti parametara 4i2,0=mA . Na apscisi su desno vrijednosti za βA

u supersonici (kada je 12 −= Maβ ), a lijevo za subsoniku (tada 21 Ma−=β ). Na

ordinati je bezdimenzijska udaljenost hvatišta 2b

yy c

c = .

Page 67: Mehanika Leta Zrakoplova

Projektna aerodinamika 2-17

cy

cy

Slika 2-12. Položaj napadne točke normalne sile polu krila:

gore za delta krilo 0=λ i romboidno 1=λ , a dolje za suženje krila 5.0=λ

2.2.6 Maksimalni uzgon

Pri polijetanju (“take off”), i slijetanju (“landing”) zrakoplova veliku ulogu ima maksimalna

vrijednost sile uzgona krila. Da ne bi smo povećavali nepotrebno površinu krila i kvadrat

brzine, treba iskoristiti maksimalni koeficijent uzgona krila. Zato treba znati taj maksimalni

koeficijent uzgona maxLC i vrijednost maxα pri kojoj je maksimalni uzgon. Poslije te

Page 68: Mehanika Leta Zrakoplova

Projektna aerodinamika 2-18

vrijednosti αmax nastaje naglo opadanje koeficijenta uzgona (“stall”). Treba napomenuti da se

ta vrijednost maksimalnog koeficijenta uzgona teško određuje ne samo teoretski već i

eksperimentalno u aerodinamičkom tunelu.

Slika 2-13. Maksimalni uzgon krila maxLC i napadni kut pri maksimalnom uzgonu maxα

Pri velikim vrijednostima napadnog kuta, na prednjem rubu krila pojavljuju se vrtlozi koji su

posebno izraženi kod strelastih krila male vitkosti. Pod utjecajem tih vrtloga odvaja se zračna

struja na početku gornjake profila. To odvajanje struje od krila smanjuje uzgon, te on nije više

linearno proporcionalan napadnom kutu. Odvajanje se zbiva na početnom dijelu gornjake, pa

stoga ova pojava ovisi o nagibu tangente na početnom dijelu gornjake profila. Nagib tangente

na tom mjestu u direktno je vezi s parametrom y∆ koji predstavlja prirast ordinate gornjake

profila od apscise c. ⋅00150 do apscise c. ⋅060 , a koji se također mjeri u postocima tetive:

cy

y∆∆ 100= 2.36

Taj parametar uobičajeno ima vrijednosti 26 za profile s četiri i pet znamenki, za seriju

profila 64 ima vrijednost 3.21 , a za seriju 65 ima vrijednost 3.19 .

Koeficijent maksimalnog uzgona krila maxLC i napadnog kuta maxα ovise osim o

vrijednosti y∆ i o obliku krila (vitkost krila A, suženje krila λ , strijele napadnog ruba krila

LEΛ ) i o relativnoj debljini krila te konačno i o Machovu broju. U prilogu je empirijski

postupak za procjenu maksimalnog koeficijenta uzgona krila maxLC i napadnog kuta maxα

Page 69: Mehanika Leta Zrakoplova

Projektna aerodinamika 2-19

2.2.7 Gradijent normalne sile po otklonu upravljačke površine

Upravljačke površine mogu biti dio noseće površine ili cijela noseća površina koja mijenja

kut otklona u odnosu na letjelicu. U subsonici je obično upravljačka površina dio noseće

površine ili stabilizatora, jer se poremećaj njenog otklona prenosi uz struju na cijelu površinu,

a moment oko osi otklona je proporcionalan samo otklonjenoj površini. To znači da nije

potrebno mnogo snage za pokretanje tih upravljačkih površine, a učinkovitost je velika. U

supersonici da bi se postigla dovoljna učinkovitost mora se otkloniti cijela noseća površina ili

stabilizator, jer se poremećaji otklona ne prenose uz struju. U prvom slučaju, kada je

upravljačka površina dio noseće površine, onda se u subsonici gradijent δNC po otklonu

upravljačke površine (kormilo visine, kormilo pravca ili kormila valjanja subsoničnih

letjelica) može procijeniti na temelju gradijenta profila δlc prema jednadžbi

fHLL

refN Kcosc

cC

SS

.C ⋅⋅⋅

⋅= Λδ

α

αδδ l

l

90 , 2.37

gdje je αlc gradijent uzgona profila , a αLC gradijent uzgona krila.

ccδ

δlc

Slika 2-14. Krivulje

=

ct

ccfc ,δ

δl

Gradijent profila δlc ovisi o odnosu tetive otklonjene površine δc i ukupne tetive c noseće

površine, kao i o relativnoj debljini profila ct noseće površine. Ta ovisnost prikazana je na

Page 70: Mehanika Leta Zrakoplova

Projektna aerodinamika 2-20

slici 2-14 prema [27]. Sa δS označili smo dio noseće površine na kojoj se nalazi upravljačka

površina kao na slici 2-15.

Slika 2-15. Površina δS

Koeficijent fK je korekcija zbog nelinearnost te ovisi o otklonu δ , ali i o odnosu tetiva

ccδ . Ta ovisnost prikazana je na slici 2-16 prema [27].

Slika 2-16. Krivulje

=c

cfK f

δδ ,

Položaj hvatišta upravljačke sile zbog otklona upravljačke površine δx , može se u subsonici

dobiti linearnom interpolacijom između dva ekstremna slučaja. Prvo, ako je cijela noseća

površina upravljačka površina onda je napadna točka na četvrtini tetive. Drugo, ako je

upravljački dio iznimno mali onda je napadna točka na polovici neotklonjenoga dijela tetive

Page 71: Mehanika Leta Zrakoplova

Projektna aerodinamika 2-21

c′ . Ovaj odnos može bitno promijeniti veličina procjepa između pokretnog dijela i

nepokretnog dijela, kao što se to vidi sa slike 2-17.

cxδ

ccδ

c' δc

c

Slika 2-17. Položaj hvatišta normalne sile upravljačke površine

2.3 Normalna sila kombinacije tijelo – noseća površina Pod kombinacijom tijelo – noseća površina razumijemo dvije konzole polukrila i onaj dio

tijela za koji su vezane te konzole (slika 2-18). Kada govorimo o normalnoj sili na samom

krilu wN , mislimo na normalnu silu koja djeluje na krilo koje je dobiveno spajanjem dvaju

polukrila skinuta sa zrakoplova.

Slika 2-18. Kombinacija tijelo – noseća površina

Ta dva polukrila spojena čine samo krilo. Samo krilo ima raspon wb koji je manji od raspona

kombinacije b za širinu trupa na mjestu kombinacije d. Za takvo krilo sastavljeno od dva

Page 72: Mehanika Leta Zrakoplova

Projektna aerodinamika 2-22

polukrila određujemo gradijent normalne sile ( )wNC α i za to krilo određujemo površinu krila

wS .

Slika 2-19. Kombinacija tijelo – noseća površina

a) planarna kombinacija b) otklonjena kombinacija

Razlikujemo dvije vrste kombinacije. U prvoj je os tijela u ravnini noseće površine, pa

tijelo i noseća površina imaju isti napadni kut αα =w . Takva kombinacija naziva se

planarna. U drugom slučaju, noseća površina ima postavni kut i u odnosu na tijelo. Tu

kombinaciju nazivamo otklonjena, a taj kut i nazivamo postavni kut noseće površine.

Prema teoriji konformnog preslikavanja [18], planarna kombinacija ima BWK puta

veću normalnu silu od normalne sile samog krila pod istim napadnim kutom α . Pri

preslikavanju pretpostavlja se da je tijelo rotacijskog oblika promjera d , te da je os tijela u

ravnini krila. U tom slučaju dobivamo da je koeficijent interferencije

( )dddK BW −−+= 131 λ , 2.38

gdje je bdd = , b je raspon kombinacije, a d promjer kruga presjeka trupa.

U slučaju otklonjene kombinacije, tj. kada tetiva krila ima postavni kut i u odnosu na

os tijela, onda je normalna sila kombinacije (kada je napadni kut jednak nuli, tj. brzina u

pravcu osi tijela) BWk puta veća od normalne sile samog krila pod napadnim kutom i:

( )( )

( )[ ]dddd

dk BW −−++

+= 131

1

41.012

2

λ 2.39

U realnosti neki uvjeti koji su pretpostavljeni u teoriji konformnog preslikavanja nisu

zadovoljeni. Dva odstupanja su najvažnija: prvo, trup zrakoplova nije rotacijskog oblika pa

koristimo ekvivalentni promjer d , koji određujemo kao promjer površine kruga čija je

površina jednaka površini poprečnog presjeka tijela na mjestu kombinacije krilo- tijelo.

Drugo, os tromosti x od koje mjerimo napadni kut nije pravac nultog uzgona tijela. Ova

pogreška nije velika jer tijelo ima malu normalnu silu.

Zbog tih nedostataka, neki autori kao npr. [20], uzimaju vrijednost BWK za

pravokutno krilo ( 1=λ ) uvećanu za 7%. To daje koeficijent interferencije tijelo-krilo

Page 73: Mehanika Leta Zrakoplova

Projektna aerodinamika 2-23

2

107.1

+=

bdK BW 2.40

i usvajaju BWBW Kk = . Drugi [6, 7, 16] zanemaruju oba koeficijenta, kao da su jednaki

jedinici 1== BWBW Kk , ali zamjenjuju kombinaciju s krilom koje čine dva polu-krila i dio

krila pod tijelom.

U stvarnosti imamo otklonjenu kombinaciju pod napadnim kutom. U tom slučaju

normalna sila kombinacije je zbroj normalne sile planarne kombinacije pod napadnim kutom i

otklonjene kombinacije bez napadnog kuta. Osim toga, treba imati na umu da nesimetrični

profili imaju još i dodatni napadni kut L0α (koji je negativan) zbog zakrivljenosti srednje linije

profila. Taj kut ima istu ulogu kao postavni kut:

( )LWBWWBWBW iNkNKN 0αα αα −+= 2.41

ili

( )[ ]LBWBWWBW ikKNN 0ααα −+= 2.42

Iz toga zaključujemo da kombinacija ima normalnu silu (ili uzgon) koja je jednaka normalnoj

sili samog krila ali pod ekvivalentnim napadnim kutom:

( )LBWBWeq ikK 0ααα −+= . 2.43

2.4 Usporenje i savijanje struje Iza prednje noseće površine zračna struja je poremećena. Rep se nalazi u zračnoj struji koja je

poremećena opstrujavanjem krila, ili bolje reći kombinacijom krilo – trup. Taj poremećaj se

osjeća u gubitku dinamičkog tlaka i pravcu brzine opstrujavanja. Zato dinamički tlak iza

kombinacije krilo – trup umanjujemo množenjem s jednim koeficijentom Vη koji uzima u

obzir te gubitke. Procjenjuje se da u subsonici treba uzeti koeficijent gubitaka oko 980.V =η ,

a u supersonici gubici rastu i dosežu za 52.Ma = vrijednost 900.V =η , no za veće brzine

ostaju približno isti.

Iz teorijske aerodinamike znamo da s izlaznog ruba krila silaze vrtložne niti koje se

vrlo brzo udružuju u dva slobodna vrtloga, jedan s jednoga i drugi s drugoga polukrila. Ti

vrtlozi induciraju brzine koje s brzinom opstrujavanja mijenjaju pravac zračne struje. Te

promjene su različite u svakoj točki prostora, a nas zanima prosječna promjena pravca zračne

struje na horizontalnom repu. Iz razloga simetrije, kada nema kuta skretanja, prosječna

promjena pravca bit će smanjenje napadnog kuta α za kut ε . Zato je napadni kut iza

Page 74: Mehanika Leta Zrakoplova

Projektna aerodinamika 2-24

kombinacije krilo -trup, gdje se nalazi horizontalni rep, manji od napadnog kuta zrakoplova

za veličinu ε . Tu veličinu nazivamo savijanje struje od kombinacije krilo - trup. Matematički

modeli za određivanje savijanja struje pokazuju da je to savijanje struje prije svega

proporcionalno napadnom kutu krila:

wααεε

∂∂

= 2.44

Gradijent savijanja struje αε

∂∂ ovisi o:

• obliku krila: razmaha b, vitkosti A i suženju λ te o

• položaju repa u odnosu na krilo: l i h kao na slici 2-20.

l

h

Slika 2-20. Položaj repa u odnosu na krilo

Zato ovisnost gradijenta savijanja struje o parametrima može se predstaviti jednadžbom

prema [7, 19, 28]:

( ) 19.1

4cos44.4 cHA KKK Λαε

λ⋅=∂∂ , 2.45

gdje su:

3

71

2

1

73101

11

b

bh

K

K

AAK

H

.A

l

−=

−=

+−=

λλ

U ovim su jednadžbama λ,b i A su karakteristike krila s podtrupnim dijelom, a h i l su

veličine kao na slici 2-20.

Page 75: Mehanika Leta Zrakoplova

Otpor, normalna sila i moment propinjanja 3-1

3 OTPOR, NORMALNA SILA I MOMENT PROPINJANJA

3.1 Otpor

Otpor zrakoplova ima dva dijela. Prvi dio je otpor zrakoplova kada ne postoji uzgon

zrakoplova. Označavamo ga sa DOC i naziva se nulti otpor . Drugi dio je inducirani otpor

koji je posljedica postojanja uzgona. Označavamo ga sa DiC .

Nulti otpor letjelice zbroj je otpora dijelova letjelice: krila, tijela, horizontalnog repa,

vertikalnog repa. Osim ovih komponenti, za vrijeme polijetanja i slijetanja postoje još i

dodani otpori od podvoza i otklona zakrilaca (flapsova).

Nulti otpor svakog dijela letjelice može se podijeliti na tri dijela prema uzroku zbog

kojega nastaje, pa je koeficijent otpora svakog dijela zbroj triju koeficijenata:

bDwDfDD CCCC ++= ; 3.1

fDC (friction drag) je aerodinamički koeficijent onog dijela otpora koji je nastao zbog

trenja zraka po površini svih dijelova letjelice,

wDC (wave drag) je aerodinamički koeficijent rezultante u pravcu aerodinamičke brzine od

elementarnih sila tlaka okomitih na sve dijelove površine,

bDC (base drag) je aerodinamički koeficijent otpora dna zbog podtlaka koji nastaje iza

dijelova letjelice.

3.1.1 Otpor trenja

Kao što je poznato iz aerodinamike, koeficijent otpora trenja ravne površine fC definira se

kao količnik između sile trenja i produkta referentnog tlaka i “kvašene površine” wetS , tj.

površine na kojoj se ostvaruje trenje

wet

ff Sq

DC

= . 3.2

Procjenu koeficijenta trenja na prostornoj površini fC (trodimenzionalno strujanje), izvodimo

posredstvom koeficijenta trenja fc u ravninskom (dvodimenzionalnom) strujanju. Kako nam

treba koeficijent trenja za referentnu površinu imat ćemo vezu

fDreffwetf CSqcSqD ∞∞ == , 3.3

odakle je

Page 76: Mehanika Leta Zrakoplova

Otpor, normalna sila i moment propinjanja 3-2

fref

wetDf c

SS

C = , 3.4

Ako usvojimo zakon trećeg stupnja za profil brzine u graničnom sloju za laminarno

dvodimenzionalno opstrujavanje ravne površine, dobivamo koeficijent trenja [1], bez obzira

je li opstrujavanje subsonično ili supersonično

Re.c f31

=l 3.5

Re je Reynoldsov broj određen za duljinu opstrujavanja. Ako je opstrujavanje turbulentno

(subsonično ili supersonično), onda je prema Schlichtingovoj formuli

( ) 582

913.ft Ren

.cl

= . 3.6

Eksperimentalna ispitivanja pokazala su da je za 510<Re na ravnoj i glatkoj površini

strujanje laminarno. Međutim, ako je 610>Re , čak i na ravnoj i glatkoj površini strujanje je

turbulentno. Na ravnoj i glatkoj površini u intervalu 65 101053 <<⋅ Re.

strujanje će biti na početku laminarno, zatim će na jednom kratkom dijelu biti prijelazno, da bi

na drugom dijelu bilo turbulentno. Prijelaz iz laminarnog u tubulentni granični sloj nije ni

trenutan, ni stabilan, pa se zato u literaturi daju različite granice intervala u kome se odvija

prelazak iz laminarnog u turbulentni granični sloj. Da bismo odredili koeficijent trenja takvog

laminarno - turbulentnog opstrujavanja, uvodimo dvije pretpostavke:

• prelazak iz laminarnog u turbulentni granični sloj ostvaruje se trenutno na mjestu tl

• od tl turbulentni granični sloj je isti kao da je imao početak u ishodištu 0=l

Prema ovim hipotezama bit će

∫∫ +=l

l

l

l

t

t

xdxdc tf 00

0 ττ .

U ovim integralima su bezdimenzijska tangencijalna naprezanja na površini:

xRe.

q ⋅==

646000

ττ l za laminarno opstrujavanje na temelju zakona trećeg stupnja profila

brzine,

50

00580

xRe.

q ⋅==

ττ l za turbulentno opstrujavanje prema zakonu 71 profila brzine.

Integracijom dobivamo:

Page 77: Mehanika Leta Zrakoplova

Otpor, normalna sila i moment propinjanja 3-3

( )805

1072031 .ttf Re

.Re.c ll −+= . 3.7

U ovoj jednadžbi 50720 Re. predstavlja koeficijent turbulentnog trenja za usvojeni profil

brzine prema zakonu jedne sedmine. Ako se taj koeficijent zamijeni s točnijom

Schlichtingovom formulom, dobiva se bolja procjena za koeficijent trenja u laminarno -

turbulentnom graničnom sloju :

( )

( )80582 191331 .

t.tf Reln.

Re.c ll −+= . 3.8

Točki prijelaza laminarnog u turbulentno opstrujavanje odgovara tzv. prijelazni Reynoldsov

broj

∞=νV

Re tt

l. 3.9

Slika 3-1

=

νhVMaft ,Re

Kako odrediti tl ? Neki nepravilni oblik opstrujavane površine može izazvati turbulenciju, to

više što se s duljinom opstrujavanja Reynoldsov broj približava vrijednosti granice prelaska

laminarnog u turbulentno opstrujavanje. Općenito uzevši, turbulentnost će nastati prije na

hrapavijoj površini. Hrapavost se mjeri prosječnom visinom h. Ispitivanja su pokazala da tRe

ovisi o Machovu broju i o parametru ∞

νhV

. Ta ovisnost prema [15] prikazana je na slici 3-1.

Na temelju ovih jednadžbi možemo odrediti koeficijent trenja na ravnim dijelovima

zrakoplova pri malim brzinama leta kada je utjecaj stlačivosti zanemariv. Nije li 2Ma

Page 78: Mehanika Leta Zrakoplova

Otpor, normalna sila i moment propinjanja 3-4

zanemariv u odnosu na 1, znači da treba uzeti u obzir utjecaj stlačivosti, što činimo množeći

izračunat fc s koeficijentom

( ) 650214401

1.Ma

Ma.F

⋅+= . 3.10

Međutim, dijelovi zrakoplova nisu ravne površine, što mijenja raspored tlaka, a raspored tlaka

utječe bitno na koeficijent trenja. Zbog toga treba koeficijent trenja u dvodimenzionalnoj

struji pomnožiti s koeficijentom oblika FF ovisno o obliku opstrujavane površine. Isto tako

pri prelasku u trodimenzionalno strujanje trebamo koeficijent trenja iz dvodimenzionalnog

strujanja pomnožiti s koeficijentom SF :

fFSf cFFC = 3.11

• za noseće površine u subsonici prema [20]

++= 4100

601 t

xt.

Ft

F 3.12

Produkt fF cF 2⋅ predstavlja koeficijent trenja profila. Ako ne postoji valni otpor onda je

ta vrijednost nulti otpor profila za zadanu hrapavost. U tablicama standardnih profila

nalazi se minimalni otpor profila mindc za slučaj standardne hrapavosti. Te vrijednosti se

mogu uspoređivati, što nam omogućuje kontrolu procjene.

( ) 280.tS cosF Λ= , 3.13

gdje je ctt = ,

cx

x tt = , tx je apscisa maksimalne debljine profila., a tΛ je strijela

geometrijskog mjesta maksimalnih debljina profila. Za slučaj repa treba SF FF povećati

još za 10 % zbog dodatnog otpora kroz zazore između noseće površine i upravljačke

površine.

• za trup s dobro oblikovanom kabinom prema [20]

400

601 3

ff

FF FS ++=⋅ , 3.14

gdje je f vitkost tijela, koju određujemo za stvarnu duljinu tijela i fiktivni promjer d. Ovaj

koeficijent daje dobre vrijednosti ako se kabina uklapa u oblik tijela (kao npr. za

zrakoplov F16), ali ako kabina iskače iz oblika tijela, onda treba koeficijent povećati (npr.

za F15 treba povećati 40 %). Isto tako ako tijelo ima kvadratni presjek, oštri bridovi mogu

povećati koeficijent oblika oko 40 %.

• za kućište motora i spremnik goriva prema [20]

Page 79: Mehanika Leta Zrakoplova

Otpor, normalna sila i moment propinjanja 3-5

f.FF FS3501+=⋅

U supersonici nema prenošenja poremećaja uz zračnu struju, pa je SF FF za sve oblike blisko

jedinici.

Konačno, postoji i međuutjecaj dijelova. Prisutnost drugoga tijela u blizini

opstrujavanoga tijela mijenja raspored tlaka po površini opstrujavanog tijela, što utječe na

koeficijent trenja. Taj se utjecaj uzima u obzir koeficijentom Q. Evo nekoliko rezultata

ispitivanja u aerotunelu prema [20]:

• tijelo motora postavljeno neposredno na krilo ima povećan otpor za 50 % ( 51.Q = ), a taj

se utjecaj izgubi kad je tijelo udaljeno za jedan svoj promjer od krila;

• obješeni projektili ispod krila imaju koeficijent interferencije 251.Q ≈ ;

• za klasične kombinacije tijelo - noseća površina uzima se 1=Q ;

• za repne površine V-oblika uzima se 031.Q ≈ , a za repne površine H-oblika 081.Q ≈ .

U supersonici međuutjecaj dijelova na otpor gotovo i ne postoji, te je u supersonici koeficijent

1=Q .

Tako je konačno otpor trenja letjelice zbroj otpora trenja svih njenih dijelova:

( )∑ ∞∞ ==c

cwetfSFMafDfreff SQFFFcqCSqD 3.15

Odnos ∞qD f naziva se površina otpora

( )∑⋅=∞ c

cwetfSFfMaf SQFFcF

qD

. 3.16

Prema tome, ukupna površina otpora zrakoplova je zbroj površina otpora komponenata.

Dijeljenjem površine otpora s referentnom površinom dobivamo traženu vezu između

koeficijenta otpora trenja letjelice i površinskih koeficijenata trenja dijelova letjelice:

=

c cref

wetSFfMaDf S

SQFFcFC . 3.17

3.1.2 Otpor dna

Iza svakog dijela letjelice pojavljuje se trag u kome je tlak manji od neporemećenog tlaka.

Posljedica tog podtlaka je sila kočenja, jednaka produktu podtlaka i površine na kojoj on

djeluje. Na kraju nosećih površina je izlazni rub, pa nema površine na kojoj bi djelovao taj

podtlak (ako nije došlo do odvajanja struje od noseće površine). Tom podtlaku odgovara

koeficijent

Page 80: Mehanika Leta Zrakoplova

Otpor, normalna sila i moment propinjanja 3-6

∞−=

qpp

C bp . 3.18

Međutim, otpor dna postoji iza kućišta motora, spremnika goriva, nosača naoružanja, i iza

kućišta kabine ako nije dobro uklopljena s oblikom tijela, itd.

( ) ( ) bpbbb SCqSppD −=⋅−= ∞∞ 3.19

Da bi se izbjegao otpor dna ili bar smanjio na prihvatljivu mjeru, tijelu lagano smanjujemo

poprečni presjek prema kraju na što manju površinu dna bS . Procjena koeficijenta tlaka na

dnu može se izvesti prema [18] pomoću jednadžbi:

• za subsoniku

( )2161041901390 .Ma..C p −+=− 3.20

• za supersoniku

( )284304200640 .Ma..C p −+=− . 3.21

Na slici 3-2 prikazana je ovisnost koeficijenta tlaka na dnu o Machovom broju prema

navedenim jednadžbama

Slika 3-2. Koeficijent tlaka na dnu ( )MaC p

3.1.3 Valni otpor

Valni otpor je posljedica rasporeda tlaka na površini. U subsonici prema d’Alembertovom

principu, zasnovanom na neviskoznom opstrujavanju, valni otpor je jednak nuli. Međutim,

poznato je da realni uvjeti opstrujavanja ne prate d’Alembertov princip. Raspored tlaka u

Page 81: Mehanika Leta Zrakoplova

Otpor, normalna sila i moment propinjanja 3-7

stvarnosti je zbog viskoznih učinaka izmijenjen, te se pojavljuje valni otpor. Mjerenja otpora

standardnih profila, pri malim brzinama pri kojima možemo zanemariti utjecaj stlačivosti,

pokazuju da je izmjereni otpor jednak otporu trenja što je očigledan dokaz da ne postoji valni

otpor. Ta mjerenja otpora profila zajedno s drugim karakteristikama profila (uzgon i moment

propinjanja) objavljena su u mnogim knjigama kao npr. [1].

U supersonici postojanje udarnih valova stvara uvijek valni opor. Zato je ta

komponenta otpora i dobila to ime, premda udarni valovi nisu jedini razlog nastajanja valnog

otpora. Već smo rekli da valni otpor postoji i u subsonici kada nisu ispunjeni uvjeti za

d’Alambertov princip, a udarni valovi javljaju se samo u transsonici i supersonici.

Mnogo je manje objavljenih podataka o mjerenju valnog otpora profila i zrakoplova

nego što je to slučaj s otporom trenja ili otporom dna, pa za procjenu nema pouzdanih metoda.

Prema zakonu površine [13] u transsoničnom području ( 1≈Ma ) valni otpor

zrakoplova za zadani Machov broj ovisi samo o promjeni veličine površine poprečnog

presjeka zrakoplova ( )xS (uključujući sve njegove dijelove) okomito na brzinu

opstrujavanja.. To znači da je otpor zrakoplova u transsonici isti kao otpor rotacijskog tijela

koje ima istu površinu poprečnog presjeka na svim mjestima. U teorijskoj aerodinamici

postoji tzv. teorija tankih tijela [12] kojom se dokazuje da za zadani volumen W i duljinu tijela

l postoji tzv. optimalno tijelo (Sears-Haackovo tijelo) čije su parametarske jednadžbe:

( ) .cos12

33sinsin3

21

θ

θθπ

+=

−=

lx

Sr m

3.22

To tijelo ima teoretski valni otpor

2max

max 29l

SSqDWπ

⋅= ∞ . 3.23

To znači da će zrakoplov imati minimalni valni otpor ako njegov poprečni presjek prati

promjenu poprečnog presjeka Sears_Haackova tijela, ili što bliže tom obliku. Realni oblici

zrakoplova odstupaju od tog uvjeta. Pretpostavimo da za 2.1=Ma , realni oblik zrakoplova

ima WDE puta veći valni otpor od Sears-Haackova tijela (koeficijent WDE se kreće od 1.20 do

3, pa i više). S promjenom Machova broja iznad 21.Ma = , valni otpor zrakoplova opada po

zakonu

( )( ) ( ) ( ) ( )77.057.0 709.012.1386.01,

2.1 LELEW

W MaMafD

MaD ΛΛ −−−== , 3.24

gdje je LEΛ strijela napadnog ruba krila u radijanima, a valni otpor

Page 82: Mehanika Leta Zrakoplova

Otpor, normalna sila i moment propinjanja 3-8

( ) 2max

max 292.1l

SSqED WDWπ

∞⋅= . 3.25

Tako možemo, ako je 21.Ma > , procijeniti valni otpor zrakoplova jednadžbom

( )LEref

WDDw MafS

SEC Λ,29

2

2max

l

π= . 3.26

3.1.4 Otpor u transsonici

Pojava valnog otpora je posljedica činjenice što lokalni Machov broj dostigne supersoničnu

vrijednost prije Machova broja letjelice. Na tom mjestu počinje supersonično strujanje koje

treba opet prijeći u subsonično. Taj proces prelaska iz subsoničnog u supersonično strujanje

nije reverzibilan. Povratak na subsonično strujanje zbiva se diskontinuirano, što ima za

posljedicu stvaranje lokalnih udarnih valova. S udaljavanjem od letjelice ta pojava slabi. Kada

se pojavi prvi lokalni Machov broj koji je dostigao supersoničnu vrijednost, Machov broj

letjelice nazivamo kritični Machov broj i označavamo ga sa crMa .

Macr MaDD MaDD

0.08 0.06

0.0020

0.0080 do 0.0100Boi

ng

Dou

glas

CD

Slika 3-3. Kritičan Machov broj Macr i MaDD (Drag Divergent Ma)

Teško je utvrditi kada je dostignuta kritična vrijednost. Zato velike tvrtke definiraju točku

DDMa na kojoj je ( )MaCD0 porastao za 0.0020 (Boing) ili točku na krivulji ( )MaCD0 u kojoj

je tangens kuta tangente 0.10 (Douglas) itd. Međusobni položaj tih dviju točaka pokazan je na

slici 3-3.

S povećanjem Machova broja letjelice, prvi lokalni Machov broj jednak jedinici može

se dogoditi na krilu ili na tijelu. Nije nam unaprijed poznato koja će se od tih dviju

mogućnosti prva dogoditi, pa zato moramo procijeniti obje, i usvojiti onu koja je manja za

kritičnu vrijednost Machova broja letjelice.

Page 83: Mehanika Leta Zrakoplova

Otpor, normalna sila i moment propinjanja 3-9

Slika 3-4. ( )

== c

t,fMa LDD 410 Λ

Kada je riječ o krilu, lokalni Machov broj dostiže jedinicu najprije na gornjoj površini

krila zbog povećanja brzine opstrujavanja profila pri povećanoj sili uzgona. To će se dogoditi

utoliko prije ukoliko je veći napadni kut letjelice tj. ukoliko je veća sila uzgona, a to znači da

će utoliko biti manji kritični Machov broj crMa . Budući da procjenjujemo nulti otpor,

trebamo procijeniti kada nastaje lokalni Machov broj jednak jedinici u slučaju nultog uzgona.

Prema metodi tvrtke Boeing procjena ( ) 0=LDDMa na krilu provodi se prema dijagramu na

slici 3-4 za 0=LC , ovisno o strijeli 41Λ i relativnoj debljini profila ctt = .

Slika 3-5. ( )nDD fMa za subsonični i supersonični oblik trupa

Page 84: Mehanika Leta Zrakoplova

Otpor, normalna sila i moment propinjanja 3-10

Tijelo koje nije dobro oblikovano imat će lokalni Machov broj jednak jedinici prije

krila. Na slici 3-5 prikazane su dvije krivulje koje daju vrijednost DDMa tijela ovisno o

vitkosti prednjeg dijela trupa. Konačno DDMa letjelice bit će manja vrijednost od DDMa krila

i DDMa tijela.

Znamo da je 0=DwC do kritične vrijednosti Machova broja, zatim smo odredili

DDMa i znamo da je ( ) 0020.0=DDDw MaC . Isto tako poznat nam je valni otpor iznad

21.Ma = . trebamo još odrediti ( )MaCD u intervalu od DDMa do 1.2 .To je interval

transsonike. To je vrlo složena teorijska zadaća i zato ćemo se zadovoljiti približnom

metodom. Praksa je pokazala da možemo usvojiti pet točaka:

( ) 0080.0 =−DDDW MaC

( ) 0020.0=DDDW MaC

( ) ( )2

21001

.C.C DW

DW = 3.27

( ) ( )21051 .C.C DWDW =

( )ref

WDDW SSEC 2

2max

292.1l

π=

Kroz tih pet točaka provlačimo kontinuiranu krivulju koja ima zajedničku tangentu sa

( )MaCD u subsonici ( crMaMa < ) i s krivuljom ( )MaCD u supersonici ( 21.Ma < ), kao na

slici 3-6.

CDW

1.2

Ma

1.051.0MaDD

0.0020

Macr

0.08

Slika 3-6. Konstrukcija krivulje ( )MaCDw u transsoničnoj oblasti

Page 85: Mehanika Leta Zrakoplova

Otpor, normalna sila i moment propinjanja 3-11

3.1.5 Dodatni otpor

Postoji više uzroka zbog kojih se pojavljuje dodatni otpor.

Prvo, neke dijelove zrakoplova nismo obuhvatili gornjom metodom, kao npr. kućište

motora, spremnike goriva, nosače naoružanja, kabinu, ili poseban oblik zadnjeg dijela

transportnog zrakoplova. Svi oni povećavaju otpor zrakoplova.

Drugo, u određenim uvjetima zrakoplov mijenja svoj oblik. Primjerice pri polijetanju

zrakoplov ima izbačene kotače i djelomično izbačena zakrilca, u letu ima uvučene kotače i

zakrilca, a pri slijetanju ima opet izbačene kotače i potpuno izbačena zakrilca, a na kraju i

zračne kočnice. Zbog toga se otpor zrakoplova znatno povećava. I ta povećanja nazivamo

dodatni otpor.

Treće, zaustavljeni motor ne samo što nema pogonsku silu već je uzrok dviju vrsta

dodatnog otpora. Ako je rotor ukočen, onda motor ima jednu vrijednost otpora, a ako se rotor

okreće pod utjecajem zračne struje, onda motor ima drugu vrijednost otpora. Procjena

dodatnog otpora zaustavljenog motora iznimno je važna zato što ta komponenta kod

zrakoplova sa dva ili više motora ima jak bočni moment za središte mase, te dovodi u pitanje

bočnu stabilnost zrakoplova, što ćemo razmatrati kasnije.

U većini slučajeva, koeficijent dodatnog otpora procjenjujemo prema jednadžbi

ref

frontD S

SkC =∆ , 3.28

u kojoj je frontS silueta (dijela koji stvara dodatni otpor) gledano u pravcu aerodinamičke

brzine. Koeficijent k je obično poznat za tipizirane oblike. U donjoj tablici prikazani su

koeficijenti za neke dijelove zrakoplova prema [20].

k

Zračne kočnice (spoiler) na 60% tetive 1.6

Vjetrobran (laki zrakoplovi)

dobro uklopljen u oblik trupa

loše uklopljen u oblik trupa

0.07

0.15

Kotač s gumama 0.25

Drugi kotač iza prvoga 0.15

Page 86: Mehanika Leta Zrakoplova

Otpor, normalna sila i moment propinjanja 3-12

Povećanje koeficijenta otpora krila zbog otklona zakrilca flapδ može se procijeniti

jednadžbom

W

fflapD S

sinS.C

δ∆ 130= . 3.29

Slika 3-7. Površina flapS

Površina flapsS prikazana je na slici 3-7, a flapsflaps sinS δ predstavlja frontalnu površinu

flapsova (okomito na brzinu zračne struje).

uSmax

Slika 3-8. Otpor dna transportnog zrakoplova

Transportni zrakoplovi radi što većega korisnoga prostora imaju suženje zadnjega

dijela trupa veće od kritičnog, zbog čega dolazi do odvajanja struje od tijela. To odvajanje

stvara dodatni otpor na tom dijelu trupa, što je teško i složeno teoretski izučavati. Za procjenu

otpora, zbog odvajanja struje od trupa transportnog zrakoplova, možemo koristiti empirijsku

formulu

ref

max.D S

Su.C 52833=∆ , 3.30

u kojoj je u kut u radijanima srednje crte tijela na tom zadnjem dijelu kao na slici 3-8, a maxS

površina najvećeg poprečnoga presjeka tijela.

Page 87: Mehanika Leta Zrakoplova

Otpor, normalna sila i moment propinjanja 3-13

Koeficijent otpora zaustavljenog motora ili onoga kojega pokreće zračna struja treba

odrediti konstruktor motora. Ako taj koeficijent nije poznat može se procijeniti.

Za zaustavljenu elisu u subsonici

ref

eliseD S

SkC =∆ . 3.31

Ako se elisa okreće pod djelovanjem zračne struje, onda je 10.k = , a ako se elisa ne okreće,

onda je 80.k = (prema [18]). Površina elise diskelise SS σ= , gdje je ( )πσ AN= , N je broj

poluelisa, A je vitkost poluelise.

Za mlazni motor koji se okreće pod utjecajem zračne struje

ref

frontD S

S.C 30=∆ , 3.32

gdje je frontS poprečni presjek kućišta mlaznoga motora.

Za kućišta motora, spremnike goriva i za nosače naoružanja postoje, umjesto procjena,

mjerenja zbroja površina otpora trenja i otpora dna [20]:

∞∞

+=

q

DDqD bf

c

,

ovisno o Machovu broju, za tipizirane oblike i veličine.

Najveći problem su strujanja kroz otvore na trupu iz područja povišenog tlaka u

područja smanjenog tlaka, bilo da je to iz atmosfere u unutrašnjost ili iz unutrašnjosti prema

van. U oba slučaja mijenja se bitno slika opstrujavanja, mijenja se tlak pa i trenje na površini.

Isto tako, razni uređaji na površini zrakoplova, kao što su svjetla, Pito-cijev, antena i drugo,

mogu izmijeniti vrijednost koeficijenta trenja. Svi ti nepredviđeni i nametnuti uzroci mogu

povećati koeficijent trenja i do 15%.

3.1.6 Nulti otpor

Konačno smo u mogućnosti nacrtati cijelu krivulju ( )MaCD , koja je zbroj triju krivulja

komponenata otpora ( )MaCDf , ( )MaCDb , ( )MaCDw i krivulje uslijed dodatnog otpora

( )MaCD∆ . Taj zbroj je shematski prikazan na slici 3-9.

Page 88: Mehanika Leta Zrakoplova

Otpor, normalna sila i moment propinjanja 3-14

CDw

CDf

DC∆otpor trenja od interferencije

CD0

Ma

MaDD 1.0 1.2

Slika 3-9. Zbroj komponenata nultog otpora

3.1.7 Inducirani otpor

Do sada smo promatrali otpor letjelice kada nema sile uzgona (niti bočne sile). Drugim

riječima, tako dobiveni otpor je aerodinamička sila jer nema drugih komponenata. U tom

slučaju napadni kut je jednak kutu nultog uzgona letjelice L0α . Otpor u ovom slučaju

( L0αα = ) nazvat ćemo nulti otpor i označit ćemo ga sa 0D , a njegov koeficijent sa 0DC .

Prva jednadžba transformacije za prijelaz iz aerodinamičkih koeficijenata duž osi

aerodinamičkog koordinatnog sustava [ ]TLKD CCC u koeficijente [ ]TZYX CCC duž

osi tromosti letjelice jest

αβ LKDX CCCC +−−=

i primijenimo je na ovaj slučaj. Za L0αα = i 0=β bit će 0DD CC = , nema uzgona 0=LC , a

zato što smo pretpostavili da nema kuta skretanja, nema ni bočne sile 0=KC . Prema tome bit

će u ovom slučaju

00 DX CC −= .

Taj nulti otpor je istodobno i nulta aksijalna sila.

Ako upotrijebimo istu tu jednadžbu za transformaciju na slučaj kad je napadni kut

L0αα ≠ , ali nema kuta skretanja, dobivamo

LXD CCC α+−= .

Pretpostavit ćemo da aksijalna sila XC− za male napadne kutove ne zavisi od napadnog kuta

pa je ona jednaka vrijednosti kada je napadni kut jednak kutu nultog uzgona

Page 89: Mehanika Leta Zrakoplova

Otpor, normalna sila i moment propinjanja 3-15

00 DXX CCC =−≈− . Ta pretpostavka nije nerealna jer mjerenja pokazuju da aksijalna sila

ovisi o napadnom kutu ali znatno manje od sile otpora. To je aproksimacija koja će nam

pomoći da bolje razumijemo ovisnost otpora o uzgonu. Tom zamjenom dobivamo

LDD CCC α+= 0 .

Ova jednadžba pokazuje utjecaj napadnog kuta na otpor letjelice. Vidimo da je totalni otpor

zbroj otpora pri nultom uzgonu i otporu zbog uzgona, koji nazivamo inducirani otpor. Taj

dodatni otpor ostvaruje se uglavnom kroz WD , jer je utjecaj napadnog kuta na otpor trenja i

otpor dna neznatan. Kako je sila uzgona također ovisna o napadnom kutu, te dvije ovisnosti

( )LLL

LDD

CCCCC

0

0

ααα

α −=+=

3.33

predstavljaju parametarske jednadžbe polare zrakoplova (slika 3-11) ili eliminacijom

napadnog kuta

200

1L

LLLDD C

CCCC

α

α ++= . 3.34

CL

C D

CDf + CDb CDp

CDmin

C D0

horiz

onta

lni l

et

CLminDL0α

minα

0=α

0>α

Slika 3-10. Polara zrakoplova

Iz ove jednadžbe dobivamo da je najmanji otpor zrakoplova minDC za napadni kut

20Lmin αα = i on ima vrijednost

2

00 2

−= L

LDminD CCCα

α , 3.35

a pri minimalnom otporu bit će uzgon

Page 90: Mehanika Leta Zrakoplova

Otpor, normalna sila i moment propinjanja 3-16

( )20

0L

LLminLDminL CCCα

αα αα −=−= . 3.36

Pri napadnom kutu L0α , kada je uzgon jednak nuli, otpor 0DC nije najmanji. Najmanja

vrijednost otpora je pri napadnom kutu 20Lmin αα = , kad postoji neki mali uzgon DminL .

Pomoću vrijednosti za minDC i DminLC , jednadžba polare može se napisati u obliku

( )21DminLL

LminDD CC

CCC −+=

α

. 3.37

Tu jednadžbu izveli smo uz pretpostavku da aksijalna sila ne ovisi o napadnom kutu.

Naznačili smo da je to samo jedna aproksimacija koja je za supersoniku dovoljno točna, a

manje točna za subsoniku. Zato se koristimo jednadžbom

( )2minLLminDD CCKCC −+= . 3.38

Međutim, u poglavlju o performansama zrakoplova, s namjerom a se olakšaju i omoguće

jednostavne veze između performansi i karakteristika zrakoplova, koristi se oblik polare

20 LDD CKCC += , 3.39

što pretpostavlja da je 0DminD CC ≈ i da je 0≈minLC . Za zrakoplove koji imaju profil krila bez

velike zakrivljenosti srednje linije ove su aproksimacije prihvatljive.

Koeficijent K ima veliko značenje i bitnu ulogu na performanse zrakoplova. Jasno je

da želimo zrakoplov koji ima što manji taj koeficijent, jer će takav zrakoplov za isti uzgon

imati manji otpor.

U subsonici, kad postoji sila uzgona, pod dejstvom vezanog vrtloga zrak prelazi oko

prednjega ruba krila s donje strane krila na gornju zbog razlike tlaka. To opstrujavanje

prednjega ruba stvara područje podtlaka oko prednjega ruba, a podtlak oko prednjega ruba

uzrokuje silu u pravcu gibanja. Ta sila sisanja smanjuje prirast aksijalne sile zbog promjene

tlaka po površini krila usled napadnog kuta. Rezultanta tih dviju sila je inducirani otpor.

Prema Glauertovoj teorija za slučaj eliptičnog krila koeficijent induciranog otpora je

221LL KCC

A=

π

Za trapezna krila inducirani otpor ima drugu vrijednost, pa radi primjene iste jednadžbe

uvodimo Oswaldov koeficijent e:

221LL KCC

Ae=

π 3.40

Page 91: Mehanika Leta Zrakoplova

Otpor, normalna sila i moment propinjanja 3-17

ili

Ae

Kπ1

= , 3.41

gdje je 85.065.0 << e . Procjena Oswaldova koeficijent izvodi se prema jednadžbama:

• za zrakoplov s trapeznim krilom bez strijele

( ) 64.0045.0178.1 68.0 −−= Ae , 3.42

• za zrakoplov s trapeznim strelastim krilom

( )( ) 1.3cos045.0161.4 15.068.0 −−= LEAe Λ 3.43

Takva procjena za e u subsonici daje K konstantno, što se pokazalo prihvatljivim do crMa .

Međutim za veće vrijednosti Machovog broja K se povećava. To daljnje povećanje objašnjava

se daljnjim smanjenjem sile u pravcu gibanja zbog nemogućnosti zraka da dovoljno brzo

opstrujava prednji rub krila, što ima za posljedicu nedovoljni podtlak da bi se dobila potrebna

sila u pravcu gibanja.

U supersonici iz linearne teorije krila znamo da je za vrijednosti Machova broja

LELE cos

MaMaΛ1

=>

napadni rub krila supersoničan te zrak ne prelazi oko prednjega ruba krila s jedne na drugu

stranu krila. Zato nema nikakve sile u pravcu gibanja. Inducirani otpor nastaje samo kao

poslijedica prirasta aksijalne sile zbog promjene tlaka po površini krila usled napadnog kuta.

U slučaju profila ploče taj koeficijent induciranog otpora iznosi

αsinCKC NL =2 .

Iz ove jednadžbe dobivamo

αLC

K 1= . 3.44

Na granicama transonike dva su ekstremna slučaja:

• do crMa kad postoji sila u pravcu gibanja 1=S odgovara joj A

Kπ1

= i

• od LEMa kad nema sile u pravcu gibanja 0=S tada je αLC

K 1= .

Za Machove brojeve u transonici LEcr MaMaMa << pretpostavlja se da postoji djelomično

opstrujavanje prednjeg ruba 01 >> S . Primijenit ćemo stoga linearnu interpolaciju u tom

intervalu, ali tako da za vrijednost DDMa odgovara πeAK 11 = , a za LEMa je αLCK 10 = .

Page 92: Mehanika Leta Zrakoplova

Otpor, normalna sila i moment propinjanja 3-18

Ma

K

πeA1

αLC1

αLC1

MaDDLEcos

MaΛ1

=

A

B

Slika 3-11. Koeficijent K u ovisnosti o Machovu broju

To znači da je u tom intervalu za zadani Machov broj koeficijent linearne interpolacije

DDLE

DD

MaMaMaMa−−

=ξ 3.45

te je K za zadanu vrijednost Ma dano jednadžbom

−+=

πξ

π α eACeAK

L

111 . 3.46

Na slici 3-11 predstavljena je promjena ( )MaK . U subsonici DDMaMa < je πeAK 1= . U

supersonici za vrijednosti LEMaMa > , kada je napadni rub krila supersoničan, αLCK 1= .

Konačno, od točke A do točke B ostala je nepoznata prijelazna krivulja. Poslužit ćemo se

vrijednostima koje dobivamo linearnom interpolacijom koeficijenta K od točke A do točke B.

Slika 3-12 Simetrični fiktivni vrtlozi

Na veličinu induciranog otpora utječe i prisutnost tla. U trenutku polijetanja i slijetanja

tlo utječe na sliku opstrujavanja krila. Iz graničnih uvjeta da brzina zraka pri opstrujavanju

krila mora biti tangencijalna s tlom, zaključuje se da u tlu mora postojat za svaki elementarni

Page 93: Mehanika Leta Zrakoplova

Otpor, normalna sila i moment propinjanja 3-19

vrtlog koji silazi s krila, odgovarajući i fiktivni vrtlog jednakog intenziteta, suprotnog smjera i

simetrične pozicije u odnosu na stvarni vrtlog. Ti fiktivni vrtlozi uzrokuju promjene slike

opstrujavanja krila, a to znači da mijenjaju i uzgon krila i inducirani otpor krila. Izmjene će

ovisiti o udaljenosti krila od tla. Glauertova teorija u ovom slučaju daje odnos

2

2

161

16

+

=

bh

bh

CC

Di

groundDi . 3.47

U toj jednadžbi je h visina krila od tla, a b raspon krila na zrakoplovu.

3.1.8 Primjer

Mjerenja u aerotunelu otpora i uzgona zrakoplova lovca pri 80.Ma = i pri različitim

napadnim kutovima dala su ove rezultate

LC 0.000 0.300 0.400 0.500 0.600 0.700 0.776

DC 0.0228 0.042 0.0593 0.084 0.116 0.1506 0.180

0 0.05 0.1 0.15 0.20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

CL

CD

Lovac

polinomK polaramjerenje

Slika 3-13. Slika mjerene polare i usklađene

Na temelju tih mjerenja treba odrediti stvarnu polaru i polaru oblika 2

0 LDD KCCC += .

Page 94: Mehanika Leta Zrakoplova

Otpor, normalna sila i moment propinjanja 3-20

U MATLAB-u napravljen je program Polara.m koji se nalazi na disketi u direktoriju

Aerodinamika, s kojim je nacrtan dijagram na slici 3-13. Najbolji polinom drugoga reda jest

( )22 0386.0293.00222.02924.00226.00226.0 −⋅+=⋅+⋅−= LLLD CCCC

Taj polinom prolazi kroz mjerene točke. Ako želimo oblik bez linearnog člana po napdnom

kutu pogodan za analizu performansi, onda je rezultat 2250002280 LD C..C ⋅+=

Ovu polaru dobit ćema ako svakoj točki LD CC , dodamo simetričnu točku LD CC −, pa

odredimo najbolji polinom drugog reda za sve točke.

3.2 Normalna sila i moment propinjanja

Na početku ovog poglavlja vidjeli smo da za zrakoplovne konfiguracije aerodinamički

koeficijent normalne sile i momenta propinjanja imaju oblik

( )mNN qfC δαα ,,, ∗∗= &

( )m,,, δαα ∗∗= qfC mm & .

Ako te funkcije razvijemo u red, dobivamo linearnu zavisnost aerodinamičkog koeficijenta

normalne sile i momenta propinjanja:

mNNqNNNoN mCqCCCCC δαα δαα ++++= ∗∗&& 3.48

mmmqmmmom mCqCCCCC δαα δαα ++++= ∗∗&& 3.49

Ovim lineariziranim modelom možemo se služiti ako su parametri mi,, δαα ∗∗ q&

male veličine u odnosu na interval u kome se aerodinamički koeficijenti NC i mC ponašaju

linearno. To uvijek vrijedi za putničke i transportne zrakoplove, ali za sportske i borbene

zrakoplove koji trebaju velike manevarske sposobnosti to treba provjeriti.

Normalnu silu kao i aerodinamički moment propinjanja zrakoplova stvaraju svi

dijelovi zrakoplova: kombinacija krilo-tijelo, kombinacija horizontalni rep-tijelo (ili

kombinacija canari-tijelo u slučaju canard konfiguracije ) i tijelo:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )BmhBmWBmm

BNhBNWBNN

CCCCCCCC

++=

++= 3.50

To načelo superpozicije vrijedi i za nulte članove i za gradijente. Tako je za nulte članove

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ,0000

0000

BmhBmWBmm

BNhBNWBNN

CCCCCCCC

++=

++= 3.51

Page 95: Mehanika Leta Zrakoplova

Otpor, normalna sila i moment propinjanja 3-21

a za gradijent na primjer po napadnom kutu

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) .BmhBmWBmm

BNhBNWBNN

CCCCCCCC

αααα

αααα

++=

++= 3.52

Isto tako možemo pisati i za druge gradijente, samo što gradijente po otklonu kormila visine

stvara samo kombinacija horizontalni rep-tijelo:

( )( )

hBmm

hBNN

mm

mm

CC

CC

δδ

δδ

=

= 3.53

Zato ćemo za potrebe normalne sile i momenta propinjanja analizirati posebno kombinaciju

krilo - tijelo, zatim horizontalni rep - tijelo i konačno samo tijelo.

3.2.1 Normalna sila i moment propinjanja kombinacije BW

Trebamo razlikovati napadni kut krila wα od napadnog kuta zrakoplova α . Napadani kut

krila mjerimo od aerodinamičke brzine do korenske tetive, a napadni kut zrakoplova od

aerodinamičke brzine do glavne osi tromosti x . Kako je korenska tetiva postavljena pod

kutom wi (postavni kut krila) u odnosu na os x tromosti zrakoplova, dobivamo vezu

ww i+=αα .

Kao što je poznato iz aerodinamike krilo sa nesimetričnim profilom ima normalnu silu koja je

linearna po napadnom kutu krila wα

( )WWNN CC 0ααα −= .

Ta normalna sila krila ima svoju napadnu točku na udaljenosti cwl od vrha letjelice. Moment

propinjanja letjelice čine moment te sile, koji ovisi o napadnom kutu, i spreg propinjanja

( )wmC 0 koji ne ovisi o napadnom kutu. Koeficijent ( )wmC 0 i kut ( )w0α karakteristike su krila

koje ovise prije svega o profilu, a zatim i o obliku krila. Za tablične profile postoje podaci o

( ) profmC 0 i ( )prof0α (npr. lit. [1]). Ako krilo nije uvijeno i ima isti profil po rasponu, onda je

( )profW 00 αα =

Ako je krilo uvijeno a to znači da je napadni kut promjenljiv po rasponu, onda treba odrediti

prosječni ekvivalentni napadni kut eqα koji daje istu normalnu silu kao promjenljiv ( )yα :

( ) ( )∫=2

0

2b

eqW dNN αα

Page 96: Mehanika Leta Zrakoplova

Otpor, normalna sila i moment propinjanja 3-22

Taj prosječni napadni kut eqα predstavlja dio postavnog kuta krila. Oblik krila (vitkost i

strijela napadnog ruba), mijenja spreg ( )wmC 0 te on nije jednak ( ) profmC 0 . Utjecaj oblika krila

može se procijeniti prema empirijskoj formuli

( ) ( )LE

LEprofmwm cosA

cosACC

ΛΛ

2

2

00 += . 3.54

Za kombinaciju krilo-tijelo usvojit ćemo da je ( ) ( )WmWBm CC 00 = , ali se ( )WmC 0 treba

izračunati prema gornjoj jednadžbi za krilo s podtrupnim dijelom.

U odjeljku 2.3 vidjeli smo da je ekvivalentni napadni kut krila

( )WWwBWBWBW ikK 0ααα −+= , 3.55

što daje normalnu silu kombinacije

( ) ( )[ ]WWBWBWwNWBW ikKCSVN 0

2

2ααρ

α −+= 3.56

gdje je WS površina samog krila. Treba napomenuti da krilo stvara još jednu normalnu

komponentu u sprezi s tijelom.

Ac

Ax

Al

Cx

Ch

tc

rc

LEΛ

WC

2wb

bx

y

fW

Slika 3-14. Kombinacija krilo tijelo

Page 97: Mehanika Leta Zrakoplova

Otpor, normalna sila i moment propinjanja 3-23

Naime, krilo ima i aksijalnu silu ( )wAww CSVA2

2ρ= u pravcu tetive krila kao na slici 3-14.

Ta sila ima komponentu wwww iAiA ≈sin u pravcu osi tromosti z pa je

( ) ( )[ ] ( ) wwAwWwBWBWwNwBW iCSVikKCSVN22

2

0

2 ρααρα −−+=

Slika 3-15. Normalna sila kombinacije i aksijalna sila krila

Dijeljenjem s referentnom silom refSV2

2ρ dobivamo koeficijent normalne sile kombinacije

tijelo-krilo:

( ) ( ) ( )[ ] ( ) wwALwBWBWwNref

wBWN iCikKC

SSC −−+= 0ααα . 3.57

U većini slučajeva opravdano je zanemariti ( )wAC u odnosu na ( )wNC α . Zato ćemo se u

daljnjem radu koristi koeficijentom normalne sile kombinacije tijelo-krilo u obliku:

( ) ( ) ( )[ ]WwBWBWwNref

wBWN ikKC

SSC 0ααα −+= . 3.58

Iz ove jednadžbe nalazimo da je nulti član kombinacije krilo-tijelo

( ) ( ) ( )WwBWwNref

wBWN ikC

SSC 00 αα −= , 3.59

da je gradijent po napadnom kutu

( ) ( ) BWwNref

wBWN KC

SS

C αα = , 3.60

te konačno da je gradijent normalne sile kombinacije po otklonu kormila visine

( ) 0=BWN m

C δ 3.61

jer normalna sila kombinacije krilo-tijelo ne ovisi o otklonu kormila visine.

Page 98: Mehanika Leta Zrakoplova

Otpor, normalna sila i moment propinjanja 3-24

Koordinate napadne točke normalne sile krila WN i aksijalne sile WA u koordinatnom

sustavu zrakoplova su ( )wcwm z,0,ll − , te je moment propinjanja tih sila za os y tromosti

zrakoplova

( )( ) ( ) wwwwwcwmwwww zAiNiAiN cossinsincos +−−− ll

cwm ll −

cwz

wi

wN

wA

Fx

Fz Slika 3-16. Položaj normalne i aksijalne sile krila

Uočimo da je svejedno mjerimo li udaljenosti od vrha letjelice ili od aerodinamičkog središta

jer je razlika udaljenosti ista: cwmcwm hh −=− ll . Postavni kut krila wi uvijek je mali pa je

moment ovih sila:

( )( ) ( )

( ) ( )

−−

−−−=

=+−−−

cwmw

ww

cwm

ww

w

wwcwmw

wwwwcwmwww

NzAzi

NiAN

zAiNiAN

llllll

ll

1

U većini slučajeva mogu se zanemariti članovi

( )cwmw

ww

cwm

ww

w

ww

NzAzi

NiA

llll −−,,

u odnosu na jedinicu. To se može provjeriti u svakom konkretnom slučaju, te ako uvjet nije

ispunjen, mogu se uzeti u obzir svi članovi. Radi jednostavnosti pretpostavit ćemo u daljnjem

tekstu da je taj uvjet ispunjen pa je moment propinjanja zrakoplova od aerodinamičkih sila

krila za središte mase zrakoplova zbroj sprega propinjanja krila i momenta normalne sile

kombinacije tijelo-krilo:

( )cwmWBoWBW NMM ll −+=

( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )cwmLwBWBWwNwWBmArefWBmAref ikKCSVCcSVCcSVll −−++= 0

2

0

22

222ααρρρ

α .

Page 99: Mehanika Leta Zrakoplova

Otpor, normalna sila i moment propinjanja 3-25

Dijeljenjem ove jednadžbe s referentnim momentom Aref cSV2

2ρ dobivamo koeficijent

momenta propinjanja za središte mase od kombinacije tijelo-krilo :

( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )cwmLwBWBWwNref

wWBmBWm ikKC

SSCC ll −−++= 00 ααα 3.62

Kada je napadni kut zrakoplova jednak nuli, koeficijent momenta propinjanja je

( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]cwmLwBWwNwmref

wBWmo ikCC

SS

C ll −−+= 00 αα . 3.63

Derivacijom po napadnom kutu, dobivamo gradijent koeficijenta momenta propinjanja

kombinacije krilo-tijelo:

( ) ( ) ( )cwmwNBWref

wBWm CK

SS

C ll −= αα . 3.64

Jasno je da je derivacija ( ) 0=BWm m

C δ , jer normalna sila pa i njen moment kombinacije tijelo-

krilo ne ovisi o otklonu kormila visine.

3.2.2 Normalna sila i moment propinjanja kombinacije hB

Normalna sila horizontalnog repa ima dva dijela. Prvi je uslijed napadnog kuta na kombinaciji

horizontalni rep-tijelo hα , a drugi uslijed otklona upravljačkih površina mδ . Napadni kut

kombinacije horizontalni rep-trup bit će jednak napadnom kutu zrakoplova umanjenom za

savijanje struje ε :

ε−α ,

Slika 3-17. Napadni kut horizontalnog repa

gdje je ( )WWi 0αααεε −+

∂∂

= . U toj kombinaciji horizontalni rep postavljen je pod kutom hi

u odnosu na tijelo. Prema tome, ekvivalentni napadni kut na horizontalnom repu je

( ) hBHWWBHBH ikiK +

−+

∂∂

−= 0αααεαα . 3.65

Page 100: Mehanika Leta Zrakoplova

Otpor, normalna sila i moment propinjanja 3-26

U ovoj jednadžbi nema nultog kuta profila horizontalnog repa zato što horizontalni rep ima

obično simetričan profil za koji je 00 =hα .

Obje komponente normalne sile na horizontalnom repu imaju gubitke zbog smanjenog

dinamičkog tlaka iza krila. Taj gubitak uzimamo u obzir množenjem dinamičkog tlaka s

koeficijentom hη . Komponenta zbog otklona upravljačke površine mδ ima još dodatne

gubitke kroz zazor između nepokretnog (dio horizontalnog repa) i pokretnog dijela noseće

površine (kormilo visine). Te gubitke uzimamo u obzir time što dinamički tlak te komponente

smanjujemo množeći ga s još jednim koeficijentom slotη , koji procjenjujemo u subsonici

850.slot =η , a u supersonici je znatno manji te se može u prvoj iteraciji zanemariti ( 1=slotη ).

Tako zaključujemo da je ukupna normalna sila kombinacije horizontalni rep-tijelo:

( ) ( ) ( ) mhNhslotVhBHLWBHhNhhhB CSVikiKCSVN δρηηαααεαρη δα 22

2

0

2

+

+

−+

∂∂

−=

Dijeljenjem ove jednadžbe s referentnom silom refSV2

2ρ dobivamo koeficijent normalne sile

zrakoplova koji stvara kombinacija horizontalni rep-tijelo

( ) ( ) ( ) ( ) mhNslothBHWBHhNref

hhhBN CikiKC

SSC δηαα

αεαη δα +

+

−+

∂∂

−= 0 3.66

U ovoj jednadžbi je ( )hNC α određeno u odjeljku 2.2.3, a BHK je određeno za odnos promjera

trupa na mjestu horizontalnog repa prema rasponu kombinacije horizontalni rep – trup i BHk u

odjeljku 2.3. Kada je trup malog promjera na mjestu horizontalnog repa, onda se obično

zanemaruje koeficijent interferencije ( 1== BWBW kK ) te je tada

( ) ( ) ( ) ( )

+

+−+

∂∂

−= mhNslothWhNref

hhhBN CiiC

SSC δηαα

αεαη δα 0 . 3.67

Iz ove jednadžbe dobivamo da je

( ) ( ) ( )

+−

∂∂

−= hWhNref

hhhBN iiC

SSC 00 α

αεη α 3.68

( ) ( )

∂∂

−=αεη αα 1hN

ref

hhhBN C

SSC 3.69

( ) ( )hNref

hslotVhBN C

SS

Cm δδ ηη= , 3.70

pa je konačno koeficijent normalne sile horizontalnog repa (za referentni tlak i referentnu

površinu zrakoplova)

Page 101: Mehanika Leta Zrakoplova

Otpor, normalna sila i moment propinjanja 3-27

( ) ( ) ( ) ( ) mhBNhBNhBNhBN mCCCC δα δα ++= 0 . 3.71

Budući da ne postoji spreg od horizontalnog repa jer je profil horizontalnog repa

obično simetričan, moment propinjanja za središte mase od horizontalnog repa ima također tri

dijela, a to su momenti za središte mase ova triju dijelova normalne sile. Prvi i drugi dio

normalne sile na repu, ( )hBNC 0 i ( ) αα hBNC , imaju hvatište u napadnoj točki normalne sile

horizontalnog repa na udaljenosti chl od vrha letjelice ( chl poslije dijeljenja s referentnom

duljinom propinjanja Ac ). Zato je prvi dio koeficijent momenta propinjanja za središte mase

od prvoga dijela normalne sile na repu

( ) ( ) ( )mchhBNhBm CC ll −−= 00 3.72

kao i drugi

( ) ( ) ( )mchhBNhBm CC ll −⋅−= αα αα . 3.73

Komponenta normalne sile na horizontalnom repu uslijed otklona upravljačke površine mδ

ima hvatište na udaljenosti hδl od vrha letjelice, te je koeficijent njenog momenta propinjanja

( ) ( ) ( )mhmhBNmhBm mmCC ll −⋅−= δδδ δδ . 3.74

Tako zaključujemo da je koeficijent momenta propinjanja za središte mase od horizontalnog

repa

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )mhmhBNmchhBNhBNhBm CCCC llll −⋅−−⋅+−= δδα δα0 3.75

ili

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

−+−

+−+

∂∂

−−= mhmhNslotmchhwWhNref

hVhBm CiiC

SSC llll δδα δηαα

αεαη 0

3.76

Taj koeficijent ima tri dijela. Prvi je konstantan

( ) ( ) ( ) ( )mchhwWhNref

hVhBm iiC

SS

C ll −

+−

∂∂

−−= 00 ααεη α 3.77

Drugi je proporcionalan napadnom kutu α , a njegov gradijent je

( ) ( ) ( )mchhNref

hVhBm C

SS

C ll −

∂∂

−−=αεη αα 1 3.78

i treći koji je proporcionalan otklonu kormila visine mδ , s gradijentom

( ) ( ) ( )mhhNref

hslotVhBm C

SS

Cm

ll −−= δδδ ηη . 3.79

Page 102: Mehanika Leta Zrakoplova

Otpor, normalna sila i moment propinjanja 3-28

Gradijent ( )hNC δ horizontalnog repa po otklonu kormila visine odredili smo u odjeljku 2.2.7.

U supersonici cijeli horizontalni rep je kormilo visine te je ( ) ( )hNhN CC αδ = a hvatište

chh ll =δ .

3.2.3 Moment propinjanja tijela

Na prednjem divergentnom dijelu tijela javlja se pozitivna normalna sila (sila uzgona), a na

zadnjem konvergentnom dijelu javlja se negativna normalna sila (negativan uzgon). Te dvije

sile približno su slične, pa je njihova rezultanta zanemariva, ali one čine spreg koji treba uzeti

u obzir i koji je proporcionalan napadnom kutu tijela. Taj spreg možemo procijeniti pomoću

empirijske formule prema [18]:

( ) αrefA

BBfBm Sc

WKC l2

= 3.80

( )wcl

Bl

Slika 3-18. Koeficijent sprega propinjanja trupa

BBW li su širina i duljina tijela, a fK je koeficijent koji ovisi o odnosu udaljenosti napadne

točke krila od vrha ( )wcl , prema ukupnoj duljini tijela Bl .

Ako tijelo nema zadnji konvergentni dio, ili ako je suženje na zadnjem dijelu malo,

ova jednadžba ne daje realnu procjenu. U tom slučaju treba upotrijebiti procjene iz lit [27].

3.2.4 Nulti članovi i stacionarni gradijenti normalne sile i momenta propinjanja

Sada imamo sve dijelove nultih članova i gradijenata po napadnom kutu i po otklonu kormila

visine od koeficijenata normalne sile i momenta propinjanja.

Page 103: Mehanika Leta Zrakoplova

Otpor, normalna sila i moment propinjanja 3-29

Nulti član normalne sile je zbroj članova normalne sile kombinacije krilo - trup

(jednadžba 3.59) i horizontalni rep - trup (jednadžba 3.68):

( ) ( )hBNWBNN CCC 000 += 3.81

( ) ( ) ( ) ( )

+−

∂∂

−+−= hhBWhBhNref

hhLWBWwN

ref

WN ikiKC

SSikC

SSC 000 α

αεηα αα 3.82

Nulti član koeficijenta momenta propinjanja također je zbroj (jednadžbe 3.63 i 3.77)

( ) ( )hBmWBmm CCC 000 += 3.83

( ) ( ) ( )( )[ ]

( ) ( ) ( )mchhhBwWhBhNref

hV

cwmLwBWwNwmref

wm

ikiKCSS

ikCCSSC

ll

ll

+−

∂∂

−−

−−−+=

0

000

ααεη

α

α

α

3.84

U gradijentu normalne sile ne sudjeluje tijelo već samo kombinacija krilo-tijelo i kombinacija

horizontalan rep-tijelo (jednadžbe 3.60 i 3.69)

( ) ( )hBNWBNN CCC ααα += 3.85

( ) ( )

∂∂

−+=αεη ααα 1hBhN

ref

hhBWwN

ref

wN KC

SSKC

SSC 3.86

U gradijentu po napadnom kutu momenta propinjanja sudjeluju sva tri dijela:

( ) ( ) ( )BmhBmWBmm CCCC αααα ++= . 3.87

Taj je zbroj prema jednadžbama 3.64, 3.78 i 3.80:

( ) ( ) ( ) ( )refA

BBfmchhN

ref

hhcwmwNBW

ref

wm Sc

WKCSSCK

SSC l

llll2

1 +−

∂∂

−−−=αεη ααα 3.88

U gradijentu normalne sile po otklonu kormila visine kao i od momenta propinjanja sudjeluje

samo horizontalni rep (jednadžbe 3.70 i 3.79)

( ) ( )hNref

hslothhBNN C

SSCC

mm δδδ ηη== 3.89

( ) ( ) ( )mhhNref

hslothhBmm C

SSCC

mmll −−== δδδδ ηη 3.90

Ove jednadžbe za procjenu derivativa pokazuju nam utjecaj veličine i položaja krila i

horizontalnog repa na njihovu veličinu. Točnija procjena derivativa mm mNmN CCCC δδαα i,,

može se naći u lit.[28] i [29].

Page 104: Mehanika Leta Zrakoplova

Otpor, normalna sila i moment propinjanja 3-30

3.2.5 Gradijenti zbog promjenjivog napadnog kuta

Hvatište normalne sile horizontalnog repa je na udaljenosti cwch ll − od hvatišta normalne

sile krila. Ako je brzina letjelice V, onda je potrebno vrijeme

Vt cwch ll −=∆

da horizontalni rep dođe na mjesto gdje je bilo krilo. Drugim riječima, na horizontalni rep

dolazi zračna struja koja je bila na krilu t∆ vremena prije. Napadni kut na horizontalnom repu

u trenutku t je

( ) hit +− εα ,

a savijanje struje ε na koje dolazi horizontalni rep u trenutku t, izvelo je krilo u trenutku

tt ∆− , pa je kut na horizontalnom repu:

( ) ( ) ( ) hwh itttit +−∂∂

−=+− ∆ααεαεα

Slika 3-19. Dodatni napadni kut na horizontalnom repu

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] tiittiitttit hwwhwwh ∆∆ ααεαα

αεαααα

αεαεα &&

∂∂

+++−∂∂

−=++−−∂∂

−=+− 00 .

Kada usporedimo ovaj napadni kut horizontalnog repa u uvjetima promjenjivog ( )tα , vidimo

da zbog promjenjivosti napadnog kuta postoji dodatni napadni kut na horizontalnom repu koji

do sad nismo uzeli u obzir. Taj dodatni napadni kut

Vcwch

hll

&−

∂∂

= ααεα∆

stvara dodatnu normalnu silu prema gore koja je suprotnog smjera od osi z tromosti letjelice:

Page 105: Mehanika Leta Zrakoplova

Otpor, normalna sila i moment propinjanja 3-31

( )V

CSVVcCSV cwch

hNhhA

Zrefll

&&

&

−∂∂

−= ααερηαρ

αα 22

22

Kraćenjem dobivamo

( )A

cwchhN

ref

hhZ c

CSSC ll

&

−∂∂

−=αεη αα 3.91

Ta sila ima negativni moment za središte mase oko osi y tromosti letjelice. Udaljenost

hvatišta te sile od središta mase je mch ll − pa je njen moment

( ) ( )mchcwch

hNhhA

mAref VCSV

VcCcSV

llll

&&

& −−

∂∂

−= ααερηαρ

αα 22

22

što kraćenjem daje gradijent

( ) ( )mchZA

mch

A

cwchhN

ref

hhm hhC

ccC

SSC −=

−−∂∂

−= ααα αεη &&

llll 3.92

3.2.6 Gradijenti zbog kutne brzine propinjanja

Zbog kutne brzine q oko osi y tromosti, svi dijelovi zrakoplova stvaraju kočeći moment.

Prema linearnoj teoriji krila, krilo ima tri dijela momenta kočenja: vlastiti, položajni i

mješoviti. Vlastiti je onaj moment kočenja kojim se krilo suprotstavlja rotaciji oko osi koja

prolazi kroz hvatište normalne sile krila. Položajni je onaj koji ovisi o udaljenosti osi rotacije

u ravnini krila od hvatišta normalne sile, a mješoviti je posljedica činjenice da moment

kočenja nije zbroj vlastitog i položajnog. Kada primijenimo taj rezultat na horizontalni rep,

onda je položajni moment kočenja vrlo velik zbog udaljenosti repa od središta mase u odnosu

na vlastiti pa i na mješoviti moment. Krilo ima mali položajni kočeći moment. Vlastiti kočeći

moment krila, bez obzira na veličinu krila, obično se može zanemariti u odnosu na položajni

moment horizontalnog repa. To znači da je dovoljno uzeti u obzir samo položajni moment

horizontalnog repa. Procjenu tog položajnog momenta kočenja horizontalnog repa izvodimo

prema slici 3-20. Hvatište normalne sile horizontalnog repa koji je na udaljenosti mch ll − od

središta mase ima brzinu prema dolje ( )mchq ll − zbog kutne brzine q kroz središte mase. To

gibanje horizontalnog repa zamjenjujemo gibanjem zraka prema gore brzinom ( )mchq ll − .

Vektorski zbroj tih dviju brzina zraka stvara dopunski napadni kut

( )V

q mch ll −=α∆

Taj dopunski napadni kut na horizontalnom repu uzrok je dopunskoj normalnoj sili prema

gore na horizontalnom repu

Page 106: Mehanika Leta Zrakoplova

Otpor, normalna sila i moment propinjanja 3-32

( ) ( )mchhNhhA

Zqref VqCSV

VcqCSV

ll −−= αρηρ

22

22

Slika 3-20. Horizontalni rep pri kutnoj brzini propinjanja

što kraćenjem daje derivativ normalne sile po kutnoj brzini propinjanja:

( )A

mchhN

ref

hhZq c

CSSC ll −

−= αη 3.93

Hvatište te sile u odnosu na središte mase je mch ll − pa je gradijent momenta za središte

mase

( ) ( )222

22 mchhNhhA

mqAref VqCSV

VcqCcSV

ll −−= αρηρ

Kraćenjem na lijevoj i desnoj strani dobivamo gradijent momenta po kutnoj brzini

propinjanja:

( ) ( )mchZqA

mchhN

ref

hhmq hhC

cC

SSC −=

−−=

2ll

αη 3.94

Page 107: Mehanika Leta Zrakoplova

Bočna sila, moment skretanja i moment valjanja 4-1

4 BOČNA SILA, MOMENTI SKRETANJA I VALJANJA

4.1 Bočna sila i moment skretanja Vidjeli smo da je opći izraz za aerodinamičke koeficijente bočne sile i momenta skretanja

( )( )l

l

δδβ

δδβ

,,p,r,CC,,p,r,CC

nnn

nYY∗∗

∗∗

=

= 4.1

Ove funkcije mogu se linearizirati razvijanjem u red i zanemarivanjem malih veličina

drugoga i višega reda. Kut klizanja nije velik, jer prema propisima ne smije biti veći od 2.0

radijana, kutne brzine ∗r i ∗p su male, a nelinearnosti zbog povećanih otklona krilaca lδ i

kormila pravca nδ uzet ćemo posebno u obzir. U većini slučajeva ti uvjeti za linearizaciju su

ispunjeni te koristimo linearnu zavisnost koeficijenta valjanja od parametara.

.l

l

l

l

δδβ

δδβ

δδβ

δδβ

nnnnpnrnn

YnYpYrYYY

CCpCrCCC

CCpCrCCC

n

n

++++=

++++=∗∗

∗∗

4.2

Koeficijenti ββ nY CC i uz parametar β , nryr CC i uz bezdimenzijsku kutnu brzinu skretanja

∗r , npYp CC i uz bezdimenzijsku kutnu brzinu valjanja ∗p , nn nY CC δδ i uz otklon kormila

pravca nδ kao i koeficijenti ll δδ nY CC i uz otklon krilaca lδ a priori su funkcije Machova

broja. Za subsonične zrakoplove, pa donekle i za supersonične, kada su promjene Machova

broja male, mogu se smatrati konstantnim. Međutim kada su otkloni upravljačkih površina

veći od 100, treba imati na umu da su zbog nelinearnosti gradijenti nn nY CC δδ i ovisni i o

otklonu kormila pravca nδ , a ll δδ nY CC i o otklonu krilaca lδ . Točniju procjenu ovih

derivativa možemo naći u lit.[28] i [29].

4.1.1 Gradijenti bočne sile i momenta skretanja po kutu klizanja

Gradijent bočne sile zbog kuta klizanja uzrokuje najvećim djelom vertikalni rep. Ta sila na

vertikalnom repu u pravcu je osi y, ali suprotnoga smjera. Njen je intenzitet

( ) VVBVNVV KCSV βρη α2

2

. 4.3

Brzina zračne struje na repu nije ista kao brzina ispred zrakoplova pa zato postoji promjena

dinamičkog tlaka ηV kao u i slučaju horizontalnog repa, ali su gubitci na vertikalnom repu

manji od onih na horizontalnom ako je horizontalni rep u ravnini krila ili u blizini te ravnine.

