meteorology - e.r. rozendorn
TRANSCRIPT
Предисловие к версии 1.0
Одноименный спецкурс читается на мехмате МГУ. Спецкурс годовой,здесь представлена первая его часть. Данный конспект есть просто–напросто электронная версия тетрадки, куда я делал записи по этой темев 2003–2004 учебном году. Авторская разбивка на главы и параграфысохранена, равно как термины и обозначения, введенные автором.
Те книги, что указаны в Списке литературы, ни к чему не обязывают:лектор о них не говорил, просто к ним обращался я сам, когда возникаливопросы, а обращался скорее всего по причине того, что они были подрукой.
В Приложении помещены экзаменационные вопросы по данному кур-су, предлагавшиеся, опять же, в 2003–2004 учебном году.
Даже если я и найду нужные слова, их все равно будет мало, чтобывыразить благодарность лектору — Эмилю Ренольдовичу Розендорну —за столь интересный курс. Это правда.
Буду рад критике и пожеланиям. Пишите на [email protected].
Пригодится для следующей версии.
Зеленоград,сентябрь 2004
1
Предисловие к версии 2.0
Две части, не претерпев изменений, объединились в один файл. Это,пожалуй, единственное отличие. Нумерация глав, рисунков и уравненийнезависимая для каждой части. Общий у них только список литературы.
В конспекте версии 2.1 исправлены некоторые стилистические и гра-фические неточности.
Зеленоград,май 2006
2
Введение
О прогнозе погоды
Прогнозы на срок до трех суток принято считать краткосрочными,до десяти суток — среднесрочными. Своеобразным пределом предсказа-ния здесь является срок в три недели. Такие факторы как перемешива-ние траекторий воздушных частиц и турбулентность трудно поддаютсяпрогнозированию, хотя их влияние в течение месяца может быть оченьвелико. Однако в некоторых случаях прогноз на более длительный пе-риод, выявляющий определенные отклонения от нормы по температуреи влажности, может оказаться весьма полезным. Это относится, напри-мер, к сельскому хозяйству.
Улучшение качества прогноза во второй половине XX века связано впервую очередь с использованием вычислительной техники, искусствен-ных спутников Земли, автоматизацией всего процесса сбора и обработкиинформации. Впрочем, любое целенаправленное наблюдение атмосфе-ры — с аэростата, ракетного зонда, самолета или с земли — может слу-жить источником метеорологических данных.
Нижняя атмосфера Земли в умеренных
широтах
На графике зависимости (см. рис. 1) температуры атмосферы Земливыделяется нижний слой до 2 км. Суточные колебания температуры уповерхности составляют 3–4 градуса для суши, и 1–2 градуса для моря.Фактически, этот слой — часть тропосферы, простирающейся до 10–11км в полярных и умеренных широтах и до 14–17 км в тропических. Втропосфере температура убывает приблизительно на 6 за каждый ки-
4
лометр высоты, достигая к тропопаузе в среднем −55C . Тот факт, что встратосфере начинается повышение температуры, объясняется присут-ствием озона, который поглощает ультрафиолетовое излучение Солнцаи, тем самым, создает теплый слой. Так, уровню стратопаузы соответ-ствует примерно нулевая температура. В термосфере ультрафиолетовоеизлучение поглощается молекулярным кислородом.
5
Глава 1
Вспомогательные сведения измеханики и физики
§ 1.1. Атмосферное давление
Сначала для простоты будем считать, что подстилающая поверхностьявляется плоскостью z = z∗. Пусть задана величина p∗ атмосферногодавления вблизи этой поверхности. Уравнение ρ = ρ(T, p), где ρ — плот-ность, в общем случае будет зависеть от конкретного вещества и егофазового состояния. Для атмосферного воздуха используем уравнениесостояния идеального газа
p = RρT . (1)
Здесь R = 8,31 Дж/(моль·К) — молярная газовая постоянная.Рассмотрим цилиндр с основанием площади S, лежащим в плоскости
z = z∗. Зафиксируем некоторый уровень z > z∗. Тогда на объем возду-ха, заключенный в цилиндре между уровнями z и z + ∆z, сонаправленнодействуют сила давления p(z + ∆z)S и вес S∆z〈ρg〉. Их уравновешива-ет действующая в противоположном направлении сила давления p(z)S.Следовательно,
p(z + ∆z)S + S∆z〈ρg〉 = p(z)S ,
откудаp(z + ∆z) − p(z)
∆z= −〈ρg〉 .
Через 〈ρg〉 обозначили усреднение переменной, вообще говоря, величины
7
по рассматриваемому объему. Переходя к пределу, получаем
∂p
∂z= −ρg . (2)
Предположим, что g = const. В этом случае из (1) и (2) вытекает
1
p
∂p
∂z= − g
R
1
T (z),
откуда
p(z) = p∗ exp
− g
R
z∫
z∗
ds
T (s)
.
Эта формула больше соответствует условиям холодного времени года,когда величина T на отрезке [z∗, z] меняется не столь значительно.
§ 1.2. Атмосферное давление. Продолжение
В общем случае подстилающая поверхность плоскостью не будет. Врассмотрение придется включить силы давления, действующие и на бо-ковую поверхность цилиндра.
§ 1.3. Вращающаяся система координат и
центробежная сила
Пусть неподвижная система координат OXY Z и подвижная Oxyzтаковы, что Z = z, и Oxyz вращается вокруг оси OZ в положитель-ном направлении с угловой скоростью ω. Рассмотрим произвольнуюточку w = x+ iy в плоскости Oxy. Ей будет соответствовать точкаW = X + iY в плоскости OXY , так что W = (cosωt+ i sinωt)w = eiωtw.Второй закон Ньютона запишется так:
~F = m~a = m
X
Y
Z
= m
(W
Z
)= m
(Wz
). (3)
Один и тот же вектор силы в каждой из двух систем коор-динат можно представить как ~F = FX , FY , FZ = FW , FZ и
8
~f = fx, fy, fz = fw, fz, где FZ = fz. Тогда, FW = eiωtfw, и (3)примет вид
eiωtfw = mWfz = mz .
Поскольку W = eiωtw, то W = (w + 2iωw − ω2w)eiωt, следовательно,
~f = m
(w −ω2w+ 2iωwz
),
откуда окончательно получаем
m
xyz
= ~f +mω2
(w0
)− 2imω
(w0
). (4)
Второе слагаемое в правой части (4) представляет центробежную силу.
§ 1.4. Сила Кориолиса
Распишем третье слагаемое:
−2imω
(w0
)= −2imω
xy0
= 2mω
y−x0
.
Последнее представим в виде векторного произведения
2m
xyz
×
00ω
,
которое и являет собой силу Кориолиса.
