mesin.polimdo.ac.idmesin.polimdo.ac.id/wp-content/uploads/2019/04/modul... · web viewmatematika...

MODUL MATEMATIKA TEKNIK 2

i

MATEMATIKA TEKNIK 2

OLEH: MEIDY P.Y KAWULUR, SSi.,MSi


KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa karena dengan penyertaan

dan tuntunannya maka penulis dapat menyelesaikan modul ini. Matematika merupakan dasar

teori yang sangat diperlukan dalam menunjang perkuliahan di bidang teknik. Modul

“Matematika Teknik 2” di perlukan sebagai alat bantu mahasiswa dalam memahami

Pengertian Fungsi, Limit Fungsi, Turunan (derivative), Integral, Persamaan Diferensial dan

Transformasi Laplace. Dengan selesainya modul ini, maka pada kesempatan ini saya

sampaikan terima kasih kepada Bapak Direktur Politeknik Negeri Manado, Bapak Ir. Evert M.

Slat, M.T beserta Wakil Direktur khususnya Wakil Direktur Bidang Akademik Ibu

Dra.Mareyke Alelo, MBA, Pimpinan Jurusan Teknik Mesin, yang memberi kesempatan bagi

saya untuk menyusun modul ini.

Manado, Maret 2019

Meidy P.Y. Kawulur, SSi.,MSi

ii


PETA KEDUDUKAN MODUL

iii

MATEMATIKA TEKNIK 2

Pengertian Fungsi Fungsi Limit Turunana Integral

Transformasi Laplace

Persamaan Deferensial


Kata Pengantar ii

Daftar Isi iii

Peta Kedudukan Modul iv

Bab I Limit Fungsi 1

1.1 Pengertian Fungsi 1

1.2 Fungsi Limit 2

1.3 Teorema Limit Fungsi 5

Bab II Turunan (Derivative) 8

2.1 Turunan Fungsi Aljabar 8

2.2 Turunan Fungsi Rational 10

2.3 Turunan Pada Trigonometri 12

2.4 Aplikasi Turunanan Dalam Bidang Teknik 14

Bab III Integral 18

3.1 Pengertian Integral 18

3.2 Integral Tak Tentu 18

3.3 Integral Tertentu 20

3.4 Aplikasi Integral Dalam Bidang Teknik 21

Bab IV Persamaan Diferensial 28

4.1 Pengertian Persamaan Integral 28

4.2 Proses Pembentukan Persamaan Diferensial 29

4.3 Penyelesaian Persamaan Diferensial 30

Bab V Transformasi Laplace 33

iv

DAFTAR ISI


5.1 Pengertian Transformasi Laplace 33

5.2 Transformasi Laplace Invers 34

5.3 Tabel Transformasi Laplace 35

5.4. Aplikasi Transformasi Laplace 36

DAFTAR PUSTAKA

v


1.1 Pengertian Fungsi

Pengertian Fungsi dapat dikaitkan dengan pengertian pemetaan yang dalam

analisis matematika dikenal dengan nama fungsi, dengan demikian fungsi merupakan

kejadian khusus dari suatu relasi. Dengan kata lain bahwa fungsi adalah suatu relasi

yang menghubungkan setiap anggota x dalam suatu himpunan yang disebut daerah

asal (domain) dengan suatu nilai tunggal f(x) dari suatu himpunan kedua yang disebut

daerah kawan (kodomain). Himpunan nilai yang diperoleh disebut daerah hasil

(Range).

Satu fungsi f dari X ke Y disajikan dengan simbol f : X Y, artinya apabila x X

menentukan kawan (tunggal) di dalam Y dan disajikan dengan simbol f(x).

Definisi suatu fungsi f dari X ke Y diformulasikan kembali sebagai berikut:

Untuk setiap x X terdapat dengan tunggal y Y, sedemikian hingga f(x) = y

Secara simbolok disajikan sebagai berikut :

Untk x X f(x) = y Y, dan sebagai domain dari f ialah X, sedangkan

himpunan elemen-elemen y yang berkawan dengan x sedemikian hingga f(x) = y

adalah range dari f yang terletak dalam Y, seperti gambar di bawah ini.

Pada pengertian fungsi di atas f : X Y, yang memperlihatkan x dibawa ke

f(x), maka y = f(x) di dalam Y dinamakamn peta (imege) dari x atau dinamakan harga

fungsi f di x, dengan kata lain fungsi f didefinisikan pada X dengan anggota-anggota

Y diambil sebagai harga-harga.

1

X Yx yy

Definisi : Suatu Fungsi f dari X ke Y ialah suatu aturan yang pada setiap anggota

dari X menentukan dengan tunggal satu anggota dari Y.

BAB I. LIMIT FUNGSI


1.2 Limit Fungsi

Definisi :

Pengertian x mendekati c mencakup dua hal, yaitu :

a. Nilai-nilai x yang dekat dengan c tetapi lebih kecil dari c, disebut x

mendekati c dari kiri. Apabila x mendekati c dari kiri maka limit fungsi f-nya disebut

limit kiri dan ditulis:

lim f (x) = L (dibaca limit f untuk x mendekati c dari kiri)x→c-

b. Nilai-nilai x yang dekat dengan c tetapi lebih besar dari c, disebut x

mendekati c dari kanan. Apabila x mendekati c dari kanan maka limit

lim f (x) = L (dibaca limit f untuk x mendekati c dari kanan )x→c+

c. Suatu fungsi f mempunyai limit untuk x mendekati c jika dan hanya jika limit kiri

dan limit kanannya ada dan sama.

