Mekanika Hamiltonian

Mekanika Hamilton adalah reformulasi dari mekanika klasik yang

diperkenalkan pada 1833 oleh matematikawan Irlandia William Rowan Hamilton . Ini

muncul dari mekanika Lagrangian , sebuah reformulasi sebelumnya mekanika klasik

diperkenalkan oleh Joseph Louis Lagrange pada 1788, tetapi dapat dirumuskan tanpa

recourse pada mekanika Lagrangian menggunakan ruang symplectic (lihat formalisme

Matematika , di bawah). Metode Hamilton berbeda dari metode Lagrangian dalam

bahwa alih-alih mengungkapkan-diferensial kendala kedua pada n-dimensi ruang

koordinat (dimana n adalah jumlah derajat kebebasan sistem), itu mengungkapkan

kendala-order pertama n 2 -dimensi ruang fase .

Seperti dengan mekanika Lagrange, Hamilton persamaan dan setara

menyediakan cara baru dalam memandang mekanika klasik. Secara umum, persamaan

ini tidak menyediakan cara yang lebih mudah untuk menyelesaikan masalah tertentu.

Sebaliknya, mereka memberikan wawasan yang lebih mendalam ke kedua struktur umum

mekanika klasik dan hubungannya dengan mekanika kuantum sebagai dipahami melalui

mekanik Hamilton, serta hubungannya ke area lain dari ilmu pengetahuan.

Sekilas Sederhana penggunaan

Nilai Hamiltonian adalah energi total sistem sedang dijelaskan. Untuk sistem

tertutup, itu adalah jumlah dari kinetik dan energi potensial dalam sistem. Ada satu set

persamaan diferensial yang dikenal sebagai persamaan Hamilton yang memberikan

evolusi waktu dari sistem. Hamiltonians dapat digunakan untuk menjelaskan sistem

sederhana seperti bola memantul, pendulum atau osilasi pegas di mana perubahan energi

dari kinetik ke waktu potensi dan kembali lagi berakhir. Hamiltonians juga dapat

digunakan untuk model energi lain dinamis sistem yang lebih kompleks seperti orbit

planet di mekanika langit dan juga dalam mekanika kuantum.

Persamaan Hamilton umumnya ditulis sebagai berikut:

Dalam persamaan di atas, dot menunjukkan derivatif biasa terhadap waktu dari

fungsi p = p (t) (momentum umum disebut) dan q = q (t) (disebut umum koordinat ), nilai

mengambil di beberapa ruang vektor, dan = adalah apa yang disebut

Hamilton, atau (skalar dinilai) fungsi Hamiltonian. Jadi, lebih eksplisit, satu

dipersamakan bisa menulis

dan menentukan domain nilai di mana parameter t (waktu) bervariasi.

Untuk derivasi rinci dari persamaan dari mekanika Lagrangian , lihat di bawah.

fisik interpretasi Dasar

Interpretasi sederhana dari Persamaan Hamilton adalah sebagai berikut,

menerapkannya ke sistem satu dimensi yang terdiri dari satu partikel dengan massa m

dalam waktu kondisi batas independen dan menunjukkan konservasi energi : The

Hamiltonian merupakan energi dari sistem, yang merupakan jumlah kinetik dan

energi potensial , dilambangkan tradisional T dan V, masing-masing. Berikut q adalah x-

koordinat dan p adalah momentum, mv. Kemudian

Perhatikan bahwa T adalah fungsi dari p saja, sedangkan V adalah fungsi dari x (atau q)

saja.

Sekarang waktu turunan dari p momentum sama dengan gaya Newtonian, dan

sebagainya di sini Persamaan Hamilton pertama berarti bahwa gaya pada partikel sama

dengan tingkat di mana ia kehilangan energi potensial terhadap perubahan x, lokasi.

(Angkatan sama dengan negatif gradien energi potensial.)

The-turunan terhadap waktu dari q di sini berarti kecepatan: Hamilton kedua Persamaan

di sini berarti bahwa partikel kecepatan sama dengan turunan dari energi kinetik yang

berkaitan dengan momentum. (Karena derivatif sehubungan dengan p p 2 / 2 m sama

dengan p / m / m = v mv =.)

