mek-rek 1 titik berat - baru
TRANSCRIPT
Mekanika Rekayasa - 1
TITIK BERAT, GARIS NETRAL dan MOMEN INERSIASTATIS MOMEN Kita tinjau penampang berbentuk seperti gambar berikut ini :Y
- Elemen seluas dA - Jarak x dan y dari sumbu X dan Yx dA
- Statis momen terhadap sumbu X = Sx - Statis momen terhadap sumbu Y = SyX
y
Maka Statis Momen, luasan terhadap salah satu sumbu adalah luas dikalikan jarak titik berat luasan tersebut terhadap sumbu yang ditinjau. (Delta Teknik, 2003)Y X dA
dan adalah koordinat titik berat.
MOMEN INERSIA Inersia diasumsikan sebagai : 1. (Struktur) Ketahanan suatu bagian balok terhadap tekukan, tergantung dari bentuk dan ukurannya.
1
Mekanika Rekayasa - 1
2. (Mekanik) Ketahanan suatu massa terhadap perputaran, sama dengan massanya dikali dengan jarak dari pusat putaran pangkat dua. Momen inersia sendiri tidak mempunyai arti, momen inersia hanya pernyataan matematis yang disimbolkan dengan I. Tetapi pemakaiannya mulai berarti jika bergabung dengan terminologi lain. Seperti pada rumus lentur tegangan balok, = Mc/I. Momen inersia disebut juga momen area (luas) kedua, karena setiap luas differensial dikali dengan lengan momennya memberikan momen luas, bila dikali kedua kali dengan lengan momen memberikan momen inersia.Y x dA
- O adalah titik beraty 0 X
- Sumbu X dan sumbu Y melalui titik O
Momen Inersia terhadap sumbu Y = Momen Inersia terhadap sumbu X = Product of Inertia dan Inertia Polar
. dA . dA
Rumus Steiner digunakan untuk momen inersia terhadap sumbu yang tidak melalui titik berat benda. Dimana rumus Steiner adalah :
2
Mekanika Rekayasa - 1
Y
b
Y x dA
y
a = jarak sumbu X ke X0 a X X
b = jarak sumbu Y ke Y
TITIK BERAT LUASAN DENGAN INTEGRASI Untuk menempatkan titik berat luasan. Kita perlu menyamakan momen . Seluruh luasan, terhadap sumbu acuan tertentu. Bila setiap luas komponen sangat kecil, atau dA, persamaan terhadap sumbu Y dan X menjadi : C
atau
- Titik berat segitiga dibentuk oleh perpotongan garis-garis berat segitigab x a x H
- O adalah titik berat - Garis netral adalah garis yang melalui
OA c L B
O dan sejajar garis AB
Contoh :m n II Y1 I Y2 O X2 n
Langkah : 1. Tentukan sumbu referensi, misalkan sumbu mm dan n-n 2. Jarak titik berat bagian I terhadap sumbu n n = Y1 3. Jarak titik berat bagian I terhadap sumbu m m = X1
X1 m 3
Mekanika Rekayasa - 1
4. Jarak titik berat bagian II terhadap sumbu n n = Y2 5. Jarak titik berat bagian II terhadap sumbu m m = X2 6. Koordinat titik berat adalah ( ) Untuk menentukan koordinat titik berat gunakan statis momen terhadap sumbu yang ditinjau lalu sama dengankan dengan nol. Statis momen terhadap sumbu n n = 0 (Luas I) . Y1 + (Luas II) . Y2 = (Luas I + Luas II) . maka :
( (
)
( )
)
Statis momen terhadap sumbu m m = 0 (Luas I) . X1 + (Luas II) . X2 = (Luas I + Luas II) . maka :
Contoh 1 :
( (
)
( )
)
Cari letak titik berat segitiga terhadap sumbu Y :Y dx a C 0 x b y X
Penyelesaian : Misalkan luas kecil dA merupakan irisan vertikal yang sejajar dengan sisi a,4
Mekanika Rekayasa - 1
maka dA = y . dx dan Luas segitiga = A = dengan segitiga sebangun : Statis momen terhadap sumbu Y atau = SY ( ) ( ( ) ) ( ( ) )
Contoh 2 :
Y
dx
C 0
y=a X
Cari letak titik berat empat persegi Panjang di sebelah ini.
