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Mémoire présenté devant le Centre d’Etudes Actuarie lles pour l’obtention du diplôme
du Centre d’Etudes Actuarielles et l’admission à l’Institut des Actuaires
le : 14/06/2013 Par : Mehdi LAHCENE Titre : Modélisation d’un fonds de prévoyance collective dans le cadre d’une
étude ALM
Confidentialité : NON OUI (Durée : 1an 2 ans) Les signataires s’engagent à respecter la confidentialité indiquée ci-dessus Membre présent du jury de
l’Institut des Actuaires : ________________________ Membres présents du jury du
Centre d’Etudes Actuarielles : Thomas BEHAR Vincent DAMAS Gérard CROSET
Arnaud COHEN
Jean-Pierre DIAZ
Brigitte DUBUS Paul ESMEIN Frédéric PLANCHET Michel FROMENTEAU
Stéphane MENART
Christophe IZART
Pierre PETAUTON
Arnaud BURGER Marine CORLOSQUET-HABART Aymeric KAMEGA Damien TREMEL
Florence PICARD
Olivier LOPEZ
Secrétariat :
Bibliothèque :
Entreprise : AXA Directeur de mémoire en
entreprise : Nom : Sebastien ARESTEANU Signature : Invité : Nom :
______________________________ Signature : Autorisation de publication et
de mise en ligne sur un site de diffusion de documents actuariels
(après expiration de l’éventuel délai de
confidentialité) Signature du responsable
entreprise
Signature du candidat
4 rue Chauveau Lagarde 75008 Paris Tél. : 01 44 51 72 72 / Fax : 01 44 51 72 73
2
Remerciements
Ce mémoire est dédié à Gabriel et Céline
Je tiens à remercier Sofiane OURNIDI et les membres de l’équipe d’allocation pour m’avoir poussé
vers le haut au sein de l’équipe gestion actif-passif de la Direction des Investissements d’AXA. Leurs
questions m’ont poussé à constamment adapter le modèle à la réalité.
Je remercie tout particulièrement Sébastien ARESTEANU, mon tuteur, qui m’a apporté son
expérience sur le sujet et m’a fait confiance tout au long de ce mémoire.
Je tiens également à saluer chaleureusement toute l’équipe de gestion Actif Passif.
C’est par votre contribution que j’ai pu mener à bien l’étude ALM et réaliser mon mémoire.
3
Table des Matières
Sommaire
Introduction ...................................................................................................................................... 5
Résumé ............................................................................................................................................. 7
Abstract............................................................................................................................................. 9
1. Introduction à la gestion Actif Passif ..................................................................................... 11
1.1. Présentation du modèle ALM........................................................................................ 11
1.1.1. Projection du compte de résultat et du bilan ............................................................... 14
1.1.2. Objectifs du calcul ......................................................................................................... 14
1.2. L’utilisation du modèle dans le cadre d’une étude ALM............................................... 14
1.2.1. Problématiques de l’ALM .............................................................................................. 14
1.2.2. Outputs attendus........................................................................................................... 14
1.3. Les étapes de l’étude..................................................................................................... 15
1.3.1. Construction de l’actif agregé ....................................................................................... 15
1.3.1.1. Les obligations d’état à taux fixes ............................................................................. 15
1.3.1.2. Les obligations d’entreprises a taux fixe ................................................................... 18
1.3.1.2.1. Cadre, hypothèses de travail et notations ............................................................ 18
1.3.1.2.2. Evaluation d’un zéro-coupon risqué...................................................................... 18
1.3.1.2.3. Calcul de la matrice de transition risque neutre ................................................... 19
1.3.1.3. Les OATI ..................................................................................................................... 22
1.3.1.4. Les obligations à taux VARIABLES.............................................................................. 24
1.3.1.5. Les autres classes d’actifs : actions, immobilier, opcvm de crédit… ......................... 26
1.3.2. Elaboration des scenarios stochastiques ...................................................................... 28
1.3.2.1. La courbe des taux et l’inflation ................................................................................ 28
1.3.2.2. Scénarios Actions et immobilier................................................................................ 30
1.3.2.3. Scénarios OPCVM de Crédit ...................................................................................... 31
2. Spécificités du fonds de prévoyance étudié.......................................................................... 32
2.1. L’actif Général Prévoyance............................................................................................ 32
2.1.1. Périmètre de l’étude ..................................................................................................... 32
2.1.2. Les garanties.................................................................................................................. 32
2.1.3. Les risques au passif et à l’actif du fonds ...................................................................... 33
2.1.4. Les risques induits par les options implicites du contrat .............................................. 34
2.1.4.1. Options conférées aux assurés.................................................................................. 34
2.1.4.2. Options conférées à L’assureur ................................................................................. 37
2.2. Les engagements de l’assureur ..................................................................................... 39
2.2.1. Les provisions des contrats de prévoyance................................................................... 39
2.2.2. Les provisions pour prestations : PM et PSAP............................................................... 39
2.2.3. Les provisions de primes : PPRC et PPNA...................................................................... 44
2.2.4. Les autres provisions : fonds de revalorisation ............................................................. 45
2.2.5. La participation aux bénéfices (PE, RG, SD)................................................................... 46
2.3. L’écoulement du passif.................................................................................................. 47
2.3.1. Le chiffre d’affaires dépendant de l’inflation................................................................ 47
2.3.2. Calcul des sinistres en fonction de la cadence de liquidation....................................... 47
2.3.3. Focus sur la revalorisation des garanties et l’impact inflation...................................... 48
2.3.4. Fonds de PB : écoulement partiel cohérent avec le contexte commercial................... 49
2.4. Spécificités de L’actif ..................................................................................................... 51
2.4.1. Prise en compte du besoin en fonds de roulement ...................................................... 51
2.4.2. Préparation des données de l’actif................................................................................ 52
4
2.5. Pilotage du fonds........................................................................................................... 52
2.5.1. Définition des taux de rémunération ............................................................................ 53
2.5.2. Etat des lieux des taux de rémunération du fonds ....................................................... 53
2.5.3. Contexte du pilotage ..................................................................................................... 54
2.5.4. Pilotage du TRC : incidence du pilotage sur les OPCVM 100% dédiées ........................ 54
2.5.5. Pilotage du TPF .............................................................................................................. 54
3. Analyse des résultats............................................................................................................. 57
3.1. Contexte ........................................................................................................................ 57
3.2. Présentation des indicateurs de rendement et de risque............................................. 58
3.3. Méthodologie de calcul du Coût du capital................................................................... 58
3.3.1. Abréviations................................................................................................................... 59
3.3.2. calculs préliminaires ...................................................................................................... 60
3.3.3. calcul du cost Of Capital (CoC)....................................................................................... 64
3.4. Combinatoire d’allocations ........................................................................................... 64
3.5. Résultats ........................................................................................................................ 66
3.5.1. Rappel sur le concept de duration, Gap de duration .................................................... 66
3.5.2. Optimisation de la duration optimale de l’actif ............................................................ 67
3.5.3. Optimisation du coût du capital – nuages de points..................................................... 68
3.5.4. Sélection de l’allocation optimale ................................................................................. 73
3.5.5. Sensibilités de l’allocation cible..................................................................................... 73
3.5.6. Impact des primes futures sur la duration .................................................................... 74
3.5.7. Impact de la couverture action ..................................................................................... 75
4. Conclusion ............................................................................................................................. 76
Bibliographie ................................................................................................................................... 77
Annexes........................................................................................................................................... 78
Annexe 1 : Equivalence de calcul de PM par VAP ou récurrence ............................................... 78
Annexe 2 : Calcul des sinistres par génération ........................................................................... 79
Annexe 3 : risque de taux à la hausse et à la baisse ................................................................... 81
Annexe 4 : Graphiques des sensibilités à l’allocation ................................................................. 82
Annexe 5 : implementation du modèle JLT extended d’obligations d’entreprise ...................... 88
Annexe 6 : Déductibilité de la Provision d’égalisation ................................................................ 91 POUR DES RAISONS DE CONFIDENTIALITE, LES CHIFFRES CONTENUS DANS CE DOCUMENT ONT ETE MODIFIES. LES ORDRES DE GRANDEUR SONT
AJUSTES.
5
Introduction
Le métier d’assureur est d’apporter une protection financière aux personnes qui souhaitent
transférer certains de leurs risques contre une prime. Son rôle est de gérer au mieux les risques reçus
pour être capable d’honorer ses engagements à tout moment. Pour cela, il dispose de deux leviers :
un levier technique qui se situe du côté du passif et un levier financier qui joue à l’actif mais qui ne
peut être dissocié du passif. La Gestion Actif-Passif (ou ALM pour Assets and Liabilities Management)
se positionne, comme son nom l’indique, entre ces deux leviers : c’est un support d’aide à la décision
pour tout ce qui concerne les stratégies financières à mettre en place (coté actif), mais qui nécessite
une connaissance parfaite des principaux aspects techniques des contrats (coté passif) ainsi que la
maîtrise des enjeux financiers et des problématiques en lien avec le passif (interaction actif-passif).
Cette macro coordination entre les risques techniques et financiers se gère logiquement au niveau de
l’ALM : c’est ce qui fait tout son intérêt mais aussi toute sa complexité comme nous allons le voir.
En premier lieu, l’assureur cherche à maîtriser les flux futurs du passif et à les ramener autant
que possible à ceux d’un scénario moyen : ceci constitue la gestion technique des contrats. Pour
cela, il bénéficie de l’effet de mutualisation qui réduit la volatilité des risques et qui lui permet
d’espérer avoir des charges de sinistres proches de celles provisionnées à l’aide de tables et lois
statistiques de masses (comme les tables de mortalité, de passage d’état d’incapacité à invalidité…).
Mais la mutualisation ne suffit pas pour garantir à l’assureur d’être en mesure d’honorer ses
engagements à tout moment : il reste toujours des risques non assumés car trop incertains, comme
par exemple ceux d’une catastrophe naturelle ou d’une épidémie de grande ampleur. Afin de couvrir
ces risques de queue de distribution qui subsistent, l’assureur a alors recours à la réassurance. Ceci
lui permet de transférer à son tour certains risques à d’autres capables de mutualiser à un niveau
international et d’écrêter les écarts statistiques qui en étaient issus.
En second lieu, l’assureur doit protéger son passif contre l’effet du temps. Pour cela il se tourne
vers les marchés financiers afin d’investir les primes et de leur assurer une certaine rémunération :
ceci constitue la gestion financière des contrats. Nous allons voir que cet exercice ne doit rien au
hasard. Comme les actifs introduisent de nouveaux risques, il faut faire en sorte qu’ils soient,
autant que possible, en phase avec ceux du passif. L’assureur obtient ainsi une couverture
financière où le risque du passif peut ou non être reproduit par un autre risque d’actif, ce qui
diminue son risque global. Ce travail d’optimisation complexe représente la mission de l’ALM.
Isolé de toute autre contrainte que celle d’honorer ses engagements, l’assureur pourrait se
limiter à une gestion financière sécuritaire, qui consisterait à couvrir les flux du passif (y compris frais
généraux) par adossement simple, de type couverture de taux, sur les marchés financiers. Cette
couverture basique lui permettrait de satisfaire ses assurés, de maintenir son activité et donc de
percevoir des revenus sans trop de complications.
Cependant, la couverture à l’actif est complexe pour plusieurs raisons :
• la prévoyance1 porte un risque technique non négligeable. Ce risque (longévité pour les
rentes, sur-mortalité pour le décès, morbidité, etc) impacte la gestion du bilan car il est
possible que l’assureur n’ait pas anticipé ce risque et doive liquider des actifs dans un
environnement financier défavorable2.
• De plus, l’assureur évolue dans un contexte réglementaire et concurrentiel de plus en plus
exigeant. La réglementation cherche à protéger les assurés et contraint l’assureur à offrir de
nouvelles garanties à ses assurés : rachats, taux minimum garanti, clauses discrétionnaires de
participation aux bénéfices… La concurrence vient renforcer ce phénomène et incite
1 au sens large (arrêt de travail, décès, santé, emprunteur, dépendance)
2 Hypothèse importante : le risque technique est orthogonal au risque financier
6
l’assureur à obtenir des résultats toujours plus importants pour satisfaire ses assurés et
rester compétitif.
Nous voyons dès lors que ces contraintes rendent la détermination d’une couverture optimale à
l’actif complexe. D’une part, les flux futurs sont rendus volatils du fait de la souplesse apportée aux
contrats (possibilité de rachats avant terme par exemple) et des caractéristiques des contrats de
prévoyance. Et d’autre part, les options du portefeuille apportent une grosse convexité et rendent la
duration de Macaulay (sensibilité à l’ordre sur les variations de taux) impropre. L’adossement parfait
réalisé sur le scénario moyen peut donc s’avérer très dangereux en cas de hausse des taux, associée
par exemple à de forts rachats sur le portefeuille. Il ne suffit donc plus de couvrir uniquement les
prestations mais de tenir compte des options implicites contenues dans le portefeuille.
Dans ce contexte, la modélisation ALM et l’utilisation de méthodes stochastiques se positionnent
comme de précieux outils d’aide à la décision. C’est ce que nous allons voir à travers l’étude que
nous présentons ici. Celle-ci porte sur l’utilisation d’un processus ALM pour déterminer l’allocation
stratégique optimale du fonds de prévoyance collective détenu par la société AXA France. Nous
allons voir que les particularités des clauses de participation aux bénéfices en constituent l’enjeu
principal.
La difficulté de cette étude a consisté à réaliser un modèle informatique de façon quasi-
exhaustive. Des difficultés de codage et des questions « métier » se sont posées. Des réponses ont
été apportées dans le respect des contraintes de faisabilité et de fidélité du modèle par rapport à
la réalité.
Les grand apports de cette étude comparé à la précédente : meilleure modélisation du passif
(donc des interactions actif-passif) et l’intégration de solvabilité 2 comme contrainte dans le choix
de l’allocation cible.
La première partie du mémoire présente le modèle de projection du compte de résultat et du
bilan. La seconde partie présente les spécificités du fonds de prévoyance et leur application dans le
modèle. La dernière partie présente les résultats de l’étude ALM dont le but est de proposer une
allocation optimale d’actifs (répartition par classe, duration) pour le fonds de prévoyance.
7
Résumé
Cette étude entre dans le cadre de la mise à jour des allocations stratégiques d’AXA France sur
ses principaux fonds généraux. Son objectif est la détermination de l’allocation stratégique optimale
du portefeuille d’assurance collective prévoyance à l’aide d’outils de modélisation ALM. La
modélisation de ce fonds a donc nécessité l’adaptation du modèle ALM actuellement utilisé qui avait
été initialement conçu pour des fonds de type Vie (retraite ou vie individuelle).
Le fonds de prévoyance collective regroupe tous les contrats de prévoyance et santé collective
souscrits auprès d’AXA France. Pour cette étude nous avons toutefois exclu de ce périmètre global
les segments qui sont cantonnés et qui font l’objet d’une allocation spécifique, comme par exemple
le segment SNIP3.
L’étude des caractéristiques du fonds a tout d’abord permis d’identifier les modifications et
adaptations à apporter au modèle existant :
• Adaptation du module de passif :
o segmentation du passif en fonction des trois risques couverts (décès, dommages
corporels et santé) et des grandes catégories des provisions techniques modélisées
(les PM, les PSAP, les PPRC et les provisions de type Provision pour Participation aux
Bénéfices ou PPB) ;
o calibrage des lois de production et de rachats pour chaque type de provision afin
d’en retranscrire le comportement au plus juste ;
• Affinage de l’actif :
o Considération des obligations indexées à l’inflation.
o Intégration du modèle de crédit avec rating.
o prise en compte d’un « bas de bilan » : le volume significatif du bas de bilan (environ
1 Milliard d’euros) en prévoyance collective nécessite son implémentation dans le
modèle ALM existant. Il a été modélisé sous la forme d’une poche d’actifs au
comportement particulier : cette poche n’évolue pas en fonction d’un scénario
d’actif mais en fonction du passif (pourcentage de production) et seule une partie de
ce dernier est prise en compte dans l’assiette d’actifs pour le calcul du taux de
rendement ; On prend également en compte le bas de bilan économique pour
l’assiette de pilotage des taux.
• Nouveau pilotage du fonds :
o en prévoyance, certaines clauses de PB permettent à l’assureur de conserver une
marge importante des produits financiers tout en satisfaisant pleinement les assurés.
C’est pourquoi, lorsque le fonds est riche, l’assureur va chercher à dégager une
partie de cette richesse afin d’augmenter sa marge. En termes de pilotage du fonds,
nous avons traduit cela par l’implémentation d’une règle de dégagement de richesse
par seuil en fonction du niveau de richesse relatif du fonds. Le mécanisme de
détermination des produits financiers prend désormais en compte les contraintes
des clauses de TMG et de PB. La subtilité du pilotage porte notamment sur
l’ajustement des revenus perçus en fonction de la richesse latente.
• Méthodologie d’optimisation de l’allocation avec contrainte de capital économique
solvabilité 2.
Suite à ces évolutions, tous les inputs à entrer dans le modèle ont pu être saisis :
• Passif : données d’inventaire au 31/12/10 et lois du passif (hypothèses de new business, de
renouvellements de primes, de sinistres…) ;
3 Société Nationale de l’Industrie Pharmaceutique
8
• Actif : données d’inventaire au 31/12/10 et scénarios stochastiques Real World (avec primes
de risque) calibrés au 31/12/10 ;
• Les règles de gestion du fonds.
L’objectif de cette étude ALM est de déterminer une allocation stratégique optimale pour le
fonds : cette allocation correspond aux différentes parts à allouer sur les grandes classes d’actifs
modélisées (actions, immobilier, taux variables, OATi) et la duration cible à maintenir sur la poche
obligataire. Pour cette étude, environ 500 allocations ont été testées. Pour chaque allocation
(réajustée semestriellement), le modèle projette le compte de résultats et le bilan sur un horizon de
30 ans et calcule un certain nombre d’indicateurs synthétiques à partir des sorties « brutes »
(marges, montant annuel des provisions…). Pour cette étude, les indicateurs retenus sont les suivants
:
• Valeur actuelle des marges nettes futures sur un horizon de 30 ans ;
• Capital Economique : centile 2% du montant de capital nécessaire pour maintenir l’activité à
long terme ;
• Value : VAN Actionnaire sous environnement risque neutre.
La démarche d’analyse des résultats consiste alors à croiser différents couples d’indicateurs dans
un plan risque/rendement et de déterminer, au regard des différentes frontières efficientes
obtenues, l’allocation optimale à retenir.
L’étude conclut que l’allocation actuelle peut être améliorée aussi bien en augmentation de
rendement qu’en minimisation du risque et ce quelles que soient les métriques utilisées. Les
recommandations d’allocation sont les suivantes :
• réduction de la duration de 12 ans (réelle) à 10 ans (hors primes futures) avec progressivité.
Un passage à 11 ans est envisagé dans un premier temps puis une atteinte de l’objectif en
fonction de la faisabilité sur les marchés. En effet, le déplacement vers une maturité plus
courte entraîne une perte de rendement car la courbe des taux est plutôt croissante. De plus,
la gestion des plus et moins values et des conditions de marché complique l’exercice. Cette
duration de 10 ans en cible s’entend sur la poche obligataire (équivaut à 9 ans sur l’ensemble
de l’actif).
• réduction de la poche action de 20% à 10% (fort impact du coût en capital).
• augmentation de la poche immobilière de 10% à 15%.
• augmentation de la part crédit de 30% à 40% (bon compromis entre rendement et risque,
relativement à l’action et l’obligation gouvernementale).
• maintien de l’OATi à 5%.
• réduction de 35% de l’obligation gouvernementale à 30%.
Cette étude a permis d’établir un contrat de gestion qui a été implémenté chez le gestionnaire
d’actifs (AXA Investment Managers). Ce modèle reste toutefois imparfait mais il comporte des
évolutions majeures permettant de prendre en compte les spécificités de la prévoyance collective
dans l’ALM.
POUR DES RAISONS DE CONFIDENTIALITE, LES CHIFFRES CONTENUS DANS CE DOCUMENT ONT
ETE MODIFIES. LES ORDRES DE GRANDEUR SONT AJUSTES.
9
Abstract
This survey is part of the updated strategic allocations of AXA France in its main fund. Its
objective is to determine the optimal strategic asset allocation portfolio insurance Disability using ALM modeling tools. Modeling of the fund therefore required the adaptation of ALM model currently used was originally designed for Life fund type (individual retirement or life).
The fund includes all collective Disability & Health contracts underwritten by AXA France. For this study however, we excluded from the overall perimeter of ring-fenced segments and segments which are subject to specific allocation.
The study of the characteristics of the fund first led to identify modifications and adaptations to the existing model:
• Adaptation on the liability side : o segmentation liabilities according to the three risks covered (death, disability and
health) and main categories of technical provisions modeled (PM, PSAP, PPRC and Provision for Profit Sharing or PPS);
o Calibration of the laws for premium and acquisitions for each type of provision in order to recreate the right behavior;
• Refining Assets: o Consideration of bonds indexed to inflation. o Integration of credit rating model. o Consideration of a "working capital" with a significant amount (about 1 billion euros)
in collective welfare requires its implementation in the existing ALM model. It was modeled as an asset item with a specific behavior: this bag does not evolve according to a scenario based on asset index but it follows a liability item (percentage of premiums) and only a part of it is included in the asset base for the calculation of rates of return. Working Capital is also taken into account the calculation base for the rate management.
• New financial rate policy : o In Disability portfolio, some profit sharing clauses allow the insurer to maintain a
significant margin financial products while satisfying fully insured. This is why, when the fund is rich, the insurer will try to release some of this wealth to increase its margin. In terms of control of the fund, we have translated this by implementing a management rule by wealth threshold depending on the level of relative wealth funds. The mechanism for determining financial products now includes the constraints of Minimum Guaranteed Rate (MGR) clauses and Profit Sharing. The subtlety of financial management shall include the adjustment of regular revenues (dividend, coupons, rental income) as a function of the latent wealth.
• Methodology to optimize the allocation of economic capital with Solvency 2 constraints. Following these developments, all the inputs were introduced into the model :
o Liabilities: 31/12/10 inventory data and liability laws (hypotheses of new business, renewals, premiums, claims ...)
o Assets : 31/12/10 inventory data and stochastic Real World (with risk premiums) rated at 31/12/10;
o The rules for financial rate control. The aim of this survey is to determine ALM optimal strategic allocation for the fund: this
allowance is to allocate different parts of the major asset classes modeled (equities, real estate, variable rate OATi) and duration to maintain target bond on the asset item. For this survey, approximately 500 allocations have been tested. For each allocation (adjusted semi-annually), the model projects the consolidated income statement and balance sheet over a period of 30 years and calculates a number of synthetic indicators from the "gross" outputs (margins, annual allowances ...).
For this survey, the indicators used are: • Present value of future net margins over a period of 30 years;
10
• Economic Capital: 2% percentile of the amount of capital needed to maintain long-term business;
• Value: VAN (current price for future Shareholder’s gains) under risk-neutral environment. The process of analyzing the results is then to cross different pairs of indicators in a plane risk /
return and determine, in light of various efficient frontiers obtained, the optimal allocation to remember.
The study concludes that the current allocation can be improved both yield increase in risk minimization and whatever the metric used. The allocation recommendations are as follows:
• reduction in the asset duration from 12 years (real) to 10 years (excluding future premiums). This action wil be done progressively. An intermediary of 11 years is considered as a first step. Then, achieving the goal based on market feasibility. Indeed, the shift to a shorter maturity leads to loss of yield because the yield curve is rather increasing. In addition, management of latent gains or losses can make the exercise a bit complicated. This duration of 10 years is for the asset “bond” (equivalent to 9 years on total assets).
• reduction of Equities from 20% to 10% (high impact of cost of capital). • Increased Real Estate part from 10% to 15%. • increase in the share of credit bonds from 30% to 40% (good compromise between
performance and risk, in relation to the action and government bond). • A stabilization to 5% in OATi (French Government bonds linked to inflation). • reduction in the government bond from 35% to 30%.
This survey has established a management contract which has been implemented by the asset
manager (AXA Investment Managers). This model remains imperfect but includes major changes to take into account the specificities of collective disability in ALM
FOR PRIVACY REASONS, THE FIGURES HAVE BEEN CHANGED.THE MAGNITUDE IS ADJUSTED.