Također ni kut klizanja na vertikalnom repu nije jednak kutu klizanja zrakoplova. Zračna

Page 108: Mehanika Leta Zrakoplova

Bočna sila, moment skretanja i moment valjanja 4-2

struja iza ravnine elise skrenuta je za neki kut σ , a u strujnoj cijevi koja prolazi kroz krug

elise bit će zavojno gibanje. I mlazni motori skreću zračnu struju tako da je kut klizanja iza

njega umanjen isto za neku vrijednost. Osim toga zračna struja pri opstrujavanju tijela

zrakoplova i kombinacije krilo-tijelo, stvara na njima bočnu silu, a kao reakcija oni skreću

struju za neki kut. Taj kut skretanja σ sigurno je utoliko veći ukoliko je veći kut klizanja β ,

te je on prije svega proporcionalan kutu klizanja, što znači da možemo pisati

ββσσ∂∂

= . 4.4

U toj jednadžbi usvajamo da je parcijalna diferencijacija neovisna o kutu klizanja. Pomoću te

jednadžbe možemo kut klizanja na vertikalnom repu napisati u obliku

β β σ β∂σ∂β

∂β∂β

βVV= − = −

=1 . 4.5

Prema tome, bočna sila zbog kuta klizanja bit će

( ) β

ββρ

ηβρ

αβ ∂∂

−= vVBVNVvYref KCSVCSV

22

22

pa je njen gradijent

( )ββη αβ ∂∂

−= vVBN

ref

vvY KC

SSC . 4.6

Vrlo je teško postaviti neki matematički model koji bi dovoljno točno određivao ∂β∂β

V .

Eksperimentalno je određeno usporenje i skretanje uslijed kombinacije tijelo-krilo u ovisnosti

o parametru krila s podtrupnim dijelom: vitkosti wA′ , strijele prednjeg ruba LEΛ i položaja

krila na trupu fw Dz , kao i o odnosu površina vertikalnog repa skupa sa dijelom pod trupom

prema površini krila wv SS ′

wf

WW

V

VV A.

Dz.

cosSS

.. 009040

1

0637240 ++

+

+=Λ∂β

∂βη . 4.7

Gradijent momenta skretanja po kutu klizanja osim momenta skretanja od bočne sile

na vertikalnom repu ima i dva sprega: od krila i od tijela

( ) ( ) ( )fnWnVnn CCCC ββββ ++= 4.8

Prvi dio gradijenta momenta skretanja zbog kuta klizanja ( )VnC β jest posljedica momenta

normalne sile na vertikalnom repu zbog kuta klizanja Vβ . Tu silu smo već odredili

Page 109: Mehanika Leta Zrakoplova

Bočna sila, moment skretanja i moment valjanja 4-3

( ) β∂β∂βρη α

VVBVNVVV KCSVYY

2

2

== .

Hvatište ove sile određujemo kao napadnu točku krila od dva polukrila jednaka vertikalnom

repu:

CAAVCV hcx ++= 0ll 4.9

Moment skretanja zbog normalne sile na vertikalnom repu je pozitivan:

( ) ( )mCVV

VBVNVVV KCSVN ll −= β∂β∂βρη α2

2

4.10

Dijeljenjem s referentnim veličinama zrakoplova bit će

( ) ( )b

Cb

KCSSC mCV

YmCVV

VBVNref

VVVBn

llll −−=

−= βαβ ∂β

∂βη . 4.11

Aerodinamički koeficijent sprega ( )WBnC β pojavljuje se samo ako krilo ima silu

uzgona. Na njega znatno utječe strijela krila. U literaturi [18], za referentne veličine krila s

podtrupnim dijelom dana je empirijska formula za ovaj gradijent:

( ) ( )

−⋅−−= mcw

LWn BB

ACC ll21

2

41

πβ , 4.12

gdje je

( )( )( )4141

241

2

41

2

4141

411

46

824

ΛΛΛ

ΛΛ

ΛΛ

cosAcosAsin

B

cosAAcos

cosAtg

B

+=

−−

+=

Za veće brzine treba uzeti u obzir i utjecaj stlačivosti zraka, tako što se ova vrijednost množi

još s funkcijom

AAB

A B ABA A

+

+

+ −

+ −

44

4 84 8

1 4

1 4

2 21 4

21 4

21 4

21 4

coscos

cos coscos cos

Λ

Λ

Λ Λ

Λ Λ,

u kojoj je

B M= −1 2 21 4cos Λ .

Koeficijent sprega od tijela ( )fnC β stvara tijelo isto kao i u slučaju momenta

propinjanja. Tijelo stvara spreg koji je proporcionalan kutu skretanja ( ) ββ fnC . Taj spreg je

posljedica bočne sile na prednjem dijelu tijela koja je u smjeru poprečne brzine opstrujavanja,

i bočne sile na zadnjem dijelu koja je u suprotnom smjeru. Te su sile po veličini približno

Page 110: Mehanika Leta Zrakoplova

Bočna sila, moment skretanja i moment valjanja 4-4

jednake i njihova rezultanta je mala, ali one čine negativan spreg oko osi z koji povećava kut

skretanja. Koeficijent tog sprega koji je negativan, može se procijeniti empirijskom

jednadžbom

( )bSW

DVCrefB

BBBn 3.1−=β , 4.13

u kojoj je BV volumen tijela, BD njegova najveća visina, a BW njegova najveća širina.

4.1.2 Gradijent bočne sile i momenta skretanja od otklona kormila pravca

Normalna sila na vertikalnom repu koja je nastala zbog pozitivnog otklona kormila pravca

(vidi sliku 4.1) po pravca i smjeru je duž osi y:

( ) nVNVslotVnYref CSVCSVn

δρηηδρδδ 22

22

= ,

odakle je

( )VNref

VslotVY C

SSC

n δδ ηη= , 4.14

U odjeljku 2.2.7. pokazali smo kako se može odrediti koeficijent ( )VNC δ .

0>nδx

y

Slika 4-1. Normalna sila na vertikalnom repu za pozitivan otklon kormila pravca

Moment skretanja ove sile je negativan za pozitivan otklon nδ (vidi sliku 3.1)

( ) ( )mVnVNVslotVnnref CSVCbSVn

ll −−= δδδ δρηηδρ22

22

Page 111: Mehanika Leta Zrakoplova

Bočna sila, moment skretanja i moment valjanja 4-5

Hvatište ove sile na vertikalnom repu zbog otklona kormila, odredili smo također u odjeljku

2.2.7. Ako je x Vδ udaljenost te točke od srednje aerodinamičke apscise, a Ax udaljenost

srednje aerodinamičke apscise od početka repa, treba tom zbroju dodati udaljenost početka

repa od vrha letjelice V0l . Tako dobivamo da je vAVv xx δδ ++= 0ll . Dijeljenjem s

referentnim veličinama dobivamo

( )b

Cb

CSSC mV

YmV

VNref

VslotVn nn

llll −−=

−−= δ

δδ

δδ ηη . 4.15

4.1.3 Gradijent momenta skretanja zbog otklona krilca

Promatrajmo krilo s podtrupnim dijelom. Na lijevom polukrilu na kome je 0<y (vidi sliku

4-2), uzgon 22

2

LW CSV ′ρ je povećan za veličinu ∆L zbog pozitivnog otklona krilca. Na

desnom polukrilu na kome je 0>y uzgon je smanjen za tu istu veličinu. Zamislimo

kombinaciju krilo-tijelo koja ima oba krilca otklonjena prema dolje kao lijevo krilce stvarne

kombinacije i. Koeficijent uzgona takve kombinacije krilo-tijelo je

( )( )

222

22

22

2

WWBL

W

WBLW

SVLC

SV

LCSV

ρρ

ρ∆∆

+=+

.

Koeficijent induciranog otpora na toj kombinaciji je

( )

2

2

22

+W

WBL SVLCK

ρ∆ ,

pa je inducirani otpor na lijevoj polovini te kombinacije

( )

2

2

2

2222

+W

WBLW

SVLCKSV

ρρ ∆ .

Page 112: Mehanika Leta Zrakoplova

Bočna sila, moment skretanja i moment valjanja 4-6

x

0>lδ

y

z

>0

L∆

L∆

Slika 4-2 Dodatna normalna sila zbog otklona krilaca

Isto tako nalazimo da je inducirani otpor na desnoj polovici krila na kome je 0>y , koje ima

krilce otklonjeno prema gore

( )

2

2

2

2222

−W

WBLW

SVLCKSV

ρρ ∆ .

Vidimo da inducirani otpori na desnoj i lijevoj strani krila nisu isti. Posljedica je moment

skretanja. Hvatište tih sila je na udaljenosti cy od osi zrakoplova, a to je hvatište normalne

sile polukrila s podtrupnim dijelom. Lijevo polukrilo imat će negativni moment skretanja, a

desno pozitivni:

( ) ( ) cW

WBLW

WBLW y

SVLC

SVLCKSVN

−+

+−=

2

2

2

2

2

222222 ρρ

ρ ∆∆ ,

ili

( ) cWBLnref yLCKCbSV∆4

2

2

−=llδρ

δ .

Označimo sa ly udaljenost hvatišta sile L∆ od osi letjelice Onda je moment valjanja zbog

otklonjenih krilaca

lll lyLCbSV

ref ∆δρδ 2

2

2

= ,

Dijeljenjem ovih dviju jednadžbi dobivamo

Page 113: Mehanika Leta Zrakoplova

Bočna sila, moment skretanja i moment valjanja 4-7

( )l

l ll yyCCKC c

WBLn δδ 2−= . 4.16

Udaljenost cy od ose zrakoplova napadne točke normalne sile polu-krila određujemo pomoću

dijagrama na slici 2-12, a ey je udaljenost od osi zrakoplova do napadne točke normalne sile

krilca L∆ . Tu napadnu točku možemo uzeti na polovini raspona krilca.

4.1.4 Bočna sila i moment skretanja zbog kutne brzine valjanja

Na slici 4-3 vidimo da zbog kutne brzine valjanja aerodinamičko središte vertikalnog repa

dobiva brzinu cvzp u pravcu i smjeru osi y. Učinak je isti ako vertikalni rep stoji a zrak ima

brzinu cvzp u suprotnom smjeru osi y. Ta brzina mijenja pravac brzine opstrujavanja tako

što se na vertikalnom repu dobije pozitivan dopunski kut klizanja Vzp c

V =β∆ . Usvojili smo

apsolutnu vrijednost udaljenosti aerodinamičkog središta vertikalnog repa cz od osi

zrakoplova, kako predznak ne bi utjecao na smjer sile i momenta koji su posljedica ovog kuta.

Slika 4-3.Vertikalni rep pri kutnoj brzini valjanja

Sila na vertikalnom repu koja se javlja zbog vβ∆ jest negativna bočna sila zrakoplova zbog

kutne brzine valjanja:

( )Vzp

CSVVpbCSV cv

vNvvYpref αρηρ

22

22

−= ,

Page 114: Mehanika Leta Zrakoplova

Bočna sila, moment skretanja i moment valjanja 4-8

odakle je

( )b

zC

SS

C cvvN

ref

vvYp αη−= . 4.17

Moment skretanja zbog kutne brzine valjanja ima dva dijela. Prvi je dio moment

bočne sile na vertikalnom repu, a drugi je spreg skretanja koji se stvara na krilu zbog kutne

brzina valjanja krila.

Moment skretanja od bočne sile na vertikalnom repu je pozitivan.

( ) ( )ll −cvcv

vNvv Vzp

CSVα

ρη

2

2

Zbog pozitivne kutne brzine valjanja na desnoj polovici krila, točke krila imaju brzinu

prema dolje py , a to je isto kao da zrak na desnoj strani krila ide prema gore. Ta dopunska

brzina zraka prema gore na desnoj polovici krila stvara dodani napadni kut Vpy

=α∆ , koji

raste linearno po rasponu krila. Na lijevoj strani krila također je takav ali negativan dopunski

napadni kut.

Ako napadni kut krila bio pozitivan, onda je na desnoj strani on povećan pa zato je

desnoj strani krila povećan a na lijevoj strani smanjen inducirani otpor. Rezultanta tih

promjena induciranog otpora bit će praktično nula, ali one daju pozitivan spreg oko osi z .

Povećani napadni kut izazvat će veću silu u pravcu gibanja krila zbog opstrujavanja prednjeg

ruba na desnoj strani krila, dok će smanjeni napadni kut na lijevoj strani smanjiti tu isu silu.

Opet će rezultanta tih promjena praktično biti nula, ali te promjene sila stvaraju negativan

spreg.

porast sile zbogopstrujavanja

pad induciranog optora

porast induciranog optora

pad sile zbogopstrujavanja

Slika 4-4. Spreg induciranih sila otpora i aksijalnih sisajućih sila

Page 115: Mehanika Leta Zrakoplova

Bočna sila, moment skretanja i moment valjanja 4-9

Razlika između ta dva sprega je mala u odnosu na moment koji stvara vertikalni rep

zbog kutne brzine valjanja, pa je zato moment skretanja zrakoplova zbog kutne brzine

valjanja uglavnom moment skretanja od bočne sile na vertikalnom repu zbog kutne brzine

valjanja:

( ) ( )ll −= cvcv

vNvvnpref Vzp

CSVVpbbCSV

αρηρ

22

22

( )b

Cbb

zC

SSC mcv

Ypmcvcv

vNref

vvnp

llll −−=

−= αη 4.18

4.1.5 Bočna sila i moment skretanja zbog kutne brzine skretanja

Slično kao u prethodnom odjeljku, zbog kutne brzine skretanja r oko osi z aerodinamičko

središte vertikalnog repa ima brzinu ( )mcvr ll − u pravcu osi y, ali u suprotnom smjeru. Tu

brzinu aerodinamičkog središta vertikalnog repa možemo zamijeniti sa suprotnom brzinom

zraka.

mcv ll −

( )mcvr ll −

( )mcvr ll −

Slika 4-5. Vertikalni rep pri kutnoj brzini skretanja

Na slici 4-5 vidimo da vektorski zbroj te dodate brzine zraka ( )mcvr ll − i brzine dolazeće

zračne struje V, daju negativni kut klizanja na vertikalnom repu. Taj kut klizanja stvara

pozitivnu bočnu silu zrakoplova:

( ) ( )V

rCSVVrbCSV mcv

vNvVYrrefll −

= αρηρ

22

22

te je

( )b

CSSC mcv

vNref

vVYr

ll −= αη . 4.19

Page 116: Mehanika Leta Zrakoplova

Bočna sila, moment skretanja i moment valjanja 4-10

Moment oko osi z od te sile je negativan, a to je moment skretanja zrakoplova zbog kutne

brzine skretanja

( ) ( )V

rCSV

VrbbCSV mcv

vNvVnrref

222

22ll −

−= αρ

ηρ

te je gradijent koeficijenta momenta skretanja

( ) ( )b

Cb

CSSC mcv

Yrmcv

vNref

vVnr

llll −−=

−−= 2

2

αη . 4.20

4.2 Moment valjanja Koeficijent momenta valjanja određujemo tako da moment valjanja bude izražen jednadžbom

lCbSVL ref2

2ρ= . 4.21

Taj aerodinamički koeficijent kao što smo to na početku ovog odjeljka pokazali, za

zrakoplovne konfiguracije ovisi o parametrima nrp δδβ ,,,, l . Ta funkcija se može

linearizirati

( ) nrpn nCC

VrbC

VpbCCrpC δδβδδβ δδβ llllllll l

++++=∗∗ ,,,, , 4.22

što nam omogućuje da svaki derivativ posebno analiziramo. Ta analiza ima dvostruku ulogu.

S jedne strane na temelju nje procjenjujemo vrijednosti derivativa, a s druge strane

upoznajemo se s fizičkom slikom, na temelju koje uočavamo ulogu krila, horizontalnog i

vertikalnog repa u momentu valjanja. Točniju procjenu ovih derivativa možemo naći u

lit.[28] i [29].

4.2.1 Gradijent po kutu klizanja

Moment valjanja zrakoplova zbog kuta klizanja βlC stvara krilo i vertikalni rep.

( ) ( )VW

CCC βββ lll += 4.23

4.2.1.1 Od krila ( )CWlβ

Gradijent momenta valjanja po kutu klizanja koje stvara krilo ( )CWlβ ima tri komponente

( ) ( ) ( ) ( )WWzWLCWW

zCCCCCL ββνββ ν llll ++= ; 4.24

Page 117: Mehanika Leta Zrakoplova

Bočna sila, moment skretanja i moment valjanja 4-11

( )CWlβ νν komponenta zbog prostornog kuta ν krila,

( )WLC CC

Lβl komponenta zbog istodobnog postojanja normalne sile na krilu i kuta

klizanja,

( )C zz W Wlβ komponenta zbog nesimetrično postavljenog krila na tijelu.

Utjecaj prostornog kuta krila ( )W

C βνl

Od ova tri faktora najveći utjecaj na moment valjanja krila ima kut ν (kut koji čini krilo u

odnosu na koordinatnu ravninu xy). Zbog tog kuta, kao što se vidi sa slike 4-6, poprečna

brzina V Vsinβ β≈ razlaže se na komponentu okomitu na ravninu krila V Vβ ν βνsin ≈ i

drugu komponentu u ravnini krila (na drugoj polovici krila ta okomita komponenta Vβν ima

suprotan smjer). Okomita komponenta brzine podijeljena s brzinom V Vcosβ ≈ stvara

napadni kut βν na desnoj polovici krila ( 0>y ) i isti takav ali negativan βν− na lijevoj

polovici krila ( 0<y ).

0>= βνα∆ 0<= βνα∆

f

z

2wb

b

βV βV( )νβV ( )νβV

W

Slika 4-6. Utjecaj kuta klizanja na krilo s kutom ν

Tom napadnom kutu na desnoj polovici krila odgovara normalna sila

( ) βνρα wNw CSV

221 2

,

Page 118: Mehanika Leta Zrakoplova

Bočna sila, moment skretanja i moment valjanja 4-12

čije je hvatište na udaljenosti WCy od ose zrakoplova. Ista je tolika sila samo suprotnog

smjera pojavljuje se na desnoj polovici krila, te one skupa čine spreg oko x osi negativnog

smjera:

( )WC

WNW

ref yCSV

CbSV2

222

2

2 βνρ

βνρ α

νβ −=l ,

Dijeljenjem sa referentnim momentom bSq ref∞ i skraćivanje sa βν dobivamo

( )b

yC

SSC WC

wNref

wανβ −=l , 4.25

Pomoću dijagrama na slici 2-12 možemo odrediti položaj napadne točke polu-krila u

ovisnosti o parametru krila. Toj vrijednosti treba dodati pola širine trupa na mjestu krila.

Utjecaj preko normalne sile LCC βl

Drugi uzrok pojave momenta valjanja na krilu jest nesimetrija opstrujavanja dviju polovica

strelastog krila. Nazovimo, kao u prethodnom slučaju, desno polukrilo ono na kome su

koordinate y pozitivne, a lijevo polukrilo gdje je y < 0 (kao na slici 4-7 gledano u vrh osi z ).

V41Λ

βV

β

41Λ

y

x

Wf

desno lijevo

Slika 4-7. Nesimetrija opstrujavanja strelastog krila pri postojanju kuta klizanja

Prva posljedica ove nesimetrije je razlika u komponenti brzine okomite na glavni

vrtlog. Na desnom polukrilu ta komponenta je ( )β−41cos ΛV , a na lijevom ona je

Page 119: Mehanika Leta Zrakoplova

Bočna sila, moment skretanja i moment valjanja 4-13

( )β+41cos ΛV . Zbog toga će biti različiti dinamički tlak u struji okomitoj na glavni vrtlog

lijevog i desnog polukrila.

Druga posljedica nesimetrije su različiti napadni kutovi u presjecima lijevog i desnog

polu-krila okomitim na glavni vrtlog. Na desnom polukrilu je napadni kut

( )βα−41cos

sinΛV

V ,

a na lijevom

( )βα+41cos

sinΛV

V .

Zato će se pojaviti različiti momenti valjanja na desnom i na lijevom polu krilu

( )[ ] ( ) ( )( )[ ] ( ) ( ) ,

cos2cos

2

cos2cos

2

41

241

41

241

WCWBWNW

lijevo

WCWBWNW

desno

ykCSVL

ykCSVL

βΛαβΛρ

βΛαβΛρ

α

α

++=

−−−=

a rezultirajući moment valjanja bit će zbroj tih dvaju momenata:

( ) ( )[ ] ( )

( ) .2

sin22

2coscos

2

2

41

2

4141

2

2

WCWBWNW

WCWBWNW

lijevodesnoLCref

ykCSV

ykCSV

LLCbCSVL

αΛβρ

αβΛβΛρ

βρ

α

α

β

⋅⋅−=

++−−=

+=l

Dijeljenjem s referentnim veličinama za moment valjanja i ijednašavanjem ( ) αα WNL CC = ,

dobivamo

b

yk

SSC WC

WBref

wCL 41sinΛβ −=l . 4.26

Podsjetimo se da položaj napadne točke polukrila u ovisnosti o parametrima krila određuje

pomoću dijagrama na slici 2-12.

Utjecaj zbog nesimetrično postavljenog krila ( )C zWlβ

Treća komponenta momenta valjanja je zbog nesimetrično postavljenih krila. Ako su krila

postavljena na donjem dijelu tijela (niskokrilac, slika 4-7-b), onda povećani tlak na spoju krila

i trupa zbog poprečne brzine Vβ stvara pozitivni moment valjanja, i obrnuto, ako je krilo

postavljeno na gornjem dijelu tijela (visokokrilac kao na slika 4-7-a), onda povećani tlak na

Page 120: Mehanika Leta Zrakoplova

Bočna sila, moment skretanja i moment valjanja 4-14

spoju krila i trupa stvara negativni moment valjanja. Na temelju mjerenja napravljena je

empirijska formula

( ) Wff

W zb

WDA.zC

+= 21βl . 4.27

βV

βV

+ -

-

y

z

z

yzW>0

zW<0

a)

b)

Slika 4-8. a) visoko-krilac, b) nisko-krilac

Df i Wf su visina i širina tijela na mjestu gdje je postavljeno krilo, a zW je visina korijene

tetive u koordinatnom sustavu letjelice (pozitivna prema dolje) podijeljena s referentnom

duljinom b.

4.2.1.2 Od vertikalnog repa ( )V

C βl

Moment valjanja koji se stvara na vertikalnom repu zbog kuta klizanja ( ) ββ VCl jest

posljedica normalne sile na vertikalnom repu (vidi sliku 4-9). Ta sila je

( ) VVNVVV CSVF βρη α′−=2

2

. 4.28

Hvatište te sile određeno je kao napadna točka polunoseće površine u odjeljku 2.25.

Udaljenost CVz od napadne točke vertikalnog repa do osi x je zbroj udaljenosti od napadne

točke do korijenske tetive i udaljenosti od korijenske tetive i do osi x letjelice:

Page 121: Mehanika Leta Zrakoplova

Bočna sila, moment skretanja i moment valjanja 4-15

y

L<0

x

vVβ

zcv FvV

Slika 4-9. Moment valjanja od vertikalnog repa

Služimo se apsolutnim vrijednostima da ne bi smo pogriješili u predznaku. Osim usporenja

struje, zbog čega smanjujemo dinamički tlak na repu ηV , mijenja se i pravac zraka ββ <v .

Zato umanjujemo kut klizanja na vertikalnom repu za kut σ , kao što je objašnjeno u odjeljku

4.1.1, te je

∂β∂β

β∂β∂σβσββ V

V =

−=−= 1 .

S obzirom na tako određeni kut klizanja normalna sila na vertikalnom repu je

( ) βρββ

η α VNVv

VV CSVF ′∂∂

−=2

2

, 4.29

a njen moment valjanja za os x je negativan:

( ) ( ) CVVNVV

VVref zCSVCbSV βρ∂β∂β

ηβραβ ′−=

22

22

l

Dijeljenjem s referentnim veličinama i kutom klizanja dobit ćemo traženi koeficijent

( ) ( )b

zC

SS

C CVVN

ref

VVVV αβ ∂β∂β

η′

−=l . 4.30

U poglavlju 4.1.1 dana je empirijska formula za određivanje produkta ∂β∂β

η VV za slučaj

skretanja struje izazvano elisom.

4.2.2 Gradijent po otklonu kormila pravca

Otklon kormila pravca na vertikalnom repu stvara normalnu silu na njemu

Page 122: Mehanika Leta Zrakoplova

Bočna sila, moment skretanja i moment valjanja 4-16

( ) nVNVslotVV CSVF δρηη δ2

2

= 4.31

koja je okomita na vertikalni rep. Ako je otklon pozitivan (kao na slici 4-9), ta sila je u pravcu

i smjeru osi y . Gradijent ( )VNC δ na vertikalnom repu procjenjujemo kako je opisano u

odjeljku 2.2.7. Možemo uzeti da je napadna točka ove sile na polovici raspona kormila

pravca. Označimo sa rmz udaljenost te točke od osi x . Moment valjanja zrakoplova ove sile,

za pozitivan otklon, jest pozitivan.

( ) rmnVNVslotVnref zCSVbCSVn

δρηηδρδδ 22

22

=l

Dijeljenjem s referentnim veličinama i otklonom kormila pravca dobivamo

( )b

zC

SSC rm

VNref

VVn δδ η=l . 4.32

z

C

rm

Slika 4-10. Površina δS i napadna točka u središtu te površine

Ovaj gradijent je znatno manji u odnosu na druge gradijente Clβ i Cl lδ te se zato ponekad

zanemaruje.

4.2.3 Gradijent po otklonu krilaca

Moment valjanja koji stvaraju krilca najbolje ćemo odrediti ako na dijelu krila na kome se ona

nalaze, promatramo element površine dycdS = udaljen y od osi x. Moment valjanja od

jednog elementa je

HLfKcdSVydL Λδρδ cos

2

2

ll= .

Page 123: Mehanika Leta Zrakoplova

Bočna sila, moment skretanja i moment valjanja 4-17

Svi elementi imaju isti otklon HLΛδ cosl , te prema tome i isti koeficijent nelinearnosti K f .

Integracijom od unutrašnje udaljenosti krilca iny do vanjske udaljenosti outy (slika 5.11)

dobivamo ukupni moment valjanja jednog krilca. Za par krilaca moment je dva puta veći:

( )∫=out

in

y

yHLfref dyycycKVbCSV

δδ Λδρδρllll l

cos2

22

22

x

0>lδ

y

z

ly

lSiny

outy

>0

Slika 4-11.

Dijeljenjem s referentnim momentom i otklonom krilaca, dobivamo gradijent momenta

valjanja zbog otklona krilca:

( )

bS

dyycycKC

ref

y

yHLf

out

in

∫=

δ

δ

Λ l

l l

cos2. 4.33

Postoji li između krila i krilaca zazor, treba uzeti u obzir gubitke reda veličine i do 20%. δlc

je gradijent profila u presjeku y, a δNC je gradijent krila zbog otklona krilaca. Sa eS

označimo dio površine polukrila na kome se nalazi krilce, a sa ey udaljenost središta te

površine od osi zrakoplova kao na slici 5-11. Možemo uzeti da je

( ) eeN

y

y

SyCdyycycout

in

δδ =∫ l ,

pa je konačno

HLfNe

ref

eslot KC

by

SSC Λη δδ cos2=

ll . 4.34

Page 124: Mehanika Leta Zrakoplova

Bočna sila, moment skretanja i moment valjanja 4-18

4.2.4 Gradijent po kutnoj brzini valjanja ∗pC pl je koeficijent momenta prigušenja valjanja letjelice. Bezdimenzijska brzina valjanja je

Vpb . Derivativ pCl stvaraju krilo, horizontalni i vertikalni rep, a udio tijela se zanemaruje:

( ) ( ) ( )VBphBpWBpp CCCC llll ++= 4.35

Najveći dio ovog derivativa stvara krilo, pa možemo reći s malom pogreškom da je

( )WBpp CC ll = . 4.36

Prigušenje valjanja od krila ( )WpCl

Kombinacija krilo-tijelo ima raspon b, samo krilo (od dva polukrila) ima raspon wb , a fW je

širina tijela na mjestu kombinacije. Neka se kombinacija krilo-tijelo valja oko osi x

koordinatnog sustava letjelice. Uočimo jedan element krila na desnom polukrilu, širine dy na

udaljenosti y od osi x. Zbog kutne brzine p taj element ima brzinu py prema dolje.

Opstrujavanje tog elementa je isto ako on nema tu brzinu prema dolje, već zrak ima brzinu py

prema gore. To znači da možemo kombinaciju krilo-tijelo koje se vrti kutnom brzinom p oko

osi x, zamijeniti s kombinacijom koja se ne vrti ali je opstrujavana zrakom koji osim

aerodinamičke brzine ima kutnu brzinu p− , suprotnog smjera od kutne brzine letjelice. U

tom drugom slučaju, u presjeku y zrak ima vertikalnu brzinu py prema gore (za y negativno

brzina je na dolje). Vektorski zbroj aerodinamičke brzine i brzine vrtnje zraka daju rezultantu

koja ima napadni kut u presjeku y kao na slici 4-12.

dN

x

y

b

z

Wf

y

Slika 4-12. Kombinacija krilo-tijelo u valjanju

yVp

Vpyarctg ≈=α∆

Zbog tog kuta na element površine krila, ( )dyycdS = , djeluje elementarna normalna sila

Page 125: Mehanika Leta Zrakoplova

Bočna sila, moment skretanja i moment valjanja 4-19

yVpcdSVdN lα

ρ2

2

= ;

αlc je gradijent profila tog elementa u presjeku y. Ta elementarna sila stvara negativni

elementarni elementarni moment valjanja

dSyVpcVydNdL 2

2

2 δρ

l−=−= .

Ukupni moment valjanja dobivamo integracijom po rasponu od korijenske do vršne tetive.

Korijenska tetiva je na udaljenosti 2fW od osi x, a vršna tetiva je na udaljenosti 2b . Druga

polovica krila stvara isti takav moment jer je slika anti-simetrična, pa je zato ukupni moment

valjanja

∫−=2

2

222

22

2

b

Wpref

f

dSyVpcV

VpbbCSV

δρρ

ll ,

ili kraćenjem istih veličina na lijevoj i desnoj strani jednadžbe, dobivamo

∫−=2

2

22

2 b

Wrefp

f

dSycbS

C αll 4.37

Integral na desnoj strani može se napisati kao razlika dvaju integrala

∫∫∫ −=2

0

22

0

22

2

2 222f

f

Wbb

W

dSycdSycdSyc ααα lll ,

kao što je to prikazano na slici 4-13.

= -

Slika 4-13. Područje kombinacije = područje krila raspona b - područje krila raspona fw

−−= ∫∫

2

0

22

0

22 221 fWb

refp dSycdSyc

bSC αα lll . 4.38

Bezdimenzionalna veličina

Page 126: Mehanika Leta Zrakoplova

Bočna sila, moment skretanja i moment valjanja 4-20

( ) ( )βλαα AAfCdSycbS mWN

b

ref

,,2 2

0

22 =∫ l . 4.39

izračunata je u subsonici pomoću teorije vrtloga a u supersonici pomoću linearne teorije

krila. Detaljno izvođenje je problem teorijske aerodinamike, pa se nećemo na njemu

zadržavati. Funkcija ( )βλ A,A,f m predočena je na slici 4.13 prema [13]. Parametri funkcije

su

mm tanAA Λ=

11 2 −−=⇒< MaAAMa β

11 2 −=⇒> MaAAMa β

-4 -2 0 2 4 6 80.03

0.035

0.04

0.045

0.05

0.055

0.06

0.065

0.07

0.075

Am=0 Am=4

λ=1

λ=0

Am=2Am=4

Am=0

Slika 4-14. ( )βλ A,A,f m

Zamjenom u jednadžbu za gradijent valjanja zrakoplova po kutnoj brzini valjanja dobivamo

( )[ ] ( )[ ] fwmNfbmN

refp AAfCWSAAfCbS

SbC βλβλ αα ,,,,1 22

2 −−=l . 4.40

U vitičastoj zagradi prvo izračunamo produkt fCbS Nα2 za krilo s podtrupnim dijelom

(raspona b), a zatim od njega oduzmemo taj isti produkt za krilo pod trupom (krilo raspona

fW ). Ovaj drugi produkt obično je mali i s obzirom na točnost cijele teorije obično se

zanemaruje. U tom slučaju ako je referentna površina jednaka krilu raspona b onda je

( ) ( ) ( )βλα AAfCC mWNWp ,,=l . 4.41

Page 127: Mehanika Leta Zrakoplova

Bočna sila, moment skretanja i moment valjanja 4-21

4.2.5 Gradijent po kutnoj brzini skretanja

Moment valjanja zbog kutne brzine skretanja stvara krilo i vertikalni rep

( ) ( )VrWrr CCC lll += . 4.42

Utjecaj krila ( )WrCl

Razmotrimo prvo mehanizam stvaranja momenta valjanja na krilo kada postoji kutna brzina

skretanja. Uočimo jedan element krila dS (šrafirana površina na slici 4-15) koji je udaljen od

yr

ryV −∞

y

y

x

desno lijevo

Slika 4-15 Krilo s kutnom brzinom skretanja r

osi letjelice y . Zbog kutne brzine skretanja r, taj element dobiva brzinu yr unatrag, što je isto

kao da on stoji a da se brzina zraka smanji za tu isu veličinu. To znači da svaki element desne

polovice krila ima umanjenu brzinu opstrujavanja ryV −∞ . Suprotno tomu, s lijeve strane isti

takav element imat će povećanu brzinu yrV +∞ . Upotrijebili smo apsolutnu vrijednost kako

ne bismo pogriješili zbog promjene predznaka s desne na lijevu polovicu krila. Element s

desne strane polukrila ima elementarnu normalnu silu

( )lcdSryVdNdesno 2

2−= ∞ρ ,

gdje je lc koeficijent uzgona profila u presjeku y . Ta elementarna normalna sila stvara

elementarni moment valjanja

( ) ycdSryVdLdesno l2

2−= ∞ρ .

Na lijevoj strani, na simetričnom elementu imamo elementarnu normalnu silu

Page 128: Mehanika Leta Zrakoplova

Bočna sila, moment skretanja i moment valjanja 4-22

( )lcdS

yrVdNlijevo 2

2+= ∞ρ

i njen moment

( )ycdS

yrVdLlijevo l2

2+= ∞ρ

.

Elementarni momenti od desnog polukrila su negativni, a od lijevoga su pozitivni. Ukupni

moment valjanja od oba polukrila bit će

( ) ( )∫∫

++

−−=− ∞∞

2

0

22

0

2

22

bb

lijevodesno ycdSyrV

ycdSryVLL ll

ρρ ,

ili

( ) ∫ ⋅=2

0

2

422

b

Wrref ydScryVVrbCbSV

ll

ρρ .

Kraćenjem dobivamo

( ) ∫

=2

0

22

2

1 b

ref

Wr dSycSb

C ll . 4.43

Da bismo procijenili vrijednost ovog integrala, zamijenimo zadano krilo ekvivalentnim

krilom pravokutnog oblika. Neka je tetiva tog krila Ac , raspon Ab i konstantan koeficijent

uzgona profila. Onda je taj integral jednak vrijednosti

AA

b

bccbcbcdSyc lll 61

2231 232

0

2

=

=∫ . 4.44

Za takvo krilo produkt Abc je njegova površina, a pomnožena s koeficijentom uzgona profila

približno je uzgon tog krila, te je konačno

( ) ( )WNWr CC61

=l , 4.45

gdje je NC normalna sila krila s podtrupnim dijelom.

Utjecaj repa ( )VrCl

Zbog kutne brzine r oko osi z tromosti letjelice, vertikalni rep ima brzinu ( )rmcv ll − u

pravcu y osi, ali suprotnog smjera. Tu brzinu vertikalnog repa možemo zamijeniti istom

tolikom brzinom zraka ali suprotnog smjera, a to znači u smjeru os y . U tom slučaju zrak koji

dolazi na vertikalni rep ima dvije brzine, kao na slici 4-16.

Page 129: Mehanika Leta Zrakoplova

Bočna sila, moment skretanja i moment valjanja 4-23

r>0

( )rmcv ll −

vβ∆

x

y

z

zcv

Slika 4-16. Moment valjanja od vertikalnog repa

Aerodinamičku brzinu V i ovu fiktivnu ( )rmcv ll − u pravcu i smjeru osi y. Rezultirajuća

brzina zraka ima negativni dopunski napadni kut na vertikalni rep

( )V

rmcvv

ll −=β∆ ,

zbog koje se pojavljuje pozitivna bočna sila okomita na vertikalni rep

( ) ( )r

VCSV mcv

VNvvll −

αρη

2

2

.

Ta sila ima pozitivan moment oko osi x tromosti letjelice koji čini moment valjanja zbog

kutne brzine skretanja:

( ) ( )cv

mcvVNvvrref z

Vr

CSVVrbbCSV ll

l

−= α

ρηρ22

22

Kraćenjem dobivamo

( )b

zb

CSS

C cvmcvvN

ref

vvr

lll

−= αη . 4.46

Page 130: Mehanika Leta Zrakoplova

Bočna sila, moment skretanja i moment valjanja 4-24

Page 131: Mehanika Leta Zrakoplova

Primjer procjene aerodinamičkih koeficijenata

5-1

5 PRIMJER Kao primjer aerodinamičkog proračuna izvršit ćemo procjenu aerodinamičkih koeficijenata u

slučaju jednog malog putničkog zrakoplova. Dimenzije tog “malog zrakoplova” prikazane su

na slici 5.2. Taj mali zrakoplov ima pojednostavljeni oblik zrakoplova CHEROKEE 180

PIPER (slika 5.1), da bi aerodinamički proračun bio olakšan. Neki podaci o zrakoplovu

PIPER uzeti su iz lit.[14], a neki su dobiveni ljubaznošću tvrtke.

Slika 5-1 CHEROKEE 180 PIPER

5.1 Podaci i geometrija

5.1.1 Krilo (dva polukrila)

Korijenska tetiva mcr 882.1=

Vršna tetiva mct 500.1=

Raspon dva polukrila mbW 600.7=

Strijela prednjeg ruba krila 0=mΛ

Udaljenost krila od ravni elise mW 394.10 =l

Maksimalni uzgon krila 45.1max =LC

profil krila 415652 −NACA

Tetiva krilaca 20% od tetive krila

Page 132: Mehanika Leta Zrakoplova

Primjer procjene aerodinamičkih koeficijenata

5-2

5930

3050

8768

150011

68

545

1362

1394 1882

1486 cA=1698

762

1267

570

6540

1545

5548

370

linija

1/4

tetiv

e

4370

275021

66ln

35°

lm

1009

Slika 5-2. Dimenzije malog zrakoplova

Page 133: Mehanika Leta Zrakoplova

Primjer procjene aerodinamičkih koeficijenata

5-3

Kut strijele napadnog ruba:

088205006007

50018821 ...

..b

cctan LE

v

trLE =⇒=

−=

−= ΛΛ

Kut strijele geometrijskog mjesta točaka 25% tetive krila:

04141 44.10252.0

800.3500.1882.125.00503.0

225.0tantan =Λ⇒=

−−=

−−Λ=Λ

v

trLE b

cc

Kut strijele maksimalne debljine krila:

0580010108003

5001882140050302

...

....b

ccxtantan t

v

trtLEt =⇒=

−−=

−−= ΛΛΛ

Kut strijele osi otklona krilaca

0731030108003

5001882180050302

...

....b

ccxtantan HL

v

trtLEHL −=⇒−=

−−=

−−= ΛΛΛ

Površina dvaju polu krila

28512600072

5001882122

2 m....bccS Wtr

W =⋅+

=+

⋅=

548512

6007 22

..

.Sb

ARW

W ===

Za ishodište u vrhu krila

( ) ( ) m.....tanbx LEWA 0920050307970167970216007

1621

=+⋅+

⋅=+

+= Λ

λλ

( ) ( )m.

..

..

bS

cW

WA 6981

1797079701

60078512

34

11

34

22 =

+−=

+−⋅=

λλ

m...xAWA 4861092039410 =+=+= ll

Za 415652 −NACAprofil lit [1] (str. 628 i 629), daje geometrijske karakteristike

40150.x

.t

t ==

i rezultate mjerenja za 6106 ⋅=Re

00 62

00420

.

.c

L

mind

−=

=

α

0600106.c

.c

mo −==αl

To znači da ovaj profil ima najmanji koeficijent otpora 00420.cd = ako je napadni kut profila

u intervalu od 02− do 04+ . Zato zrakoplov treba u horizontalnom letu imati napadni kut koji

odgovara intervalu u kome je ta minimalna vrijednost koeficijenta otpora profila.

Page 134: Mehanika Leta Zrakoplova

Primjer procjene aerodinamičkih koeficijenata

5-4

Geometrija krilca

374752

20

.y.y

.cc

out

in

==

=lδ

Geometrija zakrilca

20

1722

.cc.b

f

f

=

=

5.1.2 Tijelo

Zadani podaci

2171

171546

m.Sm.Wm.L

max

B

B

=

==

m..Sd max

e 22117122 ===ππ

Da bi izračunali opstrujavanu površinu tijela zrakoplova, prednji i zadnji dio tijela zamijenit

ćemo sa krnjim stošcem, a srednji s cilindrom, kao na slici 6-2.

500. 221. 300.

681. 601. 263.

Slika 5-3

Tako dobivamo procjenu opstrujavane površine 26318867136644 m....S B =++=

5.1.3 Horizontalni rep

Horizontalni rep je 0.304 iznad površine krila:

m.ccm.b

tr

h

7620053==

=

m...hm.

Ahh

h

2834648193059305

00

0

=−=−==

ll

l

Profil horizontalnog repa je NACA 0009. Za taj simetričan profil su prema lit [1], str 454 i

455, geometrijske karakteristike:

Page 135: Mehanika Leta Zrakoplova

Primjer procjene aerodinamičkih koeficijenata

5-5

090.t =

300.xt =

i rezultati mjerenja za 6103 ⋅=Re

096

0520

.c.c mind

=

=

αl

Na horizontalnom repu nalazi se kormilo visine po cijeloj duljini horizontalnog repa:

2.0=ccδ

Korisna površina repa

( ) ( ) 208.2762.0316.0050.3 mcdbS hhh =⋅−=⋅−=

5.1.4 Vertikalni rep

548.5545.0009.1

0 ===

V

t

r

cc

l

035

36212

=

=

LE

V .b

Λ

Suženje vertikalnog repa:

54.0009.1545.0

===r

t

cc

λ

Izložena površina vertikalnog repa je

2058136212

5450009122

m....bccS vtr

v =+

=+

=

Vitkost vertikalnog repa

( ) 50.3058.12

362.12 22

=⋅⋅

==S

AVl

Aerodinamička tetiva vertikalnog repa je

( ) ( ) mdyydyycS

cb

vA 834.0341.0009.1

058.111 362.1

0

22

0

2 =−== ∫∫

Aerodinamička apscisa vertikalnog repa

( ) ( ) mbx LEVAV 429.0700.0540.016540.021724.2tan

1621

=+⋅+

⋅=Λ++

=λλ

Profil vertikalnog repa je isti kao horizontalnog repa. Strijela najveće debljine vertikalnog

repa je

Page 136: Mehanika Leta Zrakoplova

Primjer procjene aerodinamičkih koeficijenata

5-6

00 9303621

5450009130352

..

...tgarctgb

ccxtanarctg

v

trtLEt =

−=

−−= ΛΛ

Strijela srednje crte vertikalnog repa je

00 9.27362.1

545.0009.15.0352

5.0tan =

−=

−−Λ=Λ tgarctg

bccarctg

v

trLEm

5.1.5 Zrakoplov

mmc

b

365.1941.1

768.8

0

0

===

l

mm 72.1=l

Površina krila sa pod trupnim dijelom

20 09.15768.82

500.1941.122

2 mbccS tref =⋅

+=

+⋅=

Za ishodište u vrhu krila

( ) ( ) mbx LEA 106.00503.0773.016773.021768.8tan

1621

=+⋅+

⋅=++

= Λλλ

( ) ( )m

bS

c refA 730.1

1773.0773.01

768.809.15

34

11

34

22 =

+−=

+−⋅=

λλ

Postavit ćemo ishodište u početak aerodinamičke tetive krila sa pod trupnim dijelom. Prema

podacima, to ishodište je udaljeno od vrha letjelice:

mxAA 471.1106.0365.10 =+=+= ll

mh Amm 237.0471.1708.1 =−=−= ll

137.0730.1237.0

===A

mm c

hh

Brzini leta smV 45= .

Vitkost krila s podtrupnim dijelom:

09.509.15

768.8 22

===refS

bAR

Oswaldov koeficijent induciranog otpora je 60.0=e . Njemu odgovara

104.009.560.0

11=

⋅⋅==

ππAReK .

Page 137: Mehanika Leta Zrakoplova

Primjer procjene aerodinamičkih koeficijenata

5-7

5.2 Otpor

5.2.1 Krilo

Koeficijent trenja na ploči ovisi o mjestu tranzicije tl i o Reynoldsovu broju

( )( )

( )80582 191331 .

t.tplocet Reln.

Re.c ll −+=

Reynoldsov broj jest

65 102.5

1046.173.145Re ⋅=

⋅⋅

== −νAVc

Sobzirom da je Reynoldsov broj veći od 610 smatraćemo da je granični sloj na krilu

turbulentan.

( )( )

0033.0102.5ln91.3

58.26=

⋅=

plocefc

Korekcija zbog relativne debljine:

27115010040

150601100601 44 ...

..tx

t.Fm

F =

⋅+

⋅+=

⋅+

⋅+=

Za male vrijednosti Machova broja nije potrebna korekcija za stlačivost ( 1=MaF ). U tom

slučaju je koeficijent otpora profila:

( ) ( ) 0084.00033.02127.12 =⋅⋅⋅==plocefMaFtd cFFc l .

Odnos koeficijent otpora krila prema koeficijentu otpora profila određen je koeficijentom

( ) ( ) 1580 280028040 ≈==

...S .coscosF Λ .

Konačno dobivamo koeficijent otpora krila za referentnu površinu 2115 m.S ref = :

( ) 0071.00.10084.01.15

85.12=⋅⋅=⋅⋅= Sd

ref

WWDf Fc

SSC

5.2.2 Tijelo

Reynoldsov broj određujemo za duljinu tijela:

65 10220

1046154645

⋅=⋅⋅

==−

..

.VRe B

νl

Zbog elise pretpostavljamo da je cijeli granični sloj na tijelu turbulentan, te je koeficijent

trenja

Page 138: Mehanika Leta Zrakoplova

Primjer procjene aerodinamičkih koeficijenata

5-8

( )( )[ ] ( )[ ] 002690

10220

9139135826582 .

.ln.

Reln.c ..plocef =

⋅==

Ekvivalentni promjer kruga površine maksimalnog presjeka tijela je m.d 221= pa je vitkost

tijela 365221546 ...f == . Toj vitkosti odgovara koeficijent korekcije zbog oblika tijela

401400

365365601

400601 33 ..

.f

fFF =++=++=

Ovaj koeficijent oblika odgovara pravilnom rotacijskom tijelu. Kabina se uglavnom uklapa u

oblik, pa treba malo povećati taj koeficijent zbog kabine za 10%, ali zbog oblika poprečnog

presjeka koji nije kružan treba povećati taj koeficijent oblika za 30%.:

002301101401 ....FF =⋅⋅=

Kao i za krilo, i ovdje je koeficijent korekcije zbog stlačivosti 1=MaF . Procjena je

opstrujavane površine tijela zrakoplova (vidi podatke u prilogu) 26318 m,S B =

Kao i za krilo, i za tijelo je 1=BQ , pa je otpor trenja tijela:

( ) ( ) 00660100200270115618 .....FFc

SS

C MaFplocafref

BBDf =⋅⋅⋅⋅==

Čelna površina vjetrobrana je 30.S front = . Vjetrobran je dobro uklopljen u tijelo pa je

070.k = . Dodatni valni otpor zbog vjetrobrana procjenjujemo na

( ) 0014011530070 ....

SS

kCref

frontBV ===

Koeficijent tlaka neposredno iza zrakoplova je

( ) ( ) 13901610132041901390161041901390 22 ......Ma..C p =−+=−+=

Površina baze je 0710430 2

..Sbase ==π pa je koeficijent otpora baze

( ) 00070115

07101390 .,

..SS

CCref

basepbaseD ===

Tako procjenjujemo otpor tijela

( ) ( ) ( ) ( ) 00870000700014000660 ....CCCC BbBVBfBD =++=++=

5.2.3 Horizontalni rep

Profil horizontalnog repa je NACA 0009. Podaci su u prilogu. Reynoldsov je broj na

horizontalnom repu:

Page 139: Mehanika Leta Zrakoplova

Primjer procjene aerodinamičkih koeficijenata

5-9

65 10292

10461762045950

⋅=⋅⋅⋅

==−

,.

..VcRe Ah

νη

Pretpostavljamo da je horizontalni rep u cijelosti u turbulentnoj struji jer je njegov

Reynoldsov broj veći od 610 .

( )( ) ( )[ ] 0038.0

1029.2ln91.3

Reln91.3

58.2658.2 =⋅

==plocefc

Korekcija FF zbog relativne debljine 090.t = na mjestu 300.xt = je

301090100300

090601101100601101 44 ...

...tx

t..Ft

F =

⋅+

⋅+⋅=

⋅+

⋅+⋅=

a korekcija zbog stlačivosti također je 1=MaF , te je koeficijent otpora profila horizontalnog

repa

( ) 0099.0130.10038.022 =⋅⋅⋅== WMaplocefd FFcc

Odnos koeficijenta otpora horizontalnog repa prema koeficijentu otpora profila je

( ) ( ) .10coscos 28.028.0 === tSF Λ

Izložena površina horizontalnog repa je 208.2 mSh = te je komponenta otpora horizontalnog

repa za referentnu površinu 115.S ref =

( ) 0014.010099.01.15

08.2=⋅== Sd

ref

hhDf Fc

SSC

5.2.4 Vertikalni rep

Reynoldsov broj za vertikalni rep je

65 1062

10461834045

⋅=⋅

⋅==

−.

..Vc

Re A

ν

Vertikalni rep nalazi se u vrtložnoj struji elise, pa je njegov granični sloj turbulentan, a

karakteristike profila vertikalnog repa iste su kao za horizontalni rep, pa je koeficijent otpora

profila vertikalnog repa isti kao i koeficijent otpora profila horizontalnog repa:

0099.0=dc

Za vertikalni rep je 930.t =Λ , pa je odnos koeficijenta otpora vertikalnog repa prema

koeficijentu otpora profila vertikalnog repa:

( ) ( ) 96.09.30coscos 28.028.0 === tVF Λ

Page 140: Mehanika Leta Zrakoplova

Primjer procjene aerodinamičkih koeficijenata

5-10

( ) 0007.096.00099.01.15

06.1=⋅⋅=⋅⋅= Vd

ref

VVDf Fc

SSC

5.2.5 Otpor podvoza

Čelna površina jednog kotača je 20600100600 m...S front =⋅= , ali se vidi samo pola čelne

površine, a druga polovica je zaklonjena blatobranom čija je čelna površina približno dva puta

veća. Zato je 20900030020300 m...S front =⋅+= . Čelna površina jedne noge kotača

20150050300 m...S front =⋅== . U letu su tri noge s kotačima. Zato je otpor podvoza:

( ) 00800115

015021115

090025033 ..

...

..SS

kSS

kCref

nogenoge

ref

frontkotačokotačoD =

+⋅=

+=

Od podvoza uzimamo u obzir samo ovaj valni otpor

5.2.6 Otpor zrakoplova

Konačno zbroj parcijalnih otpora daje nulti otpor (bez uzgona) zrakoplova:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0259.00080.00007.00014.00087.00071.0

=++++=

++++= podvpzDVDhDBDWDDO CCCCCC

5.3 Normalna sila i momenta propinjanja

Postavit ćemo ishodište na početak aerodinamičke tetive krila.

5.3.1 Krilo

Za izračun gradijenta krila potrebni su nam koeficijent stlačivosti β i koeficijent iskorištenja

profila. Pri brzini leta smV 45= , Machov broj je

132034045 .

aVMa ===

te je koeficijent stlačivosti

9910132011 22 ..Ma =−=−=β

Gradijent profila NACA 415652 − je 106.c =αl , te je za vitkost krila ..A 54= i strijelu

02 =cΛ gradijent uzgona normalne sile krila

Page 141: Mehanika Leta Zrakoplova

Primjer procjene aerodinamičkih koeficijenata

5-11

( ) 014

991001

106504242

542

1242

2

2

2

22

22.

...

.

tgc

A

ACc

WL =

+

++

⋅=

+

++

π

β

Λπ

π

α

α

l

Za određivanje položaja hvatišta sile ( ) αα WLC trebaju nam parametri

005454991054

800

=⋅=⋅−=⋅−=

=

.tgA...A

.

mΛβ

λ

Prema dijagramu na slici 2-8

240.hc =

Normalna sila kombinacije krilo-tijelo

( ) ( ) ( )[ ]LWWBBWref

WWNWBN ikK

SS

CC 0ααα −+=

Za odnos

1390778221 ...

bd

d e ===

vrijednost koeficijenta interferencije određujemo jednadžbama:

( ) ( ) 321139011390800139031131 .....dddK BW =−⋅⋅−⋅+=−⋅−+= λ

14132113901

139041011

4101 22

...

..Kd

d.k BWWB =

+⋅+

=

+

+=

Kut nultog uzgona profila NACA 415652 − je 00 3−=Lα . S ovim vrijednostima je

ekvivalentni napadni kut krila:

( )

−⋅+⋅=−+=35731413210 .

i..ikK WLWBWBWef αααα

0600141321 .i.. Wef ++= αα

te je konačno koeficijent normalne sile kombinacije krilo-tijelo

( ) ( ) ( )0600141321115

8512014 .i...

..SS

CC Wefref

WWNWBN ++⋅⋅⋅== ααα

( ) 2050893504 .i..C WWBN ++⋅= α

Spreg profila NACA 415652 − je 07000 .cm −= , te je spreg krila sveden na referentnu

površinu

Page 142: Mehanika Leta Zrakoplova

Primjer procjene aerodinamičkih koeficijenata

5-12

( ) ( ) 04102158512

12541540700

200 ...

...

SS

cosAcosA

cCref

W

mW

mWprmWm −=⋅

⋅+⋅

−=⋅+

Λ

Koeficijent momenta propinjanja kombinacije krilo-tijelo za središte mase koje je udaljeno

mh od aerodinamičkog ishodišta bit će:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )mWmCWBWNWmBWm h..i...hhCCC −⋅++−−=−−= 240205089350404100 α

( ) ( ) ( ) mwmmBWm hihhC 205.0090.089.3934.050.408.1 +−−−−−= α

5.3.2 Tijelo

Oblik tijela je takav da možemo zanemariti rezultirajuću normalnu silu, ali moramo uzeti u

obzir spreg od normalne sile prednjeg i zadnjeg dijela, koji procjenjujemo prema jednadžbi

( ) αrefA

fffBm Sc

LWKC

2

= .

Za relativni položaj krila na tijelu

280546

24069813941546

0 ..

....

hcL

cAW

f

CW =⋅+

=+

=ll

s dijagrama na slici 4-18 dobivamo 560.K f = , pa je

( ) αα 19601156981

546171560 2

...

...C Bm =⋅

⋅⋅=

5.3.3 Savijanje struje

Iza kombinacije rila povijanje struje izračunavamo pomoću jednadžbe

( ) 191

41444.

HA cosKKK.dd Λαε

λ=

gdje je

13700951

10951

111

7171 ....AA

K ..A =+

−=+

−=

08617

8003107

310 ..K =⋅−

=−

λ

2104469814861

476209305

440 .....cc AA

hhcwch =

+−+=

+−+=− llll

9470

3842147785701

2

1

33

.

.

...

b

bh

Kcwch

H =−

=−

−=

ll

Page 143: Mehanika Leta Zrakoplova

Primjer procjene aerodinamičkih koeficijenata

5-13

025208003

50018821250050302

25041 ..

....b

cc.tantan

v

trLE =

−⋅−=

−⋅−= ΛΛ

041 441.=Λ

te je

( ) 4310441947008611370444191

0 ..cos....dd .

=⋅⋅⋅⋅=αε

5.3.4 Horizontalni rep

Napadni kut na horizontalnom repu je

efh dd ααεαα −=

( )060.014.132.1431.0 ++−= wh iααα

026.0491.0431.0 −−= wh iαα

Za proračun gradijenta normalne sile po napadnom kutu trebat će nam veličine β :

9910132098011 22 ...Mah =⋅−=−= ηβ

Za profil NACA 0009 za koji je 096.c =αl , m.bh 682= 2042 m.Sh = , 53.Ah = i 02 =cΛ

bit će gradijent koeficijenta normalne

( )( )

603

010906

503242

4932

12

42

22

22

22.

..

.

tgc

A

AC

ch

hhN =

+

++

⋅=

+

++

π

β

Λπ

π

α

α

l

Hvatište komponente ( ) αα hNC normalne sile nalazi se na udaljenosti od aerodinamičkog

središta

m.....c.hh Ahhc 61947620230486193052300 =⋅+−=⋅+=α

720269816194 .

.

.ch

hA

chc ===α

Normalna sila na horizontalnom repu

( ) ( ) ( ) ( )[ ]mhNhBHhBHhNref

hslothhBN CikKC

SS

C δαηη δα ++=

Koeficijenti interferencije za kombinaciju horizontalni rep-tijelo ovisno o odnosu promjera

tijela prema rasponu horizontalnog repa dobivamo iz jednadžbi

1210053370 ...

bd

d e ===

Page 144: Mehanika Leta Zrakoplova

Primjer procjene aerodinamičkih koeficijenata

5-14

( ) ( ) 261121011210001121031131 .....dddK Bh =−⋅⋅−⋅+=−⋅−+= λ

10126112101

121041011

4101 22

...

..Kd

d.k BWWB =

+⋅+

=

+

+=

Gradijent normalne sile na horizontalnom repu zbog otklona kormila visine određujemo

pomoću jednadžbe

( ) ( ) fHLprofh

N

hhN KcosC

cC

SS.C ⋅

⋅= Λδ

α

αδδ l

l

90

U subsonici kad je upravljačka površina po cijelom rasponu noseće površine, onda je 1=hS

Sδ .

Za 20.c

c=δ i 090.

ct= sa slike 2-14 očitavamo ( ) 603.C prof =δl , te je

( ) ffhN K.Kcos.....C ⋅=⋅⋅⋅⋅⋅= 92106030966030190δ

S ovim vrijednostima bit će koeficijent normalne sile kombinacije horizontalni rep - tijelo

( ) ( )[ ] mfhwhBN KiiC δα 92.110.1026.0491.0431.026.160.31.15

04.285.098.0 ++−−⋅⋅=

Sređivanjem dobivamo

( ) mfhwhBN KiiC δα 216.0013.0446.0250.0220.0 +−+−=

Ova sila ima dva dijela. Prvi 013.0446.0250.0220.0 −+− hw iiα od horizontalnog repa bez

otklona kormila visine i drugi mfK. δ2160 od otklona kormila visine. Prvi dio ima hvatište u

napadnoj točki normalne sile horizontalnog repa 7202.hc =α . Drugi dio zbog otklona kormila

visine, koji nazivamo upravljačka sila, ima napadnu točku na udaljenosti δx udaljenost

napadne točke od aerodinamičke apscise horizontalnog repa. Budući da je srednja

aerodinamička apscisa horizontalnog repa jednaka nuli, udaljenost δx je istodobno udaljenost

od napadnog ruba horizontalnog repa. Udaljenost δch napadne točke upravljačke sile od

aerodinamičkog ishodišta zrakoplova bit će zbroj hh0 udaljenosti napadnog ruba

horizontalnog repa od aerodinamičkog ishodišta zrakoplova i δx udaljenost napadne točke

od napadnog ruba horizontalnog repa. Sa slike 3-17 za 20.c

c=δ očitavamo 45.0=

cxδ . Tako

dobivamo hvatište upravljačke sile na udaljenosti od aerodinamičkog ishodišta zrakoplova:

Page 145: Mehanika Leta Zrakoplova

Primjer procjene aerodinamičkih koeficijenata

5-15

819.2698.1

450.0762.0486.1930.50=

⋅+−=

+=

A

hh

c ccxch

δ

Koeficijent moment propinjanja horizontalnog repa za središte mase na udaljenosti mh od

aerodinamičkog središta letjelice ima

( ) ( )( ) ( )mmfmhwhBm hKhiiC −−−−+−−= 819.2216.0720.2013.0446.0250.0220.0 δα .

Sređivanjem dobivamo

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )mhmwm

mfmmhBm

hihih

KhhC

013.0035.0446.0212.1250.0680.0

216.0609.0220.0598.0

−+−−−+

−−−−−= δα

5.3.5 Stacionarni koeficijent normalne sile zrakoplova

( ) ( )hBNWBNN CCC +=

( ) ( )mfhwWN KiiiC δαα 216.0013.0446.0250.0220.0205.089.350.4 +−+−+++=

192.0446.064.3216.072.4 ++++= hwmfN iiKC δα

0 2 4 6 8 10 12 140

0.5

1

1.5

alfa

CL(alfa)

dm=6

dm=-18

Slika 5-4. ( )mLC δα , za slučaj 01=Wi i 01−=hi

Na disketu u direktoriju Aerodinamika nalazi se program pod imenom CLalfa.m u

MATLAB-u koji crta funkciju ( )mLC δα , za slučaj 01=Wi i 01−=hi kao na slici 5-4.

Page 146: Mehanika Leta Zrakoplova

Primjer procjene aerodinamičkih koeficijenata

5-16

5.3.6 Stacionarni koeficijent momenta propinjanja zrakoplova

( ) ( ) ( )hBmBmWBmm CCCC ++=

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )mhmwm

mfmm

mwmmm

hihih

KhhhihhC

013.0035.0446.0212.1250.0680.0

216.0607.0220.0598.0196.0205.0090.089.3934.050.4080.1

−+−−−+

−−−−−

−++−−−−−=

δα

αα

( ) ( )( ) ( ) mhmwm

mfmmm

hihih

KhhC

192.0055.0446.0212.1640.3254.0

216.0607.072.4482.1

+−⋅−−⋅−−

−⋅−−⋅−−= δα

0 2 4 6 8 10 12 14-0.3

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

alfa

Cm(alfa)

dm

-18

-12

-6

0

6

Slika 5-5 Ovisnost momenta propinjanja o napadnom kutu i otklonu kormila visine za slučaj

137.0=mh , te 01=Wi i 01−=hi

Na disketu u direktoriju Aerodinamika nalazi se program koji se zove Cmalfadelta.m u

MATLAB-u koji crta funkciju ( )mmC δα , za slučaj 137.0=mh , 01=Wi i 01−=hi kao na

slici 5-5.

5.3.7 Nestacionarni gradijenti normalne sile i momenta propinjanja

Izračunat ćemo nestacionarne gradijente za slučaj kada je 137.0=mh . Gradijenti po derivaciji

napadnog kuta:

Page 147: Mehanika Leta Zrakoplova

Primjer procjene aerodinamičkih koeficijenata

5-17

( ) ( ) ( ) 52.024.072.2431.060.31.15

08.298.0 −=−⋅⋅⋅⋅−=−∂∂

−= cwchhNref

hVZ hhC

SSC

αεη αα&

( ) ( ) 34.1137.072.252.0 −=−−=−= mchZm hhCC αα &&

Gradijenti po kutnoj brzini propinjanja

( ) ( ) ( ) 26.1137.072.260.31.15

08.298.0 −=−⋅⋅−=−−= mchhNref

hVZq hhC

SSC αη

( ) ( ) 24.3137.072.226.1 −=−−=−= mchZqmq hhCC

5.4 Bočna sila i moment skretanja

5.4.1 Vertikalni rep

Profil vertikalnog repa isti je kao i profil horizontalnog repa te je gradijent normalne sile po

napadnom kutu

( ) 35.3

991.001

09.650.3242

50.32

1242

2

2

2

22

22=

+

++

⋅=

Λ+

++

π

βπ

π

α

α

c

VNtg

cA

AC

l

Za 3.0=ccδ i 090.

ct= sa slike 2-14 očitavamo ( ) 40.4=profC δl , te gradijent normalne sile na

vertikalnom repu zbog otklona kormila pravca određujemo pomoću jednadžbe

( ) ( ) fffHLprofh

N

VVN KKKC

cC

SSC ⋅=⋅⋅⋅=⋅Λ

⋅= 96.14.4

09.635.390.09.0cos9.0 δ

α

αδδ l

l

Parametri za određivanje napadne točke normalne sile na vertikalnom repu su:

47.3991.050.31

85.1530.050.3tan2 =⋅=−=

=⋅=Λ=

MaAA

AA mm

β

54.0=λ

Prema dijagramu na slici 2-12 nalazimo 44.0=cy , a interpolacijom između dijagrama 2-9

(za 1=mA ) i 2-10 (za 2=mA ) dobivamo za 85.1=mA da je 23.0=ch . Napadna točka

normalne sile na vertikalnom repu ima koordinate

mybrz cV

Vc 782.044.0362.1183.02

=⋅+=+=

mhcx CAAVcV 17.6834.023.0429.0548.50 =⋅++=++= ll

Napadna točka normalne sile od otklona kormila pravca nalazi se na udaljenosti od vrha

Page 148: Mehanika Leta Zrakoplova

Primjer procjene aerodinamičkih koeficijenata

5-18

mcxcx AVAVVV 34.643.0834.0429.0548.50 =⋅++=++= δ

δ ll

Za 30.0=ccδ te je prema dijagramu na slici 3-17 43.0=

cxδ

Za 118.01545

13621545=

−=Vd , koeficijent interferencije tijelo - vertikalni rep iznosi

( ) ( ) 30.1118.0154.0118.031131 =−−⋅+=−−+= dddKVB λ

5.4.2 Skretanje struje

Gubici zbog savijanja struje u ravnini kuta klizanja zanemarivi su jer je krilo nisko

postavljeno

1≈∂β∂β

η VV

5.4.3 Bočna sila zrakoplova

nnYYrYpYY CrCpCCC δδβ β +++= ∗∗

Gradijent vertikalnog repa po kutu klizanja

( ) 317.030.135.31.15

058.11 −=⋅⋅−=∂∂

−= VBNref

vvvY KC

SSC αβ β

βη

a gradijent po otklonu kormila pravca

( ) fVfVVNref

VVY KKC

SSC

n⋅=⋅== 137.096.1

1.15058.11δδ η

0283.077.8782.0317.0 −=⋅−==

bz

CC cvYYp β

( ) 119.077.8

719.1169.635.31.15

058.11 =−

=−

=b

CSSC mcv

vNref

vVYr

llαη

Konačno je

nfVY KrpC δβ ⋅++−−= ∗∗ 137.0119.00283.0317.0

5.4.4 Moment skretanja zrakoplova

nnnnrnpnn nCCrCpCCC δδβ δδβ ++++= ∗∗

ll

Gradijent letjelice po kutu klizanja je zbroj

( ) ( ) ( )BnVnWnn CCCC ββββ ++=

Gradijent krila po kutu klizanja

Page 149: Mehanika Leta Zrakoplova

Primjer procjene aerodinamičkih koeficijenata

5-19

( ) ( ) ( )

0037.0

726.1802.100008.0013.041

1.5473.0

41 2

21

2

=

−⋅−+=

−⋅−−=

ππβ mcwL

Wn BBA

CC ll

( ) ( )

( )( )

( )( )

00008.044.1cos41.544.1cos1.5

44.1sin6cos4cos

sin6

013.0

44.1cos81.5

21.544.1cos

44.1cos41.544.1tan

cos82cos

cos4

00

20

4141

241

2

0

20

0

0

41

2

4141

411

=+⋅

⋅=

Λ+Λ

Λ=

−=

−−

+=

Λ−−Λ

Λ+

Λ=

AAB

AAA

tgB

Gradijent tijela po kutu klizanja:

( ) 0110.017.177.81.15

27.103.13.13.1 −=⋅⋅

⋅−=−=

B

B

ref

Bfn W

DbS

VC β

Gradijent vertikalnog repa po kutu klizanja:

( ) 161.077.8

719.1169.6317.0 =−

−−=−

−=b

CC mcvYn

llββ

Gradijent letjelice po kutu klizanja:

( ) ( ) ( ) 154.00110.0161.00037.0 =−+=++=BnVnWnn CCCC ββββ

Gradijent po kutnoj brzini valjanja

0143.077.8

719.1169.60283.0 =−

=−

−=b

CC mcvYpnp

ll

Gradijent po kutnoj brzini skretanja:

0604.077.8

719.1169.6119.0 −=−

−=−

−=b

CC mcvYrnr

ll

Za parametre krila 80.0=λ , 5.4991.05.4 −=⋅−=βA i 005.4 =⋅=Λ⋅ mtgA , udaljenost

napadne točke polovine krila od korijenske tetive 439.0=cWy , te je udaljenost od osi

zrakoplova:

mybWy cW

WBc 252.2439.0

2600.7

2168.1

22=+=+=

Udaljenost sredine raspona krilca od osi letjelice, prema slici 5-2, iznosi:

myyy outin 56.32

37.475.22

=+

=+

=l

S ovim vrijednosti bit će gradijent koeficijenta momenta skretanja po otklonu krilaca:

0344.0560.3252.2552.0473.0104.022 −=⋅⋅⋅⋅−=−=

l

l ll yyCCKC C

Ln δδ

Gradijent po otklonu kormila pravca

Page 150: Mehanika Leta Zrakoplova

Primjer procjene aerodinamičkih koeficijenata

5-20

fVfVmV

Yn KKb

CCnn

⋅−=−

⋅−=−

−= 0721.077.8

719.1336.6137.0ll δδδ

Konačno moment skretanja zrakoplova je

nn rpC δδβ 0721.00344.00604.00143.0154.0 −−−+= ∗∗l

5.5 Moment valjanja

nrp nCCrCpCCC δδβ δδβ lllllll l

++++= ∗∗

Gradijent letjelice po kutu klizanja zbroj je gradijenta koji nastaju na krilu i na vertikalnom

repu

( ) ( )VW

CCC βββ lll +=

a gradijent koji nastaje na krilu je zbroj triju efekata

( ) ( ) ( ) ( )WWzWLCWW

zCCCCCL ββνββ ν llll ++=

Ta tri efekta su:

( ) 1147.03.575.7

77.8252.201.4

1.1585.12

−=⋅−=⋅−= νν ανβ byC

SSC c

wNref

wl

0026.0473.077.8252.244.1sin

1.1585.12sin 0

41 −=⋅⋅=⋅−= Lc

ref

wLC C

by

SSCC

LΛβl

( ) 0459.077.8570.0

77.8168.1267.15.42.12.1 =

+=

+= W

ffWW z

bWD

AzC βl

te je gradijent po kutu klizanja nastao na krilu

( ) 105.00459.00026.01147.0 −=+−−=W

C βl

a gradijent po kutu klizanja nastao na vertikalnom repu

( ) ( ) 0209.077.8782.035.3

1.15058.11 −=⋅−=

′−=

bz

CSSC CV

VNref

VVVV αβ ∂β∂βηl

Konačno gradijent letjelice po kutu klizanje je zbroj tih dvaju gradijenta

0336.00209.00127.0 −=−−=βlC

Gradijent letjelice po kutnoj brzini valjanja je praktično jednak gradijentu krila po kutnoj

brzini valjanja

( ) ( )[ ] ( )[ ] fwmNbmN

refWpp AAfCbSAAfCbS

SbCC βλβλ αα ,,,,1 22

2 −−=≈ ll

Za krilo s dijelom pod trupom:

Page 151: Mehanika Leta Zrakoplova

Primjer procjene aerodinamičkih koeficijenata

5-21

77.0941.1500.1

0

===cctλ

05.5991.010.5 −=⋅−=βA

0010.5 =⋅=Λ⋅ mtgA

Svi drugi parametri krila su isti kao za polukrila

( ) 20.4

991.001

10.610.5242

10.52

1242

2

2

2

22

22=

+

++

⋅=

Λ+

++

π

βπ

π

α

α

c

WLtg

cA

AC

l

( ) ( ) 046.00.5,0,77.0,, =−= fAAf m βλ

( ) 224046.020.477.81.15,, 22 =⋅⋅=βλα AAfCbS mN

Za krilo pod trupom je:

( ) ( )

970.0941.1882.1

305.047.4

168.1

465.4168.1882.1941.1

0

22

20

===

===

=+=+=

cc

SW

AR

mWccS

r

f

fr

λ

( ) 476.0

991.001

10.6305.0242

305.02

1242

2

2

2

22

22=

+

++

⋅=

Λ+

++

π

βπ

π

α

α

c

WLtg

cA

AC

l

( ) ( ) 031.030.0,0,97.0,, =−= fAAf m βλ

( ) 091.0031.048.0168.147.4,, 22 =⋅⋅⋅=βλα AAfCbS mN

Vidimo da je utjecaj dijela pod trupom zanemariv u odnosu na utjecaj cijelog krila (0.091

prema 224).

( ) 193.0046.020.4,, −=⋅−=−= βλα AAfCC mNpl

Gradijent po kutnoj brzini skretanja:

( ) ( ) ( )b

zC

CCCC cv

YrWN

VrWrr +=+=6lll

Kako je ( ) 2050893504 .i..C WWBN ++⋅= α , za postavni kut krila 0175.010 ==Wi , bit će

( ) 273.050.4 +⋅= αWBNC

te je gradijent koeficijenta valjanja po kutnoj brzini skretanja:

77.8782.0119.0

6273.05.4

++

rCl

Page 152: Mehanika Leta Zrakoplova

Primjer procjene aerodinamičkih koeficijenata

5-22

056.075.0 += αrCl

Za zadani profil krila

( ) 75.315.0,2.0, ==

= f

ct

ccfC δ

δl

Uz ovoj gradijent profila bit će gradijent letjelice po otklonu krilaca

( ) 517.075.377.856.3

1.1513.588.2cos2cos 0 =⋅⋅=Λ= ffprof

e

ref

eHL KKC

by

SSC δδ ll l

Gradijent po otklonu kormila pravca:

fnfnCV

Y KKb

zCC

nn⋅=⋅== 0122.0

77.8782.0137.0δδl

Konačno moment valjanja letjelice:

( ) nrpC δδαβ 0122.0517.0056.075.0193.0105.0 ++++−−= ∗∗ll

Page 153: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamika letjelica 6-1

6 DINAMIKA LETJELICA

6.1 Relativno gibanje

6.1.1 Kinematika relativnog gibanja

Brojni su primjeri složenih gibanja. Kao primjer složenog gibanja točke promatrajmo gibanje

muhe u zrakoplovu (jer muhu možemo zamisliti kao materijalnu točku). To gibanje muhe u

zrakoplovu nazivamo relativno gibanje, gibanje zrakoplova nazivamo prijenosno gibanje, a

gibanje muhe u odnosu na Zemlju nazivamo apsolutno gibanje. Koordinatni sustav koji je

vezan za Zemlju nazivamo apsolutni koordinatni sustav (u daljnjem tekstu obilježit ćemo ga

sa A, što podsjeća na apsolutni, a koordinatni sustav koji je vezan za letjelicu nazivamo

relativni koordinatni sustav, obilježit ćemo ga sa B što podsjeća na englesku riječ "body".

Ishodište relativnog koordinatnog sustava obilježit ćemo slovom "O".

Položaj točke "O" u apsolutnom koordinatnom sustavu A određen je vektorom položaja rr0 (od ishodišta apsolutnog koordinatnog sustava do ishodišta "O" relativnog koordinatnog

sustava). Projekcije toga vektora na osi apsolutnog koordinatnog sustava A funkcije su

vremena. U primjeru koji smo naveli točka "O" je neka točka letjelice, a projekcije vektora rr0

na osi apsolutnog koordinatnog sustava su koordinate položaja letjelice. Označimo sa Or

matricu od jedne kolone koju čine tri projekcije na osi apsolutnog koordinatnog sustava toga

vektora. Derivacije po vremenu ovih koordinata su komponente apsolutne brzine točke "O"

letjelice r

V0 , ili

V r0 0= & , 6.1

a derivacije projekcija apsolutne brzine na osi apsolutnog koordinatnog sustava su

komponente apsolutnog ubrzanja točke "O" letjelice, ra0 , ili

a V r0 0 0= =& && . 6.2

Relativni koordinatni sustav B giba se u prostoru u odnosu na apsolutni koordinatni

sustav A. To gibanje je zbroj translacije, koja je određena brzinom ishodišta relativnog

koordinatnog sustava r

V0 , i rotacije koordinatnog sustava oko ishodišta "O". Kutnu brzinu te

rotacije označavamo sa rΩ . Drugim riječima,

rΩ je kutna brzina relativnog koordinatnog

sustava B u odnosu na apsolutni koordinatni sustav A. U našem primjeru to je kutna brzina

zrakoplova. (slika 6-1)

Page 154: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamika letjelica 6-2

ρr

Slika 6-1. Apsolutni i relativni koordinatni sustavi

Položaj neke točke "M" u relativnom koordinatnom sustavu određen je relativnim vektorom

položaja rρ od ishodišta relativnog koordinatnog sustava "O" do promatrane točke "M".

