mekanika-ii pertemuan 6 ok
DESCRIPTION
okkkkk gunakanTRANSCRIPT
MEKANIKA II
MEKANIKA BENDA TEGAR
KINEMATIKA ROTASI• Bila terjadi perubahan sudut dalam selang waktu tertentu,
didefinisikan kecepatan sudut rata-rata sebagai :
12
12
tt
• Bila terjadi perubahan kecepatan sudut dalam selang waktu tertentu, didefinisikan percepatan sudut rata-rata sebagai :
12
12
tt
= Sudut [radian] = Kecepatan sudut [radian/s] = Percepatan sudut
[radian/s2 ] t = Waktu [s]
• Persamaan-persamaan kinematika rotasi :
)(22121
2
22
2
2
oo
o
oo
oo
o
tt
tt
t
t
• Kecepatan dan percepatan sudut sesaat :
dtd
t
dtd
t
t
t
0
0
lim
lim
• Hubungan antara kecepatan linier dan kecepatan sudut
rrdtdv
dtdsvrs
• Hubungan antara percepatan linier dan percepatan sudut
rrr
rv
rrdtd
dtrd
dtdva
r
t
222 )(
• Momen Inersia (rotasi) massa (translasi)
Untuk sistem partikel energi kinetiknya :
22
2222
21
21)(
21
21
IKrmI
rmrmvmK
ii
iiiiii
I disebut momen inersia dari sistem partikel
Untuk benda tegar momen inersianya dapat dihitung dari :
dmrI 2
DINAMIKA ROTASISebuah benda berputar pada suatu sumbu disebabkan karena adanya momen gaya atau torka/torsi (torque)
FrFrFrrFrFt
)sin(sin
Hukum Newton II untuk rotasi :
maFI
KERJA DAN DAYA ROTASI
f
i
f
i
x
x
tt
FdxWdW
ddWdrFrdFdsFdW
)(
FvPdtd
dtdWP
• Momentum SudutMomentum sudut didefinisikan sebagai perkalian antara momen inersia dan kecepatan sudut
vmpIL Hukum Newton II :
madt
dmvdtdpFI
dtdI
dtdL
Hukum kekekalan momentum sudut :
tankonsLL0 fi
• Gerak MenggelindingSebuah bola menggelinding di atas bidang datar tanpa slip
Titik kontak antara bola dan bidang datar bergerak sejauh s
Pusat massa terletak di atas titik kontak juga bergerak sejauh s
dtd
dtdR
dtdsVpm
Kondisi menggelinding :
RAdtd
dtdR
dtdV
RV
pm
pm
pm
• Bola bergerak translasi dengan kecepatan v tanpa rotasi,sehingga baik titik kontak maupun titik puncak mempunyai kecepatan yang sama dengan kecepatan pusat massa.