2

Jika nilai suatu fungsi f mendekati L untuk x mendekati c maka kita

katakan bahwa f mempunyai limit L untuk x mendekati c dan ditulis

lim f (x) = L (dibaca limit f untuk x mendekati c sama dengan L)x→c


Untuk setiap ϵ>0 , terdapat ∂>0 sedemikian hingga

0 < | x – c | < δ | f(x) – L | < ↋

Limit Kiri Dan Limit Kanan

jika x menuju c dari arah kiri (dari arah bilangan yang

kecil dari c, lmit disebut limit kiri,notasi : limx→ c−¿ f (x)¿

¿

3


jika x menuju c dari arah kanan (dari arah bilangan yang lebih besar dari c, limit di sebut

limit kanan, notasi: limx→ c+¿ f (x)¿

¿

Hubungan antara limit denga limit sepihak:

limx →c

f ( x )=L limx→ c−¿ f ( x )=Ldan lim

x→c+¿ f ( x )=L¿¿ ¿

¿

Jika limx→ c−¿ f ( x ) ≠ lim

x→c+¿ f ( x )maka¿¿¿

¿ limx →c

f ( x ) tidak ada

Contoh soal:

1. Carilah nilai limit dari fungsi

f(x) = 3x - 3, -1 ≤ x ≥ 4, dengan selang 0.5

Penyelesaian:Dengan bantuan tabel maka dapat dicari hasil limit dari masing

masing nilai x

Maka dapat ditampilkan dalam grafik:

Y

3 f(x)

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 X

4

x -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

f(x

)

-9 -7.5 -6 -4.5 -3 -1.5 0 1.5 3


-9

2. Carilah limx→ ∞

√ x2+x+3+x

Penyelesaian:

Jika x→∞, limit diatas adalah bentuk (∞, -∞)

¿ limx→ ∞

√ x2+x+3+x (√ x2+x+3−x√ x2+x+3−x )

¿ limx→ ∞

x2+x+3−x2

√x2+x+3−x=lim

x→ ∞

x+3√x2+x+3−x

❑

¿ limx→ ∞

x (1+ 3x)

√x2(1+ 1x+ 3

x2 )−x

¿ limx→ ∞

x (1+ 3x)

−x√1+ 1x+ 3

x2−x

¿ limx→ ∞

(1+ 3x)

−√(1+ 1x+ 3

x2 )+1

= 12

1.3. Teorema Limit Fungsi

Jika Lim f(x) = A dan fungsi Lim g(x) =B maka berlaku:

x→c x→c

a. Lim f(x) ± Lim g(x) = Lim (f(x) ± g(x)) = A ± B

5


x→c x→c x→c

b. Lim f(x) X Lim g(x) = Lim (f(x) X g(x)) = A X B x→c x→c x→c

c. Lim f(x) : Lim g(x) = Lim (f(x) : g(x)) = A : B x→c x→c x→c

d. k Lim f(x) = k A x→c

Contoh soal:

1. Carilah nilai limit fungsi dari:

Lim (2x2 + 3x -5) = 2(2)2 + 3(2) – 5 = 9 x→2

2. Carilah nilai limit fungsi dari :

Lim (3x2 + 5) ( 5x – 3) = ( 3(1)2 + 5) (5(1) – 3)) = 8 x→1

3. Carilah nilai limit fungsi dari

Lim x2−25x−5

= ( x−5 )(x+5)

x−5 = x + 5 = 10

x→5

4. Carilah nilai limit dari

6 Lim (4x2 + 5) = 6 ( 4(1)2 + 5) = 6 (9) = 54 x→1

Latihan Soal :

Hitunglah harga-harga limit di bawah ini:

1. Lim (x + 3) x→-1

6


2. Lim (x3 + 3x2 -2x -17) x→1

3. Lim (x + 4) x→-1 x2 – 16

4. Lim (x2+ 6x + 9) x→2

5. Lim (x 2 - 64) x→8 x – 8

6. Lim (x + 3) x→-1 ( x + 2)

7. Lim (x 2 + 6x) x→-1 2x + 3

8. Lim (x 3 + 3x 2 - 9x +5) x→1 (x4 + 2x2 - 6x +3

9. Lim ( 3 + x ) x→∞ (3 – x)

10. limx→ ∞

√x2+1x−1¿

¿

7


2.1 Turunan Fungsi Aljabar

Turunan fungsi ( diferensial ) atau derivative adalah fungsi lain dari suatu fungsi

sebelumnya, misalnya fungsi f menjadi f ' yang mempunyai nilai tidak beraturan.

Laju perubahan nilai fungsi f : x → f (x) pada x=a dapat ditulis:

8

BAB II. TURUNAN (DERIVATIVE)

http://id.wikipedia.org/wiki/Fungsi


Limit ini disebut turunan atau diferensial dari f(x) pada x = a. Jika f(x) adalah suatu

fungsi yang kontinu pada selang -∞ ¿ x<∞ ,berlaku limh → 0

f (x+h )−f (x)

h = f '( x) (turunan

pertama dari f ( x )). Sehingga diperoleh rumus sebagai berikut:

Jika nilai limitnya ada, fungsi f dikatakan diferensiabel di x, danf ' (x) disebut fungsi

turunan dari f . Turunan dari y=f (x ) sering kali ditulis dengan y '=f '(x ). Notasi dari

y '=f '(x ) juga dapat ditulis: dydx

=df (x)

dx.

Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat turunan satu (atau beberapa)

fungsi yang tak diketahui. Meskipun persamaan seperti itu seharusnya disebut

“Persamaan Turunan”, namun istilah “persamaan diferensial” (aequatio differentialis)

yang diperkenalkan oleh Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) pada tahun 1676

sudah umum digunakan. Sebagai contoh, persamaan diferensial

y ’= 3 x2

x3+1( y+1)

9

f ' ( x )=limh→0

f ( x+h )− f (x)h


dapat ditulis dalam bentuk

dy=[ 3 x2

x3+1( y+1)]dx atau y '− 3x2

x3+1y= 3x2

x3+1

Contoh :

Diketahui f(x) = 3x + 5, carilah turunannya.