11
1. Introduction à la gestion Actif Passif
Le métier d’assureur consiste à apporter une protection financière aux personnes qui souhaitent
transférer certains de leurs risques contre une prime. Son rôle est de gérer au mieux les risques reçus
pour être capable d’honorer ses engagements à tout moment. Pour cela, il dispose de deux leviers :
un levier technique qui se situe du côté du passif (spécifique à la prévoyance) et un levier financier
qui joue à l’actif mais qui ne peut être dissocié du passif.
1.1. Présentation du modèle ALM
Le service Gestion Actif/Passif a développé un modèle ALM interne. Cet outil permet de simuler le
comportement économique et comptable d’un fonds d’Assurance Vie de type «Fonds en Euros ». Le
modèle prend en compte pour chaque fonds étudié (scénario de passif) diverses hypothèses
d’évolution des marchés (scénarios d’actifs) et un certain nombre de règle de gestion :
• scénario de passif : il peut être stochastique ou déterministe. S’il est déterministe, il
comporte tout de même des corrélations avec l’actif (comme la participation aux bénéfices
ou les lois de production et de rachats variables) : nous pouvons donc parler de scénario
semi-déterministe. De plus, le modèle permet de traiter différentes tranches de passif au
sein d’un même fonds. Ces tranches sont appelées model points. La segmentation est faite
suivant des facteurs pouvant influencer le comportement du fonds (génération, TMG4, type
de contrat, comportement de l’assuré…) et augmente ainsi la précision de la modélisation.
Chaque model point est géré de manière individuelle par le modèle bien que l’allocation
d’actifs et les produits financiers soient mutualisés.
• scénarios d’actifs : ils peuvent être déterministes ou stochastiques. Ces scénarios renvoient
les performances du marché pour un certain nombre de classes d’actifs (obligations, actions,
immobilier…)
• règles de gestions : ce sont toutes les règles permettant de piloter le fonds. Ces règles sont
de natures diverses (comptables, économiques/commerciales, contractuelles…)
Les simulations sont réalisées sur un déroulé de 30 ans5 par pas semestriel. Les résultats sont
présentés sous forme de tableaux de synthèse et de graphiques expliquant l’évolution des différents
indicateurs comptables et économiques année après année sur les 30 ans de projection.
4 Taux Minimum Garanti (TMG) : il s’agit des intérêts techniques ou intérêts contractuels liés à l’actualisation des
provisions. On parle plutôt de TMG en épargne ou retraite. 5 La projection sur 30 ans permet d’arriver à un stock de provisions finales faible au regard du stock initial. De l’ordre
de 15%. Le modèle consiste en une projection de 2 périodes par an sur l’actif. Par souci de simplification, le passif est
considéré générant des flux une fois par an en fin de premier semestre de chaque année.
12
Le fonctionnement du modèle est schématisé ci-dessous :
Actuellement le modèle ALM est adapté pour les contrats vie (de type épargne, fonctionnant par
capitalisation) et le compte de résultats suivant est modélisé :
Crédit Débit
CA nouveau Prestations
Provisions techniques début Provisions techniques fin
Réserve de capitalisation
début
Réserve de capitalisation
fin
RAN début RAN fin
PRE début PRE fin
Avances fin Avance début
Abondements Flux avances
Surplus Marges
Revenus
PV totales
L’objectif est d’adapter cette structure existante pour modéliser le compte de résultat du fonds de
prévoyance collective. Nous allons voir que des modifications seront à apporter à différents niveaux :
• retrait de certains éléments ne concernant pas cette étude : les avances, le RAN6…
• ajout de certains éléments à modéliser : prise en compte du bas de bilan…
• modification de certaines règles de gestion : mécanisme de participation aux bénéfice,
détermination des taux à servir…
• adaptation des données : choix du maillage en model point, provisions techniques à
modéliser…
6 RAN (report à nouveau) : Provision pour participation aux bénéfices. La PPB est le reliquat de PB non servie à
l’exercice mais à distribuer ultérieurement. Il s’agit d’un abus de langage car le report à nouveau « comptable » est un
résultat antérieur qui est reporté d’année en année.
Passif
Stock
d’engagements
Hypothèses de passif
Actif
Stock d’actifs (VNC,VB, richesse
latente)
Hypothèses d’évolution (scenarios
Modèle ALM
Déroulé semestriel sur 30 ans. Comptes client, compte de
résultat et bilan. Indicateurs synthétiques
Contraintes
Commerciales
Contractuelles
Economiques
Comptables
Réglementaire
Objectifs
Max(rendement)
Min(risque) Allocation optimale
Vecteur de classes d’actifs
13
Toutes les modifications et adaptations à mettre en œuvre afin d’utiliser le modèle ALM pour cette
étude sont détaillées dans les différentes parties de ce mémoire. Nous présentons ici le
fonctionnement du modèle actuel avec un accent sur les adaptations liées à la prévoyance, sans
détailler l’exhaustivité du modèle.
14
1.1.1. Projection du compte de résultat et du bilan
L’outil de modélisation permet de synthétiser les flux annuels (primes, sinistres, variation de
provisions, revenus financiers, dépenses de gestion, etc) et calculer les marges puis les enregistrer
dans le compte de résultat. Le bilan fait état des stocks de provisions ainsi que de l’actif qui est
adossé au passif.
1.1.2. Objectifs du calcul
Les études ALM permettent de donner une orientation sur la gestion des actifs de la société dans
une perspective de long terme. On parle d’adaptation de l’actif aux caractéristiques du passif. En
effet, les commerciaux ont pour but de vendre un maximum de contrats : ils donnent une certaine
allure à nos engagements.
Dans certains rares cas, l’actif donne un signal « limite » au passif ; le rendement de l’actif peut
ne plus correspondre au taux minimum de revalorisation du passif7. Ou encore, l’incertitude sur la
tarification des contrats de retraite type variable annuities peut amener l’assureur à réduire le
volume de souscription.
Les allocations sont définies en début de projection et projetées de façon statique sur un horizon
(30 ans généralement). Le compte de résultat et le bilan sont regardés à chaque année. Le modèle
revient à l’allocation cible à chaque période, malgré les variations de valeur issues des scénarios. La
méthodologie AXA impose une allocation constante. Un mémoire d’actuariat (Laure Saunier) a été
élaboré sur l’opportunité des allocations dynamiques en 2011. Le principe consiste à s’autoriser un
intervalle par classe d’actif ainsi qu’une règle en fonction de la valeur des actifs. Les résultats ne sont
pas significativement favorables pour la valeur actuelle des marges assureur.
1.2. L’utilisation du modèle dans le cadre d’une étude ALM
1.2.1. Problématiques de l’ALM
Les forces de vente sont censées acquérir de nouveaux clients et sauvegarder au mieux le stock
de clients.
Ces signatures de contrat permettent d’admettre de nouveaux engagements à notre bilan.
L’étude ALM permet d’adapter notre actif aux caractéristiques du passif. Par exemple, les passifs
à duration longue nécessitent des actifs qui dégagent suffisamment de flux permettant de faire face
à ces sinistres.
Toutefois, il est possible que le lien soit réciproque. Par exemple, l’actif peut être insuffisant en
termes d’intérêts techniques servis aux provisions ; alors il est nécessaire de réduire la contrainte au
passif.
Différents leviers sont possibles :
• la résiliation qui maintien l’engagement sur le stock mais permet de ne plus engranger
d’engagements des taux garantis élevés.
• La hausse de tarif qui permet de dégager un gain technique (si le S/C est < à 100%) et
d’alimenter ce taux minimum.
1.2.2. Outputs attendus
Les sorties attendues concernent toute information qui permet de gérer l’actif sur le long terme
(engagements, participation aux bénéfices, marges).
7 Certains vieux contrats de retraite collective ont un Taux Minimum Garanti (TMG) de 4,5% et un investissement
initial à des taux élevés. Depuis, les taux ont diminué et les actifs se sont appréciés. Par contre les nouveaux
investissements ne dégageaient par suffisamment de rendement pour assumer le TMG.
15
1.3. Les étapes de l’étude
1.3.1. Construction de l’actif agregé
Le modèle ALM ne permet pas d’entrer dans la finesse qui existe sur les marchés financiers. Nous
travaillons donc sur des familles d’actifs, chacune représentée par un scénario stochastique à pas
semestriel sur 30 ans. Le modèle simule ainsi les 5 poches d'actifs suivantes :
• les obligations à taux fixe (y-compris trésorerie) représentant 62% de l’actif;
• les obligations à taux variables représentant 5% de l’actif;
• les actions (la partie hors Euro comporte une couverture contre le risque de change)
représentant 20% de l’actif;
• l’immobilier représentant 10% de l’actif;
• les OPCVM de taux (fractionnée en plusieurs poches d’OPCVM de ratings différents)
représentant 3% de l’actif.
Chacune de ces classes est caractérisée par sa valeur nette comptable (VNC) et sa valeur boursière
(VB) ainsi que par les maturités pour les taux fixes et taux variables.
Le modèle peut également prendre en compte des options en portefeuille comme les caps, les floors
ou les caps dynamiques.
1.3.1.1. Les obligations d’état à taux fixes
Description de la poche en début de projection
Cette poche regroupe les obligations à taux fixes du portefeuille et la trésorerie (assimilée à un zéro-
coupon de maturité nulle). Elle est traitée sous forme d'obligations zéro-coupon de maturité
semestrielle ce qui présente les avantages suivants :
• le nombre d’obligations à considérer est fortement réduit : toutes les obligations zéro-
coupon sont sommées par maturité et le nombre d'obligations est ainsi égal au nombre de
maturités (nous pouvons ainsi passer de 2000 obligations pour un gros portefeuille à 80
obligations!);
• la gestion de l'adossement du passif est facilitée : les durations des obligations considérées
sont égales à leur maturité.
Il est donc nécessaire de convertir les obligations couponnantes à taux fixe en obligations zéro-
coupon. Cette opération consiste à traiter chaque flux d'obligation (coupon ou remboursement de
capital) comme une obligation zéro-coupon indépendante définie par :
• sa maturité i, exprimée en semestres : pour simplifier, chaque obligation zéro-coupon
obtenue est assimilée à l’échéance semestrielle la plus proche (soit 30/06/AA ou 31/12/AA) ;
• son flux, Fluxi ;
• son taux de rendement actuariel, TRAi, qui est celui de l’obligation couponnante initiale
(donné en input) ;
• son taux de rendement actuariel boursier à la date de calcul considéré, TRA_boursieri qui est
celui de l’obligation couponnante initiale (donné en input).
16
A partir de ces caractéristiques, nous déterminons alors pour chaque obligation zéro-coupon sa
valeur de bilan et sa valeur de marché :
• valeur de bilan (VNCi) : actualisation du flux au taux de rendement actuariel de l’obligation,
soit :
itpsi
iTRA
FluxVNC
)1( += avec
25,365
_2/)__( calculdatecalculdateecheancedatetps i
i
−−=
• valeur boursière (VBi) : pour le calcul des valeurs boursières, deux options sont possibles :
o actualisation du flux au taux de rendement actuariel boursier, soit :
itpsi
iboursierTRA
FluxVB
)_1( +=
Cette option permet de retrouver une valeur boursière globale proche de celle de
l’obligation couponnante initiale.
o actualisation du flux au taux zéro-coupon de maturité i (ZCi), soit :
2/)1( ii
ii
ZC
FluxVB
+= soit encore (en recalculant ces VB à partir des VNC) :
2/
2/
)1(
)1(i
i
ii
iZC
TRAVNCVB
++×
=
Cette option permet d’être cohérent avec la courbe des taux du début de la
projection mais ne prend pas en compte les spreads de taux (négligeables sur des
titres d’Etat).
De légers écarts entre les VNC et VB globales recalculées après découpage et les VNC et VB de
l’obligation couponnante initiale sont à constater. Ces écarts sont dus aux approximations des dates
d’échéance des obligations zéro-coupon. Le calcul des VB avec la deuxième option induit des écarts
supplémentaires (spread inclus dans la VB globale mais non pris en compte dans les VBi).
Pour cette étude, nous avons retenu la deuxième option pour le calcul des VB. Il nous paraît en effet
plus justifié d’actualiser avec la courbe des taux zéro-coupon (quitte à ne pas retrouver exactement
la VB initiale) que d’actualiser avec le TRA_boursier qui a plus un caractère informatif qu’une réelle
signification boursière.
Un fois ces éléments déterminés, les zéro-coupons sont agrégés par tranche semestrielle (VNC et VB
des zéro-coupons sommées par semestre) sur une durée maximum de 40 ans. Au final, nous avons
donc un total de 80 zéro-coupons, auxquels nous affectons un TRA moyen (correspondant
intuitivement à la moyenne pondérée des TRA des obligations couponnantes initiales).
La VNC et la VB de la poche d’obligations à taux fixes correspondent aux sommes de VNC et VB des
zéro-coupons des différentes maturités, soit ( )∑=
=80
1iiVBVB et ( )∑
=
=80
1iiVNCVNC
Exemple : découpage d’une obligation à date d’inventaire du 31/12/10
Date de calcul
31/12/2010
Flux1 = coupon
30/06/2011
Flux3= coupon
30/06/2012
Flux5= coupon Flux7= coupon + Nominal
30/06/2013 30/06/2014
17
Enfin, cette poche intègre la poche trésorerie assimilée au zéro coupon de maturité nulle. Elle
regroupe tous les montants de trésorerie du fonds étudié. En début de projection, la trésorerie est
supposée intégrer l’écart entre actif investi et passifs (provisions techniques et réserve de
capitalisation). En réalité, cette trésorerie du modèle est composée d’une trésorerie réelle et
d’éléments d’ajustements (désadossement possible à la marge sur un laps de temps court). Soit :
• )(____)(__)( 0000 ttresohorsactiftotaleVNCtpassiftotaleVNCtVNC −=
• )()( 0000 tVNCtVB =
Vieillissement semestriel de la poche (avant pilotage du fonds)
Le vieillissement de cette poche est fragmenté par maturité de zéro-coupon. Les VNC et VB
recalculées individuellement sont ensuite sommées pour donner celles de la poche globale.
A chaque fin de semestre, il faut déterminer le cash provenant du zéro-coupon arrivant à maturité et
recalculer les VNC et VB des autres zéro-coupons.
Avant de détailler ces différents calculs, nous rappelons que le TRA moyen du zéro-coupon de
maturité i reste inchangé, soit : TRA_moyeni(s) = TRA_moyeni+1(s-1)
• Le cash provenant du zéro coupon arrivant à maturité (i-e de maturité i=1 au semestre
précédent) est déterminé comme suit :
[ ] 2/111 )1(_1)1()( −+×−= smoyenTRAsVNCsCashFlowTF Ce montant est transféré en
trésorerie.
• Les VNC des zéro-coupons de maturité i>1 sont vieillies en capitalisant au TRA_moyen, soit :
[ ] 2/111 )1(_1)1()( −+×−= ++ smoyenTRAsVNCsVNC iii
• Les VB des zéro-coupons de maturité i>1 sont recalculées avec la nouvelle courbe des taux du
semestre s,
Soit
2/1
)(1
)(1)()(
++
×=sZC
sTRAsVNCsVB
i
iii
Au global, nous avons ( )∑=
=80
1
)()(i
i sVBsVB et ( )∑=
=80
1
)()(i
i sVNCsVNC
Et )()1()()(_Re sCashFlowsVNCsVNCsTFvenus TF+−−=
D’autre part, en fin de chaque semestre, la trésorerie est vieillie au taux sans risque et alimentée par
tous les
flux issus des différentes classes d’actifs, soit :
[ ] ∑++×−==actifsdclasses
actifdclasse sCashFlowsZCsVBsVBsVNC__
__2/1
0000 )()(1)1()()(
Limites de cette modélisation
Le découpage en zéro-coupons présente les limites suivantes :
• l’agrégation des zéro-coupons peut masquer le fait que certaines obligations soient en plus
values latentes et d’autres en moins values latentes.
• pour ajuster la duration de l’actif, nous pouvons être amenés à vendre un coupon d’une
obligation sans vendre le nominal ce qui n’est pas possible dans la réalité.
• Absence de défaut sur les obligations d’état.
18
1.3.1.2. Les obligations d’entreprises a taux fixe
Le modele de credit de Jarrow Lando Turnbull extended
1.3.1.2.1. Cadre, hypothèses de travail et notations
On considère un marché de la dette sans frictions que l’on dote d’un horizon fini [0, τ], où les
transactions peuvent se faire en temps discret ou continu (On étudiera le temps continu).
L’incertitude des marchés est représentée par un espace de probabilité filtré (Ω, ℚ, , ).
En préalable, il faut poser les hypothèses suivantes :
Hypothèse1: On suppose que le marché des dettes est complet et sans opportunité d’arbitrage. Il
existe donc une et une seule mesure de probabilité équivalente à sous laquelle les prix
actualisés de tous les zéro-coupons risqués et non risqués sont des martingales.
On notera par et les fonctions de probabilité et espérance conditionnellement à . On
désignera également par le prix à l’instant t d’un zéro-coupon non risqué qui paye de
manière certaine un euro à l’instant T et par le prix à l’instant t d’un zéro-coupon risqué,
avec .
Dans le cas d’un zéro-coupon risqué, l’euro promis peut ne pas être entièrement versé si la firme fait
faillite avant T. Si tel est le cas, la firme ne paie qu’une fraction .
Cette fraction , appelée taux de recouvrement peut dépendre de la séniorité de la dette attachée
à ce zéro-coupon risqué relativement aux autres éléments du passif de la firme.
Hypothèse2 : Le taux de recouvrement est considéré comme une constante exogène.
Le choix de fixer ce paramètre s’impose par souci de simplicité pour la suite. Comme cela est montré
dans Jarrow et Turnbull (1995), cela implique que la structure stochastique des spreads de crédit sera
indépendante du taux de recouvrement, et ne dépendra que de la structure des taux spot et du
processus de faillite. Mais cette hypothèse peut aisément être relâchée, en considérant des taux de
recouvrement stochastiques (cf. Das et Tufano (1995)).
1.3.1.2.2. Evaluation d’un zéro-coupon risqué
Soit le temps aléatoire où survient la faillite et la fonction indicatrice de
l’événement .
Notons que si la faillite intervient avant la date T, on convient que le détenteur de la dette recevra de
façon certaine à la maturité du contrat. Si tel n’est pas le cas, le détenteur recevra 1 euro à la
maturité.
19
En considérant les flux perçus à la date T, selon que la faillite survient ou pas, la valeur en t de
l’obligation risquée de maturité T est donnée par :
Pour avancer, nous aurons besoin de faire l’hypothèse suivante :
Hypothèse3 : Le processus stochastique du taux spot sans risque et le processus de
faillite, représenté par la variable aléatoire , sont statistiquement indépendants sous la probabilité
.
Cette hypothèse est utile pour trouver une formule simple de valorisation. Elle implique que le
processus de faillite (sous la probabilité risque-neutre) n’est pas corrélé à celui des taux d’intérêt
spot sans risque. Sous la structure additionnelle imposée ci-dessus, cela impose également au
processus de faillite (sous la probabilité historique) d’être dé-corrélé des taux d’intérêt spot sans
risque.
Sous l’hypothèse d’indépendance des processus, l’équation (1.b.1) devient:
Le prix de l’obligation zéro-coupon risquée est égal à la valeur d’un zéro-coupon sans risque
multipliée par le payoff espéré au temps T.
On voit bien que les déterminants de l’évolution de la structure par termes de la dette risquée sont
au nombre de trois :
• La structure par termes de la dette non risquée
• Le taux de recouvrement
• la structure par termes de la probabilité de défaut, et en particulier la loi du temps aléatoire
d’occurrence de la faillite, sous la probabilité martingale, qui dépend fortement de
l’évolution du rating au cours du temps.
Pour modéliser convenablement la diffusion de l’actif crédit, il nous faudra donc modéliser ces trois
facteurs.
La structure par termes de la dette non risquée est obtenue par les modèles classiques de taux
d’intérêt par exemple Hull & White Black Karasinski, HJM, etc.).
Le taux de recouvrement est une constante exogène du modèle.
Il reste donc à donner une modélisation de la probabilité de défaut d’une obligation, et plus
particulièrement du lien existant entre l’évolution du rating d’une obligation et l’imminence d’une
faillite.
Nous allons expliciter cette dernière en calculant la matrice de transition risque neutre par le modèle
Jarrow Lando et Turnbull extended.
1.3.1.2.3. Calcul de la matrice de transition risque neutre
Les modèles reposant sur la méthode JLT choisissent de représenter cette distribution comme étant
celle d’un temps d’atteinte d’une chaîne de Markov, dont les états pertinents seraient les différents
ratings et l’état de défaut.
20
On choisit de modéliser la distribution des temps de défaut dans une économie où les échanges se
font de manière continue. Le continuum temporel permet d’effectuer des calculs rapides grâce au
calcul stochastique. Cela permet aussi de mieux paramétrer le processus de banqueroute pour avoir
des ajustements plus précis lors des estimations.
On considère une chaine de Markov dans un état fini S = {1,2,…, K}. Chaque état représente une
classe de crédit. L’état 1 désigne la qualité la plus élevée et l’état K la banqueroute. Une chaine de
Markov homogène temporellement est spécifiée en termes de générateur qui est
une matrice
Où : pour tout et pour .
La matrice de transition historique jusqu’à t est donnée par :
On suppose que le générateur matriciel sous la probabilité risque neutre est donné par la formule
suivante :
Où est une matrice stochastique diagonale de taille où
les K-1 premiers entrées sont des fonctions stochastiques strictement positives et intégrables sur
.
Les termes diagonaux sont interprétés comme étant des ajustements de
primes de risque, c’est-à-dire des ajustements pour les risques qui transforme les probabilités réelles
en les pseudo-probabilités risque neutre adaptées à la valorisation.
Dans la version originale du modèle Jarrow Lando et Turnbull, les ajustements de prime de risque
sont considérés comme déterministes. Ce qui conduit à des spreads déterministes. Il est donc
préférable de modéliser des ajustements de prime aléatoire pour obtenir des spreads stochastiques,
même si les paramètres seront plus nombreux.
Nous choisissons donc de diffuser la matrice risque neutre de migration de ratings en relâchant une
des hypothèses du modèle JLT : les ajustements de primes ne seront plus déterministes mais plutôt
stochastiques.
On suppose que la matrice U est une matrice scalaire stochastique :
21
Où est le coefficient multiplicatif servant à diffuser la matrice historique. On suppose qu’il suit la
dynamique d’un modèle CIR (Cox Ingersoll Ross) :
L’avantage d’utiliser une diffusion de type CIR est qu’elle permet d’obtenir presque sûrement des
ajustements de prime strictement positifs.
Le générateur risque neutre devient :
La matrice de risque neutre de transition de ratings entre les instants t et T est alors donnée par la
formule :
Le deuxième avantage de l’utilisation d’une diffusion de type CIR est qu’il permet de calculer
l’expression (I.1.b.7) par une formule fermée.
Nous détaillons ici la manière dont le calcul a été fait.
Supposons que la matrice de transition historique soit diagonalisable :
Avec
Il est alors aisé d’établir que les valeurs propres de la matrice sont dans le disque unité et qu’on a par
conséquent la possibilité d’écrire que :
Où :
On obtient finalement l’expression suivante pour la matrice risque neutre de migration de ratings :
Où :
pour tout , est calculable par
formule fermée.
=
Avec :
Où l’on pose :
22
La matrice de transition risque neutre étant donnée, nous pouvons donc définir la probabilité de
défaut donc de survie pour chaque rating.
Lemme1 : Supposons que la firme se trouve à l’état i à l’instant t, soit et
définissons . Alors
Nous pouvons à présent valoriser les zéro-coupons risqués en utilisant l’équation (1.b.2), soit
Où :
La probabilité de survie de la classe i est donnée par le lemme1.
Le prix de l’obligation sans risque = )(sVBi est obtenu à partir des modèles classiques de
taux (exemple : Hull & White, Black-Karasinski).
Le taux de recouvrement est un input du modèle.
Limiites de cette modélisation crédit
Le modèle de crédit présente les limites suivantes :
• l’agrégation des zéro-coupons peut masquer le fait que certaines obligations soient en plus
values latentes et d’autres en moins-values latentes.
