DRZAVNI UNIVERZITET U NOVOM PAZARUdepartmanza matematicke naukestudijski program:matematikacetvrta godina OAS

MERA I INTEGRAL( pismeni deo ispita,april 2015)

1. (a) Dokazati da je algebra A σ − algebra ako i samo ako iz {Aj : j ∈N} ⊆ A i

A1 ⊇ A2 ⊇ A3 ⊇ · · · ⊇ An ⊇ . . . sledi∞⋂i=1

Ai ∈ A. 10

(b) Neka je (X,M, µ) merljiv prostor konacne mere µ.Dokazati da za svakoA,B iz M iz µ(A∆B) = 0 sledi µ(A) = µ(B) 5

2. Opravdati promenu mesta simbola integrala i limesa i naci sledece granicnevrednosti :

(a) limn→∞

∞∫0

sinx

n(1 +

x

n

)n dx (b) limn→∞

∞∫n

n2 arctg1

xarctg x

n2 + x2dx

(a)15+ (b)20=35

3. Ispitati uslovnu i apsolutnu konvergenciju integrala

∞∫0

sinx

xαdx

u zavisnosti od realnog parametra α, posmatranog kaonesvojsven Rimanovintegral ,a zatim ispitati da li postoji ( da li mu je vrednost realan broj)posmatran kao Lebegov integral,i to posebno za 0 < α < 1 i α > 1. 25

4. Primenjuci odgovarajuce teoreme (navesti koje) za promenu mesta simbolasume i integrala dokazati jednakost :

∞∫0

cosx

ex + 1dx =

∞∑n=1

(−1)nn

n2 + 1

25∑= 100

broj bodova · · · − · · · = ocena/55-64=6 /65-74=7 /75-84=8 /85-94=9 /95-100=10