Menggunakan's persamaan Hamilton

1. Pertama menulis keluar Lagrangian L = T - V. T Express dan V seolah-olah Anda

akan menggunakan persamaan Lagrange's.

2. Hitung momentum dengan membedakan Lagrangian sehubungan dengan

kecepatan: .

3. Express kecepatan dalam hal momentum dengan membalik ekspresi dalam

langkah (2).

4. Hitung Hamilton menggunakan definisi biasa H sebagai transformasi Legendre

L: . Pengganti untuk kecepatan

dengan menggunakan hasil pada langkah (3).

5. Hamilton Terapkan persamaan.

Catatan

Teman-persamaan Hamilton yang menarik mengingat kesederhanaan yang indah dan

(sedikit rusak ) simetri . Mereka telah dianalisis di bawah dibayangkan hampir setiap

sudut pandang, dari fisika dasar sampai ke geometri symplectic . Banyak yang diketahui

tentang solusi persamaan ini, namun tepat solusi umum kasus persamaan gerak tidak

dapat diberikan secara eksplisit untuk sistem lebih dari dua partikel titik masif. Temuan

jumlah kekal memainkan peranan penting dalam mencari solusi atau informasi tentang

alam mereka. Dalam model dengan jumlah tak terbatas derajat kebebasan , ini tentu saja

lebih rumit. An dan menjanjikan daerah yang menarik dari penelitian adalah studi

tentang sistem terintegral , dimana jumlah tak terbatas jumlah yang kekal yang

independen dapat dibangun.

Hamilton persamaan Menderivasi

Kita dapat memperoleh's persamaan Hamilton dengan melihat bagaimana diferensial

total dari Lagrangian tergantung pada waktu, posisi umum dan kecepatan umum:

Sekarang momentum umum didefinisikan sebagai dan persamaan Lagrange's

memberitahu kita bahwa

Kita dapat mengatur ulang ini untuk mendapatkan

dan pengganti hasilnya ke diferensial total Lagrangian

Kita dapat menulis ulang ini sebagai

dan mengatur ulang lagi untuk mendapatkan

Istilah di sisi sebelah kiri adalah hanya Hamilton yang kita telah mendefinisikan

sebelumnya, jadi kami menemukan bahwa

di mana persamaan kedua memegang karena definisi dari derivatif parsial.

Mengasosiasikan istilah dari kedua sisi persamaan di atas persamaan menghasilkan

Hamilton

Sebagai reformulasi mekanika Lagrangian

Dimulai dengan mekanika Lagrangian , maka persamaan gerak didasarkan pada

koordinat umum

dan mencocokkan kecepatan umum

Kami menulis Lagrangian sebagai

dengan variabel subscript dipahami untuk mewakili semua variabel N tipe itu. mekanika

Hamilton bertujuan untuk menggantikan variabel kecepatan umum dengan variabel

momentum umum, juga dikenal sebagai momentum konjugat. Dengan demikian, adalah

mungkin untuk menangani sistem tertentu, seperti aspek mekanika kuantum, yang lain

akan lebih rumit.

Untuk setiap kecepatan umum, ada satu sesuai momentum konjugat , didefinisikan

sebagai:

Dalam koordinat Cartesian , momentum umum adalah justru linier fisik

momentum . Dalam lingkaran kutub koordinat , momentum umum sesuai dengan

kecepatan angular adalah fisik momentum sudut . Untuk pilihan sewenang-wenang dari

koordinat umum, tidak mungkin untuk mendapatkan interpretasi intuitif momentum

konjugat.

Satu hal yang tidak terlalu jelas dalam koordinat ini formulasi terikat adalah koordinat

umum yang berbeda benar-benar tidak lebih dari coordinatizations berbeda dari yang

sama manifold symplectic .

Perumusan Hamiltonian adalah transformasi Legendre dari Lagrangian :

Jika persamaan transformasi mendefinisikan koordinat umum independen t, dan

Lagrangian adalah jumlah produk fungsi (dalam koordinat umum) yang homogen order

0, 1 atau 2, maka dapat ditunjukkan bahwa H adalah sebesar E energi total = T + V.