Penyelesaian:

f ' ( x )= limh→0

3 ( x+h )+5−(3 x+5)h

¿ limh→ 0

3 x+3h+5−3 x−5h

¿ limh→ 0

3 hh

¿ limh→ 0

h(3)h

10

Definisi:

Bila y = f(x) adalah suatu fungsi variabel x, dan bila:

dydx = lim

∆ y∆ x , atau berarti

x→0 , ( x = h)

f’(x) = Lim f (x+h)−f (x )h

, ada dan terbatas maka limit tersebut dinamakan

h→0 turunan atau derivative dari y terhadap x dan

f(x)


= 3

2. Carilah turunan fungsi Aljabar dari fungsi f(x) = 2x2 +3x – 6

Penyelesaian:

Lim 2(x + h) 2 + 3(x + h) – 6 – (2x) 2 +3x – 6 h→0 h

Lim (2(x 2 +2xh + h 2 ) + 3(x + h) – 6) – (2x 2 +3x – 6) h→0 h

Lim 2x 2 + 4xh + h 2 + 3x + 3h – 6 – 2x 2 - 3x + 6 h→0 h

Lim 4xh + h 2 + 3h h→0 h

Lim 4xh + h 2 + 3h = h (4x + h + 3) = 4x + 3 h→0 h h

2.2 Turunan Fungsi Rational

Jika diketahui dua fungsi ganda U dan V yang dapat diturunkan maka berlaku :

a. Penjumlahan dan pengurangan fungsi y = U ± V , didapat turunan dari fungsi

tersebut adalah dydx ¿

dudx

± dvdx = U’ ± V’

b. Perkalian fungsi y = U ± V , didapat turunan dari fungsi tersebut adalah y =

U x V , maka dydx

=¿ dudx

V + dvdx U = U’ V + V’ U

11

Rumus Umum Integral:

dy/dx = nX n -1


c. Pembagian fungsi y = U ± V , didapat turunan dari fungsi tersebut adalah y

= UV , maka

dydx =

dudx

V−dvdx

U

V 2 = U ' V −V ' U

V 2

contoh:

1. Carilah nilai turunan dy/dx dari:

y = 4x3 + 6x – 7

Penyelesaian :

dy/dx = 12x + 6

2. Carilah nilai dy/dx dari

y = (5x2 + 4) (3x – 4)

Penyelesaian :

Misalkan U = 5x2 + 4 V = 3x - 4

du/dx = 10x dv/dx = 3

dy/dx =du/dx . V + dv/dx . U

= 10x (3x – 4) + 3 ( 5x2 + 4)

= 30x2 - 40x + 15x2 + 12

= 45x2 – 40x + 12

3. Carilah nilai dy/dx dari

y = 3x + 6 4x2 – 2

Penyelesaian:

Dengan memisalkan U = 3x + 6 dan V = 4x2 – 2

dudx

=3 dvdx

=8 x

dy = 3 (4x 2 – 2) – 8x (3x + 6) dx (4x – 2)2

= 12x 2 - 6 -24x 2 - 48x 16x2 -16x +4

12


4. Carilah nilai turunan pertama (dy /dx)

y = √4 x2+5 , maka dapat ditulis y = (4x2 + 5)1/2

Penyelesaian:

Dimisalkan U = 4x2 + 5 y = U 1/2

du/dx = 8x dy/du = ½ U-1/2

dydx = du/dx . dy/dx

= 8x ( ½ (4x2 + 5) -1/2

= 4x (4x2 + 5) -1/2

= 4x (4x2 + 5) ½

2.3 Turunan Pada Trigonometri

Pada trigonometri akan ada tiga bentuk penurunan, ketiga bentuk penurunan

tersebut adalah:

f ' ( x )=sin x→ df (x)dx

=cos x

f ' ( x )=cos x → df (x )dx

=−sin x

f ' ( x )=tan x → df (x )dx

=sec2 x

Contoh:

Tentukan turunan dari fungsi berikut:

1. f ' ( x )=sin x+cos x

Penyelesaian:

f ' ( x )=sin x+cos x→ df (x )dx

=cos x−sin x

2. f ' ( x )=sin x−2 tan x

13


Penyelsaian:

f ' ( x )=sin x+cos x→ df (x )dx

=cos x−2 sec2 x

Adapun bentuk lain selain tiga bentuk penurunan di atas adalah:

f ' ( x )=sin Ax → df ( x)dx

=A cos Ax

f ' ( x )=cos Ax → df (x)dx

=−A sin Ax

f ' ( x )=tan Ax → df (x)dx

=A sec2 Ax

Contoh:

Tentukan turunan dari fungsi berikut ini:

f(x) = sin 4x + cos 6x

penyelesaian :

f ' ( x )=sin 4 x+cos6 x→ df (x)dx

=4cos4 x−6 sin 6 x

Latihan Soal1. Carilan turunan fungsi Aljabar dari fungsi :

y = 3x3 – 5x + 6

2. Carilah turunan pertama (dy/dx) dari fungsi:y = (x2 – 7) (5x + 2)

3. Hitunglah dy/dx dari fungsi

y = x 2 – 3x + 7 x - 6


y = 3√ x2+3


y = x √ x2+1


14


y = x 3 + 5x x - 4


y = (4x3 + 4)1/2


y = (5x3 + 3)2

9. Tentukan turunan dari fungsi

y= sin 3x - 2 tan 5x

10. Tentukan turunan dari fungsi

y = sin 2x – cos 3x

2.4 Aplikasi Turunan Dalam Bidang Keteknikan

a. Kecepatan (velosity) dan Kelajuan (rates)

Perhatikan gambar dibawah ini: Pandang titi P(x,y) dan Q(x + x, y + y) Q maka PR = x QR = y . y x = tg , dinamakan laju y perubahan rata-rata

0 (average rate of change)

dari fungsi y dalam interval (x. x + x), sedangkan harga limit untuk x 0,

dinamakan laju perubahan (rate of change) dari y terhadap x, pada suatu titik x

(misalkan x =x0), dengan simbol matematik:

laju perubahan (rate of change) pada x =x0 adalah :

lim y = dyx0 x dx x=x0

Atau sama dengan turunan pertama dari y terhadap x pada suatu titik x = x0 .

