벡터의 정의

Metal Forming CAE Lab.

Department of Mechanical Engineering

Gyeongsang National University, Korea

Metal Forming CAE Lab., Gyeongsang National University

벡터의 정의

스칼라량과 실수(또는 수): 크기만 있고 방향성이 없는 물리량을 스칼라량(scalar

quantity)이라고 하고, 스칼라량은 실수(real number)로 표현됨

벡터량과 벡터: 물리량(physical quantity)으로서 크기와 방향성을 갖는 양(quantity)을

벡터량(vector quantity)이라고 하고, 이를 수학적으로 표현한 것을 벡터(vector)라고 함

벡터의 표현

벡터 자체:

벡터 크기:

<벡터의 정의와 기하학적 표현>

, ,a x ABa, x,

, ,a aa

필수적 요소(수학적 요구조건)

작용점: B

작용선: 점 A와 B를 지나는 직선

벡터의 구성 요소

선택적 요소

크기: 점 A와 B 사이의 거리

방향: 점 A에서 점 B로 향하는 화살표의 방향

a

x

y

z

벡터량의 예: 힘, 변위,

속도, 가속도, 열유동,

운동량, 모멘트 등

스칼라량의 예: 일,

일률, 온도, 질량 등 A

B

AB

벡터의 종류

한정벡터(bound vector): 필수적 요소 + 작용점

미끄럼벡터(sliding vector): 필수적 요소 + 작용선

자유벡터(free vector): 필수적 요소(크기와 방향)

(c) free vector

<벡터의 종류>

(a) sliding vector

statics elasticity rigid-body translation

Unknowns : RA, RB

(b) bound vector

Unknowns : deformation, etc. Unknowns : displacement, etc.

BR

AR

P

F

u

u

P

3,a az

1,x x

2,y x1,xa a

2,ya a1

0

벡터의 표현

수학적 표현: 성분으로 표시하기

<직각좌표계에서 벡터의 성분>

행벡터:

열벡터:

x ya a

2 2

x ya a a

1cosa

xa

3

, , a x y za a a

, ,

T

a

x

y x y z

z

a

a a a a

a

2차원 평면

3차원 공간

행벡터: 또는

열벡터:

, a x ya a

,

T

ax

x y

y

aa a

a

(a) 2차원

(b) 3차원

성분으로 표시하면, 크기와 방향, 즉 벡터의

필수적 요건(수학적 요건)을 표현할 수 있음

1cos ii

a

a

2 2 2

x y za a a a

2

기계공학에서 아무 언급

없으면 열벡터를 의미함 3,z x

1,x x

1,y y

1,xa a

2,ya a

0

a

a

벡터 관련 용어 정리

방향여현(directional cosine) :

단위벡터 : 크기가 1인 벡터

단위기초벡터(unit basis vector) :

1 2 3cos , cos , cos T

( 0) a

u aa

<좌표계와 단위기초벡터>

벡터 a의 크기(magnitude) :

벡터의 방향(direction) :

2 2 2 2 2 2

1 2 3 a x y za a a a a a또는

1cos ( 1, 2, 3)a

ii

ai

또는 1u

3,z x

2,y x

1,x x

, 1ei

, 3ek

, 2ej 1, 0, 0

T

1i = ei

0, 1, 0 T

2j = ej

0, 0, 1k T

3k = e

벡터의 연산

벡터의 덧셈

벡터와 스칼라의 곱셈

벡터의 덧셈과 벡터-스칼라의 곱셈의 성질

1 1 2 2 3 3[ , , ]Ta b a b a b a b

1 2 3[ , , ]Ta a a a

( ) ( )

( 0 0 0 )

-

(

)

( )

T

a b b a

a b c a b c

0 + a = a 0=

a + ( a)= 0

a + b ) = a + b

( + a = a + a

a)=( a

1a = a

벡터 의 크기, 놂(norm) :