§ 1.5. Уравнение движения. Примитивная
система
Попробуем представить, как будет выглядеть основанное на второмзаконе Ньютона уравнение движения некоторой частицы вещества в ат-мосфере. Если m — масса, ~V — скорость частицы, то левая часть урав-
нения примет вид m~V . А какова будет его правая часть? Во–первых,
9
в нее войдет вес (сила тяготения и центробежная сила), во–вторых, си-ла Кориолиса, в–третьих, сила давления, наконец, сила сопротивлениявязкой среды, различные электромагнитные силы и т. д. В частности,учитывать электромагнитные силы необходимо при изучении моделейверхних слоев атмосферы. Сейчас ограничимся моделью для тропосфе-ры выше 1 км и стратосферы, причем, это будет невязкая модель безучета сил трения. Вес, кориолисова сила и сила давления соответствен-
но запишутся как −mg~n, 2m[~V ×~ω], −U−−−→grad p, где ~n — единичный вектор,
направленный против силы тяжести, ~ω — угловая скорость Земли, p —атмосферное давление, U — объем рассматриваемой частицы. С учетомсказанного получаем уравнение движения
~V = −g~n+ 2[~V × ~ω] − 1
ρ
−−−→grad p . (5)
Модель (5) пригодна для построения краткосрочного прогноза (до трехсуток включительно).
Следует сделать некоторые замечания относительно выбора непо-движной системы координат. Можно рассматривать инерциальные си-стемы отсчета — такие, для которых выполняются первый и второй за-коны Ньютона и которые движутся друг относительно друга равномернопрямолинейно. Если в качестве начала отсчета выбрать центр Солнца,а оси ориентировать по достаточно удаленным (мало прецессирующим)звездам, то полученная система координат будет инерциальной. Ее мож-но считать
”неподвижной“ системой координат.
Фактически, уравнение (5) является следствием закона сохраненияимпульса. Воспользовавшись законом сохранения массы, придем к урав-нению неразрывности; на основе закона сохранения энергии с привлече-нием некоторых эмпирических соотношений получим уравнение притокатепла; уравнение притока влаги получается из того же закона сохране-ния массы, но уже применительно к воде земной атмосферы. Наконец,есть уравнение состояния (1), которое можно исследовать с поправкамина учет влажности. Итак, расписав векторное уравнение (5) по трем ком-понентам, получим семь скалярных уравнений против семи скалярныхнеизвестных (~V , ρ, T , p и плюс к тому переменная, каким–то образомхарактеризующая влажность). Эта система носит название примитив-ной.
Предпринимались попытки решить подобную систему уравненийвручную (Великобритания, 1920–е). Решение, найденное в результате
10
длительного кропотливого труда многих вычислителей, никак не моглобыть признано удовлетворительным. Расхождение, как позже выясни-лось, было следствием вычислительной неустойчивости задачи.
§ 1.6. Локальные модели. Исходные
предпосылки
Пусть начало системы координат лежит на поверхности планеты, аорты выбраны следующим образом: ~n — ранее упоминавшийся вектор,действующий в направлении противоположном весу, ~τ2 направлен по ме-ридиану на север, ~τ1 — по параллели. Тройка ~τ1, ~τ2, ~n ориентированаположительно. Поскольку вектор ~ω лежит в координатной плоскости,справедливо ~ω = (ω cos θ)~τ2 + (ω sin θ)~n, где θ — угол от ~ω к ~τ2, ω = |~ω|.Обозначим l = 2ω sin θ (параметр Кориолиса) и l = 2ω cos θ.
Распишем входящие в уравнение (5) векторные величины по компо-нентам в полученной системе координат:
~V = u~τ1 + v~τ2 + w~n ,
−−−→grad p =
∂p
∂x~τ1 +
∂p
∂y~τ2 +
∂p
∂z~n ,
2[~V × ~ω] = (lv − lw)~τ1 + (−lu)~τ2 + (lu)~n .
Ускорение ~V будем рассматривать в той же жестко связанной с планетойсистеме координат:
~V = u~τ1 + v~τ2 + w~n .
В итоге из (5) получаем систему в координатной записи
u = lv − lw − 1
ρ
∂p
∂x
v = − lu − 1
ρ
∂p
∂y
w = − g + lu − 1
ρ
∂p
∂z.
(6)
В дальнейшем будем придерживаться допущений о том, что либоg, l, l постоянны (первая локальная модель), либо g = const, l = l(y),β(y) = l′(y) — параметр Россби (вторая локальная модель).
11
§ 1.7. Гидростатическое и квазистатическое
приближение
Для упрощения модели (6) используют гидростатическое и квазиста-тическое приближения. В гидростатическом приближении пренебрега-ют малыми в некоторых ситуациях величинами w и lu в третьем урав-нении системы (6) — оно тем самым превращается в уравнение (2). В
квазистатическом приближении отбрасывают не только w и lu, но иlw, в результате чего (6) преобразуется в
u = −1
ρ
∂p
∂x+ lv
v = −1
ρ
∂p
∂y− lu
∂p
∂z= −ρg .
(7)
Стоит отметить, что эта модель мало подходит для экваториальных тер-риторий, где величина l максимальна.
§ 1.8. Геострофический ветер
Допустим, что в некоторой точке выполнено u = v = 0. Тогда из (7)следует система
0 = −1
ρ
∂p
∂x+ lv
0 = −1
ρ
∂p
∂y− lu ,
решение которой дает векторное поле ~Vg = ug~τ1 + vg~τ2, где
ug = − 1
ρl
∂p
∂y, vg =
1
ρl
∂p
∂x. (8)
Это так называемый геострофический ветер. На высоте он почти сов-падает с реальным ветром.
12
Глава 2
Двумерная (одноуровневая)геострофическая схема прогноза
§ 2.1. Специальная замена переменных
Рассмотрим функцию f = f(X), где через X обозначена точка(x, y, z, t). Пусть z = z(ζ), и z строго монотонна по ζ . Можно записать,
что z = h(x, y; ζ ; t) и f(X) = f(x, y, h(x, y; ζ ; t), t
). В качестве новой систе-
мы независимых переменных возьмем x, y, ζ, t. Выразим производные fпо старым переменным через производные по новым. Дифференцирова-ние в новых переменных будем обозначать как (...)′x, а в старых — как∂
∂x(...). Тогда f ′
ζ =∂f
∂zh′ζ , а поскольку из–за монотонности справедливо
h′ζ 6= 0, то
∂f
∂z=f ′
ζ
h′ζ. (9)
Отсюдаdf
dz=f ′
ζ
h′ζкак для функции от параметра. Затем,
f ′
x =∂f
∂xx′x +
∂f
∂yy′x +
∂f
∂zh′x +
∂f
∂tt′x =
∂f
∂x+∂f
∂zh′x ,
откуда с учетом (9) получаем
f ′
x =∂f
∂x+ h′x
f ′
ζ
h′ζ,
13
и в итоге∂f
∂x= f ′
x −h′xh′ζf ′
ζ . (10)
Аналогично поступаем для∂f
∂yи∂f
∂z. Заметим, что поверхности уровня
ζ = const уже не будут плоскостями в общем случае.
§ 2.2. Единицы измерения давления.
ζ – координаты
В системе СГС единицей измерения силы является дина = г · см / с 2,а в СИ — ньютон, Н = кг ·м/ с 2. По–разному определяются и едини-цы давления: Бар I = дина / см 2, Па = Н/м 2 = 10Бар I . Существуюттакже технические единицы: кГ = 9,81 Н, атмосфера = кГ/ см 2. В ме-теорологии часто используется значение 1013 гПа ≈ 760 мм ртутногостолба — типичное атмосферное давление на уровне моря в хорошуюпогоду. Поэтому вводится p0 = 1000 гПа.