Pemakakain dalam bidang teknik:

1. Lintasan s dipandang sebagai suatu fungsi dari t, maka s = f(t)

Kecepatan rata-rata (averege velocity) = s ( harga rata-rata kecepatan dalam suatu

15


dx jangka waktu persatuan waktu). Kecepatan (velocity) pada waktu t = lim y = ds = v x0 t dt

Percepatan (acceleration) a = ds (percepatan pada suatu waktu t) t

2. Banyak air dalam tangki air pada waktu t ialah Q, dengan Q sebagai fungsi dari t.

Bila air mengalir masuk/keluar dari tangki air dari ke t + t, maka perubahan dari

Q adalah Q. Maka laju perubahan rata-rata dari Q = ds

t Dan laju perubahan dari Q pada waktu t = lim Q = dQ

x0 t dt

Contoh :

1. Persamaan lintasan dari suatu partikel adalah s = 2t2 + 3t +5, s dalam centimeter, t

dalam seconds. Berapakah kecepatan rata-rata dari partikel dalam interval t =1

sampai t =5

Penyelesaian:

t = 5 – 1 = 4

s = (2(5)2 + 3(3) + 5) – (2(1)2 + 3(1) + 5)

= 70 – 10 60

Maka kecepatan rata-rata = s = 60 = 15 cm/sec t 4

2. Bila diketahui lintasan suatu pertikel s = 256 + 96t – 16t2. . hitunglah kecepatan v

dan percepatan a. Berapakah harg s bila v= 0

Penyelesaian:

v = ds/dt = 96 – 32t

a = dv/dt = -32

bila v = 0,

96 - 32t = 0

16


t = 96/32 = 3

maka harga s = 256 + 96(3)– 16(3)2

= 256 + 288 – 144

= 400

3. Air dalam kolam renang dialirkan keluar, karena kolam akan dibersihkan. Q

menyatakan banyak air dalam kolamsaat t menit setekah air mulai dialirkan pada

kolam, dan Q = 200(30 – t)2. Q dalam gallon. Berapakah kecepatan air mengalir

pada saat setelah 10 menit? Berapakh laju perubahan dari air yang mengalir selama

10 menit pertama?

Penyelasaian:

Q = 200 (30 – t)2

(dQ/dt) = 200 (2) (-1) (30 – t) t= 10

= -400(30 – 10)

= - 8000

Jadi kecepatan air yang mengalir keluar pada akhir menit kesepuluh adalah =

8000 gallon/menit.

Q = 200 (30 – t)2

Selama 10 menit pertama t = 10 dan t0 =0, maka

Q = { 200(30 – 10)2 – 200(30)2}

= 200 ( 400 – 900 ) = -100.000

Q/t = -100.000 = -10.000 gallon/menit

10

Latihan soal :

1. Diketahui suatu persamaan partkel s= 5t2 - 20t + 2, s dalam meter dan t

dalam detik. Hitunglah kecepatan dan percepatan serta berapa nilai s bila v

= 0?

2. Air dalam kolam renang dialirkan keluar, karena kolam akan dibersihkan.

Q menyatakan banyak air dalam kolamsaat t menit setekah air mulai

17


dialirkan pada kolam, dan Q = 100(20 – t)2. Q dalam gallon. Berapakah

kecepatan air mengalir pada saat setelah 5 menit? Berapakah laju

perubahan dari air yang mengalir selama 5 menit pertama?

3. Persamaan lintasan dari suatu partikel adalah s = 5t2 + 2t +3, s dalam

centimeter, t dalam seconds. Berapakah kecepatan rata-rata dari partikel

dalam interval t =2 sampai t =6

3.1 Pengertian Integral

18

BAB III. INTEGRAL


Integral merupakan invers atau kebalikan dari differensial. Integral terdiri dari dua

macam yakni integral tentu dan integral tak tentu. Integral tentu merupakan suatu

integral yang dibatasi oleh suatu nilai tertentu yang sering disebut batas atas dan batas

bawah. Sedangkan integral tak tentu digunakan untuk mencari fungsi asal dari turunan

suatu fungsi.

Integral di bagi dua macam: integral tak tentu dan integral tertentu.

3.2 Integral tak tentu (indefinite integral)

Bila diberikan suatu fungsi f(x) dari suatu fungsi lain y = F(x) sedemikian hingga

dalam domain a < x > b , berlaku:

d F(x)/dx = f(x)

maka F(x) dinamakan hasil integraldari f(x) terhadap x. jadi inetgral dapat dipandang

sebagai kebalikan dari turunan (diferensiasi).

(a)ddx

(xn )=nxn−1 . Dengan mengganti n dengan (n+1), ddx

(x¿¿n+1)=(n+1)xn ¿,

ddx

( xn+1

n+1) =xn maka: ∫ xn dx = xn+1

n+1+C

Ini berlaku kecuali bila n=-1, yang untuk itu kita harus membagi dengan 0.