Setiap sisi dalam definisi menghasilkan diferensial:

Menggantikan definisi sebelumnya momentum konjugat ke dalam persamaan dan

koefisien yang sesuai, kita memperoleh persamaan gerak mekanika Hamiltonian, yang

dikenal sebagai persamaan kanonik Hamilton:

Teman-persamaan Hamilton adalah orde pertama persamaan diferensial , dan dengan

demikian lebih mudah untuk memecahkan persamaan Lagrange dari itu, yang orde

kedua. persamaan Hamilton memiliki keuntungan lain atas persamaan Lagrange's: jika

sistem memiliki simetri, seperti yang koordinat tidak terjadi di Hamilton, momentum

yang terkait dilestarikan, dan yang mengkoordinasikan dapat diabaikan dalam persamaan

lainnya dari set tersebut. Efektif, ini mengurangi masalah dari n koordinat untuk (n-1)

koordinat. Dalam rangka Lagrangian, tentu hasilnya bahwa momentum yang sesuai

adalah kekal masih mengikuti segera, tapi semua kecepatan umum masih terjadi di

Lagrangian - kita masih harus menyelesaikan suatu sistem persamaan dalam n koordinat. [4]

Pendekatan Lagrangian dan Hamiltonian menyediakan dasar untuk hasil lebih dalam

teori mekanika klasik, dan untuk formulasi mekanika kuantum.

Geometri sistem Hamiltonian

Sebuah sistem Hamiltonian dapat dipahami sebagai bundel serat E selama waktu R,

dengan serat t E, t ∈ R sebagai ruang posisi. The Lagrangian dengan demikian fungsi

pada bundel jet J atas E; mengambil fiberwise transformasi Legendre dari Lagrangian

menghasilkan fungsi pada berkas ganda dari waktu ke waktu yang serat di t adalah ruang

kotangens T * E t, yang dilengkapi dengan alami symplectic bentuk , dan fungsi yang

terakhir adalah Hamiltonian.

Generalisasi untuk mekanika kuantum melalui braket

Poisson

Hamilton persamaan di atas bekerja dengan baik untuk mekanika klasik , tapi tidak

untuk mekanika kuantum , sejak dibahas persamaan diferensial mengasumsikan bahwa

seseorang dapat menentukan posisi yang tepat dan momentum partikel secara simultan

pada setiap titik waktu. Namun, persamaan dapat lebih umum untuk kemudian diperluas

untuk diterapkan ke mekanika kuantum serta mekanika klasik, melalui deformasi dari

aljabar Poisson lebih dari p dan q ke aljabar kurung Moyal .

Secara khusus, bentuk yang lebih umum dari persamaan Hamilton reads

dimana f adalah beberapa fungsi dari p dan q, dan H adalah Hamiltonian. Untuk

mengetahui aturan untuk mengevaluasi sebuah braket Poisson tanpa menggunakan

persamaan diferensial, lihat aljabar Lie , sebuah braket Poisson adalah nama untuk braket

Lie dalam aljabar Poisson . Poisson kurung ini kemudian dapat diperpanjang untuk

kurung Moyal comporting ke aljabar Lie inequivalent, sebagaimana dibuktikan oleh H

Groenewold, dan dengan demikian menggambarkan difusi kuantum mekanik dalam

ruang fase (lihat prinsip ketidakpastian dan kuantisasi Weyl ). Ini aljabar pendekatan

yang lebih tidak hanya mengizinkan akhirnya memperluas distribusi probabilitas dalam

ruang fase untuk kuasi-probabilitas distribusi Wigner , namun, pada braket Poisson

pengaturan klasik belaka, juga menyediakan lebih banyak kekuatan dalam membantu

menganalisis relevan jumlah dilestarikan dalam suatu sistem.

formalisme Matematika

Setiap halus -nilai fungsi nyata H pada manifold symplectic dapat digunakan untuk

menentukan sistem Hamiltonian . Fungsi H dikenal sebagai Hamiltonian atau fungsi

energi. symplectic tersebut manifold ini kemudian disebut dengan ruang fase . The

Hamilton menginduksi khusus medan vektor di manifold symplectic, yang dikenal

sebagai medan vektor symplectic .

Bidang vektor symplectic, juga disebut medan vektor Hamilton, menginduksi aliran

Hamiltonian pada manifold. Para kurva integral dari medan vektor adalah parameter-

keluarga salah satu transformasi dari manifold, parameter kurva ini biasanya disebut

waktu. Evolusi waktu diberikan oleh symplectomorphisms . Dengan Teorema Liouville

, setiap symplectomorphism menjaga bentuk volume pada ruang fase . Pengumpulan

symplectomorphisms disebabkan oleh aliran Hamilton umumnya disebut mekanika

Hamiltonian sistem Hamiltonian.