Будем рассматривать безразмерную величину, характеризующуюдавление
ζ =p
p0.
Единичная масса, поднятая на высоту z, обладет потенциальной энер-гией
Φ =
z∫
0
g dz = Φ(x, y; ζ ; t) ,
называемой геопотенциалом. В частности, при g = const (т. е. в рамкахрассматриваемой первой локальной модели) получим Φ = gh(x, y; ζ ; t).
§ 2.3. Преобразование уравнения состояния
и гидростатической формулы
Из (1), (2) и определения ζ следует
∂p
∂z= −ρg = −gp0ζ
RT,
14
с другой стороны, в силу (9) получаем, что при
∂p
∂z=p′ζh′ζ
=g(p0ζ)
′
ζ
gh′ζ=gp0
Φ′
ζ
.
Объединяя, имеемζΦ′
ζ +RT = 0 . (11)
§ 2.4. Преобразование уравнения движения
В первых двух уравнениях
u = −1
ρ
∂p
∂x+ lv
v = −1
ρ
∂p
∂y− lu
(12)
системы (7) перейдем к ζ – координатам: возьмем проекцию траекто-рии движения частицы на плоскость переменных x, y, в результате чегоu, v, u, v останутся прежними. Преобразуем
ρ = −1
g
∂p
∂z= −1
g
(p0ζ)′
ζ
h′ζ= − p0
Φ′
ζ
,
и с помощью (10)
∂p
∂x= (p0ζ)
′
x −h′xh′ζ
(p0ζ)′
ζ = −Φ′
x
Φ′
ζ
p0 .
Действуя для∂p
∂yаналогично, получим
1
ρ
∂p
∂x= Φ′
x ,1
ρ
∂p
∂y= Φ′
y , (13)
на основе чего (12) примет вид
u = lv − Φ′
x
v = −lu− Φ′
y .(14)
15
§ 2.5. Условная вертикальная скорость
Условной вертикальной скоростью будем называть ζ =1
p0
dp
dt. Так
как
w = z =d
dth(x, y; ζ ; t) = h′x
∂x
∂t+ h′y
∂y
∂t+ h′ζ
∂ζ
∂t+ h′t ,
то по (11) будет
gw = uΦ′
x + vΦ′
y + ζ(−RT
ζ
)+ Φ′
t ,
откуда находим
ζ =ζ
RT
(Φ′
t + (uΦ′
x + vΦ′
y) − gw). (15)
§ 2.6. Уравнение вихря скорости
Перепишем систему (14) в виде
u′t + uu′x + vu′y + ζu′ζ − lv + Φ′
x = 0
v′t + uv′x + vv′y + ζv′ζ + lu+ Φ′
y = 0 .
Теперь продифференцируем уравнения по y и x соответственно, а за-тем вычтем первое из второго. В обозначениях D = u′x + v′y, Ω = v′x − u′yполученное станет таким
Ω′
t + u′xΩ + v′yΩ + uΩ′
x + vΩ′
y + ζΩ′
ζ + ζ ′xv′
ζ − ζ ′yu′
ζ + lD = 0 .
Здесь использована перестановочность вторых производных функций u,v, Φ, а также то, что, напомним, l = const в условиях первой локальноймодели. Наконец, свернув при помощи дополнительного обозначенияΩa = Ω + l, получим уравнение вихря скорости
dΩa
dt+ ΩaD + det
(ζ ′x ζ ′yu′ζ v′ζ
)= 0 . (16)
16
§ 2.7. Сеточная задача Дирихле
Постановка задачи Дирихле такова: дана область Σ и некотораяфункция z(x, y), которая удовлетворяет заданному уравнению в этойобласти, а на границе Γ = ∂Σ совпадает с функцией f(s), где s — па-раметр кривой Γ. Рассмотрим более конкретный случай, когда областьпредставляет собой квадрат со сторонами, параллельными осям коорди-нат, а уравнение
∂2f
∂x2+∂2f
∂y2= F (x, y) .
Выберем шаг h (можно, впрочем, сделать его неодинаковым по двумосям) и построим сетку
(m,n) : m,n = 0, N
. Тогда получим разност-
ный аналог уравнения
1
h2(zm+1,n − 2zm,n + zm−1,n + zm,n+1 − 2zm,n + zm,n−1) = Fm,n ,
с краевым условием
zm,0 = f 1m, zm,N = f 2
m, z0,n = f 3n , zN,n = f 4
n .
Теперь можно применять один из итерационных методов решения этойзадачи.
§ 2.8. Приближенное уравнение для
тенденции геопотенциала
Обозначим q = Φ′
t — тенденцию геопотенциала. Применяя (13) кгеострофическому ветру (8), имеем
ug = −1
lΦ′
y , vg =1
lΦ′
x . (17)
По аналогии с ранее введенными обозначениями Ωg = (vg)′
x − (ug)′
y иDg = (ug)
′
x + (vg)′
y . В силу (17) справедливо
Ωg =1
l
(Φ′′
xx + Φ′′
yy
)=
1
l∆Φ,
а также
Dg =1
l
(−Φ′′
yx + Φ′′
xy
)= 0,
17
поскольку рассматриваемые функции заранее считаются гладкими. Пе-репишем теперь уравнение вихря скорости (16) применительно к геост-рофическому ветру, пренебрегая величинами D и ζ. Получим
(Ωg)′
t + ug(Ωg)′
x + vg(Ωg)′
y = 0 ,
или1
l∆Φ′
t +(−1
lΦ′
y
)(1l∆Φ)′
x+(1lΦ′
y
)(1l∆Φ)′
x= 0 .
Более компактно∆q = FΦ , (18)
где обозначено
FΦ =1
ldet
((∆Φ)′x (∆Φ)′y
Φ′
x Φ′
y
).
§ 2.9. Схема прогноза
Рассмотрим точку на поверхности Земли и некоторую ее окрестность.Введем на ней прямоугольную сетку с шагом h и выделим как ее частьквадрат Σ, Γ = ∂Σ.
1. Пусть в момент t = t0 сделаны метеонаблюдения. Зафиксируемуровень ζ = ζ1 (например, 0,5 , что соответствует 500 гПа).
2. По наблюдениям определим Φ(x, y; ζ1; t0) для, вообще говоря, всехx и y из окрестности выбранной точки.
3. С помощью разностных отношений вычислим значения производ-ных (Φ′
x и др.) в узлах сетки — так, фактически, узнаем FΦ(xm, yn; ζ1; t0).
4. Назначим искусственное граничное условие q∣∣∣Γ
= 0 и решим урав-
нение (18).5. Для шага по времени используем аппроксимацию геопотенциала
Φ∣∣∣tk+∆t
≈ Φ∣∣∣tk
+ q∣∣∣tk
∆t , tk+1 = tk + ∆t , k = 0, 1, . . . . Так выясним зна-
чение Φ при ζ = ζ1 , t = t0, t1, . . . для области Σ .
