Merenje ugla, Merenje ugla, Trigonometrijska kružnicaTrigonometrijska kružnica

MeniMeni

LekcijaLekcija Istorija TrigonometrijeIstorija Trigonometrije SlikeSlike KvizKviz Zadaci za samostalan radZadaci za samostalan rad LinkoviLinkovi

Zdravo ja sam virtuelni

profesor. Pomoći ću vam daSavladate gradivo iz

trigonometrije.Paratite moja

uputstva.

LekcijaLekcija

3.1 Ugao3.1 Ugao 3.2 Trigonometrijske funkcije proizvoljnog 3.2 Trigonometrijske funkcije proizvoljnog

uglaugla Trigonometrijski indetitetiTrigonometrijski indetiteti

3.1.1.Merenje ugla, radijan3.1.1.Merenje ugla, radijan

Do sada smo kao mernu jedinicu za merenje ugla koristili Do sada smo kao mernu jedinicu za merenje ugla koristili isključivo stepen(1° =isključivo stepen(1° = 1/360 1/360 pun ugao). Stepenom se mogu pun ugao). Stepenom se mogu meriti ne samo uglovi, veći kružni lukovi. Uoči se centralni meriti ne samo uglovi, veći kružni lukovi. Uoči se centralni ugao koji odgovaradatom kružnom luku i njegova mera ugao koji odgovaradatom kružnom luku i njegova mera izržena u stepenima proistovećuje se s merom kružnog luka, izržena u stepenima proistovećuje se s merom kružnog luka, susrećemo se sa teškoćama. Jednom istom centralnom uglu susrećemo se sa teškoćama. Jednom istom centralnom uglu odgovara neograničeno mnogo kružnih lukova koji su različite odgovara neograničeno mnogo kružnih lukova koji su različite dužine, a svi imaju istu meru u stepenima(slika 1). Tada smo u dužine, a svi imaju istu meru u stepenima(slika 1). Tada smo u dilemi dućinu kojeg kružnog luka da uzmemo za meru dilemi dućinu kojeg kružnog luka da uzmemo za meru zajednićkog centralnog ugla α. Zbog toga se opreeljujemo za zajednićkog centralnog ugla α. Zbog toga se opreeljujemo za luk Aluk A00 B B00 čiji je poluprečnik jednak 1. čiji je poluprečnik jednak 1.

Jedinica mere u ovom slučaju je luk čija je dužina Jedinica mere u ovom slučaju je luk čija je dužina jednaka 1, tj.jednakapoluprečniku.Taj kružni luk zove jednaka 1, tj.jednakapoluprečniku.Taj kružni luk zove se se radijanradijan

Ugao koji odgovara luku od jednog radijana ima isti naziv – Ugao koji odgovara luku od jednog radijana ima isti naziv – radijan. radijan. Radijan koristimo i kao jedinicu za merenje uglova. Radijan koristimo i kao jedinicu za merenje uglova. Ugao ima onoliko radijana koliko ih ima odgovarajući kružni luk Ugao ima onoliko radijana koliko ih ima odgovarajući kružni luk poluprečnika 1 radijana. poluprečnika 1 radijana.

Utvrdimo sada vezu između jedinica za merenje uglova, stepena i Utvrdimo sada vezu između jedinica za merenje uglova, stepena i radijana. Luk polurečnika 1 koji odgovara ravnom uglu (uglu od radijana. Luk polurečnika 1 koji odgovara ravnom uglu (uglu od 180°) ima dužinu π·1=π. Prema tome njegova radijanska era je 180°) ima dužinu π·1=π. Prema tome njegova radijanska era je π. Znači, 180°=π radijana, odakle slediπ. Znači, 180°=π radijana, odakle sledi

1 radijan = 180°/ π ≈ 57.29578° ≈ 57° 17´ 44.8˝1 radijan = 180°/ π ≈ 57.29578° ≈ 57° 17´ 44.8˝ 1° = π/180 radijana ≈ 0.01745 radijana.1° = π/180 radijana ≈ 0.01745 radijana. Na slici 2 je predstavljen ugao od 57°, tj. približno 1 radijan.Na slici 2 je predstavljen ugao od 57°, tj. približno 1 radijan.

Ukoliko je mera ugla data u radijanima, uobičajno Ukoliko je mera ugla data u radijanima, uobičajno je da se pored mernog broja ne stavlja nikakva je da se pored mernog broja ne stavlja nikakva oznaka za jedinicu, na primer : 180° = π, 90° = oznaka za jedinicu, na primer : 180° = π, 90° = π/2 itd.π/2 itd.