• pour ajuster la duration de l’actif, nous pouvons être amenés à vendre un coupon d’une
obligation sans vendre le nominal ce qui n’est pas possible dans la réalité.
• S’il y a défaut sur un zéro-coupon, cela sous-entend un défaut sur plusieurs zéro-coupons. Ce
que le modèle ne capte pas.
1.3.1.3. Les OATI
Description de la poche
L’objectif est de garder le même type de risque sur cette poche tout au long de la projection. Le
fonctionnement retenu est donc basé sur un rechargement à duration constante chaque semestre,
afin de garder une OATi de même duration tout au long de la projection. Cette poche sera modélisée
comme la poche Actions pour laquelle une stratégie a été prise en compte dans les scénarios.
Scénarios
Chaque semestre, il faut déterminer la formule de performance semestrielle de la poche. Cette
performance basée sur la stratégie d’achat/vente d’OATi est calculée comme suit :
1)1(_
)(_)( −
−=
sachatprix
sventeprixsperf
Où prix_vente(s) est le prix de vente de l’OATi au semestre s et prix_achat(s-1) son prix d’achat au
semestre précédent.
Dans le scénario, nous supposons toujours que l’OATi rachetée présente les mêmes caractéristiques
à l’émission que celle que l’on vend et que la date d’achat coïncide avec la date d’émission de l’OATi.
23
De plus les coupons sont supposés tomber suivant le même pas que les scénarios (soit un pas
semestriel dans le cas de cette étude).
On rappelle que les OATi sont des obligations d’Etat ayant un coupon à taux réel fixe dont le nominal
est garanti au pair. Le principal est couvert contre l’inflation par une indexation sur une référence
quotidienne.
Les coupons sont également couverts contre l’inflation, le coupon annuel correspondant à un
pourcentage fixe du nominal indexé sur l’inflation. Les cotations se font en prix réels (hors inflation).
Les caractéristiques générales de l’OATi modélisée dans cette poche sont les suivantes :
� Nominal : 1€.
� Maturité : m (pour cette étude, m=10 ans)
� Duration : d (pour cette étude, d=8ans)
� Coupon fixe : le coupon fixe est déterminé à la date d’émission s en fonction du taux zéro-
coupon de duration d, auquel l’inflation est retirée, soit : Coupon(s) = max [ZCn(s) –
inflation(s) ; 0].
Le prix d’une telle obligation se définit par l’actualisation des flux aux taux zéro-coupon de la
duration d (soit 8 ans pour notre étude). Les flux sont de deux natures : les coupons et le
remboursement du capital :
Les coupons correspondent au coupon fixe capitalisé à l’inflation. L’inflation future étant inconnue,
nous cristallisons la dernière connue.
Le remboursement du capital suit la même règle de capitalisation à l’inflation avec, dans le cas d’une
inflation négative, l’option d’être remboursé au pair.
Le prix d’achat est alors déterminé somme suit : m
d
im
i d sZC
slation
sZC
slationscouponsachatprix
+++
++×= ∑
= )(1
))(inf1;1max(
)(1
)(inf1)()(_
1
Et le prix de vente est déterminé suivant les mêmes règles de calcul, en considérant l’obligation
vieillie d’un semestre. A cette date nous connaissons l’inflation réalisée de la première période ainsi
que la nouvelle inflation qui sera cristallisée. Comme l’obligation a vieilli d’un an, nous prendrons le
taux zéro coupon n-1 pour actualiser tous les flux.
Le prix de vente est donc calculé comme suit : 1
1
1
1 1 )1(1
))1(inf1;1max(
)1(1
)1(inf1))1(inf1()()1(_
−
−
−
= −
+++++
++++×−+×=+ ∑
m
d
im
i d sZC
slation
sZC
slationslationscouponsventeprix
Remarque : pour estimer le vrai prix de l’obligation il faudrait tenir compte de l’option sous-jacente
de la garantie de remboursement au pair. Celle-ci étant difficile à apprécier et ne correspondant pas
à un intérêt majeur du titre, nous pourrons le supprimer de la formule si nous souhaitons conserver
aux scénarios leur propriété de risque neutre.
Avec le scénario inflation et la courbe des taux recalculée semestriellement dans le moteur ALM,
nous disposons des éléments nécessaires pour calculer les performances semestrielles de la poche
OATi pour les 30 années de projection.
Vieillissement de la poche
Le mécanisme de vieillissement de cette poche est donc identique à celui de la poche Actions, tout
comme mécanisme d’achats et ventes d’actifs (cf. 1.3.1.5).
24
1.3.1.4. Les obligations à taux VARIABLES
Description de la poche en début de projection
Cette poche regroupe les obligations à taux variables.
Nous rappelons que ces obligations se décomposent en détachements de coupons variables et d’un
remboursement fixe :
• les coupons sont calculés sur la base d’un taux de référence (comme le TEC10 par exemple),
auquel vient s’ajouter une marge additive (spread, le plus souvent négatif). Les montants des
coupons varient donc en fonction du niveau atteint par le taux de référence à chaque date
de détachement de coupon ;
• le remboursement est quand à lui fixe : son montant est déterminé à la date d’émission de
l’obligation.
Contrairement aux obligations à taux fixes (qui peuvent être démembrées en zéro-coupons de même
TRA), le démembrement des obligations à taux variables en zéro-coupons ne permet pas d’obtenir
des flux homogènes et déterministes pour une même maturité : la valeur de chaque flux dépend
d’un taux de référence dont il faudra estimer la valeur à chaque pas.
Cependant, pour un même taux de référence et en calculant une marge additive moyenne par
maturité, nous pouvons nous ramener à des flux de coupons homogènes. Pour simplifier toutes les
obligation de la poche taux variables sont supposées être indexées sur un taux 10 ans (ce qui est le
cas pour la plupart des obligations taux variables détenues par AXA) et donc avoir le même taux de
référence. Ainsi les obligations de la poche peuvent être démembrées en flux homogènes regroupés
par maturité, et ce sur une durée maximum de 12 ans :
Nous obtenons une poche composée de 24 obligations fictives chacune caractérisée par :
→ sa maturité i, exprimée en semestres ;
→ son capital Capitali (somme des capitaux des obligations de maturité i) ;
→ son indice de référence, un taux 10 ans ;
→ sa marge additive, Maddi.
Nous notons que :
• le taux 10 ans est assimilé au taux zéro-coupon de maturité 16 semestres (nous faisons
l’approximation qu’une obligation de maturité 10 ans ≈ zéro-coupon de duration 8 ans) et
nous déterminons le taux forward 16 semestres dans i semestres à la date s par :
1))(1(
))(1()(
16/11616
,16 −
++
=+
+i
i
ii
itZC
tZCsZC
• les détachements de coupons sont modélisés en pas semestriel.
A partir des caractéristiques de chaque obligation de maturité i, nous déterminons les formules
théoriques suivantes :
• valeur de bilan : chaque VNC est assimilée au capital, soit : ii CapitalVNC =
• valeur boursière : la VB est calculée par actualisation des flux aux taux zéro-coupon, soit :
i
i
kk
k
iki Capital
tZC
MaddtZCVB ×
+
++
= ∑=
1))(1(
2/))((
1 0
0,8
25
Connaissant les VNCi et VBi en début de projection (somme des VNC et VB des obligations de
maturité i du portefeuille), les formules ci-dessous nous permettent de déterminer les marges
additives Maddi en résolvant l’équation :
i
i
kk
k
iki VNC
tZC
MaddtZCVB ×
+
++
= ∑=
1))(1(
2/))((
1 0
0,8
Au global, nous avons : ( )∑=
=24
1
)()(i
i sVBsVB et ( )∑=
=24
1
)()(i
i sVNCsVNC
Vieillissement semestriel de la poche (avant pilotage du fonds)
Le vieillissement de la poche est fragmenté par maturités. Les VNC et VB recalculées
individuellement sont ensuite sommées pour donner celles de la poche globale.
A chaque fin de semestre, il faut déterminer le cash provenant des détachements de coupons de
toutes les obligations ainsi que du remboursement du capital de l’obligation arrivant à maturité (i-e
de maturité 1 au semestre précédent). Il faut également recalculer les VNC et VB des obligations.
Avant de détailler ces calculs, nous rappelons que la marge additive et le capital de l’obligation de
maturité i restent inchangés, soit :
)1()( 1 −= + sMaddsMadd ii et )1()( 1 −= + sCapitalsCapital ii
Le cash tombant en fin de semestre s est la somme du remboursement de l’obligation arrivant à
échéance (de maturité i=1 au semestre précédent) et des coupons des autres obligations. Il coïncide
avec les revenus financiers de la poche des taux variables, soit :
i
i
i
i CapitalsMaddsZC
sCapitalscashflowTVsTVvenus ×
++−== ∑
=
24
1
8
2
)()()1()()(_Re
Ce montant est transféré vers la poche des taux fixes en tant que zéro-coupon de maturité nulle
(assimilé à la trésorerie).
Les VNC en fin de chaque semestre sont supposées être égales au capital, soit :
)()( sCapitalsVNC ii =
Les VB sont recalculées comme à la date de début de la projection, soit :
)(1))(1(
2/))()(()(
1
,8 sCapitalsZC
sMaddsZCsVB i
i
kk
k
iki ×
+
++
= ∑=
Au global, nous avons :
( )∑=
=24
1
)()(i
i sVBsVB et ( )∑=
=24
1
)()(i
i sVNCsVNC
Mécanisme des achats et ventes d’actifs sur les poches taux fixe
Lors du pilotage du fonds, le modèle est amené à réaliser des achats ou des ventes d’actifs sur ces
poches. Le mécanisme est le suivant (à la date t) :
• En cas d’achat d’actifs pour un montant Mt (en VB) :
o MttVBtVB avantapres += )()(
o MttVNCtVNC avantapres += )()(
o Le montant des PMVL est inchangé : )()( tPMVLtPMVL avantapres =
26
• En cas de vente d’actifs pour un montant Mt (en VB) :
o )(
)()()(
tVB
tVBtVBtVB
avant
apresavantapres ×=
o Le montant des PMVL est recalculée : )()()( tVNCtVBtPMVL apresapresapres −=
o Le montant des PMVR est donnée par :
)()()( tPMVLtPMVLtPMVR apresavantapres −=
Nous notons que les plus ou moins-values réalisées vont impacter la réserve de capitalisation. Si
PMVR<0 et
))()()(_,0()(_ )0()0( <> ++= PMVRsiaprèsPMVRsiaprèsaprèsaprès tPMVRtPMVRtcapiRéserveMaxtcapiRéserve
La réserve de capitalisation est toujours positive ou nulle. Elle est dotée si PMVR est positif, reprise si
PMVR est négatif. Elle est reprise dans la limite du stock disponible. Toutefois, si PMVR<0 et
|PMVR|>(réserve de capitalisation), l’écart entre réserve de capitalisation et PMVR est impacté dans
les produits financiers (et taux de produits financiers).
1.3.1.5. Les autres classes d’actifs : actions, immobilier, opcvm de crédit…
Les autres classes d’actifs prises en compte dans le modèle sont les suivantes :
• actions ;
• immobilier ;
• OPCVM de crédit (trois classes distinctes suivant les ratings).
La modélisation de ces classes d’actifs est spécifiée dans un paragraphe commun car le modèle traite
chacune de ces poches de manière identique. Pour chacune de ces classes, il faut saisir l’allocation
cible à atteindre chaque année (la méthode veut un maintien constant sur toute la durée de la
projection). Cette allocation s’exprime en pourcentage de la VB totale du portefeuille.
Description des poches en début de projection
Les actions
Cette poche regroupe les actions détenues en direct ou via OPCVM qui sont modélisées dans leur
ensemble.
Au début de la projection, nous déterminons la VNC et la VB de la poche en sommant celles de
toutes les actions et OPCVM actions du portefeuille.
L’immobilier
Cette poche regroupe les titres immobiliers qui sont modélisés dans leur ensemble. Il n’y a pas de
différentiation des titres immobiliers par type de sous-jacent (bureau, commerce, habitation, etc.) ni
par zone géographique. Au début de la projection, nous déterminons la VNC et la VB de la poche en
sommant celles de tous les titres immobiliers du portefeuille.
Les OPCVM de crédit
La poche OPCVM regroupant les OPCVM de crédits est fractionnée en trois poches distinctes
correspondant chacune à un certain niveau de rating. Ainsi :
→ la poche OPCVM1 regroupe les OPCVM de rating AAA ;
→ la poche OPCVM2 regroupe les OPCVM de rating AA ;
27
→ la poche OPCVM3 regroupe les OPCVM de rating A et BB ;
Au début de la projection, nous déterminons les VNC et VB de chacune de ces poches en sommant
celles des
OPCVM du portefeuille. Il faut cependant retirer les parts d’OPCVM de taux à sensibilité actions et
ajouter les parts d’OPCVM d’actions à sensibilité de taux (transparisation8 des OPCVM).
Vieillissement semestriel des actifs (avant pilotage du fonds)
A chaque fin de semestre, il faut déterminer les montants de dividendes et recalculer les VNC et VB
de chaque poche suivant les performances renvoyées par le scénario. Pour chaque classe d’actif i,
nous avons :
Le flux issu des dividendes est donné par :
)()1()( sdivsVBsCashflow iii ×−= où divi(s) est le taux de dividende de la classe d’actif i pour le
semestre s (donné par les scénarios d’actifs). Il coïncide avec le revenu financier de la poche : )()(Re sCashflowsvenus ii =
La VNC reste constante, soit )1()( −= sVNCsVNC ii
La VB est vieillie en fonction de la performance de la poche : [ ])(1)1()( sperfsVBsVB iii +×−= où
perf(s) est la performance du scénario pour le semestre s.
Nous avons alors le montant de plus ou moins value latente donné par :
)()()( sVNCsVBsPMVL iii −= .
Mécanisme des achats et ventes d’actifs sur ces poches
Lors du pilotage du fonds, le modèle est amené à réaliser des achats ou des ventes d’actifs sur ces
poches. Le mécanisme est le suivant (à la date t) :
• En cas d’achat d’actifs pour un montant Mt (en VB) :
o MttVBtVB avantapres += )()(
o MttVNCtVNC avantapres += )()(
o Le montant des PMVL est inchangé : )()( tPMVLtPMVL avantapres =
• En cas de vente d’actifs pour un montant Mt (en VB) :
o )(
)()()(
tVB
tVBtVBtVB
avant
apresavantapres ×=
o Le montant des PMVL est recalculée : )()()( tVNCtVBtPMVL apresapresapres −=
o Le montant des PMVR est donnée par :
)()()( tPMVLtPMVLtPMVR apresavantapres −=
Nous notons que les plus ou moins values sont traitées de manière globale sur l’ensemble de chaque
poche : nous ne considérons pas que certains titres puissent être en plus value si la poche est en
moins value dans son ensemble et réciproquement.
8 Transparisation : méthode consistant à ventiler l’OPCVM selon les titres sous-jacents afin de
mieux prendre en compte les sensibilités du titre global comme étant la somme de sensibilités
particulières (taux, action, immobilier, inflation, spread).
28
1.3.2. Elaboration des scenarios stochastiques
Les poches d’actifs sont vieillies suivant des scénarios stochastiques. La génération de ces scénarios
est effectuée par l’ESG (Economic Scenario Generator). L’utilisation de ce générateur de scénarios
offre également un gain de temps non négligeable.
Une multitude de scénarios stochastiques sont ainsi générés par l’ESG. Ces scénarios économiques
renvoient par pas semestriel la courbe des taux ainsi que les niveaux de dividendes et de
performances (nettes du dividende) de certaines classes d’actifs purs. Cet ensemble de scénarios est
généré avec une matrice de corrélation entre les différents actifs.
Nous avons retenu 1000 scénarios car ce nombre assure une convergence des métriques les plus
couramment utilisées dans le cadre du portefeuille de prévoyance collective. En effet, les écarts sont
faibles entre des calculs 1000 scénarios et 2000 scénarios sur la médiane et centiles 1% et 2%.
La distribution des scénarios est la suivante :
� 1000 scénarios « monde réel » (real world RW ou probabilité historique). Ces 1000 scénarios
sont centrés autour d'un scénario représentant une estimation consensuelle du futur en
incluant des primes de risque historiques pour les actifs volatils.
� 1000 scénarios « risque neutre » et « market consistent » (cohérent avec la courbe des taux
initiale). Ces 1000 scénarios sont totalement soumis à la courbe des taux sans risque à la date
de l’étude (l'ensemble des classes d'actifs est rémunéré au taux des actifs sans risque, i.e. les
emprunts d'état et ces scénarios n'incorporent donc aucune prime de risque). Ce second jeu
de scénarios est sans opportunité d’arbitrages. Il est utilisé pour le calcul de la Value (utilisée
pour les calculs d’Embedded Value stochastique).
Le jeu de scénarios RW est retenu car il prend en compte la réalité du rendement et risque des actifs.
Ce jeu de scénario ne permet pas de déduire une EEV et ce n’est pas l’objectif. Si on utilisait un jeu de
scénario risque neutre, on retiendrait une allocation 100% obligataire et sans risque voire une
allocation 100% trésorerie. En effet, la probabilité risque neutre énonce que les actifs ont tous le
même rendement en espérance (le taux sans risque) mais une volatilité différente (plus élevée pour
l’action ou l’immobilier).
Suivant les classes d’actifs, les scénarios générés sont utilisés directement ou retravaillés pour
prendre en compte d’éventuelles stratégies de couverture (c’est le cas de la poche Actions par
exemple). Nous détaillons ci-dessous les modèles retenus pour la génération des scénarios.
1.3.2.1. La courbe des taux et l’inflation
Nous générons deux courbes des taux :
� la courbe des taux nominaux ;
� la courbe des taux réels.
L’inflation est ensuite obtenue par différence entre le taux nominal et le taux réel.
29
La courbe des taux nominaux
Celle-ci est diffusée à chaque pas à partir du modèle de Black-Karasinski à deux facteurs :
)()ln(lnln 111211 dtdWdtrrrd t γσα ++−×=
)()ln(ln 22222 dtdWdtrrd t γσµα ++−×=
Avec :
• r1 est taux instantané initial
• r2 est taux moyen terme initial
• μ est le log du taux infini
• α1, α2, σ1 et σ2 sont des constantes d’élasticité et de volatilité des taux déterminées en début
de projection : elles permettent le calibrage économique du modèle. Ce calibrage est basé
sur l’adéquation en début de projection entre la courbe des taux réelle et celle recalculée
suivant le modèle. Les alphas correspondent aux vitesses de retour à la moyenne et les
sigmas correspondent aux volatilités des taux r1 et r2.
• γ permet de jouer sur le sur le niveau de prime de risque :
o pour les 1000 scénarios « management case », γ ≠ 0
o pour les 1000 scénarios « risque neutre », γ = 0
• W1 et W
2 sont deux mouvements browniens indépendants.
A chaque pas, les nouvelles valeurs de r1 et r2 sont calculées suivant ce processus de diffusion et une
fonction de B&H se charge de recalculer la courbe des taux.
La courbe des taux réels
Celle-ci est diffusée à chaque pas à partir du modèle de Vasicek à deux facteurs :
)()( 111211 dtdWdtrrdr t γσα ++−×=
)()( 22222 dtdWdtrdr t γσµα ++−×=
Avec :
• r1 est le taux instantané initial
• r2 est le taux moyen terme initial
• μ est le taux infini
• α1, α2, σ1 et σ2 sont des constantes d’élasticité et de volatilité des taux déterminées en début de
projection : elles permettent le calibrage économique du modèle. Ce calibrage est basé sur
l’adéquation en début de projection entre la courbe des taux réelle et celle recalculée suivant le
modèle. Les alphas correspondent aux vitesses de retour à la moyenne et les sigmas
correspondent aux volatilités des taux r1 et r2.
• γ permet de jouer sur le sur le niveau de prime de risque :
� pour les 1000 scénarios « management case », γ ≠ 0
� pour les 1000 scénarios « risque neutre », γ = 0
• W1 et W
2 sont deux mouvements browniens indépendants.
A chaque pas, les nouvelles valeurs de r1 et r2 sont calculées suivant ce processus de diffusion et
permettent de restituer la courbe des taux.
30
1.3.2.2. Scénarios Actions et immobilier
Processus de diffusion
La dynamique suivie est une loi log-normale : s
tss
tt dWdtqprSd σσ+−−+= )
2(ln
2
Avec :
• rt est le taux nominal instantané
• p est la prime de risque (déterminée de manière historique) :
o pour les 1000 scénarios « management case », p ≠ 0
o pour les 1000 scénarios « risque neutre », p = 0
• q est le taux continu de dividende
• σt est la volatilité (déterminée de manière historique ou implicite)
• Ws est un mouvement brownien corrélé à W
1 : corr(W
s ,W
1) = ρ
Les actifs sont aussi corrélés entre eux avec une matrice de corrélation générée comme suit :
Génération de Browniens indépendants grâce à Box-Muller
• ()randomu = ()randomv =
)2cos()ln(2 π×−= uB
iB de matrice variance covariance Identité.
• Décomposition de Choleski de la Matrice de corrélation : Matrice_corrélation=L.LT
Où L est une matrice triangulaire inférieure (décomposition possible si Matrice est définie
positive)
� Création des Browniens corrélés :
×
=
iaction B
lll
ll
l
W
333231
2221
11
0
00
nous avons en effet : IdLLBarVarLLWarVar TTaction ×=×= .)(cov_.)(cov_
Scénario Actions
AXA a une politique de diversification actions à travers plusieurs OPCVM dédiés. Les gérants AXA
sélectionnent les pondérations des différents OPCVM pour intégrer les indices suivants :
→ Euro AXA Univers ;
→ US AXA Univers couvert contre le risque de change ;
→ UK AXA Univers couvert contre le risque de change ;
→ Japon AXA Univers couvert contre le risque de change.
31
Nous devons retranscrire cette « stratégie » dans le scénario Actions qui sera utilisé par le modèle.
Pour cela, nous fabriquons notre propre scénario correspondant à ce benchmark (y-compris
couvertures de change) à partir des scénarios des classes d’actifs purs suivantes :
Euro AXA Univers ; US AXA Univers ; UK AXA Univers ; Japon AXA Univers.
La première étape consiste à inclure une stratégie de couverture de change sur chacun des trois
derniers scénarios. Ces scénarios “hedgés”9 sont ensuite rebalancés suivant la composition du
benchmark pour obtenir le scénario final pour la poche Actions.
Les scénarios Actions ainsi calculés renvoient les performances et dividendes de la poche Actions en
tenant compte de sa composition, en pas semestriel sur les 30 ans de projection.
Scénarios Immobilier
Les scénarios Immobiliers renvoient les performances et les dividendes par pas semestriel sur les 30
ans de projection.
1.3.2.3. Scénarios OPCVM de Crédit
Processus de diffusion
Le processus de diffusion des scénarios crédit est détaillé en 1.3.1.2. Nous rappelons seulement que
la génération des scénarios repose sur un modèle de Jarrow Lando Turnbull qui utilise :
→ une matrice de transition (risque neutre ou real world) ;
→ des corrélations intra obligations ;
→ des corrélations au marché equity ;
→ un nombre d’obligations dans le portefeuille (diversity score).
Et qu’elle nécessite les données de calibrage suivantes :
→ rating ;
→ duration ;
→ Convexité.
Ces données de calibrages (nécessaires pour chacun des poches d’OPCVM modélisées) sont calculées
en début de projection et sont supposées constantes sur toute la durée de projection.
Scénarios OPCVM de Crédit
Les scénarios OPCVM de Crédit générés renvoient les performances et les dividendes par pas
semestriel sur les 30 ans de projection.
9 couverts
32
2. Spécificités du fonds de prévoyance étudié
2.1. L’actif Général Prévoyance
2.1.1. Périmètre de l’étude
Les contrats qui rentrent dans le cadre de cette étude couvrent le périmètre de la prévoyance et de
la santé collective. Ce sont des contrats d’assurance à adhésion obligatoire, souscrits le plus souvent
par des entreprises au profit de leurs salariés.
