memo pripremnimatematika

Pripremni seminar iz matematike - Formule Tehnicki fakultet, Rijeka 2013.

SKUPOVI BROJEVA

N = {1, 2, 3, . . . , n, n+ 1, . . .} - skup prirodnih brojevaZ = {. . . ,3,2,1, 0, 1, 2, 3, . . .} - skup cijelih brojevaQ =

{ab|b 6= 0, a, b Z

}- skup racionalnih brojeva. To su

svi cijeli, konacni decimalni i beskonacni periodicni decimalni brojevi.

I ={

2, , e,3

7, . . .}

- skup iracionalnih brojeva, odnosno

svih beskonacnih neperdiodicnih decimalnih brojeva.

R = Q I - skup realnih brojeva

POTENCIJE I KORIJENI

a a a . . . a n

= an abaza ili osnovica potencije, a Rneksponent potencije, n N

Za a R i a 6= 0 vrijedi a0 = 1 i an = 1an

.

Za sve pozitivne realne brojeve a je: (a)n ={

an, ako je n paran broj,an, ako je n neparan broj.

Za sve realne brojeve a i b razlicite od 0 i m,n Z vrijedi:

Mnozenje potencija jednakih baza:

Dijeljenje potencija jednakih baza:

Potenciranje potencije:

Mnozenje potencija jednakih eksponenata:

Dijeljenje potencija jednakih eksponenata:

an am = an+m

an : am = anm

(an)m = anm

an bn = (a b)n

an : bn = (a : b)n

Neka je a pozitivan realan broj.n-ti korijen broja a je pozitivan realan broj n

a ili a

1n kojemu je n-ta potencija jednaka broju a.

n-ti korijen broja (a) postoji samo ako je n neparan broj.

Za sve realne brojeve a je: nan =

{a, ako je n neparan broj,|a|, ako je n paran broj.

Osnovna pravila korijenovanjaZa sve pozitivne realne brojeve a i b vrijedi:

nam = ( n

a)m ; n N;m Z

na nb =

nab ; n N

na

nb

= na

b; n N

n

ma = nm

a ; n,m N

npamp = n

am ; n, p N;m Z

Racionalizacija nazivnika je postupak uklanjanja korijena iz nazivnika razlomka.

1


ALGEBARSKI IZRAZI

Algebarski izraz je svaki izraz dobiven pomocu cetiri osnovne racunske operacije i uporabomzagrada, a sacinjavaju ga varijable i konstante.

Za sve a, b R vrijedi:

Kvadrat zbroja: (a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2

Kvadrat razlike: (a b)2 = a2 2ab+ b2Kub zbroja: (a+ b)3 = a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3

Kub razlike: (a b)3 = a3 3a2b+ 3ab2 b3Razlika kvadrata: a2 b2 = (a b)(a+ b)Razlika kubova: a3 b3 = (a b)(a2 + ab+ b2)Zbroj kubova: a3 + b3 = (a+ b)(a2 ab+ b2).

POJAM FUNKCIJE

Funkcija iz skupa X u skup Y je pravilo f po kojemu se svakom elementu x X pridruzujejedinstveni element y Y , sto se zapisuje f : X Y . Koristimo oznake i nazive:

X podrucje definicije ili domena funkcije f - oznaka Df

Y podrucje vrijednosti ili kodomena funkcije f - oznaka Kf

x nezavisna varijabla ili argument funkcije f

y = f(x) zavisna varijabla funkcije f

f(X) Y slika funkcije f

Domena funkcije ili podrucje definicije funkcije je skup svih brojeva x za koje je dana funkcijadefinirana.Kompozicija funkcija f : X Y i g : V Z, gdje je f(x) V je funkcija h = g f : X Zdefinirana sa h(x) = g(f(x)).Za funkcije f : X Y i g : Y X za koje vrijedi

f g = ix i g f = iy

kazemo da su jedna drugoj inverzne funkcije i oznacavamo g = f1,odnosno f = g1. Samobijekcije imaju inverzne funkcije.Funkcija f je:

surjekcija ako je f(X) = Y

injekcija ako iz f(x1) = f(x2) slijedi x1 = x2 za sve x1, x2 X

bijekcija ako je surjekcija i injekcija

2


POLINOMI

Funkcija P (x) : R R

P (x) = anxn + an1x

n1 + + a2x2 + a1x+ a0,

gdje su an, an1, . . . , a1, a0 realni brojevi (koeficijenti polinoma) i an 6= 0 naziva se polinomn-tog stupnja. Koeficijent an naziva se vodeci koeficijent.