6. Считаем, что u ≈ ug = −1
lΦ′
y , v ≈ vg =1
lΦ′
x .
7. Приближенно построив траектории движения воздушных частиц,будем знать эволюцию атмосферного давления (Φ) и ветра (u, v), а такжеперемещение облачных скоплений.
18
Глава 3
Атмосферные фронты.Циклоны и антициклоныумеренных широт. Обсуждениесхемы прогноза
§ 3.1. Теплый фронт
Теплый воздух движется на наблюдателя и поднимается над холод-ным, в результате чего холодный воздух оттесняется назад. Наблюда-тель вначале видит перистые облака, которые затем сменяются перисто–слоистыми, высокослоистыми и, наконец, слоисто–дождевыми. Такаякартина длится в среднем 0,5 суток. Протяженность облачной систе-мы — 600–800 км, ее верхняя часть может достигать верхней тропосфе-ры. Повышение температуры составляет 10–15 градусов.
§ 3.2. Холодный фронт
Здесь наоборот, наблюдается отход теплого воздуха. Но длитель-ность этого процесса может быть разной. Медленный холодный фронтво многом противоположен теплому фронту: холодный воздух вытесня-ет теплый воздух вверх и сдвигает его. Такой фронт, однако, перистойоблачностью не заканчивается.
19
Быстрый холодный фронт характеризуется непрямолинейным разде-лом двух сред. Движущийся с большой скоростью холодный воздух вы-талкивает теплый воздух на большую высоту, способствуя образованиюгрозовых облаков летом. Зимние же грозы имеют место только благо-даря быстрым холодным фронтам. Продолжительность грозовой фазыбыстрого холодного фронта составляет 0,5–1 час.
§ 3.3. Другие виды атмосферных фронтов
Возможна ситуация, когда, к примеру, два фронта — теплый, а затемхолодный — движутся в одном и том же направлении и догоняют другдруга. В результате теплый воздух вытесняется вверх, оказываясь зажа-тым холодным воздухом с обеих сторон. Это так называемая окклюзия,комбинированное явление, иногда весьма длительное.
§ 3.4. Циклоны и антициклоны
В северном полушарии геострофический ветер огибает антициклоны(области высокого давления) по часовой стрелке, а циклоны — наобо-рот, поскольку в силу (8) он ортогонален градиенту давления. Областьнаиболее низкого давления, центр циклона умеренных широт находитсявблизи окклюзии. Радиус такого образования около 1 тыс. км.
§ 3.5. Обсуждение геострофического
приближения
В решении задачи Дирихле (18) были сделаны следующие допуще-ния: 1) молекулярное строение вещества не учитывается; 2) локальнаямодель; 3) гидростатическое приближение; 4) приближение с помощьюгеострофического ветра; 5) приближение производных; 6) смешаные про-изводные не совпадают в случае атмосферных фронтов; 7) атмосферныефронты не учитываются; 8) искусственное граничное условие на q . Кро-ме того, (18) — эллиптическое уравнение, поэтому изменение гранично-го условия влечет изменение решения во всей области. Несмотря на этиогрубления, верное решение получить можно. Для одноуровневой схемы
20
прогноза оптимальный шаг h = 300 км, ∆t = 1 час. При этом прогнозудовлетворительно работает на 0,5 суток для скорости ветра около 1200км в сутки.
21
Глава 4
Перенос тепла при движениисухого воздуха
§ 4.1. Первый закон термодинамики
Рассмотрим условную тепловую машину с веществом массы m = 1 иудельной внутренней энергии U в цилиндре. Пусть извне за время ∆tпоступает количество теплоты ∆Q, в результате чего поршень совершаетработу A , противодействуя давлению p . Следовательно A = Sp l, гдеS — площадь поршня, l — перемещение. Но иначе Sl = ∆U , где U —удельный объем вещества, значит A = p∆U . Таким образом,
∆Q = ∆U + p∆U ,
откуда, переходя к пределу по ∆t→ 0 , получаем первый закон термо-динамики в формулировке
dQ = dU + p dU . (19)
§ 4.2. Идеальный газ
Поскольку U =1
ρ, то из (1) получаем
U =RT
p. (20)
22
Для идеального газа считаем выполненным
U =RT
κ − 1, (21)
где 1 < κ < 2 — некоторая безразмерная постоянная. Соотношения (20)и (21) характеризуют идеальный газ независимо друг от друга.
Определим удельную теплоемкость газа. Удельная теплоемкостьидеального газа при постоянном объеме
cU =dU
dT=
R
κ − 1,
так как dU = 0 . Удельная теплоемкость идеального газа при постоянномдавлении
cp =dQ
dT
∣∣∣p=const
=d
dT
(RT
κ − 1
)+ p
(dU
dT
)=
R
κ − 1+R =
Rκ
κ − 1,
в силу (1) и (20). Отсюда κ =cpcU
> 1.
§ 4.3. Адиабатический процесс.
Потенциальная температура
Зададимся условием dQ = 0 адиабатического процесса. Тогда из(19)–(21) получим
0 = d
(RT
κ − 1
)+ pd
(RT
p
)=
Rκ
κ − 1dT − RT
pdp ,
или, разделив на RT ,cpR
dT
T− dp
p= 0 .
Теперь перейдем от p к ζ . Обозначив k =R
cp=
κ − 1
κ, имеем
dT
T− k
dζ
ζ= 0 .
Это полный дифференциал d ln(Tζ−k) = 0 . Значит, величина θ = Tζ−k
постоянна для данной порции газа в адиабатическом процессе. Она но-сит название потенциальной температуры.
23
§ 4.4. Сухоадиабатический градиент.
Некоторые следствия
Пусть γa =
∣∣∣∣dT
dz
∣∣∣∣ — сухоадиабатический градиент при условии вер-
тикального адиабатического движения газа. С помощью определенийпотенциальной температуры и геопотенциала, используя (9) и (11), рас-пишем
γa =
∣∣∣∣∣T ′
ζ
h′ζ
∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣ζg(θζk)′
ζ
ζgh′ζ
∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣ζgθkζk−1
ζΦ′
ζ
∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣kgT
−RT
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣g
cp
∣∣∣∣ .
Окончательноγa =
g
cp. (22)
Следовательно, γa не зависит ни от температуры, ни от давления, а из-меняется лишь вместе с g. Возможны следующие случаи:
1) T с высотой возрастает или сохраняется (θ возрастает);2) T с высотой убывает, но медленнее, чем предписывает γa (θ воз-
растает);3) T с высотой убывает согласно γa (θ = const);4) T с высотой убывает быстрее, чем предписывает γa (θ убывает).Первые два случая соответствуют устойчивой стратификации сухого
воздуха, третий — нейтральной, а четвертый — неустойчивой.Стандартное значение γa чуть менее 10 на км. В слое до 1 км наблю-
дается, как правило, нейтральная стратификация, у теплой поверхностиЗемли — неустойчивая, выше 1 км — устойчивая. Здесь, однако, невключен в рассмотрение водяной пар, иногда играющий важную роль.Если предположить наличие нейтральной стратификации выше 1 км, тополучится, найдется такая высота H , на которой будет достигнут абсо-
лютный нуль, так как в этом случае H =T ∗
γa
, где T ∗ — температура на
поверхности планеты.Найдем связь H с высотойH∗ однородной атмосферы (H∗ определяет
интервал высот, на котором плотность и давление воздуха изменяются вe раз [1]). Рассмотрим воздушный столб высоты H∗, массы M и единич-ной площади поперечного сечения. Уравнение состояния для приземно-го воздуха запишется как p∗ = RρT ∗. Тогда из соотношений Mg = p∗ и
24
M = H∗ρ , а также из (22) выводим
h =RT ∗
g=RT ∗
cpγa=
κ − 1
κ
T ∗
γa= kH.