La prévoyance collective rassemble l'ensemble des couvertures permettant aux salariés et à leurs
familles de faire face à une insuffisance de revenus due à une maladie, un accident ou un décès. La
santé collective quant à elle permet aux salariés d’obtenir des remboursements de frais de soins. Ces
couvertures viennent en complément des prestations servies par les régimes obligatoires de sécurité
sociale ou les régimes de retraite complémentaire.
Les contrats de prévoyance détenus par la société AXA France sont regroupés en différents segments
:
• le segment FCAGP, (Fonds Commun de l’Actif Général Prévoyance), regroupant tous les
autres contrats de prévoyance collective.
• Le segment BNP Prévoyance (couverture des salariés sur des rentes de conjoint/éducation)10
.
• le segment SNIP (Société Nationale de l’Industrie Pharmaceutique) qui regroupe les contrats
des industries pharmaceutiques.
Chaque segment a une gestion d’actifs particulière tenant compte de ses propres contraintes
techniques. Les allocations d’actifs sont régulièrement redéfinies par les équipes d’allocation. Elles
font l’objet de contrats de gestion transmis à AXA IM (Investment Managers) qui est en charge
d’effectuer les investissements.
Dans les contrats du segment FCAGP, nous distinguons les affaires directes (pour lesquelles nous
sommes l’assureur) des acceptations (pour lesquelles nous sommes le réassureur). Les affaires
directes peuvent être pour des emprunteurs ou des non emprunteurs. Les acceptations sont
souscrites par des institutions de prévoyance ou des compagnies d’assurances.
2.1.2. Les garanties
Les garanties apportées par les contrats de prévoyance et santé sont les suivantes :
• Garanties Décès : elle se décline sous trois formes en cas de décès de l’assuré :
→ garantie Décès en capital : versement d’un capital à un bénéficiaire choisi par
l’adhérent (a noter : en cas de perte totale et irréversible d’autonomie, l’adhérent
10
Le contrat est un groupe fermé ou en « run off » : seuls les bénéficiaires en cours de service de rente seront
indemnisés, il n’y a plus de primes entrantes au contrat. Il s’agit d’un contrat courvrant les bénéficiaires de salariés de BNP.
33
peut bénéficier du versement de ce capital par anticipation ; ce versement anticipé
met fin à la garantie Décès en capital) ;
→ garantie Rente de conjoint : versement d’une rente viagère et/ou d’une rente
temporaire au conjoint de l’adhérent ;
→ garantie Rente éducation : versement d’une rente à chaque enfant à charge de
l’adhérent ; le montant de cette rente peut évoluer avec l’âge de chaque enfant
(selon les modalités définies dans les conditions particulières).
• Garanties Décès accidentel : versement d’un capital supplémentaire à celui prévu au titre de
la garantie décès en capital.
• Garanties Arrêt de travail : versement de prestations périodiques réglées sous forme
d’indemnités journalières ou de rentes suivant que l’adhérent est en incapacité temporaire
de travail ou en invalidité permanente.
→ le montant de l’indemnité journalière est déterminé sur une base journalière qui
peut être revalorisée selon l’augmentation de la valeur du point AGIRC.
→ le montant de la rente d’invalidité est déterminé en fonction de la catégorie
d’invalidité retenue (définies dans les CG) et peut être revalorisée selon
l’augmentation de la valeur du point AGIRC.
• Garanties Frais de soins : remboursement des frais de soins suite à une maladie, une
maternité, un accident. Ces remboursements peuvent être de natures diverses : prise en
charge de tout ou partie du ticket modérateur, prise en charge de tout ou partie des frais
réels, forfaits, etc.
Pour plus de simplicité, nous distinguerons tout au long de cette étude les trois branches suivantes :
• la branche DC pour les garanties Décès (Vie) ;
• la branche CORPO pour les garanties Arrêt de travail et Décès accidentel (Vie/Non Vie) ;
• la branche SANTE pour les garanties de santé (Non Vie).
Le tableau ci-dessous résume les différents types de garanties offertes :
BRANCHE AGREMENT RISQUE ASSURE TYPE DE PRESTATION
Vie Capital
DECES (sociétés Vie)
Décès toutes
causes Rente de conjoint
Rente d'éducation
Dommages
corporels
Décès
accidentel
Majoration des prestations
décès
CORPO (sociétés mixtes) Incapacité Indemnités journalières
Invalidité Rente invalidité
Dommages
corporels Frais de soins Remboursement de frais
SANTE (sociétés non-
Vie)
2.1.3. Les risques au passif et à l’actif du fonds
34
Tout assureur est confronté aux risques des métiers qu’il exerce, à savoir :
• la commercialisation et la gestion des contrats d’assurance ;
• la gestion financière des portefeuilles de placements ;
• la gestion des options implicites contenues dans les contrats.
Globalement, le premier risque se retrouve au passif du bilan et le second à l’actif. Nous allons
tenter d’identifier ces différents risques dans le fonds étudié ici.
2.1.4. Les risques induits par les options implicites du contrat
En plus des garanties techniques qui constituent l’objet des contrats d’assurance, les assurés
bénéficient en effet de droits variés et de garanties financières supplémentaires. Ceux-ci sont
conférés par la réglementation ou par des clauses contractuelles et sont destinés à rendre les
contrats d’assurance plus souples et plus attractifs commercialement. Ces droits supplémentaires
sont parfois appelés « options cachées » car ils ne font pas l’objet de contrats distincts mais sont
inhérents à ceux souscrits par les assurés.
Nous distinguons les droits suivants pour les contrats de prévoyance étudiés :
� Options à la main des assurés :
o droit de résiliation ;
o droit de bénéficier d’une revalorisation de leurs capitaux, à deux niveaux :
� droit au TMG en cas de faible rendement du fonds.
� droit à une participation aux bénéfices en cas de fort rendement du fonds.
� Option à la main de l’assureur :
o droit de résiliation ;
o droit de bénéficier d’une marge supplémentaire ;
o droit de piloter le fonds ;
o droit de choisir l’allocation d’actifs ;
o droit de faire faillite.
Nous allons analyser chacune des options afin d’en comprendre les enjeux et les problématiques
en terme de modélisation.
2.1.4.1. Options conférées aux assurés
Choix de modélisation de la résiliation
Risque en cas de résiliation : A tout moment, le souscripteur d’un contrat collectif peut décider
de résilier son contrat. Les clauses de résiliations sont négociées contrat par contrat : elles peuvent
être garanties en valeur comptable ou en valeur de marché.
Les résiliations en valeur comptable présentent un risque important pour l’assureur : en cas de
forte baisse des marchés financiers, l’assureur devra faire des moins values et abonder pour restituer
la somme due à l’assuré.
Les résiliations en valeur de marché ne présentent pas ce risque. Elles représentent juste un
manque à gagner qui peut mettre en danger la compagnie (car les frais généraux sont constants).
Les décisions de résiliation des contrats collectifs tels que ceux souscrits en prévoyance relèvent
essentiellement d’enjeux politiques. Il parait alors difficile de modéliser une loi de chute dynamique
de résiliations d’une part parce que nous ne pouvons pas prévoir le comportement des souscripteurs
et d’autre part parce que les lois modélisées risqueraient d’être trop volatiles (pour retranscrire le
poids important d’une résiliation) et donc trop dangereuses.
Nous choisissons donc de ne tenir compte que d’un scénario best-estimate de résiliations en
remarquant que l’assureur va utiliser son droit de pilotage du fonds pour minimiser les résiliations et
donc en réduire la volatilité. Le taux de résiliation de ce scénario moyen sera pris en compte dans les
hypothèses d’évolution du chiffre d’affaires.
35
Droit à une revalorisation à deux niveaux En Vie, la réglementation contraint les assureurs à revaloriser annuellement les provisions
mathématiques. Le taux de revalorisation est la somme d’un taux technique, qui en constitue le
plancher et d’une participation aux bénéfices qui est positive ou nulle. Les contrats de prévoyance
sont soumis à cette règle en ce qui concerne les garanties Vie. En ce qui concerne les garanties Non
Vie, l’assureur n’a aucune obligation de distribution des bénéfices acquis. Cependant, la majorité des
contrats de prévoyance détenus par AXA France comportent également une clause de participation
aux bénéfices pour les garanties Non Vie. Ceci s’explique par le fait qu’il est difficilement concevable
commercialement de distinguer deux clauses distinctes pour un même contrat. C’est pourquoi les
contrats ne comportent qu’une seule clause de PB (garanties Vie et Non Vie confondues).
Ces clauses sont négociées contrat par contrat. Elles engagent l’assureur à reverser tout ou partie
de ses produits financiers aux assurés, par dotation aux provisions techniques. Elles se traduisent en
terme de taux garantis à deux niveaux : un taux technique et un taux de référence. Elles comportent
également les clauses de marges conservées par AXA. Nous détaillons ces clauses, l’une après l’autre:
Premier niveau = contrainte de taux technique (ou TMG pour Taux Minimum Garanti)
Il s’agit d’un plancher de rémunération annuelle sur les contrats. Dans les contrats de prévoyance
détenus par l’assureur, les taux techniques garantis varient entre 2% et 4.5%. Nous notons
cependant qu’une absence de taux technique revient à un taux technique implicite à 0%. Pour le
paramétrage, nous considérerons donc que tous les contrats ont un taux technique, ce dernier
pouvant varier de 0% à 4.5%.
Deuxième niveau = contrainte de participation aux bénéfices
Il s’agit d’une rémunération supplémentaire sur les contrats, qui dépend des résultats obtenus
sur le fonds. Ces clauses de participation aux bénéfices (PB) sont propres à chaque contrat. Dans le
cadre de cette étude, nous considérons les quatre principaux types de taux de référence garantis par
AXA, à savoir :
� le Taux de Produits Financiers (TPF) : taux comptable qui est égal au taux de rendement de
l’actif, y compris plus ou moins values réalisées.
� le TRC : taux de revenu qui est égal au taux de rendement de l’actif, hors plus ou moins
values réalisées. Il s’agit d’un taux de revenu de l’actif avant toute action de pilotage ; il est
donc en règle générale inférieur au TPF.
� une référence externe comme le TMO11
, le TME12
, ou une moyenne du TMO et du TME.
� le taux technique du contrat.
Au final, la clause de PB garantie aux assurés de recevoir le maximum entre le TMG et le taux de
référence, après déduction des marges financières prélevées par l’assureur. Nous notons que la
contrainte de TMG est nette de marge financière, contrairement à celle de taux de référence.
Les marges pour l’assureur
Les marges négociées se décomposent en une marge fixe et une marge variable exprimée en
pourcentage du taux de référence. A ces marges vient s’ajouter un troisième niveau de marge
correspondant au delta entre le taux disponible (TPF) et le taux distribué à l’assuré (TMG ou taux de
référence). Ce troisième niveau de marge dépend directement du taux de référence négocié dans la
clause de PB.
Impact de ces clauses pour l’assuré et l’assureur
Nous voyons clairement que les clauses de PB sont très différentes tant pour l’assuré que pour
l’assureur suivant le taux de référence garanti :
• la clause de PB portant sur le TPF permet à l’assuré de recevoir la totalité des produits
financiers nets de marges financières. Cette clause est également confortable pour l’assureur
11
Le TMO (taux mensuel obligataire) est calculé comme la moyenne des THO du mois. Le THO (taux hebdomadaire
obligataire), c'est le taux hebdomadaire du Marché primaire des émissions à plus de 7 ans. Par convention, il est calculé
comme TEC + 0,25%. 12
Le TME (taux mensuel des emprunts d'Etat) est égal à la moyenne arithmétique des THE sur un mois donné. Il est
publié par la Caisse des Dépôts et Consignations. Le THE est maintenant calculé comme TEC 10 + 0,05%.
36
qui ne supporte d’un faible risque d’abondement : seul un TPF négatif engendrerait un
abondement. Mais en contrepartie, il ne bénéficie jamais du troisième niveau de marge.
• Les clauses de PB portant sur le TRC sont plus risquées mais aussi plus rentables pour
l’assureur. Il peut en effet piloter son fonds afin d’obtenir un TPF supérieur au TRC et ainsi
bénéficier du troisième niveau de marge. Mais si cela n’est pas possible, il devra abonder
pour servir le taux garanti.
• Les clauses de PB portant sur des références externes sont plus difficiles à gérer car le niveau
de ces taux ne dépend pas de la gestion de l’assureur. Grâce au pilotage du fonds, ce dernier
peut cependant espérer avoir un TPF supérieur à ces taux de références et ainsi bénéficier du
troisième niveau de marge. En contrepartie, si les taux de références sont supérieurs au TPF,
il devra abonder pour honorer ses engagements.
• Enfin la clause de PB portant sur le TMG revient à une absence une clause de PB : l’assureur
doit uniquement verser le TMG à l’assuré et conserve la totalité des produits financiers
supérieurs au TMG.
Analogie avec des options financières
A travers ces clauses, nous voyons que l’assuré est protégé contre une baisse du rendement du
fonds (si TPF < TMG, l’assuré reçoit tout de même le TMG) et contre une hausse des taux de
référence (si taux de référence > TMG, l’assuré reçoit le taux de référence). Nous retrouvons une
analogie avec des options financières : Si TPF < TMG , c’est l’option de TMG qui rentre à la monnaie.
L’assuré est protégé contre une baisse du TPF. Il détient donc une option de type put (renouvelée
annuellement) dont les caractéristiques sont les suivantes :
• Nominal = PM
• Date de début = 1er janvier de chaque année
• Date de fin = 31 décembre de chaque année
• Sous jacent = TPF
• Strike = TMG
La valorisation de cette option à échéance (payout) est donné par max(0 ; TMG - TPF). En effet,
comme la PB servie est un payoff (simplifié) de l’ordre de TPF-TMG versé à l’assuré.
Si TPF > TMG, l’option de TMG est en dehors de la monnaie. Par contre l’option de PB rentre à la
monnaie.
L’assuré est protégé contre une hausse du taux de référence. Il détient donc une option de type
call (renouvelée annuellement) dont les caractéristiques sont les suivantes :
• Nominal = PM
• Date de début = 1er janvier de chaque année
• Date de fin = 31 décembre de chaque année
• Sous jacent = taux de référence
• Strike = TMG
Le payout est donné par max(0 ; taux de référence - TMG)
Problématique
L’assureur cherche à maîtriser le risque induit par ces options à l’actif mais il se heurte à un
problème fondamental : pour couvrir un risque, il doit être en mesure d’en connaître la valeur. Et s’il
est vrai que les options de TMG et de PB s’apparentent à des options financières classiques, les outils
de pricing tel que la théorie de Black et Sholes ne sont pas pour autant applicables à ces options. Les
raisons en sont nombreuses : absence de marché organisé, non-liquidité des contrats, complexité des
sous-jacent, mutualisation des actifs du fonds…
Seul un recours à des simulations stochastiques reproduisant la vie de ces options face à
différents scénarios peut permettre d’en approcher leurs coûts (“pricing” empirique de type Monte-
Carlo). Ce coût sera bien évidemment non traduisible directement mais se retrouvera de manière
implicite dans les sorties brutes calculées par le modèle. Ceci met en avant l’utilité fondamentale du
stochastique et de l’ALM dans la recherche de couverture optimale, ainsi que la nécessité de bien
37
identifier les caractéristiques des options à modéliser afin d’en retranscrire les comportements au
plus juste.
Nous allons voir que pour maîtriser le risque induit par cette double option de revalorisation,
l’assureur dispose lui-même d’options qui sont les options de pilotage (choix de la réalisation des
plus ou moins-values et choix de l’allocation d’actifs).
2.1.4.2. Options conférées à L’assureur
Droit de résiliations
Ce droit est le symétrique du droit de résiliation conféré aux assurés. Pour les même raisons que
celles invoquées précédemment, nous choisissons de ne pas modéliser de loi dynamique de
résiliations et même de ne pas tenir compte du tout de ces résiliations : il est en effet extrêmement
rare qu’un assureur effectue une résiliation de contrat.
Droit de bénéficier d’une marge supplémentaire
Comme nous l’avons vu précédemment (cf 2.1.4.1.2), l’assureur bénéficie sur certains contrats
d’une marge variable supplémentaire. Cette marge correspond au delta entre le taux de rendement
du fonds et le taux distribué aux assurés. Pour bénéficier de cette marge, l’assureur va chercher à
augmenter le rendement du fonds en utilisant son droit de pilotage décrit ci-dessous.
Droit de piloter le fonds
Le pilotage du fonds se décompose en deux :
� pilotage comptable : pilotage des plus ou moins values latentes.
� pilotage financier : choix de l’allocation d’actifs.
Ce sont les leviers dont l’assureur dispose pour contrôler les risques induits par les options de
TMG et de PB :
• L’objectif du pilotage comptable se situe en termes de business : il s’agit de donner une
certaine richesse aux assurés pour rester concurrentiel.
• L’objectif du pilotage financier est d’optimiser la richesse pour l’actionnaire sous les
contraintes de pilotage comptable (qui lui optimise la satisfaction des assurés). Mais le
pilotage financier intéresse aussi l’assuré qui recevra plus si la gestion des actifs est bonne.
Nous voyons donc que les pilotages comptable et financier sont très liés et que le plus simple en
termes de modélisation sera d’en figer un pour tester les impacts de l’autre. La méthodologie
retenue consiste à figer une calibration de la règle de pilotage comptable et de faire varier
l’ensemble des allocations.
L’option de pilotage comptable
Il s’agit pour l’assureur de gérer le résultat du fonds, en fonction de ce qu’il doit distribuer et de
ce dont il dispose. Deux cas sont possibles :
� la richesse latente du fonds est suffisante pour distribuer les taux garantis : dans ce cas,
l’assureur a le choix de réaliser plus de richesse que nécessaire ;
� la richesse latente du fonds est insuffisante pour distribuer les taux garantis : dans ce cas les
options de TMG ou de PB détenues par les assurés vont être exercées et l’assureur devra
abonder pour distribuer les taux garantis :
o si le taux de PB est une référence externe type obligataire (ce qui est le cas de 20%
du portefeuille) et que ce taux est supérieur au TMG, c’est l’option de PB qui va être
exercée,
o dans les autres cas, c’est l’option de TMG qui va être exercée.
Dans le premier cas, nous voyons que l’assureur dispose d’une marge de manœuvre
supplémentaire : il a le choix de réaliser des plus ou moins values supplémentaires. C’est ce qui
constitue la partie essentielle du pilotage comptable.
Dans le second cas, l’assureur n’est plus en position de manœuvrer la richesse latente : il subit les
conséquences d’un mauvais pilotage comptable passé, d’une allocation d’actifs dangereuse ou
38
éventuellement d’une chute brutale et imprévisible des marchés financiers (comme un crash
boursier par exemple).
Nous voyons donc que le pilotage comptable permet à l’assureur de gérer les options contenues
dans son fonds, en les plaçant plus ou moins dans la monnaie. Plus précisément nous constatons que
:
Un pilotage comptable prudent permet :
� de garder beaucoup de richesse latente et ainsi de constituer une marge de manœuvre pour
garder les options de TMG et de PB en dehors de la monnaie.
… mais il induit les risques :
� de laisser moins dans la monnaie l’option de marge supplémentaire pour l’assureur et donc
de diminuer la rentabilité globale de ce dernier,
� de perdre en compétitivité et ainsi de ramener dans la monnaie l’option de résiliation des
assurés (position que nous avons choisi d’exclure dans cette étude)
� de faillite du fait des résiliations massives.
De manière complètement symétrique, un pilotage comptable généreux, voir excessif, permet :
� de ramener dans la monnaie l’option de marge supplémentaire pour l’assureur ;
� de laisser l’option de résiliation des assurés en dehors de la monnaie grâce à l’obtention de
résultats compétitifs.
…mais il induit les risques :
� de ne disposer d’aucune marge de manœuvre pour les années suivantes et donc de ramener
les options de TMG et de PB dans la monnaie.
� de faillite du fait des pertes importantes engendrées par l’exercice des options de TMG et de
PB.
Nous résumons l’impact du pilotage comptable sur les options qui nous intéressent, à savoir les
options de TMG et de PB conférées aux assurés et l’option de marge supplémentaire pour l’assureur
:
Pilotage
prudent
Pilotage
généreux
(TPF faible) (TPF élevé)
Options conférées aux
assurés TMG OUT IN
PB OUT IN
Options conférées
l'assureur
Marge
supplémentaire OUT IN
Nous voyons donc que l’enjeu va être de trouver une position permettant de minimiser les
options de TMG et de PB hors la monnaie tout en optimisant celle de marge supplémentaire dans la
monnaie…
L’option de pilotage financier
Le choix de l’allocation d’actifs donne plus ou moins de poids au pilotage comptable : une
allocation d’actifs très risquée (100% actions par exemple) va accentuer l’impact du pilotage
comptable alors qu’une allocation très prudente (100% taux) va l’annuler.
Choix de modélisation
Nous choisissons de figer les règles de réalisation de PMVL R332-20 (levier comptable) et de
tester le levier financier en modifiant les allocations d’actifs puisque c’est ce levier qui prime.
� Pour le pilotage comptable, l’objectif est de calibrer une règle de réalisation de PMVL
moyenne et réaliste de réalisation des plus ou moins-values.
� Pour le pilotage financier, le modèle gardera l’allocation saisie en input constante sur toute la
durée de la projection : il procédera pour ce faire à des réallocations semestrielles.
Droit de faire faillite
39
Avec son rating AA, AXA conforte les assurés que la compagnie sera toujours en capacité
d’honorer ses engagements. Cette option de faire faillite est donc aujourd’hui complètement en
dehors de la monnaie et naturellement non prise en compte dans notre modélisation.
2.2. Les engagements de l’assureur
2.2.1. Les provisions des contrats de prévoyance
En prévoyance, les provisions techniques à constituer sont les suivantes :
• les provisions pour prestations :
o provision pour sinistres à payer (PSAP)13
, y compris provision pour frais de gestion
des sinistres (PFGS)
o provision mathématique (PM)
• les provisions pour primes :
o provision pour primes non acquises (PPNA)
o provision pour risques croissants (PPRC)
• la provision pour égalisation (PE). voir Annexe 6 : Déductibilité de la Provision d’égalisation.
A ces provisions viennent s’ajouter deux fonds qui sont propres à la gestion des contrats de
prévoyance :
• la réserve générale,
• le fonds de revalorisation.
Nous allons étudier chacune de ces provisions afin de voir comment les modéliser.
2.2.2. Les provisions pour prestations : PM et PSAP
Le travail a consisté à donner encore plus de précision à l’évolution du passif. En effet, le passif a été
modélisé sous forme de générations de primes et de sinistres correspondants. La PB n’est plus
incorporée à la provision mathématique mais isolée parmi les engagements avec son
fonctionnement propre.
13
Article R332-1 et R331-2 du code des assurances
Initialement, le modèle prenait en compte une évolution du passif type « épargne » :
PMclôture (t) = PMouverture(t) + intérêts techniques(t)+ PBservie(t) +dotationPM(t) – sinistre(t)
Sinistre(t) = x%(t) * PMouverture(t) avec x%(t) calibré et fourni par la direction technique.
intérêts techniques(t) = TMG * PMouverture(t) avec un TMG constaté en t=0 et figé pour le restant de la
projection.
PBservie(t)= (TxRef(t)-marge)* PMouverture(t) avec TXRef(t) le taux de produits financiers attribué au
contrat
La marge contenant une partie de taux fixe et une partie variable.
dotation (t)= CA(t)*(1-tx )
40
PSAP : la PSAP représente la valeur estimative des dépenses en principal et en frais nécessaires au
règlement de tous les sinistres survenus et non payés, y compris les capitaux constitutifs des rentes
non encore mises à la charge de l’entreprise.
PM : la provision mathématique représente la différence entre les valeurs actuelles probables des
engagements respectivement pris par l’assureur et par les assurés.
→ L’engagement pris par l’assuré correspond à l’engagement de payer les primes (y compris les
chargements d’acquisition et de gestion futurs).
→ L’engagement pris par l’assureur est fixé aux conditions générales et particulières du contrat lors
de la souscription, il consiste en général à payer le capital promis ou à servir la rente acquise à la date
de survenance de l’aléa prévu au contrat.
Provisionnement de chaque garantie
En prévoyance collective, le provisionnement des garanties est particulier du fait de la mixité de
l’activité.