Broj x0 je nultocka polinoma P (x) ako je

P (x0) = 0.

Opcenito, polinom n-tog stupnja ima n nultocaka x1, x2, . . . , xn koje mogu biti realni ilikompleksni brojevi. Ako znamo njegove nultocke, polinom P (x) mozemo faktorizirati, odnosnozapisati u obliku

P (x) = an(x x1)(x x2) (x xn).

Dijeljenje polinomaPodijeliti polinom P (x) polinomom R(x) znaci odrediti polinome q(x) i r(x) takve da vrijedi

P (x) = q(x) R(x) + r(x).

Polinom q(x) zovemo kvocijentom, a polinom r(x) ostatkom dijeljenja. Ako je pri tome r(x) = 0,kazemo da su polinomi P (x) i R(x) djeljivi. Ako je broj x0 nultocka polinoma P (x), slijedi da jepolinom P (x) djeljiv polinomom (x x0).

LINEARNA FUNKCIJA

Funkcija f : R R

f(x) = ax+ b, a, b R

naziva se linearna funkcija.Njezin graf je pravac cija je jednadzba y = ax+ b.

- rastuca za a > 0, padajuca za a < 0- bijektivna, ima inverz- Df : R- Kf : R

3


KVADRATNA JEDNADZBA I KVADRATNA FUNKCIJA

Kvadratna jednadzba je jednadzba oblika ax2 + bx+ c = 0, a 6= 0.Njezina diskriminanta je D = b2 4ac, a rjesenja kvadratne jednadzbe su:

x1,2 =b

D

2a.

Rjesenja kvadratne jednadzbe ovise o predznaku diskriminante:

D > 0 - rjesenja su realna i razlicita x1 = b+D

2a , x2 =b

D

2a

D < 0 - rjesenja su kompleksno konjugirani brojevi x1 =b+i|D|

2a , x2 =bi|D|

2a

D = 0 - postoji jedno realno dvostruko rjesenje x1,2 = b2a

Funkcija f : R R

f(x) = ax2 + bx+ c, a 6= 0

naziva se kvadratna funkcija. Njezin graf je parabola cije su:

Nultocke:

x1,2 =b

D

2a

Tjeme:

T ( b2a,

4ac b2

4a)

za a > 0 konveksna, za a < 0 konkavna |a| > 1 parabola je uza (bliza y-osi), |a| < 1 parabola je sira (bliza x-osi) za b = 0 parna, nije injektivna, nema inverz

Izgled parabole u ovisnosti o diskriminanti i predzanku vodeceg koeficijenta a

D > 0 D = 0 D < 0a > 0

a < 0

4


EKSPONENCIJALNA FUNKCIJA

Funkcija f : R 0,+f(x) = ax, 0 < a 6= 1

naziva se eksponencijalna funkcija.

- a > 1 funkcija je rastuca- 0 < a < 1 funkcija je padajuca- konveksna- y = 0 horizontalna asimptota

LOGARITAMSKA FUNKCIJA

Logaritam pozitivnog realnog broja x po bazi a (0 < a 6= 1) je eksponent kojim treba potenciratibazu a da se dobije broj x.

ay = x loga x = y

Funkcija f : 0,+ Rf(x) = loga x, 0 < a 6= 1

naziva se logaritamska funkcija.

- a > 1 - funkcija je rastuca ikonkavna- 0 < a < 1 - funkcija jepadajuca i konveksna- x = 0 vertikalna asimptota

Svojstva logaritamske funkcije:

aloga x = x

loga 1 = 0

loga a = 1

loga (ax) = x

logb a =1

loga b

loga(x y) = loga x+ loga y

logax

y= loga x loga y

loga xn = n loga x

logan x =1

nloga x

loga x =log x

log a

Logaritam po bazi 10 naziva se dekadski logaritam, a zapisuje se log x.Logaritam po prirodnoj bazi e( 2, 7182) naziva se prirodni logaritam, a zapisuje se lnx.