(b)ddx

¿ = cos x

∫cos xdx=sin x+C

(c)ddx

¿ = - sin x

∫sin x dx=−cos x+C

(d)ddx

¿ = sec2 x

19

Definisi : yang dimaksud dengan mengintegralkan suatu fungsi (fx) ialah menentukan suatu fungsi F(x), sehingga turunannya

d F(x)/dx = f(x)


∫ sec2 x dx= tan x+C

(e)ddx

(ex) = ex

∫ ex dx=ex+C

(f)ddx

¿ =1x

∫ 1x

dx=ln x+C

(g)ddx

(ax ) = ax . ln a

∫ ax dx= alna

x

+C

Contoh 1:

y = F (x) = x3

maka dy/dx = 3x2 f(x) = 3x2

jadi x3 = ∫ 3x2 dx F (x) = ∫ f(x) dx

Maka ∫ 3x2 dx = 1 (3) x 2+ 1 = x3

2+1Contoh 2.

∫(x2¿+2x )dx ¿ = 1

2+1x2+1+ 1

1+1x1+1+c

= 13

x3+ 12

x2 + c

Contoh 3.

∫√4 x+3 dx = ∫(4 x+3)12 dx ∫u1/ 2

14 du =

14 ∫u1/2 du

Dimisalkan u = 4x + 3 = ( 14 )

23

u3 /2 + c

dudx = 4 =

212

(4 x+3)3 /2+c

20


du = 4 dx = 16(4 x+3)3 /2 + c

dx = ¼ duTips memilih maa yang menjadi u

1. Yang memiliki pangkat terbesar

2. Yang menjadi pembagi

3. Yang berada dalam fungsi sinusoida (trigonometri)

4. Yang berada di dalam bentuk akar

3.3 Integral Tertentu (definite integral)

Misalkan fungsi f(x) kontinu pada [a, b] dan fungsi F(x) adalah anti turunan dari

fungsi f(x), maka berlaku

dari bentuk integral tentu

maka fungsi f(x) dinamakan Integran, bilangan a dinamakan batas bawah integral

dan b dinamakan batas atas integral

Pandang y = f(x) suatu fungsi dari x yang kontinyu dalam interval tertutup [a, b],

dan juga f(x) diambil non-negatif yang berarti f(x) terletak di atas sumbu x dalam

[a, b] tersebut.

Sifat sifat integral tertentu :

a. ∫a

b

f (x )dx=−∫b

a

f ( x ) dx

21

https://panglimanagari.files.wordpress.com/2013/01/1.jpg

https://panglimanagari.files.wordpress.com/2013/01/2.jpg


b. ∫a

a

f (x )dx=0

c. Bila f1(x)dan f2(x) adalah fungsi-fungsi yang dapat diintegralkan, maka :

∫a

b

[ f 1 (x )+ f 2 ( x ) ] dx=¿∫a

b

f 1 ( x ) dx+∫a

b

f 2 ( x )dx ¿

d. Bila c suatu konstanta, maka :

∫a

b

cf (x ) dx=c∫a

b

f ( x ) dx

e. ¿∫a

b

f ( x ) dx∨≤∫a

b

¿ f (x )∨dx

Contoh: 2

1. ∫1

2

(2 x+5 ) dx=x2+5 x = (4 +10) – (1 + 5) = 8

1

2

∫0

2

√4 x+1 dx=¿ ∫0

2

(4 x+1)1/2 dx ∫0

2

u1/2 (1/4) du = 14

. 23(4 x+1)3 /2

0

2

Misalkan u = 4x + 1 = 16 (4 x+1)3 /2

dudx = 4 0

dx = 14

du = 16¿

= 16(9

32−1

12 )

16 (27−1) =

266=¿

133

22


3.4 Aplikasi Integral Dalam Bidang Teknik

a. Luas daerah di bawah kurva

Untuk mencari luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu-x dan

ordinat di x =a dan x = b.

Perhatikan luas A pada daerah yang dibatasi oleh kurva y f(x), sumbu-x dan

kedua grafik tegak yang melalui x = a dan x = b seperti dilihat pada gambar di

bawah ini,

Untuk menentukan luas A, perlu memperhatikan luas total diantara kurva yang

sama dan sumbu-x dari kiri hinggi titik sembarang P pada kurva tersebut

dengan koordinat (x,y) yang akan kita tandai dengan Ax.

Luas A, merupakan luasan yang dibatasi oleh lajur antara busur PQ dimana Q

memiliki koordinat (x + x, y + y).

Maka d Ax

dx = y

23


Kesalahan pada penghampiran ini diberikan oleh luas PQR dalam bangun

tersebut di kanan, dimana lajurnya telah diperbesar.

Contoh:

hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 3 x2+6x+8, sumbu-x dan

ordinat x=1 dan x=3

y = 3 x2+6 x+8

A

0 1 2 3 x

3

A= ∫1

3

y dx=∫1

3

3 x2+6 x+8 dx = [ x3+3 x2+8 x ] 1 = [27+27+24 ]− [1+3+8 ]

= 78 – 12 = 66 satuan2

b. Volume Benda Putar

24


Jika bentuk bidang yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu-x, dan ordinat-

ordinat di x=a dan x=b, diputar satu putaran penuh mengelilingi sumbu-x, maka

putaran ini akan membentuk sebuah benda yang simetris terhadap OX.

Misalkan V adalah volume dari benda yang terbentuk.

Untuk mencari V, pertama-tama marilah kita tinjau sebuah potongan tipis pada

bentuk bidang semula.

Volume yang dibentuk oleh potongan tersebut kira-kira sama dengan volume

yang terbentuk oleh empat persegi panjang.

Dengan kata lain,

V = y2 dx,

karena benda yang terbentuk adalah sebuah silender pipih.

