mesures sur des ensembles haute … · abaque de smith (2) a) sur couplé β>1 b) sous couplé...
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G.Bienvenu Laboratoire de l’Accélerateur Liné[email protected] IN2P3-CNRS & Université Paris Sud
UMR 8607
MESURES SUR DES ENSEMBLES HAUTE FREQUENCE
Pour structures accélératrices
Ecole IN2P3 des AccélérateursCentre de l’AgelondeLa Londe les Maures Nov. 2007
MESURERMESURER
MesurerMesurer uneune grandeur physique, grandeur physique, c’estc’est la comparela comparerrdirectementdirectement ouou indirectementindirectement àà un un éétalontalon..
Ω×= kXMesurer nécessite la mise en oeuvre d’un protocole de mesure
Valeur mesurée = scalaire x unité
MESURERMESURER
MesurerMesurer uneune grandeur physique, grandeur physique, c’estc’est donnerdonner l l intervaleintervalequi qui contientcontient la la valeurvaleur numnuméériquerique de la grandeurde la grandeur
XXX +− <<
Mesurer nécessite la mise en oeuvre d’un calcul d’erreurs
PROTOCOLE• i) Décrit la méthode de mesure• ii) Liste les instruments de mesure• iii) Liste les corrections
a) Corrections d’étalonnage : Facteur d’échelle, table d’étalonnage, corrections d’utilisation
b) Corrections d’ambiancec) Correction des grandeurs d’influence
Budget des incertitudes :a) Estimation (au sens statistique) de la dispertion des résultatsb) Appréciation (suggestive) des incertitudesc) Calcul de l’incertitude composée
Calcul classique des erreurs
XXXXX Δ+<<Δ− ''
XXX Δ±= '
La valeur <vraie> de l’erreur n’est pas accesible, mais il estpossible d’evaluer sa limite supérieure
Et par abus de notation :
∑∂=Δ X iXAvec par exemple :
Calcul statistique
Incertitude statistique : On fait l’hypothèse qu’un grand nombre de mesures (n>30) xi de la grandeur X (effectuées dansles mèmes conditions) se répartissent suivant une
loi normale ou loi de Gauss
( )∑ −
∑
+=
=
i
i i
xx
x
in22
11
: (variance) courbe la deEtalement n1x: centraleValeur
σ
Interval d’incertitude
On choisit arbitrairement la probabilité p pour qu’une mesure xi ne soit pas éloignée de plus de kσ de la valeur centrale.
Généralement, on prend p = 0,05 k = 2
Autrement dit la valeur est “vraie” à 95%Plus strictement enoncé : sur un grand nombre de mesures 95% de celles-ci seront comprises dansl’intervalle : σσ xx
xXx 22 +<<−
Attention : Les pays Anglo-Saxon définissentparfois un intervalle à 1σ
Composition des incertitudesGrandeurs X et Y
independantes Calcul classique Calcul statistique
Z = YX ± YXZ Δ+Δ=Δ YXZ 22 Δ+Δ=Δ
kXZ = XkZ Δ=Δ XkZ Δ=Δ
YXZYXZ
/=×=
YY
XX
ZZ Δ
+Δ
=Δ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Δ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Δ
+=Δ
YY
XX
ZZ
22
X nZ = XXn Δ
XXn Δ
( )YXf , Y
yfX
xff Δ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+Δ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
=Δ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Δ
∂∂
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Δ
∂∂
+=Δ YYfX
Xf
f
22
n mesures
n
kX xσ=Δ
MESURESMESURES
-- FrFrééquencequence-- FacteurFacteur de de qualitqualitéé-- R.O.SR.O.S-- AttAttéénuationnuation-- PuissancePuissance-- Champ et phaseChamp et phase
MESURESMESURES
UneUne mesuremesure estest toujourstoujours intrusive.intrusive.
La La valeurvaleur numnuméériquerique de la grandeur de la grandeur mesurmesurééee estest cellecelle dudu dispositifdispositif soussous test test perturbperturbéé par le par le dispositifdispositif de de mesuremesure
Dipôle
Un élément HF du point de vue électrique et donc des mesures, peut etre traité comme un dipôle s’il comporte un port d’acces(configuration minimum) ou un 2x N pôles si le nombre de port est N.