§ 4.5. Уравнение состояния смеси
идеальных газов
Рассмотрим смесь нескольких газов. Пусть Mj — масса, ρj — плот-ность, а µj — молекулярная масса каждого из них. Считаем, что дав-ление p и температура T для всех газов постоянны. Тогда уравнениесостояния (1) каждого газа примет вид
1
ρj
=R0
µj
T
p,
где R0 = Rµj — универсальная газовая постоянная. Обозначив
UMj=Mj
ρj, получим
µjUMj= R0
T
pMj .
Просуммируем уравнение по j. Для этого введем обозначения
Mc =∑j
Mj . Примем также, что Uc =∑j
UMj. Тогда
Uc
∑
j
λjµj = R0T
pMc ,
где λj =UMj
Uc
— объемная доля газа. Отсюда получаем уравнение состо-
яния для смеси идеальных газов
p =R0
µρT, (23)
где µ =∑
j λjµj — усреднение по объемам, ρ =Uc
Mc— плотность смеси.
Газовый состав атмосферного воздуха по объемным долям (за исклю-чением воды во всех агрегатных состояниях) такой: азот — 78 %, кисло-род — 21 %, аргон — 1 %, прочие газы — менее 1 %. Он сохраняется довысоты 80 км.
25
Значение параметра κ для двухатомных газов (таких как азот и кис-лород) принимается равным 1,40. Оно же используется для сухого воз-духа.
§ 4.6. Тепловая энергия атмосферы
Обозначим виды энергии атмосферы: W — кинетическую, J — внут-реннюю, Π — потенциальную. Существует также лабильная энергияL = Π + J . Будем считать, что вся атмосфера заключена в интервалевысот от 0 до H . Таким образом, если на поверхности Земли давлениеp = p∗ , то на высоте H оно пренебрежимо мало, практически нулевое.
Пусть также ζ∗ =p∗
p0. В силу (2) справедливо dp = −ρg dz . Тогда для
единицы объема
W =
bH∫
0
(1
2V 2ρ
)dz = − 1
2g
bH∫
0
V 2 dp =p0
2g
ζ∗∫
0
V 2 dζ .
Аналогично
Π =
bH∫
0
(gz)ρ dz = −bH∫
0
z dp =
bH∫
0
p dz = R
bH∫
0
ρT dz =
=R
g
ζ∗∫
0
p0T dζ =Rp0
g
ζ∗∫
0
T dζ ,
где, перед тем как использовать равенство (1), проинтегрировали по ча-стям. Наконец, применяя (21), получим
J =
bH∫
0
Uρ dz = −bH∫
0
RT
κ − 1ρ dz = − R
g(κ − 1)
bH∫
0
T dp =Rp0
g(κ − 1)
ζ∗∫
0
T dζ .
Объединяя, имеем
L =p0
g(κ − 1)
ζ∗∫
0
κRTdζ .
26
Воспользуемся формулой для скорости звука a (см. например [2])
√κRT = a .
Тогда
L =p0
g(κ − 1)
ζ∗∫
0
a2dζ .
Следовательно, для усреднений по высоте
W
L=
(g(κ − 1)
p0
p0
2g
) 〈V 2〉〈a2〉 =
κ − 1
2
〈V 2〉〈a2〉 .
Принимая κ равным7
5, получим, что
W
L=
1
5
〈V 2〉〈a2〉 .
Поскольку характерные значения V ≈ 20 м/с , a ≈ 300 м/с, можно при-близительно оценить, как соотносятся кинетическая и лабильная энергииатмосферы.
§ 4.7. Приток тепла к атмосфере
Нагрев атмосферы происходит, в основном, за счет ИК–волн, отра-женных от земной поверхности. Они активно поглощаются водянымпаром, содержащимся в воздухе. Рассмотрим модель нижней страто-сферы (12–20 км в средних широтах). Считаем, что на подстилающейповерхности задана температура T ∗ , а на некоторой высоте располагает-ся воображаемая
”пластина“ неизвестной температуры T , находящаяся
в тепловом равновесии. Из курса физики известно, что количество теп-лоты имеет вид cT 4 . Таким образом, подстилающая поверхность будетотдавать количество теплоты c∗(T ∗)4 , а воображаемая
”пластина“ — ко-
личество теплоты 2cT 4 , в силу состояния теплового равновесия. Еслитеперь допустить, что константы c и c∗ совпадают, получим
T = T ∗2−1/4 .
27
Действительно, зимой, когда водяного пара в воздухе относительнонемного, T ∗ ≈ −20C , откуда T ≈ −50 ÷−60C . Летом же уровень под-стилающей поверхности смещается до высоты, где влияние водяного па-ра значительно ниже, чем у Земли, и температура поэтому тоже около−20C . Заметим, что полученное значение T соответствует реальномузначению температуры в нижней стратосфере.
§ 4.8. Уравнение притока тепла
Из (19)–(21), переходя к ζ – координатам, как и ранее, получим
dQ = dU + pdU =Rκ
κ − 1dT − RT
pdp = cpdT − RT
dζ
ζ.
Обозначим E =dQ
dt— приток тепла к единице массы за единицу времени.
Тогда
E =d
dt
(cpdT −RT
dζ
ζ
)= cp
dT
dt− RT
ζζ . (24)
Используя представление T = θζk через потенциальную температуру,имеем
E = cpζk dθ
dt+ cpkζ
k−1θζ − Rθζk
ζζ ,
или собственно уравнение притока тепла
dθ
dt=
1
cpζ−k
E .
§ 4.9. Преобразование уравнения притока
тепла
На основе равенств (11) и (24) получаем
E = cpdT
dt+ Φ′
ζ ζ . (25)
Поскольку T = T (x, y; ζ ; t) , справедливоdT
dt= uT ′
x + vT ′
y + ζT ′
x + T ′
t . Ес-ли ввести
γ = −dTdz
,
28
то по (9) будет γ = −T ′
ζ
h′ζ, а затем T ′
ζ = −γgΦ′
ζ . С учетом сказанного, а
также (22), уравнение примет вид
T ′
t =E
cp− (uT ′
x + vT ′
y) −1
g(γa − γ)Φ′
ζ ζ . (26)
29
Глава 5
Трехмерная геострофическаясхема прогноза
§ 5.1. Условие на верхней границе
Под верхней границей подразумеваем уровень ζ = 0 . Продифферен-цируем (11) по t . В силу гладкости Φ , полученное можно представитькак
ζ2q′ζ = −ζRT ′
t .
