mes histoires d'amour avec les travaux de maxime ... - lifl.fr · computer science, lecture...

Mes histoires d’amour avec les travaux de MaximeCrochemore

Gregory KucherovLIFL/CNRS/INRIA, Lille, France

Marne-la-Vallee, 26 octobre 2007

Histoire 1 : Automate des suffixes Histoire 2 : Morphismes sans carre Histoire 3 : Recherche de repetitions Epilogue

travaux de Maxime (donnees du 2/11/2006)

59 articles de revue

53 communications a des colloques

34 livres, chapitres de livres et de recueils

2 theses et 13 rapports de recherche

Histoire 1 (vers 1993)

Automate des suffixes

Recherche de motifs multiples avec jokers non-bornes

recherche d’expressions regulieres⋃k

i=1 A∗wi1A∗ · · ·A∗wi`i

Premieres amours

Maxime Crochemore, Transducers and repetitions, TheoreticalComputer Science 45, 63-86, 1986

Maxime Crochemore, String matching with constraints, InProc. Internat. Symp. on Mathematical Foundations ofComputer Science, Lecture Notes in Computer Science, Vol.324 (Springer, Berlin, 1988) p. 44-58

u, v facteurs de w

u ≡w v ssi les positions de fin de u et de v coincident

V = {[u]≡w |u facteur de w}E = {[u]≡w

a→ [ua]≡w |u, ua facteurs de w , a ∈ A}

. (V ,E ) est l’automate minimal qui reconnait tous les suffixes dew. (V ,E ) est un automate (generalement non-minimal) quireconnait tous les facteurs de w. (V ,E ) est de taille bornee par 2|w | et peux etre construit entemps O(|w |) !

u, v facteurs de w

. (V ,E ) est l’automate minimal qui reconnait tous les suffixes dew

. (V ,E ) est un automate (generalement non-minimal) quireconnait tous les facteurs de w. (V ,E ) est de taille bornee par 2|w | et peux etre construit entemps O(|w |) !

u, v facteurs de w

. (V ,E ) est l’automate minimal qui reconnait tous les suffixes dew. (V ,E ) est un automate (generalement non-minimal) quireconnait tous les facteurs de w

. (V ,E ) est de taille bornee par 2|w | et peux etre construit entemps O(|w |) !

u, v facteurs de w

DAWG : Directed Acyclic Word Graph

A.Blumer, J.Blumer, D.Haussler,A.Ehrenfeucht, M.T.Chen,J.Seiferas, The smallest automatonrecognizing the subwords of a text,Theoretical Computer Science 40,31-55, 1985

A.Blumer, J.Blumer, D.Haussler,R.McConnell, A.Ehrenfeucht,Complete inverted files for efficienttext retieval and analysis, Journalof the ACM 34, 578-595, 1987

DAWG pour l’ensembleD = {ba, bbaa}

Les vertus du DAWG

Le DAWG se prete bien a l’ajout/suppression de mots de sonsupport

Recherche de motifs multiples avec jokers non-bornes :O((|T |+ |P|) log |P|) [Kucherov&Rusinowitch 95]

Dynamic Dictionary Matching [Amir&Farach 91, Amir et al94, Idury&Schaffer 94] ajout/suppression d’un mot p dedictionnaire en O(|p| log |D|), recherche enO((|T |+ occ) log |D|)

Les vertus du DAWG

Halte au monopole de l’arbre des suffixes ! Vive lepluralisme des structures !

google scholar sort 3230 articles en reponse de la requete "suffixtree" et de l’ordre de 200 en reponse de "acyclic word graph"ou "suffix automaton"

D’autres structures d’index

Compact Directed Acyclic Word Graph

M.Crochemore, R.Verin. On Compact Directed Acyclic

Word Graphs. Structures in Logic and Computer Science.

Springer. 1997. pp. 192-211

Factor oracleC.Allauzen, M.Crochemore, M.Raffinot. Factor oracle : anew structure for pattern matching. In : SOFSEM’99, vol.1725. LNCS. 1999. pp. 291-306. Springer-Verlag

M. Crochemore, L. Ilie, and E. Seid-Hilmi, Factor Oracles,

Proc. of CIAA’06, LNCS 4094, Springer, 2006, 78 – 89

Subsequence automaton

J.-J.Hebrard, M.Crochemore. Calcul de la distance par les

sous-mots. Informatique Theorique et Applications. 20

(4). 1986. pp. 441-456

Morphismes sans carre

Repetitions

p(w) : periode minimale de w (min{p|∀i w [i + p] = w [i ]})e(w) = |w |

p(w) : exposant de w

acaaca = (aca)2 : carre ; acacac = (ac)3 : cube ;

accacca = (acc)73 , accaac = (acca)

w sans puissance α ∈ R si w n’a pas de facteur u tel quee(u) ≥ α

il existe un mot infini sans carre sur un alphabet de 3 lettres(abacabcacb . . .) [Thue ≈1905]