Struktur symplectic menginduksi kurung Poisson . Braket Poisson memberikan ruang

fungsi pada struktur manifold dari suatu aljabar Lie .

Mengingat fungsi f

Jika kita memiliki distribusi probabilitas , ρ, maka (karena ruang kecepatan fase (

) Memiliki divergensi nol, dan probabilitas kekal) derivatif konvektif yang dapat

ditunjukkan dengan nol dan

Hal ini disebut Teorema Liouville . Setiap fungsi halus G selama symplectic manifold

menghasilkan parameter-keluarga salah satu symplectomorphisms dan jika {G, H} = 0,

maka G adalah kekal dan symplectomorphisms adalah transformasi simetri .

Sebuah Hamilton dapat memiliki beberapa dilestarikan jumlah i G. Jika symplectic

manifold memiliki dimensi 2 n dan ada n fungsional independen dilestarikan jumlah i G

yang dalam involusi (yaitu, {G i, G j} = 0), maka Hamilton Liouville integrable . The -

Arnol'd Teorema Liouville mengatakan bahwa secara lokal, setiap integrable Liouville

Hamiltonian dapat diubah melalui symplectomorphism di sebuah Hamiltonian baru

dengan jumlah i G dilestarikan sebagai koordinat, koordinat yang baru disebut tindakan-

sudut koordinat. The Hamilton berubah tergantung hanya pada i G, dan karenanya

persamaan gerak memiliki bentuk sederhana

untuk beberapa fungsi F (Arnol'd et al 1988.,). Ada seluruh bidang berfokus pada

penyimpangan kecil dari sistem integrable diatur oleh teorema KAM .

The integrability bidang vektor Hamilton pertanyaan terbuka. Secara umum, sistem

Hamilton adalah chaos ; konsep ukuran, kelengkapan, integrability dan stabilitas yang

buruk didefinisikan. Pada saat ini, studi tentang sistem dinamis terutama kualitatif, dan

bukan ilmu kuantitatif.

manifold Riemann

Kasus khusus yang penting adalah mereka Hamiltonians yang bentuk kuadrat , yaitu,

Hamiltonians yang dapat ditulis sebagai

mana adalah lancar bervariasi hasil kali dalam pada serat , Yang ruang

kotangens ke q titik di ruang konfigurasi , kadang-kadang disebut cometric . Hamiltonian

ini terdiri seluruhnya dari istilah kinetik .

Jika seseorang mempertimbangkan manifold Riemann atau manifold pseudo-Riemann ,

yang Riemann metrik menginduksi isomorfisma linier antara dan kotangens bundel

tangen. (Lihat isomorfisma Musik ). Menggunakan isomorfisma ini, kita dapat

menentukan cometric. (Dalam koordinat, matriks mendefinisikan cometric adalah

kebalikan dari matriks mendefinisikan metrik.) Solusi-solusi terhadap persamaan

Hamilton-Jacobi untuk Hamilton adalah maka sama dengan geodesics di manifold.

Secara khusus, aliran Hamiltonian dalam hal ini adalah hal yang sama dengan aliran

geodesic . Adanya solusi tersebut, dan kelengkapan dari himpunan solusi, dibahas secara

rinci dalam artikel di geodesics . Lihat juga Geodesics sebagai arus Hamiltonian .

Sub-manifold Riemann

Ketika cometric sudah mati, maka tidak invertible. Dalam hal ini, seseorang tidak

memiliki manifold Riemann, sebagai salah satu tidak memiliki metrik. Namun,

Hamiltonian masih ada. Dalam kasus di mana cometric sudah mati di setiap q titik ruang

konfigurasi Q manifold, sehingga peringkat dari cometric kurang dari dimensi Q

manifold, satu memiliki sub-Riemann manifold .

The Hamiltonian dalam kasus ini dikenal sebagai sub-Riemann Hamiltonian. Setiap

Hamilton unik seperti menentukan cometric, dan sebaliknya. Ini berarti bahwa setiap

sub-Riemann manifold secara unik ditentukan oleh anak-Riemann Hamilton pembantu,

dan yang sebaliknya adalah benar: setiap sub-Riemann Hamiltonian manifold memiliki

sub-Riemann unik. Keberadaan-Riemann geodesics sub diberikan oleh -Rashevskii

teorema Chow .