Puissanceincidente
P. rayonnée
P. réfléchie Energie E. M.stockée
Pertes joules
Paramétres S
On considére un signal HF traversant un dispostif passif.Le vecteur d’entrée au plan 1 est : (r1, e1) r et e étant respectivementles amplitudes complexes des ondes réfléchies et incidentes. Au plan 2 (r2,e2). En utilisant le formalisme matriciel, il vient :
ee
ss
ss
rr
2
1
22
12
21
11
2
1 ×=
Sij est le coefficient de transmission en amplitude et phase du plan j au plan iSii est le coefficient de réflexion sur i de l’onde entrant en iSi le dipole est passif : S12 = S12, passif sans perte S12 = S12 = 0Si le dipole est réciproque S11 = S22
Matrice dedispersion
Analyseur de réseauscalaire ou vectoriel
L’analyseur est l’outil de base des mesures hyperfréquences
IT
IR SS r
r
r
r
== 2111
inc APP. trans
Separation des signaux
détection
traitement visualisation
Mesure de la fréquence de résonance
L’équation différentielle d’un oscillateur forcé s’écrit :
( )
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Δ++
=
Δ=−=
=
=++
ωω
ωωω
ω
ωω
ωαα
ωα
QEE
dtd
dtd
s
tjCEEE
2112
*
222
22
2
1
:ion normalisatet 2 : avec
Qn attenuatiod't coefficien leest
exp
Modélisation d’une (ou de) cavité(s) résonante(s)
Mesure de la fréquence de résonance
Le dispositif de mesure de la fréquence de résonance d’une cavité HF (au sens large) se ramène au schèma de la fig.1 en transmission, ou a ces deux premiers circuits en absortion
Fig.1
Fig.2
Le disposif reél peut être bien plus compliqué pour tenir compte des contraintes de mesure (grandeurs d’influences. Fig2
Mesure de la fréquence
i) Au maximum de la courbe de résonance en transmission ouau minimum en absortion :
( Incertitude à faible Q, penser au moyennage)ii) Aux fréquences quadratiques (1/2 puissance)
f = (f1 + f2)/2(incertitude minimum sur la mesure de f1,2la pente de P = g(ω) est maximum)
iii) Relevé de la courbe de résonance point par point, lissagepar rapport à la courbe thèorique , calcul de f
(en cas de signal très bruité)
Mesure de la fréquence dans le casd’un résonateur à surtension très élevée
Le facteur de qualité du résonateur peut être plus grand quecelui de la source HF. Cas des cavités supra-conductrices oùQ>10E9
Solution :Exciter la cavité par un oscillateur en auto-oscillation ou verrouillé en phase (PLL)L’incertitude de mesure est réduite à celle dufréquencemétre
Le résonateur est relié au monde exterieur, une partie de l’E.M. s’échappe. On ne mesure pas Q0 , mais le facteur de qualité en charge Qc
Le facteur de surtension Q est défini comme le rapport de l’énergieE.M. à celui de l’énergie dissipée par pulsation w :Ce rapport est sans dimension, mais pas les grandeurs qui permettentde calculer Q
Mesure du facteur de surtensionen transmission (1)
∫
∫==
dS
dV
HRH
PWQ
s
V
j
s2
2
0
2
2μ
ωω
Connaisant β, on peut calculer Q0( )β ccQQ += 10
exc
0=β
Mesure du facteur de surtensionen transmission (2)
La procédure de mesure découle directement de l’expressionréduite de la puissance en fonction de la fréquence.
ωωω
ω
21
2 2
21
1
21121
Δ=⇒
+
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Δ+
On mesure les valeurs des fréquences quadrantales (f à -3dB), soit directement si on utilise un analyseur, soit en réduisant de 3 dB l’atténuation du détecteur.