[Dejean 1972] : sur un alphabet de 3 lettres, il existe un mot

infini sans puissance 74

sur un alphabet de 2 lettres, il existe un mot infini sanspuissance 2+ (overlap-free) ; Thue-Morse morphismµ(a) = ab, µ(b) = ba

Repetitions

Morphismes sans puissance

morphisme µ sans puissance α : w est sans puissance α ⇒µ(w) est sans puissance α

il est tres difficile de decider si un morphisme donne est sanspuissance α

Des conditions necessaires et suffisantes (etendant celles de JeanBerstel de 1979) qu’un morphisme soit sans carre ont ete etabliesdans

Maxime Crochemore. Sharp characterization ofsquare-free morphisms. Theoretical Computer Science. 18(2). 1982. pp. 221-226

Corollary 5

Un morphisme µ : {a, b, c} → {a, b, c} est sans carre si etseulement si pour tout mot w ∈ {a, b, c}∗ de longueur ≤ 5, µ(w)est sans carre

Corollary 5

Frequence limite d’une lettre dans les mots binaires sanspuissance α

Question : que peut-on dire de ρmin(α), la proportion minimalelimite d’une lettre dans un mot sans puissance α ?

Cas d’alphabet binaire, α > 2 [Kolpakov&Kucherov 97,K&K&Tarannikov 98, Ochem 05]

ρmin(α) = 12 for α ∈ (2, 7

3 ] et ρmin(73

+) < 1

infinite de points de discontinuite :73 , 17

7 , 52 , . . . , 41

16 , 187 , . . . , 3, 4, . . . et tous α ∈ N

un autre intervalle constant : (4116 , 18

estimations pour ρmin(α) et ρmin(α+) pour tous les points de

discontinuite α (mais aucune valeur exacte n’est connue !)

ρmin(α) = 12 for α ∈ (2, 7

3 ] et ρmin(73

+) < 1

7 , 52 , . . . , 41

16 , 187 , . . . , 3, 4, . . . et tous α ∈ N

ρmin(α) = 12 for α ∈ (2, 7

3 ] et ρmin(73

+) < 1

7 , 52 , . . . , 41

16 , 187 , . . . , 3, 4, . . . et tous α ∈ N

ρmin(α) = 12 for α ∈ (2, 7

3 ] et ρmin(73

+) < 1

7 , 52 , . . . , 41

16 , 187 , . . . , 3, 4, . . . et tous α ∈ N

ρmin(α) = 12 for α ∈ (2, 7

3 ] et ρmin(73

+) < 1

7 , 52 , . . . , 41

16 , 187 , . . . , 3, 4, . . . et tous α ∈ N

Frequence limite d’une lettre dans les mots de 3 lettressans carre

Cas d’alphabet de 3 lettres, α = 2

[Tarannikov 02] :0, 274648... = 1780

6481 ≤ ρmin ≤ 64233 = 0, 274678...

[Ochem 05] :0, 27464897... = 1000

3641 ≤ ρmin ≤ 8833215 = 0, 27465007...,

ρmax = 255653 = 0.3905...

(en utilisant les criteres de Crochemore !)

[Khalyavin 07] : ρmin = 8833215 ! !

[Tarannikov 02] :0, 274648... = 1780

6481 ≤ ρmin ≤ 64233 = 0, 274678...

[Ochem 05] :0, 27464897... = 1000

3641 ≤ ρmin ≤ 8833215 = 0, 27465007...,

ρmax = 255653 = 0.3905...

[Khalyavin 07] : ρmin = 8833215 ! !

[Tarannikov 02] :0, 274648... = 1780

6481 ≤ ρmin ≤ 64233 = 0, 274678...

[Ochem 05] :0, 27464897... = 1000

3641 ≤ ρmin ≤ 8833215 = 0, 27465007...,

ρmax = 255653 = 0.3905...

[Khalyavin 07] : ρmin = 8833215 ! !

[Tarannikov 02] :0, 274648... = 1780

6481 ≤ ρmin ≤ 64233 = 0, 274678...

[Ochem 05] :0, 27464897... = 1000

3641 ≤ ρmin ≤ 8833215 = 0, 27465007...,

ρmax = 255653 = 0.3905...

[Khalyavin 07] : ρmin = 8833215 ! !