x b
5
Mekanika Rekayasa - 1
Penyelesaian : Misalkan luas kecil dA merupakan irisan vertikal yang sejajar dengan sisi a, maka dA = y . dx dan y = a = SY ( ( ( ( ( ) ) ) ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) Statis momen terhadap sumbu Y
6
Mekanika Rekayasa - 1
SUMBU UTAMA, SUMBU SIMETRIY
- Sumbu X dan sumbu Y membagi penampang sama besar. - Sumbu X dan xumbu Y disebut Sumbu Simetri.0 X
- Sumbu X dan sumbu Y disebut juga Sumbu Utama, karena
Kita tinjau penampang di bawah ini :Y X Y 0 X
- Sumbu X dan sumbu Y bukan sumbu utama, karena - Untuk menentukan sumbu utamanya, sumbu X dan sumbu Y di rotasikan sebesar , sehingga menjadi sumbu X dan sumbu Y. Sumbu X dan Y akan menjadi sumbu utama.
Sumbu simetri adalah sumbu utama, tetapi tidak semua sumbu utama menjadi sumbu simetri. MENENTUKAN IX, IY DAN Y Y x F E 0 B y y C D X X x c
Pada gambar disamping : - X dan Y adalah sumbu utama, setelah dirotasikan sebesar . - Ordinat titik berat elemen A terhadap sumbu X dan Y adalah (x, y) ; 7
Mekanika Rekayasa - 1
Dimana :
(
)
(
)
Maka,
Dimana :
(
) ( )
( )
8
Mekanika Rekayasa - 1
( )
(
)
(
) ( )
(
)
(
) ( )
( )( )
( (
) )
(
)
9
Mekanika Rekayasa - 1
Syarat sumbu utama
(
)
Ingat Trigonometri
Persamaan (1) dan (2) dijumlahkan sehingga : ( Harga-harga ) ( dan ) disubsitusikan kepersamaan diatas, diperoleh :
(
)
(
) ( ( ) ) ( ( ) ( ) )
(
)
(
) ( ( ) ( ( ( ) ) ) ( ( ) ) )
(
) ( )
(
) ( )
(
)
10
Mekanika Rekayasa - 1
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( (
))
Persamaan (1) dan (2) dikurangi :
( (
) )
( ( (
) ))
Jadi sumbu utama X dan Y adalah dua sumbu yang saling tegak lurus, dimana momen inersia dari sumbu tersebut mempunyai harga maksimum dan minimum.
(
)
( (
))
(
)
( (
))
Untuk menentukan lokasi sumbu utama X dan Y digunakan dua cara yaitu : 1. Secara analitis (dengan rumus ):
2. Secara grafis (dengan gambar)
11
Mekanika Rekayasa - 1
Perhatikan balok dibawah ini : BalokY X
akan
melentur
terhadap
sumbu X X (sumbu ini tegak lurus arah ke bawah dari lenturan balok)
X Arah melentur
Y
Jadi untuk perhitungan tegangan digunakan IX .
Contoh 3 : Tentukan Imaks dan Imin dari gambar berikut ini.b 1 cm
Penyelesaian : Menentukan sumbu x, y dan titik berat, Statis momen terhadap garis a a = 0
4 cm
(
)
( )
(
)
1 cm a b a 1 cm
Statis momen terhadap garis b b = 0 ( ) ( ) ( )
12
Mekanika Rekayasa - 1
Menentukan Ix , Iy dan IxyBgn Luas A 2 (cm ) 3 Ordinat x (cm) =0,5-0,7 = - 1.2 =1-0,7 =0,3 y (cm) = 1+1,5 -1,7 =0,8 =0,5-1,7 =-1,2 =3x(-1,2) =0,12 =2x(0,3) = 0,182
A.x 4 (cm )
2
A.y 4 (cm ) =3x(0,8) =1,922
2
A.x.y 4 (cm ) =3x(-1,2) x0,8 = - 0,48 =2x0,3x (-1,2) = -0,72
Thd Sb sendiri Ixo = =2,25 = =0,1667 Iyo = =0,25 = =0,667 Total
Ix = Ixo + A.y (cm )4
2
Iy = Iyo + 2 A.x 4 (cm ) =0,25+0,12 =0,37 =0,667+ 0,18 =0,847 =1,217
Ixy = Ixoyo + A.x.y 4 (cm ) =0+(-0,48) =-0,48 =0+(-0,72) = -0,72 = -1,2
I
=2,25+1,92 =4,17 =0,1667+ 2,88 =3,0467 =7,2167
II
2
2
=2x(-1,2) =2,88
2
(
)
(
)
(
)
(
)
( (
) )
(
)
13
Mekanika Rekayasa - 1
14