• Bola berputar dengan kecepatan sudut tanpa translasi, sehingga kecepatan pusat massa nol sedangkan kecepatan titik kontak dan titik puncak mempunyai kecepatan yang sama tetapi berlawanan arah sebesar R
• Bola menggelinding (translasi dan rotasi dengan v = R), sehingga kecepatan titik kontak nol, kecepatan pusat masa v dan kecepatan titik puncak 2v
• Tidak ada gerakan relatip antara bola dan bidang datar, gaya gesekan statik, karena diam tidak ada energi yang hilang
KECEPATAN SUDUT DAN PERCEPATAN SUDUT
r
P
lintasan titik PPanjang busur lintasan : rs
Posisi sudut : rs
r
P,t1
Q,t2
r
Kecepatan sudut rata-rata :
12
12
tt
t
Kecepatan sudut sesaat :
tt
lim0 dt
d
12
12
tt
Percepatan sudut rata-rata :
t
tt
lim0
Percepatan sudut sesaat :
dtd
GERAK ROTASI UNTUK PERCEPATAN SUDUT TETAP
dtd
tt o )(dtd
konstan
t
ot dttd
o 0)( )(
221)( ttt oo
tt dtd
o 0)(
tt dtd
o 0)(
tt o )(
)(222oo
atvtv o )(2
21)( attvsts oo
)(222oo ssavv
GLBB
RELASI BESARAN SUDUT DAN LINIER
r
P
v
dtdsv
dtdrv
rv
P
at
ar
a
rs panjang lintasan
dtdvat dt
dr
rat
rvar
2 2r
22rt aaa 4222 rr 42 r
Kecepatan linier :
Percepatan tangensial :
Percepatan radial :
ENERGI KINETIK ROTASI
ri
mi
vi
Energi kinetik partikel ke i :2
21
iii vmK
Energi kineti seluruh benda :
221
iii vmKK 2221 iirm
ii rv
Momen kelembaman 22
21 iirmK
2iirmI2
21 IK
Momen kelembaman untuk benda pejal :
m
mrIm
2
0lim dmr2
rapat massa :
Vm
V
lim
0
dVdm dVdm dVrI 2
MOMEN GAYA
d1
d2
F3
r3
sinrF
F2 cos
F2 sin F2
r2
F1
r1
dr sinFd (10.18)
21 net 2211 dFdF
Bagaimana keterkaitan momen gaya dengan besaran sudut ?
m
Ft
r
rFttt maF rmat )(
rat rmr )(
)( 2mr I (10.19)
Usaha dan Energi
P
dsd
sF ddW
Usaha : rdF )sin(F
F sin
ddW
IdtdI
dtd
ddI
ddI
dIdW
dIW t
o
2212
21
ot II
Usaha yang dilakukan oleh gaya luar untuk memutar benda tegar terhadap sumbu tetap sama dengan perubahan energi kenetik rotasi benda tersebut !
MOMEN INERSIA
Jawab Pertanyaan Diatas
Jawab Pertanyaan Diatas
Contoh Soal Sebuah roda gila (grindstone wheel) berputar dengan percepatan konstan sebesar 0,35 rad/s2. Roda ini mulai berputar dari keadaan diam (o = 0) dan sudut mula-mulanya o = 0.Berapa sudut dan kecepatan sudutnya pada saat t=18 s ?
Jawab :
putaranrad
tt
o
o
932007,56
)18)(35,0(21)18(0
21
2
2
sputaranssrad
sradt
o
o
/1/360/3,6
/3,6)18)(35,0(0
radian2360putaran1 o
Contoh Soal Dalam suatu analisis mesin helikopter diperoleh informasi bahwa kecepatan rotornya berubah dari 320 rpm menjadi 225 rpm dalam waktu 1,5 menit ketika mesinnya dihentikan.a). Berapa percepatan sudut rata-ratanya ?a). Berapa lama baling-balingnya berhenti ?b). Berapa kali baling-balingnya berputar sampai berhenti ?
Jawab :
putaranc
menittb
sputarant
a
o
o
809)3,63(2
32002
).
1,53,63
3200).
/3,635,1320225).
222
2
Contoh Soal 5.3Suatu sistem terdiri dari dua buah benda bermassa sama m yang dihubungkan dengan sebuah batang kaku sepanjang L dengan massa yang dapat diabaikan. a). Bila sistem tersebut berputar dengan sumbu ditengah batang tentukan momen inersianyab). Tentukan momen inersianya bila berputar dengan sumbu pada ujung batang
Jawab :
2222
222
2
0).