Nous rappelons que la spécialisation vie/non-vie est basée sur un critère juridique : ce sont les
garanties dont l’exécution dépend de la vie humaine (cas de vie ou cas de décès) qui constituent
l’assurance vie, et non la durée des garanties. Cependant il est clair que la spécialisation vie vise
surtout à protéger les promesses de longues durées faites aux assurés vie, ce qui est traduit d’un
point de vue technique par la prise en compte d’un taux pour revaloriser les provisions. Nous
retrouvons donc bien une notion de durée de garanties dans la distinction vie/non-vie.
Pour les contrats de prévoyance étudiés, nous avons la distinction juridique suivante : la branche DC
concerne la vie alors que les branches CORPO et SANTE concernent la non-vie.
Mais d’un point de vue technique cette distinction est beaucoup plus délicate car une des
particularités du fonds de prévoyance est l’arbitrage ente risques longs et risques courts figurant au
passif. Les prestations de prévoyance peuvent en effet être classées en deux grandes catégories :
• celles qui donnent lieu au versement d’une prestation instantanée, comme par exemple le
versement d’un capital décès ou encore le remboursement des frais de soins de santé ;
• celles qui donnent lieu au versement de prestations qui vont se renouveler dans le temps et
qui par conséquent vont prendre la forme de rentes généralement versées trimestriellement.
Dans le premier cas, le droit à la prestation sera honorée immédiatement ou à bref délai, alors que
dans le second, il s’échelonnera sur une période assez longue et pourra prendre la forme d’une
prestation à caractère
viager. Nous retrouvons ainsi des provisionnements en PM pour certaines garanties non-vie.
Nous rappelons donc ci-dessous la nature des provisions constituées pour les garanties des contrats
étudiés.
Dans la branche DECES :
• Capital Décès : versements annuels uniquement, pour les décès survenus dans l’année
�provisionnement en PSAP
• Rente de Conjoint (RC) et Rente éducation (RE) : versements annuels et versements à prévoir
sur de longues durées �provisionnement mixte en PSAP et PM
Dans la branche CORPO :
• Majoration des prestations Décès : versements annuels et versements à prévoir sur de
longues durées �provisionnement mixte en PSAP et PM
41
• Incapacité Temporaire (IT) : versements annuels et versements à prévoir sur de longues
durées �provisionnement mixte en PSAP et PM
• Invalidité Permanente (IP) : versements annuels et versements à prévoir sur de longues
durées � provisionnement mixte en PSAP et PM
Dans la branche SANTE :
• Remboursement des frais de soins : versements annuels uniquement, pour les dépenses de
santé effectuées dans l’année �provisionnement en PSAP
Modélisation
Pour synthétiser les provisions, chaque model point (branche) inclura un montant de PM, un
montant de PSAP et de PPRC.
Le stock initial étant déjà réparti entre les différentes provisions.
Le chiffre d’affaires apporte une dotation aux provisions qui dépend d’une répartition des provisions
(hypothèse).
Un schéma précise la prise en compte du passif plus loinErreur ! Source du renvoi introuvable.
.
Pour modéliser au plus juste ces provisions, il faudrait pouvoir tenir compte de la composition de
chaque groupe assuré ainsi que des différentes tables utilisées pour le calcul des provisions (tables
du Bureau Commun des Assurances Collectives), à savoir :
→ tables de mortalité;
→ tables de maintien en incapacité;
→ tables de passage d’incapacité en invalidité;
→ tables de maintien en invalidité.
La prise en compte de tous ces éléments est possible mais ne fait pas l’objet du modèle de
projection. D’une part parce que ceci rendrait les calculs trop longs et d’autre part, parce que nous
ne pouvons pas disposer d’un tel détail d’information. Nous travaillerons donc de manière globale :
les modélisations retenues sont décrites ci-dessous.
Modélisation des PSAP et PM
Dans le cadre de cette étude, nous modélisons les PSAP, y-compris provision pour frais de gestion
des sinistres (PFGS). Nous devons déterminer comment calculer les montants de PSAP sur un déroulé
de 30 ans, à partir d’une situation d’inventaire (correspondant dans notre modélisation à la date de
début de la projection).
Nous rappelons que la provision pour sinistres à payer est composée de la valeur estimative des
dépenses (en principal et en frais) nécessaires au règlement de tous les sinistres survenus et non
payés. Cette provision peut donc être définie à toute date comme étant la différence entre :
• la charge totale (inconnue et donc estimée) de tous les sinistres assurés,
• les paiements effectués pour les sinistres survenus.
Le point délicat repose sur l’évaluation des sinistres payés puisque le règlement d’un sinistre peut
s’étaler sur plusieurs années. Ainsi les montants de sinistres réglés chaque année correspondent à
des sinistres survenus pendant l’année écoulée mais aussi à des sinistres survenus les années passées
et non entièrement réglés. Pour la modélisation, cette particularité a été intégrée : elle nécessitait
d’enregistrer les sinistres par année de survenance (génération) et de pouvoir gérer un mécanisme
de cadence de règlements. Ceci est coûteux en temps de calcul mais apporte en précision.
Modélisation en S/C ou en tables
42
Une modélisation « académique » consisterait à intégrer un calcul de provisions par valeur actuelle
et prise en compte des hypothèses nécessaires (tables de mortalité et tables d’arrêt de travail). Cette
modélisation n’a pas été retenue.
La modélisation s’est orientée vers la méthode dite « S/C avec cadences » qui permet de reproduire
les mêmes chroniques (Annexe 1 : Equivalence de calcul de PM par VAP ou récurrence) de sinistres et
de provisions que la méthode académique. L’apport de cette technique « S/C avec cadences » est le
gain en temps de calcul. L’inconvénient est qu’une sensibilité à une hypothèse (type longévité,
incidence sur arrêt de travail) est plus longue à calculer car nécessite une re-calibration des S/C et
cadences. Les PM seront modélisés de la même manière que les PSAP à la différence près que les
PSAP n’ont pas d’intérêts techniques.
La modélisation des intérêts techniques nécessité un focus particulier :
Voici l’algorithme de vieillissement des provisions, nous avons à l’année t et pour la génération g :
• CA(t)= CA(t-1)*(1-txrésiliation(t))*(1+txinflation(t))
• Chargement(t) = txchargement(t)* CA(t)
• DotationProv(t,g) = PartProv(t)*CA(t)*[S_C(t)]
La PartProv(t) représente la part de provisions propre à la PM ou PSAP ou PPRC.
Le S_C(t) représente la charge de sinistres y compris frais de gestion rapportée aux primes
commerciales.
• Nominalsinistre (g) = Σt=1
30 txliquidation(t) /[1+TMG(t)]
t+0,5
Il s’agit d’un coefficient de calage des prestations car le S_C est fourni avec un numérateur hors
actualisation. De ce fait, il est nécessaire de réajuster le montant des sinistres au travers d’un
nominal pour prendre en compte le fait que la somme des sinistres réellement versés sont
supérieurs à la dotation aux provisions originelle.
• Provclôture (t,g) = Provouverture(t,g) + intérêts techniques(t,g) – sinistre(t,g)
Provclôture (t) = ΣgProvclôture (t,g)
• Sinistre(t,g) = txliquidation(t) * Nominalsinistre (g)
Avec Σtxliquidation(t)=100%. Notons que les hypothèses fournissent une cadence propre au
stock et aux futures générations croisées par type de provisions.
• Sinistre(t) =ΣgSinistre(t,g) sont les sinistres versés à l’année t.
• intérêts techniques(t,g) = TMG(t) * Provouverture(t,g) - sinistre(t,g)*[{1+TMG(t)}]0,5
-1] avec un TMG
dépendant des branches. La simplification consiste à considérer que le taux d’actualisation
des provisions est égal au taux d’intérêts techniques crédités et au taux du tarif.
intérêts techniques(t)= Σg intérêts techniques(t,g)
• Provouverture (t+1,g) = Provclôture(t,g) pour l’année suivante
•
• Cette mécanique est reproduite d’année en année.
Voici l’algorithme de calcul des taux d’intérêts techniques sur les provisions, nous avons à l’année t :
• limite_réglementaire = 3 ,5% (cf.code des assurances, 4,5% jusqu’en 1995)
• moyenneTME24mois(t) = 0,5*[TME(t) + TME(t-1)] moyenne des TME des 24 derniers mois
43
44
Voici un historique des taux d’actualisation utilisés par AXA sur la prévoyance :
0,00%
0,50%
1,00%
1,50%
2,00%
2,50%
3,00%
3,50%
1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005
AT DC
2.2.3. Les provisions de primes : PPRC et PPNA
Description
La PPRC concerne les contrats contre les risques de maladie et d’invalidité à primes périodiques
constantes, contrats pour lesquels le risque croît avec l’âge des assurés. Dans ce cas, les primes
perçues étant nivelées et libellées en Euros constants, l’assureur perçoit au cours des premières
années des primes supérieures au montant des risques garantis. Il doit faire face en revanche, en fin
de contrat, à des risques supérieurs au montant des primes encaissées.
Pour faire payer à chaque assuré le prix exact du risque garanti pendant l’année en cours l’assureur
devrait augmenter, à chaque échéance annuelle, le montant de la prime demandée, ce qui apparaît
financièrement et commercialement difficile à accepter pour l’assuré !
C’est pourquoi, l’assureur préfère appeler une prime constante sur toute la durée du contrat et
parallèlement constituer une provision pour risques croissants :
• Au début de la vie du contrat, l’excédent entre la prime demandée et le coût de la garantie
est « mis en réserve » grâce à la PPRC.
• Cette réserve est ensuite consommée vers la fin du contrat lorsque le coût de la garantie
devient supérieur à la prime demandée.
Modélisation retenue
Nous choisissons de calculer le montant de PPRC en pourcentage du montant total de primes reçues
chaque année. Cette hypothèse paraît la plus simple et la plus réaliste en terme modélisation. Nous
45
devrons donc disposer des hypothèses de taux de PPRC sur toute la durée de la projection. Les
montants de PPRC pourront alors être définis annuellement comme suit : PPRC(t) = CA_emis(t) ×
tx_PPRC(t)
La variation de la PPRC d’une période à l’autre est imputée en marge : si la PPRC augmente alors la
variation va réduire la marge. Si la PPRC diminue alors la variation est déduite des marges.
Cette modélisation n’étant pas totalement fidèle à la réalité, nous avons choisi de reporter son
développement à une date ultérieure et de considérer que la PPRC serait assimilable à de la PM. En
effet, la PM et la PPRC sont intimement liées et sont toutes les deux des engagements relativement
longs.
Ainsi, en algorithmique on a PM(0) = PM(0) + PPRC(0). De ce fait, la PPRC(t) = 0 pour tout t>0.
La PPNA est destinée à constater, pour l’ensemble des contrats en cours, la part des primes émises
et des primes restant à émettre se rapportant à la période comprise entre la date d’inventaire et la
date de la prochaine échéance de prime ou, à défaut, du terme du contrat. La PPNA se rapporte
uniquement à l’activité Non Vie.
Etant donné que le montant de ces provisions est très faible et puisque les primes sont payées en
cours d’année, nous choisissons de ne pas modéliser la PPNA à part.
2.2.4. Les autres provisions : fonds de revalorisation
Le fonds de revalorisation est destiné à provisionner le financement des revalorisations futures qui
seront versées sur les rentes en cours de service. Il peut prendre la nature d’une provision pour
participation aux bénéfices.
En prévoyance collective, sont concernés par la revalorisation les éléments suivants :
• rentes de conjoint (branche Décès),
• rentes d’éducation (branche Décès),
• indemnités journalières pour incapacité (branche Corpo),
• rentes d’invalidité (branche Corpo)
Ce fonds est alimenté par une part des cotisations, par les résultats financiers supérieurs au taux
technique sur les PM concernées par la revalorisation, ainsi que par les propres produits financiers
du fonds. Il sert à servir les engagements de revalorisation déterminés contractuellement en
appliquant un taux de revalorisation aux PM concernées par la revalorisation.
Chaque année, le solde de ce fonds est donc déterminé comme suit :
Crédit Débit
Fonds de revalorisation
d'ouverture Engagements de revalorisation
Dotation au fonds
Excédents du fonds de
revalorisation
par les cotisations
par les rémunérations financières
Intérêts financiers sur le fonds
Autres alimentations Autres prélèvements
Solde du fonds de revalorisation
46
L’excédent du fonds de revalorisation vient alimenter le compte de résultats global.
Par simplification, nous assimilons le fonds de revalorisation à un fonds de PB global.
La provision d’égalisation (PE) est fiscalisée (art. 39 quinquiès GB du Code général des impôts) et
alimentée dans un premier temps par un excédent du compte de résultat client. La dotation à la PE
inclût des déductions fiscales.
La réserve générale (RG) n’est pas fiscalisée mais elle est alimentée dans un second temps par tous
les montants sortant du cadre de la PE.
2.2.5. La participation aux bénéfices (PE, RG, SD)
Nous allons décrire ici le fonctionnement de la PB.
Elle est caractérisée par un calcul de produits financiers par contrat, calcul de soldes techniques et
financiers, compensation des soldes, calcul de la PB à servir/reprendre et mise à jour des fonds de PB
/ solde débiteur.
Il existe plusieurs provisions de référence pour le calcul du fonds de PB :
Les provisions PM et PSAP sont distinguées. Ces provisions sont également présentées en ouverture
puis en clôture de chaque exercice.
Une assiette de rémunération est composée à partir de la provision et du fonds de PB pour chaque
model point.
Le tauxref représente le taux de référence de la clause : TPF, TRC, TME ou apparenté ou encore Taux
technique (ce dernier cas signifie un tauxref=0 mais des ICmp non nuls).
( ) [ ] )**Re_;max(
RePr nattributioDebiteurovmpmpremu TauxTauxSoldemuAssietteICPFI
f−=
avec ICmp les intérêts techniques du model point. PFIremu représente la partie de PB financière
destinée au client en excédent des Intérêts Contractuels. Si le second membre du maximum est
inférieur à ICmp alors les IC doivent être servis aux provisions malgré tout et la marge financière est
réduite de cet écart. Détermination des revenus financiers globaux sur le portefeuille :
( ) actifAssietteTPFTPFvenu ×=_Re
Déduction des revenus financiers relatifs au model point du portefeuille :
( ) ( )( ) )(
)(_Re
ftotalpassiouverture
ftotalpassi
ouvertureref
mpouverture
mp
ouvertureref
mpPBPROV
PBPROVTPFvenuPFI
+
+×=
mpremump
mpfinancière PFIPFIeM −=arg Calcul de la marge financière comme étant l’écart et les revenus
financiers du model point et les produits financiers utilisés pour servir ce model point.
Calcul du gain technique :
mpPBetnsationavantcompeementchmp
mp techniquesultattauxC
SCAtechniqueGain __arg _Re)1(_ ≡−−×=
Calcul du résultat technico-financier avant PB :
mpmpremu
mpPBetnsationavantcompe
mpPBetnsationavantCompe ICPFItechniquesultatfitechsultat −+= ____ _Re__Re
Ce résultat cumule les résultats techniques et financiers avant distribution de PB.
47
Ensuite, il y a compensation pour les éventuels excédents / déficits entre plusieurs garanties (Santé,
Corpo, Décès) pour ces résultats : mpgar
mpPBetnsationavantcompe
mpGARsationapresompen Compensfitechsultatfitechsultat += ___ __Re__Re
Enfin, le résultat technico-financier vient compenser un fonds de PB ou solde débiteur éventuel : mpPB
mpGARsationapresompen
mpPBetGARsationapresompen Compensfitechsultatfitechsultat += ____ __Re__Re
S’il y a un excédent, on apure un éventuel solde débiteur ou alimente un fonds de PB.
mpDCSD
mpPBetGARnsationaprescompe
mp CompensfitechsultatfinaltechfiSolde ______Re__ +=
On arrive à un solde technico-financier final. On estime ce qui sera servi au fonds de PB :
)___;0max( PBtauxfinaltechfiSoldePB mpmptech ×=
Le fonds de PB est alimenté par ce flux.Il s’agit d’un fonds de PB avant éventuel sortie pour cause
de stock trop important (voir 2.3.4 ).
Calcul de la marge technique par model point : mp
DCSDmptech
mpmpPBdenette CompensPBfinaltechfiSoldetecheM ___ ___arg −−=
Calcul de la marge totale par model point : mpfinanciere
mpPBdenette
mp eMtecheMtoteM arg_arg_arg __ +=
Le même calcul est itéré sur tous les model points. La marge totale n’est autre que la somme des
marges par model point.
2.3. L’écoulement du passif
2.3.1. Le chiffre d’affaires dépendant de l’inflation
Le chiffre d’affaires (CA) est régi par une évolution déterministe.
En effet, chaque année, le CA est réduit d’un taux de résiliation et augmenté d’une inflation
posée comme hypothèse de la Direction Technique. En réalité, une modélisation plus réaliste
nécessiterait de prendre en compte la sortie pure et simple d’un client du portefeuille et son
éventuel remplacement par un client de taille différente (CA différent). Mais pour des raisons de
simplification, nous ne modélisons pas ce type de renouvellement : il n’a pas été possible de choisir
les clients qui partaient et les caractéristiques de ceux qui entreraient.
Ainsi, la modélisation s’oriente vers un flux net de résiliation (entrées - sorties) estimé au global
par la direction technique et appliqué proportionnellement à chaque client.
2.3.2. Calcul des sinistres en fonction de la cadence de liquidation
Le modèle ALM a été conçu à l’origine pour des fonds de type Epargne individuelle. A ce titre, les
provisions techniques modélisées étaient uniquement des provisions mathématiques. Un traitement
a été développé afin de prendre en compte les autres provisions figurant au passif : PSAP, Provisions
CA(t) = CA(t-1)*(1-txrésil(t))*(1+inflation(t)) pour tout t>1
CA(1) = CA(0)*(1-txrésil(1))*(1+inflation(1)) = x% *PM(0) pour t=1, sachant que CA(0) est récupéré dans
l’inventaire.
48
d’égalisation, réserve d’égalisation, la réserve de capitalisation et la provision pour risque d’exigibilité
(supportée le plus souvent par le fonds propres et donc non utilisée14
).
Voici un schéma du déroulement du passif pour une génération de chiffre d’affaires :
Chargements 10€ Taux technique 2% Part PM 50% dotation PM 45€
CA
100€
dotation aux
provisions 90€Part PSAP 50% dotation PSAP 45€
S/C 100% Part PRC dotation PRC 0€
en t,
sinistre
=50%*
dotPM =
22,5€
en t+1,
sinistre
=30%*
dotPM =
13,5€
en t+2,
sinistre
=20%*
dotPM =
9€
en t+3,
sinistre
=0%*
dotPM =
0€
Le CA de l’année suivante vient générer une nouvelle dotation aux provisions et les sinistres de
l’année suivante dépendent des CA de toutes les générations antérieures.
Voici un exemple de formule pour les sinistres réglés au cours d’une année pour la part de PM puis
PSAP :
( )
( )( ) ( )( ) ( )
( )( )
−+×++
−×+−×+
×
= −
−
NastockpmregltxaNstockpmregltxPM
apmregltxapmregltxPMS
apmregltxapmregltxPMS
apmregltxPMS
PMS
ouv
Ntot
Ntot
Ntot
NRéglés
____1____)(
2___3____
1___2____
1____
_
0
2
1
K
Avec Stot_PM les dotations aux provisions pour la generation de prime N. PMouv(0) représente le stock
de PM initial.
Les tx_regl_pm_xa représentent les taux de règlement (cadences issues de l’état réglementaire B10).
( )
( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( )
−+×++
−×+−×+
×
= −
−
NastockpsapregltxaNstockpsapregltxPSAP
apsapregltxapsapregltxPSAPS
apsapregltxapsapregltxPSAPS
apsapregltxPSAPS
PSAPS
ouv
Ntot
Ntot
Ntot
NRéglés
____1____
2___3____
1___2____
1____
_
0
2
1
K
Les notations sont proches entre les PSAP et les PM.
( ) ( ) ( )NRéglésNRéglésNRéglés PMSPSAPSS __ += Représente les sinistres totaux de l’année N.
2.3.3. Focus sur la revalorisation des garanties et l’impact inflation
Les garanties servies sous forme de rentes (pour conjoint principalement) sont revalorisées pour
tenir compte d’un équivalent d’inflation.
14
AXA a pris le choix de cantonner les portefeuilles en par type de business ; il existe aussi un canton dédié aux fonds
propres. Les marges y sont notamment remontées ou bien des abondements y sont puisés lorsque les produits financiers
de l’assureur sont insuffisants à assurer un taux minimum garanti aux provisions techniques.
49
Ainsi, un sinistre survenu en 2011 générera une rente dépendant du niveau libellé dans le contrat
(x% du salaire annuel brut annuel du salarié) dont le montant est de 100€/an par exemple. Cette
rente sera réevaluée de 1% l’année 2012 au titre de l’indexation au salaire de référence AGIRC par
exemple.
L’inventaire calcule la PM relative à chaque sinistre en cours en actualisant des flux futurs revalorisés
au dernier taux mais figés. En effet, la PM de fin 2011 sera calculée avec la table de survie du
conjoint, un taux d’actualisation ainsi qu’un arrérage supposé de 100€ constants même s’il semble
raisonnable de penser que cette rente sera forcément revalorisée l’année suivante.
En 2012, le calcul d’inventaire est réitéré avec le même taux d’actualisation que celui de l’année de
survenance, la même table de mortalité, mais avec une nouvelle chronique d’arrérages constants à
101€.
Ce calcul est effectué de la sorte pour deux raisons :
• Les contrats peuvent être résiliés de la part de l’assureur. Dans ce cas, l’arrérage atteint est
garanti mais aucune revalorisation n’est possible.
• Dans les faits, une hausse de l’inflation brutale engendre une revalorisation importante.
Cependant, l’assureur dispose d’un levier pour « absorber » ce surcoût éventuel sur la PM�
l’ajustement du S/C en réduisant les garanties ou bien en relevant le tarif. Pour précision, la
PM augmente car le taux d’actualisation est supposé inchangé pour les générations de
survenance antérieures : ceci signifie que, tant bien même que les taux d’intérêt montent,
seule la dernière génération de sinistres serait impactée par un taux d’actualisation fort. Ceci
permet de diluer fortement l’effet inflation et mouvement des taux.
Notons que cet effet d’inflation a également un intérêt en santé mais que le tarif est la variable
d’ajustement de l’assureur.
2.3.4. Fonds de PB : écoulement partiel cohérent avec le contexte commercial
Les grands comptes suivent leur compte de PB de très près. Ainsi, il n’est pas rare que des
négociations entre le client et l’assureur amènent ce dernier à réduire les cotisations sur un exercice
afin de « consommer » de la PB. Le client part du constat que le fonds de PB est excédentaire et qu’il
s’accroît. Dès lors, il souhaite en récupérer une partie sous forme d’une remise de prime15
qui
équivaut à créer un résultat négatif une année donnée et donc à reprendre autant dans le fonds de
PB.
La concurrence amène souvent les assureurs à ce type de compromis qui permet de retenir le client
même si les marges se réduisent sur le court terme.
Cette loi est calibrée de façon à écrêter le fonds de PB à deux années de chiffre d’affaires.
)(_)()( treprisedotationtPBtPB PBouvmentavantregle
clot +=
)0),(2)(max()(_Re tCAtPBtPBglement mentavantregleclot ×−=
)(_Re)()( tPBglementtPBtPB mentavantregleclot
mentapresregleclot −=
Des projections ont été faites sans prise en compte des règlements de PB : les résultats sont
aberrants car au bout de 30 ans, on retrouve un bilan qui a doublé de taille par accumulation de PB.
15
Un taux d’appel est appliqué sur une année afin de réduire la cotisation émise
50
Ceci n’est pas vraisemblable car un client réclame généralement cette « trésorerie » qui lui
appartient.
La trésorerie (VNC et VB) a aussi été mise à jour pour prendre en compte la sortie de ce flux au
travers d’un impact sur le cash.
51
2.4. Spécificités de L’actif
2.4.1. Prise en compte du besoin en fonds de roulement
Le Besoin en Fond de Roulement (BFR) provient essentiellement des mouvements de réassurance et
du paiement annuel des primes à terme échu. Ce bas de bilan16
est composé d’éléments de
trésorerie de type dettes ou créances, figurant à l’actif et au passif du bilan.