Projekcije tog vektorarρ na osi relativnog koordinatnog sustava su relativne koordinate

položaja točke "M". Označimo sa ρ matricu od jednog stupca koju čine tri projekcije na osi

relativnog koordinatnog sustava. Derivacije tih koordinata po vremenu su komponente

relativne brzine točke "M" koju označavamo sa r

Vr . U tom slučaju bit će

Vr = &ρ . 6.3

Derivacije projekcija relativne brzine na osi relativnog koordinatnog sustava su komponente

relativnog ubrzanja ra r te je

a Vr r= =& &&ρ . 6.4

Vektor položaja točke "M" u apsolutnom koordinatnom sustavu A neka bude rr . On je

zbroj dvaju vektora: vektora položaja letjelice rr0 i relativnog vektora položaja rρ tj.

r r L= +0 AB ρ . 6.5

Sa LAB označili smo matricu transformacije u apsolutni koordinatni sustav A iz relativnog

koordinatnog sustava B. Deriviranjem po vremenu ove jednadžbe dobivamo:

ddt A B AB AB rr V L L V= − +0

~/ω ρ 6.6

Page 155: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamika letjelica 6-3

Prema pravilu o derivaciji matrice transformacije, trebamo LAB pomnožiti ispred sa

kososimetričnom matricom (od komponenata u koordinatnom sustavu A) kutne brzine

koordinatnog sustava A u odnosu na sustav B. Kako je rΩ kutna brzina koordinatnog sustava

B u odnosu na A, onda je kutna brzina B u odnosu na A

~ ~/ /ω A B B A= −Ω . 6.7

Derivacija po vremenu apsolutnog vektora položaja rr točke "M" je apsolutna brzina.

Isto kao što projekcije vektora rr čine matricu r tako i derivacije te matrice čine matricu

projekcija apsolutne brzine V na koordinatne osi sustava A. Tako je konačno

V V L L V= + +0~

/Ω B AA

AB AB rρ . 6.8

Derivirajmo još jedanput po vremenu ovu jednadžbu

( )a a L L L V L V L a= +

+ + + +0ddt B A

AAB B A

AB AA

AB AB r B AA

AB r AB r~ ~ ~ ~

/ / / /Ω Ω Ω Ωρ ρ . 6.9

Kutno ubrzanje rε derivacija je vektora kutne brzine

rΩB A/ . Ako su projekcije kutne brzine u

apsolutnom koordinatnom sustavu ΩB AA/ , onda njihovim deriviranjem po vremenu dobivamo

projekcije (u istom kutnom sustavu) kutnog ubrzanja

ε A B AA

t=

ddΩ / , 6.10

te je

a a V aA A A AB AA

B AA A

B AA

rA

rA= + + + +0 2~ ~ ~ ~

/ / /ε ρ ρΩ Ω Ω . 6.11

Primjenom pravila o transformaciji produkta kososimetrične matrice i matrice od jednog

stupca, prethodnu jednadžbu možemo napisati i u koordinatnom sustavu B. Množenjem te

jednadžbe s matricom transformacije LBA , dobivamo

a a V aB Br r= + + + +0 2~ ~ ~ ~

ε ρ ρΩΩ Ω . 6.12

Matrice ρ ε, , ,V ar r Ω i sastavljene su, prema definiciji, od projekcija ovih vektora na osi

koordinatnog sustava B, te nema potrebe da to naznačimo, a matrice a i Oa sastavljene su od

projekcija na osi koordinatnog sustava A, pa je zato potrebno naznačiti da ih treba

transformirati u koordinatni sustav B.

Uočimo onu točku "P" relativnog prostora koja je fiksna u relativnom prostoru, ali se u

promatranom trenutku poklapa s točkom "M". Drugim riječima, pokretna točka "M" nalazi se

u trenutku "t" u točki "P" relativnog prostora. U primjeru koji smo uzeli to je točka

zrakoplova u kojoj se nalazi muha. U drugom trenutku bit će to druga točka zrakoplova P', jer

će se točka "M" u međuvremenu pomaknuti iz položaja P u položaj P'. Ako tražimo ubrzanje

Page 156: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamika letjelica 6-4

te točke P, onda imajući na umu da je ona nepokretna u relativnom koordinatnom sustavu

slijedi da ona nema ni relativnu brzinu Vr ni relativno ubrzanje ar te je njeno apsolutno

ubrzanje

ρρε ΩΩ ~~~ ++= BO

BP aa . 6.13

Iz toga vidimo da zbroj prva tri člana na desnoj strani jednadžbe predstavlja ubrzanje točke P.

To ubrzanje nazivamo prijenosno ubrzanje i označavamo ga sa Pa . Međutim, apsolutno

ubrzanje nije jednako zbroju prijenosnog ubrzanja i relativnog, jer u jednadžbi imamo još

jedno dopunsko ubrzanje koje nazivamo Coriolisovo ubrzanje

rBK Va Ω~2= . 6.14

Na osnovi definicija o prijenosnom i Coriolisovu ubrzanju konačno možemo zaključiti da je

apsolutno ubrzanje jednako zbroju prijenosnog, Coriolisovog i relativnog ubrzanja.

a a a a= + +P K r , 6.15

ali sve komponente, pa i rezultanta trebaju biti u koordinatnom sustavu A ili u koordinatnom

sustavu B.

6.1.2 Inercijske sile

Newtonov zakon da je vektor ubrzanja središta mase pomnožen skalarom koji predstavlja

masu jednak rezultanti vanjskih sila koje djeluju na tijelo, može se primjenjivati samo u

apsolutnom (ili inercijskom) koordinatnom sustavu. Međutim, let je relativno gibanje, jer je to

gibanje u odnosu na neki koordinatni sustav vezan za Zemlju, a kako se Zemlja okreće, svi

koordinatni sustavi koji su vezani za Zemlju jesu relativni koordinatni sustavi. Postavlja se

pitanje čemu je jednak produkt vektora relativnog ubrzanja ra r s masom. Iz gornje jednadžbe

imamo

KPr mmmm aaaa −−= .

Na desnoj strani produkt ma jednak je projekcijama rezultate vanjskih sila R na osi istog

koordinatnog sustava, te je

m m mr P Ka R a a= − − . 6.16

Iz ove jednadžbe vidimo da je umnožak vektora relativnog ubrzanja s masom također jednak

rezultanti vanjskih sila, ali uvećanoj za još dva vektora koje zovemo inercijske sile, i to:

prijenosna inercijska sila F aP Pm= − ,

Coriolisova inercijska sila F aK Km= − .

Page 157: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamika letjelica 6-5

Prijenosna inercijska sila je umnožak mase s prijenosnim ubrzanjem obrnutog smjera, a

Coriolisova inercijska sila je umnožak mase s Coriolisovim ubrzanjem obrnutog smjera. U

relativnom prostoru te inercijske sile i stvarne sile zbrajaju se u rezultatu, koja je jednaka

umnošku relativnog ubrzanja i mase:

m r P Ka R F F= + + . 6.17

Znači možemo i u relativnom koordinatnom sustavu primjenjivati Newtonov zakon , ali onda

moramo stvarnim vanjskim silama dodati i dvije inercijske sile: prijenosnu i Coriolisovu.

Uočimo činjenicu da zbog toga neko tijelo u relativnom koordinatnom sustavu može imati

neko ubrzanje i ako nema vanjskih sila koje djeluju na to tijelo, jer to ubrzanje mogu izazvati

inercijske sile.

6.1.3 Akcelerometri

Ubrzanja se mjere akcelrometrom. Jednostavan akcelerometar je cjevčica u kojoj se može

gibati masa m . Os te cjevčice određuje os akcelerometra. Princip rada akcelerometra je

održavanje ravnoteže male mase nekom silom F koju možemo registrirati. Jednostavan

primjer održavanja mase "m" u ravnoteži je opruga čija se sila deformacije F uravnotežuje s

inercijskom silom. Veličina deformacije određuje silu F, a kako ta sila uravnotežuje inercijsku

silu i silu Zemljišne teže, određujemo kolika je inercijska sila. Da bismo odredili točno

inercijsku silu, pogledajmo jednadžbu relativnog gibanja male mase m u cjevčici. Na nju

djeluju:

- sila F mjernog elementa (npr. duž osi cjevčice),

- sila Zemljišne teže mg,

- reakcija oslonca N, normalna na površinu na kojoj se oslanja mala masa m. Ta sila N

okomita je na stijenke cjevčice, a to znači da je N okomito na os akcelerometra,

- sila trenja R djeluje u pravcu relativne brzine ali je suprotnog smjera,

- inercijske sile: prijenosna -maP i Coriolisova -maK .

Prijenosno ubrzanje aP je ubrzanje one točke letjelice u kojoj se u tom trenutku nalazi središte

mase "m". Jednadžba relativnog gibanja male mase m u akcelerometru je:

m m m mr P Ka F g N R a a= + + + + − + −( ) ( )

Kada se uspostavi ravnoteža male mase m u akcelerometru, nema sile trenja R, jer nema

relativnog gibanja, nema Coriolisove inercijske sile jer nema relativne brzine, a relativno

ubrzanje je nula jer mala masa m miruje u relativnom prostoru. Tako, jednadžba relativnog

gibanja male mase m postane jednadžba relativne ravnoteže:

Page 158: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamika letjelica 6-6

( )0 = + + + −F g N am m P

Postavimo relativni koordinatni sustav tako da je os akcelerometra os x koordinatnog sustava

letjelice. Tada je

0 = + −F mg max x Px

ili

aFm

gPxx

x= + . 6.18

Na neki način registriramo silu F, malu masu m znamo, te nam je prvi član na desnoj strani

poznat, ali drugi moramo odrediti na neki drugi način: drugim mjerenjem ili računom. To

znači da akcelerometrom mjerimo projekciju ubrzanja letjelice na os akcelerometra umanjenu

za projekciju ubrzanja sile Zemljišne teže. Da bismo dobili kompletnu projekciju ubrzanja

točke letjelice, moramo mjerenju dodati projekciju ubrzanja sile Zemljišne teže na os

akcelerometra. U izuzetnom slučaju ako je os akcelerometra horizontalna, ovaj dodatak je

jednak nuli, te nam je mjerenje jednako projekciji ubrzanja točke letjelice na os

akcelerometra.

6.2 Temeljni zakoni gibanja letjelica konstantne mase

6.2.1 Gibanja središta mase

Kruto tijelo smatramo limesom sustava materijalnih točaka kada njihov broj teži

beskonačnosti, a masa se svake materijalne točke infinitezimalno smanjuje. Zato ćemo

primjenjivati diferencijalni i integralni račun. Masa jedne materijalne točke ili čestice tijela bit

će "dm", a njen vektor položaja (od ishodišta koordinatnog sustava) bit će rr , njena brzina je rV i njeno ubrzanje je ra . Položaj , brzina i ubrzanje te čestice "dm" definirani su u odnosu na

koordinatni sustav, koji a priori ne mora biti apsolutni.

Kada kažemo "kruto tijelo" to znači da su čestice tijela u međusobnom konstantnom

odnosu, pri čemu tijelo ne mora biti homogeno. Ako su čestice u stalnom međusobnom

odnosu, slijedi da su unutrašnje sile djelovanja između čestica u ravnoteži. Drugim riječima,

sila kojom djeluje jedna čestica na sve ostale čestice jednaka je sili kojom djeluju te čestice na

tu jednu česticu. Kada promatramo jednu česticu, onda moramo uzeti u obzir rezultantu

djelovanja svih drugih čestica na tu jednu (dFu) , ali kada promatramo sve čestice zajedno, tj.

kada tu jednu česticu pridružimo svim ostalim onda se njeno djelovanje na sve druge i

djelovanje drugih na nju poništavaju te je ukupna unutrašnja sila jednaka nuli.

Page 159: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamika letjelica 6-7

Za takvo tijelo definira se "središte mase" prema jednadžbi

∫=m

c mm

d1 rr . 6.19

Deriviranjem po vremenu dobivamo brzinu i ubrzanje središta mase

=

=

mc

mc

mm

mm

d1

d1

aa

VV 6.20

To znači da je derivacija količine gibanja tijela konstatne mase određena jednadžbom

cmmm

mdmdmdtddm

dtd

dtd aaVVQ

==== ∫∫∫ 6.21

Brzina i ubrzanje bit će apsolutni ako su članovi matrice r projekcije vektora na osi

apsolutnog koordinatnog sustava. Ako su to projekcije na relativni koordinatni sustav ρ , onda

su i brzina i ubrzanje relativne veličine, i to u odnosu na taj isti relativni koordinatni sustav.

Zasad nećemo ničim uvjetovati ni položaj ishodišta ni gibanje toga koordinatnog sustava u

odnosu na koji promatramo gibanje tijela .

Želimo izvesti jednadžbu relativnog gibanja krutog tijela. Kako smo rekli da kruto tijelo

promatramo kao skup njegovih čestica, prvo ćemo promatrati jednu česticu. Na svaku česticu

djeluje privlačna sila Zemlje a γ dm , a na čestice vanjske površine djeluje i vanjska sila dR

(sila tlaka zraka i trenja zraka na element vanjske površine). Djelovanje svih drugih čestica

tijela na promatranu česticu bit će elementarna unutrašnja sila uFd . Osim ovih stvarnih sila,

moraju se dodati i inercijske sile zato što su članovi matrice r vektora položaja elementarne

čestice, projekcije na osi relativnog koordinatnog sustava, jer je koordinatni sustav u odnosu

na koji promatramo gibanje tijela relativni koordinatni sustav, a to gibanje tijela je relativno

gibanje. Inercijske sile na elementarnu česticu su

prijenosna mPP dd aF −= ,

Coriolisova mKK dd aF −= .

Tako je jednadžba gibanja elementarne čestice tijela u relativnom koordinatnom sustavu

mmm rKPur ddddddd VFFFaRa &=++++= γ

Prijenosno ubrzanje bit će definirano prijenosnim gibanjem koordinatnog sustava koje je

zadato. Zbrojimo jednadžbe gibanja svih elementarnih čestica letjelice i pređimo na limes.

Dobit ćemo

Page 160: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamika letjelica 6-8

a R a F Fr P Kmmm

m md d d= + + + ∫∫∫ γ

Unutrašnje sile su u ravnoteži i d um

F∫ = 0 , kao što smo to objasnili, pa je ubrzanje središta

mase:

m mcr P Kmm

a R a F F= + + + ∫∫γ d d

Označimo sa "O" ishodište koordinatnog sustava, a matrice brzine i ubrzanja ishodišta sa 0V i

0a , te neka je matrica kutne brzine relativnog koordinatnog sustava Ω 0 , onda je rezultanta

Coriolisovih sila

d d d dF a V V V aKm

Km

r rmm

cr cKm m m m m∫ ∫ ∫∫= − = − = − = − = −2 2 20 0 0~ ~ ~Ω Ω Ω ,

jer je kutna brzina relativnog koordinatnog sustava ista u svakoj točki tijela. Ova jednadžba

pokazuje da je rezultirajuća Coriolisova sila jednaka Coriolisovoj sili ako bi sva masa bila

koncentrirana u središtu mase. Slično tome bit će i rezultirajuća prijenosna inercijska sila:

( ) ( ) mmmm cpcKcrcKrpm

p aaaaaaaaF −=−−−=−−−=−= ∫ ∫∫ ddd

To znači da je zbroj inercijskih prijenosnih sila jednak inercijskoj prijenosnoj sili kao kada bi

cijela masa tijela bila koncentrirana u središtu mase tijela.

Uvrstimo li ove rezultate za rezultirajuću inercijsku prijenosnu i Coriolisovu silu u

jednadžbu za relativno ubrzanje središta mase dobivamo najvažniju jednadžbu gibanja

letjelica:

( ) ( )a R a a acr cp cKm m m m= + + − + −γ 6.22

Ova jednadžba nam određuje gibanje središta mase letjelice. Vanjske sile koje čine rezultantu

R moraju biti poznate (aerodinamička sila) kao i gibanje relativnog koordinatnog sustava

kako bismo mogli odrediti inercijsku i Coriolisovu silu. Za to nam je potrebno prijenosno

ubrzanje acp središta mase i kutna brzina Ω0 . Ako promatramo gibanje letjelice u odnosu na

Zemlju, onda je prijenosna inercijska sila − a cp m centrifugalna sila uslijed rotacije Zemlje.

Zbroj privlačne sile Zemlje i inercijske prijenosne sile nazivamo sila Zemljišne teže:

mmm cpaag −= γ 6.23

te je derivacija brzine leta u koordinatnom sustavu vezanom za Zemlju (npr. lokalnom

koordinatnom sustavu):

Page 161: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamika letjelica 6-9

( )&VR

g aKL

LL

CKL

m= + + − ,

jer je brzina leta relativna brzina. Ako su komponente brzine u koordinatnom sustavu

letjelice, onda obično ovu jednadžbu gibanja prenosimo u koordinatni sustav letjelice

množenjem sa matricom transformacije FLL

( ) ( )CKLFFL magRVLL K −++=

dtd ,

jer se u koordinatnom sustavu letjelice ne mora označavati u kojemu su koordinatnom sustavu

komponente. Coriolisovo ubrzanje u ovoj jednadžbi je 2~Ω E KV . Derivacija matrice L LF je

− =~ ~ω L F

L LL LLF LFΩ ,

jer je − =ω L F Ω . Uvrštavanjem u gornju jednadžbu dobivamo

( ) ( )L L V L VR

g aFL LF K LK~ &Ω L

K CKm+ = + + − ,

odakle je konačno

( )~ &Ω V VR

g aK K+ = + + −m CK . 6.24

6.2.2 Gibanje oko središta mase

Drugu temeljnu jednadžbu mehanike letjelica dobit ćemo polazeći od jednadžbe apsolutnog

gibanja (dok smo prvu dobili polazeći od relativne jednadžbe gibanja). Vektorsku jednadžbu

apsolutnog gibanja čestice dm projektirat ćemo na relativni koordinatni sustav te dobiti

a R F gd d d dm mu= + + .

Usvojiti ćemo relativni koordinatni sustav vezan za letjelicu. Osi toga relativnog koordinatnog

sustava imaju istu kutnu brzinu kao i letjelica rΩ . Komponente kutne brzine Ω

r duž osi toga

istog koordinatnog sustava čine matricu od jednog stupca Ω . Pomnožimo ovu jednadžbu

vektorski s vektorom relativnog položajarρ . Dobivamo

~ ~ρ ρa M M gd d d dm mu= + +0

vektorski produkt ~ρdR , tj. moment vanjskih sila koje djeluju na česticu dm , predstavlja

elementarni moment vanjskih sila 0Md , a produkt ~ρdFu predstavlja elementarni moment

unutrašnjih sila koji smo označili sa udM . Dobivenu jednadžbu ne možemo u praksi koristiti

jer su nam nepoznate unutrašnje sile i njihovi momenti. Zato ćemo i ovu jednadžbu integrirati,

kao što smo to uradili s jednadžbom za gibanje središta mase, jer će tom prilikom nestati

momenti unutrašnjih sila. Budući da ishodište nije a priori postavljeno u središtu mase,

Page 162: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamika letjelica 6-10

koordinate središta mase ρc nisu jednake nuli te ćemo imati moment sile Zemljišne teže za

ishodište, ali ako je ishodište u središtu mase, taj moment sile Zemljišne teže za ishodište

jednak je nuli. Rezultirajući moment vanjskih sila moramo uzeti za točku letjelice u kojoj smo

postavili ishodište relativnog koordinatnog sustava, a moment unutrašnjih sila bez obzira na

to je li ishodište postavljeno u središtu mase ili nije, bit će

d um

M∫ = 0 .

Tako dobivamo ~ ~ mρ ρa M gdm C

m

= +∫ 0 ;

0M su komponente momenta vanjskih sila za točku letjelice u kojoj smo postavili ishodište

relativnog koordinatnog sustava, duž osi relativnog koordinatnog sustava.

M R0 = ∫ ~ρdm

U tom relativnom koordinatnom sustavu promatramo i komponente vektora položaja (matrica

ρ ). Razmotrimo pobliže integral ~ρadmm∫ . Da bismo odredili taj integral, pođimo od

vektorske definicije kinetičkog momenta: r r rH V m

m0 = ×∫ ρ d

Deriviranjem dobivamo:

dd

dd

dt

Ht

V mm

r r r0 = ×∫ ρ

Projekcije relativnog vektora ne ovise o vremenu već o položaju elementarne mase. Međutim,

ortovi relativnog koordinatnog sustava imaju kutnu brzinu te je njihova derivacija vektorski

produkt te kutne brzine i ortova. Tako je derivacija vektora:

ρ×Ω=ρ rrr

dtd

Zato je derivacija integrala:

( )[ ] maVmaVdtdmV

t mmm

ddddd

∫∫∫ ×+××=

×+×=×

rrrrrrrrrrrρρρρρ Ω

( ) ( )[ ] maVmVt mm

dddd

0∫∫ ×+×+××=×rrrrrrrrr

ρρρρ ΩΩ

Page 163: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamika letjelica 6-11

( ) ∫∫∫∫ ×+××=×+×

×=×

mC

mmm

mamVmaVmmVt

dddddd

00rrrrrrrrrrrr

ρρρρρ ΩΩ

Ako je ishodište u središtu mase ( )CO ≡ , onda je vρC = 0 , pa je prvi član na desnoj strani

jednadžbe jednak nuli. To znači da je derivacija kinetičkog moment za središte mase:

dd

dt

H a mCm

r r r= ×∫ ρ ,

kao u slučaju kad se tijelo giba oko nepomične točke (sferno gibanje).

Konačno u ovim jednadžbama zamijenimo integral na desnoj strani r rρ ×∫ a m

m

d s

momentom vanjskih sila prema jednadžbi ( 3.30). Dobivamo u općem slučaju:

( ) 000dd MmVHt C

rrrrr+××−= ρΩ 6.25

000~~~ MVHH 0 +−=+ mCρΩΩ& , 6.26

ili ako je ishodište u središtu mase:

CMdd rr

=CHt

6.27

CCC MHH =+ Ω~& 6.28

6.2.3 Tenzor tromosti

Uloga kinetičkog momenta u rotacijskom gibanju ista je kao količine gibanja u translatornom

gibanju. Kao što je derivacija količine gibanja jednaka rezultanti vanjskih sila, uključujući i

inercijske sile, tako je i derivacija kinetičkog momenta za neku točku jednaka momentu

vanjskih i inercijskih sila za tu istu točku. Kada integracijom po vremenu dobijemo količinu

gibanja, onda dijeljenjem s masom tijela dobivamo brzinu translatornog gibanja tijela (brzina

središta mase tijela). Tako isto integracijom druge vektorske jednadžbe dobivamo kinetički

moment, a iz njega trebamo dobiti kutnu brzinu tijela.

Pođimo od definicije kinetičkog momenta za bilo koju točku letjelice:

∫ ×ρ= mVH drrr

6.29

Podsjetimo se da ρr

vektor položaja čestice mase dm od ishodišta koordinatnog sustava (za

koju određujemo kinetički moment), dok je r

V brzina te čestice dm . Prema definiciji

kinetičkog momenta

Page 164: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamika letjelica 6-12

( )( )( ) ,d

dd

d

0

0

00

mmV

mmV

mVH

C ∫∫ ∫∫

××−×=

××+×=

×+×=

Ω

Ω

Ω

rrrrr

rrrrr

rrrrr

ρρρ

ρρρ

ρρ

ili matrično

( )Ω∫−×= md~~~ ρρρ m0C0 VH 6.30

Ako je ishodište u središtu mase,

( )r r r rH mC = − × ×∫ ρ ρ Ω d ,

ili matrično

( )Ω∫−= mC d~~ρρH . 6.31

Matricu dimenzije 3x3 koja se pojavila u oba slučaja u maloj zagradi na desnoj strani

matrične jednadžbe nazivamo "tenzor tromosti" i označavamo je sa I:

I = − =−

−−

−−

∫∫ ~~ρρ d dmz y

z xz x

z yz xz x

m0

00

00

0

( )( )

( )I =

+ − −

− + −

− − +

∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫

y z m xy m zx m

xy m z x m yz m

zx m yz m x y m

2 2

2 2

2 2

d d d

d d d

d d d

ili

−−−−−−

=

zyzzx

yzyxy

zxxyx

IIIIIIIII

I 6.32

Članovi tenzora tromosti imaju svoja imena. Po dijagonali to su aksijalni momenti tromosti:

( )I y z mx = +∫ 2 2 d moment tromosti za os x,

( )I z x my = +∫ 2 2 d moment tromosti za os y,

( )I x y mz = +∫ 2 2 d moment tromosti za os z.

a članovi van dijagonale nazivaju se centrifugalni ili devijacijski momenti tromosti:

I yz my z = ∫ d I zx mzx = ∫ d I xy mxy = ∫ d

Uočimo važnu značajku centrifugalnih momenata tromosti. Ako je neka koordinatna ravnina

istodobno i ravnina simetrije, onda svakoj čestici dm odgovara ista takva čestica s druge

Page 165: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamika letjelica 6-13

strane ravnine, koja ima jednu koordinatu istu, a drugu iste veličine ali suprotnog predznaka,

te je ukupni integral po tijelu jednak nuli. Tako za slučaj da je ravnina Oxy ravnina simetrije,

centrifugalni momenti tromosti koji sadrže koordinatu "z" bit će nula (Iyz = Iyx), jer se u

podintegralnoj funkciji nalazi "z" koje je pozitivno za pola tijela s jedne strane ravnine

simetrije, a negativno za drugu polovicu na drugoj strani ravnine simetrije. Ako koordinatne

osi imaju sva tri centrifugalna momenta tromosti jednaka nuli, takve osi nazivamo glavne osi

tromosti.

Iz zadnjih jednadžba prethodnog odjeljka vidimo da je kinetički moment letjelice za

središte mase C

ΩCC IH = , 6.33

a za točku letjelice O koja nije u središtu mase:

Ω00 IVH += mCρ~0 6.34

Dalje ćemo tenzor tromosti za bilo koju točku označavati sa I, bez posebnih oznaka. Ako je

potrebno istaknuti da je tenzor tromosti za središte mase onda ga označavamo sa CI . Isto tako

i kinetički moment za bilo koju točku bit će rH , a za središte mase je

rHC .

6.2.4 Transformacija tenzora tromosti

Veličina kinetičkog momenta za bilo koju točku letjelice ne ovisi o izboru koordinatnog

sustava. Kako je ta veličina invarijanta, vektor rH ne mijenja svoj intenzitet, ni pravac, ni

smjer promjenom koordinatnog sustava. Neka koordinatni sustav glavnih osi tromosti "B"

ima ishodište u središtu mase. Tada su komponente kinetičkog momenta:

[ ]HBxB B

yB B

zB B

TI p I q I r= .

I I IxB

yB

zB, , su momenti tromosti za glavne osi, a BBB rqp ,, su komponente kutne brzine

letjelice duž glavnih osi tromosti. Međutim, često ne znamo a priori glavne osi tromosti, već

počinjemo s nekim pogodnim koordinatnim sustavom "D" s ishodištem u središtu mase

letjelice, za koji nam je poznat tenzor tromosti DI . Za taj koordinatni sustav je DDD ΩIH =

Aksijalni i centrifugalni momenti tromosti u tenzoru DI određeni su za koordinatni sustav

"D", a ΩD su komponente kutne brzine u tom istom koordinatnom sustavu. Kako su HB i HD

komponente istog vektora, onda je

H L HDDB

B= ,

ili

Page 166: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamika letjelica 6-14

I L ID DDB

B BΩ Ω= ,

odakle dobivamo temeljno pravilo za transformaciju tenzora tromosti zaokrenemo li

koordinatni sustav:

BDB

DBD LILI = 6.35

Znamo tenzor tromosti u koordinatnom sustavu "D" koji smo odabrali tako da lako odredimo

taj tenzor ID. Glavne osi tromosti kao i momenti tromosti za te osi (glavni momenti tromosti)

nisu poznati. Pokazat ćemo da su glavni momenti tromosti korijeni karakteristične jednadžbe

trećega reda

s DJ I− = 0

u kojoj je "s" skalar, a J jedinična matrica. Glavni momenti tromosti su vlastite vrijednosti

matrice DI . Pođimo od identiteta

( )s s

s

DDB BD DB

BBD

DBB

BD

J I L JL L I L

L J I L

− = −

= −

Kako je determinanta produkta matrica jednaka produktu determinanata matrica, bit će

s sDDB

BBDJ I L J I L− = − ,

te kako je determinanta matrice transformacije jednaka jedinici imamo konačno

s sD BJ I J I− = − .

Tenzor tromosti BI ima samo članove na dijagonali, te razvijanjem desne strane jednadžbe

dobivamo

( )( )( )Bz

By

Bx

D IsIsIss −−−=−IJ . 6.36

Za rotacijska tijela (os rotacije x) momenti tromosti za osi okomite na os rotacije su jednaki

( )I IyB

zB= pa se dobiva jedan dvostruki korijen.

Položaj glavnih osi tromosti (koordinatni sustav B) odredit ćemo u odnosu na izabrani

koordinatni sustav D pomoću temeljne jednadžbe koju možemo napisati u obliku B

DBDBD ILLI = .

Matricu transformacije LDB koju trebamo, izrazit ćemo u obliku tri orta

[ ]DZ

DY

DXDB bbbL = 6.37

To su komponente ortova B na osi koordinatnog sustava D. Tako se jednadžba B

DBDBD ILLI = može napisati u obliku:

Page 167: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamika letjelica 6-15

[ ]

=

3

2

1

000000

ss

s

bbbbbbbbb

ZZYZXZ

ZYYYXY

ZXYXXX

ZYXD bbbI

koji možemo rastaviti na tri jednadžbe

3

2

1

s

s

s

ZZD

YYD

XXD

bbIbbIbbI

=

=

=

Na taj način se problem traženja matrice transformacije LBA svodi na određivanje triju vektora

iz jednadžba:

( )( )( ) 0

0

0

3

2

1

=−

=−

=−

ZD

YD

XD

s

s

s

bJIbJIbJI

6.38

U linearnoj algebri ta se tri orta ZYX bbb i, nazivaju karakteristični vektori matrice DBL .

U praktičnom radu pojavljuje se potreba izračunavanja tenzora tromosti I0 za

koordinatni sustav D0 s ishodištem u točki 0 koji ima osi paralelne s osima koordinatnog

sustava Dc čije je ishodište u središtu mase i za koji znamo tenzor tromosti Ic . Obilježimo sa r

komponente vektora položaja čestice d m u koordinatnom sustavu D0 , a sa ρ vektor položaja

iste čestice u koordinatnom sustavu Dc (ishodište u središtu mase). Tada je

r r= +c ρ

gdje je rc vektor položaja središta mase u koordinatnom sustavu D0. Tenzor tromosti za novi

koordinatni sustav D0 po definiciji je:

∫−= md~~0 rrI

ili

( )( )