21
22).
mLLmmrmIb
mLLmLmrmIa
ii
ii
Contoh Soal Sebuah batang homogen bermassa 1,5 kg sepanjang 2 m dapat
berputar pada salah satu ujungnya. Mula-mula batang ini berada dalam keadaan diam dan membuat sudut 40o terhadap horisontal seperti terlihat pada gambar di bawah ini. Hitung :
a). Percepatan sudut pada saat dilepaskan b). Kecepatan sudut pada posisi horisontal disebelah kiri
Mg40o
R
Jawab :
Mg40o
R2ML
31I
s/rad08,345,9
)0)(8,9)(5,1()2(2140sin)2)(5,0)(8,9)(5,1()0)(2(
21
0h40sinL5,0hMghI21MghI
21).b
s/rad63,5226,11
226,11)40cos)2(5,0)(8,9)(5,1(RMgRFI
kgm2)2)(5,1(31ML
31I).a
22
22
o
2o
12221
21
2
o
222
Sebuah batang homogen bermassa 0,5 kg sepanjang 80 cm
dapat berputar pada salah satu ujungnya. Mula-mula batang ini berada dalam keadaan horisontal seperti terlihat pada gambar di bawah ini. Bila diberi kecepatan sudut awal sebesar 5 rad/s, tentukan :
a). Momen inersia batang tersebut, Ib). Momen gaya yang dialami pada saat horisontal, o
c). Percepatan sudut awal, o d). Kecepatan sudut pada posisi vertikal,
o
mg
ho
h = 0
L/2Jawab :
s/rad851,70535,02975,32975,396,13375,10535,0
)0)(8,9)(5,0()107,0(21)4,0)(8,9)(5,0()5()107,0(
21
mghI21mghI
21)d
s/rad318,18107,096,1
II)c
Nm96,1)4,0)(8,9)(5,0(2Lmg)b
m.kg107,0)8,0)(5,0(31mL
31I)a
2
22
2o
2o
2oooo
o
222
Contoh
Sebuah cakram (disk) dengan momen inersia I1 berputar dengan kecepatan sudut I terhadap poros yang licin. Cakram ini jatuh mengenai cakram lain dengan momen inersia I2 yang sedang diam. Akibat gesekan pada permukaannya cakram lain ini ikut berputar sampai akhirnya mempunyai kecepatan sudut yang sama. Tentukan kecepatan sudut akhir ini.Jawab :
i2i
if
f212i1
fi
III
)II()0(IILL
Contoh Soal
Sebuah komedi putar mempunyai jari-jari 2 m dan momen inersia sebesar 500 kgm2. Seorang anak bermassa 25 kg berlari sepanjang garis yang tangensial terhadap tepi komedi putar yang semula diam dengan kecepatan 2,5 m/s dan melompat seperti terlihat pada gambar. Akibatnya komedi putar bersama-sama dengan anak tersebut ini berputar. Hitung kecepatan sudut komedi putar tersebut.
Jawab :
s/rad208,0600125
)500100()2)(5,2(25
)II(mvrLLkgm100)2(25mrI
f
f
fkpanakfi
222anak
Contoh
Sebuah bola berjari-jari 12 cm dan bermassa 30 kg sedang menggelinding tanpa slip pada sebuah lantai horisontal dengan kecepatan 2 m/s. Berapa energi kinetiknya ?
Jawab :
J
mvmvmv
RvmRmv
mRIImvKKK rotasitranslasi
84)2)(30(107
107
51
21
52
21
21
52
21
21
2
222
222
222
Contoh Soal 5.8
Sebuah bola bermassa M dan berjari-jari R dilemparkan sedemikian rupa sehingga saat menyentuh lantai ia bergerak secara horisontal dengan kecepatan 5 m/s dan tidak berputar. Koefisien gesekan kinetik antara bola dan lantai adalah 0,3.
a). Berapa lama bola meluncur sebelum menggelinding ?
b). Berapa lama jauh meluncur sebelum menggelinding ?
Jawab :
Kinematika dan dinamika selama meluncur :
Rg
MR
RMgI
MRIRMgRf
tgvatvvgMfaMgNf oo
25
525
22
2
a). Pada saat kondisi menggelinding tercapai :
sgvtvgt
gtRtRgRtgvv
tRgtRv
oo
o
485,0)8,9)(3,0(7
)5(2227
25
2525
b). Pada saat kondisi menggelinding tercapai :
mgttvx o 08,2)485,0)(8,9)(3,0(21)485,0(5
21 22