30° ; b) 50° ; c) 72° 35´ ; d) 100° 11´ 15˝30° ; b) 50° ; c) 72° 35´ ; d) 100° 11´ 15˝ RešenjaRešenja 30° = 30 · π/180 = π/6 ≈0.5230° = 30 · π/180 = π/6 ≈0.52 b)50° = 50 · π/180 = 5π/18 ≈ 0.9b)50° = 50 · π/180 = 5π/18 ≈ 0.9 v) Uzimajući u obzir da je 1´ = 1/60 · 1°, dobijamov) Uzimajući u obzir da je 1´ = 1/60 · 1°, dobijamo 72° 35´ = 72 · π/180 + 35 · 1/60 · π/180 ≈ 1.272° 35´ = 72 · π/180 + 35 · 1/60 · π/180 ≈ 1.2 d) Kako je 1˝ = 1/3600 · 1°,to je d) Kako je 1˝ = 1/3600 · 1°,to je 100° 11´ 15˝ = 100 · π/180 + 11· 1/60 · π /180 + 100° 11´ 15˝ = 100 · π/180 + 11· 1/60 · π /180 +

15 · 1/3600 · π/180 ≈ 1.715 · 1/3600 · π/180 ≈ 1.7

Istorija TrigonometrijeIstorija Trigonometrije TrigonometrijaTrigonometrija Iz Vikipedije, Iz Vikipedije, slobodna enciklopedijeslobodna enciklopedije TrigonometrijaTrigonometrija(лат. (лат. trigonontrigonon - троугао, - троугао, metronmetron - мера) - мера) je deo je deo

matematikematematike Koji izučava zavisnost između strana i uglova trougla Koji izučava zavisnost između strana i uglova trougla

(trigonometrija u užem smislu),(trigonometrija u užem smislu), A takođe i osobine trigonometrijskih funkcija i vezu među njima A takođe i osobine trigonometrijskih funkcija i vezu među njima

( goniometrija ).( goniometrija ). Podela :Podela : -Ravinska trigonometrija, trigonometrija u užem smislu; proučava-Ravinska trigonometrija, trigonometrija u užem smislu; proučava -Trigonometrijske funkcije posebno : sinus, kosinus, tangens, -Trigonometrijske funkcije posebno : sinus, kosinus, tangens,

kotanges, sakens i kosekans;kotanges, sakens i kosekans; -Inverzne trigonometrijske funkcije, tzv. Ciklometrijske, ili arkus--Inverzne trigonometrijske funkcije, tzv. Ciklometrijske, ili arkus-

funkcije:funkcije: -Sferna trigonometrija, na površini sfere;-Sferna trigonometrija, na površini sfere; -Hiperbolična trigonometrija, trigonometrija Lobačevskog;-Hiperbolična trigonometrija, trigonometrija Lobačevskog; -Hiperbolične funkcije : sinus hiperbolički, kosinus hiperbolički, -Hiperbolične funkcije : sinus hiperbolički, kosinus hiperbolički,

tangens hiperbolički, kotanges hiperbolički, sekans hiperbolički i tangens hiperbolički, kotanges hiperbolički, sekans hiperbolički i kosakens hiperbolički.kosakens hiperbolički.

-Inverzne hiperboličke funkcije, tzv. area-funkcije-Inverzne hiperboličke funkcije, tzv. area-funkcije..

PorekloPoreklo Prvi koreni trigonometrije su nađeni u zapisima iz Egipta i Prvi koreni trigonometrije su nađeni u zapisima iz Egipta i

Mesopotamije.Mesopotamije. Tamo je nađena Tamo je nađena vavilonska kamenavavilonska kamena ploča ( oko 1900-1600. ploča ( oko 1900-1600.

p.n.e.) koja sadrži p.n.e.) koja sadrži Problema se relacijam koje odgovaraju savremenim. Egipatski Problema se relacijam koje odgovaraju savremenim. Egipatski

papirus Rindpapirus Rind (oko 1650. p.n.e.) sadrži probleme sa odnosima stranica trougla (oko 1650. p.n.e.) sadrži probleme sa odnosima stranica trougla

primenjenim na Piramide. Niti Egipćani, niti Vavilonci nisu imali primenjenim na Piramide. Niti Egipćani, niti Vavilonci nisu imali naše shvatanje mere ugla, a relacijatog tipa su imali osobinama naše shvatanje mere ugla, a relacijatog tipa su imali osobinama trouglova, pre nego samih uglova.trouglova, pre nego samih uglova.