(

1

2a a a)

a a

a b a b

a+b a b

a a

b

b

a

2a

a

b a b

a b

<벡터의 덧셈, 벡터와 스칼라의 곱셈>

평행사변형 법칙

a

b

단위기초벡터를 활용한 벡터의 수학적 표현

, ,x y z x y za a a a a a T

a = = i j k

벡터와 스칼라곱, 벡터의 덧셈으로부터

벡터의 연산(덧셈, 뺄셈, 내적, 벡터적, 백터와 스칼라의

곱셈 등) 시, 단위기초벡터로 표현하는것이 원칙

, , T

a = x y za a a

, , T

b = x y zb b b

) ( ) ( )a + b = ( i j kx x y y z za b a b a b

za

x

o

z

xa

ya

y

kza

ixa

jya

i + jx ya a

ij

k

a

a

b

벡터의 연산

벡터의 내적 (inner product, dot product, scalar product)

<벡터의 내적>

내적의 기하학적 의미

cos

0

a b a b

a b 이면 두 벡터는 직교함

내적의 성질

(

( )

0

0 implies

a b b a

a b c) a b a c

( a ) b a b

a a

a a a = 0

0

1

i j = j k = k i =

i i = j j = k k =

기타

13

1 1 2 2 3 3 1 2 3 2

1

3

, ,Ta b = a b=

i i

i

b

a b a b a b a b a a a b

b

크기 : 두 백터 가 이루는 평행사변형의 면적

벡터의 연산

벡터적 (vector product, cross product)

벡터적의 성질

<벡터적의 정의>

sin (0 ) c = a b

i j k, j k i, k i j

i i = j j = k k = 0

,a b

1 2 3 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

1 2 3

( ) ( ) ( )a a a a b a b a b a b a b a b

b b b

i j k

c = a b = i j k

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

//

a b b a

a b c a b a c

a b c a c b a b c

a b c a b c a b c

a b 0 a b

a

크기 :

기타

c = a bsinbb

a

a

벡터적의 기하학적 의미

방향 : 벡터 에 수직하면서 가 오른손법칙을 따름 , ,a b c,a b

<오른손법칙>

a

b

c

예제

벡터 와 에 대한 다음 물음에 답하라 T

2, 5, 3a T

6, 2, 1b

T

a) 2 14, 1, 1a b

b) 2a ba) 2a b c) a b d) b a e) a b 벡터 와 의사이각

T

b) 2 2, 12, 7a b

c) 2 6 ( 5) 2 3 ( 1) 1a b d) 6 2 2 ( 5) ( 1) 3 1b a

2 2 2 2 2 2

1

e) a b cos 2 5 3 6 2 1 cos 1558 cos

1 cos ( 1/ 1588) 91.45

a b

a b = .

문제 c)로부터 이므로 이다

f ) a b g) b a h) b a = a b

f ) (2 5 3 ) (6 2 ) 4 2 30 5 18 6 20 34i j k i j k k j k i j i i j k a b

g) (6 2 ) (2 5 3 ) 30 18 4 6 2 5 20 34i j k i j k k j k i j i i j k b a

h) a) b) b a = a b . 문제 와 로부터 이다

☞

n 차원으로의 벡터의 확장

Rk 유클리디안 벡터장

벡터의 차원 : 2(3)차원 평면에서 벡터량은 2(3)차원 벡터

k-차원 벡터 : 성분이 k개인 벡터

Rk : k-차원 유클리디안 벡터, k-차원 유한차원 실수벡터장

1

T 2

1 2

T

1 2 i

T

1 1 2 2

T

1 2

1

2

1

1

2

| , , , ; a 's are real

, , ,

, , ,

( )

( )

a

a a

a b

a

a b

a a a

k

k

k

k

k k

n

k

l

a

aa a a

a

R a a a

a b a b a b

a a a

a b

선형종속과 선형독립

선형조합 (linear combination)

1 1 2 2

1

n

i i n n

i

c c c c

a a a a

모든 가 0일 때만 선형조합이 0이 되는 경우, 벡터 는 선형독립이라고 함 ic a i

선형독립 (linearly independent)