( )ccccccc

cccc

cccc

c

mmm

mmmm

mmmm

m

Irrrr

rrrr

rrrr

rrI c

+ρ−ρ−−=

ρρ−ρ−ρ−−=

ρρ−ρ−ρ−−=

ρ+ρ+−=

∫∫ ∫∫∫∫ ∫

~~~~~~d~~~d~d~~~~

d~~d~~d~~d~~d~~~~

0

ρ c = 0 zato što je ishodište koordinatnog sustava Dc u središtu mase. Traženi tenzor tromosti

za ishodište 0 bit će

ccc m IrrI +−= ~~0 . 6.39

To je tzv. Steinerov teorem.

Page 168: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamika letjelica 6-16

Tenzor tromosti nekog tijela složenog geometrijskog oblika izračunavamo pomoću

Steinerovoga teorema i teorema o rotaciji tenzora tromosti. Prvo rastavimo tijelo složenog

geometrijskog oblika na dijelove jednostavnih geometrijskih oblika kojima znamo središte

mase, glavne osi i tenzor tromosti za te osi. Za izračunato središte mase tijela i odabrani

koordinatni sustav u središtu mase tijela, transliramo i rotiramo tenzore tromosti svakog dijela

u to središte mase tijela i za te odabrane osi tijela. Zbrajanjem tako transliranih i rotiranih

tenzora tromosti dijelova dobivamo tenzor tromosti tijela za odabrani koordinatni sustav u

središtu mase tijela, te određujemo glavne osi i tenzor tromosti tijela.

6.2.5 Primjer

A priori za zrakoplovne konfiguracije znamo da su glavne osi u ravnini simetrije letjelice. U

središtu mase letjelice postavljamo pravac osi x na primjer u pravcu pogonske sile, ili u

pravcu osi tijela letjelice, a os z okomito prema dolje u vertikalnoj ravnini. Za tako izabrane

osi izračunamo tenzor tromosti koji ima oblik

=DZ

DZX

DY

DZX

DX

III

II

000

0DI

Dx

DzBz

ϑ

Bx

ϑ

Slika 6-2 Pogled u vrh osi y

Želimo odrediti glavne osi tromosti i momente za te osi. Kako je os y okomita na ravninu

simetrije, ona je već glavna os tromosti te je i moment tromosti oko te osi glavni moment

tromosti: DY

BY II =

Page 169: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamika letjelica 6-17

Glavne osi tromosti BB zx i okrenute su u ravnini simetrije za kut ϑ oko osi y u odnosu na

usvojene osi DD zx i , a to znači da je

( )ϑYBD LL = .

kao na slici 6-2. Da bismo odredili ovaj kut, moramo prvo naći glavne momente tromosti za

osi BZ

BX II i iz jednadžbe

0=− JI sD ,

ili

00

000

=−

−−

sIIsI

IsI

DZ

DZX

DY

DZX

DX

,

što daje jednadžbu

( )( )( ) ( ) ( ) 02=−−−−− sIIsIsIsI D

YDZX

DZ

DY

DX

( )( ) ( ) 02=−−− D

ZXDZ

DX IsIsI

( ) ( ) 022 =−++− DZX

DZ

DX

DZ

Dx IIIsIIs ,

odakle je

( ) DZ

DX

DZX

DZ

DX

DZ

DX III

IIIIs −+

+=

22

2,1 22.

Time smo odredili glavne momente tromosti 1sI BX = i 2sI B

Z = , a kako smo već na početku

obrazložili da je DY

BY II = , odredili smo cijeli tenzor tromosti za glavne osi:

=BZ

BY

BX

B

II

I

000000

I

Iz jednadžbe da je D

BDB

DB ILIL =

dobivamo jednadžbu po kutu rotacije osi:

=

− DZ

DZX

DY

DZX

DX

BZ

BY

BX

III

II

II

I

000

0

cos0sin010

sin0cos

000000

cos0sin010

sin0cos

ϑϑ

ϑϑ

ϑϑ

ϑϑ

što množenjem matrica daje:

Page 170: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamika letjelica 6-18

( )

( )

=

+−

−+

DZ

DZX

DY

DZX

DX

BZ

BX

BX

BZ

BY

BX

BZ

BZ

BX

III

II

IIIII

IIII

000

0

cossin0cossin00

cossin0sincos

22

22

ϑϑϑϑ

ϑϑϑϑ

Izjednačavanjem člana na lijevoj i desnoj strani dobivamo: DY

BY II =

( )DZ

BZ

BX

DZX

BX

BZ

DX

BZ

BX

III

IIIIII

=+

=−

=+

ϑϑ

ϑϑ

ϑϑ

22

22

cossin

cossin

sincos

Zbrajanjem druge i četvrte jednadžbe dobivamo DZ

DX

BZ

BX IIII +=+ ,

a iz treće jednadžbe:

( ) DZX

BY

BZ III =−

22sin ϑ ,

određujemo kut ϑ između glavne osi tromosti Bx i izabrane osi Dx .

6.3 Zakoni gibanja letjelice promjenjive mase Treće poglavlje posvetili smo aerodinamičkoj sili zrakoplova i aerodinamičkom momentu.

Međutim, za razmatranje upravljanja i statičke stabilnosti potrebne su nam komponente

pogonske sile i pogonskog momenta. One se izučavaju u mehanici tijela promjenjive mase.

6.3.1 Sustav promjenjive mase Σ

Letjelice s propulzivnim i reaktivnim motorima čine sustave promjenjive mase, jer pri

izgaranju troše zrak koji ulazi u letjelicu i gorivo koje je u letjelici, a ispuštaju plinovite

produkte izgaranja. Takve letjelice nazivamo sustav promjenjive mase. Na tim letjelicama

razlikujemo: tijelo letjelice stalne mase, gorivo (kruto, tekuće) promjenjive mase i plinove

izgaranja. U odnosu na tijelo letjelice, tekuće se gorivo i plinovi gibaju. Na takvu letjelicu

koja nije nepromjenjive mase ne mogu se a priori primijeniti temeljni zakoni klasične

mehanike. Zato je nužno proučiti gibanje takvih tijela kako bi se postavili novi temeljni

zakoni koji su nam potrebni za proučavanje gibanja letjelica promjenjive mase.

Pri izučavanju gibanja letjelice, uključujemo sve materijalne čestice (bez obzira na to

pripadaju li tijelu, tekućini ili plinu) koje se nalaze unutar tzv. kontrolne površine

(označavamo je slovom F). Tu zatvorenu površinu čine vanjska površina letjelice, površine

ulaznih presjeka usisnika i površine izlaznih presjeka motora. Usvajamo da se ta kontrolna

Page 171: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamika letjelica 6-19

površina F ne deformira. U svakom trenutku materijalne čestice unutar te kontrolne površine

čine sustav promjenjive mase koji promatramo. Taj sustav označit ćemo slovom Σ.

Pokazat ćemo da se zakoni gibanja (zakoni o derivacijama količine gibanja i kinetičkog

momenta) za tijela promjenjive mase mogu odrediti pomoću solidificiranih tijela na koje se

primjenjuju temeljni zakoni klasične mehanike, pod uvjetom da se uz stvarne vanjske sile i

momente uvedu još i dopunske sile i momenti koje nazivamo reaktivne sile i momenti.

U praksi koordinatni sustav postavljamo u središte mase letjelice, tako da on ima istu

kutnu brzinu kao kontrolna površina F. Kako je letjelica promjenjive mase, središte mase giba

se u odnosu na kontrolnu površinu, ali je relativna brzina središta mase nula, jer je ono uvijek

u ishodištu. Moguć je i drugi pristup ako koordinatni sustav vežemo za kontrolnu površinu. U

tom slučaju središte mase ima relativnu brzinu. U oba slučaju kutna brzina koordinatnog

sustava jednaka je kutnoj brzini kontrolne površine F. Gibanje sustava promjenjive mase

promatramo u odnosu na jedan od ta dva koordinatna sustava. To gibanje je relativno

gibanje. Neka je r

Vr brzina u odnosu na izabrani relativni koordinatni sustav, bilo koje čestice

dm unutar kontrolne površine. Za to relativno gibanje označimo sa rQr količinu gibanja, a sa

rHr0 kinetički moment u odnosu na ishodište relativnog koordinatnog sustava:

∫×=

=

Σ

Σ

mVH

mVQ

rr

rr

d

d

0

rrr

rr

ρ 6.40

Pri tome se integracija izvodi unutar kontrolne površine F. Vektor rρ određuje položaj

promatrane čestice dm u odnosu na ishodište izabranoga relativnog koordinatnog sustava.

Gornjim jednadžbama za sustav Σ određeni su za relativno gibanje, količina gibanja i

kinetički moment za ishodište O.

6.3.2 Prividni sustav Σ∗

Da bismo riješili problem, uvedimo u razmatranje i sustav nepromjenjive mase Σ∗. Taj sustav

čine čestice dm koje se u trenutku t nalaze u kontrolnoj površini F. Neka taj sustav čini N

čestica. Nazvat ćemo taj sustav prividni jer on ne postoji. U sljedećem trenutku taj sustav

čestica nije više u kontrolnoj površini (neke čestice su izašle iz F, a druge su ušle u F) te se taj

sustav Σ∗ poklapa sa sustavom Σ samo u trenutku t. U trenutku t+dt sustav Σ je promijenio

masu ali je ostao u kontrolnoj površini F, a sustav Σ∗ je ostao iste mase ali nije više u

kontrolnoj površini F. Uočimo da sustav Σ∗ nije homogeno tijelo. On se sastoji od čestica koje

Page 172: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamika letjelica 6-20

čine kruto tijelo, i od čestica koje se gibaju unutar tog tijela, kao i one koje u trenutku t

prolaze kroz kontrolnu površinu F. Znači da sustav Σ∗ ima čestice koje se gibaju u odnosu na

kontrolnu površinu F.

Za relativno gibanje sustava Σ∗ označit ćemo sa ( )rQ tr

∗ i ( )rH tr0

∗ količinu gibanja i

kinetički moment

×=

=

Σ

Σ

mVH

mVQ

rr

rr

d

d

0

rrr

rr

ρ 6.41

Kako je prividni sustav Σ∗ konstantne mase, možemo s relativnom derivacijom po vremenu

proći kroz znak integrala, te je za njega

.d

d

dd

0 ∫

×=

=

Σ

Σ

mat

H

mat

Q

rr

rr

rrr

rr

ρδ

δ

6.42

6.3.3 Očvrsnuti sustav S

Potrebno je uvesti još jedan pojam. Ako u trenutku t sustav svih materijalnih čestica unutar

kontrolne površine F očvrsnemo, dobivamo kruto tijelo. To tijelo zovemo očvrsnuta letjelica

S (slovo S podsjeća na riječ solid). S fizičke strane treba uočiti da u trenutku t očvrsnuta

letjelica, tj. sustav S ima istu masu i isto središte mase kao i sustav Σ ili Σ∗, ali nema istu

količinu gibanja ni kinetički moment jer smo očvršćivanjem poništili relativno gibanje čestica

tekućina i plina u odnosu na tijelo. Međutim, na tu očvrsnutu letjelicu primjenjuju se svi

zakoni klasične mehanike. Sa ( )rQ tS i sa ( )

rH tS

0 označit ćemo količinu (apsolutnog) gibanja i

kinetički moment sustava S

.mVH

mVQS

S

∫∫

×=

=

d

d

0

rrr

rr

ρ 6.43

Kako je sustav S kruto tijelo, derivacijom po vremenu dobivamo:

( ) ( ) ∫∫∫

×+×+××=×=

=

mamVmVtt

H

mat

Q

FF

S

S

ddddd

dd

dd

d

00 rvrrrrrrrr

rr

ρρρρ ΩΩ

ili

Page 173: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamika letjelica 6-21

( ) ( ) ∫∫∫ ×+××=×+××=

=

mamVmamVt

H

mat

Q

cFF

S

c

S

dddd

dd

d

000 rvrrrrvrrrr

rr

ρρρρ ΩΩ

6.44

Uočimo da za sustav S ne postoji relativna količina gibanja niti relativni kinetički moment,

bez obzira na to vezuje li se relativni koordinatni sustav za kontrolnu površinu F ili za središte

mase, jer niti jedna točka očvrsnute letjelice, pa ni središte mase, nema relativnu brzinu u

odnosu na kontrolnu površinu F.

6.3.4 Veze između sustava Σ i Σ∗

U trenutku t sustavi Σ i Σ∗ po definiciji su isti :

( ) ( )( ) ( ) ,00 tHtH

tQtQ

rr

rr

=

=rr

rr

6.45

ali već u sljedećem trenutku t t+ d ta se dva sustava razlikuju (jer su neke čestice izašle a

druge ušle kroz kontrolnu površinu), te zato derivacije ovih veličina nisu jednake.

Odredimo veze između derivacija tih veličina. Potražit ćemo razliku između tih veličina

za sustave Σ i Σ∗ u vremenskom intervalu ∆t. Za promatrača koji se nalazi u relativnom

koordinatnom sustavu kroz kontrolnu površinu F u vremenu ∆t

ulaze čestice s količinom gibanja ∆rQru i kinetičkim momentom ∆

rHr u0 u odnosu na

ishodište,

izlaze čestice s količinom gibanja ∆rQri i kinetičkim momentom ∆

rHr i0 u odnosu na

ishodište.

Prema tome, poslije vremena ∆t bit će

( ) ( )( ) ( ) .0000 rirurr

rirurr

HHttHttH

QQttQttQrrrr

rrrr

∆∆∆∆

∆∆∆∆

−++=+

−++=+∗

Ako se od tih jednadžbi oduzmu jednadžbe 3.58, zatim razlika podijeli sa ∆t, te pusti ∆t da

teži k prema nuli, dobivaju se relativne derivacije (derivacije u relativnom koordinatnom

sustavu) :

,

dd

dd

000

rrr

rrr

ht

Ht

H

kt

Qt

Q

rrr

rrr

−=

−=

δδ

δδ

6.46

gdje je

Page 174: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamika letjelica 6-22

0

lim

−=

tt

QQk rurir

∆∆∆∆rr

r

6.47

0

lim 000

−=

tt

HHh rurir

∆∆∆∆rr

r

6.48

Veličine rkr i

rh r0 su količina relativnog gibanja i kinetički moment tog relativnog gibanja

čestica koje prolaze kroz kontrolnu površinu F u jedinici vremena (koliko je izašlo umanjeno

za onoliko koliko je ušlo). Vektori rkr i

rh r0 zavise od brzine gibanja čestica u odnosu na

izabrani koordinatni sustav. Ako želimo da rk F i

rh F0 predstavljaju razliku protoka i momenta

protoka kroz kontrolnu površinu F (protok prema van umanjen za protok prema unutra),

trebamo relativni koordinatni sustav vezati za kontrolnu površinu F.

6.3.5 Načelo očvršćivanja

U odjeljku 6.4 postavili smo temeljne zakone gibanja tijela kao sustava čestica čija je ukupna

masa konstantna, a sve čestice sustava pripadaju tijelu. Sve jednadžbe koje smo izveli u tom

odjeljku izravno se mogu primijeniti na očvrsnutu letjelicu, tj. na sustav S. Sustav Σ∗ koji

ima ukupnu masu konstantnu možemo razmatrati na sličan način, ali moramo uzeti u obzir da

osim čestica tijela (kojih ima najviše), postoje i čestice koje se gibaju u odnosu na tijelo

letjelice (npr. čestice tekućina ili čestice plinova). Zbog toga što se neke čestice gibaju u

odnosu na tijelo, giba se i središte mase sustava Σ i Σ∗ u donosu na tijelo.

Na temelju definicije sustava Σ , Σ∗ i S, uočimo da sva ta tri sustava imaju u trenutku

“t” iste masene karakteristike, da sustavi Σ i Σ∗ imaju istu količinu gibanja i isti kinetički

moment, ali ne i njihove derivacije po vremenu.

Relativni koordinatni sustav postavljamo na dva načina. Njegovo ishodište vezujemo za

fiksnu točku kontrolne površine ili za središte mase sustava, a kutna brzina relativnog

koordinatnog sustava je kutna brzina kontrolne površine.

U oba je slučaja jednadžba relativnog gibanja bilo koje čestice sustava Σ ili Σ∗ u tom

relativnom koordinatnom sustavu: r r r r r ra m R g m F F Fr u pd d d d d d= + + + + k .

Prije zbrajanja za sve čestice sustava Σ ili Σ∗ pridružimo ovoj jednadžbi i njen produkt s

relativnim vektorom položaja. Tako dobivamo dvije jednadžbe: r r r r r ra m R gm F F Fr u kd d d d= + + + + ∫∫∫∫

Page 175: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamika letjelica 6-23

r r r r r r r r r r rr a m M r g m r F r F r Fr u p k× = + × + × + × + ×∫ ∫ ∫ ∫ ∫d d d d d0 .

Svi su integrali uzeti po sustavu Σ ili Σ∗ . Integral na lijevoj strani prve jednadžbe ra mr d∫ je

relativna derivacija relativne količine gibanja sustava Σ∗, a integral je na lijevoj strani druge

jednadžber rρ ×∫ a mr d relativna derivacija po vremenu relativnog kinetičkog momenta za

ishodište istoga prividnog sustava Σ∗ . Temeljem načela akcije i reakcije bit će

.0d

0d

∫∫

=

u

u

F

Frr

r

ρ

Prijenosno gibanje sustava Σ ili Σ∗ je gibanje sustava S te je

.2d2d

ddd

CrFrFk

CS

pp

VmVF

mamamaF

rrrrr

rrrr

×−=×−=

−=−=−=

∫∫

∫ ∫∫ΩΩ

Σ

Σ

Isto tako je:

( ) .d2d

ddd

∫∫

∫∫∫××−=×

×=×=×

Σ

ΣΣ

Ωρρ

ρρρ

mVF

mamaF

rFk

Spp

rrrr

rrrrrr

Tako dobivamo jednadžbe :

δr

r r r r rQt

R gm a m V mrC F Cr

= + − − ×d

( )δρ ρ ρ

rr r r r r r r rH

tM g m a m V mr

C p F r0

0 2∗

= + × − × − × ×∫ ∫dd dΩ ,

a zatim pomoću veza između derivacija sustava Σ i Σ∗ dobivamo :

r r r rr

r ra m R gm k

Qt

V mC rr

F Cr= + − − − ×dd

2Ω ,

( )r r r r r rr

r r rρ ρ

δρ× = + × − − − × ×∫ ∫a m M g m h

Ht

V mp C rr

F rdd

d0 00 2 Ω .

Za očvrsnutu letjelicu, prema jednadžbi 6.49 bit će

rr

a mQtc

S

=dd

.

Prijenosno ubrzanje ra p je istodobno ubrzanje ra te iste materijalne čestice u očvrsnutom

sustavu S, jer smo taj sustav definirali tako da se zaustavi relativno gibanje. Na temelju te

činjenice bit će

Page 176: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamika letjelica 6-24

( )r r r rr

r r rρ ρ ρ× = × = − × ×

∗∫ ∫a m a m

Ht

V mpS

S

F cd dd

Ω00 ,

u kojoj je rV0 brzina ishodišta. Kada se ovaj integral uvrsti u drugu gornju jednadžbu

dobivamo

mVtQdkmgR

tQ

CrFrr

r

S rrr

rrrr

×−−−+= Ω2dd

d

( ) ( ) mVt

HdhmgMmVt

HrF

rrrCcF

S

d2dd

d 0000

0 ∫ ××−−−×++××=rrr

rrrrrrrr

r

ΩΩ ρρρ

Na desnoj strani u prvoj jednadžbi, osim stvarnih vanjskih sila, pojavljuje se i jedna dopunska

sila koju nazivamo pogonska sila rFR :

mVtQdkF CrF

rrrR

rrr

rr×−−−= Ω2

d. 6.50

Isto tako u drugoj se jednadžbi, osim stvarnih vanjskih momenata, pojavljuje i jedan dopunski

koji nazivamo pogonski moment :

( )r rr

r r rM h

Ht

V mRr

rF r0 0

0 2= − − − × ×∫δ

ρd

dΩ . 6.51

Prvi član na desnoj strani posljedica je ishodišta izvan središta mase. Ako je ishodište

relativnog koordinatnog sustava postavljeno u središtu mase očvrsnute letjelice (sustava S),

onda je rρC = 0 pa taj član ne postoji. Isto tako neće postojati ni moment sile Zemljane teže za

ishodište (treći član na desnoj strani).

Uvrstimo li izraz za reaktivnu silu i reaktivni moment u jednadžbe za derivaciju

količine gibanja i kinetičkog momenta očvrsnute letjelice, dobivamo:

R

S

FmgRt

Q rrrr

++=d

d 6.52

( ) RCcF

S

MmgMmVt

H000

0

dd rrrrrrrr

+×++××= ρρΩ 6.53

Ako smo koordinatni sustav vezali za kontrolnu površinu, onda u ovoj jednadžbi imamo

vektore rk F i

rh F0 koji ovise o protoku kroz kontrolnu površinu, ali je tada obično

rVC r ≠ 0 , a

relativna derivacija relativne količine gibanja i relativnog kinetičkog momenta jesu derivacije

količine gibanja i kinetičkog momenta čestica koje se gibaju u odnosu na tijelo letjelice, dok

je tijelo letjelice nepomično.

Suprotno tomu, ako smo koordinatni sustav vezali za središte mase, onda su rkr i

rh r0

relativne derivacije relativne količine gibanja i relativnog kinetičkog momenta, kroz

Page 177: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamika letjelica 6-25

kontrolnu površinu, koje su različite od rk F i

rh F0 , ali najviše se razlikuju relativne derivacije

relativnog gibanja i kinetičkog momenta jer sve čestice tijela imaju relativnu brzinu u odnosu

na središte mase, no tada je r

VC r = 0 i rρc = 0 . U tom se slučaju druga vektorska jednadžba

gibanja znatno pojednostavnjuje:

RCC

SC MM

tH rrr

+=d

d . 6.54

6.4 Pogonska sila i moment mlaznog motora

Na letjelicu primijenit ćemo teoriju tijela promjenjive mase. Vanjska površina letjelice, na

kojoj se nalaze ulazne površine usisnika uS i izlazne površine mlaznica motora iS , čine

kontrolnu površinu. Promatrajmo slučaj letjelice s jednim motorom. Neka je ppp zyx

koordinatni sustav motora. Njegova ravnina pp yx neka je paralelna sa xy ravninom simetrije

zrakoplova, a os px je ispod osi x zrakoplova za kut Tα . Ulazna površina uS okomita je na

brzinu ulaza uVr

, a izlazna površina iS okomita na os x motora, duž koje je izlazna brzina iVr

.

6.4.1 Napadni kut i kut klizanja motora

Za analizu pogonske sile i pogonskog momenta potrebni su kutovi uα i uβ dolazeće struje u

odnosu na koordinatni sustav motora ppp zyx .

uVr

iVr

yz

pz

py pxuα

Slika 6-3

Page 178: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamika letjelica 6-26

Oni su jednaki kutovima aerodinamičke brzine umanjeni za savijanje uε i skretanje uσ struje

ispred elise ili usisnika, a kut uα umanjen je još za kut zakretanja motora Tα :

uu

Tuu

σββαεαα

−=−−=

6.55

Koliko je to savijanje uε u ravnini simetrije i skretanje uσ okomito na ravninu simetrije,

mnogo ovisi o konfiguraciji zrakoplova. Ako je to zrakoplov koji ima pogon na prednjem

dijelu trupa, onda nema ni savijanja ni skretanja zračne struje ( 0== uu σε ). Obrnuto ako su

motori postavljeni na krilu, savijanje ispred krila uε ne treba zanemariti. Uzimamo da su

savijanje i skretanje proporcionalni kutovima struje:

β

βσ

σ

ααε

ε

∂∂

=

∂∂

=

uu

uu

6.56

Uz tu pretpostavku dobivamo kutove dolazeće struje:

β

βσ

σββ

αααε

αεαα

∂∂

−=−=

∂∂

−=−−=

uuu

Tu

Tuu

1

1 6.57

Slika 6-4.

Page 179: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamika letjelica 6-27

Na slici 6-4 prikazan je dijagram koji omogućuje procjenu gradijenta savijanja struje

paralelno ravnini simetrije letjelice, za razne vitkosti krila A u ovisnosti o udaljenosti koja je,

izražena u tetivama od točke na prvoj četvrtini tetive. Bočno savijanje struje je malo. Osim

toga, bočno savijanje struje na lijevoj strani suprotno je od savijanja na desnoj strani u odnosu

na ravninu simetrije letjelice, te se efekti poništavaju. Zato obično zanemarujemo bočno

savijanje struje i uzimamo da je ββ =u .

6.4.2 Komponente pogonske sile

Prema teoriji mehanike tijela promjenljive mase iz odjeljka 6.3 pogonska sila motora je

( ) mVdtQdkF rCF

rrrP

rrr

rr×−−−= Ω2 , 6.58

gdje je

t

QQlimk ruir

r ∆∆∆rr

r −= . 6.59

Ove jednadžbe su opće. Primijenit ćemo ih na pogon zrakoplova koji ima jedan ili više parova

simetrično raspoređenih mlaznih motora. Pretpostavljamo da je istjecanje plinova duž px

koja s x osom letjelice čini kut Tα u ravni ni paralelnoj s ravninom simetrije letjelice.

Ako je rad motora stacionaran, onda je derivacija količine relativnog gibanja ukupne

mase plinova koji se nalaze u motoru od ulaza do izlaza jednaka nuli:

0=dtQd rr

r

Relativna brzina promjene položaja središta mase letjelice ( )rCVr

mala je pa je zanemarujemo:

( ) 0≈rCVr

U tom slučaju koji nas zanima bit će jednadžba pogonske sile:

0

lim

−=

tt

QQF riur

p

∆∆

∆∆rr

r

6.60

Kroz dio kontrolne površine uS , tijekom vremena t∆ ulazi masa ( )uuu StV ρrr

∆ . Ta

masa je uvijek pozitivna pa treba uzeti apsolutnu vrijednost ovog skalarnog produkta.

Relativna količina gibanja zraka bit će uuuuur StVVQ ρrrrr

∆∆ = .

U istom vremenu t∆ kroz izlaznu površinu iS motora izlazi masa iii StV ρrr

∆ koja je

također uvijek pozitivna, pa treba i tu uzeti apsolutnu vrijednost. Količina gibanja produkta

Page 180: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamika letjelica 6-28

izgaranja bit će ( )iiiiir StVVQ ρ∆∆rrrr

= , gdje je iρ specifična masa produkta izgaranja na

izlazu iz motora. U tim uvjetima limesi u jednadžbi pogonske sile lako se nalaze:

0

limlimlim

⋅−

⋅=

−=

tt

tSVV

t

tSVV

tQQ

F iiiiuuuuriurp

∆∆

∆∆ ρρrrrrrr

r

pa je

iiiiuuuup SVVSVVF ρρrrrrrrr⋅−⋅= . 6.61

Relativna brzina zraka na usisniku uVr

jednaka je po veličini i smjeru aerodinamičkoj brzini V,

ali je u suprotnom smjeru. Neka su pα i pβ napadni kut i kut klizanja ulazne brzine uVr

u

odnosu na koordinatni sustav ppp zyx . Intenzitet ulazne brzine pretpostavit ćemo da je jednak

aerodinamičkoj brzini. Tada su komponente ulazne brzine u koordinatnom sustavu pogona

ppp zyx :

[ ]Tuuuuup

u VVV αββαβ sincossincoscos −−−=V , 6.62

gdje su, kao što smo to vidjeli u prethodnom odjeljku, kutovi uα i uβ određeni jednadžbama

(6.57). Kako su ti kutovi uvijek mali,

[ ]Tuup

u VVV αβ −−−=V . 6.63

Vektor uSr

je okomit na osi px i usmjeren prema van. Zato je

[ ]Tupu S 00=S . 6.64

S tim vrijednostima u koordinatnom sustavu ppp zyx nalazimo skalarni produkt:

upu

puuu VSSV =⋅=⋅ SV

rr 6.65

Brzina istjecanja produkta izgaranja iVr

ima intenzitet U u pravcu osi mlaznice motora

(okomito na izlaznu površinu), te je

[ ]Tpi U 00−=V , 6.66

jer je smjer istjecanja suprotan smjeru osi px . Isto tako vektor izlazne površine iSr

je u pravcu

osi px , ali suprotnog smjera [ ]TiPi S 00−=S . Tako je skalarni produkt:

ipi

piii USSV ==⋅ SV

rr 6.67

S tim skalarnim produktima bit će vektorska jednadžba pogonske sile:

Page 181: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamika letjelica 6-29

( ) ( ) iiiuuup USVVSVF ρρrrr

−−= , 6.68

ili njen matrični oblik

( ) ( )iip

iuup

uP SUSV ρρ VVF −= . 6.69

Komponente pogonske sile u koordinatnom sustavu pogona ppp zyx lako nalazimo jer su nam

sve veličine poznate:

( ) ( )iiuu

u

up

Z

pY

pX

SUU

SVVVV

FFF

ρραβ

−−

−−−

=

00 . 6.70

Uvedimo oznake:

uupu

iipi

SVF

SUF

ρ

ρ2

2

=

= 6.71

Uz te oznake bit će komponente pogonske sile duž osi pogonske grupe:

upup

Z

upup

Y

pupip

X

FF

FF

FFF

α

β

−=

−=

−=

6.72

Komponenta duž ose motora PXF predstavlja pogonsku silu motora. Ona se obično označava

sa T.

uuii SVSUT ρρ 22 −= . 6.73

Pored te aksijalne sile pojavljuju se i dvije bočne komponente u ravnini okomitoj na ulaz u

motor koje su proporcionalne ulaznim kutovima

upu

pZ

upup

Y

FF

FF

α

β

−≈

−≈ 6.74

6.4.3 Komponente pogonskog momenta

Hvatišta bočnih komponenata upuF β i upuF α uzimamo u središtu ulaza

[ ]Tuuumru zyll −=r , 6.75

a hvatište aksijalne sile određujemo kao hvatište rezultate od dviju komponenata aksijalne

sile:

iiSU ρ2 s hvatištem u središtu izlaza ( )[ ]Tiiimri zyll −=r i

iiSV ρ2 s hvatištem u središtu ulaza [ ]Tuuumru zyll −=r .

Page 182: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamika letjelica 6-30

uVr

iVr

pz

py px

yz

Tαum ll −im ll −

py

izuz

T

x

pYF

pZF

uαuβ

Slika 6-5

pa su koordinate hvatišta pogonske komponente T

( ) ( ) ( )

.22

22

22

22

22

22

uuii

uuuiiip

uuii

uuuiiip

uuii

uuumiiimpm

SVSUSVzSUzz

SVSUSVySUyy

SVSUSVSU

ρρρρ

ρρρρ

ρρρρ

−⋅−⋅

=

−⋅−⋅

=

−⋅−−⋅−

=−llll

ll

6.76

Vektor položaja hvatišta aksijalne sile označavamo sa:

[ ]Tpppmrp zyll −=r . 6.77

Uz te oznake bit će komponente momenta pogonske sile

−−+

=

upu

upu

FF

T

αβ

0~

00~

FPruFPrpFC LrLrM . 6.78

Velika je razlika u intenzitetu aksijalne komponente T i bočnih komponenata puu Fβ i puu Fα ,

te njih možemo smatrati malim veličinama u odnosu na aksijalnu komponentu. Postavni kut

motora Tα obično je isto mali kut, pa je opravdano izjednačiti bočne komponente u

koordinatnom sustavu motora i letjelice.

Page 183: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamika letjelica 6-31

−−≈

−−

upu

upu

upu

upu

FF

FF

αβ

αβ

00

FPL

pa gornja jednadžba 6.78 ima oblik:

−−+

=

upu

upu

FF

T

αβ

0~

00~

ruFPrpFC rLrM 6.79

Kako je ( )TXFP αLL = bit će komponente pogonskog momenta u koordinatnom sustavu

letjelice:

( )( )

( )( )

−−⋅

−−−−

−+

+

−⋅

−−−−

−=

upu

upu

umu

umu

uu

TT

TT

pmp

pmp

pp

F

F

F

FF

yz

yz

T

yz

yz

NML

αβ

αα

αα

0

00

0

00

cos0sin010

sin0cos

00

0

ll

ll

ll

ll

6.80

Množenjem dobivamo:

( ) ( )( )

−−−

+−+

−−−=

upuum

upuum

upuuupuu

Tp

TpmTp

Tp

F

F

F

FF

FzFy

TyTTz

Ty

NML

βα

βα

ααα

α

ll

llll

cossincos

sin. 6.81

U ovim jednadžbama treba uočiti nekoliko činjenica.

• Prvo, bočne komponente pogonske sile puu Fβ i puu Fα znatno su manje od aksijalne

komponente pogonske sile T , pa su i momenti koje one stvaraju isto tako znatno manji

od momenata aksijalne sile.

• Drugo, ako postoji jedan središnji motor, onda je za njega 0== up yy . Komponente

pogonskog momenta u tom slučaju imaju oblik:

( ) ( )( )

−−−+

−−=

upuum

upuum

upuu

TpmTpF

F

F

FF

FzTTz

NML

βα

βαα

ll

llll

0sincos

0. 6.82

Page 184: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamika letjelica 6-32

• Treće, u slučaju više motora, uvijek se za par motora članovi koji sadrže py i uy skrate,

jer je za jedan motor pozitivno, a za drugi negativno. To znači da je gornja jednadžba

upotrebljiva za veći broj motora, samo što se članovi trebaju onoliko puta zbrojiti koliko

ima motora.

• Četvrto, ako je u paru otkazao jedan motor, onda je komponenta oko osi z

( ) ppuumTpF FTyN βα ⋅−−−= llcos 6.83

• Peto, pogonski moment propinjanja FM

( ) ( ) upuumTpmTpF FTTzM ααα llll −+−−= sincos 6.84

linearna je funkcija po napadnom kutu, jer je prema jednadžbi 6.55

Tu

Tuu αααεαεαα −

∂∂

−=−−= 1 ,

pa je

ααFFF MMM += 0 6.85

gdje su:

( ) ( )

( ) .1

sincos0

∂∂

−−=

−−−−=

αε

ααα

αu

puumF

TpuumTpmTpF

FM

FTTzM

ll

llll

6.86

6.4.4 Raspoloživa sila mlaznog motora

Aksijalna komponenta T duž osi motora može se mijenjati otklonom Tδ . Za najveću

vrijednost tog otklona imamo maksimalnu ili raspoloživu pogonsku silu aT . Da ne bi došlo

do zabune u oznakama označit ćemo raspoloživu pogonsku silu sa F, a temperaturu zraka sa

T. Ta raspoloživa sila mlaznog motora F ovisi o karakteristikama zraka. Prema Cohenu [17],

sila mlaznog motora ovisi o tlaku p i temperaturi T preko bezdimenzijskih veličina: odnosa

tlaka na visini i tlaka pri zemlji 0p

p , odnosa temperature pri zemlji i na visini TT0 i o

Machovu broju, kao i o kutnoj brzini motora ω :

= Ma

TTf

ppF ,0

10

ω

O tim parametrima također ovisi i potrošnja goriva (masa goriva potrošena u jedinici

vremena)

Page 185: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamika letjelica 6-33

= Ma

TTf

TT

ppFC ,0

200

ω

Prema tome i potrošnja goriva mijenjat će se obzirom na visinu. U standardnoj atmosferi na

određenoj visini možemo je predstaviti kao funkciju Machova broja. Proizvođač obično daje

tu ovisnost u obliku dijagrama kao na slici 8-4.

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 km

3 km

6 km

9 km

11 km

Ma

F/F 0

Slika 6-6

Takav dijagram treba aproksimirati nekim funkcijama koje su usklađene u intervalima

uporabe motora. Jedna od mogućih je eksponencijalna funkcija po Machovom broju

nMaAFF −⋅=

0

u kojoj je 0F sila mlaznog motora na razini mora u statičkim uvjetima, a konstante A i n ovise

o visini. Moguće je krivulju ( )MaF za određenu visinu dijagram aproksimirati polinom

011

1 aMaaMaaMaaF nn

nn ++++= −

− L

s tim da red polinoma n ne bude veći od 4. U tom slučaju koeficijenti polinoma ovise o

visini.

Page 186: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamika letjelica 6-34

6.5 Pogonska sila i moment elisnog motora

6.5.1 Komponenta pogonske sile u ravnini diska elise

I u slučaju elise postoji sila u ravnini diska elise, koja je proporcionalna kutu između dolazeće

zračne struje i osi rotacije elise. Eksperimentalno je utvrđeno da je taj koeficijent

proporcionalnosti

( )TfC

SNVF bladeNpBP α

ρσ ∂

∂=

2

2

, 6.87

gdje je:

pS površina diska elise,

BN broj ploštica u elisi,

α∂∂ bladeNC

gradijent ploštice elise prema dijagramu na slici 6-7, a korak nDVJ = ; n broj

okretaja elise u sekundi, a D promjer diska elise.

( )Tf funkcija pogonske sile elise prema dijagramu na slici 6-8, na kome je

bezdimenzijski

Slika 6-7 Krivulja 1 za obične elise, krivulja 2 za široke elise tipa turbomlazni

Page 187: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamika letjelica 6-35

Aerodinamička brzina na ulazu u disk elise ima napadni kut pα i kut klizanja pβ . Međutim i

osa elisnog motora može biti pod kutom Tα u odnosu na os letjelice, a može postojati i

povijanje stuje ispred elise (npr. u slučaju potisne elise) pa je u tom slučaju napadni kut

Tup αεαα −−= . 6.88

Oba ta kuta stvaraju sile okomite na os rotacije elise, tj. u ravnini diska čije su komponente

duž koordinatnog sustava pogona:

pPZ

pPY

FFFF

α

β

σ

σ

−=

−=

Slika 6-8

Prema tome, komponente pogonske sile u slučaju elisnog motora duž osi tromosti zrakoplova

jesu :

( ) [ ]TppppTY FFT αβα σσ −−⋅L , 6.89

Uočimo da je to potpuno isti oblik jednadžba kao i kod mlaznog motora. Razlika je što je kod

mlaznog motora uupu SVF ρ2= , a ovdje je σpF određeno gornjom jednadžbom

6.5.2 Komponente momenta pogonske sile elise

Te komponente pogonske sile stvaraju momente oko središta mase. Neka su, kao na slici 6-9,

[ ]Tpppm zyll −

Page 188: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamika letjelica 6-36

koordinate središta diska elise u koordinatnom sustavu letjelice, gdje je pl udaljenost diska

elise od vrha letjelice, a ml udaljenost središta mase isto od vrha letjelice.

ppF βσ

ασ ′pF

T

Slika 6-9. Bočne sile elise

Komponente pogonske sile u koordinatnom sustavu letjelice dobivamo poslije transformacije

zbog zaokrenutog koordinatnog sustava pogona za kut Tα

−−+

=

pp

pp

FF

T

αβ

σ

σ

0~

00~

FPruFPrpFC LrLrM .

Kao i u slučaju mlaznih motora bočne komponente puu Fβ i puu Fα male su sile u odnosu na

aksijalnu komponentu T, te njih smatramo malim veličinama u odnosu na T. Postavni kut

motora Tα isto je mala veličina, pa zanemarujući male veličine drugog reda bit će:

−−+

=

pp

pp

FF

T

αβ

σ

σ

0~

00~

ruFPrpFC rLrM . 6.90

odakle je

( ) ( )( )

−−−

+−+

−−−=

pppm

pppm

pppppp

Tp

TpmTp

Tp

F

F

F

FF

FzFy

TyTTz

Ty

NML

βα

βα

ααα

α

σ

σ

σσ

ll

llll

cossincos

sin 6.91

Kao i u slučaju mlaznog motora i ovdje ima nekoliko važnih napomena:

Page 189: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamika letjelica 6-37

• Ako postoji samo jedna središnja elisa, onda je 0=py , pa nestaju članovi sa py , a ako

je više elisa, onda treba zbrojiti komponente svih elisa. Tada će se članovi sa py skratiti

jer elisi s desne strane odgovara ista s lijeve strane:

( ) ( )( ) .

sincos

pppmF

ppTpmTpF

pppF

FN

FTTzM

FzL

β

ααα

β

σ

σ

σ

ll

ll

−−=

−−−=

=

6.92

• U slučaju otkaza jednog motora komponenta momenta FN vrlo je snažna:

( ) pppmTpF FTyN βα σll −−−= cos . 6.93

• Moment propinjanja je linearna funkcija napadnog kuta

ααFFF MMM += 0 , 6.94

gdje je

( ) ( )

( ) .1

sincos0

∂∂

−−=

+−−=

αε

ααα

σα

σ

uppm

F

TpTpmTpF

FM

FTTzM

ll

ll

6.95

jer je Tup αεαα −−= .

6.5.3 Primjer

Za mali putnički zrakoplov iz odjeljka 5 odrediti normalnu komponentu i moment propinjanja

pogonske sile, ako je 05.4=Tα

Za korak elise

60088140

45 ..nD

VJ =⋅

==

gradijent ploščice elise je

0300.C bladeN =∂

α

a za bezdimenzijsku pogonsku silu koja je jednaka otporu zrakoplova

( ) ( ) 231.088.12

694.0104.00231.01.1521

2

2

2

20

22 =⋅

⋅+⋅=

+==∗

DKCCS

DVTT LDref

ρ

S tim vrijednostima je gradijent normalne sile

( ) ( ) 0132.0203.1030.01.15288.12

2

=⋅⋅=∂

∂= ∗

πα

σ TfC

SS

NSq

F bladeN

ref

pB

ref

p

Page 190: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamika letjelica 6-38

Ispred elise nema savijanja struje ( Tp ααα −= ) te je s ovim gradijentom normalna

komponenta pogonske sile:

( ) ( ) ααααα σσ ⋅−=−⋅−=−−=−

∞∞

0132.000103.0078.00132.0Tref

p

ref

pp

SqF

SqF

Moment propinjanja od elise prema jednadžbi 6.92 bit će:

( ) ( )ppTpmTpF FTTzM ααα σ−−−= sincos ll .

Os motora prolazi kroz središte mase te je 0=pz , pa će komponenta propinjanja pogonskog

momenta biti:

( ) ( )[ ]TpTpmF FTM ααα σ −−−−= sinll .

ili

( ) ( ) ( )

−+⋅⋅+−

−=

∞∞T

ref

pTLD

A

pm

Aref

F

SqF

CKCccSq

M ααα σsin20

ll

( ) ( )[ ]0068.00132.0

078.00132.0078.0694.0104.00231.00698.1719.1 2

−⋅=

−⋅+⋅⋅+−

−=

α

αAref

F

cSqM

Page 191: Mehanika Leta Zrakoplova

7-1Ravnotežni let

7 RAVNOTEŽNI LET I NJEGOVA STABILNOST

Zrakoplovi imaju tzv. polarno upravljanje. Trebaju li u nekoj ravnini učiniti zaokret, a to znači

promijeniti pravac brzine u toj ravnini, oni to ostvaruju vektorskom razlikom sile uzgona i

težine, tj. jedan dio sile uzgona služi za kompenzaciju težine, a drugi za promjenu pravca

vektora brzine. Zato se zrakoplovi moraju zavaljati da bi postavili silu uzgona tamo gdje treba,

a istodobno povećali silu uzgona koliko treba. Odatle slijedi da je problem upravljivosti

pitanje veličine sile uzgona koju zrakoplov može ostvariti. Kao mjera upravljivosti može se

upotrebljavati ili maksimalna sila uzgona ili prirast sile uzgona za jedinični prirast otklona

kormila visine.

7.1 Ravnotežni let

7.1.1 Definicija ravnotežnog leta

Ravnotežni let ili istrimana letjelica, kako se često govori, znači da su momenti koji djeluju

oko središta mase letjelice u ravnoteži, tj. da je rezultirajući moment jednak nuli. U tom

slučaju letjelica se neće okretati, ili ako ima neku kutnu brzinu neće je mijenjati, jer momenti

za središte mase mijenjaju kutnu brzinu. U većini slučajeva let transportnih zrakoplova odvija

se u ovim uvjetima ili vrlo blisko njima. Prema tome, možemo reći da u ravnotežnom letu

mora biti:

000

===

LNM

U ravnotežnom letu razmatramo dva pojma: statičku stabilnost i upravljivost.

7.1.2 Zbroj pogonske i aerodinamičke sile i momenta

Tražimo komponente zbroja pogonske sile i aerodinamičke sile duž osi aerodinamičkog

koordinatnog sustava u letu bez kuta klizanja ( 0=β ). Zato trebamo naći komponente obiju

sila u tom koordinatnom sustavu. Pogonska sila ima komponente duž osi pogona prema

prethodnom poglavlju

,ppp

Z

ppp

Y

pX

FF

FFTF

α

β

−=

−=

=

7.1

Ako je pogon s elisom onda je

Page 192: Mehanika Leta Zrakoplova

7-2 Ravnotežni let

( )TfC

SNVFF bladeNpBpp α

ρσ ∂

∂==

2

2

, 7.2

a kad je riječ o mlaznim motorima, onda je

uupup SVFF ρ2== . 7.3

Da bi ove komponente pogonske sile preneli u aerodinamički koordinatni sutav potrebna nam

je matrica transformacije u aerodinamički koordinatni sustav iz pogonskog. Tu matricu

nalazimo lako na temelju već određenih matrica.

( ) ( ) ( )αααα −=⋅−== TYTYYFPAFAP LLLLLL 7.4

Konstrukcijom zrakoplova motor se postavlja tako da u ravnotežnom horizontalnom letu bude

ravT αα = , pa je matrica ( ) JL =−ααTY . Kad nije tako, bit će ta razlika mala pa je matrica

približno jednaka jediničnoj matrici. Uz tu činjenicu dobivamo tražene komponente pogonske

sile:

−−=

−−⋅=

−−=

pp

pp

pp

pp

pp

ppAPP

Z

PY

PX

FFT

FFT

FFT

FFF

αβ

αβ

αβ JL f7.5

Komponentu AZF zbrojit ćemo s aerodinamičkom silom uzgona. Budući da smo u

aerodinamici odredili normalnu silu zrakoplova, silu uzgona zrakoplova dobit ćemo

transformacijom:

( )

−−=

N

A

YAL

D

C

C

C

C00 αL

Iz toga slijedi:

αα sincos ANAL CCC −=

( ) mNANNAL CCCCC δα δα +⋅−+= 0

Kako je uzgon suprotnog smjera od aerodinamičke osi z, trebamo dodati pogonsku

komponentu sili uzgona, te je konačno

( )ref

ppmNANNL Sq

FCCCCC

++⋅−+=α

δα δα0

Kako je Tup αεαα −−= (jednadžba 6.57 i 6.88) bit će poslije zamjene

mLLLL CCCC δα δα ++= 0 , 7.6

gdje je

Page 193: Mehanika Leta Zrakoplova

7-3Ravnotežni let

( )

.

1

00

δδ

αα αε

α

NL

u

ref

pANL

ref

TpNL

CCSq

FCCC

SqF

CC

=

∂∂

−+−=

−=

7.7

Komponente zbroja pogonskog i aerodinamičkog momenta trebamo duž osi letjelice. I

jedan i drugi moment već smo odredili upravo duž tih osi, te sada ih treba samo zbrojiti.

Pogonski moment propinjanja u oba slučaja (mlazni ili elisni motor) također ima isti oblik,

ααFFF MMM += 0

u kome su za slučaj mlazniog motora (jednadžbe 6.86):

( ) ( )

( ) ,1

sincos0

∂∂

−−=

−−−−=

αε

ααα

αu

puumF

TpuumTpmTpF

FM

FTTzM

ll

llll

a za slučaj eleisnog motora (jednadžba 6.95):

( ) ( )( ) .1

sincos0

∂∂

−−=

+−−=

αε

ααα

σα

σ

uppm

F

TpTpmTpF

FM

FTTzM

ll

ll

Uočimo da veličina FM 0 može biti i pozitivna i negativna, a da predznak FM α ovisi o tomu je

li usisnik, odnosno elisa, ispred ili iza središta mase zrakoplova. Gradijen FMα je isti po obliku

pa možemo koristiti zajedničku jednadžbu

( ) .1

∂∂

−−=αε

αu

ppmF FM ll 7.8

Pretpostavimo da nema kutne brzine ili su male te ih možemo zanemariti, što je slučaj u

ravnotežnom letu. U tom slučaju aerodinamički moment propinjanja ima oblik:

( )mmmmAA

mCCCcSqM δα δα ++= 0 7.9

Rezultirajući moment propinjanja, koji je zbroj pogonskog i aerodinamičkog momenta

propinjanja, imat će oblik

mMMMM δα δα ++= 0 , 7.10

gdje su:

Page 194: Mehanika Leta Zrakoplova

7-4 Ravnotežni let

δδ

ααα

ρ

ρ

ρ

mAref

mArefF

mArefF

CcSVM

CcSVMM

CcSVMM

2

2

2

2

2

0

2

00

=

+=

+=

7.11

Derivativi momenta propinjanja mmm CC δα i nisu samo funkcije Machova broja već ovise i o

napadnom kutu i otklonu kormila visine zbog savijanja struje i zbog nelinearnosti gradijenta

normalne sile krila. Ta ovisnost derivativa mmm CC δα i o napadnom kutu i otklonu kormila

visine za normalne zrakoplovne sheme može se zanemariti (ako napadni kut nije velik), ali u

slučaju zrakoplova sheme canard, koju imaju suvremeni borbeni zrakoplovi, mora se uzeti u

obzir ta nelinearnost.

7.1.3 Uzgon u ravnotežnom letu

Zbrajanjem komponenata pogona i aerodinamike, u općem slučaju na zrakoplov u letu djeluje

moment propinjanja i sila uzgona. Oba vektora ovise o napadnom kutu i otklonu kormila

visine

mLLLL δα δα ++= 0

mmMMMM δα δα ++= 0

To su dvije familije krivulja, koje su prikazane na slici 7.1. Na toj slici položaji krivulja

odgovaraju normalnoj shemi zrakoplova. Ovisnost sile uzgona ( )mLfL δα ,= o napadnom

kutu obično je funkcija bliska pravcu, a njihova međusobna udaljenost za različite otklone mδ

ovisi o veličini upravljačkih površina. U slučaju subsoničnih zrakoplova, kada su kormila

visine samo dio horizontalnog repa, one su vrlo bliske te se često zamjenjuju jednim pravcem.

Nasuprot tomu, krivulje momenta propinjanja ( )mm ,fM δα= za različite otklone kormila

visine mδ uvijek su razmaknute. Za normalne zrakoplovne sheme te krivulje su približno

linearne, a za konfiguracije tipa canard vrlo su nelinearne po napadnom kutu.

Pretpostavimo da letimo s otklonom mδ u ravnotežnom letu. Na donjem dijagramu

slike 7-1 točka A predstavlja stanje u letu jer po definiciji u ravnotežnom letu moment

propinjanja AM je nula, a točka A se nalazi na krivulji ( )mm ,fM δα= za zadano mδ . Iz te

jednadžbe

00 =++= mravA MMMM δα δα 7.12

Page 195: Mehanika Leta Zrakoplova

7-5Ravnotežni let

dobivamo ravnotežni napadni kut za postavljeni otklon kormila visine. Kada je moment

propinjanja jednak nuli, onda je napadni kut jednak ravnotežnom napadnom kutu ravα . To

znači da zadanom otklonu kormila visine mδ , u ravnotežnom letu, odgovara ravnotežni

napadni kut:

α

δ δαMMM m

rav −+

= 0 7.13

U ravnotežnom letu sila uzgona predstavljena je odgovarajućom točkom A u gornjemu dijelu

dijagrama na slici 7-1:

α

α

mm δδ <1A

B

D

DA

B

mm δδ <1

Nf

mf

Slika 7-1. Prijelaz iz jednoga u drugu ravnotežni let

mravrav LLLL δα δα ++= 0 ,

ili zamjenom za ravnotežni kut:

mm

mravrav LMMMLLLLLL δ

δδα δ

α

δαδα +

−+

+=++= 000

Page 196: Mehanika Leta Zrakoplova

7-6 Ravnotežni let

mrav LM

MLM

MLLL δδα

δα

αα

+

−+

−+= 0

0 7.14

Iz toga zaključujemo da u ravnotežnom letu sila uzgona ovisi isključivo o veličini otklona

kormila pravca mδ .

Vidjeli smo da napadni kut u ravnotežnom letu ovisi o otklonu kormila visine. Tu

ovisnost označavamo s ( )mrav δα . Iz gornje jednadžbe za ravnotežni napadni kut slijedi također

da on ima dva dijela. Prvi dio ( )αMM −0 ne ovisi o otklonu kormila visine mδ i to je

vrijednost napadnog kuta u ravnotežnom stanju kad je otklon kormila visine nula:

( )α

αM

Mrav −

= 00 . 7.15

Drugi dio je proporcionalan otklonu kormila visine. Taj koeficijent proporcionalnosti

α

δ

MMK −= 7.16

nazivamo aerodinamičko pojačanje (zajedno s njegovim predznakom). Predznak

aerodinamičkog pojačanja može biti i pozitivan i negativan, što ovisi o aerodinamičkoj shemi.

Za canard konfiguracije je 0>δM , 0<αM , pa je aerodinamičko pojačanje tih shema uvijek

pozitivno. Nasuprot tomu, normalna konfiguracija zrakoplova ima 0<δM , a αM može biti

negativno ili pozitivno, pa i aerodinamičko pojačanje može biti pozitivno i negativno. S tim

oznakama je ovisnost ravnotežnog napadnog kuta od otklona kormila visine:

( ) ( ) mravmrav K δαδα ⋅+= 0 7.17

7.1.4 Normalno opterećenje

Budući da proučavamo zrakoplove koji su aerodinamički upravljivi, bitna je veličina sile

uzgona i sposobnost zrakoplova da je mijenja jer se pomoću te sile upravlja zrakoplovom.

Zato se odnos intenziteta sile uzgona prema težini zrakoplova naziva normalno opterećenje

(load factor) i označava se sa skalarom n bez indeksa:

WLn = 7.18

Drugim riječima to znači da je faktor opterećenja veličina uzgona izražena u težinama

letjelice. Međutim, taj koeficijent ima šire značenje. Da bismo razumjeli njegovo značenje,

promatrajmo relativno gibanje mase m u zrakoplovu.

Page 197: Mehanika Leta Zrakoplova

7-7Ravnotežni let

kpvezer amamgmFam rrrrr−−+= ;

• vezeFr

su sile veze koje djeluju na masu m u zrakoplovu,

• par je prijenosno ubrzanje koje je jednako apsolutnom ubrzanju one točke zrakoplova u

kojoj se nalazi masa m,

• kar je Coriolisovo ubrzanje rVrr

×Ω2 .

Ako masa m miruje u zrakoplovu, onda je relativno ubrzanje te mase 0=rar i njena relativna

brzina 0=rVr

, te nema ni Coriolisova ubrzanja. Iz jednadžbe za relativno gibanje dobivamo da

su sile veza koje djeluju na masu m proporcionalne prijenosnom ubrzanju:

gmamF pvezerrr

−=

Pretpostavimo da se mala masa m nalazi u središtu mase zrakoplova. U tom slučaju prijenosno

ubrzanje jednako je ubrzanju središta mase zrakoplova:

gWWLDTa p

rrrrr +++

=

Ako zrakoplov leti konstantnom brzinom, onda je 0=+ DT . Prijenosno ubrzanje koje je

jednako ubrzanju središta mase zrakoplova ima vrijednost:

gnggW

WWLg

gWWLa p

rrrrrr

r+=+=

+=

To znači da je u tom slučaju potrebna sila u vezama koja će držati masu m u mirovanju:

( ) nmggmgngmFvezerrrrr

⋅=−+= 7.19

Vidimo da na masu m, osim njene težine mg, djeluje i dodana sila nmg ⋅ u pravcu sile uzgona.

Znači da na tu malu masu m, koja je u relativnoj ravnoteži u zrakoplovu, djeluje osim težine

još i dopunska sila koja je umnožak njene težine mg i normalnog opterećenja n u smjeru i

pravcu uzgona. Koliko bi normalno opterećenje n (u smjeru i pravcu uzgona) bilo veće, toliko

je veća dopunska sila koja djeluje na malu masu m. To je značenje riječi opterećenje .

Konačno, ako zrakoplov leti konstantnom brzinom u horizontalnom letu, onda je

WL = ili 1=n , a zato što je vektorski zbroj ovih sila jednak nuli, nema prijenosnog ubrzanja

0=+

=m

WLa p

rrr ,

što znači da na masu m ne djeluje dopunska inircijska sila pamr− , a sila veze je gmFveze

rr−= .

Taj isti zaključak slijedi iz gornje jednadžbe nmgFirr

⋅= , jer vektor nr ima intenzitet 1, a smjer

u pravcu uzgona.

Page 198: Mehanika Leta Zrakoplova

7-8 Ravnotežni let

Čovjekov organizam može podnijeti neku najveću vrijednost ove sile, i zato faktor

opterećenja mora biti manji od neke vrijednosti humenn . Isto tako konstrukcijske veze

omogućuju faktor opterećenja do neke vrijednosti sn . Kad bi faktor opterećenja premašio tu

vrijednost, onda bi došlo do kidanja veza u strukturi. Zato je nužno da faktor opterećenja u letu

bude manji od tih ograničenja.

7.1.5 Primjer

Odrediti opterećenje malog zrakoplova za najveći otklon kormila visine, ako je za taj otklon

koeficijent sile uzgona 75% od maksimalne vrijednosti 45.1max =LC , pri zemlji i brzini leta

[ ]smV 50=

mg

CSV

WLn

Lref2

==

Za maksimalni otklon kormila visine je 09.145.175.0 =⋅=LC pri zemlji i brzinom leta

[ ]smV 50=

36.281.91088

09.11.152

50225.1 2

max =⋅

⋅⋅

=n

7.2 Stabilnost ravnotežnog leta

Ravnotežni let bit će stabilan ako se opet uspostaviti ravnotežni let kakav je bio, kad neki

vanjski poremećaj leta naruši tu ravnotežu (npr. udar uzdužnog vjetra, ulazak u oblak gdje je

povećana gustoća i dr.). Postoje dvije stabilnosti ravnotežnog leta: uzdužna stabilnost i bočna

stabilnost.

Zrakoplov je uzdužno stabilan ako poremećaj napadnog kuta α∆ (zbog vanjskih

uzroka) stvara promjena momenta propinjanja koja nastoji poništiti taj poremećaj napadnog

kuta.

U bočnom gibanju zrakoplova promatramo stabilnost skretanja i valjanja. Tako

kažemo da je zrakoplov bočno stabilan, ako se zbog poremećaja kuta klizanja β∆ i (ili)

poremećaja kuta valjanja φ∆ pojave promjene momenata skretanja N∆ i valjanja L∆ koje

smanjuju te poremećaje kuta klizanja i kuta valjanja.

Page 199: Mehanika Leta Zrakoplova

7-9Ravnotežni let

7.2.1 Uvjeti uzdužne stabilnosti ravnotežnog leta

Vidjeli smo da točka A na slici 7-1 predstavlja stanje letjelice, tj. njen napadni kut za zadani

kut otklona kormila visine. Prvo treba u ravnotežnom letu potreban je pozitivan napadni kut

ravα , a zatim taj ravnotežni kut treba biti stabilan.

Zrakoplov treba za svaku vrijednost otklona kormila visine mδ imati određeni napadni

kut ravα za koji je moment propinjanja jednak nuli:

ravm MMM αδ αδ ++= 00

To znači da postoji ravnoteža između dva momenta mMM δδ+0 i ravM αα . Kad letjelica leti

s tim kutom ravα , onda je ukupni moment propinjanja jednak nuli, tj. nema momenta

propinjanja, letjelica se ne okreće oko osi y, napadni kut ravα se ne mijenja. Kaže se da je

letjelica u ravnotežnom letu (istrimana letjelica).

Postavlja se pitanje je li letjelica u letu s napadnim kutom ravα stabilna. Drugim

riječima ako iz bilo kojih razloga nastane poremećaj napadnog kuta α∆ , pa napadni kut ima

novu vrijednost α∆αα += rav , što će se zbiti? Zbog tog poremećaja α∆ narušena je

ravnoteža između dva momenta mMM δδ+0 i ααM . Rezultirajući moment propinjanja nije

jednak nuli. Za poremećeni napadni kut α∆α +rav bit će taj rezultirajući moment propinjanja

( )α∆αδ αδ +++= ravm MMMM 0 .

Međutim, kako je 00 =++ ravm MMM αδ αδ , bit će novi moment propinjanja

αα ∆= MM

Sve ovisi o predznaku derivativa αM . Ako je 0<αM , onda novi moment propinjanja M ima

suprotan predznak od α∆ . Tako će novi moment propinjanja α∆αMM = , koji je nastao zbog

poremećaja napadnog kuta, biti negativan u slučaju povećanja napadnog kuta, a to znači da će

smanjivati napadni kut, tj. težiti da se letjelica vrati u prvobitni položaj ravα . Ili, ako je

poremećaj napadnog kuta bio negativan, moment propinjanja α∆αMM = bit će pozitivan pa

će povećavati napadni kut, tj. opet će težiti da vrati letjelicu u prvobitni položaj ravα . To znači

da letjelica sa 0<αM ima stabilan let s napadnim kutom ravα . U tom slučaju kada je

0<αM , da bi ravnotežni napadni kut

α

δ δα

MMM m

rav −+

= 0 7.20

Page 200: Mehanika Leta Zrakoplova

7-10 Ravnotežni let

bio pozitivan, mora biti mMM δδ+0 pozitivno. Tako dobivamo dva uvjeta za stabilan

ravnotežni napadni kut:

.0

0

0 >+<

mMMM

δδ

α 7.21

Slika 7-2. Statička stabilnost i nestabilnost

Ovakvu stabilnost u ravnotežnom letu zovemo statička stabilnost leta, tj. to su dva uvjeta

statičke stabilnosti leta. Međutim to nisu jedini mogući uvjeti stabilnosti u ravnotežnom letu.

Do sada smo smatrali da je otklon upravljačke površine mδ proporcionalan otklonu

samo otklonu pilotske palice, tj. da je izravno pod kontrolom pilota. Ako letjelica nema

statičku stabilnost, ona može biti stabilizirana pomoću povratne veze. Povratna veza je dodani

otklon mδ∆ koji se zbraja s otklonom mδ , tako da je otklon upravljačke površine mm δ∆δ + ,

zbroj otklona mδ izravno od pilota, i dodanog otklona mδ∆ iz povratne veze. U tom je slučaju

moment propinjanja

( ) ( ) α∆δ∆α∆αδ∆δ αδαδ MMMMMM mravmm +=++++= 0 ,

jer i dalje vrijedi jednadžba ravnotežne letjelice ravm MMM αδ αδ ++= 00 . Taj dodani otklon

iz povratne veze mδ∆ može osigurati da ovaj rezultirajući moment M bude suprotnog

predznaka od poremećaja α∆ , a to znači da statički nestabilna letjelica s povratnom vezom

može biti stabilna. Takvu stabilnost nazivamo sintetična stabilnost.

Page 201: Mehanika Leta Zrakoplova

7-11Ravnotežni let

7.2.2 Uzdužna statička stabilnost

Da bismo povećali napadni kut zrakoplova, trebamo negativan otklon kormila visine. Kada

smo promijenili otklon kormila visine mm δδ <1 , normalna sila predstavljena je točkom B na

gornjemu dijagramu slike 7-1, a pojavio se moment propinjanja ( )1, mAmB fM δα= određen

ordinatom točke B u donjemu dijagramu iste slike. Taj moment okreće letjelicu i povećava

napadni kut od vrijednosti Aα do vrijednosti Dα . Kako je letjelica stabilna ( 0<αM ),

povećanje napadnog kuta AD ααα∆ −= stvara dodatni negativni aerodinamički moment

0<= α∆∆ αMM propinjanja, tako da letjelica postiže novi ravnotežni položaj predstavljen

točkom D u kojoj je ( ) 0, 1 == mDmD fM δα . U točki D moment propinjanja je opet nula i

letjelica je opet u ravnotežnom stanju, ali sada je normalna sila veća, kao što se vidi u točki D

u gornjemu dijelu slike. Prelazak iz točke A u točku D predstavlja prijelazni proces. On je

opisan u zadnjem poglavlju ove knjige.

Statički stabilna letjelice na svaki zauzeti otklon upravljačkih površina poslije

prijelaznog procesa zauzima novi ravnotežni položaj u kome je moment za središte mase

jednak nuli. Kada promatramo let transportnih zrakoplova, tada nema velike i nagle promjene

otklona kormila visine, kao što je slučaj s borbenim lovcima ili akrobatskim zrakoplovima. Za

transportne zrakoplove u prvoj iteraciji možemo usvojiti da su oni za vrijeme leta stalno u

ravnotežnom stanju, a to znači da je 0=M , odnosno da je napadni kut uvijek ovisan samo o

otklonu kormila visine.

7.2.3 Neutralna točka

Gradijent rezultirajućeg momenta po napadnom kutu zbroj je dvaju gradijenata

ααα mAF CqScMM += 7.22

Ovaj prvi uslijed pogonske sile određuje se prema jednadžbama 7.8 :

( )

∂∂

−−=αε

αu

pmpF FM 1ll 7.23

u kojoj je eliseppp FF ll == ,σ (jednadžba 6.87) kad je riječ o pogonu pomoću elise, a

uppup FF ll == , (jednadžba 6.87) kad zrakoplov ima mlazni motor. Samo u slučaju ako je

elisa ili ulaz u mlazni motor iza središta mase 0<− pm ll , ovaj član doprinosi stabilnosti. U

većini slučajeva oni su pozitivni te aerodinamički gradijent treba biti ne samo negativan nego i

Page 202: Mehanika Leta Zrakoplova

7-12 Ravnotežni let

manji od neke negativne vrijednosti. To znači da negativan gradijent aerodinamičkog

koeficijenta momenta propinjanja 0<αmC ne osigurava prvi uvjet stabilnosti 0<αM .

Gradijent momenta propinjanja αM koji treba biti negativan ovisi o položaju središta

mase. Vidjeli smo da je taj gradijent zbroj: pogonskog momenta i aerodinamičkog momenta

propinjanja. Dijeljenjem s referentnim momentom dobivamo:

ααα

mAref

F

Aref

CcqS

McqS

M+= 7.24

Gradijent aerodinamičkog koeficijenta momenta propinjanja zrakoplova ima tri komponente:

od krila, horizontalnog repa i tijela (jednadžbe 3.64, 3.78 i 3.80)

( ) ( ) ( ) fmhBmWBmAm CCCC αααα ++= 7.25

Kada zamijenimo vrijednosti za ova tri gradijenta prema jednadžbama koje smo izveli u

trećem poglavlju i uvedemo opću oznaku pogonski gradijent, dobivamo:

( )

( ) ( ) ( ) ( )Aref

fffchmhN

ref

hVcwmWNBW

ref

w

pmu

ref

p

Aref

cSLWK

CSSCK

SS

qSF

cqSM

2

1

1

+−

∂∂

−+−+

+−

∂∂

−=

llll

ll

αεη

αε

αα

α

7.26

Postoji jedan položaj središta mase za koji je 0=αM . Nazivamo ga neutralna točka.

Udaljenost neutralne točke od vrha, podijeljenu sa aerodinamičkom tetivom krila označavamo

sa nl . Dobiva se iz jednadžbe:

( )

( ) ( ) ( ) ( ) 01

1

2

=+−

∂∂

−+−+

+−

∂∂

Aref

fffchnhN

ref

hVcwnWNWB

ref

w

pnu

ref

p

cSLWK

CSSCK

SS

qSF

llll

ll

αεη

αε

αα

7.27

Oduzimanjem ove jednadžbe od prethodne dobivamo:

( ) ( ) ( )nmhNref

hVWNWB

ref

wu

ref

p

Aref

CSS

CKSS

qSF

cqSM

ll −

∂∂

−++

∂∂

−=αεη

αε

ααα 11 7.28

Kako je

( ) ( ) ,1

21

2

∂∂

−++

∂∂

−=

+=

αεηρ

αε

αα

ααα

hNref

hVWNWB

ref

wref

up

AN

CSSCK

SSSVF

NFN

iz ove dvije zadnje jednadžbe dobivamo:

Page 203: Mehanika Leta Zrakoplova

7-13Ravnotežni let

( )nmrefAref qS

NcqS

Mll −= αα . 7.29

Sad se jasno vidi da će prvi uvjet statičke stabilnosti 0<αM biti ispunjen ako je

nm ll < 7.30

tj. ako je središte mase ispred neutralne točke. Što je više središte mase ispred neutralne točke,

to će bolje biti zadovoljen uvjet statičke stabilnosti. Položaj neutralne točke odrežujemo iz

jednadžbe 7.27 sređivanjem dobivamo:

( ) ( )

( ) ( )

∂∂

−++

∂∂

−⋅

∂∂

−+⋅+⋅

∂∂

=

αεη

αε

αεη

αε

αα

αα

11

112

hNref

hVWNWB

ref

wu

ref

p

Aref

fffchhN

ref

hVcwWNWB

ref

wp

u

ref

p

n

CSSCK

SS

qSF

cSLWK

CSSCK

SS

qSF

lll

l . 7.31

7.2.4 Primjer

Odredit ćemo neutralnu točku malog putničkog zrakoplova (odjeljak 5).

Udaljenost neutralne točke od vrha letjelice s elisnim pogonom dobivamo iz uvjeta da

je za neutralnu točku zbroj gradijenata pogonskog momenta i aerodinamičkog momenta

propinjanja jedna k nuli.

0=+ αα MM F

ili

0=+ αα

mAref

F

CcqS

M

U primjeru iz odjeljka 6.5.3 izračunali smo koeficijent propinjanja pogonskog momenta za

mali putnički zrakoplov

( )( )pmTref

p

Aref

F

SqF

cSqM

ll −−=∞∞

αασ

a za neutralnu točku je koeficijent tog momenta

( )( )pnTref

p

Aref

F

SqF

cSqM

ll −−=∞∞

αασ

Njegov gradijent bit će ( 0=Pl )

( ) npnref

p

Aref

F

SqF

cSqM

lll ⋅=−=∞∞

0132.0σα

Aerodinamički moment propinjanja izračunan je u odjeljku 5.3.6

Page 204: Mehanika Leta Zrakoplova

7-14 Ravnotežni let

( ) ( )( ) ( ) mhmwm

mfmmm

hihih

KhhC

192.0055.0446.0212.1640.3254.0

216.0607.072.4482.1

+−⋅−−⋅−−

−⋅−−⋅−−= δα

Bez obzira na to koliki su postavni kutovi Wi i hi , bit će gradijent aerodinamičkog momenta

propinjanja

( )nm hC 72.4482.1 −−=α

Ukupni gradijent momenta propinjanja za neutralnu točku mora biti jednak nuli:

( ) 072.4482.10132.0 =−− nn hl

Iz jednakosti

875.0698.1486.1

−=−=−

= nnA

Ann c

h llll

zamjenom u gornju jednadžbu dobivamo

( ) 0875.072.4482.10132.0 =−⋅+− nn lr

l

186.1=nl

To znači da je neutralna točka udaljena od vrha

mcAnn 014.2698.1186.1 =⋅== ll

Ako se središte mase na udaljenosti od vrha letjelice mm 719.1=l onda je

17.0698.1

719.1014.2=

−=− mn ll

To znači da postavni kutovi krila i horizontalnog repa nemaju utjecaja na položaj neutralne

točke.

7.2.5 Bočna statička stabilnost

U ravnini simetrije zrakoplova pozitivni moment propinjanja M povećava pozitivni napadni

kut, ali u poprečnoj ravnini, pozitivni moment skretanja smanjuje pozitivni kut skretanja.

Pretpostavimo da zrakoplov leti pravocrtno bez kuta klizanja i bez valjanja, tj. 0=β i 0=φ .

Otklon kormila pravca neka je nula 0=nδ . U takvom pravocrtnom letu kutne brzine su nula,

0=== rqp . U tom letu aerodinamički moment valjanja i skretanja kao i od pogonske sile

jednaki su nuli. Neka je u jednom trenutku zapuhnuo bočni vjetar, takav da se pojavio kut

klizanja 0>β kao na slici 7-3. Kao posljedica toga kuta je pojavljuje se aerodinamički

moment valjanja i momenta skretanja:

Page 205: Mehanika Leta Zrakoplova

7-15Ravnotežni let

βρ

βρ

β

β

nrefA

refA

bCSVN

bCSVL

2

22

2

=

= l

7.32

kao i pogonski momenti prema jednadžbama 6.81 i 6.91:

ppF zFL β=

( )pmpF FN ll −−= β

u kojima je za elisni motor elisappp FF ll == ,σ , a za mlazni motor uppup FF ll == , .

Vk

V

β

y

x

0>nδ

ββnC

nn nC δδ

VW

VW

Slika 7-3. Zrakoplov i bočni vjetar

Uvjet je bočne statičke stabilnosti da zbroj momenata skretanja

( )ββρβ pmpnref

FA FbCSVNN ll −−=+2

2

bude pozitivan kako bi svojim djelovanjem smanjivao nastali kut klizanja β . Prema

konvenciji predznaka, da bi moment skretanja FA NN + smanjivao nastali kut klizanja 0>β ,

on treba biti pozitivan, a to znači da mora biti

Page 206: Mehanika Leta Zrakoplova

7-16 Ravnotežni let

( ) 02

2

>−− pmpnref FbCSVllβ

ρ

ili

( )

bSVF

C

ref

pmpn

2

2ρβ

ll −> 7.33

Kako je prema jednadžbi 4.8

( ) ( ) ( )fnWBnVBnn CCCC ββββ ++= ,

Prema jednadžbama 4.11 i 4.13

( ) ( )b

KCSSC mCVV

VBVNref

VVVBn

ll −=

∂β∂β

η αβ .

( )bSW

DVC

reff

fffn 3.1−=β ,

dok je ( )WBnC β proporcionalno kvadratu koeficijenta uzgona.

( ) ( ) ( )bSW

DV

SVF

Cb

KCSS

reff

ff

ref

pmpWBn

mCVVBVN

ref

VVV 3.1

2

2 +−

>+−

⋅⋅∂∂

ρββ

η βα

llll

Ovaj uvjet nije teško ispuniti odgovarajućim dimenzioniranjem produkta ( )mCVVS ll −

vertikalnog repa, koji nazivamo volumen vertikalnog stabilizatora. Taj produkt lako

udovoljava i strožijem uvjetu

( ) ( )bSW

DV

SVF

bKC

SS

reff

ff

ref

pmpmCVVBVN

ref

VVV 3.1

2

2 +−

>−

⋅⋅∂∂

ρββ

η α

llll

Za dimenzioniranje vertikalnog repa postoje još teži zahtjevi koje ćemo razmotriti u poglavlju

o upravljivosti bočnog gibanja.

7.3 Upravljivost u ravnotežnom letu

7.3.1 Upravljivost u uzdužnom gibanju

Sila uzgona mijenja pravac brzine te ona predstavlja upravljačku silu:

( ) ( ) mLANNNN qSCqSCqSCFqSCFL δα δαα +−+++= 00 7.34

Ima tri komponente:

Page 207: Mehanika Leta Zrakoplova

7-17Ravnotežni let

• prva je konstantna

0

2

00 2 Nrefp

Y CSVFL ρ+= 7.35

• druga je proporcionalna napadnom kutu i ona je najvažnija

( ) αρα ααα

−+= ANref

pY CCSVFL

2

2

7.36

• treća je proporcionalna otklonu upravljačkih površina

mNrefm CSVLm

δρδ δδ 2

2

= . 7.37

U ravnotežnom letu, kada je 0=M , kod aerodinamičke sheme canard treća je komponenta u

istom smjeru kao i druga, a kod normalne sheme u suprotnom je smjeru. Zato je rezultirajuća

normalna shema kod canard konfiguracije veća u odnosu na normalnu shemu. To je jedan od

razloga što zrakoplovi koji trebaju imati velike manevarske mogućnosti imaju canard

konfiguracije.

Sila uzgona u ravnotežnom stanju ovisi samo o otklonu kormila visine jer ravnotežni

napadni kut ovisi o otklonu kormila visine.

α

δ δα

MMM m

rav −+

= 0 7.38

Uvrstimo li ovu vrijednost za ravnotežni napadni kut u jednadžbu za silu uzgona, dobivamo:

mm

mravrav LMMMLLLLLL δ

δδα δ

α

δαδα +

−+

+=++= 000

mrav LM

MLM

MLLL δδα

δα

αα

+

−+

−+= 0

0 7.39

Apsolutna vrijednost derivacije sile uzgona po otklonu kormila visine

δα

δαδ

LM

MLddL

m

rav +−

= 7.40

mjera je upravljivosti, jer pokazuje za koliko se promijeni upravljačka sila kad se promijeni

otklon kormila visine, bez obzira na koju stranu. Da bismo vidjeli utjecaj položaja središta

mase na upravljivost, podsjetimo se jednadžbe za gradijent momenta propinjanja ovisno o

položaju neutralne točke i središta mase:

( )mnrefAref qS

NcqS

Mll −−= αα 7.41

Iz te jednadžba dobivamo vezu ( αα LN = )

Page 208: Mehanika Leta Zrakoplova

7-18 Ravnotežni let

( )mnAcLM

ll −−=α

α 7.42

Zamjenom u gornju jednadžbu 7.40, dobivamo ovisnost upravljivosti o položaju središta mase

i normalne točke:

( ) m

m Lc

MddL

mnAm

ravδ

δ

δ+

−=

ll 7.43

gdje su, podsjetimo se, m

Lδ i m

M δ određeni jednadžbama 3.89 i 3.90 u odjeljku 3.2.4. U ovoj

jednadžbi pojavljuje se totalna i parcijalna derivacija uzgona. Totalna derivacija koeficijenta

uzgona (ili koeficijenta normalne sile) po otklonu kormila visine, moguća je s obzirom na

zavisnost napadnog kuta α od otklona kormila visine mδ prema jednadžbi 7.38 koja postoji u

ravnotežnom let. Drugim riječima jednadžba 7.43 kao mjerilo upravljivosti, postoji samo u

ravnotežnom letu kada važi jednadžba 7.38.

Jednadžba 7.43 pokazuje utjecaj mn ll − na upravljivost i jasno ukazuje da

upravljivost opada s povećanjem razlike ( )mn ll − . Tako dolazimo do spoznaje da središte

mase ne treba ići suviše prema naprijed, kako smo to željeli zbog statičke stabilnosti, jer se

time smanjuje upravljivost letjelice. To znači da su uvjet statičke stabilnosti i uvjet

upravljivosti oprečni. To je jedan od razloga što se za zrakoplove koji trebaju velike

manevarske mogućnosti, pitanje stabilnosti rješava pomoću povratne veze (sintetična

stabilnost) i canard konfiguracija.

Za transportne zrakoplove koji ne trebaju velike manevarske mogućnosti primjenjuje

se normalna shema. Položaj krila i dimenzije horizontalnog repa određuju se tako da neutralna

točka bude na udaljenosti od središta mase 2% do 5% aerodinamičke tetive, tj.

05.002.0 >−> mn ll 7.44

Maksimalnu silu uzgona postižemo pri maksimalnom napadnom kutu. Taj napadni kut treba se

ostvariti s najvećim otklonom kormila visine, no u određenim granicama, jer u suprotnom

dolazi do odvajanja struje i pada učinkovitost kormila. Isto tako maksimalni napadni kut ne

smije biti veći od neke granične vrijednost maxα , jer u suprotnome naglo pada uzgon

zrakoplova (stall). Tom maksimalnom otklonu kormila visine maxmδ odgovara u ravnotežnom

letu najveći dopušteni napadni kut zrakoplova, a on je 25% manji od najvećeg napadnog kuta

pri kome nastaje stall. Znači da maksimalnom otklonu kormila visine maxmδ treba odgovarati

ravnotežni kut max75.0 α⋅ . Iz jednadžbe za ravnotežni napadni kut

Page 209: Mehanika Leta Zrakoplova

7-19Ravnotežni let

α

δ δα

MMM m

rav −

+=⋅ max0

max75.0 7.45

možemo odrediti koliko je potrebno aerodinamičko pojačanje (odnos αδ MM ) letjelice.

7.3.2 Primjer

Odrediti postavni kut horizontalnog repa malog putničkog zrakoplova tako da je za

maksimalni otklon kormila visine 018=mδ sila uzgona %75 od maksimalne kritične

vrijednosti 45.1=LC , ako je postavni kut krila 01+=wi , a udaljenost središta mase od

aerodinamičkog ishodišta 1370.hm = .

Jednadžbe koje daju koeficijente aerodinamičke sile uzgona i momenta propinjanja

izračunane su u odjeljku 5.3.5 i 5.3.6:

192.0446.064.3216.072.4 ++++= hwmfAL iiKC δα

( ) ( )( ) ( ) mhmwm

mfmmAm

hihih

KhhC

192.0055.0446.0212.1640.3254.0

216.0607.072.4482.1

+−⋅−−⋅−−

−⋅−−⋅−−= δα

Za 1370.hm = i postavni kut krila 01=wi ove jednadžbe daju vrijednosti:

256.0446.0216.072.4 +⋅+⋅+= hmfAL iKC δα

024.0151.1577.0835.0 −⋅−⋅−⋅−= hmfAm iKC δα

Tim koeficijentima trebamo dodati i odgovarajuće koeficijente od pogonske sile i pogonskog

momenta koje smo odredili u šestom poglavlju i konkretno izračunali u primjeru 6.5.3

α⋅−==∞

0132.00010.0ref

ZFZ Sq

FC

0068.00134.0 +⋅==∞

αAref

FFm cSq

MC

Tako dobivene koeficijente zbrajamo s aerodinamičkim. Pri tome vodimo računa da je FN

FZ CC −= :

255.0446.0216.073.4 +⋅+⋅+= hmfL iKC δα

017.0151.1577.0822.0 −⋅−⋅−⋅−= hmfm iKC δα

Iz uvjeta da pri otklonu kormila visine 314.0180 −=−=mδ (za taj otklon je 87.0=fK )

imamo 75% od maksimalne sile uzgona, dobivamo dvije jednadžbe s dvije nepoznanice:

Page 210: Mehanika Leta Zrakoplova

7-20 Ravnotežni let

( ) 255.0446.0314.087.0216.073.445.175.0 ++−⋅⋅+=⋅ hrav iα

( ) 017.0151.1314.087.0577.0822.0 =⋅−−⋅⋅−− hrav iα

Kad se urede te jednadžbe imaju oblik

892.0446.073.4 =⋅+⋅ hrav iα

141.0151.1822.0 =⋅+ hrav iα

Iz tih dviju jednadžbi trebamo odrediti hi i ravα . Njihovo rješenje je

0

0max

7.0013.0

9.10190.0

−=−=

==

hi

α

S dobivenim postavnim kutom horizontalnog repa, jednadžbe ukupnog koeficijenta sile

uzgona i ukupnog momenta propinjanja imaju oblik:

249.0216.073.4 +⋅+= mfL KC δα

002.0577.0822.0 −⋅−⋅−= mfm KC δα

U horizontalnom letu uzgon je jednak težini te ako je pri najvećoj masi malog zrakoplova

kgm 1088= brzinu leta smV 4.54= , treba biti:

474.01.15

24.54007.181.91088

2

22 =⋅

⋅==

ref

L

SVmgC

ρ

To znači da će u horizontalnom letu trebati otkloniti kormilo visine za veličinu koju

određujemo iz jednadžbi

249.0216.073.4474.0 +⋅+= mfK δα

002.0577.0822.00 −⋅−⋅−= mfK δα

ili

225.0216.073.4 =⋅+ mfK δα

002.0577.0822.0 −=⋅+⋅ mfK δα

Rješenje ovih jednadžbi je

0

0

4.40762.0

9.20510.0

−=−=

==

mf

rav

K δ

α

Za otklone upravljačkih površina manje od 010 prema slici 2-16 je 1=fK .

Page 211: Mehanika Leta Zrakoplova

7-21Ravnotežni let

7.3.3 Upravljivost bočnog leta

Bočno stabilna letjelica okrenut će se “uz vjetar”, poništit će kut klizanja β , ali će zato

promijeniti pravac leta. Da bi nastavila letjeti u željenom pravcu, letjelica mora letjeti s kutom

klizanja β , a da pri tome moment skretanja i moment valjanja budu i dalje jednaki nuli kao

prije pojave bočnog vjetra. Ta ravnoteža momenata skretanja i valjanja postiže se otklonom

kormila pravca nδ i krilaca lδ . Drugim riječima, u uvjetima bočnog vjetra koji stvara kut

klizanja β , trebaju otkloni kormila pravca nδ i krilaca lδ biti takvi da ukupni moment

valjanja i ukupni moment skretanja budu jednaki nuli:

( ) 02

2

=+++=+= nfrefppAF KCCCbSVFzLLL

nδδβρβ δδβ llll l

( ) ( ) 02

2

=+++⋅−−=+= nfnnnrefpumAF KCCCbSVFNNN