Attention cette procédure n’est pas applicable en absorbtion
Mesure du facteur de surtensiondans le cas de très fort Q
La mèthode précédente se résume à la mesure des fréquences de résonance et quadrantales, elle est inopérante si Q est très élevé. )Qc est obtenu par la mesure de la décroissance de l’énergiestockée en fonction du temps
( )2ln2
1tQcω=
43210
1
0.75
0.5
0.25
0
us
Pr/Pi
us
Pr/Pi
A la puissance moitié :
Mesure du R.O.SParamètre S11
Le rapport d’onde stationnaire R.O.S est très facilement obtenu en utilisant un analyseur scalair ou vectoriel
VV
i
ravec11
=ΓΓ−Γ+
=sLe R.O.S a pour expression :
S11 étant exprimé en dB : 10 2011S−
=Γ
Mesure du R.O.SDétermination du couplage
Le couplage d’une structure HF avec le monde exterieur est défini par :
1010
1010
10
10
10
10
11
11
11
11
1
1et
1
1
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −
+
−
+=
−
+=
S
S
S
S
ββ
Le coefficient de couplage a pour expression :
dissipee Puissanceincidente Puissance=β c
Avec :
S11 étant exprimé en dB
La levée de l’incertitude sur les signes s’obtient en tracantl’abaque de SMITH
Γ= 2
PP
i
r
Détermination du couplageabaque de Smith (1)
L’abaque de Smith est une représentation graphique du vecteurréduit de réflexion Γ.
( ) ( )( ) ( )
ΓΓ
Γ
−+
=
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ×==Γ
==
+=−=
0
00
0
11
0pour22exp
2expexp
expexp
Z
αλπ
λπβγω
βαγγω
lj
ltjb
jltja
VV
VV
i
r
r
i
Γ=0β=1
Détermination du couplageabaque de Smith (2)
a) Sur couplé β >1b) Sous couplé β < 1c) Couplage critique β = 1
Atténuationi) Analyseur : Paramétre S21 ou S12
ii) Méthode de subtitution
ii) Utilisation d’un atténuateur variable de précision :
ou détecteur
sourcestable
PuissancePour mesurer une puissance HF, on a le plus souvent recoursà une chaîne d’atténuation (coupleurs, atténuateurs, filtre de bande,câble(s) de liaison
P = ApA est le <bras de levier> de l’atténuation, p la puissance mesurée
10∑+= aiASi ai est l’atténuation de l’élément i exprimé en dB
Budget des incertitudes difficile ! Penser à une méthodede subtitution ou à l’introduction d’un atténuateurvariable
En régime pulsé, introduire le facteur de forme, si l’on ne dispose pas d’un μwattmétre de crête
Puissance: Méth. calorimètrique
tCqP Δ××=
KkgJkC 11
24 , −−=
Th. froid
Th. chaud
débimètre
Mesure des températures : Très bonne précisionMesure du débit : précision médiocreLimiter les échanges thermiques avec l’extérieurAdaptation : peut varier avec T Mesure <tout>Indépendant de la forme de l’impulsion -> facteur de forme
Mesure des champs E.M. par la méthode de perturbation (1)
WW
PdP
WW
PW
em
em
j
j
em
em
j
em
d
ddQdQQ
−=
−+==
ωω
ωωω
d
: hypotheses nos avec
La méthode de perturbation permet de mesurer l’amplitude relative et la phase du champ électrique et/ou magnétique d’une structure H F
Théorème de Boltzmann-Ehrenfest :Si l’état d’un système oscillant est changé adiabatiquement, le produit de la période par la moyenne temporelle de l’énergie stockée est constant.