Jika kita membagi seluruh bentuk bidang menjadi sejumlah potongan seperti

itu, maka masing-masing akan menghasilkan cakram tipis dengan volume y2

dx

25


Volume total V =∑x=a

x=b

π y2dx

Kesalahan (error) dalam aproksimasi ini disebabkan oleh luas daerah di atas

masing-masing empat persegi panjang, yang menyebabkan terjadinya bentuk

tangga pada permukaan benda. Akan tetapi, jika x0, maka kesalahan ini

akan hilang, sehingga pada akhirnya,

V = ∫a

b

π y2 dx

Contoh:

Carilah volume yang terbentuk jika bentuk bidang yang dibatasi oleh y = 5 cos 2x,

sumbu-x dan ordinat-ordinat di x = 0 dan x = π4 , diputar satu putaran penuh

mengelilingi sumbu-x.

Penyelesaian:

V= ∫0

π /4

π y2 dx=25 π∫0

π /4

cos22 xdx

Nyatakan ini dalam bentuk ganda (yaitu 4x).

26


V = ∫0

π /4

y2dx=25 π ∫0

π /4

cos2 2x . dx cos 2 = 2 cos2θ−1

= 25 π2 ∫

0

π /4

(1+c 0 s 4 x ) dx cos2θ=12¿

/4

= 25 π

2 [ x+ sin 4 x4 ]

0

= 25 π

2 ({π4+0}− {0+0 }) = 25 π

8

2

satuan3

Latihan Soal:

1. Carilah integral tak tentu dari

a. ∫(4 x2−2 x+5)dx

b. ∫(8 x−4 )3dx

c. ∫ dx

(2 x−5)12

d. ∫(5−7 x )−5 dx

e. ∫√1+3 xdx

2. Carilah nilai integral dari

a. ∫1

2

(5 x2−2)dx

b. ∫0

2

¿¿ dx

c. ∫0¿¿

¿

d. ∫0

33√9 x−1dx

27


3. Diketahui persamaan parametrik suatu kurva adalah x = 3t 2 , y=3 t−t 2. Carilah

volume yang terbentuk jika bentuk bidang yang dibatasi oleh kurva, sumbu-x, dan

ordinat-ordinat di t=0 dan t=2, diputar mengelilingi sumbu-x.

4. Carilah volume yang terbentuk jika bentuk bidang yang dibatasi oleh kurva y =

x2+5, dan ordinat-ordinat di x =1 dan x = 3, diputar mengelilingi sumbu-y sampai

satu putaran penuh.

5. Carilah volume yang terbentuk jika bentuk bidang yang dibatasi oleh y = 2 sin 2x,

sumbu-x dan ordinat-ordinat di x= 0 dan x= π2 , diputar satu putaran penuh

mengelilingi sumbu-x.

6. Carilah volume yang terbentuk jika bentuk bidang yang dibatasi oleh y = 4x2 + 3x

– 6, sumbu-x dan ordinat-ordinat di x = 0 dan x= 3, diputar mengelilingi sumbu y

sampai satu putaran penuh.

28


4.1 Pengertian Persamaan Diferensial

Persamaan diferensial adalah persamaan yang mengandung turunan didalamnya.

Persamaan diferensial dibagi dua, yaitu yang pertama persamaan diferensial yang

mengandung hanya satu variabel bebas, disebut persamaan diferensial biasa (PDB).

Sedangkan yang kedua, persamaan diferensial yang engandung lebih dari sati variabel

bebas, disebut persamaan difeensial parsial (PDP). Persamaan diferensial merupakan

suatu hubungan yang terdapat antara suatu variabel independen x, suatu variabel

dependen y dan satu atau lebih turunan dari y terhadap x.

Pada pembahasan sebelumnya, kita telah mempelajari tentang integral. Pada

umumnya, semua bentuk pengontegralan yang dilakkan merupakan upaya untuk

menyelesaikan persamaan diferensial. Dsedangkan sparale variabel adalah metode

penyelesaian persamaan diferensial dengan cara mengelompokkan fungsi-fungsi

berdasarkan variabel yang sama, kemudian diintegralkan.

Contoh: x2 dydx

= y sin x=0

29

BAB IV. PERSAMAAN DIFERENSIAL


xy d2 ydx2 + y dy

dx+e3 x=0

Persamaan diferensial merupakan suatu hubungan yang dinamis, dengan kata lain

kuantitas-kuantitas yang berubah, sehingga seringkali muncul dalam permasalahan

dalam bidang sain maupun rekayasa.

Orde dari suatu persamaan diferensial ditentukan oleh turunan tertinggi dalam

persamaan tersebut.

x dydx

− y2=0 adalah persamaan orde-pertama

x d2 ydx2 − y=0 adalah persamaan orde-kedua

x d3 xdx3 − y2=0 adalah persamaan orde-ketiga

dan setereusnya.

4.2 Proses Pembentukan Persamaan Diferesial

Secara matematis, persamaaan diferensial dapat muncul apabila konstanta-konstanta

sembarangnya dieliminasi dari fungsi yang diberikan.

Contoh 1 :

Tinjau y = A sin x + B cos x, dimana A dan B adalah konstanta sembarang.

Jika kita diferensiasikan, dipereoleh:

dydx

=A cos x−B sin x

d2 ydx2 =−A sin x−B cos x

Yang identik dengan persamaan semula, tapi tandanya berlawanan.

Artinya d2 ydx

=− y ∴ d2 ydx

+ y=0

Ini adalah sebuar persamaan diferensial orde kedua.

30


Contoh 2.

Bentuklah sebuah persamaan diferensial dari fungsi y = x + Ax

Kita dapatkan = x + Ax=x+AX−1

Dari persamaan di atas, Ax= y−x ∴ A = x(y - x)

∴ dydx = 1 -

x( y−x)x2

= 1 - y−x

x= x− y+x

x=2x− y

x

=x dydx

=2 x− y..............................persamaan ini adalah persamaan

diferensial orde pertama.