nδδβρβ δδβ ll

ll

Te jednadžbe kad se urede imaju oblik:

( ) βρ

δδ

βρ

δδ

βδδ

βδδ

+−−

−=+

+−=+

npm

ref

pnfnn

p

ref

pnf

CSV

FKCC

CzSV

FKCC

n

n

lll

llll

l

l

2

2

2

2

7.46

Dobivene jednadžbe moraju imati realno rješenje, tj. učinkovitost krilaca i kormila pravca

moraju biti dovoljna da se omogući let u uvjetima dopuštenog vjetra. Kako su otkloni

ograničeni najvećim vrijednostima, bočna stabilnost zrakoplova je zadovoljena ako je kut

klizanja manji od neke vrijednosti maxβ koja je u općem slučaju ovisna o Machovom broju.

Uvjeti sigurnosti zrakoplova s više motora zahtijevaju i više od toga, jer ako otkaže

jedan od dva motora, onda se pojavljuje (prema jednadžbi 6.93 za elisni pogon, a prema

jednadžbi 6.83 za slučaj mlaznog motora) moment skretanja

( ) pppmTpF FTyN βα ll −−−= cos 7.47

i moment valjanja:

ppTpF FzTyL βα σ+= sin 7.48

Page 212: Mehanika Leta Zrakoplova

7-22 Ravnotežni let

u kojima je za elisni motor elisappp FF ll == ,σ , a upuppup FF ββ === ;, ll za mlazni

motor. U oba slučaja pojavljuje se vrlo snažna komponenta momenta skretanja TpTy αcos

koja nije više uravnotežena simetričnim motorom s druge strane. Osim toga, na drugoj strani

umjesto pogonske sile T stvara se aksijalna sila PA strujanja kroz motor suprotnog smjera.

Tako se taj moment skretanja oko osi z još dodatno povećava:

( ) Tpp ATy αcos+−

Treba uzeti u obzir onu kombinaciju otkaza motora ( py pozitivno za desni motor ili negativno

za lijevi) i bočnog vjetra kada se aerodinamički moment βρβnref bCSV

2

2

uslijed bočnog

vjetra i moment skretanja motora ( ) Tpp ATy αcos+− zbrajaju. Za bočni vjetar, kao na slici

2-7 koji stvara pozitivan kut klizanja, nepovoljan je otkaz desnog motora, jer lijevi motor

( 0<py ) povećava taj kut klizanja. Jednadžba ravnoteže momenata skretanja ima oblik:

( ) ( ) ( ) 02

cos2

=+++−−+− llll δδβρβα δδβ nnfnnrefpppmTpp CKCCbSVFATy

n.

Isto tako i u jednadžbi valjanja pojavljuje se novi član ( ) Tpp ATy αsin+ pa ona dobiva oblik:

( ) ( ) 02

sin2

=+++++ nfrefppTpp KCCCbSVFzATyn

δδβρβα δδβ llll l.

Kad se ove jednadžbe urede, one imaju oblik:

( )

( ) ( ) βρρ

αδδ

βρρ

αδδ

βδδ

βδδ

−−++

=+

+−+

=+

npm

ref

pp

ref

Tpnfnn

p

ref

pp

ref

Tpnf

CSV

Fy

SVAT

KCC

CzSV

Fy

SVAT

KCC

n

n

lll

llll

l

l

22

cos

22

sin

22

22

7.49

Bitno je uočiti da u ovom slučaja rješenja nδ i lδ ovise o aerodinamičkoj brzini V. Kako

otkloni ne smiju biti veći od nekih maksimalnih vrijednosti koje osiguravaju pravilno

opstrujavanje kormila pravca i krilaca, koje su fizički ograničene na zrakoplovu, slijedi da za

zadani kut klizanja (propisuje se standardima 0.2), mora brzina V biti veća od neke vrijednosti

koja se zove minimalna brzina upravljanja (minimum control speed) i označava se sa cmV . To

znači da zrakoplov pri zalijetanju na pisti tek kada dostigne tu brzinu može kompenzirati bočni

vjetar i eventualni otkaz jednog bočnog motora.

Page 213: Mehanika Leta Zrakoplova

7-23Ravnotežni let

7.3.4 Primjer

Mali zrakoplov pri aerodinamičkoj brzini smV 10= u uvjetima bočnog vjetra smvW 8=

ima kut klizanja 010=β . Koje otklone kormila pravca i krilaca treba imati da bi savladao

bočni vjetar

U odjeljku 6.5.3 izračunano je

0132.0

2

2 =

ref

p

SVF

ρσ ,

te je uvjet bočne stabilnosti

( )0026.0

77.8719.10132.0

2

154.0 2 =⋅=−

>=bSV

FC

ref

pmpn ρ

σβ

ll

više nego zadovoljen. Pri postojanju bočnog vjetra koji stvara kut klizanja 1745.0100 ==β

potrebni otkloni određeni su jednadžbama:

( )β

ρδδ

βρ

δδ

βσ

δδ

βδδ

+−−

−=+

+−=+

n

ref

pmpnfnn

p

ref

pnf

CbSV

FKCC

CzSV

FKCC

n

n

2

2

2

2

lll

llll

l

l

Za mali zrakoplov gradijenti koeficijenta momenta skretanja određeni su u potpoglavlju 5.4, a

momenta valjanja u 5.5. Os motora prolazi kroz središte mase te je 0=pz . Za te vrijednosti

ove jednadžbe imaju oblik:

[ ]

1745.0154.077.8

719.10125.00721.00344.0

1745.0105.00122.0517.0

+⋅−=⋅−⋅−

⋅−−=⋅+⋅

nf

nf

K

K

δδ

δδ

l

l

Poslije sređivanja dobivamo:

0273.00721.00344.00183.00122.0517.0−=⋅−⋅−

=⋅+⋅

nf

nf

KK

δδ

δδ

l

l

Rješenje je

0

0

0.21366.0

5.10268.0

==

==

nfK δ

δ l

Page 214: Mehanika Leta Zrakoplova

7-24 Ravnotežni let

Korekcija uz otklon kormila pravca za relativnu debljinu 9% prema slici 2-16 jest reda

veličine 70.0=fK , pa je potreban otklon kormila pravca 030=nδ . Budući da je taj otklon

kormila pravca najveća moguća vrijednost, znači da je kut 010=β zbog bočnog vjetra

najveća vrijednost pri kojoj je još moguće držati zrakoplov na željenom pravcu leta. Ako je

polijetanje pri brzini sm30 , da bi u kut skretanja bio 010<β , bočni vjetar ne smije biti veći

od

smVV KW 3.510tan30tan 0 =⋅== β .

7.4 Jednadžbe gibanja ravnotežnog leta

Želimo promatrati gibanje središta mase. Polazimo stoga od vektorske jednadžbe gibanja

središta mase

ARWFamrrrr

++= 7.50

Zanemarit ćemo zakrivljenost Zemljine površine i rotaciju Zemlje. Pretpostavit ćemo da nema

vjetra, pa su brzina leta i aerodinamička brzina jednake VVK = .

γχ cosV &

γ&V

Slika 7-4. Ubrzanja duž osi brzinskog koordinatnog sustava

Osim toga, i kutovi aerodinamičke brzine i brzine leta također su isti: Aχχ = i Aγγ = . Kad

pretpostavljamo da nema vjetra, onda je logično da nema ni kuta klizanja, a to znači da ne

Page 215: Mehanika Leta Zrakoplova

7-25Ravnotežni let

postoji bočna komponenta K aerodinamičke sile. Projicirat ćemo jednadžbu gibanja središta

mase na osi brzinskog koordinatnog sustava.

7.4.1 Komponente ubrzanja

Komponente brzine u brzinskom koordinatnom sustavu su [ ]T00V=V , a kutna brzina

brzinskog koordinatnog sustava je [ ]TV γχγγχ cossin &&&−=Ω pa su komponente ubrzanja

u brzinskom koordinatnom sustavu:

T

VV

VV

00V

−=

−−

−+

=+=γ

γχγχγ

γχγχγγχ

&

&

&

&&

&&

&&&

& cos00

0sinsin0cos

cos0~ VVa VΩ 7.51

7.4.2 Komponente sila

Pogonska sila Fr

ima komponente u koordinatnom sustavu letjelice:

[ ]TTT TT αα sin0cos=F

Težina letjelice ima komponente u nošenom koordinatnom sustavu:

[ ]TO W00=W

Aerodinamička sila u aerodinamičkom koordinatnom sustavu ima komponente:

[ ]TA LD −−= 0R

Projekcije vektorske jednadžbe gibanja bit će na osi brzinskog koordinatnog sustava:

−+

+

=

− L

D

WsinT

cosT

VcosV

Vm VAVO

T

T

VF 000

0 LLLα

α

γχγ&

&

&

7.52

Podsjetimo još jednom na to da su brzina leta i aerodinamička brzina jednake zato što nema

vjetra, te je os x aerodinamičkog i brzinskog koordinatnog sustava zajednička. Os Az nalazi se

u ravnini simetrije zrakoplova, a os Vz u vertikalnoj ravnini. One čine kut Aµ u ravnini

okomitoj na brzinu, koji mjerimo od brzinske osi Vz do aerodinamičke osi Az . Prema tome, u

brzinski iz aerodinamičkog koordinatnog sustava dolazi se rotacijom oko x za kut Aµ− .

( )AXVA µ−= LL 7.53

Matricu transformacije u brzinski iz koordinatnog sustav letjelice dobit ćemo posredno preko

aerodinamičkog koordinatnog sustava:

AFVAVF LLL =

Page 216: Mehanika Leta Zrakoplova

7-26 Ravnotežni let

U aerodinamački iz koordinatnog sustava letjelice dolazi se poslije dvije rotacije. Prva je oko

osi y za kut α− , a zatim oko osi z za kut β . S obzirom da tražimo jednadžbe gibanja u

atmosferi bez vjetra, usvajamo da je kut klizanja 0=β , te je

( )α−= YAF LL .

Zato je konačno:

( ) ( )αµ −−== YAXAFVAVF LLLLL 7.54

ravansimetrijeletjelice

Slika 7-5. Ravan simetrije zrakoplova i vertikalna ravan kroz brzinu

Matrica transformacije u brzinski iz nošenoga koordinatnog sustava:

( ) ( )χγ ZYVO LLL = 7.55

Pomoću tih matricama dobit ćemo konačno jednadžbu gibanja središta mase letjelice:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

−−+

+

−−=

− LKD

WsinT

cosT

VcosV

Vm AXY

T

T

YAX µχγα

ααµ

γχγ LLLLL Z 0

00

&

&

&

Množenjem matrica dobivamo skalarne jednadžbe:

aATAT

aATAT

TT

cosLcosWcoscossinTcossincosTmVsinLsincossinTsinsincosTcosmV

DsinWsinsinTcoscosTVm

µγµααµααγµµααµααχγ

γαααα

−++−=−+−=

−−+=

&

&

&

Page 217: Mehanika Leta Zrakoplova

7-27Ravnotežni let

Na osnovu toga dobivamo polazne jednadžbe za izučavanje performansi zrakoplova u

atmosferi bez vjetra:

( )

( )[ ]( )[ ] γµααγ

µααχγγαα

cosWcossinTLmVsinsinTLcosmVDsinWcosTVm

aT

aT

T

−−−=−−=

−−−=

&

&

&

7.56

Te smo jednadžbe mogli i izravno ispisati. Promatrajmo sliku 7-6 u ravnini simetrije letjelice.

( )αα −TsinT

L

( )αα −TcosTTα

αV

T

x

Az Slika 7-6. Uzgon i pogon u ravnini simetrije zrakoplova

S obzirom na to što nema kuta klizanja, brzina je u ravnini simetrije letjelice, pa pogonska sila

koja je također u ravnini simetrije letjelice ima komponentu ( )αα −TcosT duž brzine i

( )αα −TsinT okomito na brzinu duž osi Vz , kao na slici 7-6. Tako se duž osi Az ,u ravnini

okomitoj na brzinu (slika 7-7) nalazi sila ( )αα −− TTL sin , a ta se sila razlaže na dvije

komponente: na komponentu u vertikalnoj ravnini ( )[ ] AT cossinTL µαα −− i na horizontalnu

komponentu ( )[ ] AT sinsinTL µαα −− .

( )αα −− TsinTL

( )[ ] AT cossinTL µαα −−

( )[ ] AT sinsinTL µαα −−

VzAz

Slika 7-7. Projektiranje u ravnini okomitoj na brzinu

Page 218: Mehanika Leta Zrakoplova

7-28 Ravnotežni let

U vertikalnoj ravnini komponenta ( )[ ] AT cossinTL µαα −− okomita je na brzinu. U toj

ravnini djeluje i težina W koja se razlaže, kao na slici 7-8, na komponente γsinW na pravac

brzine ali suprotnoga smjera i γcosW okomito na brzinu duž osi Vz .

xv

( )[ ] AT cossinTL µαα −−

γsinWD

γ

W

Vz

VxγcosW

Slika 7-8. Vertikalna ravnina kroz brzinu

Sila otpora D u pravcu je, ali suprotnoga smjera od brzine. Kada zbrojimo to razlaganje sila,

dobivamo iste jednadžbe koje smo dobili pomoću matrica transformacija.

7.4.3 Veza između kutova valjanja

Postoji veza između kuta valjanja aerodinamičkog koordinatnog sustava µ A i kuta valjanja

zrakoplova φ . Možemo je dobiti iz jednakosti

OFVOVF LLL = , 7.57

ili

−+−+

++−

−=

=

−−

ϑφϑφϑψϑφψφψϑφψφψϑ

ψϑφψφψϑφψφψϑ

γχγχγχχ

γχγχγ

µαµµαµαµµα

αα

cccssssccssssccsc

cscsscsssccc

cossinsincossincossin

sinsincoscoscos

coscossincossinsincoscossinsin

sincos

AAA

AAA

0

0

Izjednačavanjem članova drugoga retka na lijevoj i desnoj strani poslije množenja dobivamo

tri jednadžbe:

( )sin sin cos sinα µ ϑ ψ χA = −

( ) ( )cos cos cos sin sin sinµ φ ψ χ φ ϑ ψ χA = − + −

Page 219: Mehanika Leta Zrakoplova

7-29Ravnotežni let

( ) ( )− = − − + −cos sin sin cos cos sin sinα µ φ ψ χ φ ϑ ψ χA

Ako drugu jednadžbu pomnožimo sa sin φ , a treću sa cosφ , te ih zbrojimo, dobivamo

( )cos sin cos sin cos sin sinµ φ α µ φ ϑ ψ χA A− = −

Eliminacijom ( )sin ψ χ− iz ove i prve jednadžbe, dobivamo

cos sin cos sin cos sin sinµ φ α µ φ α µ ϑA A A tg− =

odakle je

tgtgAµ

φα φ α ϑ

=+

sincos cos sin

. 7.58

Ovu jednadžbu izveli smo za slučaj kada je kut klizanja β = 0 . Sad vidimo da je µ φA = samo

ako je uz β = 0 i napadni kut α = 0 (što je logično).

015=ϑ

0=ϑ

015−=ϑ

Slika 7-9. Razlika Aµφ − ovisno o kutu valjanja φ .

Prema toj jednadžbi, na slici 7-9 je prikazana razlika φ µ− A u ovisnosti o kutu valjanja

letjelice φ (kada nema vjetra i kuta klizanja) za slučaj kada je napadni kut jednak deset

stupnjeva ( α = 100 ) a za tri slučaja kuta propinjanja zrakoplova.

7.4.4 Model gibanja središta mase

Model gibanja središta mase određen je jednadžbama:

( )

( )[ ]( )[ ] γµααγ

µααχγγαα

cosWcossinTLmVsinsinTLcosmVDsinWcosTVm

aT

aT

T

−−−=−−=

−−−=

&

&

&

7.59

Page 220: Mehanika Leta Zrakoplova

7-30 Ravnotežni let

Budući da je i u ekstremnim uvjetima razlika φ µ− A mala, obično se u jednadžbama

zamjenjuje kut valjanja aerodinamičkog koordinatnog sustava µ A s kutom valjanja letjelica

φ . U tom slučaju su polazne jednadžbe za razmatranje performansi zrakoplova:

( )

( )[ ]( )[ ] γφααγ

φααχγγαα

cosWcossinTLmVsinsinTLcosmVDsinWcosTVm

T

T

T

−−−=−−=

−−−=

&

&

&

7.60

Drugo pojednostavljenje proizlazi iz činjenice što se konstrukcijom zrakoplova Tα bira tako

da u horizontalnom letu bude pogonska sila u pravcu brzine leta, a to znači da je ravT αα = .

Gornje jednadžbe onda imaju jednostavniji oblik:

φχγ

γφγ

γ

sincos

coscos

sin

LdtdmV

WLdtdmV

WDTdtdVm

=

−=

−−=

7.61

Kada određujemo performanse zrakoplova, obično se služimo ovim modelom. U tom modelu

usvajamo da je zrakoplov u ravnotežnom letu, što znači da je ukupni moment propinjanja

jednak nuli, odakle je

α

δ

α

δα

MM

MM m

rav −+

−= 0 ,

te je sila uzgona ovisna samo o kormilu visine:

mrav LLLL δα δα ++= 0 7.62

7.4.5 Program gibanja zrakoplova u ravnotežnom letu

Blok-shema programa za izračunavanje putanje središta mase zrakoplova u ravnotežnom letu

prikazana je na slici 7-10. Za konkretan zrakoplov treba prije svega napraviti model motora, tj

odrediti ovisnost raspoložive pogonske sile aT o brzini leta i parametrima okolne atmosfere

(gustoće ρ i temperature zraka oT ), a pogonska sile bit će ovisna o veličini parametra

(položaja ručice pogona) Pδ i o toj raspoloživoj sili aT .

U ovom modelu zanemarujemo bočne koponenate pogonske sile, pa su komponente

pogonske sile duž osi zrakoplova:

[ ]TTT TT αα sin0cos=F , 7.63

Page 221: Mehanika Leta Zrakoplova

7-31Ravnotežni let

a komponente pogonskog momenta su nule jer je 0=pz . Jedan takav model motora za male

zrakoplove s elisom nalazi se u prilogu C, a model atmosfere nalazi se u prilogu B.

U ovoj shemi koristi se jednostavan model aerodinamike:

( )

Lref

LDref

CSVL

KCCSVD

2

22

20

2

ρ

ρ

=

+= 7.64

u kome je koeficijent sile uzgona ovisi samo o otklonu kormila visine

mm

mL

m

mLLL C

CCC

CCCCm

δα

δδ

αα

++−

+= 00 7.65

P mδδφ ,,

( )

( )

( )rT

rT

rT

mVTL

dtd

Vg

mVTL

dtd

gmD

mT

dtdV

−−=

−−−

=

−−−

=

φγ

ααχ

γφααγ

γαα

sincos

sin

coscossin

sincos

motP PCdtdm

Vdtdh

Vdtdy

Vdtdx

−=

=

=

=

γ

χγ

χγ

sin

sincos

coscos α

δδαMMM m

rav −+

= 0

modelmotoraT

modelatmosfere

0, Tρ

h

Modelaerodinamike

mrav δα ,D,L

a,ρ

0

0

0

0

0

0

0

mhyx

V

χγ

Slika 7-10. Blok-shema zrakoplova kao materijalna točka

Koeficijenti δαδα mmmLLLD CCCCCCKCm

i,,,,,, 000 mogu biti funkcije Machova broja:

aVMa = . Kut valjanja φ i otklon kormila visine mδ trebaju doći s palice upravljanja, a

parametar motora Pδ s pedale snage motora.

Page 222: Mehanika Leta Zrakoplova

7-32 Ravnotežni let

Page 223: Mehanika Leta Zrakoplova

Performanse zrakoplova 8-1

8 PERFORMANSE ZRAKOPLOVA

Pod pojmom performanse letjelica razumijevamo neke općenite karakteristike leta u uvjetima

zadane energije letjelice kao što su na primjer daljina do koje može zrakoplov letjeti, vrijeme

koje može zrakoplov provesti u zraku, maksimalna zakrivljenost putanje, optimalna brzina

letjelice i drugo. U svim tim slučajevima ne zanima nas ni stabilnost letjelice, niti njeno

ponašanje u određenom trenutku (kao što su npr. njihanja letjelice).

8.1 Horizontalni let

8.1.1 Režim leta

Ako zrakoplov leti u atmosferi bez vjetra, horizontalno ( )γ = 0 i pravocrtno ( )0=χ& , onda iz

jednadžbi gibanja 7.61

φχγ

γφγ

γ

sincos

coscos

sin

LdtdmV

WLdtdmV

WDTdtdVm

=

−=

−−=

8.1

slijedi da mora biti:

WL

L==

φφ

cos0sin

8.2

Iz njih zaključujemo da za horizontalni pravocrtni let kut valjanja φ zrakoplova mora biti

jednak nuli, a normalno opterećenje (load factor) mora biti jednako jedinici:

10

==

8.3

Kako je

WSCVL L ==2

2ρ , 8.4

slijedi da u horizontalnom letu mora biti

S

WCV L ρ22 = . 8.5

Page 224: Mehanika Leta Zrakoplova

Performanse zrakoplova 8-2

Svaka kombinacija moguće brzine i mogućeg napadnog kuta koja ispunjava ovaj uvjet

horizontalnog leta naziva se režim horizontalnog leta, a iz tog uvjeta za horizontalni let slijedi

da je brzina leta ovisna o izabranom koeficijentu uzgona:

LCS

WV 12ρ

= , 8.6

ili obrnuto, da za izabranu brzinu leta slijedi odgovarajući koeficijent sile uzgona. Međutim,

treba uzeti u obzir da zrakoplov ne smije letjeti brzinom manjom od

max

2

Lrefstall CS

WVρ

= , 8.7

kojoj odgovara najveći mogući koeficijent uzgona, koji zrakoplov postiže pri najvećem

dopuštenom napadnom kutu. Za manje brzine bi napadni kut trebao biti još veći, no tada

nastaje pad koeficijenta uzgona. Prema tome, mogući su režimi leta brzinom stallVV >

8.1.2 Potrebna sila ili potrebna snaga

Ako želimo dodatno da horizontalan pravocrtan let bude i stacionaran, tj. da brzina leta bude

konstantna, onda treba biti ispunjen i treći uvjet da pogonska sila bude jednaka otporu:

DT =

Tu potrebnu pogonsku silu, za izabrani režim leta, označavamo sa rT (Thrust required).

Potrebna sila pomnožena s brzinom leta daje potrebnu snagu. Pri određivanju performansi

zrakoplova služit ćemo se jednostavnom polarom zrakoplova te će potrebna sila biti određena

jednadžbom

( )20

2

2 LDr CKCSVDT +==ρ

U tim jednadžbama, za potrebnu silu ili potrebnu snagu, imamo i koeficijent uzgona LC i

kvadrat brzine leta V (odnosno kub ako je u pitanju potrebna snaga).. Da bismo dobili

potrebnu pogonsku silu, odnosno potrebnu snagu, ovisno samo o brzini leta eliminirat ćemo

koeficijent uzgona iz uvjeta da je u horizontalnom letu SV

WCL 2

= :

2

22

012

2 VSKWVCSDT Dr ρ

ρ+== 8.8

Kako je otpor zraka D u horizontalnom letu ovisan samo o brzini leta V, možemo odrediti

režim leta pri kome je potrebna pogonska sila rT minimalna. Taj problem se može

Page 225: Mehanika Leta Zrakoplova

Performanse zrakoplova 8-3

matematički formulirati tako da se traži minimum funkcije ( )VTr u ovisnosti o brzini leta V.

Izjednačavanjem s nulom derivacije jednadžbe 8.8 po brzini V, dobivamo:

01422 3

2

0 =−VS

KWVCSD ρ

ρ

Uz pomoć drugog uvjeta za horizontalni let LW = i poslije sređivanja dobivamo:

02

DL CKC = , 8.9

Slika 8-1 Potrebna pogonska sila rT , nulti otpor 0D i inducirani otpor iD

što znači da je u režimu za minimalnu silu inducirani otpor jednak otporu pri nultom uzgonu.

Kada iz ove jednadžbe odredimo koeficijent uzgona

K

CC D

L0= , 8.10

jednadžba za horizontalni let daje nam brzinu leta u tom režimu. Važno je uočiti da je

potrebna sila ili potrebna snaga karakteristika letjelice, što je neka vrsta aerodinamičke

kvalitete letjelice. Aerodinamički je bolja ona letjelica koja ima manju potrebnu snagu ili

manju potrebnu silu.

Potrebna snaga rP (Power required) bit će određena jednadžbom

( )20

3

2 LDr CKCVSVDP +==ρ

Page 226: Mehanika Leta Zrakoplova

Performanse zrakoplova 8-4

koja također predstavlja zbroj snage koji je potreban da se svlada parazitski otpor i snage da

se svlada inducirani otpor. Kao i za potrebnu silu, postoji režim leta kada je potrebna snaga

rP u minimumu. Eliminacijom koeficijenta uzgona iz uvjeta za horizontalni let:

SWCV L ρ

22 =

dobivamo ovisnost potrebne snage samo o brzini:

VS

KWVCSDVP Dr12

2

23

0 ρρ

+== 8.11

Slika 8-2 Potrebna snaga VDPr = , snaga 0VD i iVD za "mali" zrakoplov

Derivacijom po brzini leta potrebne snage dobivamo:

( )2

22

0123

2 VSKWVCS

dVDVd

D ρρ

−=

Uočimo da je prvi član na desnoj strani 03D , a drugi točno iD . Izjednačavanjem ove

derivacije s nulom i korištenjem drugoga uvjeta za horizontalni let WL = dobivamo:

SVKLSCV

D

22

3 2

2

0

2

ρρ

= ,

ili

02 3 DL CKC = . 8.12

Page 227: Mehanika Leta Zrakoplova

Performanse zrakoplova 8-5

To znači da je u režimu leta za minimalnu potrebnu snagu inducirani otpor jednak trostrukoj

vrijednosti otpora pri nultom uzgonu. Kada smo odredili koeficijent uzgona LPC koji

odgovara ovom režimu leta,

KCC D

L03

= . 8.13

Brzinu leta nalazimo iz uvjeta WL = za horizontalni let:

LCS

gmV 12ρ

= 8.14

Tijekom leta smanjuje se masa zrakoplova zbog potrošnje goriva, pa će i brzina potrebna za

horizontalan let opadati. Međutim ta promjena mase nije velika. Obično je krajnja masa oko

80% od početne, pa je krajnja brzina oko 0.9 od početne. Za tako mali pad brzine leta ne

mijenja se 0DC kao ni koeficijent K, pa koeficijent uzgona LC ostaje konstantan.

Slika 8-3 Raspoloživa i potrebna sila.

8.1.3 Raspoloživa sila ili snaga

S druge strane, imamo pogon i njegove karakteristike. Ako je pogon zrakoplova pomoću

elise, onda motor daje neku snagu motP elisi koja razvija raspoloživu pogonsku snagu aP

(Power available):

motPa PP ⋅=η 8.15

Page 228: Mehanika Leta Zrakoplova

Performanse zrakoplova 8-6

Ova jednadžba nam omogućuje da odredimo i raspoloživu silu kombinacije elisa-motor:

VPT motP

a⋅

=η 8.16

U prilogu C nalazi se opisan postupak određivanja snage jednog tipičnog zrakoplovnog

motora u ovisnosti o tlaku i temperaturi okolnog zraka, za razne režime rada motora. Posebno

je pitanje koeficijenta učinkovitosti elise Pη . On ovisi o parametru )/(nDVJ = ; D je

promjer diska elise, a n je broj okretaja elise u sekundi. Kad odredimo raspoloživu silu ( )VTa

ili raspoloživu snagu ovisno ( )VPa o brzini, možemo ih usporediti s potrebnom silom ( )VTr

ili potrebnom snagom ( )VPr , kao na slici 8-3 i 8-4. Iz te usporedbe dobivamo interval

mogućih brzina leta od minV do maxV s obzirom na pogon.

Slika 8-4 Raspoloživa i potrebna snaga.

Ako zrakoplov ima mlazni motor, onda je raspoloživa sila jednaka maksimalnoj

pogonskoj sili mlaznog motora o kojoj je bilo riječi u odjeljku 6.4.4.

8.1.4 Ovojnice

Horizontalni let moguć je samo kada je

DTT ra =≥ ili DVPP ra =≥

Da bi se odredila najmanja i najveća moguća brzinu leta iz ove jednadžbe, promatrat ćemo

najveću raspoloživu snagu motora pri maksimalnom broju okretaja motora. Ta snaga prema

Page 229: Mehanika Leta Zrakoplova

Performanse zrakoplova 8-7

dijagramu C-2 (prilog C) ovisi o tlaku okolnog zraka i pada kada taj tlak pada. Isto tako otpor

ovisi o gustoći okolnog zraka. Prema tome najmanja i najveća moguća brzina bit će različite

za razne visini leta jer su tlak i gustoća različiti. Dijagram koji nam daje minV i maxV ovisno o

visini za standardnu atmosferu predstavlja karakteristiku zrakoplova. Svakako se na taj

dijagram moraju unijeti i druga ograničenja, kao npr. stallV , koje je iz istih razloga različito na

raznim visinama.

Izjednačavanjem raspoložive potrebne sile rT i raspoložive sile aT u uvjetima

standardne atmosfere, dobivamo jednadžbu iz koje možemo izračunati minV i maxV ovisno o

visini leta H :

( ) ( )2

22

012

2,

VSKWVCS

VVHPJ D

mot

ρρη += 8.17

Isto se tako iz jednadžbe WL = , za najveći mogući koeficijent uzgona maxLC , izračunava

stallV ovisno o visini, jer gustoća zraka ovisi o visini:

max

2

Lrefstall CS

WVρ

= 8.18

Slika 8-5 Ovojnica za "mali" zrakoplov

Za "mali" zrakoplov nacrtane su krivulje ( )HVmin , ( )HVmax i ( )HVstall na slici 8-5 . Jasno je

da zrakoplov ne smije letjeti s brzinom koja je manja od ( )HVmin ili ( )HVstall , niti može letjeti

Page 230: Mehanika Leta Zrakoplova

Performanse zrakoplova 8-8

s brzinom koja je veća od ( )HVstall . Zato ove krivulje predstavljaju teoretske ovojnice

područja režima leta zrakoplova.

8.1.5 Dolet zrakoplova (Breguetova jednadžba)

Dolet zrakoplova jest daljina do koje zrakoplov može letjeti kad se uzme u obzir njegova

specifična potrošnja goriva i količina goriva koju nosi. Za vrijeme leta masa zrakoplova m

umanjuje se za potrošeno gorivo. Neka je dm promjena mase u vremenskom intervalu dt. Ta

promjena mase dm jednaka je produktu vremena dt i derivacije mase po vremenu m& . Ako sa

dR označimo element puta, za vrijeme promjene mase dm, onda je duž tog elementarnog puta

mV

dtmVdt

dmdR

&&== 8.19

Jasno je da je ta promjena mase pad mase, tj. da je 0<m& . Masa zrakoplova je zbroj

promjenljive mase goriva fm& (fuel) i konstantnog dijela mase cm .

fc mmm +=

To znači da je fmm && = .

Za zrakoplove s elisom potrošnja goriva fm& praktički je proporcionalna razvijenoj

snazi motora. Zato je motP PCm −=& . Koeficijent PC nazivamo specifična masena potrošnja.

On ima dimenziju masenog protoka po jedinici snage [ ]Wskg . Raspoloživa snaga motora

motP pomnožena s koeficijentom elise Pη daje raspoloživu pogonsku snagu, ili snagu na elisi

VTa . Vidjeli smo da je u horizontalnom ravnotežnom letu konstantnom brzinom:

VDPmotP =η

te je

PP

VDCmη

−=&

gmDL

CVDCV

mV

dmdR

P

PP

P

1ηη−=

−==

&

Integrirat ćemo gornju jednadžbu od početka leta kada je masa zrakoplova im , do kraja leta

kada se masa zrakoplova smanji za masu goriva fm , te je fik mmm −= :

∫=k

i

m

m D

L

P

P

mdm

CC

gCR η

Page 231: Mehanika Leta Zrakoplova

Performanse zrakoplova 8-9

Odnos 20 LD

L

D

L

KCCC

CC

+= bit će konstantan tijekom leta ako je koeficijent uzgona LC

konstantan tijekom leta. To znači da se tijekom leta mora smanjivati brzina tako da je

ispunjen uvjet za horizontalan let:

LSC

WVρ2

= 8.20

Ako se tako leti, odnos DL CC konstantan je tijekom leta, pa se može izvući iz integrala.

Integriranjem od početnog stanja i do krajnjeg stanja k dobivamo:

=

k

i

D

L

P

P

mmn

CC

gCR l

η 8.21

Ovo je poznata Breguetova jednadžba doleta za zrakoplove s elisnim motorom. Ne

zaboravimo da je ona dobivena uz pretpostavku da je koeficijent uzgona tijekom leta bio

konstantan a s tim konstantnim koeficijentom uzgona, ovisno o masi zrakoplova, određena je

brzina leta tako da je u svakom trenutku zadovoljen uvjet horizontalnog leta.

Breguetova jednadžba zahtijevala je da odnos DL CC tijekom horizontalnog leta

bude konstantan, a taj uvjete ispunjavamo ako letimo horizontalno s konstantnim

koeficijentom uzgona LC . Ostaje otvoreno pitanje kolika je ta konstanta vrijednost

koeficijenta uzgona. Možemo ga izabrati da dolet bude najveći, a to znači da odaberemo onu

vrijednost koeficijenta uzgona LC za koju je funkcija

( ) 20 LD

L

D

LL KCC

CCCCf

+==

u maksimumu. Izjednačavanjem derivacije ove funkcije po koeficijentu uzgona s nulom

( )( )

02122

0

20 =

+

⋅−+⋅=

LD

LLLD

L KCCKCCKCC

dCdf

dobivamo:

02

DL CKC = .

To znači da trebamo letjeti u režimu leta za najmanji otpor pri kome je inducirani otpor

jednak parazitskom otporu. To je logično, zato što je u horizontalnom letu uzgon jednak

težini, pa ako je otpor u minimumu bit će odnos uzgona prema otporu najveći.

Za mlazne motore je specifična masena potrošnja goriva proporcionalna pogonskoj

sili TCm T−=& . Taj koeficijent masene potrošnje goriva TC ima dimenziju masenog protoka

po jedinici sile [ ]Nskg . U horizontalnom ravnotežnom letu konstantnom brzinom,

Page 232: Mehanika Leta Zrakoplova

Performanse zrakoplova 8-10

pogonska sila T jednaka je otporu D, a uzgon L jednak je težini mg, te se polazna jednadžba

transformira u oblik:

gmDL

CV

TCV

mV

dmdR

TT

1−=

−==

&

Normalno je koeficijent masene potrošnje mlaznog motora TC konstantan, pa se

integriranjem te jednadžbe od početka leta do kraja dobiva:

∫−=k

i

m

m D

L

T mdm

CCV

gCR 1 ;

im je početna masa zrakoplova, a km krajnja masa. Ako je tijekom leta koeficijent uzgona

LC konstantan, onda je i koeficijent otpora konstantan jer je 20 LDD KCCC += , a brzina leta

se mijenja tako da je zadovoljen uvjet horizontalnog leta.

LCm

SgVρ2

=

Ta brzina tijekom leta opada kao što smo to već napomenuli, jer se masa zrakoplova smanjuje

s potrošnjom goriva. Zamjenom te brzine ovisno o masi u jednadžbu za dolet, dobivamo

∫−=f

i

m

mL

DT mdmC

Sg

CgCR

ρ21

Integriranjem od im do km dobivamo dolet leta za zrakoplove s mlaznim motorima

( )kiLDT

mmCSg

CgCR −=

ρ22 , 8.22

ili

( )kiD

L

T

VVCC

gCR −=

2 . 8.23

To je Breguetovu jednadžba doleta za zrakoplove s mlaznim motorima. Zapamtimo da je ta

jednadžba za zrakoplove s mlaznim motorima izvedena uz pretpostavku da je tijekom leta

koeficijent uzgona LC konstantan, a da zrakoplov u svakom trenutku ima brzinu leta kojom

zadovoljava uvjet za horizontalni let.

Breguetova jednadžba za dolet leta može se staviti u oblik:

( ) 20

22

LD

Lfi

T KCCC

mmSg

gCR

+−=

ρ

Vidimo da dolet leta ovisi o usvojenom koeficijentu uzgona. Potražimo maksimum te

ovisnosti. Dolet leta bit će najveći kada je funkcija

Page 233: Mehanika Leta Zrakoplova

Performanse zrakoplova 8-11

( ) 20 LD

LL KCC

CCf

+=

u maksimumu po LC :

( )

( )0

22

1

220

20

=+

−+

=LD

LLLDL

L KCC

KCCKCCC

dCdf

Odatle dobivamo da je

02

31

DL CKC = . 8.24

To znači da je dolet leta zrakoplova s mlaznim motorima u maksimumu ako je inducirani

otpor jednak trećini parazitskog otpora. Iz ove jednadžbe je

K

CC D

L0

31

= , 8.25

a brzina leta je određena iz uvjeta za horizontalni let, što znači da će ona opadati jer masa

zrakoplova opada zbog potrošnje goriva.

8.1.6 Maksimalno trajanje leta (Endurance)

Ponekad nam je potrebno što dulje boraviti u zraku. To je slučaj kada ne možemo sletjeti iz

bilo kojih razloga te moramo čekati da se stvore uvjeti za slijetanje. Takvo čekanje treba

ostvariti s režimom leta u kome je najveće vrijeme trajanja leta za određenu količinu goriva.

Sa E označavamo vrijeme trajanja letenja (endurance). To vrijeme jednako je potrebnom

vremenu da se masa zrakoplova smanji za masu goriva, jer let traje dok ima goriva:

∫∫ ==k

i

k

i mdmdtE&

I u ovom slučaju treba također odrediti u kojem režimu leta treba letjeti zrakoplov s elisom, a

u kojem zrakoplov s mlaznim motorom.

Zrakoplov s elisom ima masenu potrošnju motP PCm −=& , gdje je motP snaga motora. Ta

snaga motora pomnožena s koeficijentom elise Pη daje potrebnu snagu koja je jednaka

produktu VD. Zato je trajanje leta zrakoplova s elisom:

∫∫∫∫ ==−

==i

f D

L

P

Pi

fP

Pf

i PP

f

i mdm

CC

VgCgmdm

DL

VCVDCdm

mdmE 11 ηη

η&

Page 234: Mehanika Leta Zrakoplova

Performanse zrakoplova 8-12

Koeficijent uzgona bira se prema nekom kriterijumu i držimo ga konstantnim tijekom leta.

Samim tim je i koeficijent otpora konstantan tijekom leta jer je 20 LDD KCCC += , a brzina

leta određena je iz uvjeta za horizontalni let

LCm

SgVρ2

=

i promjenljiva je tijekom leta, jer se mijenja masa zrakoplova zbog potrošnje goriva.

Zamjenom u integral dobivamo:

∫−

=i

fD

L

P

P dmmCC

gS

gCE 2

323

2ρη

a poslije integracije

−=

ifD

L

P

P

mmCC

gS

gCE 11

22 23ρη

8.26

ili

−=

ifD

L

P

P

VVCC

gCE 112η

. 8.27

Pri tome smo pretpostavili da je koeficijent uzgona konstantan, a mijenja se brzina leta kako

bi bio uvijek zadovoljen uvjet horizontalnog leta mgL = .

Da bi E bilo što veće, trebamo taj konstantni koeficijent uzgona odabrati tako da

funkcija koeficijenta uzgona

( ) 20

2323

LD

L

D

LL KCC

CCCCf

+==

bude u maksimumu.

( )( )

02

23

220

20

=+

−+=

LD

LLLLDL

L KCC

KCCCKCCC

dCdf ,

odakle je

02 3 DL CKC = , 8.28

što znači da je inducirani otpor trostruko veći od parazitskog otpora ili da je potrebna snaga u

minimumu.

Za zrakoplov s mlaznim motorom izraz za trajanje letenja bit će:

∫∫∫∫ −=−=−

==f

i D

L

T

f

iT

f

i T

f

i gmdm

CC

Cgmdm

DL

CTCdm

mdmE 11&

Page 235: Mehanika Leta Zrakoplova

Performanse zrakoplova 8-13

Ako se leti s konstantnim koeficijentom uzgona, a pomoću brzine leta zadovoljen je uvjet

horizontalnog leta, onda ovaj integral lako rješavamo jer je odnos DL CC konstantan pa je:

=

f

i

D

L

T mm

CC

gCE n1

l 8.29

Da bi se postigao maksimum trajanja leta, treba letjeti s koeficijentom uzgona koji će odnos

DL CC D učiniti maksimalnim. Vidjeli smo da je taj odnos najveći ako je inducirani otpor

jednak parazitskom otporu

02

DL CKC = ,

a to je slučaj najmanjeg otpora u horizontalnom letu.

8.1.7 Primjeri

Primjer 1

Nacrtati dijagram ovojnica za "mali" zrakoplov (slika 8-5), ako klipni motor, prema prilogu

C, ima kutnu brzinu srad240=ω , a elisa ima koeficijent učinkovitosti

( ) 2644.05670.04815.16923.1 23 +++−= JJJJη ,

gdje je nDVJ = parametar rada elise, n broj okretaja u sekundi, D promjer diska elise.

Najmanja i najveća brzina dobivaju se iz jednadžbe

ra PP =

u kojoj je raspoloživa snaga

),,,()( TpVomegaPJPa mot⋅=η ,

jer je za najveću snagu motora tlak punjenja ppS = , a potrebna snaga

+⋅=SV

KWSCVVP Dr

22 2

2

0

2

ρρ

Krivulje ( )HVmin i ( )HVmax na slici 8-5 nacrtane su pomoću programa Ovojnica.m , koji se

nalazi na disketu u direktoriju Performanse\Horizontalni let.

Primjer 2

Odrediti za mali putnički zrakoplov otklone kormila visine za režim leta za najveći dolet.

U režimu leta za maksimalni dolet inducirani otpor jednak je parazitskom otporu

Page 236: Mehanika Leta Zrakoplova

Performanse zrakoplova 8-14

499.0104.00259.00 ===

KCC D

L .

Kut otklona kormila visine dobivamo iz uvjeta da je koeficijent sile uzgona u ravnotežnom

letu 474.0=LC i da je u ravnotežnom letu ( 0=mC )

mmRmm

mLRLLL

CCCCCCCδαδα

δα

δα

++=++=

0

0

0

ili

mfK δα ⋅++= 216.073.4249.0499.0

mfK δα ⋅−⋅−−= 577.0822.0002.00 .

08.40842.0 −=−=mδ 02.3567.0 ==rα

Primjer 3

Odrediti najveći dolet ako motor radi s 75% snage, na visini 2000 m za potrošenih 200 litara

goriva.

U režimu za najveći dolet inducirani otpor jednak je nultom otporu, pa je prema

prethodnom primjeru

0518.00259.022499.0

0 =⋅=⋅==

DD

L

CCC

Na početku leta masa 1088=+= gLi mmm . Tom koeficijentu uzgona i toj masi odgovara

brzina horizontalnog leta:

smCS

gmVL

ii .1.53

499.01

1.1581.91089

006.1212

=⋅

==ρ

,

Specifična masa goriva je litkg720.0 , pa je poslije potrošenih 200 litara masa zrakoplova

kgm f 94572.0*2001089 =−= . Na kraju leta bit će brzina leta:

smVmm

V ii

ff 5.491.53

1089945

=⋅== .

Prema dijagramu C-5 u prilogu, specifična potrošnja je 710850.0 −⋅ , a u intervalu od

5.49=fV do 1.53=iV možemo uzeti da je prosječni koeficijent učinkovitosti elise, prema

jednadžbi u primjeru 1, 81.0=elisaη . Tako dobivamo dolet u tom režimu:

Page 237: Mehanika Leta Zrakoplova

Performanse zrakoplova 8-15

kmmm

CC

gCR

f

i

D

L

P

elisa 1330945

1089ln0518.0499.0

10850.081.981.0ln 7 =

⋅⋅

⋅⋅=

= −

η .

8.2 Stacionarno penjanje i spuštanje zrakoplova

Jednadžbe gibanja središta mase zrakoplova 7.62 izveli smo na kraju prethodnog poglavlja:

φχγ

γφγ

γ

sincos

coscos

sin

LdtdmV

WLdtdmV

WDTdtdVm

=

−=

−−=

D

T

L

W

γγcosW

γsinW

γ

V

Slika 8-6 Zrakoplov u penjanju

Za gibanje u vertikalnoj ravnini kut skretanja χ je konstantan, te iz treće jednadžbe proizlazi

da tada nema ni kuta valjanja 0=φ , te ove jednadžbe imaju oblik:

γγ

γ

cosWLdtdmV

sinWDTdtdVm

−=

−−= 8.30

Za pravocrtno ( const=γ ) i stacionarno ( constV = ) penjanje ili spuštanje bit će

γγ

cosWLsinWDT

=+=

Page 238: Mehanika Leta Zrakoplova

Performanse zrakoplova 8-16

Te jednadžbe možemo direktno napisati promatrajući zrakoplov u stacionarnom penjanju. Iz

prve jednadžbe su kut penjanja γ i brzina penjanja Vv :

WDTVsinVV

WDTsin

v−

==

−=

γ

γ 8.31

Brzina penjanja Vv označava se u zrakoplovnoj praksi s R/C (Rate of Climb), a tangens kuta

γ označava se sa G i naziva se gradijent penjanja (Climb Gradient).

Iz jednakosti γcosWL = , koja je potrebna za penjanje (ili spuštanje), nameće se uvjet

za penjanje pod kutom γ :

S

WCV L

ργ2

cos

2

= 8.32

Kojom brzinom leta V, kojim koeficijentom uzgona LC , te kojim će se kutom γ zrakoplov

penjati, nije apriorni određeno. Ovdje je problem optimizacije teži od onoga koji je bio u

horizontalnom letu. Koriste se dvije mogućnosti optimizacije:

• najveći kut penjanja (Best Angle of Climb)

• najveća brzina penjanja (Best Rate of Climb)

8.2.1 Najveći kut penjanja

U stacionarnom penjanju pod kutom γ potrebna je pogonska sila

γsinWDTr +=

Najprije valja uočiti da više nemamo jednakost otpora i potrebne pogonske sile. Potrebna

pogonska sila treba svladati ne samo otpor, već i komponentu težine. Taj otpor u penjanju

( )qSLKqSCKCCqSD DLD

2

02

0 +=+=

ne može se izraziti samo kao funkcija brzine, jer on ovisi i o kutu penjanja, zato što više nema

jednakosti uzgona i težine već L W= cosγ . Eliminacije uzgona, biti će otpor u penjanju pod

kutom γ :

SW

qKqSCD D

γ22

0cos

+=

te je potrebna sila u penjanju

γγρ

ρ sincos122

22

220 W

VSKWVSCT D

r ++= 8.33

Page 239: Mehanika Leta Zrakoplova

Performanse zrakoplova 8-17

Potrebna sila ovisi o tri parametra. Prvo, o kutu penjanja γ , zatim o brzini leta V i konačno o

gustoći zraka. To znači da će na određenoj visini, gdje je gustoća zraka neka određena

vrijednost, potrebna sila ovisiti o brzini leta i o izabranom kutu penjanja ( )γ,VTr . S druge

strane imamo raspoloživu silu (ili snagu pogona). Raspoloživa pogonska sila ovisi također o

brzini ( )VTa ali ne o kutu penjanja. Ako se pretpostavi da je visina konstantna, može se

promatrati dijagram kao na slici 8-7

Slika 8-7 Potrebna sila ovisno o brzini leta i kutu penjanja.

na komu su ucrtane krivulje potrebne sile ( )γ,VTr za konstantne kutove penjanja (od 00 do

90). Za neki određeni kut penjanja, u presjeku krivulja ( ) ( )VTVT ar =γ, dobivamo minV i maxV ,

granice intervala mogućih brzina s kojima se može zrakoplov penjati pod tim kutom.

Povećavanjem kuta penjanja, kao što se to vidi sa slike 8-7 taj se interval smanjuje, da bi se za

neki određeni kut penjanja te dvije krivulje ( )VTa i ( )γ,VTr tangirale u točki A. Kut penjanja

ne može biti veći od te vrijednosti, jer pogon ne raspolaže dovoljnom silom, da bi se taj

zrakoplov mogao penjati pod većim kutom. Dakle, krivulja ( )γ,VTr , na kojoj je točka A,

određuje najveći kut penjanja, s kojim se taj zrakoplov s tim pogonom može penjati.

Označimo taj kut sa BAC (Best angle of climb). Međutim, ne zaboravimo da smo to rješenje

dobili za određenu visinu, što znači da će za drugu visinu biti drugo rješenje za BAC, tj.

najveći mogući kut penjanja nije konstantan već se mijenja s visinom. Koeficijent uzgona, za

taj najveći kut penjanja, nalazimo iz uvjeta da je γcosWL = :

Page 240: Mehanika Leta Zrakoplova

Performanse zrakoplova 8-18

2cos2

SVWCL ρ

γ= 8.34

Povećavanjem visine smanjivat će se BAC, tako da će za najveću visinu on biti jednak nuli,

jer tada krivulja ( )VTa tangira krivulju ( )VTr za 0=γ . Tim istim postupkom za isti

zrakoplov ali za visinu mh 5400= nacrtana slika 9-8 , prema kojoj je dobiven krajnji slučaj

mogućega leta i to za 0=γ , tj. s tim motorom na tom zrakoplovu više se nije moguće penjati.

Slika 8-8 BAC za "mali" zrakoplov na razini mora

Na temelju ove analize vidimo da svakoj visini odgovara neki najveći kut ( )hmaxγ koji se

smanjuje s visinom da bi na vrhuncu bio jednak nuli. Isto tako, na svakoj visini imamo

odgovarajuću brzinu leta V s kojom trebamo letjeti. To je režim leta s najvećim mogućim

kutom penjanja.

U slučaju zrakoplova s elisom dobivene vrijednosti brzine leta za najveći kut penjanja

ili su manje od onih koje su propisane kao minimalne za pravilan i siguran rad elise, ili su

tako male da neki drugi efekti dominiraju u penjanju, kao npr. povećani otpor zbog odvajanja

struje od elise, pa se zato elisni zrakoplovi obično penju ili spuštaju u režimu najveće brzine

penjanja.

8.2.2 Najveća brzina penjanja

Brzina penjanja se definira kao

Page 241: Mehanika Leta Zrakoplova

Performanse zrakoplova 8-19

γsinVVdtdh

V == . 8.35

Za lovce presretače vrlo je važno da u što kraćem vremenu budu na određenoj visini. Taj

zahtjev znači da trebaju što veću brzinu penjanja VV . Brzina penjanja označili smo sa RC, a

najveću sa BRC. Jasno je a priori da je BRC različit na različitim visinama.

Slika 8-9 Potrebna sila ( )γ,VTr i raspoloživa sila ( )VTa , za određenu visinu

Neka su na slici 8-9 nacrtane krivulje potrebne pogonske sile ( )γ,VTr i raspoložive pogonske

sile ( )VTa , za neku određenu visinu za koju je nacrtana slika. Označimo sa ( )γmaxV apscisu

točke desnog presjeka krivulje ( )VTa sa krivuljama ( )γ,VTr . Svaka točka odgovara nekom

kutu penjanja i predstavlja maksimalnu brzinu maxV koju može postići zrakoplov s tim

motorom na tom kutu penjanja. Drugim riječima u svakoj točki dobivamo par vrijednosti maxV

i γ . Pomoću tih parova možemo nacrtati novi dijagram koji na apscisi ima brzinu leta V, a na

ordinati brzinu penjanja γsinmaxVVV = . Taj dijagram 8-10 urađen je za onu istu visinu za

koju smo nacrtali polazne krivulje na slici 8-9. Taj dijagram pokazuje s kojim se brzinama

leta V može penjati zrakoplov i koje će biti brzine penjanja VV s raspoloživom silom pogona.

Ta krivulja je geometrijsko mjesto točaka koje imaju apscisu ( )γmaxV a ordinatu

( ) ( ) γγγ sinmax ⋅=VVV . Na njenom tjemenu nalazi se točka C koja predstavlja najveću

moguću brzinu penjanja.

Page 242: Mehanika Leta Zrakoplova

Performanse zrakoplova 8-20

Slika 8-10 Brzina penjanja ( )VVV za određenu visinu,

U toj točki C određujemo brzinu leta V i kut γ koji osiguravaju najveću brzinu penjanja

γsinVVV = na visini h za koju smo konstruirali taj dijagram. Koeficijent uzgona određen je

jednadžbom 2cos2

SVWCL ρ

γ= . Te vrijednosti određuju režim leta BRC za visinu h. Za neku

drugu h visinu dobili bi drugu krivulju i druge vrijednosti γ,V potrebne za BRC . Drugim

riječima γ,V su funkcije visine h, a samim tim i brzina penjanja γsinVVV = i koeficijent sile

uzgona 2cos2

SVWCL ρ

γ= isto su poznate funkcije visine.

Primjer

Za mali putnički zrakoplov na visini mH 2000= , odrediti režim leta za najveću brzinu

penjanja.

Rješenje grafičkom metodom nalazi se u direktoriju Performanse\Penjanje pod imenom

BRC1.m s kojim je nacrtana slika 8.9, a zatim očitane točke nacrtane su pomoću programa

BRC2.m S tim programom dobiva se vrijednost 0max 5.3=γ za brzinu leta smVBAC 2.46=

na zadanoj visini.

Page 243: Mehanika Leta Zrakoplova

Performanse zrakoplova 8-21

8.2.3 Vrijeme penjanja i potrošnja goriva u penjanju

Nakon analiza, iz prethodnog odjeljka, o režimu penjanja u mogućnosti smo izračunati

vrijeme penjanja. Iz jednadžbe da je

∫=2

1

h

h VVdht

vidimo da će najkraće vrijeme penjanja biti za najveću brzinu penjanja:

∫=2

1 maxmin

h

h VVdht 8.36

U prethodnom odjeljku odredili smo funkcije ( )hVV max , ( )hV i ( )hγ . S tom funkcijom

( )hVV max trebamo izračunati ovaj integral.

Potrošnju goriva u penjanja zrakoplova određujemo na temelju jednadžbe

VV

mdhdm &

−= 8.37

u kojoj je za elisne zrakoplove

elisa

PmotPg

TVCPCmmη

−=−== && ,

a za mlazne

TCmm Tg −== && .

U ovim jednadžbama pogonska sila u penjanju određena je jednadžbom

( ) γργ sin2

sin 20

2

WKCCVWDT LD ++=+=

u kojoj su ( )hV i ( )hγ određene u prethodnom poglavlju, a ( )hρ je karakteristika atmosfere

za vrijeme penjanja.

8.3 Horizontalni zaokret

Ako zrakoplov leti

• konstantnom brzinom

• u horizontalnoj ravnini 0=γ ,

• bez kuta klizanja β = 0 , te

• ako je ravT αα ≈ i φµ ≈A ,

jednadžbe gibanja centa mase zrakoplova dobivaju oblik:

Page 244: Mehanika Leta Zrakoplova

Performanse zrakoplova 8-22

.cos0

sin

0

WL

LdtdmV

DT

−=

=

−=

φ

φχ 8.38

φ

W

L φcosL

φsinL

Slika 8-11 Zrakoplov u horizontalnom zaokretu

Do tih jednadžbi može se doći neposredno promatrajući sile koje djeluju na zrakoplov u

zaokretu, kao na slici 8-11. Da bi zrakoplov letio u horizontalnoj ravnini, mora biti vertikalna

komponenta uzgona jednaka težini:

WL =φcos 8.39

a horizontalna komponenta stvara centripetalno ubrzanje koje je okomito na brzinu leta:

φsin2

LR

Vm = , 8.40

χd

V

VR

ds

Slika 8-12

gdje je R polumjer zakrivljenosti putanje središta mase zrakoplova u horizontalnoj ravnini kao

na slici 8-12. Podsjetimo se iz mehanike da je kutna brzina vektora brzine

Page 245: Mehanika Leta Zrakoplova

Performanse zrakoplova 8-23

RVV

dsd

dsds

dtd

=⋅=⋅=χχχ& , 8.41

jer je polumjer zakrivljenosti:

χd

dsR = 8.42

8.3.1 Jednadžbe zaokreta

Prethodne jednadžbe mogu se s normalnim opterećenjem n napisati u obliku:

φ

φχ

cos1

sin

=

=

n

Vng

&

8.43

Iz ovih jednadžbi eliminacijom kuta valjanja φ dobivamo najčešće korištene veze koje nam

daju opterećenja u ovisnosti o kutnoj brzini zaokreta, ili obrnuto, kutnu brzinu zaokreta u

ovisnosti o opterećenju:

Vng 12 −

=χ& , 8.44

ili što je isto

12

+

=

gVn χ& . 8.45

Osim ovih veličina, u praksi je potreban i polumjer zaokreta R. Znajući iz klasične mehanike

da je

χχ &

VddsR == , 8.46

bit će polumjer u horizontalnom zaokretu ovisan o opterećenju:

12

2

−=

ng

VR , 8.47

ili obrnuto, opterećenje bit će ovisno o polumjeru zakrivljenosti:

122

+

=

gRVn 8.48

Page 246: Mehanika Leta Zrakoplova

Performanse zrakoplova 8-24

8.3.2 Ograničenja kutne brzine

Opterećenje ne smije biti veće od onog što može izdržati konstrukcija Snn < . Maksimalno

opterećenje koje može izdržati konstrukcija poznata je vrijednost, te kutna brzina ne smije biti

veća od:

( )V

constVng

V SS =

−=

12

χ& 8.49

Ta jednadžba u dijagramu χ&,V ograničava sa gornje strane područje mogućih kutnih brzina u

ovisnosti od brzine leta.

Isto tako, koeficijent uzgona ne smije biti veći od maksimalne vrijednosti

( )MaCC LL max≤ . Ako u jednadžbi za kutnu brzinu, izrazimo opterećenje odnosom WLn = ,

dobivamo utjecaj koeficijenta uzgona na kutnu brzinu:

( ) 12

22

=W

SCV

VgV

χ&

u koju, kada unesemo najveći koeficijent uzgona, dobivamo najveće dopušteno opterećenje s

obzirom na stall, ovisno o brzini leta:

( ) 22

22

2max 11

2 VVconstg

VV

WSCgV L

L −⋅=−

χ& 8.50

Ta krivulja također ograničava s gornje strane moguće kutne brzine s obzirom na najveći

koeficijent uzgona. Taj maksimalni koeficijent uzgona maxLC može biti također ovisan o

Mahovu broju.

Vidimo da je najveća moguća kutna brzina ovisno o brzini leta ograničena s gornje

strane krivuljama ( )VSχ& i ( )VLχ& . S obzirom na oblik ovih krivulja (krivulja ( )VLχ& raste, a

krivulja ( )VSχ& opada) u njihovu presjeku bit će najveća moguća kutna brzina koja

zadovoljava oba ograničenja. Ta kutna brzina se naziva corner speed, a brzina leta pri kojoj

se ona ostvaruje označava se sa CV , kao i odgovarajući Machov broj sa CM . U presjeku

brzinu leta dobivamo izjednačavanjem kutnih brzina:

( ) ( )VV SL χχ =&

Iz te jednadžbe dobivamo

max

2

L

SC SC

WnV

ρ= 8.51

Page 247: Mehanika Leta Zrakoplova

Performanse zrakoplova 8-25

a toj brzini leta odgovara kutna brzina corner speed

−=

SS

Lspeedcorner n

nW

SCg 12

maxρχ& 8.52

8.3.3 Koordinirani zaokret

Uočimo da se u zaokretu povećava otpor. Prije zaokreta otpor je bio

( )20

2

2 LD KCCSVD +⋅=ρ

gdje je koeficijent uzgona bio određen iz uvjeta horizontalnog leta WL = . Međutim, u

horizontalnom zaokretu taj uvjet se mijenja

φcosWL =

Prema tome, u zaokretu je povećan koeficijent uzgona, zbog čega se povećava inducirani

otpor. Da ne bi u horizontalnom zaokretu brzina leta opadala, potrebno je povećati pogonsku

silu za onoliko koliko se povećao otpor.

U horizontalnom zaokretu polumjera R, brzinom V, vrijednost opterećenja određena

je jednadžbom:

122

+

=

gRVn .

Da bi se ostvario takav zaokret, potrebno je:

• otklonom krilaca lδ zavaljati letjelicu za kut valjanja

narc 1cos=φ ;

• otklonom kormila visine mδ postaviti ravnotežni napadni kut ravα za koji je koeficijent

uzgona

ref

L

SVnWC

2

2ρ= ;

• otklonom ručice pogona Pδ postići novu potrebnu pogonsku silu koja održava

konstantnu brzinu leta.

( )20

2

2 LDr KCCSVT +=ρ

Page 248: Mehanika Leta Zrakoplova

Performanse zrakoplova 8-26

Za takav koordinirani zaokret moraju se uskladiti: otklon krilaca lδ , kormila visine mδ i

pogonske sile Pδ . Zato se takav zaokret u kome su usklađene ove tri veličine naziva

koordinirani zaokret. U njemu se leti sa zadanom konstantnom brzinom, na zadanoj visini i

izvodi zaokret sa zadanim polumjerom R.

Kako su faktor opterećenja n, koeficijent uzgona LC i pogonska sila T ograničeni, bit

će ograničen i horizontalni zaokret zrakoplova. Sve tri veličine imaju svoje maksimalne

vrijednosti Sn , maxLC i aT . Te granice određuju najmanji mogući polumjer zakrivljenosti R,

odnosno najveću moguću kutnu brzinu χ& u koordiniranom zaokretu za zadanu brzinu leta V

na promatranoj visini leta.

8.3.4 Raspoloživo opterećenje u koordiniranom zaokretu

U horizontalnom letu je normalno opterećenje

WLn =

bilo jednako jedinici jer je WL = . U horizontalnom zaokretu ono se povećava jer je u

horizontalnom zaokretu φcos1=n i to utoliko više ukoliko je manji polumjer zakrivljenosti

122

+

=

gRVn

Potrebno normalno opterećenje postiže se povećanjem sile uzgona, odnosno povećanjem

ravnotežnog napadnog kuta. Međutim, povećana sila uzgona znači i znatno veći inducirani

otpor. Da bi u koordiniranom zaokretu brzina leta ostala nepromijenjena, treba povećati

pogonsku silu isto toliko koliko je povećan inducirani otpor. Ta potrebna pogonska sila ne

može biti veća od raspoložive, pa se postavlja pitanje za koliko je moguće povećavati

normalno opterećenje s obzirom na raspoloživu silu (ili snagu) motora. To najveće

opterećenje nazivamo raspoloživo opterećenje. Ono ovisi o brzini leta ( )Vnrasp . Da bi

zrakoplov letio konstantnom brzinom leta V potrebna je sila

+⋅=

2

20

2

22 SV

LKCSVT Dr ρρ .

Kako je nWL = , ta potrebna sila ovisi o normalnom opterećenju

Page 249: Mehanika Leta Zrakoplova

Performanse zrakoplova 8-27

( )2

220 12

2 VSnWKVSCT D

r ρρ

+= 8.53

Raspoloživa sila aT mora biti veća od potrebne, ili u najgoremu slučaju jednaka potrebnoj, pa

izjednačavanjem potrebne i raspoložive sile dobivamo

( )a

D TVS

nWKVSC=+ 2

220 12

2 ρρ , 8.54

ili

( ) 4

20

22

22

42V

KWCSV

KWSTn Da

raspρρ

−= . 8.55

Ova jednadžba direktno je primjenljiva za mlazne zrakoplove. Za elisne zrakoplove

raspoloživa sila ovisno od raspoložive snage određena je jednadžbom:

VP

VPT motelisaa

amaxη

== 8.56

Zato raspoloživo opterećenje za elisne zrakoplove određujemo pomoću jednadžbe:

( ) 4

20

2

2max2

42V

KWCSV

KWSP

n Dmotelisarasp

ρρη−= 8.57

Ovisnost raspoloživog opterećenja o brzini leta bit će različita na različitim visinama zato što

ovisi i o gustoći zraka. Ovisnost normalnog opterećenja o brzini leta ( )Vnrasp ima

maksimalnu vrijednost za brzinu leta koju dobivamo derivacijom funkcije ( )Vnrasp .

8.3.5 Najveća kutna brzina u koordiniranom zaokretu

Kutna brzina je određena jednadžbom

Vng 12 −

=χ&

i bit će utoliko veća ukoliko je veće opterećenje, pa zato promatramo kutnu brzinu pri

raspoloživom opterećenju.

V

ng raspP

12 −=χ& 8.58

Ta kutna brzina ovisi o brzini leta direktno i indirektno preko ( )Vnrasp . Da bismo odredili

najveću kutnu brzinu ovisno o brzini leta, zamijenimo raspoloživo opterećenje s njegovom

funkcijom o brzini leta. Ako je u pitanju mlazni zrakoplov, raspoloživo opterećenje raspn

određeno je jednadžbom 8.55, te dobivamo ovisnost ( )Vχ& :

Page 250: Mehanika Leta Zrakoplova

Performanse zrakoplova 8-28

22 1

VBV

VAg −−=χ& 8.59

s konstantama kao u jednadžbi 8.55.

Za elisne zrakoplov, raspoloživo opterećenje raspn određeno je jednadžbom 8.57 što

daje ovisnost ( )Vχ& :

22 1

VBVAg −−=χ& 8.60

u kojoj su konstante kao u jednadžbi 8.57. Tu ovisnost ( )Vχ& nazivamo ovojnica

koordiniranog zaokreta zrakoplova. Ona ima maksimum za brzinu leta ( )χ&maxV , pri kojoj je

najveća moguća kutna brzina leta maxχ& u koordiniranom zaokretu.

8.3.6 Najmanji polumjer zaokreta

Iz jednadžbi horizontalnog zaokreta:

122

+

=

gRVn

nWCSVL =2

2ρ ,

eliminacijom brzine dobivamo ovisnost polumjera zaokreta o opterećenju n:

1

22 −

=n

nSCgWR

Lρ 8. 61

Polumjer zaokreta ovisi o koeficijentu uzgona i o opterećenju. Za najmanji zaokret treba

najveći koeficijent uzgona i najveće opterećenje. Zato se najmanji polumjer zaokreta

ostvaruje u režimu leta za corner speed. Za najveći koeficijent sile uzgona maxLC i najveće

strukturalno opterećenje Sn dobivamo najmanji polumjer koji odgovara najvećoj kutnoj

brzini (corner speed):

1

22

max −=

S

S

LC

n

nSCg

WRρ

8.62

8.3.7 Primjer

Odrediti za mali zrakoplov koji leti na visi 2000 m kolika je ovisno o brzini leta :

• raspoloživa kutna brzina u koordiniranom zaokretu s obzirom na performanse motora iz

priloga C,

Page 251: Mehanika Leta Zrakoplova

Performanse zrakoplova 8-29

• raspoloživa kutna brzina ovisno s obzirom na maksimalni koeficijent uzgona 5.1=LC i

• raspoloživa kutna s obzirom na maksimalno strukturalno naprezanje 3=Sn .

Prema prilogu C napravljen je pod program Rasp_snaga koji daje raspoloživu snagu motora

ovisno o kutnoj brzini elise, brzine leta, temperaturi i tlaku okolnog zraka. Nominalni broj

obrtaja motora je ][240 srad=ω .

Slika 8-13. Ograničenja kutnih brzina malog zrakoplova

Izjednačavanjem potrebne i raspoložive snage ar PP = dobivamo:

( )VP

VSWnK

VSC araspD =+ 2

220 12

2 ρρ .

Iz ove je jednadžbe kvadrat raspoloživog opterećenja:

−= 40

22

22VSCVP

KWSn D

araspρρ ,

S ovim raspoloživim opterećenjem određujemo najveću kutnu brzinu Pχ& u koordiniranom

zaokretu, prema jednadžbi 8.58.

Vng rasp

P

12 −=χ&

Na disketi u direktoriju performanse nalazi se program Maxkutbr.m koji crta u MATLABu

krivu ( )VPχ& kao i dvije krive ( )VLχ& prema jednadžbi 8.50 i ( )VSχ& prema jednadžbi 8.49 u

Page 252: Mehanika Leta Zrakoplova

Performanse zrakoplova 8-30

čijem presjeku C se nalazi najveća moguća kutna brzina (corner speed). Taj presjek ima

koordinate. Na slici 8-13 prikazan je dijagram dobiven tim programom.

8.4 Vertikalni zaokret

8.4.1 Jednadžbe

Jednadžbe gibanja središta mase s kojima određujemo performanse zrakoplova:

γφγ

φχγγ

coscossincos

sin

WLmVLmVWDTVm

−==−−=

&

&

&

8.63

u slučaju zaokreta u vertikalnoj ravnini 0=χ& dobivaju oblik

,coscos

sin0sin

γφγφ

γ

WLmVL

WDTVm

−==

−−=

&

&

pa iz druge jednadžbe zaključujemo da u slučaju vertikalnog zaokreta mora biti 0=φ , tj. da

nema valjanja. Prva i treća jednadžba postaju:

γγ

γ

cos

sin

WLdtdmV

WDTdtdVm

−=

−−= 8.64

Iz druge jednadžbe je

γγ cos−= ngV& . 8.65

Kako je γ&RV = , ova jednadžba daje vezu između polumjera krivine i normalnog opterećenja

γcos2

+=gRVn 8.66

8.4.2 Najveća kutna brzina

Kao i za horizontalni zaokret, i ovdje je kutna brzina ograničena najvećim konstruktivnim

opterećenjem nS :

( )V

ngV SS

γγ cos−=& . 8.67

Zamjenom opterećenja prema definiciji

Page 253: Mehanika Leta Zrakoplova

Performanse zrakoplova 8-31

WSCV

n L

2

2ρ=

dobivamo jednadžbu za kutnu brzinu u ovisnosti o koeficijentu uzgona:

( )

−=V

cosVW

SCgV L γρ

γ2

& .

Iz toga je očito da je najveća kutna brzina ovisno o maksimalnom koeficijentu uzgona dana

jednadžbom:

( )

−=V

VW

SCgV L

Lγρ

γ cos2

max& 8.68

U presjeku tih dviju ovisnosti ( )VSγ& i ( )VLγ& :

−=

−V

VW

SCgV

ng LS γργ cos2

cos max

CL

C

S VW

SCVn

2maxρ

=

dobiva se brzina leta CV :

max

2

L

SC SC

WnV

ρ= , 8.69

pri kojoj se može ostvariti najveća kutna brzina u vertikalnoj ravnini. Ta brzina ne ovisi o

kutu γ što znači da se bilo u kojemu nagibu putanje može dobiti najveća kutna brzina

propinjanja pri ovoj brzini leta. Činjenica je da je to ista brzina pri kojoj se može ostvariti i u

horizontalnom zaokretu najveća kutna brzina (corner speed). U vertikalnom zaokretu bit će

ta najveća kutna brzina (corner speed) :

S

SL

nn

WSC

gγρ

γcos

2max

max−

=& 8.70

Ta kutna brzina ovisi o kutu penjanja. Zanimljivo je usporediti ovu maksimalnu kutnu brzinu

u vertikalnoj ravnini s kutnom brzinom u horizontalnoj ravnini (jednadžba 8.55)

−=

SS

Lspeedcorner n

nW

SCg 12

maxρχ&

Ako zrakoplov leti horizontalno onda je odnos kutnih brzina u vertikalnom zaokretu prema

horizontalnom zaokretu:

11

max

max

+−

=S

S

nn

χγ&

& 8.71

Page 254: Mehanika Leta Zrakoplova

Performanse zrakoplova 8-32

8.4.3 Analiza vertikalne petlje

Da bismo pojednostavili analizu vertikalne petlje, pretpostavimo da je u svakom trenutku

raspoloživa sila jednaka otporu. Jednadžbe se pojednostavnjuju:

γγ

γ

cos

sin

ggndtdV

gdtdV

−=

−= 8.72

Eliminacijom vremena iz ovih dviju jednadžbi, dobivamo:

γγ

γ dnV

dVcos

sin−

−= 8.73

Ako zrakoplov sve vrijeme leta u petlji ima isto opterećenje, onda poslije integracije od

polazne točke 0=γ u kojoj je brzina leta 0V do bilo koje točke, dobivamo:

γcos

10 −

−=

nnVV 8.74

Ova ovisnost ( )γV prikazana je na slici 8-14.

Slika 8-14 Promjena brzine u petlji

U ovakvom letu zrakoplov bi imao najmanju brzinu na vrhuncu petlje

11

0min +−

=nnVV , 8.75

Jednadžbu 8.66 možemo napisati u obliku

( )γcos

2

−=

ngVR

Page 255: Mehanika Leta Zrakoplova

Performanse zrakoplova 8-33

Ona daje veličinu polumjera petlje R ovisno o brzini leta u petlji V i nagibu brzine γ .

Zamjenom ( )γV prema jednadžbi 8.74 u jednadžbu 8.66 dobivamo ovisnost polumjera petlje

samo o nagibu tangente.

( )( )3

220

cos1γ−

−=

nn

gVR

Iz ove jednadžbe možemo za razne položaje odrediti polumjer krivine petlje Tako je u tablici

izračunat polumjer krivine za petlju u kojoj je opterećenje 3=n , a za tri karakteristična

položaja zrakoplova.

0=γ 090=γ 0180=γ

gVR

205.0=

gVR

20148.0=

gVR

200625.0=

Na slici 8.15 prikazan je približan izgled ove petlje.

1R2R3R

γ

Slika 8-15. Zrakoplov u vertikalnoj petlji

Da bi zrakoplov sve vrijeme petlje imao konstantno normalno opterećenje u uvjetima

promjenljive brzine, on mora mijenjati napadni kut tako da se koeficijent uzgona mijenja

ovisno o kutu γ :

2

2VC

WS

WLn L

ρ==

( )

( )222

0

cos1

2 γρ

−−

= nnSV

WnCL 8.76

Ta promjena koeficijenta uzgona prikazana je na dijagramu slike 8-16

Page 256: Mehanika Leta Zrakoplova

Performanse zrakoplova 8-34

Slika 8-16

Minimalna vrijednost koeficijenta uzgona je na ulazu u petlju ( 0=γ )

20

02SVWnCL ρ

= ,

a maksimalna na vrhuncu petlje:

2

20 1

12

−+

=nn

SVWnC 1L ρ

8.77

U vrhuncu petlje centrifugalna sila jednaka je zbroju uzgona i težine zrakoplova,

LWR

Vg

W+=

2

jer je 0180=γ , pa je polumjer zakrivljenosti ( )1

2

+=

ngVR .

Page 257: Mehanika Leta Zrakoplova

Polijetanje i sletanje 9-1

9 POLIJETANJE I SLIJETANJE

9.1 Polijetanje (take off)

Prvo istaknimo da su za vrijeme polijetanja djelomično izbačena zakrilc (flapsovima) i da je

izbačeno podvozje. Takav zrakoplov ima potpuno različiti aerodinamički model od

zrakoplova s uvučenim zakrilcima i uvučenim podvozjem. Pored toga na aerodinamičke

koeficijente utječe i blizina tla.

Dobra procjena povećanja sile uzgona zbog izbačenih flapsova može se izvršiti

pomoću ESDU 74009 i 74012. Utjecaj tla na uzgon procjenjuje se pomoću ESDU 72023, a

na otpor pomoću ESDU 72023 i 74035. U radu lit. 31 ispitivan je utjecaj izbačenih flapsova

na moment propinjanja. Gruba procjena otpora za konfiguraciju u polijetanju može se izvršiti

prema ESDU 79015 (lit.[29]). Tako se u fazi projektiranja (kad nisu poznate dimenzije

podvozja) možemo poslužiti jednom empirijskom formulom za procjenu povećanja otpora

(lit.[17]):

215.0−= mwKC cuD∆

U toj jednadžbi m je masa zrakoplova u kg u trenutku polijetanja, w je opterećenje krila u 2mN , a koeficijent cuK varira od vrijednosti 51081.5 −⋅ za potpuno uvučena zakrilca do

vrijednosti 51016.3 −⋅ za maksimalno izvučena zakrilca.

9.1.1 Tehnika polijetanja

U ovom poglavlju promatramo način polijetanja i slijetanja zrakoplova, duljine zalijetanja i

polijetanja kao i duljine slijetanja i kočenja.

Proces polijetanja ima tri faze (slika 9-1):

• zalijetanje po pisti, duljine 1s ,

• zalijetanje i propinjanje letjelice, duljine 2s i konačno

• odvajanje od piste do postizanja propisane visine, duljine 3s .

Sve tri faze promatramo u lokalnom koordinatnom sustavu koji ima ishodište na mjestu

središta mase zrakoplova u trenutku starta, os Lx duž piste u pravcu zalijetanja, a Ly os

Page 258: Mehanika Leta Zrakoplova

Polijetanje i sletanje 9-2

vertikalno naviše. Treća os z znači da je horizontalno, udesno, gledajući u pravcu zalijetanja

zrakoplova.

1s 2s

3s

as3 bs3

RV

Ly

TOV

LxLx

Slika 9-1 Faze polijetanja zrakoplova

Promatrat ćemo polijetanje u uvjetima kad ima vjetra.

VVV WK

rrr+=

Vjetar WVr

razlažemo na dvije komponente: uzdužnu WXV , pozitivnu u pravcu i smjeru

polijetanja, i bočnu WZV , pozitivnu u pravcu osi z kad vjetar puše s lijeve na desnu stranu

gledajući u pravcu polijetanja.

Zalijetanje je pravocrtno ubrzano gibanje po pisti, koje započinje brzinom leta jednakoj

nuli, 0=KV , a to znači, uzdužnom aerodinamičkom brzinom intenziteta WXVV −=0 .

Zalijetanje se završava kada komponenta aerodinamičke brzine u ravnini simetrije letjelice

dostigne zadanu vrijednost TOV . U tom trenutku brzina zalijetanja bit će TOWXK VVV += .

Vrijeme i put zalijetanja počinjemo mjeriti kad se zrakoplov počne gibati. Na kraju zalijetanja

sila uzgona je jednaka težini i u tom trenutku prestaje kontakt s pistom počinje let zrakoplova.

Tijekom cijelog polijetanja (za sve tri faze) zrakoplov ima konfiguracija u polijetanju.

• djelomice izbačena zakrilca i

• izbačeno podvozje .

Na koeficijent uzgona i otpora u zalijetanju utječe još i prisustvo tla. Označimo sa maxLC

maksimalni koeficijent uzgona za konfiguraciju u polijetanju. Sa stallV se označava

aerodinamička brzina koja s tim koeficijentom daje uzgon jednak težini letjelice:

Page 259: Mehanika Leta Zrakoplova

Polijetanje i sletanje 9-3

WCSVLref

stall =max

2

2ρ 9.1

To znači ako postavimo kormilo visine maxmδ , onda će poslije kratkog vremena (prijelazni

proces) letjelica zauzeti napadni kut maxα kome odgovara maxLC . Prema tome, stallV je

najmanja moguća aerodinamička brzina pri kojoj zrakoplov može poletjeti, ali se može i

vratiti na pistu, jer koeficijent uzgona pri malo većem napadnom kutu opada. Zato je

propisano (FAR Part 25) da se odvajanje ne izvodi pri maxLC već pri malo manjem

koeficijentu uzgona:

21.1maxL

LTO

CC = 9.2

S ovim koeficijentom uzgona potrebna je brzina TOV da bi sila uzgona bila jednaka težini, pa

tu brzinu određujemo iz tog uvjeta:

WCSVTOLref

TO =2

2ρ 9.3

Brzinu TOV nazivamo brzina odvajanja (take-off speed). Kad ovu jednadžbu usporedimo s

jednadžbom 9.1 zaključujemo da će odvajanje nastupiti kad je aerodinamička brzina

stallTO VV ⋅= 10.1 .

Zalijetanje ima dva dijela. U prvom dijelu nema otklona kormila visine, napadni kut

zrakoplova je nula ili blizak nuli. Aerodinamička brzina raste dok zrakoplov kreće po pisti do

trenutka kada aerodinamička brzina naraste do vrijednosti RV . Kad aerodinamička brzina

dostigne tu vrijednost RV tad je kraj prvog dijela zalijetanja i počinje drugi dio zalijetanja. U

tom drugom dijelu zalijetanja zrakoplov i dalje ubrzava svoje kretanje po pisti, ali istodobno

se propinje i prednji kotač gubi kontakt s pistom. Taj drugi dio zalijetanja predstavlja drugu

fazu polijetanja i nazivamo je propinjanje. Propinjanje počinje kad pilot postavi otklon

kormila visine TOmδ , kome u ravnotežnom letu odgovara napadni kut TOα za koji je

koeficijent uzgona jednak vrijednosti 0LTC . U prijelaznom procesu promjene napadnog kuta

od nule do nove vrijednosti TOα , zrakoplov se propinje pod utjecajem aerodinamičkog

momenta. On se okreće oko osi glavnih kotača do kuta TOTO αϑ = , a prednji se kotač odvaja

od zemlje. Za to vrijeme zrakoplov se još uvijek ubrzano kreće s glavnim kotačima po pisti.

Aeroddinamička brzina zrakoplova se povećava. Brzinu RV treba tako izabrati da kut

propinjanja zrakoplova dostigne vrijednost TOTO αϑ = kad aerodinamička brzina dostigne

Page 260: Mehanika Leta Zrakoplova

Polijetanje i sletanje 9-4

vrijednost TOV . Uočimo da smo trebali otkloniti kormilo visine ranije za vrijeme koje je

potrebno da se obavi prijelazni proces. Uzima se obično da je stallR VV ⋅= 05.1 , što osigurava

da aerodinamička brzina dostigne vrijednost stallTO VV ⋅= 10.1 na kraju prijelaznog procesa kad

koeficijent uzgona dostigne potrebnu vrijednost LTOC za odvajanje od piste pri

aerodinamičkoj brzini TOV . Posebno treba provjeriti pri konstruiranju zrakoplova da kut TOϑ

bude manji od vrijednosti pri kojoj bi zadnji dio zrakoplova udario u pistu. Kad zrakoplov

dostigne kut propinjanja TOTO αϑ = , pri brzini TOV , završava druga faza polijetanja, a time i

zalijetanje. Zalijetanje je zbroj prvog i drugog dijela: 21 sssg += .

Treća faza počinje kad se glavni kotači odvoje od piste, pod utjecajem sile uzgona

koja je veća od težine zrakoplova. Ta razlika između sile uzgona i težine zrakoplova, u prvom

dijelu treće faze uzrokuje vertikalni zaokret putanje zrakoplova od kuta 0=γ do kuta

penjanja cγ na horizontalnoj duljini as3 . Kad brzina dostigne kut cγ , koji je potreban za

penjanje, pilot postavlja mδ koji je potreban za penjanje s konstantnim kutom cγ . Počinje

drugi dio treće faze u kome se zrakoplov pravocrtno penje. Taj pravocrtni dio ima

horizontalnu projekciju bs3 . Ukupna horizontalna projekcija treće faze je zbroj ba sss 333 += .

Polijetanje je gotovo kad zrakoplov dostigne propisanu visini obstacleh Za civilne

zrakoplove ta visina je 10.67 m (35 feet), a za vojne 15.24 m (50 feet). Tu visinu neki

zrakoplovi dostižu još za vrijeme vertikalnog zaokreta, pa je duljina njihove treće faze

polijetanja dio vertikalnog zaokreta bez pravocrtnog dijela ass 33 = . Drugi zrakoplovi postižu

tu visinu tek poslije vertikalnog zaokreta, tijekom pravocrtnog penjanja. Duljina njihove treće

faze je zbroj horizontalne duljine vertikalnog zaokreta as3 i pravocrtnog penjanja do

propisane visine bs3 . U svakom slučaju ukupna duljina polijetanja je zbroj

321 ssss ++=

9.1.2 Duljina zalijetanja - prva faza polijetanja

9.1.2.1 Diferencijalne jednadžbe prvog dijela zalijetanja

Za vrijeme zalijetanja po pisti jednadžbe gibanja središta mase su

Page 261: Mehanika Leta Zrakoplova

Polijetanje i sletanje 9-5

F

dtdVm

Vdtdx

K

K

=

= 9.4

Sila u pravcu zalijetanja F i sila reakcije piste R na kotačima su:

LWR

RDTF−=

−−= µ

Slika 9-2. Sile koje djeluju na zrakoplov u zalijetanju

Eliminacijom R iz tih dviju jednadžbi, dobivamo ovisnost sile koja ubrzava zrakoplov na

pisti:

( ) WCCSVTF LD µµρ−−−=

2

2

9.5

gdje je µ koeficijent kotrljanja kotača po pisti. Pri zalijetanju zrakoplovu su djelomično

izbačena zakrilca ili nisu, a napadni kut je vrlo mali. Zrakoplovi koji imaju treći kotač na

prednjem dijelu, njihovom geometrijom osiguravaju u zalijetanju napadni kut jednak nuli ili