Explication :
Un contrat de prévoyance collective signé le 1/1/N engendre immédiatement le versement de
sinistres de la part de l’assureur. Ces sinistres sont assimilables à des dettes court terme (coté passif).
Néanmoins, les appels de cotisations se font à terme échu à chaque fin de trimestre (créance court
terme coté actif). Ceci génère un décalage de flux de trésorerie. Ce décalage grossit du 1/1/N au
30/3/N puis s’annule au 31/3/N dès la tombé de flux de cotisation (si en théorie, les sinistres et
cotisations sont équi-répartis et égaux sur un an). La mécanique se reproduit à chaque trimestre.
L’arrêté comptable traduit le BFR au 30/12/N donc l’équivalent de ¼ des cotisations acquises
annuelles.
Les Primes Acquises Non Emises (PANE) représentent la majeure partie du BFR : comme le contrat
utilise la masse salariale comme assiette de cotisation, elle ne peut être connue précisément qu’au
1/1/N+1. Du coup, une estimation est faite sur la masse salariale de l’exercice N donc sur la
cotisation acquise. La cotisation n’est émise que 1 an après l’estimation. En réalité, un flux vient
compenser la différence entre l’estimé et le contractuel au 1/1/N+1.
L’analyse comptable montre le détail des postes constituant le BFR.
Impact sur le pilotage des produits financiers :
Le BFR a été modélisé comme une poche d’actif qui ne prend aucune performance et qui varie dans
la même proportion que le chiffre d’affaires. Le BFR constitue un montant de créance nette qui n’est
pas investi. Ce montant ne peut donc rapporter de produits au passif.
Le taux de produits financiers est le ratio de produits de l’actif investi rapporté à une assiette d’actifs
prenant en compte le BFR. Ce taux est ensuite appliqué au passif. Ainsi, cette créance est
indirectement « assumée » par le passif dans la mesure où cela représente un taux de produits
financiers moindre qui sera appliqué en PB.
Toutefois, le BFR comptable est trop important et réduit sensiblement le taux de produits financiers.
Ainsi, certains postes du BFR sont déduits pour estimer un BFR économique utilisé dans l’assiette de
taux.
BFRéco = BFRcomptable – IBNR17
– Régularisation de prestations18
Modélisation
Nous avons modélisé le bas de bilan sous la forme d’une poche d’actifs qui, à la différence des
autres, n’évolue pas selon un scénario économique mais est fonction du passif et plus précisément
du montant de production totale. Elle présente de plus les particularités suivantes :
16
Le “bas de bilan” est une terminologie équivalente au BFR 17
Incured But Not Reported claims 18
Régularisation de prestations : écart entre prestations estimées et prestations réalisées
52
- le BFR n’est pas pris en compte dans l’allocation d’actifs,
- seule une partie du Bas de Bilan est prise en compte dans la détermination de l’assiette d’actif
utilisée pour le calcul du taux de rendement du fonds,
- à toute date t, VNCBFR(t) = VBBFR(t)
En input, il faudra donc saisir :
- l’évolution du bas de bilan en pourcentage de la production (dotations aux provisions), noté TauxBFR
- l’évolution de la part de bas de bilan investie en pourcentage du bas de bilan, noté QPBFR
Et à la fin de chaque semestre s, les montants de bas de bilan et de bas de bilan investis seront
recalculés
comme suit :
VNCBFR(s) = dotations(s) × TauxBFR (s) = CA_emis(t) × S/C(t) × TauxBFR(s)
VNCBFR_eco(s) = VNCBFR(s) × QPBFR(s)
2.4.2. Préparation des données de l’actif
L’actif total est de 8,3Md€19
en Valeur Nette Comptable (VNC) / 8,8Md€ en Valeur Boursière (VB)
hors BFR ou trésorerie.
La trésorerie est utilisée comme une variable d’ajustement en t=0 pour équilibrer le bilan. On
considère donc que tout dés-adossement actif-passif est annulé dès le début de la projection. situation au 31/12/2010 en k€ VNC VB PMVL en %VB
Action 1 887 564 2 108 387 220 823 20%
Immo 863 616 1 054 193 190 578 10%
OATi 526 102 527 097 995 5%
Govies 3 659 833 3 689 677 29 844 35%
Crédit 3 128 548 3 162 580 34 032 30%
Total hors BFR 10 065 663 10 541 934 476 271 100%
2.5. Pilotage du fonds
Le pilotage du fonds doit permettre de servir au minimum les taux d’actualisation implicite
(assimilable à un taux minimum garanti ou TMG en épargne) et de gérer la richesse latente
supplémentaire (distribution de PB ou non). Il revient à piloter la valeur du TPF, qui est le taux
comptable de rendement de l’actif, y compris les plus ou moins-values réalisées.
Ce taux, calculé de manière globale sur l’ensemble du fonds, est donné par :
actif
RKPIsiR
plR
réallocR
financiers
Assiette
MVRPMVRPMVRvenusTPF
0_19332
sup2033220332 )(Re =
−−− +++=
Si la réserve de capitalisation (RKPI) est nulle et que des moins-values sont réalisées sur les actifs
R332-19, cet impact va dans le TPF (asymétrie de la RKPI).
En réalité, lorsque la réserve de capitalisation n’est pas active sur le fonds, les plus-values et moins-
values sont imputées au TPF.
Avec :
- revenus financiers = revenus financiers sur l’ensemble des actifs investis du fonds.
19
Pour rappel, les ordres de grandeur sont modifiés.
53
- PMVR = plus ou moins-values réalisées suivant le pilotage du fonds. Ce montant est la somme :
→ des plus ou moins-values réalisées lors des réallocations effectués dans l’année, notés PMVRréalloc ;
→ des plus ou moins-values supplémentaires que l’assureur souhaite réaliser (pilotage comptable),
notées
PMVRsuppl : ces dernières sont calculées suivant une règle de dégagement de richesse détaillée plus
bas.
- 2
)()sin(Pr5.0 1
éécoN
éécoN
ouvactif
BFRBFRistresimesVNCAssiette
++−×+= −
Nous notons que cette assiette intègre une part de bas de bilan conformément à ce qui est détaillé
en Erreur ! Source du renvoi introuvable.,
soit : VNCactifs = VNCtx_fixes + VNCtx_variables + VNCactions + VNCimmobilier + VNCOPCVM + VNCBFR_investi
2.5.1. Définition des taux de rémunération
Les clauses sont assujetties à un taux de référence. Il s’agit très souvent d’un taux de produits
financiers en référence au bilan ou au marché obligataire.
2.5.2. Etat des lieux des taux de rémunération du fonds
Plusieurs taux sont utilisés comme référence pour les clauses de l’AGP.
• TME ou assimilé20
• Taux technique (taux technique sur provisions, pas de taux sur PB)
• TRC
• TPF
• Sans taux
• Autres taux (taux spécifiques définis sur certaines clauses avec pooling notamment)
Voici la répartition de ces taux sur le portefeuille au prorata des provisions techniques et des
réserves :
taux
obligataire;
14,23%
TRC; 17,30%
T2; 21,55%
Taux technique
(sans taux);
32,40%
sans taux;
14,11%
Autres; 0,41%
20
Taux Moyen Obligataire (TMO), etc
PF
54
Ainsi, environ 53% des provisions sont assujetties à la distribution de PB financière. Le restant est
assujetti à aucune PB (33% du portefeuille) ou à de la PB technique uniquement.
2.5.3. Contexte du pilotage
La prévoyance collective est un périmètre dont les caractéristiques sont différentes de l’épargne ou
la retraite.
Ces derniers LOB sont très orientés vers le taux de produits financiers dégagés par le fonds. Un gain
technique est plus rare.
En effet, l’existence d’un gain technique permet aussi de doter au fonds de PB (provision
d’égalisation et réserve générale) et de dégager une marge.
2.5.4. Pilotage du TRC : incidence du pilotage sur les OPCVM 100% dédiées
Le fonds AGP détient certaines OPCVM de crédit à 100%. Ces OPCVM sont dites par capitalisation.
Autrement dit, les coupons perçus à chaque période sont réinvestis dans l’OPCVM. Si le détenteur
décide de dégager une partie ou l’intégralité de ses coupons, c’est possible moyennant une variation
de la valeur liquidative21
.
Les coupons ainsi dégagés sont pris en compte dans le TRC, donc dans le TPF.
Ce choix aura donc un impact sur le couple (TRC, TPF) et la distribution de PB/rentabilité du fonds.
Le TRC est dit naturel si aucune action n‘est menée sur les revenus des OPCVM dédiés : ils sont
perçus au même titre que les revenus d’autres actifs et intègrent les TRC et TPF.
2.5.5. Pilotage du TPF
21
Le fait que le détenteur de parts puisse choisir de retirer son coupon n’est possible que si l’ensemble des détenteurs
donne son accord pour ce faire. En effet, la valeur liquidative de toutes les parts est impactée par une sortie de coupon.
TRCnaturel = Revenusavant pilotage / Assiette_Actif
Revenusaprès pilotage = Revenusavant pilotage - si(Condition=VRAIE, RevenusOPCVMdédiés ,sinon 0)
Condition : si PMVLR332-20 > 0 alors VRAIE, sinon FAUSSE. Plus précisémment, l’algorithme a appliqué
une pente pour éviter l’effet de seuil.
Revenusavant pilotage = Dividendeactions + Loyerimmobilier + Couponsobligations + DividendesOPCVM dédiés
TRCfinal = Revenusaprès pilotage / Assiette_Actif
Le couple (TRC,TPF) est piloté à la fois dans l’absolu et dans le relatif. En effet, l’écart entre les
deux taux est volontairement maitrisé. Pour des raisons commerciales :
• les clients assujettis au TPF n’accepteraient pas que le taux servi soit non significativement
supérieur au TRC
• un TPF très supérieur au TRC (réalisation de grosses plus values).
• Un TPF inférieur au TRC (réalisation de moins values en net).
Par conséquent, le TPF est un taux généralement supérieur au TRC (idée de Bonus) avec un écart
significatif (idée de Spread constant).
TPFcible = TRCfinal + Spreadconstant +Bonus_Malus
Proposition des commerciaux d’AXA : au cas où la compagnie est dans l’obligation de présenter un
TPF<TRC (réalisation de MVL en net) alors la distribution de PB se ferait en considérant le TRC pour
taux de référence pour les clauses assujetties au TPF. Ainsi, dans certains cas, l’assureur devra
« abonder » une partie de ces marges négatives.
55
La règle de dégagement de Bonus
Cette règle doit permettre le pilotage des plus ou moins-values latentes constatées en fin de chaque
année.
Nous excluons les obligations (taux fixes et taux variables) de ce pilotage car elles font l’objet de
dotations à la réserve de capitalisation. Les actifs concernés par la règle à mettre en place sont donc
les actifs dits « R332-20 » qui correspondent, dans notre modèle, aux classes d’actifs suivantes :
• actions ;
• immobilier ;
• OPCVM d’OATi ;
• OPCVM de Crédit.
L’idée retenue a donc été de permettre un dégagement dynamique de richesse en fonction du
niveau de richesse latente du fonds. Nous avons donc mis en place une règle de dégagement de
richesse par tranches.
Celle-ci permet de choisir en input un tableau de réalisation se présentant sous la forme suivante :
Seuil - ∞ -50% -20% 0% 20% 50% 100% + ∞
Valeur 28% 21% 11% 0% 14% 18% 21% 25% Les seuils correspondent aux différents niveaux de richesse. Ce tableau se lit comme suit :
_ sur la tranche ]- ∞ ; -50%] : réalisation de 28% des moins values latentes ;
_ sur la tranche ]-50% ; -20%] : réalisation de 21% des moins values latentes ;
_ sur la tranche ]-20% ; 0%] : réalisation de 11% des moins values latentes ;
_ sur la tranche ]0% ; 20%] : réalisation de 14% des plus values latentes ;
_ sur la tranche ]20% ; 50%] : réalisation de 18% des plus values latentes ;
_ sur la tranche ]50% ; 100%] : réalisation de 21% des plus values latentes ;
_ sur la tranche ]100% ; +∞] : réalisation de 25% des plus values latentes.
Si par exemple le niveau de richesse latente atteint en fin d’année est de 70%, le montant de plus-
values
dégagé sera de 20%*20%+25%*(50%-20%)+30%*(70%-50%), soit 16.5%. Ces 16.5% correspondent à
la part de plus-value à réaliser par rapport à la valeur nette comptable de l’ensemble des poches «
R332-20 ».
Nous notons ce tableau de manière théorique :
Seuil Seuil0 = - ∞ Seuil1 Seuil2 Seuili0 = 0 … … SeuilN-1 SeuilN = - ∞
Valeur Valeur 0 Valeur 1 Valeur 2 0 Valeur N-1 Valeur N Dans le modèle, le niveau de richesse est calculé en fin de chaque année comme suit :
20332
20332_−
−=R
R
VNC
PMVLrichesseNiveau
Avec :
• VNCR332-20 est la somme des VNC des poches d’actifs « R332-20 » et du montant de BFR
investi.
• PMVLR332-20 est la somme des PMVL des poches d’actifs « R332-20 ».
56
Puis le modèle calcule le niveau d’écoulement à appliquer suivant la richesse et la règle saisie en
input. Nous détaillons ce calcul dans le cas où la richesse disponible est positive. Le cas d’un niveau
d’une richesse négative est symétrique.
Nous définissons ifin le rang tel que Seuili fin-1< niveau de richesse ≤ Seuili fin (si niveau de richesse >
SeuilN, alors ifin=N). Nous avons alors :
)_()(_ 1
1
0ifinifinii
ifin
iii SeuilrichesseniveauValeurSeuilSeuilValeurecoulementValeur −×+
−= −
−
=∑
Enfin, le montant de plus ou moins values à réaliser est donné par :
ecoulementValeurVNCPMVR Rpl _20332sup ×= −
Calibrage de cette règle
Nous avons dû interroger les responsables du marché de la prévoyance pour essayer de traduire
leurs pratiques en règle mathématique. En voici la loi22
:
Niveau de
Richesse
Taux de PMV à
réaliser
<-20% 50%
[20%;0%] 25%
[0%;20%] 20%
[20%;40%] 40%
[40%;60%] 60%
[60%;150%] 80%
> 150% 100%
Les cases extrêmes paraissent inatteignables mais dans certains scénarios extrêmes avec une
allocation 100% actif risqué et concentrée sur peu d’actifs (faible diversification), cela peut arriver.
Notons que cette loi aura été calibrée à partir de l’actif actuel et projeté sur plusieurs scénarios
stochastiques sur un horizon de 30 ans. Les critères retenus pour la calibration sont les suivants :
• Moyenne des Marge maximisée
• Contrainte de perte limitée (cas de marge négative limitée)
• Réduction du nombre de cas où le TPF<TRC (réalisation de MVL au global)
22
Pour rappel, les chiffres sont modifiés pour des raisons de confidentialité.
57
3. Analyse des résultats
3.1. Contexte
Le contexte de solvabilité 2 entraîne une évaluation pointue des risques. Nous devons prendre en
compte ce poids du capital économique dans nos métriques. C’est pourquoi il est calculé et déduit de
la métrique de risque.
Voici un schéma présentant d’une part la distorsion entre vision comptable et économique et d’autre
part la façon dont on évalue les risques dans le cadre de solvabilité 2.
D’un point de vue méthodologique, le capital requis est défini comme étant celui à horizon d’un an.
D’où la nécessité de disposer d’un jeu de scenarii en monde réel à horizon d’un an. Ensuite, il faut
calculer le prix du BEL pour en déduire les fonds propres économiques. Dans ce cadre de pricing, un
nouveau jeu de scenarii en risque neutre est nécessaire à partir de chaque nouvel état après un an.
On parle là de méthodologie « stochastique dans le stochastique ».
58
Le run-time étant trop important dans ce cas et la calibration de nouveaux jeux de scenarii à horizon
d’un an étant complexe, nous avons pris un équivalent type « QIS » pour approcher le STEC.
Légende de la figure :
At = Actif à l’instant t.
VEPt = Valeur estimée du passif à l’instant t23
.
RPt = Valeur estimée du passif à l’instant t (abréviation de Replicating Portfolio1).
3.2. Présentation des indicateurs de rendement et de risque
Indicateur de rendement : les marges dégagées à chaque année de projection sont actualisées à
t=0 et sommées afin d’en déduire une richesse cumulée sur l’horizon de projection. La moyenne de
cette grandeur sur 2000 scénarios stochastiques donne la métrique de rendement. Cet indicateur est
réduit du coût du capital correspondant (défini plus bas « CoC »).
Indicateur de risque : les marges dégagées à chaque année de projection sont actualisées à t=0 et
sommées afin d’en déduire une richesse cumulée sur l’horizon de projection. Le centile 2% de cette
grandeur sur 2000 scénarios stochastiques donne la métrique de risque. Cet indicateur est réduit du
coût du capital correspondant (défini plus bas « CoC »).
Ces métriques utilisent une probabilité historique incluant des primes de risque pour choisir
l’allocation optimale de façon réaliste. L’objectif n’est pas un calcul de valeur du portefeuille qui
nécessiterait de se positionner en univers risque-neutre.
3.3. Méthodologie de calcul du Coût du capital
La méthode d’intégration du coût du capital se fait en deux étapes :
1. Une étape d’évaluation du coût du capital en fonction du choc financier.
Une évaluation de la valeur des marges futures actualisées en risque neutre calculée selon
plusieurs niveaux de chocs. Une granularité des chocs suffisante permettra d’établir un
maillage assez fin de manière à ce qu’une interpolation soit pertinente. Ceci permet de
constituer un niveau de marge de base et une base de données de marges suite à un choc
financier. Le coût en capital d’un choc représente l’écart entre la moyenne des marges et la
marge dans le choc considéré.
23
A noter que VEP0 est évalué à partir d’un jeu de scenarii Risque neutre.
59
2. Intégration de ce coût du capital pour chaque allocation en fonction du niveau de choc
financier.
Lors du calcul des indicateurs pour chaque allocation et chaque scenario, le niveau de choc
financier est lu et utilisé comme clé de recherche dans la base constituée en première étape.
Ainsi, pour chaque niveau de choc rencontré lors du choix d’allocation on associe un coût en
capital. Ce coût en capital est utilisé pour les indicateurs de rendement et de risque. Plus de
détails plus loin en 3.3.3.
Dans les parties suivantes, nous allons détailler l’approximation du Coût en capital utilisée au travers
de la formule standard.
Cette méthodologie paraît raisonnable dans la mesure où elle fournit une certaine qualité des
résultats prenant en compte l’allocation d’actifs, le niveau de richesse latente et la performance
des marchés financiers. De plus, elle permet une grande vitesse de calcul.
3.3.1. Abréviations
Afin de calculer le coût du capital, nous devons d’abord définir certains paramètres clés pour nos
calculs afin de mieux comprendre les démarches à suivre :
• QIS : Quantitative Impact Study. Pour cette étude, nous allons nous baser sur le rapport QIS5
(juillet 2010).
• AFR : Available Financial Ressources (Ressources financières disponibles pour faire face à un
choc extrême)
• MVM : Market Value Margin (valeur de marché des marges)
• SCR : Solvency Capital Requirement (SCR = BSCR + ADJ + SCR op). Capital requis dans le cadre
de solvabilité 2
• BSCR : Basic Solvency Capital Requirement
• ADJ : Ajustement lié à l’effet d’absorption des provisions techniques et taxes différées
• nSCR24
: Capital requis sous solvabilité 2 avec intégration de l’effet d’absorption des
provisions techniques.
• nSCR_Market : nSCR pour les risques de marché.
• SCRmkt : Capital requis pour le risque de marché
• SCRop : Capital requis pour le risque opérationnel
• MCR : Minimum Capital Requirement
• STEC : Short Term Economic Capital
• EV : Embedded Value
• EEV : European Embedded Value
• MCV : Market Consistent Value, Valeur calculée en stochastique du business considéré
• α : Ratio de solvabilité = nSCR
AFR
• � représente la part de MCV admissible en face des besoins en capital (Pas défini
précisément à l’époque de l’étude mais nous nous laissons la latitude d’ajuster ce
paramètre). Pour l’instant égal à 100%.
24
La lettre « n » apposée avant le SCR signifie net d’absorption par le passif.
60
3.3.2. calculs préliminaires
SCR avant absorption noté « SCR », calculé par
SCR = VBtotale * %poche dans allocation cible * Choc
Exemple : VB totale = 1.1Mds€, allocation cible contenant 10% d’actions : SCR_equity =
1.1*10%*39%= 42.9M€
SCR après absorption noté « nSCR ». L’absorption est notée β. β = 1- nSCR / SCR
Niveau de fonds propres à immobiliser par l’actionnaire pendant une année : α * nSCR – γ *
MCV
L’actionnaire immobilise l’ANAV (fonds propres), or AFR = ANAV+MCV d’où la formule ci-dessus
Cost of Capital résultant de l’immobilisation de ces fonds propres : c * (α * nSCR – γ * MCV)
Le fait de devoir immobiliser ces fonds propres représente un manque à gagner pour
l’actionnaire.
c = 6% (standards ALM).
Calcul nSCR market par application d’une matrice de corrélation sur les nSCR suivants25
:
• nSCR equity : Choc -39% sur la VB de la poche Equity
• nSCR immo : Choc -25% sur la VB de la poche Immo
• nSCR taux : max ((MCV-MCVup)/(1-taxrate) ; ((MCV-MCVdown)/(1- taxrate) ;0)
• nSCR spread : Choc -x% sur chaque ligne de crédit, dépendant du rating et de la maturité
Nous avons besoin de calculer le nSCR taux car ce paramètre n’est pas donné par les rapports QIS 5
et dépend de notre portefeuille et de nos scénarios.
Ce calcul est réalisé pour l’allocation initiale de la feuille-fonds à tester. Le nSCR taux sera considéré
comme constant pour chaque allocation et chaque niveau de richesse.
Pour cela il faut faire trois runs en stochastiques Risque Neutre : le Base Case (BC), le QIS up et le QIS
down.
(taxrate =26%26
. Le nSCR est à calculer brut de taxes).
Calcul des corrélations:
Dans le rapport QIS 5, selon que le taux d’intérêt soit en hausse ou en baisse, la matrice de
corrélation diffère.
Par conséquent, nous avons deux matrices, une market down (marché baissier) et l’autre market up
(marché haussier).
25
Le choc est à appliquer après réallocation sur l’allocation cible. 26
Ce taux de 26% est lié à une estimation globale de ce qui est payé comme taxes après diverses déductions fiscales.
Ainsi, le taux traditionnel de 33.33% est réduit de façon significative.
61
corrMktDOWN interet action immo spread change concentration prime il liquidité
interet 1
action 0.5 1
immo 0.5 0.75 1
spread 0.5 0.75 0.5 1
change 0.25 0.25 0.25 0.25 1
concentration 0 0 0 0 0 1
prime il liquidité 0 0 0 -0.5 0 0 1 Matrice de corrélation quand les taux d’intérêt baissent
corrMktUP interet action immo spread change concentration prime il liquidité
interet 1
action 0 1
immo 0 0.75 1
spread 0 0.75 0.5 1
change 0.25 0.25 0.25 0.25 1
concentration 0 0 0 0 0 1
prime il liquidité 0 0 0 -0.5 0 0 1
Matrice de corrélation quand les taux d’intérêt augmentent
Pour le calcul du coût du capital, il a été convenu d’utiliser les valeurs moyennes à partir des deux
tableaux. Les inputs utilisés dans la base de données, concernant la corrélation entre les différents
marchés, sont donnés par la matrice suivante :
corrMktMOYEN interet action immo spread change concentration prime il liquidité
interet 1
action 0.25 1
immo 0.25 0.75 1
spread 0.25 0.75 0.5 1
change 0.25 0.25 0.25 0.25 1
concentration 0 0 0 0 0 1
prime il liquidité 0 0 0 -0.5 0 0 1
Choc action :
Dans le rapport QIS 5 de juillet 2010, le choc action est de 39%27
.