어떤 가 0이 아닌데도 선형조합이 0이 되는 경우, 벡터 는 선형종속이라고 함 ic a i

선형종속 (linearly dependent)

예제

좌표계와 좌표

좌표

직교좌표계(orthogonal coordinate system)

직각좌표계(rectangular coordinate system)

원통좌표계(cylindrical coordinate system)

구좌표계(sphere coordinate system)

<좌표계와 좌표>

a) 직각좌표계 b) 원통좌표계 c) 구좌표계

<주요 직교좌표계>

x

cos

sin

x r

y r

z z

y

z z

x

y

θ r

z

y

z

x

θr

어떤 점의 위치를 기준좌표계에 대한 상대적 위치로 표현한 것

벡터량임

기준좌표계와 지방(국부)좌표계

sin cos

sin sin

cos

x r

y r

z r

local coordinate

system

reference coordinate system

3,z x

1,x x

i

i

i

2,y x

행렬의 정의

행렬 : m n

11 12 1

21 22 2

1 2

[ ]A

n

nij

m m mn

a a aa a a

a

a a a

용어 정의 :

행벡터(row vector) : 행렬

정방행렬(square matrix) : 행렬

열벡터(column vector) : 행렬

1 n

1m

n n

대각항(diagonal term) : 정방행렬에서

비대각항(off-diagonal term) :

n n ( 1,2, , )iia i n

( )ija i j

대각행렬(diagonal matrix) 단위행렬(unit matrix) 영행렬(zero matrix)

11

22

0 00 0

0 0 nn

aa

a

D

1 0 00 1 0

[ ]

0 0 1

ij

I

0 0 00 0 0

0 0 0

0

하삼각행렬(lower triangular matrix)

상삼각행렬(upper triangular matrix)

11

21 22

2 2

0 00

L

n n nn

aa a

a a a

11 12 1

22 20U

0 0

n

n

nn

a a aa a

a

행렬: 수의 규칙적인 배열

Kroneckerdelta

행렬의 정의

부분행렬(submatrix) : 원래의 행렬에서 일부의 행과 열을 제거한 행렬

주부분행렬(principal submatrix) : 정방행렬에서 동일번호의 행과 열을 동시에 제거하여

만든 부분행렬

전치행렬(transpose of a matrix), : 행렬 A의 (i,j)-요소 와 (j,i)-요소 의 자리를

바꾸어 만든 행렬

대칭행렬(symmetric matrix) :

의대칭행렬(skew-symmetric matrix) :

랭크 (rank) : 선형독립적인 행의 수(= 선형독립적인 열의 수)

특이행렬(singular matrix) : nⅹn 정방행렬에서 랭크가 n - 1 이하일 경우

TA ija jia

T , ij jia a A A

T , ij jia a A A

용어 정의(계속)

행렬과 벡터의 관계

mⅹn 행렬의 벡터 표현

1ⅹn 행벡터의 mⅹ1 열벡터

mⅹ1 열벡터의 nⅹ1 행벡터

11 12 11

21 22 2

2 1 2

1 2

, ,

a

A a b b b

a

Tn

n T

ij n

T

mm m mn

a a a

a a aa

a a a

11

22

ji

ji

i j

in mj

aa

aa

a a

a b

행렬의 덧셈 및 행렬과 스칼라 곱셈

행렬의 덧셈의 정의

성질

ij ij ijc a b C A B

행렬과 스칼라 곱셈의 정의

ij ijc a C A

( ) ( )

)

( )

( )

( ) ( ) 1

( ) (T T T T T

A + B B + A

A + B + C A B + C

A + 0 = A A + ( A 0

A + B A B

A A A

A A A A

A B A B A) A

일반적으로 이 반드시 와 를 의미하는 것이 아님

가 만족될 때, 행렬의 요소 가 정의됨

C = A B : 행렬 와 행렬 의 곱

행렬의 곱셈

행렬의 곱셈의 정의

m p q n[ ]ijaA [ ]ijbB

p q l ijc

1

Ta b a b

l

ij ik kj i j i jk

c a b

행렬의 곱의 성질

( ( ) ( )

(

(

)

(

T T T

A )B AB A B

A(BC) AB )C

A B )C AC BC

A(B C AB AC

AB ) B A

AB BA , AB 0이고 A 0 B 0

, ,I A A AI A Ix x

예제: 다음의 행렬을 이용하여 가 성립함을 보여라.