Из физического смысла задачи следует, что величина |T ′
t | ограничена.Тогда, переходя к пределу в предыдущем равенстве по ζ → 0 , получимусловие
limζ→0
(ζ2q′ζ
)= 0 . (27)
§ 5.2. Уравнение притока тепла в
геострофическом приближении
Преобразуем уравнение (26). Будем использовать геострофическийветер ug, vg в качестве приближения для u и v . Тогда по (17) окажется,что
ugT′
x + vgT′
y =1
l
(−Φ′
yT′
x + Φ′
xT′
y
).
30
Выразим T ′
x и T ′
y из результатов дифференцирования (11) по переменным
x, y : T ′
x = − 1
RζΦ′′
xζ , T ′
y = − 1
RζΦ′′
yζ . Значит,
ugT′
x + vgT′
y =ζ
RfTΦ ,
где
fTΦ =1
ldet
(Φ′′
xζ Φ′′
yζ
Φ′
x Φ′
y
).
Из того же (11) следует и T ′
t = − ζ
Rq′ζ . Вышесказанное позволяет пред-
ставить (26) в виде
−ζq′ζ =R
cpE − ζfTΦ −
R
g(γa − γ)Φ′
ζ ζ ,
или, с учетомR
cp= k ,
−ζq′ζ + ζfTΦ +R
g(γa − γ)Φ′
ζ ζ = kE . (28)
§ 5.3. Приближенная формула для ζ
Величина (γa − γ) положительна. Предположим, существует такаяфункция a = a(ζ), что
R
g(γa − γ) ≈ a(ζ) .
В таком случае на основании (28) получим
ζ ≈ 1
a(ζ)Φ′
ζ
(kE + ζq′ζ − ζfTΦ
). (29)
§ 5.4. Аппроксимация притока тепла
Можно считать, что E ≈ ET — некий функционал, зависящий оттемпературы. Если Tj — температура на каждом из выделенных уровней
высоты, то ET = EiT ∗, T1, T2, . . . , где i — номер того уровня, длякоторого вычисляется E.
31
§ 5.5. Граничное условие на подстилающей
поверхности
Нижний слой атмсоферы толщиной около 1 км заменяется границейζ = 1 . При этом рельеф поверхности планеты игнорируется. Прини-маем, что на нижней границе функция a(ζ) экстраполируется вниз доζ = 1 , и a(1) = a1 . Кроме того используем гипотезу твердая стенка:w = 0 при ζ = 1 . В выражении
w =dz
dt=
d
dth(x, y; ζ ; t) =
1
g(Φ′
t + uΦ′
x + vΦ′
y + ζΦ′
ζ)
приблизим u ≈ ug , v ≈ vg , учитывая при этом (17). Получим, что
w ≈ 1
g
(q + ζΦ′
ζ
).
Применяя (11), заключаем, что условие w = 0 будет выглядеть так:
q∣∣∣ζ=1
= −ζΦ′
ζ
∣∣∣ζ=1
. (30)
Из (29) имеем
−q∣∣∣ζ=1
=(ζΦ′
ζ
) ∣∣∣ζ=1
=1
a1
(kE∣∣∣ζ=1
+ q′ζ
∣∣∣ζ=1
− ζfTΦ∣∣∣ζ=1
).
Обозначим −kE∣∣∣ζ=1
+ fTΦ∣∣∣ζ=1
= f∗ . Эта величина будет известна, как
только будут известны Φ и T . В итоге
q′ζ + a1q = f∗ , ζ = 1 . (31)
§ 5.6. Об уравнении неразрывности
Закон сохранения массы, примененный к движущейся сплошной сре-де, в ζ–координатах дает следующий результат:
u′x + v′y + ζ ′ζ = 0 ,
или в наших обозначенияхζ ′ζ = −D . (32)
32
§ 5.7. Об уравнении вихря скорости
Как и в одноуровневой схеме прогноза пренебрежем в уравнении (16)определителем, а также величинами ζΩ′
ζ и ΩD , считая при этом, чтоl = const. Останется
Ω′
t + uΩ′
x + vΩ′
y + lD = 0 .
По геострофичечкому приближению u ≈ ug , v ≈ vg и по (17) имеем
Ω ≈ Ωg =1
l∆Φ и Ω′
t ≈1
l∆q . Тогда
∆q + l2D ≈ 1
ldet
(∆Φ′
x ∆Φ′
y
Φ′
x Φ′
y
),
а с учетом (32) получим
∆q − l2ζ ′ζ ≈1
ldet
(∆Φ′
x ∆Φ′
y
Φ′
x Φ′
y
). (33)
По аналогии с l , Ω — удвоенная угловая скорость вращения воздушныхмасс. Например, для циклона типичные параметры такие: радиус около1 тыс км, скорость около 50 км/ч, угловая скорость около 1
5об/сек.
Величина |Ω| в стандартной ситуации приблизительно в 5 раз меньшевеличины |l| .
§ 5.8. Параметр Обухова
Рассмотрим величинуR
g(γa − γ)RT
1
l2. Среднее для выбранной мест-
ности и сезона ее значение обозначим через m2 . При этом m имеет раз-мерность длины и носит название параметра Обухова. Для умеренныхширот m ≈ 800 км. Из определения следует
R
g(γa − γ)RT ≈ l2m2 . (34)
33
§ 5.9. Схема прогноза
Из (28)
−ζq′ζ + ζfTΦ +R
g(γa − γ)Φ′
ζ ζ ≈ kE ,
домножив на (−ζ) , при помощи (11) и (34) получим
−ζ2q′ζ + l2m2ζ = ζ2fTΦ − ζkE . (35)
Домножим уравнение (33) на m2 , а (35) продифференцируем по ζ исложим результаты:
m2∆q + (ζ2q′ζ)′
ζ = k(−ζE)′ζ + FΦ , (36)
здесь FΦ объединяет все оставшиеся слагаемые. Левая часть (36) за-дает уравнение в частных производных эллиптического типа с вырож-дением при ζ = 0 . Это уравнение — основа прогноза. Рассматриваемаяобласть пространства ограничена поверхностями ζ = 0 (верхняя грани-ца), ζ = 1 (эквивалент подстилающей поверхности) и Γ — боковой по-верхностью. Дополним задачу (36), (27), (31) граничным условием
q∣∣∣Γ
= 0 . (37)
1. Пусть в момент t = t0 сделаны метеонаблюдения.2. По значению атмосферного давления p определим Φ ; T и влаж-
ность — из начальных данных.3. Найдем q , решив задачу (36),(31),(27),(37) при t = t0.
5. По q вычислим Φ∣∣∣tk+∆t
≈ Φ∣∣∣tk
+ q∣∣∣tk
∆t , tk+1 = tk + ∆t .
6. Из (11) вытекает T ′
t = − 1
Rζq′ζ , на основе чего
T∣∣∣tk+∆t
≈ T∣∣∣tk−(ζ
Rq′ζ
) ∣∣∣tk
∆t , tk+1 = tk + ∆t .