Choc spread :
Pour déterminer le capital nécessaire pour couvrir le risque de spread, les coefficients Fup suivants
doivent être utilisés. Les valeurs des Fup sont fonction du rating de la poche crédit en fonction du
risque de crédit qui est calibré pour délivrer un choc compatible avec une VaR à 99,5%, après un
élargissement des spreads de crédit
27
Le Symetric Adjustment n’est pas intégré [+10%,-10%] par souci de simplification
62
Ainsi, pour un bond noté AAA et de duration 5 ans, la perte de valeur est de 4.5%.
Dans notre cas, le rating moyen est A et la duration moyenne de la poche crédit est 5.2. On intègre
un coefficient de stress sur les défauts (125% içi). Les spécifications QIS 5 nous donnent
1.4%*5.2*125% = 9% pour le choc spread. Le choc est d’autant plus grand que le rating est mauvais
et que la duration est importante.
Choc immobilier :
Le rapport QIS5 définit le choc immobilier comme étant l’effet immédiat sur la valeur estimée nette
des actifs et des passifs lors d’une baisse de 25% de la valeur de l’investissement dans les conditions
réelles en tenant compte des expositions sur les variations des prix de l’ immobilier. Par ailleurs, les
scénarios nous indiquent un choc différent au niveau STEC.
Ainsi, notre choc immobilier sera considéré, dans le cadre de cette étude, situé à -25%.
SCR Market :
Le nSCRmkt peut être assimilé au STEC marché. La formule de calcul fait appel aux corrélations des
actifs 2 à 2. La matrice utilisée est celle présentée plus haut comme étant une matrice moyenne
entre haussier ou baissier.
PM0 :
C’est le montant des Provisions techniques et fonds de PB initiaux de l’input à la date d’arrêté de
l’étude.
SCR Passif :
Le SCR passif peut être assimilé au STEC technique. Ne disposant pas du montant exact de ce
paramètre dans les rapports QIS 5, il a été convenu d’utiliser le montant du STEC technique du fonds
pour le 4ème
trimestre, qui est égal à 1500000 €28
.
Correl_nSCRmkt_SCRPassif :
C’est la corrélation utilisée pour le calcul du capital requis pour les risques individuel SCR en tenant
compte de la matrice de corrélation entre le marché et le domaine d’assurance (IARD, vie, santé,
prévoyance, etc.).
28
Chiffre modifié pour des raisons de confidentialité
63
Dans notre étude, et en se basant sur les recommandations QIS 5 pour la corrélation Market et Life,
la Correl(nSCRmkt, SCRPassif) = 0.25.
%SCROp :
Correspond à la part du risque opérationnel dans le capital requis. Il est calculé par le rapport entre
le chiffrage QIS5 du risque opérationnel et le BSCR après ajustement.
%SCRop = 10% de la PMo
Ajustement:
C’est l’ajustement au titre de l’effet d’absorption des risques des impôts différés. Il doit être
proportionnel au BSCR et introduit négativement. Dans notre étude actuelle, Ajustement =
adjustemts / BSCRBefore adjustements
Un ajustement de 10% devra être renseigné en -10 dans le système d’information.
Exemple : Ajustement = -20/200 = -10%.
Cette valeur servira dans le calcul du nSCR total dont la formule :
)100
1()100
%1(),(*222 eloperationn
passifmktpassifmktpassifmkttot
SCRsajustementnSCRnSCRnSCRnSCRCorrelnSCRnSCRnSCR +×+×××++=
En résumé : tableau des chocs retenus pour la mesure du Cost of Capital (CoC)
QIS STEC Choc Retenu
Action -39% confidentiel -39%
Taux QIS up / QIS down confidentiel QIS up / QIS down
Immobilier -25% confidentiel -25%
Crédit choc dépendant du
rating confidentiel 9%
Opérationnel -10% confidentiel -10%
Ces chocs retenus ne sont pas ceux officiellement retenus (chiffres modifiés pour confidentialité).
64
3.3.3. calcul du cost Of Capital (CoC)
VA
NA
nSCR
MCV
A
F
R
Ensuite, la formule suivante est appliquée (approche « Risk Driver ») :
ijikkjikki
n
jik
jk DRichAllocMCVRichAllocSCRPM
PMcScenAllocCoC *)),(*),(*(*),( ,,0,,
29
00
0
,, γα −= ∑=
On estime un indicateur de consommation en capital (niveau de fonds propres à immobiliser) par
la différence entre un SCR et une valorisation moyenne (MCV0). On calcule un SCR par rapport à
chaque niveau de richesse latente propre à l’année de projection (et l’allocation). La valorisation
MCV0 est aussi dépendante de l’allocation initiale et de la richesse latente de la période de
projection.
Le ratio de PM permet de donner un poids relatif de cette consommation de capital à chaque
année de projection.
Le déflateur permet d’actualiser les consommations en capital estimées à chaque année.
Le coût du capital pour l’allocation k est une moyenne sur tous les scenarios :
2000
),(
)(
2000
1∑
== jjk
k
ScenAllocCoC
AllocCoC Avec :
• Alloc = l’allocation,
• Scen = le scénario d’actif,
• Rich = la richesse latente en proportion de
l’actif (VB-VNC)/VNC,
• Di = déflateur de la période i,
SCRo et MCVo : déterminés en amont en RN pour chaque allocation de l’étude ALM et pour
plusieurs niveaux de richesse (on essaye de balayer un intervalle assez important).
Le SCR et la MCV à chaque pas de temps se calculent en constatant le niveau de richesse totale et en
interpolant les points du tableau, avec l’effet volume pris en compte par un prorata sur les PMs (on
entend par là toutes les provisions techniques y compris fonds de PB).
3.4. Combinatoire d’allocations
En résumé, la méthode de l’étude ALM consiste à :
1. calculer le coût en capital par allocation et niveau de richesse.
2. Calculer l’allocation cible en monde réel sur 30 ans (avec toutes les primes futures –
continuité d’activité) en utilisant une réallocation de la poche taux selon le profil de passif.
3. Calculer une duration optimale d’actif en partant d’une projection risque neutre sur 30 ans
(avec 1 année de primes futures ou sans primes futures – clôture d’activité).
Niveau de fonds propres
minimum à immobiliser
65
Les allocations testées sont issues de la combinaison des différents critères suivants :
• part actions : 5%, 10%, 15%, 20%, 25% ;
• part immobilier : 0%, 5%, 10%, 15% et 20% ;
• Crédit : 0%, 25%, 35%, 45%, 55%, 65%, 75% ;
• part OATi : 0%, 5% et 10% ;
• Govies : le complément à 100% des précédentes classes d’actif ;
La combinatoire de ces allocations donne des 525 allocations testées.
66
3.5. Résultats
3.5.1. Rappel sur le concept de duration, Gap de duration
Première définition : la Macaulay Duration = Durée moyenne d’attente pour percevoir les flux.
Côté actif, elle représente la tombée de coupons et de nominal pour une obligation (pour un
Zéro-Coupon : il s’agit de sa maturité). Côté passif : il s’agit du moment « moyen » de paiement des
prestations.
Limite de ce concept : elle n’est pas fiable lorsque le passif (la PB servie va augmenter
l’engagement) ou l’actif (taux variables) sont variables.
Alternative : la duration au travers de la sensibilité.
Il s’agit d’une estimation via la sensibilité au premier ordre de la courbe des taux. On utilise
généralement une translation parallèle de la courbe des taux.
Il faut choisir une assiette commune à l’actif et au passif pour leurs durations respectives :
prenons l’actif obligataires taux fixe pour assiette.
Duration d’actif : variation de l’actif relative à un choc taux.
Duration Passif : variation du passif relative à un choc taux.
Gap de duration :
Au vu de la formule du Gap de duration, il faut atteindre le cas où EEV+200bp ≈ EEV-100bp soit le cas
où la tangente est horizontale. Implicitement, cela signifie que le gap de duration est nul.
-45
-40
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
-4,00% -2,00% 0 2,00% 4,00%
EEV
tangeante
La courbe est ici non symétrique car les actifs obligataires ont la caractéristique d’être convexes.
C’est-à-dire que la hausse des taux induit une variation proportionnellement moindre à une baisse
des taux (lié à l’allure de la fonction f(x) = (1+x)-1
).
r
P
ADPassif ∆
∆−≈ *1
r
A
ADActif ∆
∆−≈ *1
r
AP
ADDD ActifPassifGAP ∆
∆−∆−≈−= *1
%2*
1 )100()200( bpsbpsGAP
EEVEEV
AD −+ −
≈
67
3.5.2. Optimisation de la duration optimale de l’actif
La duration recommandée est de 9 ans sur l’actif total.
La duration optimale a été calculée en testant une duration cible fixée durant tout l’horizon de
projection.
L’algorithme prend cette duration cible et compose des achats-ventes sur la poche obligataire
afin d’atteindre cette duration à chaque période. Elle est mécaniquement modifiée par l’avancée du
temps et par l’évolution des taux d’intérêt.
Pour chaque duration, un équivalent au choc SCR taux a été calculé.
Voici la méthodologie : 1. Projection en risque neutre (RN) du cas de base (base case) avec une duration N.
2. Projection du choc du scénario RN-100bp depuis la courbe des taux initiale choquée de -100bp avec une duration N.
3. Projection du choc du scénario RN+200bp depuis la courbe des taux initiale choquée de +200bp avec une duration
N.
4. Refaire les étapes 1,2,3 en faisant varier N jusqu’à atteinte du SCR minimal.
Comparaison des EV29
de chacun de calculs. Le pire des deux chocs est retenu comme étant le choc
équivalent au choc SCR. Ainsi, pour chaque duration correspond un coût en équivalent SCR.
On confronte les résultats pour identifier la duration la plus optimale (réduction du SCR taux).
D’ailleurs, cette duration est celle qui ferme quasiment le gap de duration entre actif et passif.
Précision quant à l’atteinte de cette duration dans l’algorithme de réallocation
L’algorithme de réallocation prend en compte la chronique de cash flows de passif (primes-sinistres)
qui s’impose à l’assureur. En effet, cet algorithme « place » les actifs obligataires en face des cash
flows de passif attendus. Ceci se fait dans la limite de la taille de la poche obligataire. Cela signifie
que la taille de la poche obligataire est importante dans le cadre du risque économique. En effet, si
cette poche obligataire est nulle (allocation 100% action par exemple), l’assureur s’expose à une
volatilité de son actif (risque d’insuffisance de la valeur des actions pour faire face aux cash flows de
passif).
A l’opposé, une allocation 100% obligataire permet de faire face aux cash flows de passif mais va
dégager un taux de rendement actuariel (TRA) parfois insuffisant pour faire face aux TMG et dégager
des marges.
Le tableau suivant permet de voir les différentes durations testées ainsi que l’impact du choc taux
(sensibilité -100bp ou +200bp) sur la Market Consistent Value (MCV). Le pire des deux chocs est
considéré comme étant le choc STEC. On considère la duration optimale lorsque le pire de ces chocs
est minimal en comparant les diverses durations à l’actif.
On constate que la duration optimale permet d’atteindre un gap quasiment nul afin de réduire le
risque de taux au mieux.
Ces durations sont stochastiques (issues de la formule de la sensibilité) et ne correspondent pas à
une duration du type McCaulay.
Concernant le signe de la sensibilité au taux, une explication se trouve en annexe (Annexe 3 : risque
de taux à la hausse et à la baisse).30
Duration effective à
l'actif Taux FixeSensibilité -100bp en k€
Sensibilité +200bp en k€
Gap de duration sur actif total
7,68 - 113 857 213 103 1,95
8,39 - 106 303 123 357 1,37
9,08 - 3 308 25 935 0,17
9,77 - 10 265 - 59 570 - 0,29
10,44 36 202 - 141 229 - 1,06
11,11 63 863 - 159 209 - 1,33 29
Embedded Value : valeur actuelle des marges dans le cadre d’une projection Risque Neutre (mode pricing) 30
Pour rappel, les chiffres sont ici modifiés.
68
3.5.3. Optimisation du coût du capital – nuages de points
Aide à la lecture des nuages de points :
L’ordonnée représente le rendement de la métrique utilisée. L’abscisse représente le risque pour
la métrique utilisée.
La métrique est tantôt hors coût du capital (brute), tantôt avec coût du capital (réduction de la
métrique pour prise en compte du coût afférent à solvabilité 2).
Chaque point représente une moyenne sur plusieurs scénarios (rendement) et un centile 2%
(risque). Il s ‘agit pour chaque point d’une projection sur 30 ans du bilan avec une allocation qui est
maintenue constante à chaque pas de temps (réallocation). Les points ne diffèrent donc que par le
vecteur d’allocation d’actif qui est propre à chaque point.
L’intérêt est d’aller vers la zone nord-est du graphique car elle inclût les allocations (points) dont
le rendement est le plus élevé et le risque est le moins élevé. On peut ainsi définir une frontière
efficiente semblable à celle de Markowitz.
Le point retenu est donc sur la frontière efficiente.
Dans un souci de clarté, il est nécessaire de présenter le graphique en 2 dimensions et par classe
d’actif. En effet, les couleurs permettent de différencier les allocations selon la part de l’actif étudié.
Dans le graphique qui suit, on voit par exemple que l’OATi est étudiée sur les parts 0% (jaune), 5%
(rose) et 10% (orange).
Certains graphiques mettent en exergue que les couleurs se mélangent : l’actif considéré n’est
pas franchement discriminé sur le critère de risque (cas de l’OATi). A l’inverse, certains graphiques ne
se mélangent pas beaucoup : l’actif considéré est clairement discriminé dans le risque porté (cas de
l’action).
69
Résultats des nuages de points :
Vision sur l’angle de l’actif OATi.
OATI - Hors coût du capital :
1 5001 6001 7001 8001 9002 0002 1002 2002 3002 4002 5002 6002 7002 8002 9003 0003 1003 2003 3003 4003 5003 6003 7003 8003 900
800 900 1000
1100
1200
1300
1400
1500
1600
1700
1800
1900
2000
2100
2200
2300
2400
2500
Centile 2% VANT Actionnaire5 (marge+rbt-abt)+val_op t+map15 30 ans
moy
enne
VA
NT
Act
ionn
aire
5 (m
arge
+rbt
-ab
t)+va
l_op
t+m
ap15
30
ans
Frontière efficiente Allocation actuelle Allocation cible Oati = 0 Oati = 5 Oati = 10
OATI - Avec prise en compte du coût du capital :
500
600
700
800
900
1 000
1 100
1 200
1 300
1 400
1 500
1 600
1 700
1 800
1 900
2 000
2 100
-500
-400
-300
-200
-100
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
1100
1200
1300
1400
1500
Centile 2% VANT Actionnaire6 30 ans
moy
enne
VA
NT
Act
ionn
aire
6 30
ans
Frontière efficiente Allocation actuelle Allocation cible Oati = 0 Oati = 5 Oati = 10
Le passage de « sans coût du capital » à « avec cout du capital » fait descendre le nuage par
l’effet de consommation de rendement en déduisant le coût en capital. Les optimums incluent entre
5% et 10% d’OATI sur la frontière efficiente, la proportion de 5% se détache. La présence d’OATi n’est
pas justifiée par un éventuel lien avec les caractéristiques du passif mais plutôt pour une raison de
diversification avec les autres actifs (voir en page 48).
70
Action - Hors prise en compte du coût du capital :
1 5001 6001 7001 8001 9002 0002 1002 2002 3002 4002 5002 6002 7002 8002 9003 0003 1003 2003 3003 4003 5003 6003 7003 8003 900
800 900 1000
1100
1200
1300
1400
1500
1600
1700
1800
1900
2000
2100
2200
2300
2400
2500
Centile 2% VANT Actionnaire5 (marge+rbt-abt)+val_op t+map15 30 ansmoy
enne
VA
NT
Act
ionn
aire
5 (m
arge
+rb
t-abt
)+va
l_op
t+m
ap15
30
ans
Frontière efficiente Allocation actuelle Allocation cible Action = 0
Action = 5 Action = 10 Action = 15 Action = 20
Le point optimal est à 20% d’action hors coût du capital.
Action - Avec prise en compte du coût du capital :
500
600
700
800
900
1 000
1 100
1 200
1 300
1 400
1 500
1 600
1 700
1 800
1 900
2 000
2 100
-500
-400
-300
-200
-100
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
1100
1200
1300
1400
1500
Centile 2% VANT Actionnaire6 30 ans
moy
enne
VA
NT
Act
ionn
aire
6 30
ans
Frontière efficiente Allocation actuelle Allocation cible Action = 0
Action = 5 Action = 10 Action = 15 Action = 20
Le nuage « descend » de façon très marquée par l’effet de consommation de rendement en
déduisant le coût en capital. En effet, le choc action est très brutal au vu du QIS5. Par ailleurs, les
couleurs ne se mélangent pas trop ce qui marque le caractère discriminant de l’actif qui a la plus
grande volatilité.
71
Immobilier - Hors prise en compte du coût du capital :
1 5001 6001 7001 8001 9002 0002 1002 2002 3002 4002 5002 6002 7002 8002 9003 0003 1003 2003 3003 4003 5003 6003 7003 8003 900
800 900 1000
1100
1200
1300
1400
1500
1600
1700
1800
1900
2000
2100
2200
2300
2400
2500
Centile 2% VANT Actionnaire5 (marge+rbt-abt)+val_op t+map15 30 ans
moy
enne
VA
NT
Act
ionn
aire
5 (m
arge
+rbt
-ab
t)+va
l_op
t+m
ap15
30
ans
Frontière efficiente Allocation actuelle Allocation cible Immo = 0
Immo = 5 Immo = 10 Immo = 15 Immo = 20
Immobilier - Avec prise en compte du coût du capital :
500
600
700
800
900
1 000
1 100
1 200
1 300
1 400
1 500
1 600
1 700
1 800
1 900
2 000
2 100
-500
-400
-300
-200
-100
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
1100
1200
1300
1400
1500
Centile 2% VANT Actionnaire6 30 ans
moy
enne
VA
NT
Act
ionn
aire
6 30
ans
Frontière efficiente Allocation actuelle Allocation cible Immo = 0
Immo = 5 Immo = 10 Immo = 15 Immo = 20
Le point optimal est à 15% d’immobilier après prise en compte du coût du capital (au lieu de 20%
hors coût du capital).
72
Crédit - Hors prise en compte du coût du capital :
NB : sur le crédit, les proportions sont exprimées en %age de la poche obligataire (crédit +
obligations d’état).
1 5001 6001 7001 8001 9002 0002 1002 2002 3002 4002 5002 6002 7002 8002 9003 0003 1003 2003 3003 4003 5003 6003 7003 8003 900
800 900 1000
1100
1200
1300
1400
1500
1600
1700
1800
1900
2000
2100
2200
2300
2400
2500
Centile 2% VANT Actionnaire5 (marge+rbt-abt)+val_op t+map15 30 ansmoy
enne
VA
NT
Act
ionn
aire
5 (m
arge
+rb
t-abt
)+va
l_op
t+m
ap15
30
ans
Frontière efficiente Allocation actuelle Allocation cible credit = 0
credit = 25 credit = 35 credit = 45 credit = 55
credit = 65 credit = 75
Crédit - Avec prise en compte du coût du capital :
500
600
700
800
900
1 000
1 100
1 200
1 300
1 400
1 500
1 600
1 700
1 800
1 900
2 000
2 100
-500
-400
-300
-200
-100
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
1100
1200
1300
1400
1500
Centile 2% VANT Actionnaire6 30 ans
moy
enne
VA
NT
Act
ionn
aire
6 30
ans
Frontière efficiente Allocation actuelle Allocation cible credit = 0credit = 25 credit = 35 credit = 45 credit = 55credit = 65 credit = 75
La sur-efficience du crédit conduit à une forte pondération sans coût du capital (75% de la poche
obligataire). L’impact du coût du capital conduit à un optimum de 40% de l’actif. Cette sur-efficience
est justifiée en grande partie par l’arbitrage rendement risque entre crédit et action.
73
3.5.4. Sélection de l’allocation optimale
L’allocation optimale est donc la suivante :
• Action 10%
• Immobilier 15%
• OATi 5%
• Obligations d’entreprises 40%
• Obligations d’Etat 30%
Sa mise en place se fera progressivement en un an ou plus afin de ne pas trop perturber le
compte de résultat et le bilan (revenus récurrents, plus ou moins-value réalisée pour atteindre cette
allocation).
3.5.5. Sensibilités de l’allocation cible
Cette partie expose le fait que l’allocation recommandée en base case est robuste au travers de
sensibilités étudiées sauf dans le cas d’un choc extrême de sinistralité. Nous commentons les
sensibilités en quelques mots.
Les résultats graphiques sont disponibles en Annexes. Sensibilité au passif (convergence des S/C vers un niveau de 104,5%)
A long terme, le S/C est censé converger vers 104,5%. De ce fait, le faible gain technique
engrangé chaque année s’est transformé en perte technique dans la sensibilité. Les clauses ayant un
fonds de PB ont amorti à 100% cette perte. Les clauses ayant un solde débiteur se sont creusées. Les
clauses sans contrat de PB ont réduit la marge actionnaire. Les gains techniques ne sont plus
suffisants pour compenser des pertes financières. Aussi, on est plus enclin à réduire la part d’actifs
risqués.
Ainsi, la part action passe à 5%, l’immobilier à 10%, l’OATi reste à 5%, le crédit passe à 22.5% et
les obligations d’état augmentent à 57.5%. Sensibilité aux primes futures réduites (renouvelle ments)
L’impact des primes réduites ne bouscule pas la hiérarchie des allocations car la réduction des
primes s’est faite en respectant la proportion entre les clauses de façon à ne pas dévier des
caractéristiques du passif projetées en base case.
Il correspond juste à une réduction de la taille du bilan projeté mais pas du partage des bénéfices
entre assuré et actionnaire. Ci-joint la chroniques de primes en k€ avec une prime de dernière année
qui représente environ 54% de la prime base case.
0
500000
1000000
1500000
2000000
2500000
3000000
3500000
4000000
4500000
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
Prime commerciale Base Case Prime commerciale sensi New Business
74
Un choix d’hypothèses déformant les caractéristiques du passif serait biaisé car il ne donnerait
pas les mêmes résultats si la déformation est dans le sens plus ou moins favorable à l’assuré. Sensibilité au pilotage plus généreux
Le tableau de dégagement de Bonus a été modifié pour dégager plus de richesse lorsque la plus
value latente le permet. Le fait d’être plus généreux entraîne une richesse moindre les années
suivants et une plus grande difficulté face aux scénarios défavorables. Ainsi, on est plutôt amené à
limiter la prise de risques : la part action recommandée passe de 10% à 5% dans ce cas, au profit des
obligations d’état et sans changer les parts d’autres actifs. Sensibilité au BFR augmenté
L’impact du BFR majoré est relativement limité sur les métriques. Il ne bouscule pas la hiérarchie
des allocations.
Intuitivement, ce BFR majoré va réduire la part d’actifs disponibles pour investir et donc le
volume de produits financier dégagés. De plus, l’assiette de taux augmente du fait de l’intégration du
BFR économique (proportion du BFR comptable). Ainsi, les taux réalisés sont plus faibles et il y a
donc moins de participation aux bénéfices qui reviendrait à l’assuré et moins de marges.
3.5.6. Impact des primes futures sur la duration
L’hypothèse d’origine a consisté en la prise en compte d’aucune prime future (run-off) pour le
calcul du risque financier (principalement risque de taux) conformément à la méthodologie du
département Risk Management de la compagnie. En effet, la prévoyance collective est considéré par
la régulation à mi-chemin entre l’assurance vie et l’assurance non-vie (dans le cadre des besoins de
calculs de STEC).
Le principal argument militant pour une prise en compte des calculs hors prime futures est qu’il
est possible de retarifer les contrats : on peut donc se défaire progressivement ou brutalement
(résiliation de la part de l’assureur) d’un éventuel engagement de taux et d’un pic de sinistralité. Pour
rappel, les contrats sont à périodicité annuelle et à reconduction tacite.
De plus, l’absence de primes futures est justifié par la spécificité du business Prévoyance
collective : la possibilité de retarifer si les conditions de marché ne sont pas favorables (niveaux de
taux) permet de se défaire d’éventuels engagements onéreux (le tarif peut être augmenté au point
de pousser le client à quitter la compagnie). Ainsi, l’apport des primes futures serait limité.
Toutefois, le choix s’est porté vers l’intégration d’une année de primes futures au lieu d’aucune.