4.3 Penyelesaian Persamaan Diferensial

Untuk menyelesaikan suatu persamaan diferensial, kita harus mencari suatu fungsi

yang membuat persamaan tersebut benar. Ini berarti bahwa kita harus

memanipulasi persamaan tersebut sedemikian rupa sehingga seluruh turunannya

hilang dan hanya menyisakan hubungan antara y dan x.

Penyelesaian persamaan diferensial dapat diselesaikan dengan beberapa cara:

1. Metode Integrasi Secara Langsung

Jika persamaan dapat disusun dalam bentuk dydx

=f ( x ), maka persamaan tersebut

dapat diselesaikan dengan integrasi sederhana.

Contoh 1.

dydx

=3 x2−6 x+5

Maka y = ∫ (3 x¿¿2¿−6 x+5)dx¿¿

31


= x3−3 x2+5 x+c

Contoh 2.

Selesaikan xdydx

=5 x3+ 4

Dalam kasus ini, dydx

=5 x2+ 4x

y=5 x3

3+4 ln x+C

2. Dengan Pemisahan Variabel

Jika persamaan yang diberikan berbentuk dydx

=f ( x , y ) , variabel y di sisi kanan

menyebabkan persamaan tersebut tidak dapat diselesaikan dengan integrasi

langsung. Sehingga kita harus menggunakan metode pemisahan variabel untuk

menyelesaikannya.

Contoh 1.

Selesaikanlah dydx

= 2 xy+1

Kita dapat menulisnya kembali sebagai (y + 1) dydx = 2x

Kemudian kita integrasikan kedua sisi terhadap x:

∫( y+1) dydx

dx=∫2 x dx

∫ ( y+1 ) dy=∫ 2x dx

Didapat :12

y2+ y=c2+c

Contoh 2:

32


Selesaikanlah dydx

=(1+x )(1+ y)

11+ y

dydx

=1+x

Integrasikan kedua sisi terhadap x

∫ 11+ y

dydx

dx=∫ (1+x ) dx

∫ 11+ y

dy=∫(¿1+x)dx ¿

= Ln (1 + y) = x+ x2

2+C

Metode ini bergantung pada kemampuan kita menyatakan persamaan yang

diberikan dalam bentuk F(y)dydx

=f ( x ) . Jika ini dapat dilakukan, maka proses

selanjutnya mudah, karena kita dapatkan:

∫F ( y ) dydx

dx=∫F ( y ) dy∴F

Latihan Soal:

1. Selesaikan persamaan diferensial dydx

=1+ y2+x


= y2+x y2

x2 y−x2


= y2−1x

4. Selesaikan persamaan diferensial xy dydx

= x2+1y+1

5. Selesaikan persamaan diferensial xdydx

= y+xy

33


5.1 Pengertian Transformasi Laplace

Pada suatu persamaan diferensial pada umumnya selalu memiliki variabel

bebas dalam bentuk x atau t (domain wakyu). Ide dasar dari tranformasi

Laplace adalah merubah variabel bebas (domain) dari fungsi penyelesaian

persamaan diferensial menjadi bentuk variabel bebas (domain frekuensi) s.

Secara sederhana berdasarkan persamaan berikut ini :

34

BAB V. TRANSFORMASI LAPLACE


y(x) T. Laplace Ɫ{y ( x)}= Y(s)

transformasi Laplace adalah transformasi integral tertentu dengan batas 0

sampai dengan .

L{f (x )}= Y(s) = ∫0

∞

e−sx f ( x ) dx

Dimana s adalah suat variabel yang nilai-nilainya dipilih sedemikian rupa agar

integral semi-infinitifnya selalu konvergen.

Contoh: 1

Bentuk transformasi Laplace dari persamaan f(x) = 2

L{f (x )}= ∫0

∞

e−sx f ( x ) dx

Maka

L{2 }= ∫0

∞

e−sx 2dx

∞

= 2[ e−sx

−s ] x=0 = 2 (0-(-1/s))

= 2s

Perhaikan bahwa s > 0 diisyaratkan karea jika s < 0 maka e−sx → ∞ ketika x → ∞ dan

jika s = 0 maka L{2} tidak terdefinisi (integralnya divergen), sehingga

35


L{2} = 2s asalkan s > 0

Dengan alasan yang sama, jika k adalah sembarang konstanta maka:

L{k} = ks asalkan s > 0

Contoh 2.

Diketahui f(x) = e−kx, x≥0 dimana k adalah konstanta.

Penyelesaian:

L{e−kx} = ∫0

∞

e−sx e−kx dx

= ∫0

∞

e−(s+ k ) x dx

∞

= [ e−( s+ k ) x

−(s+k ) ] s=0

= [0−[ −1(s+k ) ]] s+k¿0harus dipenuhi untuk menjamin ingtegralnya

konvergen di kedua limit

= 1

(s+k) asalkan s + k ¿0, yaitu asalkan s ¿ -k

5.2 Transformasi Laplace Invers

Transformasi Laplace adalah suatu pernyataan dalam variabel s yang dinotasikan

dengan F(s). Dikatakan bahwa f(x) dan F(s) = L {f(x)} membentuk suatu pasangan

transformasi. Ini berarti bahwa jika F(s) adalah transformasi Laplace dari f(x) maka

f(x) adalah transformasi laplace invers dari F(s). dapat ditulis:

36


f(x) = L−1 {F ( s) }

Tidak ada deinisi integral yang sederhana dari transformasi invers, jadi harus mencari

dengan cara bekerja dari belakang.