blizak nuli.

Kada jednadžbu 9.5 koja daje silu zalijetanja zrakoplova pridružimo diferencijalnim

jednadžbama gibanja središta mase zrakoplova po pisti, dobivamo model gibanja zrakoplova

po pisti. Numeričkom integracijom tog modela možemo izračunati put i trenutnu brzinu

zrakoplova ovisno o vremenu. Tu numeričku integraciju izvodimo do brzine RV .

U jednadžbama gibanja po pisti:

Page 262: Mehanika Leta Zrakoplova

Polijetanje i sletanje 9-6

a

dtdV

Vdtdx

K

K

=

= 9.6

ubrzanje a prema jednadžbi 9.5

( ) gCCmSV

mTa LD µµρ

−−−=2

2

9.7

ovisi o aerodinamičkoj brzini, a u diferencijalnim jednadžbama imamo brzinu leta. Zato

moramo brzinu leta izraziti ovisno o aerodinamičkoj brzini WXK VVV += . Pretpostavimo da je

za vrijeme zalijetanja vjetar konstantan, onda je 0=WdV . Eliminacijom vremena iz

diferencijalnih jednadžba gibanja i zamjenom brzine leta sa zbrojem aerodinamičke brzine i

vjetra, dobivamo diferencijalnu jednadžbu prijeđenog puta

( ) ( )( ) ( )Va

VdVVa

dVVa

VVdVVadVVds WX

WXWXKK +=++

==1 9.8

9.1.2.2 Procjena ubrzanja u zalijetanja

Ubrzanje u zalijetanju prema jednadžbi 9.5 ima oblik:

( ) gCCmSV

mTa LD µµρ

−−−=2

2

9.9

Najteži dio problema zalijetanja je dobra procjena veličina koje ulaze u jednadžbu za

ubrzanje, a to su:

• pogonska sila T,

• aerodinamički koeficijenti konfiguracije u polijetanju i

• koeficijent kotrljanja µ .

Obično se u problemima polijetanja primjenjuju tri modela za procjenu pogonske sile.

Prvi, kada zrakoplov ima elisni pogon s klipnim motorom, kad se može pretpostaviti

da je za vrijeme polijetanja snaga motora konstantna te je sila na elisi:

VPT motelη

= 9.10

Za vrijeme polijetanja koeficijent učinkovitosti elise ovisi o parametru nDVJ = , Ukoliko za

male vrijednosti brzine koeficijent učinkovitosti ima konačne vrijednosti smatra se da za male

vrijednosti aerodinamičke brzine pogonska sila ne prelazi neku maksimalnu vrijednost.

U drugom modelu, koji se koristi u slučaju turbofan motora, pretpostavlja se da je

pogonska sila kvadratna funkcija aerodinamičke brzine

Page 263: Mehanika Leta Zrakoplova

Polijetanje i sletanje 9-7

( )2210 1 VkVkTT +−= 9.11

ESDU 76034 omogućuje procjenu koeficijenata 2k i 3k za potrebe polijetanja. Na primjer za

Rolls-Royceov turbofan motor RB211-535E4, ti koeficijenti imaju vrijednosti 32 1052.2 −⋅=k

i 63 1034.4 −⋅=k .

Treći model koristi se za mlazne motore. U njemu se obično usvajamo da je pogonska

sila konstantna.

Ovisno o vrsti podloge na pisti, vrijednosti koeficijenta kotrljanja µ prikazane su

tablicom 9-3.

Vrsta tla Bez kočenja Pri kočenju Suhi asfalt 0.03 - 0.05 0.3 - 0.5

Mokri asfalt 0.05 0.15 - 0.3 Poledica na asfaltu 0.02 0.06 - 0.10

Tvrda zemlja 0.05 0.4 Čvrsto nasuta pista 0.04 0.3

Meka zemlja 0.07 0.2 Vlažna trava 0.08 0.2

Tablica 9-3. Tablica koeficijenta kotrljanja

9.1.2.3 Duljina prvog dijela zalijetanja zrakoplova

Integracijom diferencijalne jednadžbe 9.8 od početne aerodinamičke brzine WXVV −=0 do RV

dobivamo pređeni put u prvom dijelu zalijetanja:

( ) ( )∫∫ +=RR V

V

V

VWX Va

VdVVa

dVVs00

1

Za vrijeme zalijetanja zrakoplova smatrat ćemo pogonsku silu kvadratnom funkcijom od

brzine (jednadžba 9.8).

( )2320 1 VkVkTT +−=

U tom slučaju ubrzanje sile F bit će kvadratna funkcija aerodinamičke brzine:

2CVBVAmFa ++== 9.12

gdje su:

Page 264: Mehanika Leta Zrakoplova

Polijetanje i sletanje 9-8

( ).2

0

0

20

02

01

0

LLD CKCCmS

mTkC

mTkB

gmTA

µρ

µ

−+−=

<−=

>−=

9.13

Taj model obuhvaća i slučajeve (neki mlazni motori) kada se može pretpostaviti da je za

vrijeme zalijetanja pogonska sila konstantna ( 021 == kk ).

∫∫ +++

++=

RR V

V

V

VW CVBVA

VdVCVBVA

dVVs00

221 9.14

Drugi integral na desnoj strani rastavljamo na dva integrala:

dVCVBVA

CVBCCVBVA

dVCBdV

CVBVACVBB

C

RRR V

V

V

V

V

V∫∫∫ ++

++

++−=

++++−

000

222

221

22

21

Prvi dio drugog integrala zbrojimo s prvim integralom te je

dVCVBVA

CVBCCVBVA

dVCBVs

RR V

V

V

VW ∫∫ ++

++

++

−=

00

2212

21

2

Rješenje ovih integrala ovisi o korijenima 1V i 2V polinoma 02 =++ CVBVA . Neka su

vrijednosti realnih korijena

CA

CB

CBV −

±−=

2

12 22 9.15

Korijeni V i V1 2 , uvijek su realni, ali ne mogu biti u intervalu integracije RVV ,0 , jer bi to

značilo da u fazi ubrzavanja postoji u tim trenucima ubrzanje jednako nuli (vrijednost

polinoma jednaka je nuli), a zatim i negativno. Budući da su korijeni realni i pozitivni, onda

je

( )( ) dVCVBVA

CVBCVVVV

dVCC

BVsR

i

R

i

V

V

V

VW ∫∫ ++

++

−−

−= 2

211

2211

2

( ) dVCVBVA

CVBC

dVVVVVVVC

BCVxR

i

R

i

V

V

V

V

W ∫∫ +++

+

−−−

−= 2

212121

22111

22 ,

pa je konačno

( )( ) ( )( ) ( ) 2

00

2

102

101

2121 ln

21ln

22

CVBVACVBVA

CVVVVVVVV

VVCBCVs RR

R

RW

++++

⋅+−⋅−−⋅−

⋅−−

= . 9.16

Page 265: Mehanika Leta Zrakoplova

Polijetanje i sletanje 9-9

U slučaju da je pogonska sila konstantna za vrijeme zalijetanja (tada su 021 == kk ),

onda je 0=B , a preostale konstante imaju vrijednosti:

( )LLD CKCC

mSC

gmTA

µρ

µ

−+−=

−=

2

0

2

9.17

CA

CBV

−±−=

212 9.18

te je

( ) RR

V

V

V

V

WX CVACVV

VVAC

Vs0

0

2

2

11 ln

21ln

42

++−−

−= 9.19

U slučaju elisnih zrakoplova znamo da oni imaju raspoloživu snagu koju u prvoj

aproksimaciji možemo pretpostaviti konstantom. Međutim, za male brzine bi pogonska sila

tada bila vrlo velika, a to nije slučaj. Zato za male brzine za koje je 1.0<Ma ,

pretpostavljamo da je pogonska sila konstantna i jednaka vrijednosti za 1.0=Ma , a za veće

brzine mijenja se prema jednadžbi:

VPT η= ,

gdje je η koeficijent učinkovitosti elise, a P snaga motora. Na osnovi takve prosudbe trebamo

dužinu zalijetanja podijeliti na dva dijela. Od starta do 0s s konstantnom pogonskom silom T:

( )LWDTdx

dVmV kk −−−= µ

2BVAdx

dVV kk += ,

gdje je

( )LD CC

mSB

gmTA

µρ

µ

−−=

−=

2

9.20

Gornja diferencijalna jednadžba od 0=V do 340 =V (što odgovara u normalnim uvjetima

1.0=Ma ) daje dužinu zalijetanja:

222 BVAVdV

BVAdVV

BVAdVVdx WX

kk

++

+=

+=

Page 266: Mehanika Leta Zrakoplova

Polijetanje i sletanje 9-10

++

=

++

+= ∫∫ 2

000

20

20 1ln21arctan100

VAB

BABV

ABBVAVdV

BVAdVVs

VV

WX 9.21

Od ove daljine pogonska sila elise je obrnuto proporcionalna brzini leta te diferencijalna

jednadžba ima oblik:

( )LWDVP

dxdVmV k

k −−−= µη

( )VCBVA

dxdVVVWX ++=+ 2 ,

gdje su

( )

PC

CCmSB

gA

LD

η

µρµ

=

−−=

−=

2 9.22

te je

∫ +++

+=RV

V

WX dVBVAVCVVVss

0

3

2

01 9.23

Taj integral se može u svakom konkretnom slučaju izračunati, ali opća formula je

neprikladna.

9.1.3 Propinjanje zrakoplova - druga faza polijetanja

Neka su moment propinjanja i uzgon zrakoplova linearne funkcije otklona kormila visine i

napadnog kuta:

m

m

m

m

MMMM

LLLL

δα

δα

δα

δα

++=

++=

0

0 9.24

U trenutku kada je zrakoplov dostigao određenu brzinu RV pilot postavlja otklon kormila

visine TOmδ . Tom kutu kormila visine u ravnotežnom stanju odgovara napadni kut TOα .

Prema propisima (FAR Part 25) aerodinamički koeficijent uzgona pri tom napadnom kutu

LTOC treba biti

21.1max

0L

mTOLTOLLLTO

CCCCC

m=++= δα δα 9.25

U trenutku kada je pilot postavio otklon kormila visine TOmδ potreban za odvajanje,

zrakoplov je imao napadni kut 0=α . Kad moment svih sila za os zadnjih kotača postane

Page 267: Mehanika Leta Zrakoplova

Polijetanje i sletanje 9-11

pozitivan zrakoplov se počinje propinjati oko osi zadnjih kotača. U trenutku kad nastaje

odvajanje prednjeg kotača od piste, moment oko osi zadnjih kotača je zbroj momenata:

• od težine koja ima napadnu točku u središtu mase xW ∆⋅− ,

• od aerodinamičkih sila (i poprečne pogonske sile) koje svedene na središte mase

imaju rezultantu silu uzgona L i spreg M , a za os zadnjih kotača imat će moment

xLMM Ac

Ao ∆⋅+= ,

• od pogonskog momenta za os kotača TMM cFc

Fo

rr×−= ρ i

• dopunskog momenta ( ) mVc 0

rrr××Ω ρ prema jednadžbi 6.53. Ako sa λ označimo

kut od horizontalne brzine do pravca OC, intenzitet ovog momenta bit će

( ) ( ) mxVmVmV cc ⋅∆=

+⋅⋅⋅Ω=××Ω 000 2

sin ϑπλρρ &rrr

zato što je xc ∆=λρ cos

.

Vrαx

L

Wx∆

T

O

C

Slika 9-4 Propinjanje zrakoplova

Propinjanje počinje kad zbroj ovih momenata bude veći od nule. Kut propinjanja zrakoplova

mijenja se od početne vrijednosti 0=ϑ do krajnje vrijednosti TOαϑ = . Ta promjena odvija se

prema diferencijalnoj jednadžbi

( ) xmVWLMMdtdI A

cFoO ∆⋅⋅+−++= ϑϑ &

02

2

9.26

OI je moment tromosti zrakoplova za os zadnjih kotača. Kotači za vrijeme propinjanja ostaju

na pisti pa je za vrijeme propinjanja 0=γ , što znači da je napadni kut α jednak je kutu

propinjanja zrakoplova ϑ . Zato je u gornjoj jednadžbi

Page 268: Mehanika Leta Zrakoplova

Polijetanje i sletanje 9-12

mTO

mTOAc

Ac

Ac

Ac

LLLL

MMMM

δϑ

δϑ

δα

δα

++=

++=

0

0 9.27

Pretpostavimo da je prošlo vrijeme TOt od trenutka postavljanja kormila visine u položaj

mTOδ do trenutka kada je napadni kut dostigao ravnotežnu vrijednost TOα . Za to vrijeme

brzina je isto rasla od vrijednosti RV do TOV . Brzinu RV treba tako izabrati da na kraju

propinjanja uzgon bude jednak težini zrakoplova:

( ) WCCCSVmTOLTOLLref

TOm

=++ δαρδα0

2

2 9.28

Druga faza je gotova i započinje treća faza polijetanja. Vrijeme propinjanja LOt je kratko, pa

brzina RV malo manja od brzine OFV .

Ukoliko je opravdano na dijelu puta 2s dok brzine rase od RV do TOV zanemariti

utjecaj promjene napadnog kuta na ubrzanje, možemo integraciju diferencijalne jednadžbe

vršiti do brzine odvajanja TOV . Tada integracijom diferencijalne jednadžbe gibanja 9.9,

dobivamo ukupnu duljinu zalijetanja koja je zbroj prvog dijela gdje nemamo propinja

zrakoplova i drugog dijela na kome se zrakoplov propinje do vrijednosti potrebne za

odvajanje.

∫∫ +=+=TOTO V

V

V

VWXg a

VdVa

dVVsss00

21 9.29

Rezultat integracije je potpuno isti, samo je krajnja brzina ona koja odgovara odvajanju TOV .

Zato treba u jednadžbama 9.21 i 9.24 samo zamijeniti brzinu RV sa TOV . Tako dobivamo za

kvadratni oblik ubrzanja od aerodinamičke brzine novu jednadžbu za ukupnu duljinu

zalijetanja 21 sssg +=

( )( ) ( )( ) ( ) 2

00

2

102

101

212 ln

21ln

22

CVBVACVBVA

CVVVVVVVV

VVCBCVs TOTO

TO

TOWg ++

++⋅+

−⋅−−⋅−

⋅−−

= 9.30

Konstante A, B i C određene su jednadžbama 9.13, a koreni 21 i VV jednadžbom 9.15. U

slučaju konstante pogonske sile bit će ukupna duljina zalijetanja

( ) TOTO

V

V

V

V

WXg CVA

CVVVV

ACVsss

00

2

2

121 ln

21ln

42

++−−

−=+= 9.31

Konstante A i C određene su jednadžbama 9.19, a koreni 21 i VV jednadžbom 9.20.

Page 269: Mehanika Leta Zrakoplova

Polijetanje i sletanje 9-13

9.1.4 Treća faza polijetanja

Brzina TOV je početak treće faze polijetanja zrakoplova. Zrakoplov postaje letjelica, brzina

gibanja više nije paralelna pisti, kut brzine leta Kγ se povećava. Na početku ove faze kut

brzine leta zrakoplova 0=Kγ , i on treba rasti dok ne dostigne vrijednost Cγ potrebnu za

penjanje. Ta promjena kuta brzine Kγ od 0 do Cγ je gibanje u vertikalnoj ravnini koje je

određeno jednadžbama 8.64

γγ

γ

cos

sin

WLdtdmV

WDTdtdVm

−=

−−=

iz kojih smo odredili da je polumjer vertikalnog zaokreta u svakoj točki leta:

Kng

VRγcos

12

−⋅= 9.32

Dok se kut Kγ mijenja od 0 do vrijednosti Cγ , brzina raste od vrijednosti TOV do CV jer se

zrakoplov i dalje ubrzava. Prema FAR-propisima, brzina leta tijekom zaokreta raste od

vrijednosti stallTO VV ⋅= 10.1 do vrijednosti stallC VV ⋅≈ 20.1 kada je obično postignut kut

penjanja Cγ .

1s 2s

0 TOVRV

as3 CV

Slika 9-5

Pogledajmo kako izgleda krivulja vertikalnog zaokreta. Pretpostavimo da za vrijeme

zaokreta pilot ne mijenja otklon kormila visine. Drugim riječima, cijelo vrijeme zaokreta

koeficijent uzgona je max826.0 LL CC ⋅= . Na početku zaokreta bilo je normalno opterećenje u

Page 270: Mehanika Leta Zrakoplova

Polijetanje i sletanje 9-14

trenutku odvajanja 1=n , a polumjer zaokreta je beskonačno veliki. Na kraju zaokreta je

normalno opterećenje

( )19.1

826.02

20.12 max

22

=⋅

=W

CSV

W

CSVLref

stallLref

ρρ

Kut penjanja Cγ je mali te je 1cos ≈Cγ . S tom aproksimacijom je polumjer na kraju zaokreta

( )( )

( ) gV

gV

ngVR stallstall

K

222

6.71189.1

20.1cos

=−

=−

Krivulja vertikalnog zaokreta ima na početku neizmjeran polumjer zakrivljenosti, a na kraju ti

konačnu vrijednost. Na osnovu toga slijedi da je to neka vrsta spirale. Mi ćemo je zamijeniti s

lukom kružnice. To znači da nam treba neki prosječni polumjer u vertikalnom zaokretu. Taj

prosječni polumjer dobit ćemo ako uzmemo prosječne vrijednosti u jednadžbi za polumjer

zakrivljenosti. To su brzina, normalno opterećenje i γcos . Brzina na početku zaokreta je

stallLO VV ⋅= 10.1 . Ako je na kraju vertikalnog zaokreta brzina dostigla vrijednost stallV⋅20.1 ,

onda je prosječna vrijednost brzine u zaokretu stallV⋅15.1 :

( )092.1

826.02

15.12 max

22

=⋅

==W

CSV

W

CSV

nLref

stallLref

m

m

ρρ

Ako se uzme u obzir da je sve vrijeme zaokreta kut γ vrlo mali, možemo u prvoj

aproksimaciji pretpostaviti da je sve vrijeme vertikalnog zaokreta 1cos ≈γ . U tom je slučaju

polumjer kružnice

( )( )

( ) gV

gV

ngVR stallstall

Km

mm

222

141092.1

15.1cos

=−

⋅=

−=

γ 9.33

Na osnovi tih aproksimacijama zamjenjuje se putanja za vrijeme zaokreta kružnicom. Zato je

visina na kraju zaokreta, kada je Cγγ = :

( )CRh γcos1−= 9.34

Treća faza završava kad zrakoplov dostigne visinu obsh , koju nazivamo visina nadvisivanja

prepreke (obstacle clearance altitude). Po civilnim standardima mhobs 7.10= (35 ft), a po

vojnim mhobs 2.15= (50 ft). Ako zrakoplov na kraju vertikalnog zaokreta, kada ima potreban

kut penjanja Cγ , nema potrebnu visinu, onda treća faza obuhvaća i dio penjanja pri

konstantnom kutu penjanja Cγ do visine obsh .

Page 271: Mehanika Leta Zrakoplova

Polijetanje i sletanje 9-15

Horizontalna projekcija ovih triju faza leta je duljina polijetanja. Međutim, u pravom

smislu riječi, polijetanje završava na visini od 150 m (500 ft) kad zrakoplov treba uvući

kotače, uvući zakrilca, postaviti motor u režim za penjanje, i time u potpunosti završiti fazu

polijetanja.

9.1.5 Sigurnost polijetanja

9.1.5.1 Duljina piste

Kada je riječ o zrakoplova s više od jednog središnjeg motora, u odjeljku 7.3 vidjeli smo da

postoji jedna minimalna aerodinamička brzina pri kojoj je moguće maksimalnim otklonom

kormila pravca kompenzirati moment skretanja koji nastaje otkazom jednog bočnog motora.

Nazovimo tu brzinu mcaV (minimum control speed). Jasno je da ta brzina mora biti manja od

brzine odvajanja TOV i obično je dosta manja. Ako se otkaz jednog bočnog motora dogodi u

zalijetanju pri brzini failV koja je manja od mcaV zrakoplov mora kočiti, a ako se otkaz motora

dogodi u zalijetanju kad je mcafail VV > , postoje dvije mogućnosti:

• kočiti zrakoplov dok ne stane,

• nastaviti polijetanje s jednim motorom jer se zrakoplov može držati u željenom

pravcu, a poslije polijetanja sletjeti na pistu.

Jasno je da zrakoplov s jednim motorom ima znatno manje ubrzanje, što zahtijeva dužu pistu

od one koju normalno treba s dva motora. Koje od ove dvije mogućnosti treba realizirati? Da

bi odgovorili na to pitanje, promotrimo dijagram na slici 9-6. Na apscisi je brzina zrakoplova

u trenutku otkaza motora failV . Donja krivulja na apscisi ima "put od starta do zaustavljanja"

koji je zbroj dva dijela. U prvom dijelu zrakoplov je ubrzavao s dva motora do brzine failV , a

u drugom djeluje je kočio s jednim motorom od brzine failV do zaustavljanja. I druga krivulja

ima apscisu koja je zbroj dva dijela. Prvi dio je isto pređeni put zrakoplova za vrijeme

ubrzavanja s dva motora od starta do brzine otkaza failV , a drugi je ubrzavanje s jednim

motorom od brzine otkaza failV do brzine odvajanja TOV . Ta ukupna duljina bit će duža ako je

otkaz motora nastao pri manjoj brzini, pa krivulja pada s povećanjem brzine failV . Dijagrama

pokazuje da se te dvije krivulje sijeku za neku brzinu 1V koja se naziva brzina odlučivanja

(decision speed). Ako je u trenutku otkaza 1VV fail < , onda je kraći put do zaustavljanja i pilot

treba kočiti. I obrnuto, ako je u trenutku otkaza 1VV f > , pilot treba nastaviti proceduru

Page 272: Mehanika Leta Zrakoplova

Polijetanje i sletanje 9-16

polijetanja, poletjeti, te onda donijeti odluku što raditi. U gornjem dijagramu krajnja točka

predstavlja brzinu odvajanja TOV , pa ako je otkaz motora i nastao kad je brzina zrakoplov

dostigla tu vrijednost, put do odvajanja isti je kao da nije bilo otkaza.

10 20 30 40 50 60 70 80 900

1000

2000

3000

4000

5000

6000pu

t s [m

]

brzina pri otkazu Vf(i) [m/s]

put do odvajanja

put do zaustavljanja

Slika 9-6 Duljina puta do odvajanja i do zaustavljanja

Prema tome očito je da dužina piste za zalijetanje treba biti iz sigurnosnih razloga veća od one

koju teoretski određujemo. Ta dužina piste za zalijetanje gs mora odgovarati dužini piste ako

je otkaz nastao pri brzini odlučivanja 1V , a ta dužina piste dosta je veća od one u normalnom

zalijetanju ( gs ). Upravo je to jedan od zahtjeva koji mora zadovoljiti dužina piste. Jasno je da

ta brzina 1V mora biti manja od brzini RV , a veća od cmV .

9.1.5.2 Utjecaj vjetra

Pri određivanju dužine piste mora se uzeti u obzir i nepovoljna komponenta vjetra u pravcu

piste. Nepovoljna je komponenta vjetra u smjeru polijetanja. To znači da treba odrediti dužinu

piste iz uvjeta da zrakoplov kome je otkazao jedan motor poslije brzine 1V s tako umanjenim

ubrzanjem, a u uvjetima najvećega dopuštenog vjetra u pravcu i smjeru polijetanja, ima

dovoljnu duljinu piste da postigne aerodinamičku brzinu odvajanja TOV , odnosno ako mu je

motor otkazao prije brzine 1V onda mora pista biti dovoljno duga da može ukočiti prije kraja

Page 273: Mehanika Leta Zrakoplova

Polijetanje i sletanje 9-17

piste. Pored toga treba voditi računa da zrakoplov s jednim motorom mora postići visinu

obstacleh , ako se odvojio na kraju piste.

Kada smo promatrali utjecaj bočne komponente vjetra na stabilnost gibanja

zrakoplova vidjeli smo da bočna komponenta vjetra stvara kut klizanja

WXK

WZ

VVV−

−=βtan

Ako ne otklonimo kormilo pravca, statički stabilan zrakoplov okrenut će se u pravcu vjetra,

za taj kut klizanja, i time nastaviti gibanje u pravcu vjetra, a ne u pravcu piste. Zato treba

otkloniti kormilo pravca (i krilca) kako bi zrakoplov ostao na istom pravcu gibanja duž piste.

Vidjeli smo da postoji u letu neka vrijednost kuta klizanja do koje je moguće kompenzirati

utjecaj bočnog vjetra na pravac gibanja, jer je otklon kormila pravca ograničen nekom

maksimalnom vrijednošću. Prema propisima za konstrukciju zrakoplova, kormilo pravca

mora biti u stanju osigurati pravac leta kada je kut klizanja 010=β . Kut klizanja bit će

najveći kad je najmanja brzina leta, a najmanja brzina leta je u trenutku odvajanja. To znači

da se smije polijetati ako je bočna komponenta vjetra manja od βtanTOV . S obzirom na to što

vjetar nikad nije konstantan, mora se uzeti i određena rezerva zbog trenutnih udara vjetra, pa

se ova vrijednost još umanjuje. Nazovimo je dopuštena vrijednost bočnog vjetra.

9.1.6 Primjeri

9.1.6.1 Primjer 1

Odredit ćemo duljinu zalijetanja dvomotornog zrakoplova do brzine TOV ako nema vjetra i

utjecaj vjetra u pravcu polijetanja intenziteta sm10 . Težina zrakoplova je KNW 3260= .

Referentna površina je 2511 mS = , za konfiguraciju s izbačenim kotačima i djelomice

izbačenim zakrilcima 0364.00 =DC , a za čistu konfiguraciju 0182.00 =DC . Koeficijent

068.0=K , a koeficijent maksimalnog uzgona zrakoplova s djelomice izvučenim zakrilcima

je 80.1max =LC . Koeficijent trenja kotača po pisti je 02.0=µ . Za vrijeme zalijetanja s

djelomice izbačenim zakrilcima 0.1=LC . U prisutnosti tla inducirani otpor pada na 14% od

njegove vrijednosti u letu. Ovisnost pogonske sile motora u KN o aerodinamičkoj brzini

zadana je jednadžbom:

( )[ ]KNVVT 263 1097.41094.212.705 −− ⋅+⋅−⋅=

Za vrijeme zalijetanja je inducirani otpor u prisutnosti tla:

Page 274: Mehanika Leta Zrakoplova

Polijetanje i sletanje 9-18

09500010680140140 22 ....KC.C LiD =⋅⋅=⋅=

te je totalni otpor za vrijeme zalijetanja

0459.00095.00364.00 =+=+= DiDD CCC

Iz jednadžbe dobivamo:

WCSVLref

stall =max

2

smCSWV

Lrefstall 1.76

8.1511225.1326000022

max

=⋅⋅

⋅==

ρ

Pilot postavlja otklon kormila visine tako da s djelomice izvučenim zakrilcima bude

koeficijent uzgona:

49.180.1826.0826.0 max =⋅=⋅= LLTO CC

S tim koeficijentom uzgona nastupit će odvajanje od tla pri brzini

WSCVLTO

TO =2

smCS

WVTOLref

TO 6.8349.1511225.1

326000022=

⋅⋅⋅

==ρ

Za 0=− Tαα bit će

926.102.03323007052000 =−=−= gg

mTA µ

( ) 3301 1024.6

3323007052001094.2 −− ⋅−=⋅−=−=

mTkB

( ) ( )5

602

10387.1

00.1020.00364.03323002

511225.13323007052001097.4

2−

⋅−=

⋅−⋅

⋅−⋅=−−= LD CC

mS

mTkC µρ

Korijeni su

52

5

32

12 38710.1926.16.231

10387.121024.6

22 −−

−−±

⋅⋅−⋅−

−=−

±−=

CA

CB

CBV

3.6604.210

2

1

−==

VV

Za slučaj kada nema vjetra VW = 0 , jednadžba za duljinu zalijetanja 9.18 dobiva oblik:

( )( )( ) 12

21

212

2

ln2

ln21

VVVVVV

VVCB

ACVBVA

Cx

LO

LOLOLOg ⋅−

⋅−⋅

−−

++⋅=

Page 275: Mehanika Leta Zrakoplova

Polijetanje i sletanje 9-19

Poslije zamjene 926.1=A , 31024.6 −⋅−=B i 510387.1 −⋅−=C dobivamo:

( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

m

.-.x

2

g

2320116701398952444.0ln1862767837.0ln36049

4.2103.6607.833.6604.2107.83ln

3.6604.21010387.121024.69261

7.8310387.17.831024.69261ln10387.12

1

25

3

53

5

=−=⋅+⋅−=

⋅+−⋅−

⋅+⋅⋅−⋅

⋅−−

−⋅⋅⋅⋅−

⋅⋅−⋅

=

−−

Napravljen je program koji daje ovisnost duljine zalijetanja o vjetru, ( )WXg Vx . On se nalazi na

disketi pod imenom Vjetar.m u direktoriju Performanse\Poletanje. S tim programom

nacrtan je dijagram na slici 9-8, na kojoj se vidi utjecaj vjetra u pravcu polijetanja na duljinu

zalijetanja. Može se reći da je taj utjecaj linearan i da svaki sm1 vjetra u pravcu polijetanja

produžuje put zalijetanja ovog zrakoplova za 42 m.

Ovaj zrakoplov na kraju vertikalnog zaokreta trebao bi imati brzinu leta

smVV stall 3.911.7620.120.1 =⋅=⋅=

Pri toj brzini pogonska sila je

( )( )

KN

VVT

2.5164.871097.44.871094.212.705

1097.41094.212.705263

263

=⋅+⋅−⋅=

⋅+⋅−⋅=−−

−−

0 5 10 15 202200

2400

2600

2800

3000

3200

3400

3600

put d

o od

vaja

nja

xg [m

]

brzina vjetra Vw [m/s] Slika 9-7 Utjecaj vjetra na duljinu zalijetanja

Page 276: Mehanika Leta Zrakoplova

Polijetanje i sletanje 9-20

Kut penjanja određujemo za konfiguraciju zrakoplova na kraju polijetanja. Kotači su još

izbačeni a zakrilca djelomice kao pri odvajanju, ali više nema utjecaja tla na inducirani otpor.

Zato je 0364.00 =DC , pa je režim leta za maksimalni kut penjanja je

smCK

SWVV

DT 6.119

0182.0068.0

5113260000

225.122

0

====ργ

a toj brzini odgovara pogonska sila

( )( )

KN

VVT

5076.1191097.46.1191094.212.705

1097.41094.212.705263

263

=⋅+⋅−⋅=

⋅+⋅−⋅=−−

−−

Sila otpora je:

KNCSV

D D 3220182.025112

6.119225.122

2

0

2

=⋅⋅⋅

== γρ

0567.03260

322507sin =−

=−

=W

DTCγ

03.3=Cγ

Procjena polumjera zaokreta je

mg

VR stall 826481.91.761414

22

===

te je visina zrakoplova u trenutku kada postigne kut penjanja

( ) ( )mRx

mRh

Ctr

C

4763.3sin8264sin7.133.3cos18264cos1

=⋅===−⋅=−=

γγ

To je veća visina od potrebne visina ( m7,10 ). Prema ovom modelu duljinu treće faze

dobivamo iz jednadžba:

( )CRh γcos1−=

( )Cγcos182647.10 −⋅=

092.29987.0cos =⇒= CC γγ

mRx C 42092.2sin8264sin3 =⋅== γ

To znači da je duljina polijetanja ovog zrakoplova u normalnim uvjetima bez vjetra

mxxg 274042023203 =+=+

Page 277: Mehanika Leta Zrakoplova

Polijetanje i sletanje 9-21

9.1.6.2 Primjer 2

Za prethodni primjer treba nacrtati:

• duljinu puta do odvajanja ako je pri brzini fV otkazao jedan motor, u ovisnosti o toj

brzini

• duljinu do zaustavljanja ako je poslije otkaza pri brzini fV pilot kočio s preostalim

jednim motorom i kočnicama na kotačima.

• Sila kočenja pomoću dva motora je kNT r 6.3520 −= , a koeficijent kočenja kotačima je

20.0=rµ

Konstante pri zalijetanju s dva motora:

926.181.902.03323007052000 =⋅−=⋅−= g

mTA µ

006234.03323007052001094.2 30

2 −=⋅−=−= −

mTkB

( )

( ) 56

03

10385.100.102.00459.03323002

511225.13323007052001097.4

2−− ⋅−=⋅−

⋅⋅

−⋅=

−−= LD CCmS

mTkC µρ

Konstante pri zalijetanju s jednim motorom:

865.081.902.03323002

70520020 =⋅−⋅

=⋅−= gm

TAf µ

003120.03323002

7052001094.22 302 −=

⋅⋅−=−= −

mTkB f

( )

( ) 56

03

10912.100.102.00459.03323002

511225.13323002

7052001097.4

22

−− ⋅−=⋅−⋅

⋅−

⋅⋅=

−−= LDf CCmS

mTkC µρ

Konstante pri kočenju s jednim motorom i kotačima:

( ) ( ) 410451.100.12.00459.03323002

511225.12

0

493.281.92.033230023526002

−⋅=⋅−⋅

⋅−=−−=

=

−=⋅−⋅

−=⋅−=

LrDr

r

rr

r

CCmSC

B

gm

TA

µρ

µ

Prijeđen je put fs s dva motora od brzine 0V do otkaza jednog motora pri brzini fV :

Page 278: Mehanika Leta Zrakoplova

Polijetanje i sletanje 9-22

( )( ) ( )( ) ( ) 2

00

2

102

201

212 ln

21ln

22

CVBVACVBVA

CVVVVVVVV

VVCBCVs ff

f

fWn ++

++⋅+

−⋅−

−⋅−⋅

−−

=

Od tog mjesta dalje radio je samo jedan motor te je prijeđeni put s jednim motorom do brzine

TOV :

( )( ) ( )( ) ( ) 2

2

12

21

212 ln

21ln

22

fffff

TOfTOff

ffTO

fTO

f

Wff VCVBA

VCVBACVVVV

VVVVVVCBVC

s++

++⋅+

−⋅−

−⋅−⋅

−=

Te je ukupni put do odvajanja

fn sss +=1

Ako se koči jednim motorom od mjesta otkaza pri brzini fV do zaustavljanja 0=V , prijeđeni

je put za vrijeme kočenja jednim motorom:

( )( ) ( )( ) ( ) 2

12

21

212 ln

21ln

22

rrfrr

r

rf

f

r

rWrr VCVBA

ACVVV

VVVVVCBVCs

++⋅+

−⋅−

−⋅−⋅

−−

=

pa je u tom slučaju ukupni put:

rn sss +=2

Program se nalazi disketi u direktoriju Performanse\Poletanje pod imenom V1decision.m,

a rezultat primjene je dijagram na slici 9-4

9.2 Slijetanje (landing)

9.2.1 Opis slijetanja

Slijetanje započinje s visine obsth . Od tog mjesta počinje se mjeriti duljina slijetanja, pa sve do

zaustavljanja letjelice. Zrakoplov dolazi na slijetanje u planiranju (minimalni pogon), s malim

kutom aγ i s aerodinamičkom brzinom koja prema propisima mora biti veća ili jednaka

stallV⋅3.1 . Slijetanje ima također tri faze:

• prva faza je od visine hobst do visine rh , gdje započinje vertikalni zaokret,

• druga faza je vertikalni zaokret s polumjerom R od visine rh do dodira s pistom,

• treća faza je usporavanje na pisti.

U prvoj fazi slijetanja zrakoplov nastavlja pravolinijsko spuštanje do visine rh koja mu

odgovara za vertikalni zaokret s polumjerom R da bi na kraju zaokreta tangirao pistu. U

zaokretu pilot kontrolira polumjer s promjenom opterećenja n. Prijelaz od kraja zaokreta do

Page 279: Mehanika Leta Zrakoplova

Polijetanje i sletanje 9-23

dodira s pistom treba se ostvariti bez velikog vertikalnog ubrzanja. Usporavanje na pisti

ostvaruje se najprije aerodinamičkim kočnicama, zatim, ako zrakoplov to omogućuje,

motorom i na kraju i mehaničkim kočnicama na kotačima.

9.2.2 Prva faza - spuštanje

Visina obsth odakle počinje slijetanje propisana je ista kao za polijetanje. Na tu visinu

zrakoplov treba doći u planiranju s kutom γ a i brzinom ne manjom od stallV⋅3.1 . Od te točke

zrakoplov nastavlja dalje spuštanje u pravocrtnom letu s istom brzinom do visine rh , koja mu

odgovara za početak zaokreta ( obstr hh ≤ ). Prijeđeni put od visine obsth do visine rh ima

horizontalnu projekcija

a

3 tan γrobst hh

x−

= 9.35

9.2.3 Druga faza - zaokret do dodira piste

Da bi se zrakoplov s visine rh i s kutom poniranja aγ , spustio na pistu po kružnici, potreban

je polumjer

acos1 γ−

= rhR . 9.36

Da bi zrakoplov imao ovaj potreban polumjer pilot postavlja otklon kormila visine u položaj

kome odgovara opterećenje n određeno je jednadžbom 8.66 iz prethodnog poglavlja

agRVn γcos

2

+= . 9.37

Horizontalna projekcija puta bit će:

a2 sin γRx = 9.38

U ovoj fazi dolazi do izražaja vještina pilota jer mora točno procijeniti trenutak kada treba

postaviti otklon kormila da bi na kraju vertikalnog zaokreta, kada je brzina horizontalna

0=γ , opet vratio kormilo visine u položaj za horizontalni let, a zrakoplov bio što bliže pisti.

9.2.4 Treća faza - usporavanje

Na kraju zaokreta, u idealnom slučaju zrakoplov tangira pistu, brzina je paralelna pisti,

pogonska sila (ili snaga) motora je na minimumu. Pri dodiru s pistom zrakoplov odmah koči.

Prvo se uključuju aerodinamičke kočnice, zatim ako zrakoplov ima kočenje motorom, ono se

uključuje odmah poslije aerodinamičkih kočnica. Na kraju se uključuju i kočnice na

Page 280: Mehanika Leta Zrakoplova

Polijetanje i sletanje 9-24

kotačima. Model gibanja zrakoplova na pisti isti je kao u fazi zalijetanja pri polijetanju

zrakoplova, samo što je pogonska sila 0T ili mala pozitivna vrijednost koja odgovara

minimalnoj pogonskoj sili, ili konstantna negativna vrijednost koja odgovara kočenju

motorom. U svakom slučaju sila je u pravcu gibanja zrakoplova po pisti:

( ) gCCSVTF LD µµρ−−−=

2

2

0 , 9.39

pa je ubrzanje te sile

02 <+== CVAmFa , 9.40

gdje je V aerodinamička brzina, a konstante su:

( )LLD CKCCmSC

gmTA

µρ

µ

−+−=

−=

20

0

2

Konstanta C je uvijek negativna, a A može biti i pozitivna i negativna vrijednost, što ovisi o

sili motora 0T , dok je napadni kut gotovo uvijek jednak nuli. Tijekom usporavanja na pisti

treba ovu fazu podijeliti na dijelove jer se ove konstante razlikuju ovisno o načinu kočenja.

Radi lakšeg izvođenja pretpostavimo da su konstante A i C iste duž cijelog puta

kočenja. U točki dodira zrakoplova i piste TD (touch down) brzina leta je zbroj aerodinamičke

brzine TDV i vjetra WV (pozitivan vjetar u pravcu slijetanja), a u točki zaustavljanja

zrakoplova zbroj aerodinamičke brzine 0V i vjetra WV jednak je nuli, te je tada aerodinamička

brzina WVV −=0 . Pređeni put zrakoplova na pisti od točke TD do zaustavljanje je

( ) ( )∫∫

++==

00

TD

WW

TD

KKg a

VVdVVadVVs .

I ovdje pretpostavljamo da je za vrijeme druge faze vjetar WV konstantan te je

∫∫ ++

+=

00

22

V

V

V

VWg

TDTDCVA

VdVCVA

dVVs .

Ako jednadžba 02 =+ VCA ima realne korijene (tj. koeficijenti A i C su suprotnih znakova)

onda je rješenje

( ) ( ) 0

0

0

2

2

1

212 ln

21ln

22 V

V

V

V

Wg

DTD

CVACVV

VVVVC

CVs ++−−

−= , 9.41

Page 281: Mehanika Leta Zrakoplova

Polijetanje i sletanje 9-25

gdje su 1V i 2V korijeni te jednadžbe. Ukoliko nemamo realne korijene (koeficijenti A je

negativan kao i C ) rješenje je

( ) 0

0

0

2ln21 V

V

V

V

Wg

D

TD

CVACA

CVarctgAC

Vs ++

−= . 9.42

Koeficijent trenja µ povećan je zbog kočenja kotača, a te vrijednosti su dane u istoj tabeli u

kojoj su i vrijednosti koeficijenta trenja pri kotrljanju u polijetanju zrakoplova u fazi

ubrzavanja.

9.2.5 Primjer

Isti zrakoplov, čiju smo duljinu zalijetanja izračunali, s izbačenim zakrilcima, s

aerodinamičkim kočnicama i s izbačenim kotačima pri nultom napadnom kutu ima

157.00 =DC , pri izbačenim zakrilcima je 30.0=LC , a utjecaj tla smanjuje inducirani otpor

na 14%. Pogonska sila pri kočenju motorom je KNT 6.3520 −=

Konstante imaju vrijednosti

( )

( ) 523

20

0

10217.930.02.030.0068.014.0157.0103322511225.1

2

025.32.0332300353200

−⋅−=⋅−⋅⋅+⋅⋅⋅

−=

−+−=

−=−−=−=

LLD CKCCmSC

ggmTA

µρ

µ

Obje su vrijednosti negativne, te je duljina kočenja bez utjecaja vjetra:

( ) mCVAA

Cxg 1079

8510217.9025.3025.3ln

10217.921ln

21

2552 =⋅−−

−⋅

⋅−=

+⋅= −−

Page 282: Mehanika Leta Zrakoplova

Polijetanje i sletanje 9-26

Page 283: Mehanika Leta Zrakoplova

Ukupna energija 10-1

10 UKUPNA ENERGIJA

10.1 Energetska jednadžba

U osmom poglavlju izveli smo jednadžbe gibanja središta mase zrakoplova u ravnotežnom

letu. U ovom poglavlju primijenit ćemo zakon o očuvanju ukupne energije na te jednadžbe, u

slučaju kad je Tαα ≈ i kad nema vjetra:

γφγ

φχγγ

coscossincos

sin

WLmVLmV

DWTVm

−==

−−=

&

&

&

10.1

Prvoj jednadžbi ovog sustava pridružit ćemo jednadžbu koja definira brzinu penjanja kao

derivaciju visine leta

γ

γ

sin

sin

Vdtdh

WDTdtdV

gW

=

−−=

Eliminacijom kuta γ dobivamo

WVDVT

gVh

dtd −

=

+

2

2

.

Uvedimo oznaku

gVhhe 2

2

+=

Zbroj potencijalne i kinetičke energije:

ehWmVmghE ⋅=+=2

2

predstavlja ukupnu energiju (energy state) zrakoplova. To znači da je eh ukupna energija

svedena na jedinicu težine zrakoplova. Nazivamo je specifična energija (specific energy).

Ona predstavlja određenu visinu do koje se zrakoplov može podići, polazeći od stvarne visine

i koristeći svoju kinetičku energiju sve dok je posve ne potroši. Zbog toga se ona naziva i

energetska visina (energy high) i mjeri se u metrima. Za višak snage sveden na jedinicu težine

uvodimo oznaku:

W

VDVTPS−

= 10.2

Page 284: Mehanika Leta Zrakoplova

Ukupna energija 10-2

Nazivamo je višak specifične snage . Ta funkcija ima dimenziju brzine [m/s]. Konačno se

pomoću tih varijabla može energetska jednadžba napisati u obliku

Se P

dtdh

= . 10.3

Ova jednadžba pokazuje da je derivacija specifične energije jednaka višku specifične snage.

10.2 Specifična snaga zrakoplova

10.2.1 Jednadžba specifičnog viška snage

Otpor je ovisan o brzini leta, o normalnom opterećenju i o svojstvima zraka (prije svega o

gustoći):

( ) ( )qSnWKqSCKCCqSD DLD

2

02

0 +=+= 10.4

Zamijenimo li tu ovisnosti otpora u specifični višak snage i poslije dijeljenja s težinom,

dobivamo

VS

KWnVCWS

WVTP DOS

122

23

ρρ

−−= 10.5

Raspoloživa pogonska sila T , ili raspoloživa pogonska snaga VT , veličine su koje

predstavljaju pogonsku grupu zrakoplova. One su poznate zadane funkcije Machova broja Ma

ili brzine leta V ( MaaV ⋅= ) i svojstva zraka.

Da bismo izračunali brojčanu vrijednost specifičnog viška snage trebamo energetskoj

jednadžbi pridružiti aerodinamičke funkcije ( )MaCD0 i ( )MaK , funkciju raspoloživog

pogona ( )hMaT , ili ( )hMaP , i konačno jednadžbe svojstva atmosfere ( )ha i ( )hρ .

Cjelokupan sustav jednadžbi koji definira funkciju ( )nhMaPS ,, ima oblik:

VSKWnVC

WS

WVTP DOS

122

23

ρρ

−−=

( ) ( )MaKKMaCC DOD == i0

( )hMaTT ,= ili ( )hMaPVT a ,=

( ) ( )haah == iρρ

Tako se na desnoj strani energetske jednadžbe pojavljuje određena funkcija o Machovu broju

Ma, visine zrakoplova h i opterećenja n. Tu funkciju od te tri varijable Ma, h i n označit

ćemo sa ( )nhMaPS ,, . Pretpostavimo da smo napravili program u kome su ulazne veličine

Page 285: Mehanika Leta Zrakoplova

Ukupna energija 10-3

Ma, h i n a izlaz je specifičan višak snage SP . Program za izračunavanje SP koristi tri

podprograma: prvi, za aerodinamičke funkcije ( )MaCC DOD =0 i ( )MaKK = , drugi za

raspoloživu silu (ili snagu) i treći za svojstva zraka ovisno o visini. U programu moramo

zadati i dvije konstante masu m ili težinu W i referentnu površinu S. Na slici 10.1 za

zrakoplov koji ima karakteristike lovca (vidi primjer) nacrtana je familija krivulja ( )MaPS za

razna opterećenja n, i za jednu visinu.

Slika 10-1. Funkcija ( )hnMaPS ,, , mh 10000= .

Funkcija ( )nhMaPS ,, lako se računa, ali analitički se ne može riješiti ni po visini h ni po

Machovu broju Ma.

10.2.2 Primjer

Zadane su aerodinamičke funkcije lovca ( )MaCD0 i ( )MaK u potprogramu Energija\otpor.m

za referentnu površinu 0,23=S . Masa letjelice je kgm 6200= , a masa goriva

kgm f 2400= . Motor ima maksimalnu pogonsku silu koja u standardnoj atmosferi ovisi o

Page 286: Mehanika Leta Zrakoplova

Ukupna energija 10-4

visini i Machovu broju ( )MaHT , . Ta ovisnost zadana je potprogramom motor.m u istom

direktoriju kao i treći potprogram ISO.m koji za zadanu visinu vraća temperaturu zraka T,

tlak p, gustoću ρ i brzinu zvuka a. Izračunat ćemo i i nacrtati krivulje ( )MaPS za normalna

opterećenja 5,4,3,2,1=n , a za visinu mh 5000= Za izračunavanje krivulja ( )MaPS

napravljen je program Ps_Ma.m, u MATLAB-u. Pomoću tog programa nacrtane su krivulje

na slici 10-1. I taj program, kao i tri podprograma, nalazi se u direktoriju Energija.

10.3 Usporedba performansi zrakoplova

10.3.1 Specifična snaga u funkciji kutne brzine

Kutna brzina horizontalnog zaokreta važna je performansa borbenih zrakoplova. Bolji je

aerodinamički onaj lovac koji može, pri istom višku specifične snage, ostvariti veću kutnu

brzinu u horizontalnom zaokretu. Da bismo ocijenili tu performansu lovca trebamo krivulju

)(χ&SP

Za poznati zrakoplov koji leti na visini h s Machovim brojem Ma, možemo izračunati

funkciju specifičnog viška snage ovisno o opterećenju n na primjer pomoću programa

( )nhMaPS ,, iz prethodnog poglavlja.

nhMa ,,

MaaV ⋅= 12 −= nVgχ&

SPSP

χ&

Slika 10-2. Dijagram toka za izračunavanje krivulja )(χ&SP

Horizontalna kutna brzina za brzinu leta ( )haMaV ⋅= poznata je funkcija visine h, Machova

broja Ma i opterećenja n:

( ) ( )n,Ma,hhaMa

ngVng χχ && =

⋅−

=−

=11 22

10.6

Dijagram logičnog toka prikazan je je na slici 10-2. Prema tom algoritmu može se napraviti

program koji daje parametarske jednadžbe krivulja ( )&χ PS . Parametar je n, ako su Ma i h

Page 287: Mehanika Leta Zrakoplova

Ukupna energija 10-5

zadani. Na slici 10.3 prikazana je krivulja )(χ&SP koja je izračunana za borbeni zrakoplov iz

primjera u prethodnom poglavlju. Program pod imenom Ps_Hit.m nalazi se u istom

direktoriju Energija jer koristi iste potprograme kao i program Ps_Ma.m .

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14-350

-300

-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

Hit [rad/s]

Ps

[m/s

]

Slika 10-3. Ovisnost viška specifične snage o kutnoj brzini u horizontalnom zaokretu

za Machov broj 2.1=Ma i visinu mh 10000=

Sa slike vidimo da pri 0=SP ovaj lovac može ostvariti kutnu brzinu

sstupnjasrad 3.3057.0 ==χ& .

Smatra se [20] da je značajno bolji onaj zrakoplov ako pri istoj snazi ima kutnu brzinu veću

za 0.035 rad/s (2 stupnja po sekundi)

10.3.2 Krivulje normalnog opterećenja za PS=0

Za relativnu ocjenu performansi borbenih zrakoplova najviše se upotrebljava dijagram na

kome su krivulje ( ) consthMan =, za 0=SP koje odgovaraju ravnotežnom stanju u letu.

Iz jednadžbe 0=SP dobivamo

( ) 022

23

=−−VSWKnMaC

WSV

WVT

DO ρρ

Tu jednadžbu rješavamo po normalnom opterećenju:

Page 288: Mehanika Leta Zrakoplova

Ukupna energija 10-6

( ) ( )KWVSMaC

WSV

WVTMahn DO 22

,3 ρρ

−= 10.7

U MATLAB-u postoji naredba contour koja nam crta u koordinatnom sustavu Ma na apscisi i

h na ordinati krivulje ( ) constMahn =, . Pomoću te naredbe napravili smo program Ps_0.m

kojim smo nacrtali krivulje na slici 10-4 za isti zrakoplov lovac kao u prethodnom poglavlju.

Slika 10-4. Krivulje ( ) consthMan =, za 0=SP

Bolji zrakoplov ima krivulju ( ) consthMan =, koja obuhvaća krivulju njegova suparnika jer

može s istim Machovim brojem na istoj visini razviti veće opterećenje, ili na istoj visini pri

istom oterećenju može letjeti u većem intervalu Machovih brojeva.

Page 289: Mehanika Leta Zrakoplova

Ukupna energija 10-7

10.4 Područje leta i optimalno penjanje

10.4.1 Krivulje Ps(Ma,h)=const za određeno opterećenje n

Vidjeli smo da se penjanje odvija s konstantnim opterećenjem (blisko jedinici). U

koordinatnom sustavu Ma-h (na horizontalnoj osi je Machov broj, a na vertikalnoj osi je

visina) možemo nacrtati familiju krivulja s konstantnim opterećenjem n (na primjer za 1=n ),

a za različito constPS = .

Slika 10-5. Krivulje ( ) consthMaPS =, , za 1=n za zrakoplov lovac.

Znači da svaka krivulja familije odgovara jednoj vrijednosti ( ) consthMaPS =, , a sve krivulje

familije imaju isto opterećenje constn = :

constqS

VWKnCW

VqSWVTP DS =−−= 2

0 10.8

Familija krivulja za 1=n posebno je važna jer je to slučaj horizontalnog leta, a upotrebljava

se i za optimalnu putanju penjanja. Oblik ovog dijagrama prikazan je na slici 10-5 za lovac

Page 290: Mehanika Leta Zrakoplova

Ukupna energija 10-8

kao primjer iz prethodnog poglavlja. Program Ps_const.m kojim je nacrtan taj dijagram nalazi

se u istom direktoriju Energija.

Ti se dijagrami ne upotrebljavaju samostalno. Njihova je uporaba objašnjena u

slijedeća dva odjeljka.

10.4.2 Područje uporabe zrakoplova

U prethodnom poglavlju o performansama (odjeljak 8.1.4) vidjeli smo da s obzirom na

raspoloživu snagu motora na svakoj visini u horizontalnom letu postoje minimalna i

maksimalna brzina leta (ili Machov broj). Te veličine, ovisno o visini, čine ovojnice koje

ograničavaju područje mogućih režima horizontalnog leta. U ovom poglavlju imamo krivulje

0=SP , koje ograničavaju područje u kome je snaga motora veća ili jednaka potrebnoj snazi

kad je 1=n . Npr u horizontalnom letu je 1=n , pa nam krivulja 0=SP određuje područje

mogućih horizontalnih letova. Zato bi za isti zrakoplov ovojnice horizontalnog leta iz

odjeljaka 8.14 bile iste s krivuljama 0=SP . Na slici 10-6 prikazane su te krivulje 0=SP za

jedan borbeni zrakoplov. Najviša točka te krivulje predstavlja apsolutni vrhunac leta (absolute

ceiling).

Slika 10-6. Operativne ovojnice

Page 291: Mehanika Leta Zrakoplova

Ukupna energija 10-9

Za neke zrakoplove vrhunac je vrlo velik te se postavlja pitanje preživljavanje pilota u

slučaju njegova izbacivanja. Smatra se da je na visinama većim od 15 km (50000 ft) potrebna

specijalna oprema koju imaju astronauti da bi čovjek mogao preživjeti. S obzirom da piloti

nemaju tu opremu, oni ne mogu biti van kabine zrakoplova iznad 15 km. Ako je apsolutni ili

praktični vrhunac iznad te visine, onda se ograničava visina leta do granice preživljavanja

pilota izvan kabine.

Dinamički tlak q predstavlja ima neposrednu ulogu u površinskom naprezanju

konstrukcije, te njegovu maksimalno dopuštenu vrijednost propisuje konstruktor, jer je to

vrijednost s kojom je analizirano naprezanja konstrukcije. Tako je za borbene zrakoplove ta

granica oko Pak100 . Na slici 10-6 ta krivulja označena je maxq .

Na velikim visinama pojavljuje se problem ponovnog pokretanja motora ako se on

ugasi, jer je gustoća zraka mala. Tu gornju granicu propisuje proizvođač motora, jer ona ovisi

i o brzini leta zato što se motor lakše pokrene ako je brzina zrakoplova veća. Kako gustoća

pada s visinom, tako se ta granica dinamičkog tlaka pomiče prema većim brzinama.

I tlak na ulazu usisnika može imati određeno ograničenje. Pri velikim brzinama leta i u

donjim slojevima može biti tlak na ulazu usisnika prevelik.

Konačno, na velikim brzinama i aerodinamičko zagrijavanje može biti ograničenje,

što ovisi o materijalu na površini onih dijelova koji su najviše izloženi aerodinamičkom

zagrijavanju. Unutar svih tih krivulja nalazi se područje normalne uporabe zrakoplova.

10.4.3 Minimalno vrijeme penjanja

Bez ikakvih problema možemo nacrtati i krivulje consthe = u koordinatnom sustavu Ma-h

gdje već imamo krivulje ( ) consthMaPS =, (za constn = kojim izvodimo penjanje).

Jednadžba specifične energije eh (ukupna energija zrakoplova svedena na jedinicu mase):

constg

Vhhe =+=2

2

10.9

( ) consthMaghah e ==+ 2

2

2 10.10

Tako, kroz jednu točku ( )hMa, prolazi jedna krivulja ( ) consthMahe =, i jedna krivulja

( ) consthMaPS =, (za određeno n). To znači da je u toj točki, na visini h pri Machovu broju

Ma, energetska visina consthe = i specifični višak snage constPS = . Slika 10-7 nacrtana je

pomoću programa Pshe_const.m koji se nalazi na disketi u direktoriju Energija.

Page 292: Mehanika Leta Zrakoplova

Ukupna energija 10-10

Slika 10-7 Familija krivulja ( ) consthMaPS =, i ( ) consthMahe =,

za zrakoplov lovac kada je 1=n

Iz energetske jednadžbe

Se P

dtdh

=

dobivamo

S

e

Pdh

dt =

Vrijeme prelaska iz režima leta 11 Ma,h kome odgovara energetska visina 1eh , u režim leta

22 Ma,h kome odgovara energetska visina 2eh , određeno je integralom:

∫=2

1

1e

e

h

he

S

dhP

t 10.11

Da bismo izračunali ovaj integral, trebamo znati funkciju ( )eS hP . Ta funkcija je niz točaka

kroz koje predstavljaju promjenu režima leta hMa, od početnog režima leta 11, hMa koji

predstavlja točku 1 u krajnji režim leta 22 , hMa koji predstavlja točku 2. Točke možemo

Page 293: Mehanika Leta Zrakoplova

Ukupna energija 10-11

definirati pomoću koordinata hMa, kao na dijagramu slika 10-8 ili pomoću krivulja koje

prolaze kroz tu isu točku Se Ph , .

Slika 10-8. Prelazak iz stanja 2.0;1000 == Mah u stanje 5.1;14000 == Mah

za minimum vremena

Da bi vrijeme bilo minimalno, treba režim leta mijenjati tako da vrijednosti funkcij

( )eS hP budu najveće moguće. Režim leta znači određeni Machov broj Ma na zadatoj visini h .

Te dvije vrijednosti predstavljaju određenu točku u dijagramu Ma-h. Kroz tu točku prolaze

dvije krivulje ( ) consthMahe =, i ( ) consthMaPS =, . Ta točka može biti pretstavljena krivo-

linijskim koordinatama Se Ph . Zamislimo da mijenjamo tako režim leta da točke na dijagramu

sve nalaze na krivulji ( ) consthMahe =, . Vrijednosti SP od jedne do druge točke će rasti, a

zatim opadati zbog oblika krivulja ( ) consthMaPS =, , a bit će najveća u onoj točki u kojoj se

krivulje ( ) consthMahe =, i ( ) consthMaPS =, tangiraju. To znači da iz točke koja

predstavlja režim leta 1 treba ići u režim leta koji predstalja točka 2 kroz kočke u kojima su

Page 294: Mehanika Leta Zrakoplova

Ukupna energija 10-12

krivulje eh i SP tangentne jedna na drugu. Dok krivulje consthe = idu pravilno, krivulje

constPS = za vrijednosti Machova broja u transsonici su nepravilne zbog nepravilnog toka

funkcija ( )MaCD0 i ( )MaK . Potrebna snaga raste u transsonici, što ima za posljedicu

stvaranja zatvorene krivulje constPS = . Ako prijelaz iz režima leta 1 u režim leta 2 vodi

pored te zatvorene krivulje, treba režim leta mijenjati duž consthe = da bi se opet išlo kroz

točke koje imaju zajedničke tangente za krivulje eh i SP . Opravdanje za ovakav postupak jest

činjenica da kada mijenjamo režim leta po krivulji consthe = , onda je 0=edh , te se

vrijednost integrala ne povećava.

10.4.4 Penjanja s najmanjom potrošnjom goriva

Izbor promjene režima leta u penjanju može se temeljiti i na najmanjoj potrošnji goriva. Da bi

se odredila promjena režima leta u penjanju tako da je najmanja potrošnja goriva, trebamo

funkciju Sf - prirast specifične energije po jedinici goriva (fuel specific energy)

Sf

e fdmdh

=−

10.12

Ako zrakoplov ima mlazni motor za koji je potrošnja goriva proporcionalna pogonskoj sili,

onda je

( )nhMafTC

PdtTC

dtPdmdh

f ST

S

T

S

f

eS ,,===

−= 10.13

Drugim riječima prirast specifične energije po jedinici gorivi također je funkcija Machova

broja, visine i normalnog opterećenja. Za zadano opterećenje n, na desnoj strani je funkcije

Machova broja Ma i visine leta h, pa je za određeno opterećenje pri penjanju:

( )h,Maff SS = 10.14

Na slici 10-9 prikazane su funkcije ( ) consth,Maf S = za normalno opterećenje 1=n . Iz

definicije za funkciju Sf dobiva se da je količina goriva od režima leta 1 do režima leta 2:

∫=−=∆−2

121

1e

Sfff dh

fmmm 10.15

Da bi se iz režima leta 1 prešli u režim leta 2 mi prolazi se kroz razne režime leta. Svakom

režimu leta odgovara jedna točka, jedna visina h i jedna brzina Ma, ili jedna specifična

ukupna energija eh i jedan prirast specifične energije po jedinici goriva Sf . Tako pri

Page 295: Mehanika Leta Zrakoplova

Ukupna energija 10-13

prijelazu iz režima leta 1 u režim leta 2 ti parovi vrijednosti Se f,h predstavljaju točke puta

duž kojega treba izračunati ovaj integral. Da bi na tom putu bila najmanja potrošnja goriva

treba režime leta mijenja duž točaka u kojima je Sf u maksimumu. Od svih točaka na krivulji

consthe = bit će Sf u maksimumu u točkama u kojima se krivulje ( )h,Maff SS = i

( ) consthMahe =, tangiraju. Drugim riječima, od svih točaka s istom ukupnom energijom eh

u tim točkama je funkcija Sf u maksimumu. Te točke vidimo na slici 10-9.

Slika 10-9. Prijelaz iz energetskog stanja 1 u stanje 2 s najmanjom količinom goriva

Page 296: Mehanika Leta Zrakoplova

Ukupna energija 10-14

Page 297: Mehanika Leta Zrakoplova

Model leta 6DOF 11-1

11 MODEL LETA SA 6 STUPNJEVA SLOBODE GIBANJA

11.1 Opće odrednice

U ovoj knjizi razmatraju se problemi upravljivosti, stabilnosti, polijetanje i slijetanje a

posebno dinamičko ponašanje zrakoplova pri upravljanju u odnosu na Zemlju. Kako se

Zemlja okreće kutnom brzinom EΩr

, gibanje zrakoplova u odnosu na Zemlju jest relativno

gibanje, okretanje Zemlje je prijenosno gibanje, a gibanje letjelice u svemiru je apsolutno

gibanje. Pri izučavanju relativnoga gibanja osim realnih sila treba dodati i sile tromosti. U

ovom slučaju to su dvije sile tromosti: centrifugalna sila zbog rotacije Zemlje i Coriolisova

sila. Time smo uzeli u obzir bitnu činjenicu da je let u odnosu na Zemlju relativno gibanje.

U ovom knjizi ograničili smo se na krutu letjelicu. Zrakoplov kao kruto tijelo ima šest

stupnjeva slobode te zato ovaj model nazivamo skraćeno 6DOF od engleskog punog naziva

six degrees of freedom. Čine ga četiri matrične jednadžbe:

• derivacija vektora položaja središta mase letjelice,

• derivacija brzine leta središta mase letjelice,

• derivacija kinetičkog momenta letjelice za središte mase,

• derivacija stava letjelice.

Budući da ne izučavamo probleme navigacije, zanemarit ćemo Zemljanu zakrivljenost.

Zanemarivanjem zakrivljenosti Zemlje, nošeni koordinatni sustav ostaje sve vrijeme leta

paralelan sam sebi, tj on ima samo translatorno gibanje u odnosu na zemlju. Kako lokalni

koordinatni sustav miruje u odnosu na zemlju, u proučavanju relativnog gibanja ta dva

koordinatna sustava, lokalni i nošeni, nemaju kutnih brzina, njihov međusobni kutni položaj

je uvijek isti. Da bismo pojednostavili izvođenja, obično ih biramo tako da su im osi paralelne

kao na slici 11-1. Za tako izabrane koordinatne sustave je matrica transformacije iz jednog u

drugi

−=

=

010100001

XOL LL

jer nošeni dobivamo rotacijom lokalnog oko x osi za kut 2π .

Page 298: Mehanika Leta Zrakoplova

Model leta 6DOF 11-2

Lx

Ly

Lz

Ox

Oy

Oz

nošeni k.s.

lokalni k.s.

Slika 11-1Položaj nošenog u odnosu na lokalni koordinatni sustav

11.1.1 Derivacija vektora položaja

Vektor položaja rr počinje u ishodištu lokalnog koordinatnog sustava (vezan za Zemlju) i

završava se u središtu mase letjelice. Njegove projekcije na osi lokalnog koordinatnog sustava

su:

[ ]Tzyx=r 11.1

Brzinu leta definirali smo kao brzinu u odnosu na Zemlju, a to znači da su komponente brzine

leta u lokalnom koordinatnom sustavu derivacije komponenata vektora položaja.

=

LK

LK

LK

wvu

zyx

&

&

&

11.2

To pišemo matrično ovako:

LKVr =& 11.3

To je vektorska jednadžba čijom integracijom dobivamo koordinate središta mase letjelice. Za

tu integraciju potrebne su komponente brzine leta u lokalnom koordinatnom sustavu. Kako

komponente brzine leta [ ]TKKKK wvu=V metodom 6DOF dobivamo duž osi tromosti

letjelice, onda ovu vektorsku jednadžbu koristimo u obliku

KLF VLr =& 11.4

ili

Page 299: Mehanika Leta Zrakoplova

Model leta 6DOF 11-3

=

K

K

K

LF

wvu

zyx

L&

&

&

11.5

11.1.2 Derivacija brzine leta

Kao što smo to rekli u poglavlju 6.1.1 po definiciji su komponente relativnog ubrzanja

jednake derivacijama komponenata relativne brzine u prenosnom koordinantnom sustavu. To

znači da je relativno ubrzanje

( )LK

Lr dt

d Va =

S obzirom na to da su komponente brzine [ ]TKKKK wvu=V poznate duž glavnih osi

tromosti letjelice, a taj koordinatni sustav ima kutnu brzinu Ωr

u odnosu na zemlju, čije su

komponente duž tih istih glavnih osi tromosti [ ]Trqp=Ω , bit će prema odjeljku 1.1.3

komponente relativnog ubrzanja duž glavnih osi tromosti

KKr VVa &+Ω= ~ 11.6

Za vrijeme leta zrakoplov mijenja masu, pa se a priori na njega ne može primijeniti Newtonov

zakon, prema kojemu je produkt mase zrakoplova s relativnim ubrzanjem jednak zbroju

vanjskih sila i sila tromosti. Zrakoplov se mora promatrati kao materijalni sustav promjenljive

mase. Taj sustav je definiran vanjskom površinom zrakoplova na kojoj se nalaze ulazne

površine uS kroz koje ulazi zrak i izlazne površine iS kroz koje istječu plinovi, produkti

izgaranja. Na takav sustav primjenjuje se načelo očvršćivanja (odjeljak 6.3.5) po kojemu

umjesto zrakoplova s promjenljivom masom, promatramo drugi fiktivni zrakoplov konstantne

mase Sm koja je jednaka masi zrakoplova u promatranom trenutku ( )tm . To znači da je u

svakom trenutku drugi očvrsnuti sustav. Na taj očvrsnuti sustav u kontrolnoj površini

možemo primijeniti Newtonov zakon klasične mehanike za relativno gibanje 6.24:

( )~ &Ω V VR

g aK K+ = + + −m CK . 11.7

Rezultantu R čine:

• aerodinamička sila [ ]TZYX čije su komponente duž glavnih osi tromosti zrakoplova,

• pogonska sila [ ]TZYX FFF koja je objašnjena detaljno u odjeljku 6.4 za slučaj

mlaznog motora i 6.5 za slučaj elisnog pogona,

Page 300: Mehanika Leta Zrakoplova

Model leta 6DOF 11-4

• vektor gr je zbroj ubrzanja privlačne sile Zemlje i prijenosnog centrifugalnog ubrzanja

uslijed rotacije Zemlje. I ako on ovisi o geografskoj širini i visini, ovdje usvajamo da je

vektor gr konstantan, intenziteta 806169. , po pravcu vertikalan, a po smjeru prema dolje.

U gornjoj matričnoj jednadžbi zanemarujemo Coriolisuvu silu tromosti pa matrična jednadža

gibanje središta mase zrakoplova ima oblik:

( )

+

+

=+g

mFFF

ZYX

m FO

Z

y

x

A

A

A

KK 00

~ LVV &Ω 11.8

Komponente aerodinamičke sile poznate su nam duž glavnih osi tromosti zrakoplova obično u

obliku:

( )

( )

( )mAZ

A

nA

YA

AX

A

qMaCSVZ

rpMaCSVY

MaCSVX

δααρ

δδβρ

βαρ

,,,,2

,,,,2

,,2

2

2

22

&

l

=

=

=

11.9

Za transportne zrakoplove napadni kut i kut klizanja nisu veliki pa možemo aerodinamičke

koeficijente linearizirati po ovim varijablama.

mZZqZZZZ

nYYrYpYY

XXXX

m

n

CqCCCCC

CrCpCCC

CCCC

δαα

δβ

βα

δαα

δβ

βα

++++=

+++=

++=

∗∗

∗∗

&&0

20 2

11.10

11.1.3 Derivacija kinetičkog momenta

Kinetički moment gibanja rH kao i aerodinamički i pogonski moment uzimamo za središte

mase. Komponente kinetičkog momenta duž osi koordinatnog sustava letjelice jednake su

produktu tenzora tromosti I i vektora kutne brzine letjelice Ω .

ΩIH =

Budući da smo usvojili glavne osi tromosti, tenzor tromosti ima samo članove na dijagonali.

To su momenti tromosti za te osi pa su komponente kinetičkog momenta za glavne osi

tromosti

( )( )

( )

( )( )( )

=

=

rtIqtIptI

rqp

tItI

tI

z

y

x

z

y

x

000000

H

Page 301: Mehanika Leta Zrakoplova

Model leta 6DOF 11-5

Zbog promjenljivosti momenata tromosti s vremenom, jer zrakoplov nije tijelo konstantne

mase, na derivaciju toga momenta ne može se primijeniti teorem o derivaciji kinetičkog

momenta iz klasične mehanike. I ovdje se mora primijeniti načelo očvršćivanja (prema 6.3.5),

prema kojemu određujemo derivaciju kinetičkog momenta letjelice koja ima u promatranom

trenutku isti tenzor tromosti ali konstantan ( )tS II = . Na tu očvrsnutu letjelicu primjenjujemo

zakon o derivaciji kinetičkog momenta iz klasične mehanike:

Fs

MMdtHd rrr

+=

Budući da su komponente kinetičkog momenta poznate duž glavnih osi tromosti ΩIH = ,

koje imaju kutnu brzinu kao i letjelica [ ]Trqp=Ω , komponente derivacije kinetičkog

momenta duž istih osi izračunavamo prema odjelu 1.1.3 po jednadžbi SS HH &+Ω~ .

S obzirom na to što se radi o očvrsnutoj letjelici, prilikom deriviranja komponenata

kinetičkog momenta SH& tenzor tromosti trebamo smatrati konstantnim:

( )( )( )

=

=rtIqtIptI

HHH

Z

Y

X

SZ

SY

SX

S

&

&

&

&

&

&

&H ,

iako su momenti tromosti funkcije vremena. Izjednačavanjem derivacije kinetičkog momenta

i zbroja momenata, duž osi tromosti bit će

FAS ~ MMHH +=+ Ω& . 11.11

Komponente aerodinamičkog momenta za središte mase AM duž glavnih osi tromosti

zrakoplova dane su obično jednadžbama:

( )

( )

( ).,,,,2

,,,,2

,,,,,2

,

2

2

2

nnA

mmA

nA

rpMaSbCVN

qMaCcSVM

rpMaSbCVL

δδβρ

δααρ

δδβρ

l

ll

&

=

=

=

11.12

Za transportne su zrakoplove kutovi α i β mali, pa je moguće aerodinamičke koeficijente

momenata linearizirati po ovim varijablama. Tada oni imaju oblik:

Page 302: Mehanika Leta Zrakoplova

Model leta 6DOF 11-6

C C C p C r C C

C C C C C q C

C C C r C p C C

p r n

m m m m mq m m

n n nr np n n n

n

m

n

l l l l l l l

l

l

l

= + + + +

= + + + +

= + + + +

∗ ∗

∗ ∗

∗ ∗

β δ δ

α α δ

β δ δ

β δ δ

α α δ

β δ δ0 & & 11.13

Pogonski moment za središte mase FMr

ima komponente duž glavnih osi tromosti

[ ]TFFFF NML=M , 11.14

Njih smo detaljno objasnili u odjeljku 6.4 za slučaj mlaznog motora i u odjeljku 6.5 za slučaj

elisnog pogona.

11.1.4 Derivacija stava ili parametara

U prvoj matričnoj jednadžbi treba nam matrica transformacije OFL . Da bismo odredili tu

matricu transformacije, trebaju nam ili

• stav zrakoplova [ ]Tψϑφ=s ili

• Eulerovi parametri [ ]T0 eeee 321=p .

Ako se odlučimo za stav s, onda je

( ) ( ) ( )ψϑφ ZYXFO LLLL ⋅⋅= , 11.15

a kutove dobit ćemo iz kutne brzine letjelice Ω . U poglavlju 1.3.3, izveli smo jednadžbu

koja daje derivaciju stava kada znamo kutnu brzinu letjelice:

Ω⋅= −1Rs& ,

gdje je [ ]Tψϑφ=s i

−=

θφφθφφ

θ

coscossincossincos

sin

00

01R , 11.16

ili u razvijenom obliku

−=

rqp

coscoscossinsincos

tgcostgsin

θφθφφφθφθφ

ψθφ

001

&

&

&

. 11.17

Ukoliko se odlučimo raditi s Eulerovim parametrima e onda na mjesto matrične

diferencijalne jednadžba ( ) Ω⋅= −1Rs ϑφ ,& , imamo matričnu diferencijalnu jednadžbu

parametara

ΩT

21 Gp =& 11.18

Page 303: Mehanika Leta Zrakoplova

Model leta 6DOF 11-7

ili u razvijenom obliku

−−

−−−−

=

rqp

eeeeee

eeeeee

eeee

012

103

230

321

3

2

1

0

21

&

&

&

&

. 11.19

U tom slučaju matrica transformacije, određena je jednadžbom

−++−

−−++

+−−+

=

21

21

21

2

20

2310322013

103220

223021

2013302120

21

eeeeeeeeee

eeeeeeeeee

eeeeeeeeee

OFL 11.20

11.2 Model 6DOF u simulatorima leta

Okosnicu modela čine četiri matrične jednadžbe: derivacija vektor položaja (11.4), derivacija

vektora brzine leta (11.8), derivacija vektor kinematičkog momenta (11.11) i derivacija stava

ili derivacija Eulerovih parametara (11.18).

KLF VLr =&

( ) gLFRVV AFOKK mm ++=+Ω &~

FAS ~ MMHH +=+ Ω&

Ω⋅= −1Rs& , ili ΩT

21 Gp =& .

U tim jednadžbama ima 12 nepoznanice:

ψθφrqpwvuzyx KKK

Međutim, u tim jednadžbama imamo još promjenljivih veličina, eksplicitno i implicitno.

Eksplicitno to su masa zrakoplova i tenzor tromosti, a implicitno to su u aerodinamičkim

silama i momentima: aerodinamička brzina, napadni kut i kut klizanja, ako i karakteristike

zraka gustoća i brzina zvuka koja je potrebna radi određivanja Machovog broja.

Masa zrakoplova je zbroj mase letjelice, tereta i goriva. Tijekom leta prve dvije su

konstantne i označavamo ih sa Lm , a masa goriva opada ovisno o potrošnji goriva. Potrošnja

goriva označava se sa FC predstavlja masu gorivu koja se troši u jedinici vremena Ona se

može izraziti specifičnom potrošnjom PC , koja predstavlja masenu potrošnju goriva u

jedinici vremena po jedinici snage motora, ili TC koja predstavlja masenu potrošnju u jedinici

Page 304: Mehanika Leta Zrakoplova

Model leta 6DOF 11-8

vremena po jedinici sile motora. Ukupna masa zrakoplova je zbroj ( ) ( )tmmtm GL += .

Deriviranjem te jednadžbe je Gmm && = , pa je

⋅⋅

==motP

motP

PCPC

FCdtdm 11.21

S obzirom da je i masa zrakoplova određena diferencijalnom jednadžbom imamo trinaest

varijabla koje su određene diferencijalnim jednadžbama:

mrqpwvuzyx KkK ψϑφ . 11.22

One čine jedan vektor koji nazivamo vektor stanja letjelice.

Promjena tenzora tromosti nastaje zbog promjene mase i kao posljedica pomjeranja

središta mase zbog potrošnje goriva. Zato je jedan od načni određivanja tenzora tromosti

napraviti funkciju

( )GmII = 11.23

Kada konstrukcijska rješenja osiguravaju male promjene središta mase zbog potrošnje goriva,

može se taj utjecaj zanemariti. Onda je utjecaj promjene mase na tenzor tromosi linearan, pa

približna jednadžba promjene tenzora tromosti može biti:

( ) ( )0

0

IIm

tmt = . 11.24

Pored varijabla vektora stanja, promjenljive mase i tenzora tromosti u jednadžbama

imamo još varijabla, koje su neophodne za određivanje aerodinamičkih sila i momenata:

napadni kut i njegova derivacija po vremenu, kut klizanja. gustoća zraka, brzina zvuka koja

nam je potrebna za Machov broj i aerodinamička brzina.

Da bi odredili napadni kut i kut klizanja prema jednadžbama:

Vvuw

wvuV

=

=

++=

β

α

sin

tan

222

11.25

potrebne su nam sve komponente aerodinamičke brzine. U sustavu diferencijalnih jednadžbi,

tj. u vektoru stanja, nema komponenata aerodinamičke brzine već samo komponenata brzine

leta. Aerodinamičku brzinu određujemo iz jednadžbe WK VVVrrr

−= . Komponente vjetra

poznate su u lokalnom odnosno u nošenom koordinatnom sustavu. Projiciranjem ove

Page 305: Mehanika Leta Zrakoplova

Model leta 6DOF 11-9

jednadžbe na koordinatni sustav letjelice dobivamo tražene komponente aerodinamičke

brzine:

=

OW

OW

OW

FO

k

k

k

wvu

wvu

wvu

L 11.26

U projekcijama aerodinamičke sile i momenta pojavljuje se i derivacija napadnog kuta.

Određujemo je deriviranjem jednadžbe uwtan =α . Tako dobivamo

22 wuuwuw

+−

=&&

&α 11.27

Derivacije aerodinamičke brzine i njenih komponenata dobivamo deriviranjem matrične

jednadžbe koja definira komponente aerodinamičke brzine:

+

=

OW

OW

OW

OFOW

OW

OW

OF

k

k

k

wvu

wvu

~

wvu

wvu

&

&

&

&

&

&

&

&

&

LLΩ 11.28

Derivacije komponenata brzine leta su poznate, a derivacije vjetra trebaju biti zadane (udari

vjetra). Ako vjetar nije funkcija vremena, drugi se član na desnoj strani jednadžbe poništava.

Za određivanje gustoće zraka i brzine zvuka u zraku najčešće koristimo podatke o

standardnoj atmosferi. Za taj slučaj ove jednadžbe dane su u prilogu B.

( )( )yaa

y== ρρ

11.29

Ukoliko želimo simulirati let u nekoj drugoj atmosferi onda se koristimo mjerenjima

temperature, tlaka i vlažnosti zraka ovisno o visini (sondaža atmosfere, vidi prilog B), a zatim

na temelju tih podatak određujemo promjenu gustoće i brzine zvuka ovisno o visini.

Sad smo u mogućnosti napisati cjelokupan razvijen sustav jednadžba koji čini model

6DOF

=

− K

K

K

OF

wvu

yzx

L&

&

&

11.30

+

+

+

−−

−−=

gFFF

mZYX

mwvu

pqpr

qr

wvu

FO

Z

y

x

A

A

A

K

K

K

K

K

K

00

11

00

0L

&

&

&

11.31

Page 306: Mehanika Leta Zrakoplova

Model leta 6DOF 11-10

( )( )( )

( )( )( )

+

+

−−

−−=

F

F

F

A

A

A

Z

Y

X

Z

Y

X

NML

NML

trItqItpI

pqpr

qr

tIrtIqtIp

00

0

&

&

&

11.32

−=

rqp

coscoscossinsincos

tgcostgsin

θφθφφφθφθφ

ψθφ

001

&

&

&

11.33

⋅⋅

==motP

motP

PCPC

FCdtdm 11.34

Matricu transformacije FOL možemo odrediti ili pomoću de Sparreovih kutova tada ima oblik

( ) ( ) ( )ψϑφ ZYXFO LLLL ⋅⋅= 11.35

U ovom slučaju vektor stanja ima trinaest komponenti. Te su veličine zavisne varijable, a

vrijeme je nezavisna varijabla.

Ako umjesto kutova de Sparre koristimo Eulerove parametre. U tom slučaju namjesto

matrične diferencijalne jednadžba ( ) Ω⋅= −1Rs ϑφ ,& , tj. na mjesto tri diferencijalne jednadžbe

11.32, treba uzeti matričnu diferencijalnu jednadžbu Eulerovih parametara ΩT

21 Gp =& , a to

znači na mjesto tri diferencijalne jednadžbe 11.32 imamo četiri diferencijalne jednadžbe

parametara

−−

−−−−

=

rqp

eeeeee

eeeeee

eeee

012

103

230

321

3

2

1

0

21

&

&

&

&

, 11.36

a matrica transformacije OFL ima oblik:

−++−

−−++

+−−+

=

21

21

21

2

20

2310322013

103220

223021

2013302120

21

eeeeeeeeee

eeeeeeeeee

eeeeeeeeee

OFL . 11.37

Vektor stanja ima četrnaest komponenta

meeeerqpwvuyzx KKK 3210

Pored tih varijabli koje čine vektor stanja, a koje su određene diferencijalnim jednadžbama

imamo varijable koje su određene algebarskim jednadžbama. To su:

Page 307: Mehanika Leta Zrakoplova

Model leta 6DOF 11-11

• komponente aerodinamičke brzine:

=

OW

OW

OW

FO

k

k

k

wvu

wvu

wvu

L 11.38

• derivacije komponenata aerodinamičke brzine:

+

=

OW

OW

OW

OFOW

OW

OW

OF

k

k

k

wvu

wvu

~

wvu

wvu

&

&

&

&

&

&

&

&

&

LLΩ 11.39

• komponente vjetra ovisne o visini

( )( )hvv

huuOW

OW

OW

OW

=

= 11.40

• napadni kut α i njegovu derivaciju po vremenu α& , kao i kut klizanja β

Vvuw

wvuV

=

=

++=

β

α

sin

tan

222

11.41

22 wuuwuw

+−

=&&

&α 11.42

• tenzor tromosti

( )mII = . 11.43

• ovisnost pogonske sile T i specifične potrošnje TC od brzine leta, stanja okolnog zraka i

otklona Tδ

( )( )TTT

T

TVCCTVTT

δρδρ

,,,,,,

==

11.44

• ovisnost karakteristika zraka temperature T i gustoće ρ o položaju zrakoplova

( )( )hhTT

ρρ ==

11.45

Ovaj model je važan za projektiranje i ispitivanje sustava upravljanja letjelicom. Vrlo često se

dijelovi tog matematičkog modela zamjenjuju realnim sklopovima, što omogućuje da se

ispituju ti sklopovi. Te kombinacije realnog i matematičkog dijela letjelice u engleskoj se

literaturi sreću pod imenom HIL (hardware in the loop).

Page 308: Mehanika Leta Zrakoplova

Model leta 6DOF 11-12

11.3 Pojednostavljeni model 6DOF u trenažerima

Simulatore treba razlikovati od trenažera. Za trenažere leta upotrebljava se obično

jednostavniji model u kome je letjelica uvijek kruto tijelo a vjetar je konstantan i u prostoru i

vremenu. Ta druga pretpostavka da je vjetar konstantan omogućuje da se gibanje središta

mase promatra u odnosu na relativni koordinatni sustav vezan za zrak (tzv. Didionov princip).

Gibanje zraka je prijenosno gibanje, a gibanje letjelice u odnosu na zrak je relativno gibanje.

Koordinatni sustav vezan za zrak giba se u odnosu na Zemlju konstantom brzinom vjetra te je

on inercijski koordinatni sustav. Jednadžbe relativnog gibanja iste su kao one koje smo pisali