7. Пересчитаем по этим данным правую часть (36) и f∗ .8. Используя геострофическое приближение, построим траектории
движения воздушных частиц в плоскости (x, y) . Затем с помощью при-ближения для ζ получим законы T (t) и p(t) . По ним можно сказать,когда и где произойдет конденсация влаги и выпадение осадков.
34
В трехмерной схеме ∆x = ∆y = 250 км, ∆t ≈ 40 мин. Удовлетвори-тельная работа прогноза — до 3 суток (Φ , T , ветер, качественная карти-на осадков). Схема также допускает и приблизительный учет испаренияс подстилающей поверхности. Подобная схема прогноза использоваласьдля расчетов в 1960–х годах в московском гидрометеобюро.
35
Глава 6
Учет влажности
§ 6.1. Цикл Карно
Будем рассматривать p , T , U как координаты в трехмерном про-странстве. Пусть плотность ρ = ρ(p, T ) известна (например, из (1)), то-гда
Uρ(p, T ) = 1 . (38)
Это уравнение задает некоторую поверхность в пространстве (p, T,U) .Допустим, что существует нагреватель, сообщающий рабочему веще-
ству количество теплоты Q . Представим теперь, что температура нагре-вателя и температура вещества в цилиндре отличаются незначительно.В этом случае переход тепла будет тоже осуществляться. В предель-ном случае, когда температуры нагревателя и вещества одинаковы (илиразница температур не поддается физическому измерению), нагревательтакже будет сообщать веществу соответствующее количество теплоты.И рабочее вещество, в свою очередь, тоже будет передавать теплоту на-гревателю (ввиду симметрии данного случая). Обратимость как раз иозначает возможность введения работы извне с последующей передачейтеплоты от холодильника к нагревателю.
Рассмотрим поведение температуры T в координатах (p,U) . В про-межутке от точки O до точки A (см. рис. 2) температура соответствуеттемпературе нагревателя (изотерма T = T1), а в промежутке от точкиB до точки C — температуре холодильника (изотерма T = T2). Тогдаадиабаты AB и CO будут участками, когда температура соответственнопонижается и повышается. Пусть Q — то количество теплоты, которое
36
p
U
O
A
BC
Рис. 2
поступает от нагревателя, а Q — то, которое передается холодильнику.
§ 6.2. КПД тепловой машины
Согласно постулату Карно, тепловую энергию физического тела(или ее часть) нельзя превратить в механическую работу, не произве-дя при этом никаких изменений в других физических телах.
Определим КПД тепловой машины как η =Q− Q
Q. КПД обратимой
тепловой машины условимся обозначать η0 .
Теорема 1. (Карно) При заданных T1 и T2 наибольший КПД имеетобратимая тепловая машина. Все обратимые тепловые машины име-ют одинаковый КПД.
Приведем схему доказательства. Предположим, что возможен случай,когда η > η0 . Рассмотрим две тепловые машины: обратимую и необ-ратимую. Ту, у которой КПД больше, запустим в обратную сторону.Таким образом, в ней будет наблюдаться передача тепла от холодильни-ка к нагревателю.
37
§ 6.3. Вычисление η0
Рабочим веществом будем считать идеальный газ. Тогда на каждойиз адиабат потенциальная температура θ = Tζ−k постоянна. Но
ζ =p
p0
=RρT
p0
=RT
p0U,
то есть
θ = T
(RT
p0U
)−k
,
следовательно, величина T 1−kUk (а вместе с ней и TUκ−1 , поскольку1 − k = 1
κ) тоже постоянна на адиабате. Итак, для AB:
T1 (U(A))k−1 = T2 (U(B))k−1 ,
а для CO:T1 (U(O))k−1 = T2 (U(C))k−1 ,
откуда (U(C)
U(O)
)k−1
=T1
T2
=
(U(B)
U(A)
)k−1
. (39)
Рассмотрим теперь, например, изотерму OA . Произведенная работа:
AOA =
∫
OA
p dU =
∫
OA
RT1
UdU = RT1 ln U
∣∣∣A
O.
На цикле Карно ∆U = 0 , а в силу (19) ∆Q = ∆U + A , работа, соответ-ствующая OA
RT1 lnU(A)
(O)= Q .
Аналогично получаем, что для изотермы BC
RT2 lnU(B)
(C)= Q .
Отсюда на основании (39) следует
(U(A)
U(O)
)k−1
=
(U(B)
U(C)
)k−1
,
38
p
U
O
A
B
C
δU
δp
Рис. 3
иQ
Q=T2
T1.
Итак,
η0 =A
Q=
∆Q
Q=Q− Q
Q=T1 − T2
T1. (40)
§ 6.4. Бесконечно малый цикл Карно
Если цикл достаточно мал, его приближенно можно считать парал-лелограммом (см. рис. 3). В этом случае суммарная работа
A =
∫
OAB
p dU −∫
BCO
p dU = δp δU .
Но с другой стороны, по (40)
A = η0 δQ =δT
TδQ ,
следовательноδT
TδQ = δp δU . (41)
39
Примем T и U в качестве аргументов. Тогда p = p(T,U) , U = U(T,U) , и
δp =∂p
∂TδT ,
а на основании (19)
δQ = δU +
∫p dU ≈ δU + p δU =
(∂U
∂U+ p
)δU .
С учетом этого (41) перепишется в виде
δT
T
(∂U
∂U+ p
)δU =
∂p
∂TδT δU ,
откуда вытекает∂U
∂U= T
∂p
∂T− p (42)
для U = U(U, T ) .
§ 6.5. Энтропия
Теорема 2. На поверхности (38) линейная дифференциальная формаdQ
Tявляется полным дифференциалом.
Доказательство. Согласно (19)
dQ = dU + p dU .
Поэтому
dQ
T=
1
T
(∂U
∂TdT +
∂U
∂UdU + p dU
)=
1
T
∂U
∂TdT +
1
T
(∂U
∂U+ p
)dU .
ФормаdQ
Tбудет полным дифференциалом по переменным T и U, если
выполнено равенство
∂
∂U
(1
T
∂U
∂T
)=
∂
∂T
(1
T
(∂U
∂U+ p
)).
40
В правой части воспользуемся (42):
∂
∂T
(1
T
(T∂p
∂T
))=∂2p
∂T 2.
В левой части∂
∂U
(1
T
∂U
∂T
)=
1
T
∂2U
∂U∂T.
Будем считать, что функция U(U, T ) достаточно гладкая, и, поменявпорядок дифференцирования, на основе (42) получим
1
T
∂2U
∂T∂U=
1
T
∂
∂T
(T∂p
∂T− p
)=∂2p
∂T 2.
Другими словами, требуемое равенство выполняется. Теорема доказана.Это утверждение позволяет ввести понятие удельной энтропии
S =
∫dQ
T,
определенной в данной случае с точностью до постоянной интегрирова-ния. Под вторым законом термодинамики иногда понимается, что взамкнутых физических системах энтропия S не убывает. А третий за-кон термодинамики (постулат Нернста) гласит, что S → 0 при T → 0 .