Recherche de repetitions

Genese

Maxime Crochemore. An optimal algorithm for computing therepetitions in a word. Information Processing Letters. 12 (5).1981. pp. 244-250

recherche de tous les puissances entieres non-extensibles enO(n log n)optimalite de la borne (mots de Fibonacci)

Maxime Crochemore. Recherche lineaire d’un carre dans unmot. C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math. 296 (18). 1983. pp.781-784

utilisation des techniques de factorisation a la Lempel-Ziv et defonctions d’extension

Genese

Nombre de repetitions dans un mot

il y a O(n2) de carres dans an

il peut y avoir Θ(n log n) de carres primitifs

Maxime Crochemore and Wojciech Rytter. Squares,cubes and time-space efficient string-searching.Algorithmica. 13 (5). 1995. pp. 405-425

Repetitions maximales (runs)

Repetitions maximale dans w = facteur de w d’exposant ≥ 2 (pasnecessairement entier) et non-extensible a droite/a gauche

aabaababaaaabaababaa a2 a2 a2

aabaababaa (aab)7/3

aabaababaa (ab)5/2

L’ensemble des repetitions maximales codent toutes les repetitionsdans le mot

aabaababaa

aabaababaa a2 a2 a2

aabaababaa (aab)7/3

aabaababaa (ab)5/2

aabaababaa (aab)7/3

aabaababaa (ab)5/2

aabaababaa (aab)7/3

aabaababaa (ab)5/2

aabaababaa (aab)7/3

aabaababaa (ab)5/2

aabaababaa (aab)7/3

aabaababaa (ab)5/2

Recherche des repetitions maximales

[ Apostoloco&Preparata 83 ] recherche des repetitionsmaximales a droite en O(n log n)

[ Main&Lorentz 84 ] recherche de toutes les repetitionsmaximales en O(n log n)

[ Main 89 ] recherche de toutes les repetitions maximalesdistinctes en O(n)

[ Iliopoulos, Moore, Smyth 97 ] toutes les repetitionsmaximales dans les mots de Fibonacci en O(n)

[ Kolpakov, Kucherov 99 ] il y a O(n) de repetitionsmaximales et on peut les calculer en O(n)

Recherche des repetitions maximales

[ Apostoloco&Preparata 83 ] recherche des repetitionsmaximales a droite en O(n log n)

[ Main&Lorentz 84 ] recherche de toutes les repetitionsmaximales en O(n log n)

[ Main 89 ] recherche de toutes les repetitions maximalesdistinctes en O(n)

[ Iliopoulos, Moore, Smyth 97 ] toutes les repetitionsmaximales dans les mots de Fibonacci en O(n)

[ Kolpakov, Kucherov 99 ] il y a O(n) de repetitionsmaximales et on peut les calculer en O(n)

Borne sur le nombre des repetitions maximales

la preuve de [K&K 99] est tres technique et ne permet pasd’extraire une constante multiplicative

or, la conjecture de [K&K 99] est que le nb des repetitionsmaximales est au plus n

la borne inferieure de 32φn a ete prouvee dans

[Franek,Simpson,Smyth 03] et conjecturee etre la borne exacte

objectif : meilleure borne sup et une preuve plus simple

[ Rytter STACS 06 ] ≤ 5n[ Puglisi,Simpson,Smyth 06 ] ≤ 3, 48n[ Rytter 06 ] ≤ 3, 44n[ Crochemore&Ilie 06, MFCS 07] ≤ 1, 6n

[ Rytter STACS 06 ] ≤ 5n

[ Puglisi,Simpson,Smyth 06 ] ≤ 3, 48n[ Rytter 06 ] ≤ 3, 44n[ Crochemore&Ilie 06, MFCS 07] ≤ 1, 6n

[ Rytter STACS 06 ] ≤ 5n[ Puglisi,Simpson,Smyth 06 ] ≤ 3, 48n

[ Rytter 06 ] ≤ 3, 44n[ Crochemore&Ilie 06, MFCS 07] ≤ 1, 6n

[ Rytter STACS 06 ] ≤ 5n[ Puglisi,Simpson,Smyth 06 ] ≤ 3, 48n[ Rytter 06 ] ≤ 3, 44n

[ Crochemore&Ilie 06, MFCS 07] ≤ 1, 6n

[ Rytter STACS 06 ] ≤ 5n[ Puglisi,Simpson,Smyth 06 ] ≤ 3, 48n[ Rytter 06 ] ≤ 3, 44n[ Crochemore&Ilie 06, MFCS 07] ≤ 1, 6n

Epilogue

Qui est Maxime Crochemore ?

mes histoires d'amour avec les travaux de maxime ... - lifl.fr · computer science, lecture...

Documents