u odnosu na Zemlju, jer je prijenosno ubrzanje jednako nuli. U prvoj jednadžbi trebamo

dodati prijenosnu brzinu (brzina vjetra) a u drugoj jednadžbi, brzina leta postaje

aerodinamička brzina:

+

=

− WZ

WY

WX

OF

VVV

wvu

yzx

L&

&

&

11.46

Međutim, druga matrična jednadžba daje neposredno aerodinamičku brzinu:

( )

+

+

=+g

mFFF

ZYX

~m FO

Z

y

x

A

A

A

00

LVV &Ω 11.47

Treća i četvrta matrične jednadžbe iste su kao jednadžbe 11.21 i 11.22, a isto je i određivanje

napadnog kuta prema jednadžbama 11.34, kao i derivacije napadnog kuta po vremenu prema

jednadžbi 11.36. Ovaj sustav jednadžbi koristi se u trenažerima leta. Ne zaboravimo da ovaj

model možemo primijeniti samo za slučaj konstantnog vjetra. To znači da on ne može

pokazati utjecaj "udara vjetra". Vektor položaja [ ]Tzyx određuje točku iz koje pilot

promatra sliku, a stav letjelice [ ]Tψϑφ određuje pravac promatranja i rotaciju slike oko

osi promatranja. Na temelju tih šest veličina izrađuje se slika koju vidi pilot na ekranu

trenažera.

Page 309: Mehanika Leta Zrakoplova

Linearizacija 6DOF 12-1

12 LINEARIZACIJA 6DOF MODELA

12.1 Princip linearizacije

12.1.1 Jednadžbe stvarnog gibanja

U sedmom poglavlju promatrali smo ravnotežna stanja u letu koja su bila okarakterizirana

momentom za središte mase jednakim nuli. To ravnotežno stanje odgovaralo je određenim

otklonima upravljačkih površina. Svaki otklon upravljačkih površina ima svoje ravnotežno

stanje. U ovom poglavlju promatrat ćemo prijelaz iz jednoga ravnotežnog stanja u drugo.

Pretpostavljamo da je bilo ravnotežno stanje za određene otklone upravljačkih površina. U

tom ravnotećnom stanju promijenili smo otklone upravljačkih površina i zrakoplov treba

prijeći u novi ravnotežni položaj. Taj prijelaz predstavlja problem dinamičke stabilnosti

zrakoplova.

Za razmatranje dinamičke stabilnosti poći ćemo od modela 6DOF za slučaj kada nema

vjetra i radit ćemo pomoću Eulerovih kutova. Pretpostavljamo da su komponente pogonske

sile [ ]TTT FF αα sin0cos . Jednadžbe gibanja središta mase i oko središta mase

zrakoplova u razvijenom obliku su :

φϑα

φϑ

ϑα

coscossin

sincos

sincos

gmZ

mT

pvquw

gmYpwruv

gmX

mT

qwrvu

T

T

+++−=

+++−=

−++−=

&

&

&

12.1

zz

yx

yy

xz

xx

zy

INpq

III

r

IMrp

III

q

ILqr

III

p

+−

=

+−

=

+−

=

&

&

&

12.2

( ) ( )( ) ( )

rq

rq

rtgqtgp

θφ

θφψ

φφθ

θφθφφ

coscos

cossin

sincos

cossin

+=

−=

++=

&

&

&

12.3

Nismo uzeli u obzir prve tri jednadžbe, jer se dinamički proces prijelaza iz jednoga u drugo

ravnotežno stanje odvija na vrlo maloj promjeni visine, pa se gustoća i brzina zvuka gotovo

Page 310: Mehanika Leta Zrakoplova

Linearizacija 6DOF modela 12-2

ne mijenjaju, te nam nije potrebna visina leta. Aerodinamičke sile ZYX i, i aerodinamički

momenti NML i, duž glavnih osi tromosti letjelice zadani su jednadžbama :

( )

( )

( )mz

ny

x

qcSVZ

rpcSVY

cSVX

δααρ

δβρ

βαρ

,,,2

,,,2

,2

2

2

22

&=

=

=

( )

( )

( )nn

mmA

n

prcSbVN

qcScVM

prcSbVL

δβρ

δααρ

δδβρ

,,,2

,,,2

,,,,2

2

2

2

=

=

=

&

ll

12.4

Gornji sustav diferencijalnih jednadžbi vrijedi za bilo koji režim leta. On određuje vektor

stanja

[ ]Trqpwvu ψθφ=X 12.5

kao funkciju vremena. Taj vektor stanja zvat ćemo stvarni vektor stanja, jer odgovara

stvarnom gibanju. Drugim riječima znači da je

1xu = , 2xv = , 3xw = , 4xp = , 5xq = , 6xr = , 7x=φ , 8x=ϑ i 9x=ψ . 12.6

Na desnoj strani sustava diferencijalnih jednadžbi imamo vektor

[ ]T1 fffffffff 98765432=F , 12.7

gdje nam je

φϑα

φϑ

ϑα

coscossin

sincos

sincos

3

2

1

gmZ

mT

pvquf

gmYpwruf

gmX

mT

qwrvf

T

T

+++−=

+++−=

−++−=

12.8

zz

yx

yy

xz

xx

zy

INpq

III

f

IMrp

III

f

ILqr

III

f

+−

=

+−

=

+−

=

6

5

4

12.9

( ) ( )

( ) ( )

rqf

rqfrtgqtgpf

θφ

θφ

φφθφθφ

coscos

cossin

sincoscossin

9

8

7

+=

−=++=

12.10

Članovi vektora F su funkcije članova vektora stanja. Osim vektora X i F uvodimo i vektor

upravljanja

Page 311: Mehanika Leta Zrakoplova

Linearizacija 6DOF 12-3

[ ]Tnm δδδ l=e 12.11

Vektor F ovisi o vektoru stanja, ali preko aerodinamičkih sila i momenata on je funkcija i

vektora upravljanja. Zato cijeli sustav diferencijalnih jednadžbi 12.1-3 kratko pišemo:

( )eXFX ,=dtd 12.12

Taj sustav diferencijalnih jednadžbi određuje promjenu stanja letjelice tijekom vremena u

ovisnosti o vektoru upravljanja. Taj sustav diferencijalnih jednadžbi nije pogodan za analizu

ponašanja letjelice u ovisnosti o njenim parametrima, niti za izbor tih parametara da bi se

letjelica ponašala kako se to a priori želi.

U ovim jednadžbama za sile i momente, brzina V i kutovi α i β funkcije su

varijabla stanja u, v i w preko kinematičkih jednadžba:

.sinsincoscoscos

αβαβα

VwVvVu

===

12.13

Kako smo pretpostavili da nema vjetra, ne razlikujemo brzinu leta od aerodinamičke brzine

jer su one jednake.

12.1.2 Referentno gibanje

Ravnotežno stanje u kome je bila letjelica prije nego što smo promijenili vektor upravljanja,

nazivamo referentno stanje. Vektor stanja u takvom gibanju označit ćemo sa 0X i nazvati ga

referentni vektor stanja.

( )000

,eXFX=

dtd 12.14

Pretpostavit ćemo da su svi uvjeti nominalni (standardna atmosfera, nema vjetra, normalne

težine itd.). Odabrat ćemo kao referentni let

• jednoli let:

constV =0 , 12.15

• pravocrtni let (horizontalno ili u penjanju ili u spuštanju):

00 =χ 12.16

const=0γ 12.17

Neka je u takvom referentnom letu vektor upravljanja [ ]Tm 00 00 δ=e . Budući da nema

klizanja (nema vjetra 0=v ), niti kuta valjanja (pravocrtni let), onda su :

Page 312: Mehanika Leta Zrakoplova

Linearizacija 6DOF modela 12-4

000 == χψ 12.18

000 αγϑ += 12.19

U tom letu, pri konstantnoj brzini leta i konstantnoj gustoći zraka, napadni kut 0α je

konstantan, pa su konstanti kutovi osi letjelice 0ψ i 0ϑ . Kada su sva tri de Sparreova kuta

konstanti, onda su i sve tri kutne brzine jednake nuli. Konačno zaključujemo da je za izabrani

referentni let:

0000 === wvu &&& 12.20

0000000 ====== ψϑφ &&&rqp 12.21

0

000

0

==

=

ψφ

v 12.22

S obzirom da su za ovakvo referentno gibanje derivacije svih varijabla jednake nuli, matrični

je oblik sustava diferencijalnih jednadžbi vektora stanja

( )00 ,0 eXF= 12.23

koji nam omogućuje da za zadani referentni let 0X odredimo potrebni vektor upravljanja 0e ,

ili obrnuto.

12.1.3 Linearne diferencijalne jednadžbe poremećaja

Kada promijenimo otklon upravljačkih površina 0ee ≠ vrijednosti varijabli vektora stanja bit

će različite od referentnih vrijednosti (uspoređujemo ih u istom trenutku t), a tu razliku

između stvarnih i referentnih vrijednosti označavamo sa 0iii xxx −=∆ , a za cijeli vektor

stanja sa 0XXX −=∆ , i nazivamo ih poremećaj vektora stanja. Uzrok koji je izazvao

poremećaje

[ ]Tnm δ∆δ∆δ∆∆ l=−= 0eee

nazivamo također poremećaj (ili perturbacija).

U sustavu diferencijalnih jednadžbi vektora stanja 12.12

( )eXFX ,=dtd

zamijenimo li stvarni vektor stanja s referentnim, povećanim za poremećaj, kao i vektor

upravljanja s referentnim povećanim za poremećaj vektora upravljanja, onda dobivamo sustav

diferencijalnih jednadžbi stvarnog stanja:

Page 313: Mehanika Leta Zrakoplova

Linearizacija 6DOF 12-5

( ) ( )eeXXFXX 00 ∆+∆+=∆+ ,dtd

Kad razvijmo u Taylorov red članove matrice F oko referentnog stanja, dobit ćemo

( ) ( ) K+

∂∂

+

∂∂

+=++ eeFX

XFeXFeeXXF 000 ∆∆∆∆

000 ,,,, tt

A je kvadratna matrica koju čine parcijalne derivacije stupca F po varijablama stanja X:.

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=∂∂

=

9

9

2

9

1

9

9

2

2

2

1

2

9

1

2

1

1

1

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

L

LLLL

L

L

XFA 12.24

a B je matrica koja pretstavlja derivaciju stupca F po parametrima upravljanja (onoliko

stupaca koliko je parametara upravljanja, a broj vrsta je jednak dimenziji vektora stanja).

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

==∂∂

=

m

nm

ff

f

fff

δδ

δ

δδδ

99

2

111

L

LLL

LL

l

l

l

eFB 12.25

Opći član matrice A u redu i u stupcu j je

j

iij x

fa

∂∂

=

Kada provodimo linearizaciju, pretpostavljamo da se realni vektor stanja X ne razlikuje

mnogo od referentnog vektora stanja 0X tj. da su poremećaji X∆ i e∆ male veličine. To nam

omogućuje da pri razvijanju u red funkcije F zanemarimo produkte poremećaja kao male

veličine višega reda u odnosu na bilo koji poremećaj. Tako u daljnjem radu nećemo imati niti

produkte poremećaja niti njihove stupnjeve nego ćemo imati linearne jednadžbe po

poremećajima. Kasnije, kada budemo primjenjivali linearizirane diferencijalne jednadžbe

trebamo voditi računa da ti uvjeti budu zadovoljeni.

Oduzimanjem diferencijalnih jednadžbi za referentno stanje 12.14 od diferencijalnih

jednadžbi za stvarno stanje 12.12 dobivamo:

eBXAX ∆∆∆ +=dtd 12.26

Page 314: Mehanika Leta Zrakoplova

Linearizacija 6DOF modela 12-6

To su tzv. diferencijalne jednadžbe poremećaja, koje su linearne po poremećajima eX ∆∆ i .

Obratimo pažnju na to da su članovi matrica A i B funkcije od vremena i od referentnog

stanja, što znači da se svaki član tih matrica određuje na temelju referentnog vektora stanja 0X i za referentni vektor upravljanja 0e .

Činjenica je da linearizaciju jednadžbi možemo raditi po istim pravilima po kojima

izvodimo diferenciranje jednadžbi.

12.2 Linearizacija model 6DOF

12.2.1 Linearizacija kinematičkih jednadžbi

Počet ćemo s jednadžbama veze između brzina i kutova:

α

βαβα

sinsincoscoscos

VwVvVu

===

12.27

Primijenimo pravilo diferenciranja umjesto linearizacije na prvu jednadžbu:

ββαβααβα ∆−∆+∆=∆ 00000000 sincoscossincoscos VVVu

Kako u referentnom stanju nema klizanja 00 =β , dobivamo lineariziranu prvu jednadžbu:

ααα ∆−∆=∆ 000 sincos VVu

Na isti način dobivamo i preostale dvije linearizirane jednadžbe:

α∆αα∆∆

β∆α∆ooo

oo

VVwVv

cossincos

+=

=

U referentnom režimu napadni kut je mali. Zato u ovim jednadžbama možemo zamijeniti 00sin αα ≈ i 1cos 0 ≈α :

αα

β

αα

∆+∆=∆

∆=∆

∆−∆=∆

oo

o

VVwVv

VVu 00

Po svojoj veličini produkt 00αV reda je veličine poremećaja brzine, te je drugi član na desnoj

strani mala veličina drugoga reda koju možemo zanemariti. Isto tako produkt 0αV∆ na

desnoj strani treće jednadžbe predstavlja malu veličinu drugoga reda koju možemo

zanemariti. Tako dobivamo konačno:

Page 315: Mehanika Leta Zrakoplova

Linearizacija 6DOF 12-7

α

β

∆=∆

∆=∆

∆=∆

o

o

VwVv

Vu 12.28

12.2.2 Linearizacija sila

Za mlaazne motore smatramo da poremećaji gibanja ne utječu na potisnu silu pa nema

poremećaja pogonske sile, a za elisne motore usvajamo da nema poremećaja snage. Prema

tome, za elisne motore je

( ) 0=⋅∆ VT ,

ili

000 =∆+⋅∆ VTVT .

Iz ove jednadžbe dobivamo da je poremećaj pogonske sile elisnog motora

oo T

VVT ∆∆ −= , 12.29

a za mlazne motore je

0=∆T . 12.30

Komponente sile Zemljine teže duž osi tromosti zrakoplova jesu:

( )

−=

ϑφϑφ

ϑψϑφ

coscoscossin

sin00

,, mgmg

FOL

Primjenjujući pravilo diferenciranja dobivamo poremećaje komponente sile Zemljine teže:

−−−

ϑ∆ϑφϑφ∆φϑ∆ϑφϑφ∆φ

ϑ∆ϑ

oooo

oooo

o

mgsincoscossin

sinsincoscoscos

Za referentni let je 0=oφ , te dobivamo konačno poremećaje komponenata sile Zemljine

teže:

ϑ∆ϑφ∆ϑϑ∆ϑ

o

o

o

mgsin

coscos

12.31

Linearizacija komponenata aerodinamičke sile:

Page 316: Mehanika Leta Zrakoplova

Linearizacija 6DOF modela 12-8

( )

( )

( )mZ

nY

X

qCSVZ

rpCSVY

CSVX

δααρ

δβρ

βαρ

,,,2

,,,2

,2

2

2

22

∗∗

∗∗

=

=

=

&

12.32

prema pravilu o diferenciranju, daje poremećaje:

ZZ

YY

XX

CSVCSVVZ

CSVCSVVY

CSVCSVVX

∆⋅+∆=∆

∆⋅+∆=∆

∆⋅+∆=∆

2

2

2

2000

2000

2000

ρρ

ρρ

ρρ

Poremećaji aerodinamičkih koeficijenata sila su:

moZ

oZq

oZ

oZZ

noY

oYr

oYp

oYY

ooX

oXX

m

n

CqCCCC

CrCpCCC

CCC

δ∆∆α∆α∆∆

δ∆∆∆β∆∆

β∆βα∆∆

δαα

δβ

βα

+++=

+++=

+=

∗∗

∗∗

&&

22

12.33

Poremećaj bezdimenzijske kutne brzine valjanja je

( ) pVb

VVbppVb

Vbpp ∆=

∆−∆=

∆=∆ ∗

0200

0

, 12.34

jer je 00 =p . Isto tako su i poremećaji bezdimenzijskih kutnih brzina:

qVc

q A ∆∆ 0=∗ 12.35

rVbr ∆∆ 0=∗ 12.36

Kako je u referentnom stanju 0=oYC , bit će konačno poremećaji aerodinamičkih brzina:

++++=

+++=

+=

moZ

AoZq

AoZ

oZ

ooZ

o

noY

oYr

oYp

oY

o

oX

ooX

o

m

n

CVc

qCVc

CCSVVSCVZ

CVbrC

VbpCCSVY

SCVVSCVX

δ∆∆α∆α∆ρ∆ρ∆

δ∆∆∆β∆ρ∆

α∆ρ∆ρ∆

δαα

δβ

α

00

2

00

2

2

2

2

2

&&

U ove jednadžbe uvodimo oznake za koeficijente dinamičke stabilnosti uz poremećaje:

Page 317: Mehanika Leta Zrakoplova

Linearizacija 6DOF 12-9

oX

oo

oX

oou

Cm

SVXm

X

Cm

SVuX

mX

ααρ

∂α∂

ρ∂∂

21

1

2

==

==

oY

o

n

o

oYr

oo

r

oYp

oop

oY

oo

nnC

mSVY

mY

Cm

SbVrY

mY

Cm

SbVpY

mY

Cm

SVYm

Y

δδ

ββ

ρ∂δ∂

ρ∂∂

ρ∂∂

ρ∂β∂

21

21

21

21

2

2

==

==

==

==

oZ

o

m

o

oZq

Ao

oq

oZ

Ao

o

oZ

oo

oZ

oou

mmC

mSVZ

mZ

CmScV

qZ

mZ

CmScVZ

mZ

Cm

SVZm

Z

Cm

SVuZ

mZ

δδ

αα

αα

ρ∂δ∂

ρ∂∂

ρα∂∂

ρ∂α∂

ρ∂∂

21

21

21

21

1

2

2

==

==

==

==

==

&& & 12.37

Svi ovi koeficijenti dinamičke stabilnosti trebaju biti izračunani za vrijednosti parametara u

referentnom stanju. S tim koeficijentima jednadžbe možemo napisati u obliku:

moo

qooo

u

noo

rpo

oou

m

n

ZqZZZuZmZ

YrYpYYmY

XuXmX

δ∆∆α∆α∆∆∆

δ∆∆∆β∆∆

α∆∆∆

δαα

δβ

α

++++=

+++=

+=

&&

0 12.38

12.2.3 Linearizacija jednadžbi gibanja središta mase

Linearizaciju prvih triju jednadžbi gibanja središta mase:

φϑα

φϑ

ϑα

coscossin

sincos

sincos

gmZ

mT

pvquw

gmYpwruv

gmX

mT

qwrvu

T

T

+++−=

+++−=

−++−=

&

&

&

12.39

izvest ćemo po pravilu diferenciranja. Tako dobivamo

ϑ∆ϑ∆α∆∆∆∆∆∆

φ∆ϑ∆∆∆∆∆∆

ϑ∆ϑ∆α∆∆∆∆∆∆

oToooo

ooooo

oToooo

gmZ

mT

pvvpquuqw

gmYpwwpruurv

gmX

mT

qwwqrvvru

sinsin

cos

coscos

−++−−+=

++++−−=

−++−−+=

&

&

&

12.40

U referentnom letu je 00 =v kao i sve kutne brzine 0=== ooo rqp . Kut 0α u referentnom

letu je obično mala veličina, te je ooo uw α= reda veličina poremećaja u∆ ili w∆ . Zato se

Page 318: Mehanika Leta Zrakoplova

Linearizacija 6DOF modela 12-10

njegovi produkti sa drugim poremećajima mogu zanemaruju kao male veličine drugog reda.

To nam omogućava da u prvoj jednadžbi zanemarimo produkt qw ∆0 , a u drugoj pw ∆0 . Tako

linearizirane jednadžbe poremećaja gibanja središta mase dobivaju oblik:

ϑϑα

φϑ

ϑϑα

∆∆∆

∆∆

∆∆

∆∆

∆∆∆

oTo

oo

oT

gmZ

mTquw

gmYruv

gmX

mTu

sinsin

cos

coscos

−++=

++−=

−+=

&

&

&

12.41

Derivacijom lineariziranih jednadžbi veza između kutova i komponenti brzine dobivamo:

α∆∆

β∆∆&&

&&o

o

VwVv=

= 12.42

Zamjenom poremećaja aerodinamičkih sila ZYX ∆∆∆ ,, i poremećaja derivacija bočnih

brzina wv && ∆∆ , u gornje linearizirane jednadžbe poremećaja gibanja središta mase, bit će

konačno:

ϑϑδαααα

φϑδββ

ϑϑαα

δαα

δβ

α

∆−∆+∆+∆+∆+∆+∆

+∆=∆

∆+∆+∆+∆+∆+∆−=∆

∆−∆+∆+∆

=∆

om

ooq

ooou

To

on

oorp

oo

ooou

T

gZqZZZuZm

Tquu

gYrYpYYruu

gXuXm

Tu

m

n

sinsin

cos

coscos

0

00

&&

&

&

&

12.43

Za mlazne motore nema poremećaja potiska, pa dijeljenjem jednadžbe druge sa 0u i treće

jednadžbe sa 00α&Zu − dobivamo:

moo

o

oo

o

oo

oq

o

oo

o

oo

ou

n

ooorp

o

ooou

Zu

Z

Zugq

ZuZu

ZuZ

uZu

Z

u

Y

ugr

uY

puY

uY

gXuXu

m

n

δ∆ϑ∆ϑ∆α∆∆α∆

δ∆φ∆ϑ

∆∆β∆β∆

ϑ∆ϑα∆∆∆

α

δ

ααα

α

α

δβ

α

&&&&&

&

&

&

−+

−−

++

−+

−=

++

+−++=

−+=

sin

cos1

cos

0000

0

0 12.44

Za zrakoplove s elisnim motorima poremećaj pogonske sile određen je jednadžbom 12.29

uuTT

o

∆∆ 0−=

pa gornje jednadžbe 12.43 za zrakoplove s elisnim motorima imaju oblik:

Page 319: Mehanika Leta Zrakoplova

Linearizacija 6DOF 12-11

m

oooq

ooT

oou

n

ooorp

o

ooTo

ou

ZuZ

Zugq

ZuZu

ZuZu

Zumu

TZ

uY

ugr

uYp

uY

uY

gXumu

TXu

m

n

δϑϑα

α

α

δφϑββ

ϑϑαα

α

δ

ααα

α

α

δβ

α

∆∆∆∆∆∆

∆∆∆∆∆∆

∆∆∆∆

0000000000

0000

0

0

0

sinsin

cos1

coscos

&&&&&

&

&

&

−+

−−

++

−+

−=

++

+−++=

−+

−=

12.45

12.2.4 Linearizacija kutnih brzina

Linearizaciju jednadžbi:

( ) ( )( ) ( )

rq

rq

rtgqtgp

θφ

θφψ

φφθ

θφθφφ

coscos

cossin

sincos

cossin

+=

−=

++=

&

&

&

12.46

izvodimo primjenom pravila diferenciranja. Tako dobivamo:

rrqq

rrqq

rtgrrtg

qtgqqtgp

oooo

∆⋅+⋅

∆+∆⋅+⋅

∆=∆

∆−⋅∆−∆+⋅∆−=∆

∆+∆

+⋅⋅∆−

−∆+∆

+⋅⋅∆+∆=∆

0

00

0

00

00

00002

0000

00002

0000

coscos

coscos

cossin

cossin

sincoscossin

coscos

cossin

sincos

sincos

ϑφ

ϑφ

ϑφ

ϑφψ

φφφφφφϑ

ϑφϑϑφϑφφ

ϑφϑϑφϑφφφ

&

&

&

U tim jednadžbama treba uzeti u obzir da su u referentnom stanju sve kutne brzine 0p , 0q i 0r jednake nuli (jednadžbe 12.21) kao i kut valjanja 0φ (jednadžbe 12.22). Tako konačno

dobivamo linearizirane jednadžbe:

0

0

cos

tan

θψ

ϑ

ϑφ

rq

rp

∆=∆

∆=∆

∆+∆=∆

&

&

&

12.47

12.2.5 Linearizacija komponenata aerodinamičkog momenta

Ovisnosti komponenata aerodinamičkog momenta zrakoplova o parametarima dane su

jednadžbama:

Page 320: Mehanika Leta Zrakoplova

Linearizacija 6DOF modela 12-12

( )

( )

( )nn

mmA

n

rpSbCVN

qCScVM

rpSbCVL

δδβρ

δααρ

δδβρ

,,,,2

,,,2

,,,,2

2

2

2

l

ll

&

∗∗

∗∗

∗∗

=

=

=

12.48

Primjenom pravila diferenciranja dobivamo:

n

oon

o

mA

oomA

o

ooo

CSbVSbCVVN

CScVCScVVM

CSbVSbCVVL

∆⋅+∆=∆

∆⋅+∆=∆

∆⋅+∆=∆

2

2

2

2

2

2

ρρ

ρρ

ρρ ll

12.49

U ravnotežnom stanju on

om

o CCC ,,l jednaki su nuli, a poremećaji aerodinamičkih koeficijenata

momenata su:

nonno

onro

onp

onn

mom

Aomq

Aom

omm

nooo

rop

o

n

m

n

CCVbrC

VbpCCC

CVc

qCVc

CCC

CCVbrC

VbpCCC

δ∆δ∆∆∆β∆∆

δ∆∆α∆α∆∆

δ∆δ∆∆∆β∆∆

δδβ

δαα

δδβ

++++=

+++=

++++=

l

&

lllllll

l

l

&

0

00

00

12.50

Uvest ćemo koeficijente momenata dinamičke stabilnosti:

ll l

l

l

l

l

l

δδ

δδ

ββ

ρ∂δ∂

ρ∂δ∂

ρ∂∂

ρ∂∂

ρ∂β∂

CI

SbVLI

L

CI

SbVLI

L

CI

VSbrL

IL

CI

VSbpL

IL

CI

SbVLI

L

xx

xnx

rxx

r

pxx

p

xx

nn

21

21

21

21

21

2

2

2

2

2

==

==

==

==

==

mm my

A

my

qmy

A

yq

my

A

y

my

A

y

CIScVM

IM

CI

VScqM

IM

CI

VScMI

M

CIScVM

IM

δδ

αα

αα

ρ∂δ∂

ρ∂∂

ρα∂

ρ∂α∂

21

21

21

21

2

2

2

2

==

==

==

==

&& &

nn nznz

nrzz

r

npzz

p

nzz

CI

SbVNI

N

CI

VSbrN

IN

CI

VSbpN

IN

CI

SbVNI

N

δδ

ββ

ρ∂δ∂

ρ∂∂

ρ∂∂

ρ∂β∂

21

21

21

21

2

2

2

2

==

==

==

==

12.51

Napomenimo da sve ove koeficijente treba izračunati za referentno stanje. Sa ovim oznakama

bit će:

Page 321: Mehanika Leta Zrakoplova

Linearizacija 6DOF 12-13

nprz

mqy

nrpx

n

m

n

NNNrNNIN

MqMMMIM

LLrLpLLIL

δ∆δ∆φ∆∆β∆∆

δ∆∆α∆α∆∆

δ∆δ∆∆∆β∆∆

δδβ

δαα

δδβ

00000

0000

00000

++++=

+++=

++++=

l

&

l

l

l

&

& 12.52

12.2.6 Linearizacija jednadžbi gibanja zrakoplova oko središta mase

Jednadžbe gibanja oko središta mase za glavne osi tromosti su:

( )( )( ) NpqIIrI

MrpIIqI

LqrIIpI

yxz

xzy

zyx

+−=

+−=

+−=

&

&

&

12.53

Pravilom diferenciranja dobivamo

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) NqpqpIIrI

MprprIIqILpqpqIIpI

yxz

xzy

zyx

∆∆∆∆

∆∆∆∆

∆∆∆∆

+⋅+⋅⋅−=

+⋅+⋅⋅−=

+⋅+⋅⋅−=

&

&

&

U ravnotežnom stanju sve kutne brzine jednake su nuli te ove jednadžbe dobivaju oblik:

NrI

MqILpI

z

y

x

∆∆

∆∆∆∆

=

==

&

&

&

12.54

ili poslije linearizacije aerodinamičkih momenata:

nrp

mq

nrp

n

m

n

NNrNpNNr

MqMMMq

LLrLpLLp

δ∆δ∆∆∆β∆∆

δ∆∆α∆α∆∆

δ∆δ∆∆∆β∆∆

δδβ

δαα

δδβ

00000

0000

00000

++++=

+++=

++++=

l

&

l

l

l

&

&&

&

12.55

U drugoj jednadžbi na desnoj strani imamo poremećaj derivacije napadnog kuta α&∆ . Taj kut

eliminiramo pomoću treće jednadžbe gibanja središta mase:

m

oooq

ooT

oou

ZuZ

Zugq

ZuZu

ZuZu

Zumu

TZm δϑϑα

α

αα

δ

ααα

α

α

∆−

+∆−

−∆−

++∆

−+∆

−=∆ 0000000000

sinsin

&&&&&

& 12.56

Sređivanjem dobivamo konačno:

Page 322: Mehanika Leta Zrakoplova

Linearizacija 6DOF modela 12-14

nrp

m

o

oq

o

q

ooT

oou

nrp

n

m

m

n

NNrNpNNr

ZuZM

M

qZuZu

MMZu

gMZuZMMu

Zumu

TZMq

LLrLpLLp

δδβ

δ

ϑϑ

α

α

δδβ

δδβ

α

δαδ

αα

α

α

α

ααα

αα

δδβ

∆+∆+∆+∆+∆=∆

−++

+++∆

−−∆

++∆−

−=∆

∆+∆+∆+∆+∆=∆

00000

00

00

0000

00

0

00

00

000

00000

sinsin

l

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

l

l

l

&

&

&

12.57

12.2.7 Linearni model zrakoplova

Objedinjavanjem lineariziranih jednadžbi gibanja središta mase i oko središta mase dobivamo

sustav linearnih jednadžbi prijelaznog procesa. Prve tri linearizirane jednadžbe gibanja

središta mase malo se razlikuju za zrakoplove s elisnim pogonom od jednadžba za zrakoplove

s mlaznim pogonom, dok su linearizirane jednadžbe za gibanje oko središta mase iste. Zato

ćemo objedinjavanjem dobiti dva različita sustava jednadžbi.

Za zrakoplove s mlaznim pogonom:

moo

o

oo

o

oo

oq

o

oo

o

oo

ou

n

ooorp

o

ooou

Zu

Z

Zugq

ZuZu

ZuZ

uZu

Z

u

Y

ugr

uY

puY

uY

gXuXu

m

n

δ∆ϑ∆ϑ∆α∆∆α∆

δ∆φ∆ϑ∆∆β∆β∆

ϑ∆ϑα∆∆∆

α

δ

ααα

α

α

δβ

α

&&&&&

&

&

&

−+

−−

++

−+

−=

++

+−++=

−+=

sin

cos1

cos

0000

0

0

nrp

m

ooq

o

q

ooT

oou

nrp

n

m

m

n

NNrNpNNr

ZuZM

MqZuZu

MM

ZugM

ZuZMMu

Zumu

TZMq

LLrLpLLp

δδβ

δ

ϑϑ

α

α

δδβ

δδβ

α

δαδ

αα

α

α

α

ααα

αα

δδβ

∆∆∆∆∆∆

∆∆

∆∆∆∆

∆∆∆∆∆∆

00000

00

00

0000

00

0

00

00

000

00000

sinsin

++++=

−++

+++

+−

++−

−=

++++=

l

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

l

l

l

&

&

&

12.58

0

0

cos

tan

θψ

ϑ

ϑφ

rq

rp

∆=∆

∆=∆

∆+∆=∆

&

&

&

Za zrakoplove s elisnim pogonom sustav diferencijalnih jednadžbi poremećaja ima oblik:

Page 323: Mehanika Leta Zrakoplova

Linearizacija 6DOF 12-15

m

oooq

ooT

oou

n

ooorp

o

ooTo

ou

Zu

Z

Zugq

ZuZu

ZuZ

uZumu

TZ

u

Y

ugr

uY

puY

uY

gXumu

TXu

m

n

δ∆ϑ∆ϑ∆α∆∆

α

α∆

δ∆φ∆ϑ∆∆β∆β∆

ϑ∆ϑα∆∆α

α

δ

ααα

α

α

δβ

α

0000000000

0000

0

0

sinsin

cos1

coscos

&&&&&

&

&

&

−+

−−

++

−+

−=

++

+−++=

−+

−=

nrp

m

ooq

o

q

ooT

oou

nrp

n

m

m

n

NNrNpNNr

ZuZM

MqZuZu

MM

ZugM

ZuZM

MuZumu

TZ

Mq

LLrLpLLp

δδβ

δ

ϑϑ

α

α

δδβ

δδβ

α

δαδ

αα

α

α

α

ααα

αα

δδβ

∆+∆+∆+∆+∆=∆

−++∆

+++

+∆−

−∆

++∆−

−=∆

∆+∆+∆+∆+∆=∆

00000

00

00

0000

00

0

00

00

000

00000

sinsin

l

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

l

l

l

&

&

&

12.59

0

0

cos

tan

θψ

ϑ

ϑφ

rq

rp

∆=∆

∆=∆

∆+∆=∆

&

&

&

U oba slučaja, u jednadžbama imamo devet varijabli

ψϑφαβ ∆∆∆∆∆∆∆∆∆ rqpu

koje su funkcije vremena, i tri zadana otklona nm δδδ ∆∆∆ l . Koeficijenti uz varijable i

uz zadane otklone poznate su konstante.

Page 324: Mehanika Leta Zrakoplova

Linearizacija 6DOF modela 12-16

Page 325: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamička stabilnost uzdužnog gibanja 13-1

13 DINAMIČKA STABILNOST UZDUŽNOG GIBANJA

13.1 Modovi uzdužnog gibanja

Sustav linearnih jednadžbi zrakoplova može se rastaviti na dva podsustava koji se rješavaju

neovisno. Prvi podsustav čine četiri jednadžbe gibanja s četiri varijable: θ∆α∆∆ ,,u i q∆ . To

su: prva i treća jednadžba gibanja središta mase, druga jednadžba gibanja oko središta mase i

druga jednadžba veza između kutnih brzina i derivacija kutova.

Za zrakoplove s elisnim pogonom to su jednadžbe:

q

Zu

ZMMq

ZuZu

MM

ZugM

ZuZM

MuZumu

TZ

Mq

Zu

Z

Zugq

ZuZu

ZuZ

uZumu

TZ

gXumu

TXu

m

ooq

o

q

ooT

oou

m

oooq

ooT

oou

ooTo

ou

m

m

m

∆=∆

−++∆

+++

+∆−

−∆

−++∆

−=∆

∆−

+∆−

−∆−

++∆

−+∆

−=∆

∆−∆+∆

−=∆

ϑ

δ

ϑϑ

α

α

δϑϑα

α

α

ϑϑαα

α

δαδ

αα

α

α

α

ααα

αα

α

δ

ααα

α

α

α

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&&&&&

00

00

0000

00

0

00

00

000

0000000000

sinsin

sinsin

coscos

13.1

Gibanje opisano ovim jednadžbama nazivamo uzdužno gibanje. U njima se ne pojavljuju

varijable skretanja ( )r∆β∆ , niti varijable valjanja ( )p∆φ∆ , . Mali poremećaj kuta valjanja

φ∆ ne mijenja ništa u ovim jednadžbama, što drugim riječima znači da malo valjanje letjelice

ne utječe na uzdužno gibanje. Gornje jednadžbe uzdužnog gibanje možemo napisati kao

linearni sustav diferencijalnih jednadžbi

eBXAX ∆∆∆ +=& , 13.2

u kome je vektor stanja

[ ]Tqu ϑ∆∆α∆∆∆ =X ,

a vektor upravljanja svodi se na skalar mδ∆∆ =e . Matrica A sustava je:

Page 326: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamička stabilnostuzdužnog gibanja 13-2

( )

−−

++

−+

−−

+

−−

−−

=

0100

sinsin

sinsin

cos0cos

00

00

00

0000

00

000

00

0

00

0

00

0

00

00

00

0

00

0

000

00

α

α

α

α

α

ααα

αα

ααα

α

α

α

ϑα

ϑα

ϑα

&

&

&

&

&

&

&

&

&&&&

ZugM

ZuZuM

MZuZMM

Zumu

TZM

Zug

ZuZu

ZuZ

Zumu

TZ

gXmu

TX

qq

Tu

qoT

o

u

Tu

A 13.3

a matrica B je :

−+

−=

0

Z0

00

000

00

0m

α

δαδ

α

δ

&

&

&

ZuZM

M

Zu

m

m

B 13.4

Podsjetimo se da smo ove jednadžbe dobili za pretpostavljeno stacionarno pravocrtno

referentno gibanje, što znači da su matrice A i B konstantne.

Interesira nas kako se zrakoplov ponaša kada se u stacionarnom pravocrtnom letu

promijenimo otklon kormila visine. Tražit ćemo odgovor letjelice na tri tipa promjene

otklona:

• jedinični impuls otklona

• jedinični odskok otklona i

• harmonijski otklon

13.2 Odgovor letjelice na odskok otklona u vremenskom području

Rješenje linearnog sustava diferencijalnih jednadžbi s konstantnim koeficijentima

eBXAX ∆∆∆ +=& 13.5

poznato je. Ono je zbroj homogenog i partikularnog integrala:

ph XXX ∆+∆=∆ 13.6

13.2.1 Homogeno rješenje

Homogeni integrali hX∆ rješenjr je homogenog sustava tj. kada nema pobude 0=e∆ :

Page 327: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamička stabilnost uzdužnog gibanja 13-3

0=∆−∆ hh XAX& 13.7

Tražimo rješenje hX∆ u obliku eksponencijalne funkcije

=

∆∆∆∆

=∆

st

st

st

st

h

h

h

h

h

eeee

q

u

ϑ

αX 13.8

isto za svaku komponentu. U tom slučaju je hh s XX ∆=∆ & . Ako takvo rješenje postoji onda

ono mora zadovoljavati diferencijalnu jednadžbu. Zamjenom u gornju jednadžbu dobivamo

( ) 0=− hs XJA ∆ 13.9

Ovo je sustav od četiri linearne jednadžbe u kojima su četiri nepoznanice:

[ ]Thhhhh qu ϑα ∆∆∆∆=∆X

S obzirom na to što nemamo slobodne članove na desnoj strani, determinanta sustava

( ) JA ssD −=

mora biti jednaka nuli, jer bismo u protivnom imali trivijalno rješenje 0=hX∆ :

( )

( )

sZu

gMsZu

ZuMM

ZuZMM

Zumu

TZM

Zug

ZuZu

sZu

ZZumu

TZ

gXsmu

TX

sD

qq

Tu

q

Tu

Tu

−−

−−−

++

−+

−−

+−

−−

−−−

=

100

sincos

sinsin

cos0cos

00

00

00

0000

00

000

00

0

00

0

00

0

00

00

00

0

00

0

00

000

00

α

α

α

α

α

ααα

αα

ααα

α

α

α

ϑα

ϑα

ϑα

&

&

&

&

&

&

&

&

&&&& 13.10

Kad se razvije ta determinanta matrice A, dobiva se tzv. karakteristični polinom četvrtog

reda:

( ) 0234 =++++= dscsbsassD 13.11

Taj karakteristični polinom ima 4 korijena 4ssss i,, 321 koje u MATLABu dobivamo

pomoću naredbi

( )psAp

rootpoly

== )(

Tim korijenima odgovaraju četiri moguća rješenja tstststs eeee 4321 i,, . Zato što svaka varijabla

ima opće rješenje u obliku linearne kombinacije tih četiri mogućih rješenja, dobivamo:

Page 328: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamička stabilnostuzdužnog gibanja 13-4

tsu4

tsu3

tsu2

tsu1h

4321 eCeCeCeC∆u +++=

ts4

ts3

ts2

ts1h

4321 eCeCeCeC∆ ααααα +++=

tsq4

tsq3

tsq2

tsq1h

4321 eCeCeCeC∆q +++=

ts4

ts3

ts2

ts1h

4321 eCeCeCeC∆ ϑϑϑϑϑ +++=

To možemo napisati matrično:

=

ts

ts

ts

ts

qqqq

uuuu

h

h

h

h

eeee

CCCCCCCCCCCCCCCC

q

u

4

3

2

1

4321

4321

4321

4321

ϑϑϑϑ

αααα

ϑ∆∆α∆∆

Uvedimo četverodimenzionalne konstante uz moguća rješenja:

[ ]

=

ts

ts

ts

ts

h

h

h

h

eeee

q

u

4

3

2

1

4321 CCCC

ϑ∆∆α∆∆

ili

∑=

=4

1i

tsih

ieCX∆ 13.12

Konstante 432 CCCC1 ,,, imaju četiri dimenzije, koliko ima dimenzija i vektor stanja X∆ .

U općem slučaju korijeni 4ssss i,, 321 mogu biti realni (pozitivni i/ili negativni) i

kompleksni korijeni. A priori jednadžbe uzdužnog gibanja zrakoplova imaju četiri

kompleksna korijena. Budući da su koeficijenti karakterističnog polinoma realni brojevi,

kompleksni korijeni moraju biti konjugirani. Znači da imamo dva para konjugiranih

kompleksnih korijena. Te konjugirane korijene pišemo u obliku

iii ωδ ±− 13.13

gde je 2,1=i . Opće rješenje svake varijable možemo napisati u obliku gušene

trigonometrijske funkcije. Na primjer za poremećaj hu∆ , koje mora biti realno, možemo opći

oblik transformirati kako slijedi: ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )tiu

tiu

ttiu

tiu

t

tiu

tiu

tiu

tiuh

eCeCeeCeCe

eCeCeCeCu222111

22221111

4321

4321ωωδωωδ

ωδωδωδωδ

−−−−

−−+−−−+−

+++=

+++=∆

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]titCtitCe

titCtitCeu

uut

uut

h

224223

112111

sincossincos

sincossincos2

1

ωωωω

ωωωωδ

δ

−+++

+−++=∆−

ili

Page 329: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamička stabilnost uzdužnog gibanja 13-5

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]tCCitCCe

tCCitCCeu

uuuut

uuuut

h

243243

121121

sincos

sincos2

1

ωω

ωωδ

δ

−+++

+−++=∆−

Promatrajmo prvi član na desnoj strani

( ) ( )[ ]tCCitCCe uuuut

121121 sincos1 ωωδ −++−

Da bi on bio realan, mora biti uu CC 21 + realan broj C ′ , a uu CC 21 − mora biti imaginaran broj

Ci ′′ . S obzirom na jednakost

( ) ( )110111 sincossin 11 ϕωωω δδ +=′′+′ −− tAetCtCe tt ,

gdje su

,arctan1

2201

CC

CCA

′′′

=

′′+′=

ϕ

može se poremećaj uzdužne brzine staviti u oblik:

( ) ( )22021101 sinsin 21 ϕωϕω δδ +++=∆ −− tAetAeu tt 13.14

Tako se mogu napisati i poremećaji ϑα ∆∆∆ ,, q . Prema tome homogeno rješenje, za svaku

komponentu poremećaja, je zbroj dva gušena harmonijska moda. Realni dio konjugirano

kompleksnih korijena iδ− mora biti negativan, tj. 0>iδ da bi mod bio gušen. To iδ naziva

se koeficijent gušenja (dumping coefficient). Imaginarni dio i

i Tπω 2

= predstavlja kružnu

učestalost. iT je perioda tog moda, a ii

fT

=1 je učestalost moda.

Osim ovih parametara iδ i iω upotrebljavaju se i od njih izvedeni parametri.

Vrjemenska konstanta predstavlja recipročnu vrijednost konstante gušenja

δ

τ 1= , 13.15

a to znači kada je vrijeme gibanja t jednako vremenskoj konstanti, amplituda se smanjila e

puta. Sa 21τ označava se vrijeme za koje se amplituda moda prepolovi. To vrijeme dobivamo

iz jednadžbe

2121 =−δτe ,

odakle je

δ

τ 2ln21 = . 13.16

Page 330: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamička stabilnostuzdužnog gibanja 13-6

U slučaju ne gušenog moda koristi se vrijeme 2τ za koje se amplituda moda udvostruči:

22 =−δτe

δ

τ−

=2ln

2 13.17

Konačno za ocjenu moda upotrebljava se parametar gušenje. Da bismo objasnili taj

parametar, zamislimo sustav koji ima korijene jednog moda ωδ is ±−=2,1 . Karakteristična

jednadžba tog sustava je

( ) 021212 =+⋅+− ssssss ,

ili

( ) 02 222 =++⋅+ ωδδ ss .

Ako uvedemo novu varijablu 22 ωδσ += s , dobit ćemo novu jednadžbu:

01222

2 =++

+ σωδ

δσ

Tu jednadžbu možemo napisati u općem obliku

0122 =++ σζσ

u kojoj imamo samo jedan parametar koji se naziva gušenje moda.

22 ωδ

δζ+

= 13.18

Veličina

22 ωδω +=n 13.19

naziva se prirodna učestalost i koristi se za ocjenu kvalitete upravljivosti objekta.

13.2.2 Partikularni integral

Partikularni integrali se mogu naći na temelju pretpostavke da ih tražimo u obliku konstanta.

Ako su oni konstantni, onda je 0X =p&∆ , pa je

eBXA ∆∆ += p0

eBAX ∆∆ ⋅−= −1p .

Uvest ćemo pojam aerodinamičko pojačanje:

BAK 1−−= 13.20

To je matrica koja ima onoliko redaka koliko ima varijabli vektor stanja, a onoliko stupaca

koliko ima dimenzija vektor upravljanja. S tom veličinom je partikularni integral :

Page 331: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamička stabilnost uzdužnog gibanja 13-7

mδ∆⋅=∆ KXp 13.21

Taj partikularni integral vektor stanja je konstantan vektor i predstavljanja razliku od

početnog ravnotežnog stanja do novog ravnotežnog stanja.

13.2.3 Opće rješenje

Konačno rješenje je zbroj homogenog i partikularnog integrala. Svaka varijabla stanja (ima ih

četiri) ima dva moda sa po dvije konstante. Rješenje nehomogenog sustava diferencijalnih

jednadžbi uzdužnog gibanja je :

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

mq

u

ttqq

tqq

t

ttuu

tuu

t

KKKK

tAetAetAetAetAetAetAetAe

q

u

δ

ϕωϕωϕωϕωϕωϕωϕωϕω

ϑ

α

ϑ

α

ϑϑδ

ϑϑδ

δδαα

δαα

δ

δδ

+

++++++++++++

=

∆∆∆∆

−−

−−

−−

−−

222111

222111

222111

222111

sinsinsinsinsinsinsinsin

21

21

21

21

, 13.22

gdje su ixA amplitude moda 2,1=i poremećaja qux ∆∆∆= ,, α i ϑ∆ , a ixϕ njihovi fazni

pomaci. Konstanta ixA ima 824 =⋅ i isto toliko faznih pomaka. Ukupno to je 16 konstanti.

Opće rješenje možemo napisati i u obliku koji nam je pogodniji za usporedbu s

Laplaceovom analizom:

mq

u

ts

ts

ts

ts

qqqq

uuuu

KKKK

eeee

CCCCCCCCCCCCCCCC

q

u

δ∆

ϑ∆∆α∆∆

ϑ

α

ϑϑϑϑ

αααα

+

=

4

3

2

1

4321

4321

4321

4321

Kraće napisano to je:

mi

tsi

ie δ∆∆ KCX +=∑=

4

1, 13.23

u kome su

[ ]

=

4321

4321

4321

4321

4321

ϑϑϑϑ

αααα

CCCCCCCCCCCCCCCC

qqqq

uuuu

CCCC

Ukupno imamo šesnaest konstanta. Veličine tih konstanti najlakše ćemo odrediti, kao i druga

svojstva uzdužnog gibanja, pomoću Laplaceove transformacije.

Page 332: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamička stabilnostuzdužnog gibanja 13-8

13.2.4 Primjer

Za laki mali putnički zrakoplov treba odrediti korijene uzdužnog gibanja zrakoplova i

aerodinamičko pojačanje kada leti horizontalno na visini 2000 m u režimu za maksimalni

dolet koji smo odredili u primjeru 8.1.7, primjer 2.

499.053==

LCV

Aerodinamički proračun tog zrakoplova urađen je u petom poglavlju, gdje smo dobili

koeficijente normalne sile i momenta propinjanja u stacionarnom režimu kada 0== qα& . Ti

su rezultati ovisili o postavim kutovima krila i repa, kao i o položaju središta mase. Za

postavne kutove 01=Wi i 01−=hi te za središte mase na udaljenosti mm 233.0=l od

ravnine elise ili 137.0=mh od aerodinamičkog ishodišta dobili smo koeficijente:

δα

δα

fm

mfN

KCKC⋅−−−=

⋅++=

577.0835.0001.0216.072.4247.0

Na kraju aerodinamičkog proračuna malog zrakoplova u poglavlju 3.9.7 urađen je i proračun

nestacionarnih koeficijenata za isti položaj središta mase 137.0=mh :

34.152.0

−=−=

α

α

&

&

m

Z

CC

25.326.1

−=

−=

mq

Zq

CC

Masene karakteristike zrakoplova su:

kgm .1088= 21693 mkgIY ⋅=

Rješenje

Ako zrakoplov leti horizontalno onda je Tααγϑ =+= jer je 0=γ , a motor je tako

postavljen da je u tom režimu leta pogonska sila u pravcu brzine leta. To znači da je u

referentnom letu (vidi primjer 8.1.7.2) potreban koeficijent uzgona 499.0=LC , a brzina leta

smV 1.53= .

Iz gornjih jednadžba za aerodinamičke koeficijente normalne sile i momenta

propinjanja, vidimo da su gradijenti po napadnom kutu:

72.4−=αZC

835.0−=αmC

U ravnotežnom letu je 0=mC , a za željeni koeficijent uzgona gornje jednadžbe daju nam

ravnotežni napadni kut i kut otklona za koji se on ostvaruje:

Page 333: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamička stabilnost uzdužnog gibanja 13-9

δα

δα

frav

mfrav

KK

⋅−−−=

⋅++=

577.0835.0001.00216.072.4247.0499.0

Dobivamo traženi ravnotežni napadni kut 03.30573.0 ==ravα

koji se ostvaruje s otklonom kormila visine 08.40846.0 −=−=mδ . Taj otklon je u linearnom

području te je 1=fK . Pretpostavimo da je postavni kut motora 03.3== ravT αα , onda je u

referentnom režimu 00 3.3== Tαϑ . Pogonska sila jednaka je otporu. Prema odjeljku 5.2.6

0259.00 =DC , a otpor pri ravnotežnom napadnom kutu bit će

0518.00259.022 0 =⋅=⋅= DD CC

NCSVT Dref 11100518.009.152

1.53007.12

20

2

=⋅⋅

==ρ

Da bismo odredili potrebne derivative aerodinamičkih koeficijenata u koordinatnom sustavu

letjelice, kao npr. αXC , korist ćemo se vezama između aerodinamičkih koeficijenata koje

smo izveli u odjeljku 2.1.3. U ovom slučaju nema bočnog gibanja pa su veze između

aerodinamičkih koeficijenata u uzdužnom gibanju:

αLDX CCC +−=

U referentnom režimu je

0232.00573.0499.00518.00000 −=⋅+−=+−= αLDX CCC

Ovisnost aksijalne sile o napadnom kutu može se dobiti na sljedeći način:

α

α

LLD

LDX

CKCCCCC

+−−=

+−=2

0

Derivacijom po napadnom kutu dobivamo: 000000 2 ααα α LLLLX CCCKCC ++−=

Za izabranom referenti let dobivamo:

279.073.40573.0499.073.4499.0104.020 =⋅++⋅⋅⋅−=αXC

Napravljen je program u MATLAB-u pod imenom ABROOT.m koji se nalazi na CDu u

direktoriju Dinamicka\ stabilnost\uzduzna. S njim su dobivene matrice:

−−−−−−−

=

0100009801353.307621600670010609790074351006907937904945503640

..........

A

−−

=

03407.12

079600.

B

Page 334: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamička stabilnostuzdužnog gibanja 13-10

Korijeni su karakterističnog polinoma matrice A :

i..si..si.si.s

237600108023760010809067.3446929067.344692

4

3

2

1

−−=+−=−−=+−=

Prema ovim rezultatima određene su periode :

• kratka perioda sT 61.19067.322

11 ===

πωπ ,

• duga perioda sT 4.262376.022

22 ===

πωπ

13.3 Prijenosne funkcije (open loop transfer function)

Izvedimo Laplaceovu transformaciju lineariziranih jednadžbi:

( )tdt

dmBXAX δ∆∆∆

+= 13.24

Tom transformacijom dobivamo (pod uvjetom da su početni poremećaji vektora stanja

jednaki nuli, što je zadovoljeno):

( ) ( ) ( )ssss mδ∆∆∆ BXAX += ,

odakle je

( ) ( ) ( )sss mδ∆∆ ⋅=⋅− BXAJ , 13.25

ili

( ) ( ) BAJX 1−−= ss

mδ∆∆ . 13.26

Odnos Laplaceove transformacije vektora stanja poremećaja prema Laplaceovoj

transformaciji otklona kormila visine nazivamo prijenosna funkcija po otklonu kormila

visine. Taj vektor ima četiri dimenzije

( ) [ ]Tqu mmmmmGGGGs ϑδδαδδδ =G

Ako gornju jednadžbu 13.25 napišemo u obliku

( ) BGJA −=⋅−m

s δ , 13.27

dobivamo linearni sustav algebarskih jednadžbi po prijenosnim funkcijama. Rješenje toga

sustava algebarskih jednadžbi daje nam četiri komponente vektora prijenosne funkcije :

Page 335: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamička stabilnost uzdužnog gibanja 13-11

[ ] ( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )sDs

sDsN

sDsN

sDsN

sDsNGGGG quT

qu mmmmm

NG =

== ϑα

ϑδδαδδδ

D je determinanta JA s− , tj. karakteristični polinom matrice A, a polinomi

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]Tqu sNsNsNsNs ϑα=N determinante su koje dobivamo kada u determinanti

JA s− zamijenimo stupac uz varijablu sa stupcem matrice -B. Kako u stupcu koji

zamjenjujemo ima s, a u stupcu koji ga zamjenjuje -B nema s, nove determinante ( )sN bit će

polinomi po s za jedan stupanj niži od polinoma ( )sD .

Pomoću prijenosne funkcije možemo Laplaceovu transformaciju poremećaja prikazati

kao produkt prijenosne funkcije i Laplaceove transformacije otklona kormila visine:

( ) ( ) ( )sss mmδδ ∆⋅=∆ GX 13.28

Primjerice poremećaj napadnog kuta bit će:

( ) ( ) ( )ssGs mδ∆α∆ αδ ⋅= .

Isto tako bit će Laplaceova transformacija poremećaja svake druge varijable jednaka produktu

njene prijenosne funkcije i Laplaceove transformacije otklona kormila visine.

13.4 Odgovor na jedinični impuls (impulsive admittance)

Promatrajmo posebni slučaj otklona. Ako u trenutku 0=t zadamo otklon ( )tmδ∆ koji ima

jedinični impuls, nije važno kakva je to funkcija od vremena, samo je potrebno da

( ) 10

=⋅∫t

m dtt∆

δ∆ ,

s tim da t∆ bude malo u odnosu na periodu kratkoperiodičnog moda (matematički je točnije

reći da ovaj integral teži k jedinici kada t∆ teži k nuli). Laplaceova transformacija jediničnog

impulsa jednaka je jedinici

( ) 1=smδ∆ ,

pa je Laplaceova transformacija izlaza

( ) ( ) ( ) ( )ssssmm m δδ δ GGX =∆⋅=∆ 13.29

jednaka prijenosnoj funkciji. Kada na ulazu imamo jedinični impuls otklona kormila visine,

izlaze veličine u realnom vremenu ( ) ( ) ( ) ( )[ ]Tttqttu θ∆∆α∆∆ označimo sa

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]Tqu ththththt ϑα=h .

Ti izlazi bit će jednaki inverznim Laplaceovim transformacijama od prijenosnih funkcija

Page 336: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamička stabilnostuzdužnog gibanja 13-12

( ) ( )[ ]sLtmδ

Gh 1−= , 13.30

a ta inverzna transformacija može se dobiti primjenom Heavisideova teorema razvoja.

Imajući na umu da je ( ) ( )( )sDss

m

NG =δ , dobit ćemo

( ) ( )

( )( )

( )( )( )( )

( )( )( )( )

( )( )( )( )

( )( )( ) .43

21

342414

4

432313

3

423212

2

413121

11

tsts

tsts

essssss

sessssss

s

essssss

sessssss

ssDsLt

−−−+

−−−+

+−−−

+−−−

=

= −

NN

NNNh

13.31

Ovu jednadžbu možemo napisati u obliku:

( ) tstststs eeeet 43214321 CCCCh +++=

Primjerice vektor konstanta 1C uz tse 1 ima komponente

( )( )( )( )

( )( )( )( )

( )( )( )( )

( )( )( )( )413121

44

413121

31

413121

21

413121

11

sssssssNC

sssssssN

C

sssssssNC

sssssssNC

i

qq

uu

−−−=

−−−=

−−−=

−−−=

ϑ

αα

Tako možemo dobiti poremećaje svih varijabli stanja uzdužnog gibanja za slučaj kada

zadamo jedinični impulsni otklon kormila visine.

13.4.1 Primjer

Treba izračunati i nacrtati za zrakoplov iz prethodnog primjera odgovor u uzdužnom gibanju

na jedinični impuls otklona kormila visine.

Zadatak je riješen u MATLABu. Napravljen je program pod imenom Impuls.m", koji se

nalazi na CD-u u direktoriju "Dinamicka stabilnost\Uzduzna. Primijenili smo ga na

matrice A i B koje smo izračunali u prethodnom promjeru za mali zrakoplov. Iz dobivenih

rezultata na slikama 13-1, 13-2, 13-3 i 13-4 vidimo da su za poremećaje gibanja središta mase

u∆ i αϑγ ∆−∆=∆ dominantni dugoperiodični modovi, dok su za gibanje oko središta mase

α∆ dominantni kratkoperiodični modovi.

Page 337: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamička stabilnost uzdužnog gibanja 13-13

Slika 13-1 ( )tu∆ kao odgovor na jedinični impuls kormila visine

Slika 13-2 ( )tα∆ kao odgovor na jedinični impuls kormila visine

Page 338: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamička stabilnostuzdužnog gibanja 13-14

Slika 13-3 ( )tq∆ kao odgovor na jedinični impuls kormila visine

Slika 13-4 ( )tϑ∆ kao odgovor na jedinični impuls kormila visine

Page 339: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamička stabilnost uzdužnog gibanja 13-15

13.5 Odgovor na jedinični odskok (indicial admittance)

Ako je u realnom vremenu otklon kormila visine jedinični odskok

>≤

=0100

tt

mδ∆ , 13.32

onda je njegova Laplaceova transformacija ulaza

( )s

sm1

=δ∆ . 13.33

Izlaz iz linearnog sustava:

( ) ( ) ( )sss mmδδ ∆⋅=∆ GX

Kako je prijenosna funkcija poremećaja po otklonu kormila visine

( ) ( )( )sDss

n

NG =δ , 13.34

bit će izlaz u realnom vremenu za poremećaj:

( ) ( )( )

⋅=∆ −

sDssLt NX 1 13.35

( )sDs ⋅ je polinom petog reda koji ima četiri korijena karakteristične jednadžbe i peti korijen

jednak nuli: 0i4321 =5ss,s,s,s , a ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]Tqu sNsNsNsNs ϑα=N su poznati

polinomi trećega reda. Primjenom Heavisideova teorema bit će

( )( )( )( )

( )( )( ) ( )

( )( ) ( )( )

( )( )( )( )

( )43214342414

4

2313343

3

1224232

2

1413121

1

043

21

sssse

sssssssse

ssssssss

esssssss

sesssssss

s

tsts

tsts

NNN

NNX

+−−−

+−−−

+

+−−−

+−−−

=∆

13.36

Usporedimo ovo rješenje s onim koje smo dobili kao zbroj homogenog i partikularnog

rješenja kada je otklon kormila visine na jedinični odskok

KCX +=∆ ∑=

4

1i

tsi

ie 13.37

Izjednačavanjem ova dva rješenja dobivamo

( )( )( )( )

( )( )( )( )4232122

22

4131211

11

ssssssss

ssssssss

−−−=

−−−=

NC

NC

Page 340: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamička stabilnostuzdužnog gibanja 13-16

( )( )( )( )4323133

33 sssssss

s−−−

=NC 13.38

( )( )( )( )( )

4321

3424144

44

0ssss

ssssssss

NK

NC

=

−−−=

13.5.1 Primjer

Treba odrediti izlaz poremećaja varijabli stanja uzdužnog gibanja ako je ulaz jedinična

odskočna funkcija otklona kormila visine za laki zrakoplov kao iz prethodnog primjera.

Program je napisan u MATLAB-u pod imenom Odskok.m, a nalazi se na disketi u

direktoriju "Dinamicka stabilnost\Uzduzna ". Isti rezultati mogu se dobiti u MATLAB-u

pomoću rutine LSIM. To je sistemski program koji obavlja numeričku integraciju

diferencijalnih jednadžbi BeAXX +=& . Program koji poziva tu rutinu naziva se Odsk.m.

Nalazi se također na CD-u u istom direktoriju. Dobiveni dijagrami nacrtani su na slikama 13-

5, 13-6, 13-7 i 13-8.

Slika 13-5 ( )tu∆ na jedinični odskok kormila visine

Page 341: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamička stabilnost uzdužnog gibanja 13-17

Slika 13-6 ( )tα∆ na jedinični odskok kormila visine

Slika 13-7 ( )tq∆ na jedinični odskok kormila visine

Page 342: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamička stabilnostuzdužnog gibanja 13-18

Slika 13-8 ( )tϑ∆ na jedinični odskok kormila visine

Prvo uočimo da su poslije nekoliko dugih perioda poremećaji u∆ , α∆ i ϑ∆

konstantni i različiti od nule, dok je poremećaj 0=∆q . To znači da je letjelica prešla u drugi

ravnotežni let. Ta konstantna vrijednost na primjer za α∆ predstavlja razliku između

prvobitnog ravnotežnog leta i ovog drugog u kojem se nalazi poslije smirivanja.

13.6 Odgovor na harmonijsku pobudu

Posebno je zanimljiv odgovor letjelice ako je ulaz sinusna funkcija zato što se proizvoljan

otklon u funkciji vremena može uvijek spektralnom analizom prikazati kao zbroj sinusnih

funkcija različite učestalosti i amplitude.

Promatramo odgovor letjelice na sinusnu promjenu otklona kormila visine konstantne

učestalosti i jedinične amplitude. Pri tome ne promatramo početak gibanja letjelice već

ustaljeno uzdužno gibanje, jer je početni dio opterećen prijelaznim procesom koji se bolje

izučava odskočnim ulazom. Pretpostavljamo da je uzdužno gibanje stabilno, tj. da su realni

dijelovi korijena negativni.

Neka je ulaz

Page 343: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamička stabilnost uzdužnog gibanja 13-19

( ) tim et ωδ∆ = 13.39

Laplaceova transformacija ovog ulaza je

( )ω

δ∆is

sm −=

1 , 13.40

pa je odgovor letjelice

( ) ( )ω

∆isss

−=

GX . 13.41

Potražimo odgovor u realnom vremenu, tj. inverznu transformaciju ovog odgovora letjelice.

Kako je ( ) ( )( )sDss NG = bit će

( ) ( )( ) ( )

⋅−

=∆sDis

sLtωNX 1' . 13.42

Polinom ( ) ( )sDis ω− petoga je reda i ima četiri korijena 4321 ,,, ssss ista kao i karakteristični

polinom ( )sD i još jedan korijen koji je imaginaran ωis =5 . Zato primjenom Heavisideova

teorema razvoja dobivamo:

( ) ( )( )( )( )( )

( )( )( )( )( )

( )( )( )( )( )

( )( )( )( )( )

( )( )( )( )( )

ti

tsts

tsts

esisisisi

i

eisssssss

seisssssss

s

eisssssss

seisssssss

st

ω

ωωωωω

ωω

ωω

4321

4342414

4

3432313

3

2423212

2

1413121

1

43

21

−−−−+

+−−−−

+−−−−

+

+−−−−

+−−−−

=∆

N

NN

NNX

13.43

Kako smo uvjetovali da se radi o stabilnoj letjelici, realni dijelovi korijena 4321 ,,, ssss

moraju biti negativni pa prva četiri člana na desnoj strani iščezavaju poslije određenog

vremena pa na desnoj strani ostaje samo peti član koji predstavlja ustaljeni izlaz, dok prva

četiri predstavljaju prijelazni proces koji nas ovdje ne zanima.

( ) ( )( )( )( )( )

tiesisisisi

it ω

ωωωωω

4321 −−−−=∆

NX 13.44

Kompleksna amplituda može se prikazati u obliku trigonometrijskog broja. Npr. za napadni

kut bit će

( ) ( ) ( )ϕωωα += tieKt∆ 13.45

gdje je

( )( )( )( )( ) ( ) ( )ωϕα ω

ωωωωω ieK

sisisisiiN

=−−−− 4321

.

Page 344: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamička stabilnostuzdužnog gibanja 13-20

To znači da je ustaljeni izlaz pri harmonijskoj pobudi također harmonijska funkcija, ali koja

ima amplitudu ovisnu o veličini periode pobude, a periodičnost ima vremenski pomak

unaprijed za kut ϕ koji je također funkcija od veličine periode pobude.

13.6.1 Primjer

Za slučaj malog zrakoplova iz prethodnih primjera treba usporediti pojačanje na odskočni

otklon s pojačanjem na sinusni otklon kormila visine. Napravljen je program u MATLAB-u

pod pod imenom Odziv.m, u direktoriju Dinamicka stabilnost\Uzduzna na disketi. Kao

što se moglo očekivati, pri malim učestalostima pojačanje je jednako pojačanju na odskok.

Slika 13-9 Pojačanje ovisno o ω otklona kormila visine

Nakon toga dostiže maksimalnu vrijednost pri ω koja odgovara imaginarnom dijelu manjega

korijena, tj. učestalosti dugoperiodičnog moda. To je rezonanca. Pri tim učestalostima

pojačanje je suviše veliko i opasno. Uočimo da se ona pojavljuje u okolini učestalosti

dugoperiodičnog moda. U okolini učestalosti kratkoperiodičnog moda analiza pokazuje da

nema nikakve rezonance.

Page 345: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamička stabilnost uzdužnog gibanja 13-21

Slika 13-10 Fazni pomak ovisno o ω otklona kormila visine

13.7 Ocjena kvalitete neposrednog upravljanja uzdužnim gibanjem

Vlastite vrijednosti matrice A (korijeni karakteristične jednadžbe) jedna su od objektivnih

ocjena kvalitete zrakoplova. Ta se ocjena provodi na osnovi veličina koje ovise o korijenima

karakteristične jednadžbe. Letovi se svrstavaju u tri kategorije: A, B i C, a u svakoj kategoriji

letova zrakoplovi se svrstavaju u tri klase. Klase su određene uvjetima koji se postavljaju

korijenim akarakteristične jednadžbe, a ti uvjeti ovise o kategoriji leta

U kategoriju A spadaju letovi tijekom kojih se izvode brzi manevri i čije putanje

moraju biti vrlo precizne, kao na primjer borbeni zrakoplovi koji ciljaju za vrijeme leta, ili

letjelice koje tijekom leta moraju pratiti konfiguraciju Zemljišta itd.

U kategoriju B uvrštavaju se letovi tijekom kojih nema zahtjeva za velikim

manevarskim sposobnostima niti za velikom točnosti putanja, ali ti zahtjevi mogu biti

postavljeni u blažoj formi, kao npr. za slučaj zrakoplova koji opskrbljuje gorivom u letu druge

zrakoplove, zatim letovi za vrijeme penjanja i spuštanja te letovi pri odbacivanju praznih

spremnika goriva itd.

Page 346: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamička stabilnostuzdužnog gibanja 13-22

U treću kategoriju C spadaju letovi tijekom kojih nema velikih manevarskih zahtjeva,

ali se zahtijevaju precizne putanje da bi zrakoplov mogao doći u neku određenu putanju, kao

što su zrakoplovi koji se pune gorivom u letu, bombardiranja, polijetanje i slijetanje itd.

Dugoperiodičnim modovima se ocjenjuje klasa zrakoplova prema parametru gušenje

ζ ili prema vremenu 2τ za sve kategorije letova.

Prva klasa zrakoplova ima gušenje 04.0>ζ

Druga klasa zrakoplova ima 0>ζ

Treća klasa zrakoplova može biti s negušenim modom ako je .552 s>τ

Kratkoperiodičnih modova ocjenjuju se parametrom gušenja koji ima tri klase ovisno

o kategoriji leta prema tablici 13-1. Ako je gušenje malo, onda zrakoplov može imati vrlo

neugodna njihanja, a ako je gušenje jako, tada zrakoplov može biti trom (lijen). To znači da

imamo i gornju i donju granicu gušenja kratkoperiodičnih modova.

Tablica 13-1 ζ za kratko periodične modove

Kategorija A i C Kategorija B Klasa

od do od do

I 0.35 1.30 0.30 2.00

II 0.25 2.00 0.20 2.00

III 0.15 - 0.15 -

Tablica 13-2

α

ωn

n2

Kateg. A B C

Klasa od do od do od do

I 0.28 3.6 0.085 3.6 0.16 3.6

II 0.16 10.0 0.038 10.0 0.096 10.0

III 0.16 - 0.038 - 0.096 -

Isto tako propisuju se prema tablici 13-2 granice za odnos prirodne frekvencije

22 ωδω +=n kratkoperiodičnih modova prema gradijentu normalnog opterećenja po

napadnom kutu

Page 347: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamička stabilnost uzdužnog gibanja 13-23

WCSV

n Lref αα

ρ 221

=

13.7.1 Primjer

Provedimo ocjenjivanje malog zrakoplova iz prethodnih primjera prema ovim kriterijima.

Za dugoperiodično gibanje faktor gušenja je pri najvećoj masi

046.0237.00108.0

0108.02222=

+=

+=

ωδδζ .

Ova vrijednost odgovara za prvu klasu zrakoplova jer je 040.0>ζ .

Slika 13-11

Međutim mali zrakoplov može imati razne vrijdnosti mase tijekom leta. Zato smo napravili

program Dugoperiodicni.m koji se nalazi u direktoriju Dinamicka stabilnost\uzduzna, s

kojim kontroliramo ovaj uvjet od maksimalne do minimalne mase. Taj program crta krivulju

( )mζ , a na slici 13-11 nacrtana je i vrijednost minζ od koje mora biti veće ζ bez obzira na

masu m. S kružićem "o" označena je točka s najvećem masom za koju smo izračunali gušanje.

S dijagrama vidimo da uvjet za prvu klasu nije zadovoljen kad je masa manja od 730 kg.

Page 348: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamička stabilnostuzdužnog gibanja 13-24

Parametar gušenja kratkoperiodičnog gibanja za najveću masu ima vrijednost

53.091.345.2

45.22222=

+=

+=

ωδδζ .

Prema kriteriju za kratkoperiodično gibanje za letove grupe A treba biti

3.135.0 <<ζ

Taj uvjet zrakoplov ispunjava kada ima najveću masu. Pogledajmo pomoću programa

Kratkoperiodicni.m da li zrakoplov zadovoljava taj uvjet kada masa opada zbog potršnje

goriva ili zbog manjeg tereta. Program crta krivulju ( )mζ za kratkoperiodični mod i kao što

se vidi sa slike 13-12 uvjet je bolje zadovoljen kad je masa manja od maksimalne.

Slika 13-12

Konačno proverimo i uvjet za kratkoperiodične modove

6.328.02

<<α

ωn

n

Za maksimalnu masu bit će

61.4907.3447.2 2222 =+=+= ωδωn .

45.981,91088

72.406.151.530066.1 2212

21

=⋅

⋅⋅⋅⋅==

WCSV

n Lref αα

ρ

Page 349: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamička stabilnost uzdužnog gibanja 13-25

Traženi parametar ima vrijednost

25.245.961.4 22

==α

ωn

n

Prema kriteriju za kratkoperiodične modove, mali zrakoplov s maksimalnom masom, spada u

prvu klasu za letove A grupe. Pomoću programa Uvjeti.m pogledajmo da li pri manjim

masama zrakoplov ispunjava ovaj uvjet za kratkoperiodične modove. Rezultat toga programa

je slika 13-13 .

Slika 13-13

Vidimo da zrakoplov za sve vrijednosti mase od maksimalne do minimalne ispunajva uvjet za

kratkoperiodične modove.

Page 350: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamička stabilnostuzdužnog gibanja 13-26

Page 351: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamička stabilnost bočnog gibanja 14-1

14 DINAMIČKA STABILNOST BOČNOG GIBANJA

14.1 Modovi bočnog gibanja

Cjelokupan sustav diferencijalnih jednadžbi poremećaja zrakoplova s elisnim pogonom bio je:

m

oooq

ooT

oou

n

ooorp

o

ooTo

ou

Zu

Z

Zugq

ZuZu

ZuZ

uZumu

TZ

u

Y

ugr

uY

puY

uY

gXumu

TXu

m

n

δ∆ϑ∆ϑ

∆α∆∆

α

α∆

δ∆φ∆ϑ∆∆β∆β∆

ϑ∆ϑα∆∆α

α

δ

ααα

α

α

δβ

α

0000000000

0000

0

0

sinsin

cos1

coscos

&&&&&

&

&

&

−+

−−

++

−+

−=

++

+−++=

−+

−=

nrp

m

o

oq

o

q

ooT

oou

nrp

n

m

m

n

NNrNpNNr

ZuZM

M

qZuZu

MMZu

gMZuZMMu

Zumu

TZMq

LLrLpLLp

δδβ

δ

ϑϑ

α

α

δδβ

δδβ

α

δαδ

αα

α

α

α

ααα

αα

δδβ

∆+∆+∆+∆+∆=∆

−++

+++∆

−−∆

++∆−

−=∆

∆+∆+∆+∆+∆=∆

00000

00

00

0000

00

0

00

00

000

00000

sinsin

l

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

l

l

l

&

&

&

0

0

cos

tan

θψ

ϑ

ϑφ

rq

rp

∆=∆

∆=∆

∆+∆=∆

&

&

&

Prva, treća, peta i osma bile su jednadžbe uzdužnog gibanja koje smo proučili u prethodnom

poglavlju. Preostalih pet jednadžba

0

0

00000

00000

0000

0

0

cos

tan

cos1

θψ

ϑφ

δδβ

δδβ

δφϑββ

δδβ

δδβ

δβ

rrp

NNrNpNNr

LLrLpLLp

uY

ugr

uYp

uY

uY

nrp

nrp

n

ooorp

o

n

n

n

∆∆

∆∆∆

∆∆∆∆∆∆

∆∆∆∆∆∆

∆∆∆∆∆∆

=

+=

++++=

++++=

++

+−++=

&

&

&

&

&

l

l

l

l

14.1

odnose se na skretanje i valjanje. Možemo ih riješiti neovisno o uzdužnom gibanju, ali ova

dva gibanje (skretanje i valjanje) ne možemo rastaviti jer su im jednadžbe spregnute, tj.

Page 352: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamička stabilnost bočnog gibanja 14-2

moramo ih simultano rješavati. Zato ta dva simultana gibanja, skretanje i valjanje, zajednički

nazivamo bočno gibanje. Zadnja jednadžba definira kut skretanja letjelice, a on se ne

pojavljuje u prethodnim jednadžbama. Zato se ovaj sustav raspada na četiri + jedna

jednadžba. Prve četiri jednadžbe:

rp

NNrNpNNr

LLrLpLLp

uY

ugr

uYp

uY

uY

nrp

nrp

n

ooorp

o

n

n

n

∆+∆=∆

∆+∆+∆+∆+∆=∆

∆+∆+∆+∆+∆=∆

∆+∆+∆

+−+∆+∆=∆

0

00000

00000

0000

0

0

tan

cos1

ϑφ

δδβ

δδβ

δφϑββ

δδβ

δδβ

δβ

&

&

&

&

l

l

l

l 14.2

imaju varijable

[ ]Trp φβ ∆∆∆∆ ,

a petu varijablu ψ∆ ako je trebamo rješavamo naknadno. I ovdje smo dobili nehomogene

linearne diferencijalne jednadžbe oblika:

∆∆

+

∆∆∆∆

=

∆∆∆∆

nrp

rl

rp

n

n

n

NNLLuY

rp

NNNLLL

ug

uY

uY

uY

rp

dtd

δδ

φ

β

ϑ

ϑ

φ

β

δδ

δδ

δ

β

β

β

l

l

l

00

0

0tan1000

cos1

00

00

0

0

0

000

000

0

0

0

0

0

0

0

0

14.3

koje kraće pišemo

BeXAX += ∆∆dtd . 14.4

U toj matričnoj jednadžbi poremećaja bočnog gibanja, vektor stanja ima četiri komponente

[ ]Trp φ∆∆∆β∆∆ =X , a vektor upravljanja [ ]Tne δ∆δ∆ l= , za razliku od uzdužnog

gibanja, ima dvije dimenzije. Matrica sustava i matrica upravljanja su

=

0tan1000

cos1

0

000

000

0

0

0

0

0

0

0

0

ϑ

θ

β

β

β

rp

rp

rp

NNNLLL

ug

uY

uY

uY

A

=

00

0

00

00

0

0

n

n

n

NNLLu

Y

δδ

δδ

δ

l

lB 14.5

Kao što vidimo matrica A je opet četvrtog reda pa je i karakteristični polinom bočnog gibanja

( ) JA ssD −= 14.6

polinom četvrtoga reda kao i u slučaju uzdužnog gibanja, koji mora biti jednak 0 da bi

postojalo homogeno rješenje:

Page 353: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamička stabilnost bočnog gibanja 14-3

( ) 0012

23

34 =++++= dsdsdsdssD 14.7

Taj polinom ima četiri korijena 4321 i,, ssss Korijene određujemo u MATLAB-u na isti

način kao i u slučaju uzdužnog gibanja pomoću sistemskih rutina

( )( ) ,ps

Aprootpoly

==

gdje su [ ]43211 dddd=p koeficijenti karakterističnog polinoma matrice A.

Homogeno rješenje je oblika:

=

ts

ts

ts

ts

rrrr

pppp

h

h

h

h

eeee

CCCCCCCCCCCCCCCC

rp

4

3

2

1

4321

4321

4321

4321

φφφφ

ββββ

φ∆∆∆β∆

14.8

a možemo ga napisati u obliku:

tstststs eeee 4321432 CCCCX 1h +++=∆ 14.9

Svakom korijenu, tj. svakom članu tsie gibanja, odgovara jedan vektor konstanta, a to znači

da vektor iC uz član tsie ima 4 konstante, tj. [ ]Tiripiii CCCC φβ=C , prva je u

jednadžbi za β∆ , druga u jednadžbi za p∆ , treća u jednadžbi za r∆ i četvrta u jednadžbi za

φ∆ .

Partikularni integral pX∆ tražimo u obliku konstantnog vektora za slučaj konstantnog

odskoka otklona lδ∆ i nδ∆ pa on mora zadovoljiti jednadžbu

eBXA ∆∆ += p0

u kojoj je vektor upravljanja e∆ konstantan. To znači da je

eBAXp ∆∆ 1−−= 14.10

Kao i u slučaju uzdužnog gibanja, uvodimo matricu aerodinamičkog pojačanja bočnog

gibanja

BAK 1−−= 14.11

koja ima dva stupca svaki s četiri člana, jer imamo dva parametra upravljanja.

Konačno, bočno gibanje je zbroj homogenog i partikularnog integrala:

⋅+=∑

= n

l

i

tsieδ∆δ∆

∆ KCX i

4

1

. 14.12

Page 354: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamička stabilnost bočnog gibanja 14-4

14.1.1 Primjer

Za laki putnički zrakoplov za koji smo odredili modove uzdužnog gibanja treba odrediti

modove bočnog gibanja. Potrebne karakteristike za bočno gibanje su

;77.809.15 2

mbmS

==

masene karakteristike:

kgm .1088= 21450 mkgI X ⋅= 23134 mkgI Z ⋅= ;

aerodinamičke karakteristike (vidi primjere 5.4.3, 5.5 i 5.4.4):

137.0119.0

0283.0317.0

==

−=

−=

nY

Yr

Yp

Y

CCCC

δ

β

0122.0

517.0

056.075.0

193.0

105.0

=

=

+=

−=

−=

nC

C

C

C

C

r

p

δ

δ

β

α

l

l

l

l

l

l

0721.0

0344.0

0604.0

0143.0

154.0

−=

−=

−=

=

=

nn

n

rn

pn

n

C

C

C

C

C

δ

δ

β

l

Zrakoplov leti horizontalno brzinom smV 1.53= pa je 03.3=== ravT ααϑ , pa je

0992.0056.03.573.375.0 =+⋅=rCl

Rješenje pomoću MATLAB-a dano je u programu koji se zove ABroot.m, a nalazi se

na CD-u u direktoriju "Dinamicka stabilnost\Bocna":

00.05771000.5981-0.14169.233602.12324.1309-13.6073-

0.18440.9927-0.0017- 0.1176-

= A

−−003230.40626.2

5810.19997.660508.00

= B

Korijeni su

0.0634 si3.0327- -0.3389si3.0327 -0.3389s

-4.2323= s

4

3

2

1

==

+=

Kao što vidimo iz ovog primjera bočno gibanje ima tri tipa korijena karakteristične jednadžbe:

• negativni realni korijen kome odgovara aperiodični mod,

• konjugirano kompleksni korijen kome odgovara gušeni harmonijski mod, tzv.

Dutch mod,

• jedan mali realni korijen koji može biti pozitivan kome odgovara aperiodični mod,

tzv. spiralni mod.

Page 355: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamička stabilnost bočnog gibanja 14-5

14.2 Prijenosne funkcije po otklonu kormila pravca ili krilaca

Općenito uzevši, analiza bočnoga gibanja po otklonu kormila pravca ista je kao analiza

uzdužnoga gibanja zbog otklona kormila visine. Međutim s obzirom na druge vrijednosti

matrica A i B rezultat analize je različit.

Laplace-ova transformacija linearnog sustava bočnog gibanja je

( ) ( ) ( )ssss eBXAX ⋅+⋅= ∆∆ . 14.13

Matrice A i B su konstantne (jednadžbe 14.5), a vektor upravljanja ( )se ima dvije

komponente koje su Laplace-ova transformacija zadanih funkcija ( )tlδ∆ i ( )tnδ∆ . Zbog

linearnog karaktera odgovor na istodobne otklone kormila pravca i krilca bit će zbroj

odgovora na otklon samo kormila pravca i samo krilca. Zato ćemo te odgovore analizirati

odvojeno.

Pretpostavimo da nema otklona krilaca već je otklonjeno samo kormilo pravca. Tada

linearni sustav jednadžbi 14.13 ima oblik:

( ) ( ) ( )ssss nδ∆+∆⋅=∆ 2BXAX 14.14

gdje je matrica A

=

0tan1000

cos1

0

000

000

0

0

0

0

0

0

0

0

ϑ

θ

β

β

β

rp

rp

rp

NNNLLL

ug

uY

uY

uY

A 14.15

a matrica 2B je drugi stupac od matrice B (jednadžba 14.5)

=

0

0

0

0

0

2

n

n

n

NLuY

δ

δ

δ

B 14.16

Ako nema otklona kormila pravca ( ) 0=∆ tnδ , ali su otklonjena krilca onda je Laplace-ova

transformacija linearnog sustava bočnog gibanja

( ) ( ) ( )ssss lδ∆+∆⋅=∆ 1BXAX 14.17

Matrica A je ista kao i u prethodnom slučaju, ali matrica 1B je prvi stupac od matrice B.

Page 356: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamička stabilnost bočnog gibanja 14-6

=

0

0

0

0

1l

l

δ

δ

NL

B 14.18

U oba slučaja uvodimo prijenosne funkcije bočnog gibanja:

• po otklonu kormila pravca.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

T

nnnn

Trp

ss

ssr

ssp

ss

sGsGsGsGsnnnnn

∆∆

∆∆

∆∆

∆∆

=

==

δφ

δδδβ

δφδδδβδG

14.19

gdje su φβ ∆∆∆∆ i,, rp odgovori na otklon nδ∆ ,

• po otklonu krilca

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

T

nnnn

Trp

ss

ssr

ssp

ss

sGsGsGsGs

∆∆

∆∆

∆∆

∆∆

=

==

δφ

δδδβ

δφδδδβδ lllllG

14.20

gdje su φβ ∆∆∆∆ i,, rp odgovori na otklon lδ∆ .

Poslije smjene ( )( ) ( )sss

nn

δδGX

=∆∆ u jednadžbe 14.14 i ( )

( ) ( )sss

l

l

δδGX

=∆∆ u jednadžbu 14.17

dobivamo sustave algebarskih jednadžbi koji određuje prijenosne funkcije

( ) ( ) 2BGJA −=⋅− ssnδ

14.21

( ) ( ) 1BGJA −=⋅− sslδ

14.22

Rješenjem ovih sustava algebarskih jednadžbi dobivamo prijenosne funkcije

( ) ( )( )sD

ss nδ

δ

NG

n= 14.23

( ) ( )( )sD

ss nδ

δ

NG =

l 14.24

Polinomi ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]Trp sNsNsNsNsnnnnn δφδδδβδ =N trećeg reda predstavljaju vrijednosti

determinanta koje dobivamo kada u determinantu sustava JA s− zamjenimo odgovarajući

stupac uz poremećaj sa stupcem 2B (drugim stupcem matrice B) kome prethodno

promijenimo predznak.

Page 357: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamička stabilnost bočnog gibanja 14-7

Isto tako dobivamo polinome ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]Trp sNsNsNsNslllll δφδδδβδ =N stim da

stupce u determinanti JA s− zamjenjujemo sa stupcem 1B . Uočimo da je determinanta

sustava JA s− ista za otklone kormila pravca i krilca.

14.3 Odgovor na impuls kormila pravca ili krilaca

Kada znamo prijenosne funkcije lako je odrediti odgovor na neki određeni otklon kormila

pravca ili krilaca. Taj odgovor bit će u Laplace-ovom području

( ) ( ) ( )sss nnδδ ∆⋅=∆ GX

( ) ( ) ( )sss llδδ ∆⋅=∆ GX

Ako je ( ) 1=∆ snδ , onda je

( ) ( )ssnδ

GX =∆ 14.25

ili ako je ( ) 1=∆ slδ , onda je

( ) ( )sslδ

GX =∆ 14.26

Kao i u slučaju uzdužnog gibanja izlaze veličine u realnom vremenu ( )tX∆ zbog jediničnog

impulsa označimo sa

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]Trp shshshshs φβ=h .

One će biti jednake inverznim Laplace-ovim transformacijama od prijenosnih funkcija

( ) ( )[ ]sLtnδ

Gh 1−= , 14.27

ili

( ) ( )[ ]sLtlδ

Gh 1−= , 14.28

Te inverzne transformacije vršimo primjenom Heavisideova teorema razvoja. jer su

prijenosne funkcije, određene jednadžbama 14.23 i 14.24, pravi razlomci koji u brojniku

imaju polinome trećeg reda ( )sn

Nδ ili ( )slδ

N , a i nazivniku sve prijenosne funkcije imaju isti

polinom četvrtog reda ( )sD čiji su korijeni 4321 si,, sss .

( ) ( )( )

( )( )( )( )

( )( )( )( )

( )( )( )( )

( )( )( )( ) .43

21

342414

4

432313

3

423212

2

413121

11

tsts

tsts

essssss

sessssss

s

essssss

sessssss

ssDsLt

−−−+

−−−+

+−−−

+−−−

=

= −

NN

NNNh 14.29

Page 358: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamička stabilnost bočnog gibanja 14-8

Ukoliko tražimo odgovor na impuls kormila pravca treba uzeti polinome ( )sn

Nδ , a odgovor

na impuls krilaca dobivamo uvrštavanjem polinoma ( )slδ

N . U oba slučaja, imamo u realnom

vremenu odgovore na impuls kormila pravca ili krilca, u obliku

( ) tstststs eeeet 43214321 CCCCh +++= . 14.30

14.3.1 Primjer

Pogledajmo odgovore našeg malog zrakoplova čije smo korijene karakteristične jednadžbe

bočnog gibanja već odredili. Prvo ćemo analizirati odgovore na impulsi otklon kormila

pravca. Oni su određeni primjenom programa impuls.m, koji se nalazi na disketi u direktoriju

"Dinamicka stabilnost\Bocna", a koji je sličan onom koji smo koristili za uzdužno gibanje.

U programu matrica B ima dva stupca: prvi stupcu za slučaj otklona krilaca, a drugi za slučaj

otklona kormila pravca pa je zato za analizu odgovora na impuls kormila pravca potrebno

staviti parametar ib=2. Rezultati su prikazani dijagramima na slikama 14-1, 14-2, 14-3 i 14-4.

Slika 14-1 ( )tu∆ za jedinični impuls kormila pravca

Page 359: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamička stabilnost bočnog gibanja 14-9

Slika 14-2 ( )tp∆ za jedinični impuls kormila pravca