L’argument est le suivant : sachant que la prévoyance collective est un portefeuille à
renouvellement connu au 31/12/N, les primes futures de l’année N+1 sont connues au 31/12/N. En
effet, l’usage est que le souscripteur envoie un courrier avec accusé de réception dans le but de
dénoncer son contrat (résiliation) entre le 1/09/N et le 31/12/N.
Ceci permet d’être plus réaliste dans le calcul du STEC (indicateur de stress à horizon 1 an31
,
c’est-à-dire au 31/12/N+1) en intégrant les caractéristiques initiales32
au 1/1/N+1.
Les résultats de l’intégration d’une année de primes futures sont les suivants :
La duration recommandée sur l’actif total est de 7 ans sans primes futures (cf Erreur ! Source du
renvoi introuvable.). La duration recommandée passe à 7,5 ans avec une année de primes futures.
Ce résultat peut se comprendre dans la mesure où une année de primes signifie des engagements
supplémentaires au bout d’un an qui vont s’écouler dans le temps et un passif total qui s’éteint plus
tard.
Pour rappel, cette duration optimale a été calculée en testant plusieurs niveaux de duration
d’actif. Un calcul de valeur actuelle de marges futures est fait en risque neutre : la VANBase Case.
On applique ensuite un choc de scénario +200bp parallèle sur la courbe des taux. Cela a pour
effet, de modifier la valeur de marché des actifs obligataires. Un nouveau calcul de VAN+200bp est
effectué avec le jeu de scénario approprié.
31
Les chocs de passif nécessitent l’intégration d’une année de primes au moins pour être cohérents. 32
La trésorerie, le BFR et les engagements sont impactés par l’intégration de cette année de primes futures
75
Un calcul similaire est effectué avec un choc -100bp. On mesure l’écart de VAN-100bp avec VANBase
Case et l’écart de VAN+200bp avec VANBase Case. Le pire des écarts permet d’identifier le scénario « STEC »
équivalent pour chaque duration. Ainsi, la méthode permet d’avoir un coût en STEC-équivalent33
relatif au risque de taux pour chaque duration d’actif.
La méthode consiste à retenir la duration pour laquelle le STEC équivalent est le plus petit.
3.5.7. Impact de la couverture action
Un programme de couverture action a été décidé au niveau de la compagnie pour l’ensemble des
portefeuilles en €.
Le programme permet de couvrir la moitié de la poche action contre une dépréciation du cours
(Puts).
Voici quelques caractéristiques :
Type de payoff : Européen / Strike : 95% du cours à la souscription de la couverture / Echéance :
18 mois
La modélisation a consisté à générer des scénarios real-world incorporant une classe d’actif
spécifique qui prend en compte la perte en rendement et la réduction en volatilité. La modélisation
est en hors-bilan (le coût du dérivé est imputé aux révenus action qui sont réduits de la prime
action).
Les résultats sont les suivants : Une exposition aux actifs plus risqués est possible.
• Action 12% (+2%)
• Immobilier 15%
• Crédit 42% (+2%, effet diversification)
• Obligations d’Etat 26% (-4%)
• OATi 5%
33
Le choix de chocs +200bp et -100bp ne sont pas parallèles car l’environnement de taux est relativement bas et es
modèles de taux utilisés ont un phénomène de retour à la moyenne. Ces raisons font que les chocs bicentenaire se situent
de façon asymétrique.
76
4. Conclusion
L’étude aura permis de pousser le modèle vers plus de fidélité. La complexité du passif
prévoyance (rentes diverses, capitaux décès, remboursements maladie, compensation technico-
financière dans la PB) nécessite une prise en compte de ces spécificités afin de conclure sur
l’allocation d’actif de façon robuste. De plus, l’optionalité inhérente aux comptes de participation aux
bénéfices illustre la nécessité de diversification des actifs.
Il apparaît que les passifs ont une claire influence sur l’actif mais dans une certaine limite :
• il est évident que la duration recommandée est proche de celle du passif.
• La garantie dépendant le plus des marchés financiers est l’arrêt de travail. En effet, le risque
arrêt de travail étant reprovisionné chaque année (à un taux lié au marché) s’assimile à un
TMG variable et permet de préserver la marge assureur lors de baisses de taux. Le taux du
passif étant capé à 3,5%, la marge peut être conséquente sur les contrats sans PB34
. Le risque
décès étant provisionné avec un taux figé à l’année de survenance du sinistre, le rendement
des actifs devrait donc être adossé à cette évolution et les mouvements de taux ultérieurs ne
sont pas censés impacter significativement le passif.
• Ainsi, la présence d’obligations indexées à l’inflation est plus dûe à une diversification des
actifs qu’à un lien avec le passif. En effet, il a été démontré que le passif n’était pas
dépendant de l’inflation car l’assureur dispose de la possibilité de re-tarifer le contrat à la
hausse chaque année en cas d’inflation des rentes.
L’application des recommandations d’allocations devra se faire de façon progressive afin de ne
pas générer d’éventuelles pertes sur certaines lignes de l’actif et ne pas répercuter cela sur les
assurés au travers de taux servis momentanément bas. De plus, la réduction de la duration cible par
rapport à la duration actuelle risque de se manifester par une chute des taux de rendement
actuariels sur la poche obligataire. Des alternatives tactiques sont envisageables au travers de
dérivés (du ressort du gestionnaire d’actifs).
Les limites du modèle se résument en :
• Absence de modélisation de Provision pour Dépréciation Durable (PDD).
• Absence de modélisation de Boni-Mali de liquidation ou S/C stochastiques.
• Modélisation des actifs obligataires sous forme de zéro-coupons.
34
Le profil de clients est le suivant : des grands comptes avec comptes de PB et résultats techniques nuls voire négatifs. Des petits comptes sans compte de PB avec des résultats techniques positifs.
77
Bibliographie
• HULL John C. - Options Futures and Other Derivatives. • TOSETTI Alain - Assurance, comptabilité, Réglementation, Actuariat (2001) • LE VALLOIS Franck – Gestion actif passif en assurance vie (2003) • PLANCHET Frédéric – Modèles financiers en assurance (2005) • SAUNIER Laure – Allocation d’actifs dynamiques (2010) • VILLE Guillaume et FOURNIER Hugues - Mémoire Actuariat : Etude de modèle
d’allocation d’actifs(2003) • COSTILLE Gaëlle - Mémoire Actuariat : Modélisation d’une gestion actif-passif des
opérations de prévoyance (2003) • VICAINE Florient - Mémoire Actuariat : Actif-passif d’un fonds en euros, modélisation
stochastique et étude d’indicateurs de risque (2003) • CHARLES-GERVAIS Vincent et DARRAZI Mohamed - Modélisation et
implémentation des obligations indexées sur l’inflation dans le logiciel d’allocations d’actifs Challenge XII (2003)
• BREITBURD Amélie et BOUQUET Lionel – Mémoire Actuariat : Optimisation de l’allocation de capital dans une société d’assurance non-vie (2000)
• CROUZET Sébastien - Mémoire Actuariat : Elaboration d’un modèle actuariel d’allocation stratégique d’actifs financiers (2001)
• VIGNANCOUR J. - Bulletin français d’actuariat, vol2, n°3 : Valorisation d’une compagnie d’assurance dommages (1998)
• Documents internes à la compagnie
78
Annexes
Annexe 1 : Equivalence de calcul de PM par VAP ou récurrence
Démonstration de l’équivalence de calcul de Provision
La direction technique calcule une provision technique par la méthode « traditionnelle » de valeur
actuelle probable.
Le modèle de projection utilise une méthode par récurrence équivalente dont nous allons décrire le
principe.
Supposons une chronique de sinistres à terme échu étalés de façon equi-répartie sur 10 ans. Un
taux d’actualisation de 2%. Le calcul de VAP est le suivant :
Taux_capi = taux_actu = 2% , dans cet exemple.
Provk = Σi=k10
Sinistrei/(1+taux_actu)i ≈ Provk-1*(1+taux_capi) – sinistrek*[(1+taux_capi)
1]
Avec le cas particulier de l’année 0 où Prov0 est donnée par l’inventaire.
année Cash
flow PM fin
VAP
PM fin Récurrence (Modèle)
0
89,83
89,83
1
10,00
81,62
81,52
2
10,00
73,25
72,95
3
10,00
64,72
64,31
4
10,00
56,01
55,50
5
10,00
47,13
46,51
6
10,00
38,08
37,34
7
10,00
28,84
27,99
8
10,00
19,42
18,45
9
10,00
9,80
8,72
10
10,00 - - Ceci se traduit graphiquement par deux courbes très proches. Cette approximation est jugée
acceptable car le provision est bien entièrement écoulée après capitalisation et sortie de tous les
sinistres.
79
Annexe 2 : Calcul des sinistres par génération
Le modèle de projection utilise un calcul de sinistres par génération de primes entrantes. En effet, le
modèle classique d’épargne faisant dépendre les sinistres d’un taux appliqué au stock de provisions
n’est pas satisfaisant dans le cadre de la prévoyance.
Le S/C s’entend avec une charge de sinistres hors cout de gestion des sinistres et un CA commercial.
Il convient de calculer un Nominal de calage pour chaque génération de CA afin de calculer les
sinistres.
La formule est la suivante :
CA * S/C *(1- taux_chargement) = Σi=130
cadencei/(1+taux_actu)i-0,5
*Nominal
Dans notre exemple : CA=100, taux_actu = 2%, cadencei=10% par an sur 10 périodes,
taux_chargement=0%, S/C=100%. � le Nominal donne une valeur de 110,23 à répartir en sinistres
de 11,023 par an sur 10 périodes.
PMclot1 90,87
PMclot2 81,55
PMclot3 72,05
PMclot4 62,36
PMclot5 52,47
PMclot6 42,39
PMclot7 32,11
PMclot8 21,61
PMclot9 10,91
PMclot10 0,00
80
Cette mécanique est appliquée à chaque génération, y compris pour le stock.
Ci-joint un extrait du tableau de sinistres pour une chronique de 5 années de CA identiques
consécutifs avec le même taux d’actualisation. Chaque génération représente une ligne de sinistres.
Les sinistres versés à l’année 1 sont en bleu, ceux de l’année 2 en orange, etc.
N N+1 N+2 N+3 N+4 N+5 N+6 N+7 N+8 N+9 N+10
11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 0
11,02 11 11 11 11 11 11 11 11 11 0
11,02 11 11 11 11 11 11 11 11 11 0
11,02 11 11 11 11 11 11 11 11 11 0
11,02 11 11 11 11 11 11 11 11 11 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Voici également la courbe de provisions correspondante.
-50,00
0,00
50,00
100,00
150,00
200,00
250,00
300,00
350,00
400,00
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Pmclot avant IC
IC versés
81
Annexe 3 : risque de taux à la hausse et à la baisse
Dans cette illustration, on se base sur un cas très simple.
On suppose :
• une courbe des taux plate à 4% pour toute maturité.
• un zéro-coupon investi à l’actif avec une duration donnée.
• un passif en run-off qui s’écoule à 100% à la dernière année (donc avec une duration
implicite) avec un flux de sinistre à 100€ qui dispose d’un taux technique à 4% invariant (cas
des rentes conjoint/éducation). Ainsi, on calcule une PM avec un taux technique : PM(0) =
100/(1+4%)10
= 68.
• L’achat initial du zéro-coupon se fait avec une VB correspondant à la PM initiale. Ainsi, le
nominal pourra être différent selon la maturité de l’actif.
On croise le fait d’investir à une duration (+5 ans / -5 ans) différente de celle du passif avec les
mouvements de taux parallèles (+100bp/-100bp)
Cas 1 : Duration actif = 15 > Duration passif = 10
Nominal = 68*(1+4%)15
= 122.
A t= 10 ans, le sinistre doit être réglé avec un actif non encore arrivé à maturité mais qu’il faut
liquider. Si absence de choc taux, alors la VB est exactement suffisante et vaut 100.
Si choc taux +100bp : la VB à la liquidation vaut 95 = Nominal/(1+4%+1%)5 donc insuffisante.
Si choc taux -100bp : la VB à la liquidation vaut 105 = Nominal/(1+4%-1%)5 donc plus que suffisante.
Cas 2 : Duration actif = 5 < Duration passif = 10
Nominal = 68*(1+4%)5 = 82.
A t= 5 ans, le zéro-coupon arrive à maturité et le nominal est perçu. Il doit être réinvesti pour régler
le sinistre. Si absence de choc taux, alors la VB est exactement suffisante à la liquidation du sinistre et
vaut 100.
Si choc taux +100bp au moment où le premier actif arrive à maturité : le réinvestissement se fait à
meilleur taux et le nominal ultérieur vaut 105 = VB(t=5)*(1+4%+1%)5 donc plus que suffisante.
Si choc taux - 100bp au moment où le premier actif arrive à maturité : le réinvestissement se fait à
meilleur taux et le nominal ultérieur vaut 95 = VB(t=5)*(1+4%-1%)5 donc insuffisante.
Résumé : si l’actif est trop court face au passif, on s’expose à la baisse des taux. Si l’actif est trop long
face au passif, on s’expose à la hausse des taux. Si l’actif a la même duration que le passif, il n y a
(presque) pas de risque.
82
Annexe 4 : Graphiques des sensibilités à l’allocation
Sensibilité aux primes futures dégradées OATi :
500
600
700
800
900
1 000
1 100
1 200
1 300
1 400
1 500
1 600
1 700
1 800
1 900
2 000
2 100
-500
-400
-300
-200
-100
0 100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
1100
1200
1300
1400
1500
Centile 2% VANT Actionnaire6 30 ans
moy
enne
VA
NT
Act
ionn
aire
6 30
ans
Frontière efficiente Allocation actuelle Allocation cible Oati = 0 Oati = 5 Oati = 10
Action :
500
600
700
800
900
1 000
1 100
1 200
1 300
1 400
1 500
1 600
1 700
1 800
1 900
2 000
2 100
-500
-400
-300
-200
-100
0 100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
1100
1200
1300
1400
1500
Centile 2% VANT Actionnaire6 30 ans
moy
enne
VA
NT
Act
ionn
aire
6 30
ans
Frontière efficiente Allocation actuelle Allocation cible Action = 0
Action = 5 Action = 10 Action = 15 Action = 20
83
Immobilier :
500
600
700
800
900
1 000
1 100
1 200
1 300
1 400
1 500
1 600
1 700
1 800
1 900
2 000
2 100
-500
-400
-300
-200
-100
0 100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
1100
1200
1300
1400
1500
Centile 2% VANT Actionnaire6 30 ans
moy
enne
VA
NT
Act
ionn
aire
6 30
ans
Frontière efficiente Allocation actuelle Allocation cible Immo = 0
Immo = 5 Immo = 10 Immo = 15 Immo = 20
Crédit :
500
600
700
800
900
1 000
1 100
1 200
1 300
1 400
1 500
1 600
1 700
1 800
1 900
2 000
2 100
-500
-400
-300
-200
-100
0 100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
1100
1200
1300
1400
1500
Centile 2% VANT Actionnaire6 30 ans
moy
enne
VA
NT
Act
ionn
aire
6 30
ans
Frontière efficiente Allocation actuelle Allocation cible credit = 0
credit = 25 credit = 35 credit = 45 credit = 55
credit = 65 credit = 75
84
Sensibilité au S/C dégradé OATi :
-400-300-200-100
0100200300400500600700800900
1 0001 1001 2001 3001 4001 5001 6001 7001 8001 9002 0002 100
-1500
-1400
-1300
-1200
-1100
-1000
-900
-800
-700
-600
-500
-400
-300
-200
-100
0 100
200
300
400
500
600
Centile 2% VANT Actionnaire6 30 ans
moy
enne
VA
NT
Act
ionn
aire
6 30
ans
Frontière efficiente Allocation actuelle Allocation cible Oati = 0 Oati = 5 Oati = 10
Action :
-400-300-200-100
0100200300400500600700800900
1 0001 1001 2001 3001 4001 5001 6001 7001 8001 9002 0002 100
-1500
-1400
-1300
-1200
-1100
-1000
-900
-800
-700
-600
-500
-400
-300
-200
-100
0 100 200 300 400 500 600
Centile 2% VANT Actionnaire6 30 ans
moy
enne
VA
NT
Act
ionn
aire
6 30
ans
Frontière efficiente Allocation actuelle Allocation cible Action = 0
Action = 5 Action = 10 Action = 15 Action = 20
85
Immobilier :
-400-300-200-100
0100200300400500600700800900
1 0001 1001 2001 3001 4001 5001 6001 7001 8001 9002 0002 100
-1500
-1400
-1300
-1200
-1100
-1000
-900
-800
-700
-600
-500
-400
-300
-200
-100
0 100
200
300
400
500
600
Centile 2% VANT Actionnaire6 30 ans
moy
enne
VA
NT
Act
ionn
aire
6 30
ans
Frontière efficiente Allocation actuelle Allocation cible Immo = 0
Immo = 5 Immo = 10 Immo = 15 Immo = 20
Crédit :
-400-300-200-100
0100200300400500600700800900
1 0001 1001 2001 3001 4001 5001 6001 7001 8001 9002 0002 100
-1500
-1400
-1300
-1200
-1100
-1000
-900
-800
-700
-600
-500
-400
-300
-200
-100
0 100
200
300
400
500
600
Centile 2% VANT Actionnaire6 30 ans
moy
enne
VA
NT
Act
ionn
aire
6 30
ans
Frontière efficiente Allocation actuelle Allocation cible credit = 0
credit = 25 credit = 35 credit = 45 credit = 55
credit = 65 credit = 75
86
Sensibilité au pilotage plus généreux : OATi :
500600700800900
1 0001 1001 2001 3001 4001 5001 6001 7001 8001 9002 0002 1002 200
-400
-300
-200
-100
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
1100
1200
1300
1400
1500
Centile 2% VANT Actionnaire6 30 ans
moy
enne
VA
NT
Act
ionn
aire
6 30
ans
Frontière efficiente Allocation actuelle Allocation cible Oati = 0 Oati = 5 Oati = 10
Action :
500
600
700
800
9001 000
1 100
1 200
1 300
1 400
1 500
1 600
1 7001 800
1 900
2 000
2 100
2 200
-400
-300
-200
-100
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
1100
1200
1300
1400
1500
Centile 2% VANT Actionnaire6 30 ans
moy
enne
VA
NT
Act
ionn
aire
6 30
ans
Frontière efficiente Allocation actuelle Allocation cible Action = 0
Action = 5 Action = 10 Action = 15 Action = 20
87
Immobilier :
500600700800900
1 0001 1001 2001 3001 4001 5001 6001 7001 8001 9002 0002 1002 200
-400
-300
-200
-100
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
1100
1200
1300
1400
1500
Centile 2% VANT Actionnaire6 30 ans
moy
enne
VA
NT
Act
ionn
aire
6 30
ans
Frontière efficiente Allocation actuelle Allocation cible Immo = 0
Immo = 5 Immo = 10 Immo = 15 Immo = 20
Crédit :
500600700800900
1 0001 1001 2001 3001 4001 5001 6001 7001 8001 9002 0002 1002 200
-400
-300
-200
-100
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
1100
1200
1300
1400
1500
Centile 2% VANT Actionnaire6 30 ans
moy
enne
VA
NT
Act
ionn
aire
6 30
ans
Frontière efficiente Allocation actuelle Allocation cible credit = 0
credit = 25 credit = 35 credit = 45 credit = 55
credit = 65 credit = 75
88
Annexe 5 : implementation du modèle JLT extended d’obligations d’entreprise
L’implémentation du modèle JLT extended s’est faite suivant six étapes:
Diagramme2 : Les différentes étapes de la diagonalisation
Voici le détail de chacune des étapes.
Etape 1 : Diagonalisation de la matrice de transition historique
La diagonalisation a été faite en VBA.
La fonction diagonalisation prend en argument la matrice de transition historique et renvoie la
matrice diagonale et la matrice de passage.
Diagramme 3 : Diagonalisation de la matrice de transition historique
Etape 2 : Calcul de l’inverse de la matrice de passage
Cette étape consiste à calculer l’inverse de la matrice de passage. Puisque elle est utilisée plusieurs
fois, on a préféré faire cette étape avant l’appel de la fonction principale. L’inverse de la matrice de
passage sera un argument de cette dernière.
Diagonali
sation
INPUT de
Scenator.xls
Matrice
de transition
historique
Appel de la
fonction
diagonalisation
en vba
Matrice
de passage
Matrice
diagonale
Outputs
sous VBA
89
Diagramme4 : Calcul de l’inverse de la matrice de passage
NB : La fonction inverserMatrix est appelée en VBA mais le code est en C.
Etape 3 : Calcul de la matrice diagonale risque neutre
On calcule la matrice diagonale risque neutre
Pour tout , .
Diagramme 5 : Calcul de la matrice diagonale risque neutre
La fonction matrice_diag_risk_neutre prend en inputs la matrice diagonale et les quatre paramètres
du pi obtenus par diffusion d’un CIR: Alpha_pi, mu_pi, sigma_pi, pi_initial.
Etape 4 : Calcul de la matrice de transition risque neutre
Cette partie est une combinaison des étapes 1, 2, 3. Elle permet de calculer la matrice de transition
risque neutre donnée par la formule (I.1.c.12).
INPUT sous
vba
Matrice
de passage
(sous VBA)
Appel de la
fonction
inverserMatrix
(en C)
Inverse
de la Matrice de
passage
Output
sous VBA
Inputs
sous C
Matrice
diagonale
Appel de la
fonction
Matrix_Diag_risk
_neutre
Matrice
diagonale
risque neutre
Output
sous C
Alp
ha_pi
Pi-
initial
Sig
ma_pi
Mu
_pi
90
Diagramme 5 : Calcul de la matrice de transition risque neutre
La fonction matrice_transition_risk_neutre appelle la fonction matrice_diag_risk_neutre pour avoir
la matrice diagonale risque neutre , et fait le produit .
Etape 5 : Calcul de la probabilité de survie
La probabilité de survie est obtenue par la formule (I.1.c.17) où est donné par l’étape 4.
Etape 6 : Calcul du prix du zéro-coupon risqué
Nous disposons maintenant tous les éléments nécessaires pour calculer le prix d’un zéro-coupon
risqué. On utilisera l’équation (I.1.c.18).
Diagramme6 : calcul du prix du zéro-coupon risqué de classe i
Où :
est donné par les modèles classiques de taux par exemple HW, BK
est un input du modèle
est obtenu grâce à l’étape 5.
La fonction utilisée est prix_zc_risk_dim3.
Après avoir implémenté le modèle JLT extended, il est nécessaire de réaliser des tests pour vérifier
que l’implémentation est correcte. Pour ce faire, on constitue un portefeuille de Bonds et on le fait
vieillir.
Inputs
sous C
Appel de la
fonction
Matrix_transition
_risk_neutre
Matrice
de transition
risque neutre
Output
sous C
P
Inputs
sous C
Prob
abilité de
défault de
rating i
Appel de la
fonction
prix_zc_risk_dim3
Prix ZC de
classe i
Output
sous C
91
Annexe 6 : Déductibilité de la Provision d’égalisation
Conditions de déductibilité de la dotation à provision pour égalisation
Dispositions de la loi
Risques
concernés Décès, incapacité et invalidité
Regroupement
de contrats
Les contrats sont regroupés dès lors qu’ils sont consolidés au sein du même
compte technique et qu’ils prévoient une même clause de participation aux
bénéfices
Dotation
annuelle à la
provision
Limitée à 75 % du bénéfice technique, net de réassurance
Assiette : cotisations nettes d’annulations et de cessions
23 % de l’assiette pour un effectif d’au moins 500 000 assurés
33 % de l’assiette pour un effectif de 100 000 assurés
87 % de l’assiette pour un effectif de 20 000 assurés
Montant
maximum de la
provision
100 % de l’assiette pour un effectif de 10 000 assurés au plus
Gestion et
reprise de la
provision
Elle sert à compenser les résultats techniques déficitaires futurs. Les
dotations les plus anciennes sont reprises les premières (Méthode FIFO). Si une
dotation n’a pas été prélevée au bout de 10 années, elle est réintégrée au
résultat imposable du 11ème exercice suivant sa constitution
Les règles de reprise de la provision continuent à s’appliquer dans les
mêmes Transfert de
contrats conditions en cas de transfert auprès d’un autre assureur