Važan napredak napravljen je u Grčkoj u vreme Važan napredak napravljen je u Grčkoj u vreme HipokrataHipokrata iz iz Knososa (Elementi, oko430. p.n.e.), koji je proučavao odnose Knososa (Elementi, oko430. p.n.e.), koji je proučavao odnose između centralnih uglova kružnice i tetiva. između centralnih uglova kružnice i tetiva. HiparhHiparhje 140. p.n.e. je 140. p.n.e. napravio tablicu tetiva (prvu preteču savremenih sinusnih napravio tablicu tetiva (prvu preteču savremenih sinusnih tablica). tablica).

ManelajManelaj iz iz AleksaendrijAleksaendrij ( (Sferna geometrijaSferna geometrija. 100 nove ere)je . 100 nove ere)je prvi koristio sferne trouglove i sfernu Trigonometriju. prvi koristio sferne trouglove i sfernu Trigonometriju. PtolemejPtolemej ((AlmagestAlmagest, oko 100. n.e.) je napravio tablicu tetiva uglova , oko 100. n.e.) je napravio tablicu tetiva uglova između 0.5° i 180° sa intervalom od pola stepena. On je takođe između 0.5° i 180° sa intervalom od pola stepena. On je takođe istraživao trigonometrijske indetitete.istraživao trigonometrijske indetitete.

Grčku trigonometriju su dalje razvijali Hindu matematičari koji su Grčku trigonometriju su dalje razvijali Hindu matematičari koji su Ostvarili napredak razmeštanjem tetiva pruzetih od Grka na poluOstvarili napredak razmeštanjem tetiva pruzetih od Grka na polu teive kruga sa datim radijusom, tj. ekvivalentnom našoj sinusnojteive kruga sa datim radijusom, tj. ekvivalentnom našoj sinusnoj funkciji. Prvie takve tablice bile su Sidhantacu (sistem za astronomiju) funkciji. Prvie takve tablice bile su Sidhantacu (sistem za astronomiju)

u IV i V u IV i V veku ove ere. Poput brojeva, moderna trigonometrija nam dolazi od veku ove ere. Poput brojeva, moderna trigonometrija nam dolazi od

Hindu matematičarapreko Araskih matematičara. Prevodi sa arapskog Hindu matematičarapreko Araskih matematičara. Prevodi sa arapskog na latinski jezik tokom XII veka uvel su trigonometriju u Evropi, Osoba na latinski jezik tokom XII veka uvel su trigonometriju u Evropi, Osoba odgovrna za „modernu“ trigonometrijubio jerenesansni matematičar odgovrna za „modernu“ trigonometrijubio jerenesansni matematičar Regiomontanus. Od doba Hiparha, trigonometrija je bilajednostavno Regiomontanus. Od doba Hiparha, trigonometrija je bilajednostavno alat za astronomska izračunavanja. Regionontanus (alat za astronomska izračunavanja. Regionontanus (De triangulis omni De triangulis omni modismodis, 1464; publikovano 1533.)bio je prvi koji trigonometriju tretirao , 1464; publikovano 1533.)bio je prvi koji trigonometriju tretirao kao subjekt po sebi.Dalji napredak su napravili Nikola Kopernik u kao subjekt po sebi.Dalji napredak su napravili Nikola Kopernik u De De revolutionibus orbium coelestiumrevolutionibus orbium coelestium (1543.)I njegov učenik Retikus. U (1543.)I njegov učenik Retikus. U Opus palatinum de trianulisOpus palatinum de trianulis (комплетирао његов ученик 1596.), (комплетирао његов ученик 1596.), Retikus je ustanovio upotrbu šest osnovnih trigonometrijskih funkcija,Retikus je ustanovio upotrbu šest osnovnih trigonometrijskih funkcija,

Praveći tablice njihovih vrednosti i dežeći se idejeda te funkcije Praveći tablice njihovih vrednosti i dežeći se idejeda te funkcije predstavljajupredstavljaju

Odnose stranica u pravouglom trouglu (rađe nego tradicionalne Odnose stranica u pravouglom trouglu (rađe nego tradicionalne polutetive krugova).polutetive krugova).

SlikeSlike

KvizKviz

1)Koliko iznosi ugao od 1 radijana?1)Koliko iznosi ugao od 1 radijana? a) a) 54° 35´54° 35´ b) b) 57° 17´ 44.8˝57° 17´ 44.8˝ c) c) 60° 28´ 36.8˝60° 28´ 36.8˝

Odgovor na ovo pitanje se nalazi

u delu prezentacijei ” Merenje ugla, Merenje ugla,

radijanradijan”

Odgovor je netačan !Odgovor je netačan !Nažalost

odgovor je netačan.