Slika 14-3 ( )tr∆ za jedinični impuls kormila pravca

Page 360: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamička stabilnost bočnog gibanja 14-10

Slika 14-4 ( )tφ∆ za jedinični impuls kormila pravca

Slika 14-5 ( )tβ∆ zbog impulsa krilca

Page 361: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamička stabilnost bočnog gibanja 14-11

Slika 14-6 ( )tp∆ zbog impulsa krilca

Slika 14-7 ( )tr∆ zbog impulsa krilca

Page 362: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamička stabilnost bočnog gibanja 14-12

Slika 14-8 ( )tφ∆ zbog impulsa krilca

Za analizu odgovora na impuls krilca treba staviti u program ib=1. Rezultati su na slikama

14-5, 14-6 14-7 i 14-8. Kao što vidimo s ovih dijagrama Dutch mod dao je početne ali gušene

titraje, dok je spiralni mod (pozitivni korijen) uzrok stalnom porastu poremećaja poslije

gušenja Dutch moda. Srećom to povećanje poremećaja nije brzo te je pilot u mogućnosti

ručno ga korigirati.

14.4 Odgovor na odskok kormila pravca ili krilca

Ako tražimo odgovor na jedinični odskok kormila pravca ili krilaca. Laplace-ova je

transformacija od jediničnog odskoka je s1 , pa je u Laplace-ovom području

( ) ( )sss GX =∆

ili u realnom vremenu :

( ) ( )( )

=∆ −

sDssLt NX 1

Page 363: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamička stabilnost bočnog gibanja 14-13

s tim da treba uzeti polinome ( )sn

Nδ u slučaju odskoka kormila pravca, odnosno ( )slδ

N u

slučaju odskoka krilaca. Polinom ( )sDs ⋅ petog je reda koji ima četiri korijena od

karakteristične jednadžbe bočnog gibanja 4321, ssss i peti korijen koji je jednak nuli

05 =s . Primjenom Heavisideova teorema bit će poremećaji bočnog gibanja u realnom

vremenu

( )( )( )( )

( )( )( ) ( )

( )( ) ( )( )

( )( )( )( )

( )43214342414

4

2313343

3

1224232

2

1413121

1

043

21

sssse

sssssssse

ssssssss

esssssss

sesssssss

s

tsts

tsts

NNN

NNX

+−−−

+−−−

+

+−−−

+−−−

=∆

14.31

To rješenje možemo napisati u obliku

( ) ∑=

+=∆4.1i

tsi

ies KCX 14.32

I ako su rješenja po obliku ista za odskok kormila pravca i krilca, poremećaji bočnog gibanja

bit će različiti zato što smo polinome ( )sn

Nδ dobili pomoću stupca 2B , a polinome ( )slδ

N

pomoću stupca 1B . Podsjetimo se, da su u oba slučaja korijeni 4321, ssss isti, dva

kompleksno konjugirana korijena daju Dutch mod, jedan realan ali negativan daje aperiodičan

mod i konačno jedna realan i pozitivan, ali mali, daje spiralni mod u oba odgovora.

14.4.1 Primjer

Za mali zrakoplov odredili smo odgovore na jedinični odskok kormila pravca i zatim i krilaca

pomoću programa otsk.m (nalazi se u istom direktoriju na CD-u). Rezultati su prikazani za

slučaj odskoka kormila pravca dijagramima na slikama 14-9, 14-10, 14-11 i 14-12. Program

je napravljen korištenjem naredbe LSIM iz MATLAB-a pomoću koje se definira jedan

linearni sistem tipa

( ) ( )sss eBXAX ⋅+∆⋅=∆⋅

u kome vektor upravljanja e ima dva stupca: prvi definira otklon krilaca na svakom koraku

integracije, a drugi otklon kormila pravca također u svakom koraku integracije. I u ovom

slučaju analizom poremećaja na odskok kormila pravca vidimo da poslije smirivanja Dutch

moda svi poremećaji polako rasu zbog spiralnog moda (pozitivni realni korijen).

S istim programom otsk.m analizirali smo i poremećaje bočnog gibanja zbog odskoka

krilca, a rezultati su prikazani na slikama 14-13, 14-14, 14-15 i 14-16.

Page 364: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamička stabilnost bočnog gibanja 14-14

Slika 14-9 ( )tβ∆ za jedinični odskok kormila pravca

Slika 14-10 ( )tp∆ za jedinični odskok kormila pravca

Page 365: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamička stabilnost bočnog gibanja 14-15

Slika 14-11 ( )tr∆ za jedinični odskok kormila pravca

Slika 14-12 ( )tφ∆ za jedinični odskok kormila pravca

Page 366: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamička stabilnost bočnog gibanja 14-16

Slika 14-13 ( )tβ∆ zbog odskoka krilca

Slika 14-14 ( )tp∆ zbog odskoka krilca

Page 367: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamička stabilnost bočnog gibanja 14-17

Slika 14-15 ( )tr∆ zbog odskoka krilca

Slika 14-16 ( )tφ∆ zbog odskoka krilca

Page 368: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamička stabilnost bočnog gibanja 14-18

Iako odksok krilaca ne bi trebao utjecati na kut klizanja vidimo da se zbog njega ipak pojavio

kut klizanja. Taj je kut vrlo mali tako da su posljedice male i spore, te ih pilot može bez

teškoće otkloniti. Isto tako loša posljedica pozitivnog korijena je i pojava kutne brzina

skretanja, koju pilot također može ručno poništiti. Međutim, odskok krilaca daje poslije

prijelaznog procesa kutnu brzinu valjanja koja raste s vremenom, a ona uzrokuje kut valjanja

koji još brže raste s vremenom. To znači da se ne može upravljati kutom valjanja. Očigledno

je da se željeni kut valjanja ne može postaviti otklonom krilaca, kao što se to može učinili s

napadnim kutom otklonom kormila visine. U slučaju napadnog kuta, upravljački moment,

stvoren otklonom kormila visine, povećava napadni kut, a s povećanjem napadnog kuta za

statički stabilne letjelice stvara se suprotan moment (efekt opruge) koji uravnotežuje

upravljački moment. I upravo u toj ravnoteži postižemo željeni napadni kut (ravnotežni

napadni kut). To se ne može postići pri valjnju jer ne postoji moment valjanja koji je

proporionalan kutu valjnja i suprotnog smjera (efekta opruge). U valjanju postoji samo

moment proporcionalan otklonu krilaca. Zbog toga direktnim otklonom krilaca ne možemo

postaviti željeni kut valjanja.

14.5 Odgovor na harmonijski otklon kormilom pravca ili krilaca

Tražimo odgovor letjelice na harmonijski otklon kormila pravca ( ) tin et ωδ =∆ ili krilaca

( ) tiet ωδ =∆ l . U oba slučaja Laplace-ovu transformaciju ove pobude je

ωis −

1

pa su poremećaji bočnog gibanja

( ) ( )ωisss

−=∆

GX .

s tim da uzmemo odgovarajući set prijenosnih funkcija po kormilu pravca ili krilaca. U

realnom vremenu poremećaji bočnog gibanja bit će određeni inverznom Laplace-ovom

transformacijom

( ) ( )( ) ( )

⋅−

=∆ −

sDissLt

ωNX 1 .

u kojoj opet trebamo uzeti odgovarajuće polinome ( )sn

Nδ za slučaj otklona kormila pravca,

odnosno ( )slδ

N u slučaju otklona krilaca.

Page 369: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamička stabilnost bočnog gibanja 14-19

Polinom u nazivniku ( ) ( )sDis ⋅− ω petoga je reda i ima četiri korijena ista kao i

karakteristični polinom bočnog gibanja ( )sD , a peti korijen je ωis = . Primjenom

Heavisideova teorema razvoja dobivamo:

( ) ( )( )( )( )( )

( )( )( )( )( )

( )( )( )( )( )

( )( )( )( )( )

( )( )( )( )( )

ti

tsts

tsts

esisisisi

i

eisssssss

seisssssss

s

eisssssss

seisssssss

st

ω

ωωωωω

ωω

ωω

4321

4342414

4

3432313

3

2423212

2

1413121

1

43

21

−−−−+

+−−−−

+−−−−

+

+−−−−

+−−−−

=∆

N

NN

NNX

14.33

Od četiri korijena karakteristične jednadžbe bočnog gibanja, jedan je realan i pozitivan i zbog

toga jedan od prva četiri člana na desnoj strani tijekom vremena raste, dok tri iščezavaju

(aperiodični mod i Dutch mod). Peti član

( ) ( )( )( )( )( )

tiesisisisi

it ω

ωωωωω

4321 −−−−=∆

NX

predstavlja mod bočnog gibanja zbog harmonijskog otklona kormila pravca. Kompleksna

amplituda ovog moda može se prikazati u obliku trigonometrijskog broja, pa taj mod ima

oblik

( ) ( ) tieK ωωϕω +⋅ . 14.34

Taj mod bit će u svakoj varijabli bočnog poremećaja. Vidimo da je on također harmonijska

funkcija. Njegova amplituda ovisi o kutnoj brzini pobude, a periodičnost moda ima vremenski

pomak unaprijed za kut također u funkciji kutne brzine. Pri tome svaka varijabla bočnog

gibanja ima svoje funkcije ( )ωK i ( )ωϕ . Zato što je amplituda pobude bila jedinična,

amplituda ( )ωK predstavlja pojačanje amplitude u odgovoru.

14.5.1 Primjer

Za mali zrakoplov pomoću programa odziv.m, koji se nalazi u direktoriju Dinamička

stabilnost \bocna na CD-u, nacrtane su na slikama 14-17 i 14-18 funkcije ( )ωK i ( )ωϕ za

kut skretanja (m=1). Na tim slikama vidimo da i ovdje postoji rezonanca u području periode

Dutch moda. Rezonanca postoji i na otklon kormila pravca i na otklon krilaca, ali je dva puta

veća na otklon kormila pravca. Međutim pri analizi uzdužnog gibanja rezonanca napadnog

kuta na otklon kormila visine bila je znatno veća.

Page 370: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamička stabilnost bočnog gibanja 14-20

Slika 14-17 Pojačanje kuta klizanja ( )ωK u funkciji kutne brzine pobude kormila pravca

Slika 14-18 Pomak kuta klizanja ( )ωϕ u funkciji kutne brzine kormila pravca

Page 371: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamička stabilnost bočnog gibanja 14-21

Slika 14-19 Pojačanje kuta ( )ωK klizanja na otklon krilca

Slika 14-20 Fazni pomak kuta klizanja ( )ωϕ na otklon krilca

Page 372: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamička stabilnost bočnog gibanja 14-22

Tamo je maksimalno pojačanjeza mali zrakoplov bilo reda veličine 45, dok je ovdje

maksimalno pojačanje za otklon kormila pravca oko 2.1, a za otklon krilaca 1.1.

14.6 Ocjena kvalitete direktnog upravljnja bočnog gibanja

Prvi kriterij odnosi se na ocjenu aperiodičnog moda (mod koji odgovara realnom negativnom

korijenu) upotrebljava se parametar vremenska konstanta. Kada je realni koren negativan,

recipročna vrijednost s promijenjenim predznakom korijena naziva se vremenska konstanta

moda. Ona pokazuje koliko brzo iščezava aperiodičan mod.

Tablica 14-1

Maksimalna vremenska konstanta maxτ

Razina kvalitete Kategorija

leta

Klasa

zrakoplova 1 2 3

A I, IV 1.0 1.4 10

II, III 1.4 3.0 10

B svi 1.4 3.0 10

C I, II-C, IV 1.0 1.4 10

II-L, III 1.4 3.0 10

U tablici 14-1 dane su prema [14, 17], dopuštene maksimalne vrijednosti za vremensku

konstantu moda. Te vrijednosti ovise ne samo o kategoriji letova (A, B i C vidi 13.7) već i o

klasifikaciji zrakoplova. Zrakoplovi se svrstavaju u četiri klase, s tim da se druga klasa dijeli

još u dvije pod klase:

• prvu klasu čine mali laki zrakoplovi;

• drugu klasu čine zrakoplovi srednje težine i srednje manevarske sposobnosti koji

se dijele u dvije pod klase:

o II-C (carrier operation)

o II-L (land operation)

• u trećoj klasi su teški zrakoplovi male do srednje manevarske sposobnosti;

• četvrtu klasu čine zrakoplovi velike manevarske sposobnosti.

Drugi kriterij kvalitete bočnog gibanja odnosi se na Duch mod (gušeno harmonijsko

gibanje) od kompleksno konjugiranih korijena. Ovisno o kategoriji leta, razini kvalitete i klasi

zrakoplova zahtijevaju se tri uvjeta:

Page 373: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamička stabilnost bočnog gibanja 14-23

• prvi uvjet minδ

• drugi uvjet ( )min22

min ωδω +=n

• treći uvjet minζ

Pregled ovih minimalnih vrijednosti dat je u tablici 14-2.

Tablica 14-2 Minimlani uvjeti za Duch mod

minδ minnω minζ Razina

kvalitete

Kategorija

leta

Klasa

zrakoplova -

I, IV 0.35 1.0 0.19 A

II, III 0.35 0.4 0.19

B svi 0.15 1.0 0.08

I, II-C, IV 0.15 1.0 0.08

1

C

II-L, III 0.15 0.4 0.08

2 sve svi 0.05 0.4 0.02

3 sve svi - 0.4 0.02

Konačno treći kriterij se odnosi na spiralni mod (mod od pozitivnog realnog

korijena), tj. onaj koji je nestabilan. Jasno je da on mora imati propisano minimalno vrijeme

za koje će udvostruči amplitudu. Te propisane vrijednosti za vrijeme udvostručenja amplitude

dane su u tablici 14-3 za razne razine kvalitete ovisno o klasi zrakoplova i kategoriji leta .

Tablica 14-3 Minimalno vrijeme udvostručavanja min2t

Razina kvalitete Klasa zra-

koplova

Kategorija

leta 1 2 3

A 12 12 4.0 I i IV

B i C 20 12 4.0

II i III svi 20 12 4.0

Page 374: Mehanika Leta Zrakoplova

Dinamička stabilnost bočnog gibanja 14-24

14.6.1 Primjer

Vremenska konstanta aperiodičnog moda iznosi

236.0232.411

1

==−

=s

τ

Prema postavljenom kriteriju, ova je vrijednost znatno ispod postavljene granice 00.1max =τ

za letove A s prvom klasom i najboljom kvalitetom zrakoplova. To je slučaj

Tri uvjeta za Dutch mod

Apsolutnu vrijednost realnog dijela korijena

339.0=δ ,

a prema kriterijima za letove A realni dio korena treba biti veći od 35.0 za prvu klasu

zrakoplova. Znači da mali zrakoplov ne udovoljava tom uvjetu.

Modul korijena je

05.3033.3339.0 2222 =+=+ωδ ,

a prema kriteriju on treba bti veći od 1, što je zadovoljeno

Faktor gušenja

111.005.3

339.022

==+

=ωδ

δζ

a prema kriteriju za letove A za zrakoplove prve klase taj faktor treba biti veći od 0.19. Ni

ovdje mali zrakoplov ne udovoljava tom zahtjevu

Međutim, za letove B, mali zrakoplov udovoljava sva tri uvjete za prvu klasu.

Konačno, spiralni mod (onaj koji je nestabilan, zbog realnog pozitivnog korijena) ima

vremensku konstantu

9.100634.0

2ln2ln

4

===s

t

što je iznad propisanog minimuma 12 s. na letovima A za prvu klasu zrakoplova.

Time smo provjerili uvjete samo u slučaju kada je masa maskisimalna, a režim leta

odgovara najvećem doletu. Potrebno je prevjeriti ove uvjete i za druge slučajeve. Zato smo

napravili program u MATLAB-u koji se zove uvjeti.m nalazi se na CD-u u direktoriju

Dinamicka stabilnost\bocna . Taj program provjerava sve ove uvjete od maksimalne mase

(četiri člana posade, puni spremnici goriva i najveća dozvoljena prtljaga) do minimalne mase

(prazan zrakoplov). Dijagrami dobiveni programom pokazuju da se u cijelom intervalu od

maksimalne do minimalne mase rezultati isti kao za maksimalnu masu.

Page 375: Mehanika Leta Zrakoplova

Prilozi A-1

A MAKSIMALNI UZGON KRILA Ovaj postupak procjene maksimalnog koeficijenta uzgona krila CL max i napadnog kuta αmax

prema [18], razlikuje se za krila male vitkosti od postupka procjene za krila velike vitkosti.

Granica malih i velikih vitkosti krila A B ovisi o Machovu broju kao i o obliku krila.

( )[ ]A

Ma

CBLE

=−

+

3 1

1

2

1 λ cosΛ A.1

λ je suženje krila, odnos vršne prema korijenskoj tetivi krila, a LEΛ je strijela prednjeg

napadnog ruba krila. Eksperimentalna funkcija ( )C1 λ prikazana je na slici A-1

Slika A-1. Funkcija ( )C1 λ

Ako je krilo male vitkosti, tj. ako je A A B< ,onda je

( ) ( )

( ) ( )C f A f A Ma

f A f A Ma

L L y L

a

max

max

, ,

,

= ′ + ′′

= ′ + ′′

∆ ∆

∆α α

A.2

Uz već objašnjeni parametar ∆ y , koji predstavlja utjecaj oblika prednjeg ruba na maksimalni

koeficijent uzgona, pojavljuju se još dva parametra:

( )

( ) LE

LE

ACA

Ma

ACA

Λ

Λ

tan1

1

cos1

2

21

+=′′

−+=′

A.3

U ovim parametrima pojavljuje se još jedna funkcija od suženja krila ( )C2 λ . Ona je

prikazana na slici A-2.

Page 376: Mehanika Leta Zrakoplova

Prilozi A-2

Slika A-2. Funkcija ( )C 2 λ

Eksperimentalne funkcije fL i fα ovisno o ovim parametrima prikazane su na slikama A-3 i

A-4. Na tim dijagramima je Y∆ označeno s Dy.

Slika A-3. Funkcija ( )f AL y′, ∆

Funkcije ∆fL i ∆fα dane su dijagramima na slikama A-5 i A-6.

Za krila velike vitkosti, a to su krila koja imaju A A B> , koeficijent maksimalnog

uzgona krila maxLC za 6.02.0 ≤≤ Ma zbroj je dvaju dijelova :

Page 377: Mehanika Leta Zrakoplova

Prilozi A-3

Slika A-4. Funckija ( )f Aα ′

Slika A-5. Funckija ( )∆f A MaL ′′,

Slika A-6. Funkcija ( )∆f A Maα ′′,

Page 378: Mehanika Leta Zrakoplova

Prilozi A-4

maxmaxmax LLL CCfC ∆+= ll A.4

• Prvi dio maxllCf L , koeficijent maksimalnog uzgona krila pri 2.0=Ma proporcionalan je

maksimalnom uzgonu profila krila. Koeficijent proporcionalnosti lLf ovisi o strijeli

napadnog ruba LEΛ i o parametru Y∆ . Ta ovisnost prikazana je na dijagramu slike A-7, a

koeficijent maksimalnog uzgona profila maxlC koji ovisi o relativnoj debljini ct prikazan

je na slici A-8.

Slika A-7. Funkcija ( )f fL L LE yl l= Λ ∆,

Slika A-8. Maksimalni koeficijent uzgona profila maxlC u ovisnosti o relativnoj debljini ct

Page 379: Mehanika Leta Zrakoplova

Prilozi A-5

• Drugi dio maxLC∆ predstavlja korekciju maksimalnog uzgona krila za ∆M Ma= − 0 2. . Ta

korekcija je negativna. Osim Ma∆ ta korekcija ovisi o strijeli napadnog ruba LEΛ i o

parametru Y∆ .Ta ovisnost ( )LEYL MaC Λ∆∆∆ ,,max prikazana je na slici A-9.

Slika A-9.

Koeficijenti maksimalnog uzgona krila CL max i napadnog kuta αmax , osim o vrijednosti ∆ y ,

ovise i o obliku krila (vitkosti krila A, suženja krila λ , strijele napadnog ruba krila LEΛ ), o

Page 380: Mehanika Leta Zrakoplova

Prilozi A-6

relativnoj debljini krila i o Machovu broju Ma. Napadni kut pri kome krilo ostvaruje

maksimalni uzgon je zbroj tri dijela:

maxmax

max α∆ααα

++=L

LOL C

C A.5

Prva dva člana predstavljaju linearni dio. Prvi je aerodinamička značajka krila i ako krilo nije

uvijeno, treći je prirast pri kojemu se dostiže maksimalni uzgon. Na slici A-10 prikazan je

dijagram pomoću kojega određujemo maxα∆ u ovisnosti o strijeli napadnog ruba LEΛ i o

parametru Y∆ .

Slika A-10.

Page 381: Mehanika Leta Zrakoplova

Prilozi B-1

B ATMOSFERA

B.1 Opće o atmosferi

Prema kemijskom sastavu Zemljinu atmosferu čine: dušik (70 %), kisik (21 %), vodena para

(≅3 %), vodik, ugljik i u veoma malim količinama plemeniti plinovi. Teško je reći dokle se

doseže atmosfera, jer gustoća zraka pada s visinom i na kraju je tako mala da se ne može reći

od koje visine više nema zraka. Obično se uzima da atmosfera prestaje na visinama od 2000

do 3000 km.

Cjelokupni Zemljin atmosferski omotač zemlje dijelimo na dva dijela:

- homosferu, koju čine tri sloja tropsfera, stratosfera i mezosfera. Temeljna značajka

homosfere je molekularno stanje plinova. Gornja granica homosfere je na 90 km visine.

- heterosferu, koju čine termosfera i egzosfera. U heterosferi počinju disocijacije

molekula plinova pod utjecajem kozmičkih zraka, tj. molekule su razbijene na atome.

Između ovih slojeva postoje prijelazni slojevi od nekoliko stotina metara. Ti prijelazni

slojevi imaju imena složena od imena prethodnoga sloja i nastavka “pauza”. Tako je

primjerice iznad troposfere tropopauzu, a iznad stratosfere je stratopauza itd.

Od svih tih slojeva zapravo nas zanima samo troposfera i iznimno i stratosfera. Troposfera

nije iste visine na svim geografskim širinama. Na našoj geografskoj širini ona doseže visinu

oko 11 km, a u blizini ekvatora i do 16 Km. Ta visina se također mijenja i s godišnjom dobi;

ljeti se povećava, a zimi smanjuje. U troposferi se nalazi oko 75 % ukupne mase atmosfere i

osnovni dio vodene pare. Bitno obilježje troposfere jest smanjenje temperature ovisno o

visini. Zimi i ljeti, poslije vedrih hladnih noći, mogu nastupiti inverzije temperature, kad

temperatura u početku raste s visinom, a onda od neke visine počinje opadati. U troposferi

mogu nastupiti značajna horizontalna, a rijetko i vertikalna strujanja zračne mase, koja

nazivamo vjetrovima. Horizontalni vjetrovi nastaju zbog razlike tlaka na raznim mjestima

Zemljine površine, dok su vertikalni vjetrovi posljedice prevelikih razlika temperature ovisno

s visini.

Stratosfera, sljedeći sloj, ima donju granicu na 11 km i gornju na približno 50 km.

Taj sloj ima konstantnu temperaturu do približno 30 Km. Od te visine do gornje granice sloja

temperatura raste. Promjena temperaturnog gradijenta između troposfere i stratosfere zbiva se

u uzanom međusloju od nekoliko stotina metara koji nazivamo tropopauza. U tom međusloju

javljaju se velika pomicanja zračne mase od zapada prema istoku brzine i do 110 m/s.

Page 382: Mehanika Leta Zrakoplova

Prilozi B-2

Voda u obliku vodene pare nalazi se u atmosferi kao jedna od njenih sastavnica smeše.

Nazivamo je vlaga i mjerimo je obično u postocima (najviše do 4 % ). Vlaga naglo opada s

visinom. Najveći dio cjelokupne vlage nalazi se u donjemu graničnom sloju atmosfere.

Konkretno, 60 % od ukupne vodene pare na sjevernoj polusferi je do 2 km visine, a 99 % do

10 km. To znači da vlagu postoji zapravo samo u troposferi.

B.2 Ubrzanje Zemljine teže

Zemljina površina ima oblik geoida. U mehanici leta taj se oblik obično zamjenjuje sfernim

oblikom. U standardu ISO 5878 dani su polumjeri geoida r u zavisnosti od geografske širine

ϕ. Kada se Zemljin geoid zamijeni sa sferom, onda se uzima polumjer

kmR 6357= . B.1

Atmosferu izučavamo u odnosu na zemlju. Zato je sila koja djeluje na element mase dm na

visini h od razine mora i na geografskoj širini ϕ, vektorski zbroj gravitacijske sile i sile

tromosti uslijed rotacije Zemlje. Gravitacijska sila koja djeluje na elementarnu masu, ako je

Zemlja smatramo sfernim oblikom polumjera R, bit će:

dm

RhR

M22

1

1

+

γ B.2

i ona je u pravcu od središta mase dm do središta zemlje, sa smjerom od središta mase dm

prema središtu Zemlje.

Sila tromosti posljedica je koordinatnog sustava vezanog za Zemlju u odnosu na koji

promatramo atmosferu. Po pravcu okomita je na osu zemlje, po smjeru od Zemljine osi, a

njen je intenzitet

( )Ω 2 R h dm+ cosϕ

Rezultantu tih dviju sila nazivamo sila Zemljane teže. Jasno je da ubrzanje rezultante tih sila

ne prolazi kroz središte Zemljinog geoida, a intenzitet tog ubrzanja složena je funkcija od ϕ i

h. Tu funkciju s dovoljnom točnošću za geografske širine oko 45o zamjenjujemo

jednadžbom:

( ) ( )2

1,

+

=

Rh

fghg N ϕ

ϕ , B.3

gdje je

Page 383: Mehanika Leta Zrakoplova

Prilozi B-3

80616.9=Ng B.4

( ) ( )ϕϕϕ 2cos0000059.02cos0026372.01 2+−=f B.5

Drugim riječima, za visinu mora (h=0) ubrzanje sile Zemljine teže je ( )g fN ϕ , a za geografsku

širinu 045=ϕ , ubrzanje je 280616.9 smg N = . Za područja bliže ekvatoru ili polovima

Zemlje treba pogledati standard ISO 5878. Radi lakšega izučavanja promjena tlaka u

atmosferi, uvodi se geopotencijalna visina. Po definiciji geopotencijalne visine H bit će

( )dhhgdHg N ϕ,=

Kako je

( ) ( )2

1,

+

=

Rh

fghg N ϕ

ϕ ,

bit će diferencijal geopotencijalne visine

( )dh

Rh

fgdHg N

N 2

1

+

.

Ako je ishodište geopotencijalne visine isto kao i ishodište realne visine (razina mora) postoji

veza između realne i geopotencijalne visine:

( ) h

Rh

fH+

=1

ϕ B.6

i

( )

RHf

Hh−

B.7

B.3 Značajke vlažnog zraka

U mehanici leta potrebne su nam temeljne fizičke značajke zraka - gustoća, brzina zvuka u

zraku, temperatura, tlak i vjetar. Sve te značajke zraka izučavaju na razini Međunarodne

meteorološke organizacije. Za mjerenje atmosfere postoji niz meteoroloških stanica koje su

postavljene na raznim mjestima Zemljine površine. Ispitivanja se obavljaju pomoću složenih

meteoroloških uređaja kojima su opremljeni sondažni baloni, specijalni zrakoplovi, sondažne

rakete te sateliti. Rezultati mjerenja se prikupljaju s raznih strana svijeta, obrađuju i objavljuju

u obliku međunarodnih meteoroloških standarda

Page 384: Mehanika Leta Zrakoplova

Prilozi B-4

Navest ćemo bitne značajke tih ispitivanja koja nas posebno zanimaju u mehanici leta

Zrak je smijesa: dušika, kisika, vodika, ugljičnogdioksida, vodene pare i plemenitih

plinova. Isključimo li problem onečišćenja zraka u gradovima i industrijskim središtima, svi

sastojci zraka, osim vodene pare (pa i ugljinogdioksida i sumporovodika), u stalnom su

međusobnom omjeru i čine suhi zrak. Ta činjenica da je suhi zrak uvijek istoga sastava

omogućava nam da ga smatramo kao jednu sastavnicu vlažnog zraka, a druga je vodena para.

Utvrđeno je da se suhi zrak ponaša kao idealni plin čija je plinska konstanta

( )kgKJR 0053.287= . B.8

Odnos kgJ ima dimenziju brzine na kvadrat, te možemo također napisati da je dimenzija

plinske konstante ( ) ( )[ ]KsmkgKJ 0220 ⋅= . Zato u anglosaksonskim jedinicama plinska

konstanta ima dimenziju brzine na kvadrat po stupnju temperature:

( )RsftR 0221716= B.9

Isto tako i vodena para se može promatrati kao idealni plin čija je plinska konstanta

RRV 58

= . B.10

U zraku oko nas pomiješani su suhi zrak i vodena para. Taj omjer vodene pare prema suhom

zraku je vrlo promjenljiv. Zato vlažan zrak promatramo kao smjesu koja je okarakterizirana

omjerom vlage prema suhom zraku.

Na vlažan zrak možemo primijeniti d’Alambertov zakon o parcijalnim tlakovima.

Neka je na temperaturi T u volumenu V smjesa plinova ma + mv (ma je masa suhog zraka, a

mv masa vodene pare). Totalnim tlakom nazivamo tlak p na kome se nalazi smjesa u

volumenu V i na temperaturi T. Ako je masa jedne komponente plinske smjese sama u tojm

istom volumenu smjese i na toj istoj temperaturi smjese T, onda će ona biti na parcijalnom

tlaku. Po d’Alambertovu zakonu, zbroj parcijalnih tlakova jednak je ukupnom tlaku. S pa

označimo parcijalni tlak suhog zraka, a s e’ parcijalni tlak vodene pare:

epp a ′+=

Jednadžbe stanja komponenata suhog zraka i vodene pare kao idealnih plinova uzete u istom

volumenu V i na istoj temperaturi T, kao i smjesa ma + mv , jesu

TRmVeRTmVp

vv

aa

=′=

Budući da je R Rv =85

druga jednadžba može se transformirati u oblik

Page 385: Mehanika Leta Zrakoplova

Prilozi B-5

RTmVe v=′85 .

Zbrajanjem prve i druge transformirane jednadžbe te imaju na umu da je

,V

mmepp

Va

a

+=

′−=

ρ

dobivamo

.

831

T

pe

Rp

′−

=ρ B.11

Iz ove jednadžbe zaključujemo da, vlažan zrak možemo promatrati kao idealan plin

TR

p

s

=ρ B.12

samo što vlažan zrak ima plinsku konstantu RS koja ovisi o odnosu parcijalnog tlaka vodene

pare prema totalnom tlaku smjese ′e p :

pe

RRs ′−

=

831

B.13

To znači da i brzinu zvuka možemo odrediti pomoću jednadžbe za idealne plinove samo što

treba uvest plinsku konstantu vlažnog zraka

TkRa s= ; B.14

k je odnos specifične topline pri konstantnom tlaku i konstantnom volumenu:

4.1== vp cck B.15

Gustoća ili specifična masa zraka ρ kao i brzina zvuka a veličine su koje nam

trebaju u dinamici leta. One se ne mjere, već računaju na osnovi izmjerenih vrijednosti u

atmosferi: temperature T, totalnog tlaka p i relativne vlažnosti pe′ . Izmjerenu temperaturu T

pomoću izmjerene relativne vlažnosti pe′ pretvorit ćemo u fiktivnu temperaturu τ i s njom

ćemo računati tražene vrijednosti koristeći plinsku konstantu suhoga zraka

Za vlažan zrak kaže se da je zasićen pri danoj temperaturi i tlaku ako u zraku ima

toliko vlage da voda ne može više isparavati na toj temperaturi i pri tom tlaku, tj. vodena para

u vlažnom zraku i voda su u relativnoj ravnoteži. U intervalu od -200 do +300 C možemo

koristiti empirijsku formulu za parcijalni tlak vodene pare u zasićenom vlažnom zraku izražen

u milibarima ( Pa510− ) .

Page 386: Mehanika Leta Zrakoplova

Prilozi B-6

′ =−−

e

AT BT CW 6107. exp , B.16

gdje su

T <273 >273

A 21.87 17.27

B 5972. 4714.

C 7.50 35.7

Dobiveni broj Pa parcijalnog tlaka vlage u zasićenom zraku možemo preračunati u

anglosaksonske jedinice koristeći relaciju HginPa .13386 = . U meteorološkoj praksi,

najčešće se koristi relativna vlažnost U koja predstavlja postotak parcijalnog tlaka vodene

pare ′e u odnosu na ′eW parcijalni tlak vlage u zasićenom vlažnom zraku (pri istoj

temperaturi i tlaku vlažnoga zraka):

UeeW

=′′

100 B.17

B.4 Vertikalna ravnoteža

Ovisnost tlaka o visini zasniva se na hipotezi o vertikalnoj ravnoteži atmosfere. Prema toj

hipotezi, težina horizontalnog sloja zraka elementarne debljine dh i proizvoljne površine A

uravnotežava se razlikom sila tlaka s donje Ap i gornje strane A(p + dp) na istu površinu A.

( )dppApAdhAg +−=ρ

ili

dhgdp ρ−= .

U ovoj jednadžbi promjenljiva je s visinom ne samo gustoća zraka ρ već i ubrzanje sile

Zemljišne teže g. Zato uvodimo na mjesto realne visine h geopotencijalnu visinu H. Prema

definiciji o geopotencijalnoj visini, dHggdh N= , te je diferencijalna promjena tlaka obzirom

na geopotencijalnu visinu

dHgdp N ρ−= .

Uzima se da je 280665.9 smgN = ili u anglosaksonskim jedinicama 2174.32 sftgN = .

Gustoću možemo izraziti pomoću jednadžbe stanja vlažnog zraka

TRp

s

=ρ ,

Page 387: Mehanika Leta Zrakoplova

Prilozi B-7

u kojoj je

.

831

pe

RRs ′−

=

Oznaka sR treba nas podsjetiti na to da je riječ o plinskoj konstanti smjese koju čini suhi zrak

i vodena para, a ′e p odnos parcijalnog tlaka vlage prema totalnom tlaku vlažnog zraka. Tako

dobivamo promjenu tlaka ovisno o visini:

T

dHRg

pdp

S

n−= B.18

Integracijom od visine H 0 na kojoj je tlak p0 do visine H na kojoj je tlak ( )p H dobivamo

promjenu tlaka s visinom za poznatu ovisnost temperature o visini:

( ) ( )

−= ∫

H

H SN HTR

dHgpHp0

exp0 B.19

To znači da možemo odrediti tlak na visini H ako znamo promjenu temperature T s visinom

H, ali i vrijednost tlaka op na visini 0H . Obično uzimamo da je 0H razina mora od koje

mjerimo visinu, te je 00 =H .

U praksi pri sondaži atmosfere usvaja se hipoteza o vertikalnoj ravnoteži, te se ne mjeri

promjena tlaka s visinom, već je računamo na temelju izmjerene temperature na raznim

visinama. Zato je i plinska konstanta vlažnog zraka promjenljiva s visinom ( )HRs , a kako je

poznat tlak pri zemlji op ova jednadžba omogućuje da odredimo tlak u ovisnosti o visini. Još

je zanimljivije to što možemo obrnuto mjerenjem temperature, tlaka i relativne vlažnosti

pomoću ove jednadžbi dobiti visinu mjerenja.

B.5 Standardna atmosfera

Iz svakodnevnoga života znamo da se stanje atmosfere značajno mijenja u ovisnosti o

klimatskim uvjetima, godišnjim dobima, visini pa i tijekom jednog dana. Budući da

aerodinamičke karakteristike letjelica bitno ovise o gustoći zraka i brzini zvuka, proračuni se

u dinamici leta izvode za standardne (normalne) meteorološke uvjete. Ti standardni

meteorološki uvjeti odgovaraju srednjim vrijednostima mjerenja u duljim razdobljima i na

raznim mjernim mjestima. Oni čine tzv. standardnu, normalnu ili referentnu atmosferu.

Utjecaj odstupanja meteoroloških uvjeta od normalnih veličina na let izučava se u teoriji

poremećaja. Međunarodna organizacija za standardizaciju usvojila je tipične atmosfere u

Page 388: Mehanika Leta Zrakoplova

Prilozi B-8

ovisnosti o geografskoj širini (ISO 5878). Te tipične atmosfere obuhvaćaju zakonitost

promjene najvažnijih parametara do visine 80 km. One se uzimaju u obzir pri proračunu

performansi i projektiranju letjelica, pri obradi geofizičkih i meteoroloških podataka, za

prikazivanje rezultata ispitivanja letjelica pod istim uvjetima. U tipičnoj atmosferi određena je

promjena parametara atmosfere ovisno o visini. Međunarodna organizacija za standardizaciju

propisala je standardnom atmosferom tipičnu atmosferu koja vrijedi za geografsku širinu ϕ =

450.

U standardnoj atmosferi zadane su promjene temperature T sa visinom H. U

troposferi, od 0 do 11 km, u ISO standardima tj. za temperaturu u Kelvinovim stupnjevima

[ ]K0 i za visinu u metrima [ ]m :

HHTT N ⋅−=+= 0065.015.2880 β , B.20

a u anglosaksonskim jedinicama kad je temperatura u Reaumurovim stupnjevima [ ]R0 i

visina i u stopama [ ]ft ,

HT ⋅−= 00035745.0519 B.21

U toj standardnoj atmosferi nema vlage i vlada vertikalna ravnoteža. U tim uvjetima u

troposferi (do visine 11 km), rješenjem integrala koji daje vertikalna ravnoteža, dobivamo

zakon promjene tlaka s visinom:

ββ R

g

NN

n

HT

pp−

+=

00 1 B.22

• u ISO jedinicama (tlak u [ ]Pa i visina u [ ]m )

256.5

100002256.01101325

−⋅=

Hp , B.23

• a u anglosaksonskim jedinicama (visina u [ ]ft )

256.5

0 100000688.01

−⋅=

Hpp . B.24

gdje je [ ] [ ]22.2116.92.29 ftlbHginpo == .

U stratosferi (od 11 Km visine do 20 Km), temperatura je konstantna

RKT 00 0.3906.216 == , B.25

Page 389: Mehanika Leta Zrakoplova

Prilozi B-9

te integracijom dobivamo diferencijalne jednadžbe vertikalne ravnoteže od donje granice

stratosfere do bilo koje visine u stratosferi:

( )

⋅−

−=

−= ∫

0

0

0

0

0expexpH

NH

H

HNH TR

HHgpHRT

dHgpp B.26

• u ISO sustavu (visina u metrima, a tlak u paskalima)

−−⋅=

1000110001577.0exp22632 Hp , B.27

• ili u anglosaksonskim jedinicama (visina u [ ]ft )

−−⋅=

10003608904806.0exp

36089

Hpp . B.28

a tlak se može mjeriti u [ ]2ftlb ili u [ ]Hgin. . U prvom slučaju je tlak između

troposfere i stratosfere [ ]236089 7.472 ftlbp = , a u drugom [ ]Hginp .684.636089 = .

Gustoća zraka i brzina zvuka ovisno o visini izračunavaju se za standardnu atmosferu po

jednadžbama:

• u ISO jedinicama (gustoća u [ ]3mKg , tlak u [ ]Pa , temperatura u [ ]K0 ) imaju oblik:

NN

N

NN

Ta

Tp

⋅=

⋅=

05.20

003484.0ρ B.29

Na razini mora te jednadžbe daju:

smamkg

N

N

3.340225.1

0

30

==ρ

B.30

• u anglosaksonskim jedinicama (gustoća u [ ] [ ]423 ftslbftslug ⋅= , tlak u [ ]2ftlb ,

temperatura u [ ]R0 ) te jednadžbe imaju oblik

,02.49

10826.5 4

NN

N

NN

Ta

Tp

⋅=

⋅⋅= −ρ B.31

što na razini mora daje:

sfta

ftslug

N

N

4.11163769.2

0

30

==ρ

B.32

Page 390: Mehanika Leta Zrakoplova

Prilozi B-10

Na mnogim zrakoplovima instrument za mjerenje tlaka ima skalu u [ ]Hgin. . Pri tome treba

imati na umu da je [ ] [ ] PaftlbHgin 1013252.2116.92.29 2 ==

Konačno, u normalnim uvjetima postoji veza između tlaka i temperature koju

dobivamo eliminiramo visinu iz jednadžbi za promjenu tlaka i temperature. U troposferi je

promjena tlaka s obzirom na visinu dana jednadžbom

ββ Rgn

HT

pp−

+=

00 1 ,

a temperature

HTT ⋅+= β0 .

Eliminacijom visine dobivamo jednadžbu po kojoj svakom tlaku odgovara određena

temperatura.

ng

R

ppTT

β−

=

00 B.33

U sustavu ISO jedinica ta jednadžba ima oblik

1903.0

10132515.288

⋅=

pT . B.34

Page 391: Mehanika Leta Zrakoplova

Prilozi B-11

STANDARDNA ATMOSFERA ISO 2533

H T p ρ a ν [m] [K] [N/m2] [Kg/m3] [m/s] [m2/s]

0 288.1 101325. 1.2250 340.3 0.146E-4

200 286.9 98946. 1.2017 339.5 0.148E-4 400 285.6 96612. 1.1787 338.8 0.151E-4 600 284.3 94323. 1.1560 338.0 0.153E-4 800 283.0 92078. 1.1337 337.2 0.156E-4

1000 281.7 89877. 1.1117 336.4 0.158E-4 1200 280.4 87719. 1.0900 335.7 0.161E-4 1400 279.1 85603. 1.0687 334.9 0.163E-4 1600 277.8 83528. 1.0476 334.1 0.166E-4 1800 276.5 81495. 1.0269 333.3 0.169E-4

2000 275.2 79502. 1.0066 332.5 0.171E-4 2200 273.9 77549. 0.9865 331.7 0.174E-4 2400 272.6 75635. 0.9667 331.0 0.177E-4 2600 271.3 73760. 0.9473 330.2 0.180E-4 2800 270.0 71923. 0.9281 329.4 0.183E-4

3000 268.7 70122. 0.9093 328.6 0.186E-4 3200 267.4 68359. 0.8907 327.8 0.189E-4 3400 266.1 66632. 0.8724 327.0 0.193E-4 3600 264.8 64940. 0.8545 326.2 0.196E-4 3800 263.5 63284. 0.8368 325.4 0.199E-4

4000 262.2 61662. 0.8194 324.6 0.203E-4 4200 260.9 60074. 0.8022 323.8 0.206E-4 4400 259.6 58519. 0.7854 323.0 0.210E-4 4600 258.3 56997. 0.7688 322.2 0.214E-4 4800 257.0 55508. 0.7525 321.4 0.217E-4

5000 255.7 54050. 0.7365 320.5 0.221E-4 5200 254.4 52623. 0.7207 319.7 0.225E-4 5400 253.1 51228. 0.7052 318.9 0.229E-4 5600 251.8 49862. 0.6899 318.1 0.233E-4 5800 250.5 48526. 0.6749 317.3 0.237E-4

6000 249.2 47219. 0.6601 316.5 0.242E-4

Page 392: Mehanika Leta Zrakoplova

Prilozi B-12

H T p ρ a ν [m] [K] [N/m2] [Kg/m3] [m/s] [m2/s]

6000 249.2 47219. 0.6601 316.5 0.242E-4 6200 247.9 45941. 0.6456 315.6 0.246E-4 6400 246.6 44692. 0.6314 314.8 0.250E-4 6600 245.3 43470. 0.6174 314.0 0.255E-4 6800 244.0 42275. 0.6036 313.1 0.260E-4

7000 242.7 41107. 0.5900 312.3 0.265E-4 7200 241.4 39966. 0.5767 311.5 0.270E-4 7400 240.1 38850. 0.5637 310.6 0.275E-4 7600 238.8 37760. 0.5508 309.8 0.280E-4 7800 237.5 36694. 0.5382 308.9 0.285E-4

8000 236.2 35653. 0.5258 308.1 0.290E-4 8200 234.9 34637. 0.5136 307.3 0.296E-4 8400 233.6 33644. 0.5017 306.4 0.302E-4 8600 232.3 32674. 0.4899 305.6 0.307E-4 8800 231.0 31727. 0.4784 304.7 0.313E-4

9000 229.7 30803. 0.4671 303.8 0.320E-4 9200 228.4 29900. 0.4560 303.0 0.326E-4 9400 227.1 29019. 0.4451 302.1 0.332E-4 9600 225.8 28159. 0.4344 301.3 0.339E-4 9800 224.5 27320. 0.4239 300.4 0.346E-4

10000 223.3 26502. 0.4135 299.5 0.352E-4 10200 222.0 25703. 0.4034 298.7 0.360E-4 10400 220.7 24924. 0.3935 297.8 0.367E-4 10600 219.4 24165. 0.3838 296.9 0.374E-4 10800 218.1 23424. 0.3742 296.0 0.382E-4

11000 216.8 22702. 0.3648 295.2 0.390E-4 11200 216.6 21998. 0.3537 295.1 0.402E-4 11400 216.6 21317. 0.3428 295.1 0.415E-4 11600 216.6 20658. 0.3322 295.1 0.428E-4 11800 216.6 20019. 0.3219 295.1 0.442E-4

12000 216.6 19400. 0.3119 295.1 0.456E-4 12200 216.6 18800. 0.3023 295.1 0.470E-4 12400 216.6 18218. 0.2929 295.1 0.485E-4 12600 216.6 17655. 0.2839 295.1 0.501E-4 12800 216.6 17109. 0.2751 295.1 0.517E-4

13000 216.6 16580. 0.2666 295.1 0.533E-4

Page 393: Mehanika Leta Zrakoplova

Prilozi B-13

H T p ρ a ν [m] [K] [N/m2] [Kg/m3] [m/s] [m2/s]

13000 216.6 16580. 0.2666 295.1 0.533E-4 13200 216.6 16067. 0.2584 295.1 0.550E-4 13400 216.6 15570. 0.2504 295.1 0.568E-4 13600 216.6 15089. 0.2426 295.1 0.586E-4 13800 216.6 14623. 0.2351 295.1 0.605E-4

14000 216.6 14171. 0.2279 295.1 0.624E-4 14200 216.6 13733. 0.2208 295.1 0.644E-4 14400 216.6 13308. 0.2140 295.1 0.664E-4 14600 216.6 12897. 0.2074 295.1 0.686E-4 14800 216.6 12498. 0.2010 295.1 0.707E-4

15000 216.6 12112. 0.1948 295.1 0.730E-4 15200 216.6 11738. 0.1887 295.1 0.753E-4 15400 216.6 11375. 0.1829 295.1 0.777E-4 15600 216.6 11024. 0.1773 295.1 0.802E-4 15800 216.6 10683. 0.1718 295.1 0.828E-4

16000 216.6 10353. 0.1665 295.1 0.854E-4 16200 216.6 10033. 0.1613 295.1 0.881E-4 16400 216.6 9723. 0.1564 295.1 0.909E-4 16600 216.6 9423. 0.1515 295.1 0.938E-4 16800 216.6 9132. 0.1468 295.1 0.968E-4

17000 216.6 8850. 0.1423 295.1 0.999E-4 17200 216.6 8577. 0.1379 295.1 0.103E-3 17400 216.6 8312. 0.1337 295.1 0.106E-3 17600 216.6 8055. 0.1295 295.1 0.110E-3 17800 216.6 7807. 0.1255 295.1 0.113E-3

18000 216.6 7566. 0.1217 295.1 0.117E-3 18200 216.6 7332. 0.1179 295.1 0.121E-3 18400 216.6 7106. 0.1143 295.1 0.124E-3 18600 216.6 6886. 0.1107 295.1 0.128E-3 18800 216.6 6674. 0.1073 295.1 0.132E-3

19000 216.6 6468. 0.1040 295.1 0.137E-3 19200 216.6 6268. 0.1008 295.1 0.141E-3 19400 216.6 6075. 0.0977 295.1 0.146E-3 19600 216.6 5887. 0.0947 295.1 0.150E-3 19800 216.6 5706. 0.0917 295.1 0.155E-3

20000 216.6 5530. 0.0889 295.1 0.160E-3

Page 394: Mehanika Leta Zrakoplova
Page 395: Mehanika Leta Zrakoplova

Prilozi C-1

C PERFORMANSE KLIPNOG MOTORA

C.1 Snaga klipnog motora

Proizvođači motora na temelju ispitivanja motora daju dva dijagrama prema kojima se može

odrediti snaga motora ovisno o parametrima:

• kutna brzina motora ω u [ ]srad , a u AS sustavu (anglosaksonske jedinice)

RPM u broju okretaja u minuti (revolutions per minute),

• tlak punjenja Sp u [ ]Pa , a u AS jedinicama označava se sa MAP (manifold

absolute pressure) i mjeri se in.Hg (inch of Hg) ili u psi (pounds per square

inch),

• tlak i temperatura okolnog zraka (vidi prilog B) i

• aerodinamička brzina letjelice V u [ ]sm , a u AS u miljama po satu mph

(miles per hour).

Ta snaga se određuje pomoću dva dijagrama kao na slikama C-1 i C-2.

C.1.1 Prvi dijagram, snaga PB

50 60 70 80 90 100 11040

60

80

100

120

140

160

ps [kPa]

PB

[kW

]

[rad/s]

280

260

240

220

200

Slika C-1 Prvi dijagram snage motora LYCOMING O-360-A (180 HP)

Page 396: Mehanika Leta Zrakoplova

C-2

Prvi dijagram je familija krivulja ( )SB pfP ,ω= dobivena na temelju ispitivanja motora na

probnom stolu. Taj dijagram, u statičkim uvjetima (aerodinamička brzina jednaka je nuli),

daje snagu BP ovisno o tlaku punjenja Sp a za razne kutne brzine ω motora, kada je

temperatura i tlak okolnog zraka u normalnim uvjetima na razini mora (vidi prilog C). Na

apscisi nalazi se tlak punjenja Sp . To je tlak smjese zraka i goriva odmah iza zaklopke

rasplinjača. Na ordinati je snaga motora BP . Svaka krivulja je za jednu određenu kutnu

brzinu motora ω .

C.1.2 Drugi dijagram, snaga PA

Na drugom dijagramu su dvije familije krivulja

( )ω,pfPA =

( )SA ppfP ,=

30 40 50 60 70 80 90 100 11040

60

80

100

120

140

160

p [kPa]

PA

[kW

]

280

260240

220200

omega[rad/s]

ps [kPa]

40

50

60

70

80

90

Slika C-2 Drugi dijagram motora LYCOMING O-360-A (180 HP)

Obje familije krivulja daju snagu motora AP ovisno o promjeni tlaka okolnog zraka p, ali za

temperaturu koja odgovara tom tlaku u normalnim uvjetima. Iz priloga C znamo da je ta

temperatura

Page 397: Mehanika Leta Zrakoplova

Prilozi C-3

1903.0

00 101325

15.288

⋅=

=

−p

ppTT

ngR

N

β

.

Krivulje prve familije ( )ω,pfPA = daju snagu za određenu kutnu brzinu motora ω , a

krivulje druge familije daju istu snagu ( )SA ppfP ,= za određeni tlak punjenja Sp . Analizom

ovog drugog dijagrama vidimo da na određenom tlaku okolnog zraka p, malo se mijenja Sp u

normalnom radnom intervalu motora (od minω do maxω ). Kada opada tlak okolnog zraka,

motor radi na sve manjem i manjem Sp , i snaga motora pada te ako je mali tlak okolnog

zraka, bit će mala i raspoloživa snaga motora.

Na osi x ovog drugog dijagrama često se nanosi visina umjesto tlaka, koja odgovara u

normalnim uvjetima tom tlaku okolnog zraka. Ta visina vezana je za okolni tlak jednadžbom

normalne atmosfere (vidi prilog B). U tom slučaju ove dvije familije krivulja imaju visinu kao

neovisnu varijablu:

( )ω,HfPA =

( )SA pHfP ,=

Takvi dijagrami obično se sreću u literaturi (npr. [14], [26] i dr.) Treba još reći kada umjesto

tlaka okolnog zraka na os x nanesemo odgovarajuću visinu onda se dijagram C-2 okrene

(desna strana postane lijeva i obratno), jer kad raste visina, tlak pada.

C.2 Grafička metoda određivanja snage PD

Snaga motora, u okolnom zraku koji ima temperaturu DT i tlak Dp , za određene vrijednosti

parametara ω i Sp može se odrediti pomoću ova dva prikazana dijagrama. Postupak

određivanja snage je slijedeći

1) Na prvom dijagramu, na odgovarajućoj krivulji za zadani broj okretaja motora ω , očita se

snaga BP ovisno o tlaku punjenja Sp .

2) Na drugom dijagramu ucrta se točka A u presjeku krivulje za zadani tlak punjenja Sp i

krivulje za zadanu kutnu brzinu motora ω . Odredi se ordinata AP i apscisa Ap te točke.

To je snaga koju bi motor razvio u okolnom zraku koji ima taj tlak i njemu odgovarajuću

temperaturu u normalnim uvjetima.

3) Ucrta se na tom istom dijagramu točka C koja ima apscisu jednaku normalnom tlaku na

razini mora Np0 , a ordinatu jednaku dobivenoj snazi prema prvom dijagramu BP . Ta

Page 398: Mehanika Leta Zrakoplova

C-4

točka predstavlja snagu motora za zadani tlak punjenja Sp i zadanu kutnu brzinu motora

ω , ali u zraku koji ima i tlak koji odgovara razini mora i odgovarajuću temperaturu u

normalnim uvjetima..

4) Spoje se točke C i A. Ako prihvatimo pretpostavku da je snaga motora, za zadani tlak

punjenja Sp i zadanu kutnu brzinu motora ω , linearno ovisna o tlaku okolnog zraka (i na

odgovarajućoj temperaturi u normalnim uvjetima), onda je to pravac CA.

5) Na tom pravcu CA odredimo točku D koja ima apscisu jednaku zadanom tlaku okolnog

zraka Dp .

6) Ordinata točke D predstavlja snagu motora za zadane radne parametre motora Sp i ω u

okolnom zraku koji ima zadani tlak Dp i temperaturi koja odgovara tom tlaku u

normalnim uvjetima NT , a ne odgovara zadanoj temperaturi okolnog zraka DT :

1903.0

10132515.288

⋅= D

NpT

7) Da bismo konačno dobili traženu snagu na zadanoj temperaturi, pretpostavit ćemo da je

snaga obrnuto proporcionalna kvadratnom korijenu iz temperature okolnog zraka. Zato se

očitana snaga u točki D množi sa DN TT .

C.2.1 Primjer

Da bismo prikazali originalnu primjenu dijagrama, u ovom ćemo se primjeru služiti

anslosaksonskim jedinicama. Temperatura okolnog zraka je KTD0269= , a tlak

je kPapD 95= . Kutna brzina elise je sradelise 240=ω , a tlak punjenja je kPapS 5.78= .

Treba grafički odrediti raspoloživu snagu motora čije su performanse dane dijagramom na

slici G-1 i G-2.

1) Na prvom dijagramu nacrtana je točka B koja predstavlja raspoloživu snagu na razini

mora. Ona se nalazi na krivulji 240=ω za vrijednost apscise kPapS 5.78= :

kWPB 91=

2) točka A određena je na drugom dijagramu u presjeku krivulja srad240=ω i

kPapS 5.78= :

kPapkWP

A

A

80103

==

Na tom tlaku temperatura u normalnim uvjetima ima vrijednost:

Page 399: Mehanika Leta Zrakoplova

Prilozi C-5

KpT AA

01903.01903.0

5.275101325

0.8015.288101325

15.288 =

⋅=

⋅=

U normalnim uvjetima atmosfere taj tlak i ta temperatura vladaju na visini mH 1950= .

Drugim riječima, za zadane Sp i ω , pri tlaku okolnog zraka kPa80 i temperaturi

K05.275 , snaga je kW103 .

3) Ucrtamo točku C u drugi dijagram. Apscisa te točke je kPap N 3.1010 = , a ordinata je

kWPB 91= .

4) Od A do C snaga opada od vrijednosti kWPA 103= do kWPB 91= , zbog porasta tlaka i

temperature okolnog zraka od kPapA 80= i KTA05.275= do kPap N 3.1010 = , i

KT N0

0 2.288= . Zato pravac AC predstavlja promjenu snage ovisno o tlaku i

odgovarajućoj temperaturi okolnoga zraka, pri zadanim parametrima Sp i ω .

5) Na pravcu AC odredimo točku D u kojoj je zadani tlak okolnog zraka kPapD 0.95= i

odgovarajuća temperatura

KpT DN

01903.01903.0

6.284325.1010.9515.288

10132515.288 =

⋅=

⋅= .

6) Ordinata te točke predstavlja snagu motora za zadani Sp i ω u okolnom zraku koji ima

tlak Dp i njemu odgovarajuću temperaturu NT :

kWPD 95=′

7) Tu snagu trebamo još svesti na zadanu temperaturu:

kWTTPP

D

NDD 98

2696.28495 =⋅=⋅′=

C.2.2 Analitička metoda određivanja snage PD

Prema lit. [22], dana je metoda kojom se mogu ova dva dijagrama motora pretvoriti u

jednadžbe. Tako su u lit. [26], za motor LYCOMING O-360-A (180 HP) dane jednadžbe u

AS jedinicama:

RPMMAPRPMMAPBHPB ⋅−⋅⋅+⋅+−= 0018.000186.008.38.42

RPMMAPRPMMAPBHPA ⋅+⋅⋅+⋅+= 003.00018.037.13.4

Page 400: Mehanika Leta Zrakoplova

C-6

U tim jednadžbama je kutna brzina motora RPM izražena brojem okretaja u minuti, tlak

punjenja MAP iražen je u palcima živinoga stupca in.Hg, a snaga BPH (brake power hors) u

konjskim snagama. Te jednadžbe možemo transformirati u sustav ISO jedinica. U ISO

sustavu jedinica koristit ćemo oznake AB PP , u vatima, tlak punjenja Sp u Pa , a za kutnu

brzinu motora ω u srad :

ωω 5493.90018.03386

5493.900186.03386

08.38.427.745

⋅−⋅⋅+⋅+−= SSB ppP

i

ωω 5493.9003.03386

5493.90018.03386

37.13.47.745

⋅+⋅⋅+⋅+= SSA ppP

Sređivanjem dobivamo tražene jednadžbe u ISO sustavu jedinica:

ωω ⋅−⋅⋅+⋅+−= 817.12003912.06783.031916 SSB ppP C.1

ωω ⋅+⋅⋅+⋅+= 363.21003785.03017.05.3206 SSA ppP C.2

Prva jednadžba ( )ω,SB pfP = omogućuje nam izračunati ordinatu točke C (slika C-2).

Apscisa točke C je normalni tlak na razini mora, jer je cijela jednadžba određena za uvjete na

razini mora. Prema tome koordinate točke C na slici C-2 jesu:

BC

NC

PPpp

== 0

Tako smo odredili radno stanje C, u kome je snaga CP pri tlaku zraka NC pp 0= . Drugo radno

stanje koje možemo odrediti jest snaga motora AP ako je kutna brzina sradelise 240=ω i

tlak okolnog zraka p . Da bismo odredili položaj te točke A (slika C-2), znamo da je ona na

pravcu ( )ω,pfPA = za sradelise 240=ω . Jednadžba familije pravaca na slici C-1 ima oblik

ppPA ⋅+⋅⋅+⋅+= 41009.00034406.0638.13922 ωω C.3

Iz ove jednadžbe možemo odrediti tlak okolnog zraka ako je poznata snaga motora AP i

njegova kutna brzina ω . Taj tlak je apscisa točke A:

41009.00034406.0

638.13922+⋅

⋅−−=

ωωA

APp C.4

U točki A imamo snagu motora AP pri tlaku okolnog zraka Ap i njemu odgovarajućoj

temperaturi AT , a u točki C snagu BP pri tlaku okolnog zraka Np0 i temperaturi NT0 . Obje

točke daju snagu za zadane parametre Sp i ω . Zato možemo linearno interpolirati između

Page 401: Mehanika Leta Zrakoplova

Prilozi C-7

točaka A i C da bismo odredili snagu DP′ ako je tlak okolnog zraka jednak zadanom tlaku Dp

i njemu odgovarajućoj temperaturi NT :

( )NA

NDBABD pp

ppPPPP0

0

−−

−+=′ C.5

Tako smo dobili snagu DP′ za zadane parametre Sp i ω , u okolnom zraku koji ima zadani

tlak Dp , ali kad je temperatura okolnog zraka jednaka temperaturi (vidi prilog B):

1903.0

10132515.288

⋅= D

NpT C.6

Da bismo konačno dobili snagu pri zadanoj temperaturi DT , koristimo činjenicu da je snaga

obrnuto proporcionalna kvadratnom korijenu iz temperature:

D

NDD T

TPP '= C.7

Tako dobivamo snagu DP za zadane parametre motora Sp i ω , u atmosferi koja ima zadani

tlak Dp i zadanu temperaturu DT zraka.

C.2.3 Primjer

Uradimo isti primjer analitički. Karakteristike su okolnoga zraka:

KTD0269=

kPapD 95=

Parametri rada motora su

srad240=ω

kPapS 5.78=

Treba odrediti analitički istu raspoloživu snagu motora LYCOMING O-360-A (180 HP) kao

u prethodnom primjeru:

kW

ppP SSB

0.92240817.1278500240003912.0785006783.031916

817.12003912.06783.031916

=⋅−⋅⋅+⋅+−=

−⋅++−= ωω

PapB 101325=

kW

ppP SSA

2.103240363.217850024000378.0785003017.05.3206

363.21003785.03017.05.3206

=⋅+⋅⋅+⋅+=

+⋅++= ωω

Page 402: Mehanika Leta Zrakoplova

C-8

kPaPp AA 0.80

41009.02400034406.0240638.13922103200

41009.00034406.0638.13922

=+⋅

⋅−−=

+⋅⋅−−

ω

( ) ( ) kWppppPPPP

NA

NDBABD 3.95

3.1010.803.1010.950.922.1030.92

0

0 =−−

⋅−+=−−

−+=′

KpT DN

01903.01903.0

6.284325.101

9515.288101325

15.288 =

⋅=

⋅=

kWTTPP

D

NDD 0.98

2696.2843.95 =⋅=′=

C.2.4 Vježba

Treba odrediti promjenu raspoložive snage pogonske grupe koju čini motor LYCOMING O-

360-A (180 HP) i elisa zrakoplova Piper Cherokee PA-28, ovisno o aeerodinamičkoj brzini za

visine 0, 1000, 2000, 3000 i 4000 m. Pretpostavimo da motor radi na kutnoj brzini

srad240max =ω , a koeficijent učinkovitosti elise neka je

2644.05670.04815.16923.1 23 +++−= JJJeliseη ,

gdje je parametar elise 80.0==nDVJ (promjer elise je mD 88.1= , n broj okretaja u s.).

Slika C-3 Raspoloživa snaga motora LYCOMING O-360-A (180 HP) i

elise zrakoplova Piper Cherokee PA-28

Page 403: Mehanika Leta Zrakoplova

Prilozi C-9

Pretpostavljamo normalne uvjete atmosfere. Zbog aerodinamičke brzine tlak okolnog zraka

treba povećati za dinamički tlak, tako da ulazni tlak bude jednak totalnom tlaku, koji je zbroj

okolnog tlaka i dinamičkog tlaka. Taj dinamički tlak umanjuje se do 15% zbog gubitaka u

strujanju oko motora do otvora gdje zrak ulazi u motor:

285.0

2Vpp NNtotal

ρ⋅+=

Snaga motora motP računa se prema analitičkom postupku iz prethodnog primjera C.2.3.

Raspoloživa snaga bit će

motelisea PP ⋅=η .

S ovim jednadžbama napravljen je program u MATLAB-u, koji se zove Rasp_snaga ,

nalazi se na disketi u direktoriju Motor. Pomoću toga programa nacrtan je dijagram C-3.

Slika C-4 Potrošnja goriva za motor LYCOMING O-360-A (180 HP)

C.2.5 Potrošnja goriva

Na temelju eksperimentalnih ispitivanja proizvođači motora izrađuju dijagrame koji daju

potrošnju goriva u normalnim uvjetima okolnog zraka ( NT0 i Np0 ) za razne kutne brzine

motora ovisno o tlaku punjenja MAP. Na temelju takvog dijagrama za slučaj motora

Page 404: Mehanika Leta Zrakoplova

C-10

LYCOMING O-360-A (180 HP) usklađen je polinom drugog reda koji daje potrošnju goriva

FC (fuel consumption) ovisno o tlaku punjenja:

322

1 apapaFC SS ++= , C.8

u kome su koeficijenti funkcije kutne brzine motora:

( )3600/785.3720.0

17.3017431.0386.3

35685.00000090642.0386.3

0081068.0000053562.0

3

2

21

⋅=⋅+⋅=

⋅+⋅

−=

⋅+⋅

=

CCa

Ca

Ca

ω

ω

ω

C.9

Da bi dobili potrošnju u [ ]skg za slučaj specifične mase goriva lkg72.0 koeficijente

trebamo pomnožiti sa C. Bez koeficijenta C dobili potrošnju u USA galonima na sat. S tom

jednadžbom nacrtan je dijagram prikazan na slici C-4. Na ordinati je potrošnja goriva FC

(fuel consumption) u [ ]skg . U mehanici leta upotrebljavamo specifičnu potrošnju goriva PC .

Ona pokazuje kolika je potrošnja goriva u jedinici vremena po jednoj jedinici proizvedene

snage, a to znači da je njena dimenzija ( )[ ]sWkg . Da bismo dobili dijagram specifične

potrošnje PC , moramo vrijednosti očitane na dijagramu potrošnje FC podijeliti s ostvarenom

snagom u istim uvjetima.

Slika C-5 Specifična potrošnja motora LYCOMING O-360-A (180 HP)

Page 405: Mehanika Leta Zrakoplova

Prilozi C-11

Na temelju jednadžba raspoložive snage motora i potrošnje goriva, treba za motor

LYCOMING O-360-A (180 HP), odrediti ovisnost specifične potrošnje goriva (potrošnja

goriva po jedinici ostvarene snage) o tlaku punjenja za razne kutne brzine motora u

normalnim atmosferskim uvjetima. Potrošnju goriva, koja ovisi o tlaku punjenja, dana je

jednadžbama C-8 i C-9, a ostvarena snaga u istim uvjetima je

ωω 817.12003912.06783.031916 −⋅++−= SSB ppP , C.10

Tako dobivamo da je tražena specifična potrošnja

B

P PFCC = . C.11

Prema ovom algoritmu napravljen je program u MATLAB-u koji se zove spec.m. Nalazi se

u direktoriju Motor na disketi. Pomoću njega nacrtan je dijagram na slici C-5

Page 406: Mehanika Leta Zrakoplova
Page 407: Mehanika Leta Zrakoplova

Prilozi D-1

D ODNOSI VELIČINA

Vrijednosti nekih jedinica izvan sustava ISO u zrakoplovnoj uporabi

mmnftinyd

mydmmft

mmin

185213361

9144.018.3041

4.251

===

===

kgslugs 59.141 =

Nlb 448.41 =

Wph 7451 =

litGBgallon 546.41 =

litUSAgallon 785.31 =

mGBmille 16091 =

smkt 5151.01 =

sradRPM 1047.01 =

PaHgin 3386.1 =

Painlbf 32 1089476.61 ⋅=

Page 408: Mehanika Leta Zrakoplova

D-2

Page 409: Mehanika Leta Zrakoplova

1

LITERATURA

1) Abbott, I. H., Von Doenhoff, A. E., “Theory of Wing Section”, Dover, New York,

1959.

2) Anderson, J.D., "Aircraft Performance and Design", McGraw Hill, New York, 1999.

3) Anderson, J.D., "Introduction to Flight", McGraw Hill, New York, 1989.

4) Boiffier, Jean-Luc, “The Dynamics of Flight - The Equations”, John Wiley & Sons,

New York, 1998.

5) Covert, E. Eugene (editor), “Thrust and Drag: Its Prediction and Verification”, AIAA,

Progress in Astronautics and Aeronautics, Vol. 98, New York, 1985.

6) Etkin, B. “Dynamics of Atmospheric Flight, John Wiley & Sons, Inc. New York,

1972.

7) Etkin, B., Reid, L. D. “Dynamics of Flight, Stability and Control”, Third Edition, John

Wiley & Sons, Inc. New York, 1996.

8) Goldstein, H., “Classical Mechanics”, Second edition, Addison-Westley Publishing

Company, London, 1981.

9) Gantmakher, F. R. and Levin, L. M., “The Flight of uncontrolled Rockets, Pergamon

Press, Oxford, 1964.

10) Haug, E.,” Computer Aided Kinematics and Dynamics of Mechanical Systems”,

Volume I: Basic Methods, Allyn and Bacon, Boston, 1989.

11) ISO Concepts, Quantities and Symbols for Flight Dynamics, 1988, Part 1: Aircraft

motion relative to the air, ISO/DIS 1151/1, and Part 2: Motion of the aircraft and the

atmosphere relative to the Earth, ISO/DIS 1151/2

12) Janković, S. “Mehanika leta projektila ”, udžbenik Sveučilišta u Zagrebu, 1998.

13) Jumper, E.J., “Wave Drag Prediction Using a Simplified Supersonic Area Rule”, J.

Aircraft, Vol. 20, No. 10, October 1983.

14) Jecić, S. “ Mehanika II, Kinematika i mehanika”, Tehnička knjiga d.d., Zagreb, 1995.

15) Лeбeдeв, A.A., Чepнoбroвкин, Л.C. “Динaмикa полeтa”, Maшинocтpoeниe,

Moskva, 1973.

16) McCormick, B. “Aerodynamics, Aeronautics and Flight Mechanics”, John Wiley &

Sons, Inc. New York, 1995.

17) Mair, W.A. and Birdsall, D. “Aircraft Performance”, Cambridge, University Press,

1992.

18) Nielsen, J. N., “Missile Aerodynamics”, McGraw-Hill, New York, 1960.

Page 410: Mehanika Leta Zrakoplova

2

19) Pamadi, B. N., “Performance, Stability, Dynamics and Control of Airplanes”,

Education Series AIAA, Washington, 1998.

20) Raymer, D. “Aircraft Design: A Conceptual Approach, AIAA Education Series,

Washington, 1992.

21) Rendulić, Z., “Aerodinamika”, RO Sava Mihić, Zemun, 1984.

22) Rendulić, Z., “Mehanika leta”, Vojno-izdavački i novinarski centar, Beograd, 1987.

23) Schmidt, V. Luis, “Introduction to Aircraft Flight Dynamics”, Education Series

AIAA, Washington, 1998.

24) Smith, H. C. and Dreier, "A Computer Technique for the Determination of Brake

Horsepower Output of Normally-Aspirated Reciprocating Aircraft Engine""", SAE

Paper No. 770465, March 1977.

25) Steinberg, D. “Computational Matrix Algebra”, McGraw-Hill Kogakusha, Tokyo,

1974.

26) Vinh, N. X. “Flight Mechanics of High Performance Aircraft”, Cambridge, University

Press, 1995.

27) .... ,"Introduction to Aircraft Flight Test Engineering", Epperson Sanderson Inc.

JS312647C, ISBN 0-89100-225-1.

28) USAF Stability and Control DATCOM, AD-B072 483/1 INZ.

29) ESDU (Engineering scientific data units), The Royal Aeronautical Society, London.

30) A.Φ. Бoчkapeвa, "Aэpoмeхaниka caмaлeтa" , Maшинocтpoeниe, Moskva 1977.

31) Gerard W.H. van Es, "Pitching Moment Change Caused by High-Lift Devices on

Wing-Body Configurations", Journal of Aircraft, Vol. 40, No. 2 March-April 2003,

pp. 391-393.

Page 411: Mehanika Leta Zrakoplova

3

KAZALO Pojmovi aerodinamička

apscisa krila, 2.2.1

ishodište, 2.2.1

tetiva, 2.2.1

aerodinamički

koeficijenti, 2.1.1

model zrakoplova, 2.1.2

parametri, 2.1.1

aerodinamičko pojačanje, 13.2., 14.1

akcelerometar, 6.1.3

atmosfera

standardna, B.5

baza koordinatnog sustava, 1.1.1

bočna sila, 4.3

brzina

aerodinačka 1.4.2

apsolutna, 6.1.1

leta, 1.4.1

najmanje upravljivosti (Minimum Control Speed), 9.1.3.1

odvajanja (Take off Velocity), 9.1.1

penjanja (Rate of Climb, R/C), 8.2

penjanja najveća (Best Rate of Climb, BRC), 8.2.2

prijenosna, 6.1.1

relativna, 6.1.1

derivacija matrice transformacije, 1.2.2

derivacija vektora, 1.1.3

derivativi, 2.1.2

diferencijalne jednadžbe parametara, 1.2.6

diferencijalne jednadžbe poremećaja, 12.1.3

dolet (Range), 8.1.5

Page 412: Mehanika Leta Zrakoplova

4

energetska visina (Energy Height), 10.1

gradijent bočne sile

po kutu klizanja,4.1.1

po otklonu kormila pravca, 4.1.2

po kutnoj brzini valjanja, 4.1.4

po kutnoj brzini skretanja, 4.1.5

gradijent momenta propinjanja

po promjenljivom napadnom kutu, 3.2.5

po kutnoj brzini, 3.2.6

po napadnom kutu, 3.2.4

po otklonu kormila visine, 3.2.4

stacionarni gradijenti, 3.2.4

gradijent momenta skretanja, 2.1, 4.1

po kutnoj brzini skretanja, 4.1.5

po kutnoj brzini valjanja,4.1.4

po kutu klizanja, 4.3

po otklonu kormila pravca, 4.1.2

po otklonu krilaca, 4.1.3

gradijent momenta valjanja, 2.1, 4.2

po kutnoj brzini skretanja, 4.2.5

po kutnoj brzini valjanja, 4.2.4

po kutu klizanja, 4.2.1

po otklonu kormila pravca, 4.2.2

po otklonu krilaca, 4.2.3

gradijent normalne sile

po napadnom kutu, 3.2.4

po otklonu kormila visine, 3.2.4

po promjenljivom napadnom kutu, 3.2.5

po kutnoj brzini, 3.2.

gradijent penjanja (Climb Gradient), 8.2

gradijenti, 2.1.2

harmonijska pobuda

uzdužnog gibanja, 13.3

bočnog gibanja, 14.5

Page 413: Mehanika Leta Zrakoplova

5

Heavisideov teorem razvoja, 13.4, 13.5, 13.6, 14.3, 14.4, 14.5

horizontalni zaokret, 8.3.1

inercijaksa sila, 6.1.2

jedinični impuls (Impulsive Admittance), 13.4, 14.3

jedinični otskok (Indicial Admittance), 13.5, 14.4

jednadžba stanja zraka, B.3

karakteristični polinom, 13.2.1, 14.1

kinetički moment, 6.2.2

koeficijenti dinamičke stabilnosti

sila , 12.2.2

momenata, 12.2.5

koeficijent gušenja (Dumping Coefficient), 13.2.1

koordinatni sustavi, 1.3

koordinanti sustav

aerodinamički, 1.4.2

brzinski, 1.4.1

letjelice, 1.3.3

lokalni, 1.3.1

nošeni, 1.3.2

koordinirani zaokret, 8.3.2

korak elise, 6.5.1

kružna učestalost, 13.2.1

kut

napadni, 1.4.2

napadni motora, 6.4.1

klizanja, 1.4.2

klizanja motora, 6.4.1

penjanja najveći (Best Angle of Climb, BAC), 8.2.1

postavni, 2.3

propinjanja, 1.3.3

prostorni krila, 4.2.1.1

ravnotežni napadni, 7.1.3

skretanja, 1.4.1

valjanja, 7.4.3

Page 414: Mehanika Leta Zrakoplova

6

valjanja letjelice, 1.3.3

zanosa, 1.3.3

zakretanja motora, 6.4.1

kutna brzina letjelice, 1.3.3

kutna brzina motora (Revolution Per Minute, RPM), C.1

kvašena površina, 3.1.1

linearizacija, 12.1.3

matrica

kososimetrična, 1.1.2

transformacija, 1.2, 1.2.1

temeljna, jed. 1.32-4

minimalno vrijeme penjanja, 10.4.3

model zrakoplova

kao materijalne točke, 7.4.4

kao krutog tijela (6DOF), 11.2

linearizirani, 12.2.7

modovi

uzdužnog gibanja, 13.2.1

bočnog gibanja, 14.1

momenta propinjanja

horizontalni rep - trup, 3.2.2

krilo - tijelo, 3.2.1

nulti članovi, 3.2.4

tijela, 3.2.3

stacionarni gradijenti, 3.2.4

moment pogonske sile, 6.4.3 i 6.5.2

moment tromosti

centrifugalni 6.2.3

za os, 6.2.3

načelo očvršćivanja, 6.3.5

neutralna točka, 7.2.3

normalna sila

kombinacije tijelo-noseća površina, 2.3

krilo - tijelo, 3.2.1

Page 415: Mehanika Leta Zrakoplova

7

nulti članovi, 3.2.4

horizontalni rep - trup, 3.2.2

stacionarni gradijenti, 3.2.4

normalno opterećenje, 7.1.4 i 10.3.2

otpor, 2.1.1, 3.1

dna, 3.1.2

dodatni, 3.1.5

inducirani, 3.1.7

nulti, 3.1.6

transonični, 3.1.4

trenja, 3.1.1

valni, 3.1.3

Oswaldov koeficijent, 3.1.7

otklon upravljačke površine, 2.2.7

ovojnice horizontalnog leta, 8.1.4

ovojnica koordiniranog zaokreta, 8.3.4

parametar gušenja, 13.2.1

parametri

Eulerovi, jed. 1.37

Hamilton-Rodriguezovi, jed. 1.37

petlja, 8.4.3

plinska konstanta zraka, B.3

područje uporabe zrakoplova, 10.4.2

polara, 3.1.7

polijetanje (Take off), 9.1

pogonska sila, 6.4.2 i 6.5.1

poremećaji gibanja (perturabation), 12.1.3

potrebna sila, 8.1.2

potrebna snaga, 8.1.2

potrošnja goriva (Fuel Cosumption, FC), C.2.5

površina

referentna, 2.1.1

krila, 2.3

kvašenja, 3.1.1

Page 416: Mehanika Leta Zrakoplova

8

diska elise, 6.5.1

poprečna, 3.1.3 i 3.1.5

prijenosne funkcije (Open Loop Transfer Function)

po otklonu kormila visine, 13.3

po otklonu kormila pravca, 14.2

po otklonu krilaca, 14.2

prirast specifične energije po jedinici goriva (Fuel Specific Energy), 10.4.4

prirodna učestalost, 13.2.1

raspoloživo opterećenje, 8.3.3

raspoloživa sila, 8.1.3

raspoloživa snaga, 8.1.3

referentno gibanje, 12.1.2

relativno gibanje, 6.1

savijanje struje, 2.4 i 6.4.1

sigurnost polijetanja, 9.1.3

skretanje struje, 4.1.1 i 6.4.1

slijetanje (Landing), 9.2

specifična energija (Specific Energy) 10.1

specifična potrošnja goriva (Specific Fuel Consumption), C.2.5

stabilnost

statička, 7.2.2

dinamička uzdužna 13

dinamička bočna, 14

Steinerov teorem, 6.2.4

sustav

očvrsnuti, 6.3.2

prividni, 6.3.2

promjenljive mase, 6.3.1

tenzor tromosti, 6.2.3

tlak punjenja (Manifold Absolute Pressure, MAP), C.1

trajanje leta (Endurance) 8.1.6

ubrzanje

apsolutno, 6.1.1

Coriolisovo, 6.1.1

Page 417: Mehanika Leta Zrakoplova

9

komponente, 1.4.1

kutno, 6.1.1

prijenosno, 6.1.1

relativno, 6.1.1

Zemljane teže, B.2

učestalost, 13.2.1

ukupna energija (Energy State), 10.1

upravljivost

uzdužna, 7.3.1

bočna 7.3.3

usporenje struje, 2. 4

uzgon, 3.2, 2.1.1

vektor stanja, 11.2 i 12.1.1

vektor upravljanja, 12.1.1

vektorski i skalarni produkt 1.12

vertikalna ravnoteža zraka, B.4

vertikalni zaokret, 8.4

veze između parametara i kutova, 1.2.5

visina nadvisivanja prepreke (Obstacle Clearance Altitude), 9.1.5

višak specifične snage, 10.2.1

vlažnost zraka, B.3

vrijeme penjanja, 8.2.4

vrjemenska konstanta, 13.2.1

Oznake

Opće oznake

a brzina zvuka, ubrzanje

A vitkost krila, azimut

b raspon krila

c tetiva profila

Ac aerodinamička tetiva krila

C napadna točka normlane sile

Page 418: Mehanika Leta Zrakoplova

10

KLD CCC aerodinamički koeficijenti sila u aerodinamičkom koordinatnom sustavu

ZYX CCC aerodinamički koeficijenti sila u koordinatnom sustavu letjelice

nm CCCl aerodinamički koeficijenti momenata u koordinatnom sustavu letjelice

XA CC −= aerodinamički koeficijent aksijalne sile

ZN CC −= aerodinamički koeficijent normalne sile

d promjer

D otpor

e Oswaldov koeficijent krila

e Hamilton R

E trajanje leta

f otklon zakrilca

F sila

g ubrzanje sile Zemljine teže

h udaljenost od aerodinamičkog ishodišta u pravcu x osi zrakoplova, visina leta

he specifična energija

H visina leta

i postavni kut noseće površine, imaginarna jedinica

I tenzor tromosti

J jedinična matrica

BWk koeficijent interferencije otklonjene kombinacije krilo - tijelo

K koeficijent induciranog otpora zrakoplova

BWK koeficijent interferencije planarne kombinacije krilo - tijelo

l udaljen ost od elise u pravcu x osi zrakoplova

L uzgon, moment valjanja

ABL matrica transformacije iz koordinatnog sustava A u koordinatni sustav B

ZYX LLL temeljne matrice transformacija

m masa zrakoplova

M moment propinjanja

Ma Machov broj

n normalno opterećenje

N moment skretanja

N neutralna točka.

Page 419: Mehanika Leta Zrakoplova

11

brzine kutne komponente

rqp

p tlak

P snaga

Pa Pr raspoloživa snaga, potrebna snaga

Ps specifični višak snage

R dolet

is ωδ +−= korijen karakteristične jednadžbe

[ ]ψϑφ=s stav zrakoplova

S površina

t vrijeme

T pogonska sila, temperatura zraka

Ta Tr raspoloživa, potrebna pogonska sila

brzine komponente

wvu

V intenzitet aerodinamičke brzine

Vk intenzitet brzine leta

W težina

fW širina trupa

X vektor stanja

X aerodinamička sila u pravcu x osi

Y aerodinamička sila u pravcu y osi

Z aerodinamička sila u pravcu z osi

Grčka slova

βα napadni kut, kut klizanja

γχ kut skretanja brzine, kut propinjanja brzine

φϑψ De Sparraini kutovi zrakoplova

AAA µγχ De Sparraini kutovi aerodinamičkog koordinatnog sustava

nm δδδ l otklon krilaca, otklon kormila visine, otklon kormila pravca

Page 420: Mehanika Leta Zrakoplova

12

λ suženje krila

Vη koerficijent umanjenja dinamičkog tlaka na vertikalnom stabilizatoru

hη koeficijent umanjenja dinamičkog tlaka na horizontalnom stabilizatoru

ρ gustoća zraka

ω kutna brzina

ζ gušenje

Indeksi

( )A veličina aerodinamičkog koordinatnog sustava

( ) ( ) fB = veličina tijela

( )F veličina koordinatnog sustava letjelice

( )h veličina horizontalnog repa

( )K brzina ili ubrzanje u odnosu na zemlju

( )L veličina lokalnog koordinatnog sustava

( )m veličina za središte mase

( )n veličina za neutralnu točku

( )O veličina nošenog koordinatnog sustava

( )V veličina brzinskog koordinatnog sustava

veličina vertikalnog repa

( )W veličina krila (od dva polukrila)

Eksponenti

( )L komponente u lokalnom koordinatnom sustavu

( )O komponente u nošenom koordinatnom sustavu

( )F komponente u koordinatnom sustavu letjelice (obično se izostavlja)

( )V komponente u brzinskom koordinatnom sustavu

( )A komponente u aerodinamičkom koordinatnom sustavu