Autre façon de voir :
WWCW em
emte
em
dd44
1−=⇒=
ωωω
Méthode de perturbation (2)énergie stockée (rappel)
HWEW rmre
2
0
2
0 21
21 μμεε ===
Dans un résonateur E.M :Energie électrique stockée = énergie magnétique stockée
Constantes réparties
ILWUCW me
22
21
21
===
Méthode de perturbation (3)objet perturbant
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
−−+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+−
−=Δ
WHEr
em
10202
2
01
012
01
013 μμμμμ
εεεεεπ
ωω
La perturbation des champs est apportée par un petit objet qui peutêtre soit diélectrique, soit conducteur (on n’envisage pas le casd’objets magnétiques
Exemple d’objet : la sphère
( formule de Bethe et Schwinger )
Sphére diélectrique :
Sphére conductrice : 011 =∞= με
μμ 01= Exploration électrique
Exploration électriqueet magnétique
Méthode de perturbation (4)dispositif experimental
Méthode de perturbation (5)mesures
Ondes stationnaires :Mesure en oscillations libres
Ekff 2=
Δ=
Δωω
Méthode de perturbation (6)mesures
Onde progressive:Mesure en transmission
( )[ ]
EEk
VV
k
dv
abab
abab
abjajb
zzajbz
i
r
20
2
0
'
0
0 si
/21petit/
/4/
2/
11/1
=Γ⇒=
∫−=−=ΔΓ
Δ≈ΔΓ⇒
+=Γ
+=Γ
+−
==Γ+=
ΓΓΓ ε
Méthode de perturbation (7)phase et atténuation
( )
( )
( )
( )
EPEA
EPEA
ePeEA
ePeEA
zz
z
zz
z
z
zz
z
z
zz
z
kk
kk
k
k
2
0
2
2112
2
0
22112
2
0
20
2
0
20
: reciproque
: reciproque structure
structure12
2112
12
2112
==
===
=
=
=
−
+−
−
+−
αα
ααα
αα
α
αα
( ) ϕφϕϕzr
j
zi
r eEVV zk 20
22 =⇒= −
rPhase :
Attenuation (O.P.)
En O.P. :( )eE z
jk ϕ22=Γ
Méthode de perturbation (8)exemple champ E / phase
Méthode de perturbation (9) exemple O.S.
Méthode de perturbation (10)exemple O.P.
Corrections Corrections d’ambianced’ambiance
a) Correction de permittivité(pression , humidité)
b) Correction de température
Permittivité (1)
Cff te
rp
×⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
ε1
0
Ω=
11με
f
La fréquence de résonance d’une cavité peut se mettre sous la forme
Ω dépend uniquement du mode et des dimensions du résonateur
Au premier ordre :
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Δ−= ε rp ff 2
110
Permittivité (2)
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=−
TBA
Tpvap
vapr 11,ε
Vapeur d’eau, molécule dipôlaire -> loi de Debye
A: contribution de la pôlarisationB: monent électrique dépend de la fréquencePvap: pression partielle de la vapeur d’eau
Air sec, valeur de (εr-1):
( ) ∑=− cp
ii
airr T1
sec,ε
Permittivité (3)
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++=− ∑ T
BT pcp vapiir 111ε
Constante diélectrique de l’air :
Formule de Strickland :
( )⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡+=− ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ + p
Tp vapairr T
5580118021011ε
Applicable en bande S
Permittivité (4)
( ) fff videvideairvide 1033,0105,66621 36 −−
→ −≈×−=Δ
Passage VIDE -> AIR :
En bande S (3 GHz) : -1 MHz Experimentale : -932 +/- 50 kHz
Δf Unit. Δ Unit
Pres.atm -1 kHz Pa-760 Torr
Hum. relat -3 kHz Hr-60 %
Fréquence en fonctionde la température
ΩΩ
−=d
fdf
La fréquence de résonance d’une cavité en fonction de la température dépent uniquement du terme Ω
A mode donné, Ω est uniquement fonction des dimensions du résonateur
Principe d’homothétie : Si l’on multiplie par h toutes les dimensions d’un résonateur, sa fréquence propre est divisée par h
Température (1)
( )TllTΔ+= ν1
0
Pour une variation de température ΔT =T-T0, les dimensions l d’une cavité construite dans un matériau homogéne prennent pour valeurs :
ι est le coefficient de dilatation linéïque, ce qui conduit à :
( )Tff TΔ−= ν1
0
Température (3)exemple
( )( ) MHz5,030201067,155,2998 5 −=−××= −Δf
Résonateur en cuivre 3 GHz, passage de 20 ºC à 30 ºC :
Pour le cuivre (au tour de 20 ºC) υ = 1,67 E-5
D’ou la fréquence corrigée
MHz5,0 enff mesurecorrige−=
16,3 kHz /GHz/ ºC