Idi nazad.

Odgovor je tačan !Odgovor je tačan !

Odgovor je TAČAN !

Svaka čast, savladali ste

lekciju “Merenje Merenje ugla, radijanugla, radijan”Nastavi dalje.

2)Koje dve antičke civilizacije su 2)Koje dve antičke civilizacije su prve koristile trigonometriju?prve koristile trigonometriju?

a)Egipat i Mesopotamcia)Egipat i Mesopotamci b)Kinezi i Indijcib)Kinezi i Indijci c)Rimljani i Galic)Rimljani i Gali

Odgovor na ovo pitanje se nalazi

u delu prezentacije

”Istorija trigonometrije”

Odgovor je tačan !Odgovor je tačan !odgovor je TAČAN

!Svaka čast

savladali ste lekciju “Istorija trigonometrije”Nastavi dalje.

Odgovor je netačan !Odgovor je netačan !Nažalost

odgovor je netačan.

Idi nazad.

Zadaci za samostalan radZadaci za samostalan rad ZadaciZadaci 1.Izrazi u radijanima uglove :1.Izrazi u radijanima uglove : 15° ; b) 45° ; c) 60° ; d) 90° ; e)120° ; f) 135° , g) 150° ; h) 20° 15° ; b) 45° ; c) 60° ; d) 90° ; e)120° ; f) 135° , g) 150° ; h) 20°

25´ : i) 52°13´27˝25´ : i) 52°13´27˝ 2. Izrazi u stepenima uglove :2. Izrazi u stepenima uglove : π/18 ; b) π/12 ; c) π/4 ; d) 7π/12 ; e)3 ; f) 2.31π/18 ; b) π/12 ; c) π/4 ; d) 7π/12 ; e)3 ; f) 2.31 3.Izrazi u stepenima ugao koji je naporedan uglu α ako je :3.Izrazi u stepenima ugao koji je naporedan uglu α ako je : a)α = 5π/6 ; b) α = 11 π/12 ; c) 5 π/18 ; d) 0.3 πa)α = 5π/6 ; b) α = 11 π/12 ; c) 5 π/18 ; d) 0.3 π 4.Izrazi u radijanima :4.Izrazi u radijanima : a)uglovi jednakokrako-pravouglog trougla ;a)uglovi jednakokrako-pravouglog trougla ; b)ugao pravilnog prtougla ;b)ugao pravilnog prtougla ; c)ugao pravilnog destougla.c)ugao pravilnog destougla. Da biste bolje

naučili trigonometriju,

uradite ove zadatke za

samostalan rad.

Trigonometrijski forumTrigonometrijski forum

Marko SavićMarko Savić Mnogo mi se dopao vasa Mnogo mi se dopao vasa

prezentacija o trigonometriji, uz ove prezentacija o trigonometriji, uz ove zanimljive informacije i lepo zanimljive informacije i lepo objašnjene lekcije, savladao sam objašnjene lekcije, savladao sam trigonometriju.trigonometriju.

Prezentaciju radio:Prezentaciju radio: -Miladinović Nikola-Miladinović Nikola Profesor matematike : Spasojević Profesor matematike : Spasojević

NelaNela

ČestitamoČestitamo

Savladali ste oblast “Savladali ste oblast “Merenje ugla, Merenje ugla,

Trigonometrijska kružnicaTrigonometrijska kružnica””

Čestitam !

Trigonometrijski identitetiTrigonometrijski identiteti sin²α+cos²α=1 sin²α+cos²α=1

tg α = sinα /cosαtg α = sinα /cosα ctg α= cosα/ sinαctg α= cosα/ sinα tgα · ctgα =1tgα · ctgα =1

Sinα Sinα sinα = 3/5sinα = 3/5 sin²α+cos²α=1 sin²α+cos²α=1 (3/5)²+ cos²α=1(3/5)²+ cos²α=1 9/25+ cos²α=19/25+ cos²α=1 cosα = ±√9/25cosα = ±√9/25 cosα = -4/5cosα = -4/5

LinkoviLinkovi http://sr.wikipedia.org/sr/%D0%A2%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%Bhttp://sr.wikipedia.org/sr/%D0%A2%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%B

E%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%E%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%98%D0%B0D1%98%D0%B0

http://sr.wikipedia.org/sr/%D0%98%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80http://sr.wikipedia.org/sr/%D0%98%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%98%D0%B0_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%%D0%B8%D1%98%D0%B0_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B5D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B5