☞ 이므로 이고, 1 0 228 7 3

T(AB)

1 80 722 3

AB

1 2 4 5 22 5 3 , 2 14 1 3 0 2

A B

1 2 4

5 2 0 1 0 222 5 1

2 1 2 8 7 34 3 3

T TB A

이다. 따라서 T T T

(AB) B A

T T T(AB) =B A

이다.

1

2

1 2 3 3

j

j

ij i i i il j

l j

b

b

i c i a a a a b

b

j

j

m n행렬 m l행렬 l n 행렬

행렬의 변환기능과 응용

행렬의 역할 :

수학적 오퍼레이터(operator)

전달함수(transfer function) 및 변환(transformation)의 역할

<행렬의 역할>

<좌표변환>

벡터량의 좌표변환 법칙 :

cos sin

sin cos

i i

j j

1 , 01 2 1 2

t t t t

2, ]1

T=[t t변환행렬

Ax = y

직교단위행렬(orthonormal matrix)

T

cos , sin1

t T

sin , cos2

t

1 TT T

x yTransformation

A

Mapping

x ' x y '

y ' y x '

cos sin

cos sin

F F F

F F F

x x '

y y '

cos sin

sin cos

F F

F F

O ixF x

'xF

'yF

yF

'yF

'ij

'j

y

'x

'y

cos sin

sin cos

x' x

y' y

F F

F F

cos sin

sin cosT

F

역학문제에서의 행렬

변위-하중 관계식

AF=U1 1

1 2 2 1

x

y

L Q u

AE P u

2 2 1 1

2 2 1 1

x

y

AE u Q

u PL

KU=F

0

0

0

yxxx zxx

xy yy zy

y

yzxz zzz

fx y z

fx y z

fx y z

변위-하중 관계식

2= , ( ) =0KU F K M U

강성행렬

변위벡터

하중벡터

유한요소보간 미분방정식의 근사해법

L

AE

L

AE

, xQ u

, yP u

행렬의 변환기능과 응용

행렬의 판별치 (determinant)

2×2 행렬의 판별치 :

11 1211 22 12 21

21 22

det A a a

D a a a aa a

3×3 행렬의 판별치 :

11 12 1322 23 21 23 21 22

21 22 23 11 12 1331 3232 33 31 33

31 32 33

det A a a a

a a a a a aD a a a a a a

a aa a a aa a a

11 12 1 22 23 2 21 23 2

21 22 2 32 33 3 31 33 311 12

1 2 2 3 1 3

1 1

det

( 1, 2, , ), ( 1) ( :

( 1)

A

n n n

n n n

n n nn n n nn n n nn

n ni j

ji ji ij ij ij ij iji i

i j

j

a a a a a a a a aa a a a a a a a a

D a a

a a a a a a a a a

D a C a C j n C M C

D a

1 1

( 1)n n

i j

i ji ij iji i

M a M

여인자(cofactor))

: 마이너(minor), i-행과 j-열을 소거하여 얻은 (n-1)×(n-1) 부분행렬의 판별치 ijM

n×n 행렬의 판별치 :