5


TRIGONOMETRIJA

RadijaniIspruzenom kutu mjere 180 odgovara radijanska mjera : 180 = rad.Iz gornje veze slijedi:

1 rad =180

57

1 =

180rad 0, 02 rad

Trigonometrijske funkcije

Vrijednosti trigonometrijskih funkcija karakteristicnih kutovaStupnjevi 0 30 45 60 90 180 270 360Radijani 0 6

4

3

2

32 2

sin 0 12

22

32 1 0 -1 0

cos 132

22

12 0 -1 0 1

tg 033 1

3 0 0

ctg

3 133 0 0

Trigonometrijske funkcije sinus i kosinus imaju slijedeca svojstva:

domena je R

slika funkcije je [1, 1]

periodicne su, osnovni period je 2

sinus je neparna funkcija

kosinus je parna funkcija

Trigonometrijska funkcija tangens f(x) = tgx ima slijedeca svojstva:

domena je R\{2 + k; k Z}

slika funkcije je R

periodicna, osnovni period je

neparna, rastuca

vertikalne asimptote u x = 2 + k; k Z

6


Trigonometrijska funkcija kotangens f(x) = ctgx ima slijedeca svojstva:

domena je R\{ + k; k Z}

slika funkcije je R

periodicna, osnovni period je

neparna, padajuca

vertikalne asimptote u x = + k; k Z

Funkcija f : R R je:

parna ako je f(x) = f(x), x R Pr.: cos(x) = cosxneparna ako je f(x) = f(x), x R sin(x) = sinx

tg(x) = tgxctg(x) = ctgx

Graf parne funkcije je osno simetrican obzirom na y-os, a graf neparne funkcije je centralno sime-trican obzirom na ishodiste koordinatnog sustava.

Temeljni trigonometrijski identiteti:

sin2 x+ cos2 x = 1

tgx =sinx

cosxsin 2x = 2 sinx cosx sin2 x =

1 cos 2x2

ctgx =1

tgxcos 2x = cos2 x sin2 x cos2 x = 1 + cos 2x

2

sin( ) = sin cos cos sin sin+ sin = 2 sin + 2

cos

2

cos( ) = cos cos sin sin cos+ cos = 2 cos + 2

cos

2

7


PLANIMETRIJA - GEOMETRIJA RAVNINE

Trokut+ + = 180

P =a va

2=

b vb2

=c vc

2

P =

s (s-a) (s-b) (s-c), s = a+b+c2

Poucak o sinusima i poucak o kosinusu

a

sin=

b

sin=

c

sin a2 = b2 + c2 2bc cos

b2 = a2 + c2 2ac cosc2 = a2 + b2 2ab cos

Kruznica i krug

o = 2 r P = r2 Duljina kruznog luka l =

r 180

Povrsina kruznog isjecka Pi =r2

360

KOORDINATNI SUSTAV I JEDNADZBA PRAVCA

Udaljenost tocaka T1(x1, y1), T2(x2, y2) : d =

(x2 x1)2 + (y2 y1)2

Koordinate polovista duzine : P (x1 + x2

2,y1 + y2

2)

Oblici jednadzbe pravca:

Implicitni : Ax+By + C = 0, uz uvjet A 6= 0 ili B 6= 0, A, B, C R

Eksplicitni : y = kx+ l

k koeficijent smjera, k R prikloni kut, kut kojeg pravac zatvaras pozitivnim dijelom osi apscisa

k = tg

l odsjecak na osi ordinata, l R

8


Segmentni :x

m+y

n= 1

m odsjecak pravca na osi apcisan odsjecak pravca na osi ordinatam,n R

Jednadzba pravca kroz dvije tocke T1(x1, y1) i T2(x2, y2)

y y1 =y2 y1x2 x1

(x x1)

Jednadzba pravca sa koeficijentom smjera k kroz jednu tocku T1(x1, y1)

y y1 = k (x x1)Uvjet paralelnosti i okomitosti dva pravca p1 y = k1x+ l1 i p2 y = k2x+ l2

p1 p2 k1 = k2

p1 p2 k2 = 1

k1

KRIVULJE DRUGOG REDA

Kruznica je skup tocaka koje su jednako udaljene od jedne cvrste tocke, sredista kruznice S.Udaljenost tocke kruznice od sredista zove se polumjer ili radijus. Opca jednadzba kruznice:

(x p)2 + (y q)2 = r2, S(p, q)

Neka su F1 i F2 dvije cvrste tocke ravnine i neka je a realan broj, a >1

2|F1F2|.

Elipsa je skup svih tocaka ravnine za koje je zbroj udaljenosti od tocaka F1 i F2 stalan i iznosi2a tj. r1 + r2 = 2a gdje su r1 i r2 spojnice bilo koje tocke elipse s fokusima. Osna ili kanonskajednadzba elipse:

x2

a2+y2

b2= 1 tj. b2x2 + a2y2 = a2b2

Neka su F1 i F2 dvije cvrste tocke ravnine i neka je a pozitivan realan broj, a

memo pripremnimatematika

Documents