Yang terus-menerus, real-nilai kelompok Heisenberg memberikan contoh sederhana dari

manifold Riemann-sub. Untuk kelompok Heisenberg, yang Hamiltonian diberikan oleh

p z tidak terlibat dalam Hamiltonian.

aljabar Poisson

Hamilton sistem dapat digeneralisir dalam berbagai cara. Bukan hanya melihat aljabar

dari fungsi mulus selama manifold symplectic , mekanik Hamilton dapat dirumuskan

pada umumnya komutatif unital nyata aljabar Poisson . Sebuah negara adalah kontinu

linier fungsional pada aljabar Poisson (dilengkapi dengan beberapa sesuai topologi )

sedemikian rupa sehingga untuk setiap elemen A aljabar, A peta ² ke bilangan real tak

negatif.

Sebuah generalisasi lebih lanjut diberikan oleh dinamika Nambu .

partikel Dibebankan dalam medan elektromagnetik

Sebuah ilustrasi yang baik dari mekanika Hamiltonian diberikan oleh Hamiltonian dari

partikel bermuatan dalam medan elektromagnetik . Dalam koordinat Cartesian (yaitu q i

= x i), Lagrangian relativistik klasik dari partikel-non medan elektromagnetik (dalam SI

Unit ):

dimana e adalah muatan listrik dari partikel (tidak harus muatan elektron), φ adalah

skalar potensial listrik , dan i A adalah komponen dari vektor potensial magnetik (ini

dapat diubah melalui transformasi gauge ).

Momentum umum mungkin diturunkan oleh:

Pengaturan ulang, kita dapat menyatakan kecepatan dalam hal momentum, seperti:

Jika kita mengganti definisi momentum, dan definisi kecepatan dalam hal momentum, ke

definisi dari Hamiltonian diberikan di atas, dan kemudian menyederhanakan dan

mengatur ulang, kita mendapatkan:

Persamaan ini sering digunakan dalam mekanika kuantum .

relativistik partikel bermuatan dalam medan

elektromagnetik

The Lagrangian untuk partikel bermuatan relativistik diberikan oleh:

Jadi kanonik partikel (total) momentum

yaitu jumlah momentum kinetik dan momentum potensial.

Penyelesaian untuk kecepatan, kita mendapatkan

Jadi Hamilton adalah

Dari sini kita mendapatkan persamaan gaya (setara dengan -Lagrange persamaan Euler )

dari yang satu dapat memperoleh

Sebuah ekspresi yang setara untuk Hamiltonian sebagai fungsi dari momentum (kinetik)

relativistik, adalah

Hal ini memiliki keuntungan yang dapat diukur secara eksperimen sedangkan tidak

bisa. Perhatikan bahwa (Hamiltonian total energi ) dapat dipandang sebagai jumlah dari

energi relativitas (kinetik + istirahat) , ditambah dengan energi potensial ,

Referensi

Arnol'd, VI (1989), Metode Matematika Mekanika Klasik, Springer-Verlag,

ISBN 0-387-96890-3

Ibrahim, R. ; Marsden, JE (1978), Yayasan Mekanika, London: Benjamin-

Cummings, ISBN 0-8053-0102-X

Arnol'd, VI ; Kozlov, VV; Neĩshtadt, AI (1988), aspek Matematika dan langit

mekanika klasik, 3, Springer-Verlag

Vinogradov, AM; Kupershmidt, BA (1981) ( DjVu ), Struktur mekanika

Hamiltonian , London Math. Soc. Lek. Catatan Ser:., 60, London Cambridge

Univ. Tekan, http://diffiety.ac.ru/djvu/structures.djvu

Pranala luar

Binney, James J. , Mekanika Klasik (catatan kuliah) , Universitas Oxford ,

http://www-thphys.physics.ox.ac.uk/users/JamesBinney/cmech.pdf , diakses 27

Oktober 2010

Tong, David , Klasik Dinamika (Cambridge catatan kuliah) , University of

Cambridge , http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/dynamics.html , diakses 27

Oktober 2010