Contoh. Jika f(x) = 4 maka transformasi Laplace-nya L {f(x)} = F(s) = 4s jadi jika

F(s) =4s maka transformasi Laplace inversnya L−1 .= f (x )=4

5.3 Tabel Transformasi Laplace

f ( x )=L−1{F(s)} F(s) = L{f(x)}

K ks

s>0

e−kx 1s+k

s>−k

xe−kx 1(s+k)2 s>−k

X 1s2 s>0

x2 2s3 s>0

Sin kx ks2+k2 s2+k2>0

Cos kx ss2+k2 s2+k2>0

5.4. Aplikasi Transormasi Laplace

37


Dengan transformasi laplace kita dapat menyelesaikan persamaan diferensialdengan

sangat mudah. Bentuk fungsi pada transformasi Laplace memenuhi operasialjabar

biasa., sehingga mudah untuk disederhanakan. Sebuah persamaan diferensial di

transformasikan, kemudian kita sederhanakan dengan menggunakan aljabar biasa,

setelah it invers fungsi sedrehana yang telah kita selesaikan tadi.

L{PD} → Aljabar → L−1 {Y {s ) }= y (x )

Contoh:

Tentukan fungsi transformasi Laplace persamaan diferensial berikut ini:

d2 ydx2 −3 y=sin x y (0 )=1 , y ' (0 )=0

Penyelesaian:

d2 ydx2 −3 y=sin x → [ s2 Y (s )−s−0 ]−3 [Y ( s) ]= 1

s2+1

→ Y ( s )=

1s2+1

+s

s2−3

¿s2+s+1

(s2+1)(s2−3)

Kemudian kitainvers menjadi y (x ) , sebelumnyalitauraikan menjadi fraksi parsial .

s2+s+1(s2+1)(s2−3)

=

−14

(s¿¿2+1)+

4 √3−18√ 3

s−√ 3+

4√3+18 √ 3

(s+√ 3)¿

38


Setelah mendapatkan fraksi parsial, baru kita inverskan:

L−1[ s2+s+1(s2+1)(s2−3) ]=−1

4L−1[ 1

s2+1 ]+[ 4 √3−18√3 ]L−1 ¿

¿− 14

sin x+ 4 √3−18√3

e√3 x+ 4√3+18 √ 3

e−√ 3 x

Latihan soal:

1. Tentukan transformasi Laplace dari soal di bawah ini. Dalam setiap soal f(x)

terdefinisi untuk x ≥ 0 :

a. f(x) = -3

b. f(x) = -5e−3 x

c. f(x) = e

d. f(x) = 2e7 x−2

e. f(x) = e2x

2. tentukan transformasi Laplace invers dari setiap soal di awah ini:

a. F(s) =−1

s

b. F(s) = 1

s−5

c. F(s) = 3

s+2

d. F(s) = −34 s

e. F(s) = 1

2 s−3

3. Tentukan fungsi transformasi Laplace persamaan diferensial berikut:

a. d2 ydx2 −2 y=sinx y (0 )=1 , y '=0

39


b. d3 ydx3 +3 y=x y (0 )=1 , y '=0 , y =

c. d2 ydx2 −4 y=sinx y (0 )=1 , y '=0

40


Latihan Soal Untuk Ujian Akhir Semester

1. Selesaikan integral dibawah ini:

a. ∫√6 x+3 dx

b. ∫¿¿

c. ∫cos (2x+5 ) dx

d. ∫ (4 x2−2 x+5)dx

e. ∫(8 x−4 )3dx

f. ∫ (5−7 x )−5 dx

g. ∫√1+3 xdx

2. Carilah nilai integral dari

a .∫1

2

(5 x2−2)dx

b .∫0

2

¿¿ dx

c .∫0 ¿ ¿

¿

d .∫0

33√9 x−1 dx

3. Hitunglah luas bidang datar yang kurvanya dibatasi oleh grafik y= 4x2 + 5x -2

dengan ordinat – ordinat di x = 0, -1, 2

41


4. Carilah volume yang terbentuk jika bidang di batasi oleh y = 4 cos 3x , sumbu-x

di ordinat ordinat x= 0 dan x= π/4, diputar satu putaran penuh mengelilingi

sumbu x.

5. Diketahui persamaan parametric suatu kurva x= 4t2, dengan grafik y = 5t2 – 2t +

3, sumbu-x di ordinat t =1 dan t= 2, diputar mengelilingi sumbu –x

6. Hitunglah volume yang terbentuk jika bidang yang dibatasi oleh kurva y = 4x2 + 5,

sumbu-x , dan ordinat- ordinat di x= 1 dan x= 3, di putar mengelilingi sumbu y.

7. Selesaikan persamaan diferensial dari:

a.dydx

−5 x2+7 x−2

b. xy dydx = 3 x2+2

2 y−1

c.dydx

=( y−2 )(x+3)

d. dydx = 2+ y

5−x

42


Didit Budi Nugroho. Kalkulus Integral dan Aplikasinya.Graha Ilmu.Cetakan Pertama. Yogyakarta 2012.

K.A. Stroud.,Dexter J. Booth. Matematika Teknik Jilid 1 Edisi Kelima. Penerbit Erlangga. Jakarta 2001.

K.A. Stroud.,Dexter J. Booth. Matematika Teknik Jilid 2 Edisi Kelima. Penerbit Erlangga. Jakarta 2001

Nazrul Effendi,. Vani Sugiyono. Matematika Teknik 1. PT. Buku Seru. Cetakan Pertama. Jakarta 2013

Purcell J. Edwin and Dale Verberg. Kalkulus Dan Geometri Analitik. Jilid 1 Penerbit Erlangga. Jakarta 1995

43

DAFTAR PUSTAKA

mesin.polimdo.ac.idmesin.polimdo.ac.id/wp-content/uploads/2019/04/modul... · web viewmatematika...

Documents