11 11 12 12

11 11 12 12

M M

C C

a a

a a

행렬의 판별치

판별치의 일반적 성질

TA A

AB = BA = A B

①

②

③ 행렬의 한 행 또는 한 열에 상수 c를 곱하여 만든 행렬의 판별치는 본래 행렬의 판별치의

c 배임

④ 어떤 행렬의 임의의 두 행 (또는 두 열)을 교환하여 만든 새로운 행렬의 판별치는 본래

행렬의 판별치의 부(negative)의 값을 가짐

⑤ 어떤 행렬의 한 행(또는 하나의 열)에 다른 행(또는 열)의 상수배를 더하여 만든 새로운

행렬의 판별치는 본래 행렬의 판별치와 동일함

⑥ 행(또는 열)벡터가 선형종속이면 판별치는 0임

11 12 1322 23 12 13 12 13

21 22 23 11 21 3132 33 32 33 22 23

31 32 33

det Aa a a

a a a a a aD a a a a a a

a a a a a aa a a

예제

11 12 13

21 22 23

31 32 33

det det A Aa a a

D ca ca ca ca a a

11 12 13

31 32 33

21 22 23

det det A Aa a a

D a a aa a a

①

② ③

행렬 의 어조인트(adjoint)

역행렬

n×n 행렬 A의 역행렬: 1 1 1

1 1 1 1 1

( )

( )

AB B A

ABCD D C B A

일 때, 행렬 를 직교행렬(orthogonal matrix)이라고 함

일 때, 행렬 를 직교단위행렬(orthonormal)이라고 함.

변환행렬은 직교단위행렬임. 즉, 임. 따라서 임

1 1 1 1, ,

Ax b

A Ax A b Ix A b x A b

*1 1[ ] [ ]

det det -1 T

AA A

ij ijC A

-1 -1AA I A A I 또는

*

11 21 1

* 12 22 2

1 2

[ ] [ ] :

[ ]

TAij ij

n

nij

n n nn

A C

C C CC C C

A

C C C

행렬의 곱의 역행렬

선형연립방정식

T , i j ij AA I a a

T TT I

-1AA D

직교단위행렬과 변환행렬

-1 TT T

-1 TA A

※ 참고사항: Kronecker delta 1

0ij

if i j

if i j

A

A

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I

ij

-1A

선형방정식과 해법

선형방정식

직접법

Gauss-Jordan 소거법

LU 분해법 (또는 Cholesky 분해법)

띠형행렬법(banded matrix)

스카이라인법(skyline method)

저밀도행렬기법(sparse matrix techique)

전선해법(frontal solution method)

반복법

행렬직교방향법(conjugate direction method)

Ax = b

선형방정식의 해법

상사변환

와 의 고유치는 동일

고유벡터의 관계 : ( : 행렬 의 고유 벡터, : 의 고유벡터)

상사변환(similarity transformation)의 정의

1x = R x x A

A A

x A

TA RAR

상사변환의 성질

상사변환의 응용

' ' ' '

' '

i j i p j q pq

i p pq j q

T T

T T

' ' ' ' i p i p pq j qT T

행렬 의 랭크가 n보다 작기 위한 조건 또는 행렬 가 특이행렬이 될 조건

차의 비선형방정식

행렬 가 대칭이면, n 개의 실근 존재

고유치 문제

제차선형연립방정식(homogeneous linear equation) :

0A I

Ax = 0

: 무의미해(trivial solution)

IF : A = 0

고유치 문제 : Ax = x ( A I )x = 0 또는

행렬 의 행벡터 또는 열벡터는 선형종속이어야 함

: 고유치(eigenvalue) 또는 특성치(charactoeristic vector)

: 고유벡터(eigenvector) 또는 특성벡터(characteristic vector)

n n ( A I )

x

특성방정식(characteristic equation) :

n n A I

n

n n A

고유벡터의 직교성 : ( ) ( )

x x = 0i j

(i) (i) ( ) ( ) ( ) ( ),Ax x A x x i j j j

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( T

( ) Tx ( A A )x )x x

j i i j i j

A I

x = 0

0x

1 2

0A x

n

i

i

, , ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), T T T T T

x Ax x x x Ax x xj j ii i i j j i j

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )If 0, ( 0 0 T A A )x x x x

i j i j i j