§ 6.6. Тепловая машина со сменяющимся
рабочим веществом
В цикле Карно применялась модель идеального газа, но реально втепловой машине используется смена рабочего вещества (например, вы-хлоп). Рассмотрим вещество с параметрами p1 , U1 . Считаем, что вначальный момент газа в цилиндре машины не было.
1. Всасывание. Работа A1 = p1U1 .2. Извне поступает количество теплоты δQ , происходит дальнейшее
расширение. Здесь δQ = δU + δA , где δA = A2 .3. Выхлоп. Работа A3 = −p2U2 .За весь цикл Ac = A1 + A2 + A3 , при этом A2 = δQ− δU ,
δU = U(p2,U2) − U(p1,U1) . Следовательно
Ac = p1U1 + δQ− U(p2,U2) + U(p1,U1) − p2U2 .
41
Введем величину H = U + pU , называемую удельной энтальпией (теп-лосодержанием). Тогда
Ac = δQ− δH ,
где δH = H(p2,U2) − H(p1,U1) .
§ 6.7. Переход к переменным (p, T )
Равенство (42) записано в переменных (U, T ) . Преобразуем (19):
dQ = dU + p dU = dU + p dU + U dp− U dp = dH − U dp .
Тогда
dS =dQ
T=
1
T(dH − U dp) =
1
T
(∂H
∂p− U
)dp+
1
T
∂H
∂TdT .
Последнее выражение заведомо является полным дифференциалом, по-этому
∂
∂T
(1
T
(∂H
∂p− U
))=
∂
∂p
(1
T
∂H
∂T
).
Отсюда
− 1
T 2
(∂H
∂p− U
)+
1
T
∂2H
∂T∂p− 1
T
∂U
∂T=
1
T
∂2H
∂p∂T.
Как и ранее при условии достаточной гладкости функции H , переста-новка порядка дифференцирования дает
1
T 2
∂H
∂p− U
T 2+
1
T
∂U
∂T= 0 ,
или∂H
∂p+ T 2 ∂
∂T
(U
T
)= 0 . (43)
А поскольку U =1
ρ, возможен такой вариант:
∂H
∂p= −T 2 ∂
∂T
(1
ρT
).
42
§ 6.8. Вычисление удельной энтальпии и
удельной энтропии
Рассмотрим в координатах p, T точку (p0, T0) , так что H0 = H(p0, T0) ,S0 = S(p0, T0) , и H0 = U(p0, T0) + p0U(p0, T0) . Требуется вычислить зна-чения H и S в точке (p, T ) . Допустим, что известны удельный объемU(p, T ) и теплоемкость cp(p, T ) .
Так как dQ = dH − U dp ,
cp =dQ
dT
∣∣∣p=const
=∂H
∂T.
Следовательно, в силу (43)
H(p, T ) = H0 +
∫dH = H0 +
T∫
T0
∂H
∂TdT +
p∫
p0
∂H
∂pdp =
=
T∫
T0
cp(p0, T ) dT − T 2
p∫
p0
∂
∂T
(U(p, T )
T
)dp .
Затем,
dS =dQ
T=dH − U dp
T=
1
T
(∂H
∂p− U
)dp+
1
T
∂H
∂TdT .
С помощью (43) получается, что
∂S
∂p=
1
T
(∂H
∂p− U
)=
1
T
(−T ∂U
∂T
)= −∂U
∂T,
а∂S
∂T=
1
T
∂H
∂T=cpT, p = const .
Итак,
S(p, T ) = S0 +
T∫
T0
cp(p0, T )
TdT −
p∫
p0
∂U
∂T
∣∣∣T=const
dp .
43
§ 6.9. Некоторые свойства водяного пара и
влажного воздуха
Пусть e — та часть атмосферного давления, которая создается при-сутствием водяного пара. Тогда (p− e) будет давлением сухого воздуха.Допустим, что существует некоторая зависимость e 6 E(T ) . Также вве-дем обозначение T0 для температуры замерзания воды при атмосферномдавлении p0 , которое, напомним, составляет 1000 гПа. Примем, что
E(T ) = E(T0) exp(T − T0)c1
T
есть вид зависимости E(T ) , основанный лишь на теоретических данных,а уже
E(T ) = E(T0) exp(T − T0)c0T − T1
является уточненным с помощью эксперимента (так называемая фор-мула Магнуса). Здесь c0, c1 — некоторые постоянные, T1 ≈ 38K , аE(T0) = 6,1 гПа.
Рассмотрим теперь характеристики водяного пара и влажного возду-ха.
1. Относительная влажность определяется какe
E(T ). Тогда E(T )
называется насыщающим давлением. Отметим, что”пересыщения“ бо-
лее чем на 1% в атмосфере не наблюдается. Это происходит из–за при-сутствия в воздухе конденсирующих частиц.
2. Отношение массы воды в единице объема к массе воды в том жеобъеме воздуха вместе с водой носит название удельного влагосодержа-ния (или удельной влажности, если e < E(T )).
3. Отношение смеси — это масса воды, отнесенная к массе воздухабез воды.
4. Водностью называется отношение массы сконденсировавшейся во-ды (в том числе и твердой фазы) к единице объема. Это величина раз-мерности г/м3 .
По аналогии с (1) и (23) для сухого воздуха имеет место соотношение
p− e = RdρdT =R0
µρdT ,
44
поэтому ρd =(p− e)µ
R0T. А для водяного пара соответственно ρw ≈ eµw
R0T.
Здесь µ ≈ 29 , µw = 18 . Обозначим λ =µw
µ= 0,622 . . . , тогда ρw ≈ λeµ
R0T,
и
ρ = ρd + ρw =(p− e+ λe)µ
R0T=µ (p− (1 − λ)e)
R0T.
Удельная влажность будет
ρw
ρ=
λe
(p− e) + λe≈ λE(T )
p=λE(T )
p0ζ. (44)
Если E(T ) ≪ p , то удельная влажность при насыщении окажется равнойλE(T )
p− (1 − λ)E(T ).
§ 6.10. Прогноз обложных осадков в
трехмерной геострофической схеме
Включим удельную влажность во входные данные задачи. Затембудем сравнивать удельную влажность рассматриваемой воздушной ча-стицы, движущейся по найденной траектории, с величиной (44). Еслипри некотором t достигается равенство, то в момент времени t долж-на произойти конденсация. Так можно спрогнозировать качественнуюкартину осадков.
§ 6.11. Виртуальная температура
Если воздух содержит примеси, то идеальным газом он, вообще гово-ря, не будет. Другими словами, плотность воздуха будет зависеть такжеот вектора примесей ~η = (η1, . . . , ηn) , и из (23)
Tv =pµ
R0ρ(p, T, ~η).
Это и есть виртуальная температура. В частности, для тропосферыЗемли ~η = η1 = e . Виртуальную температуру Tv придется рассматри-вать в качестве температуры T в (1), (11) и других равенствах.
45
§ 6.12. Переход к аргументам p, S
Предположим, что в распоряжении имеются величины p , T , U ,S , H , причем S = S(p, T ) и ~η = η1 — удельная влажность, а вектор~ζ = (ζ1, ζ2) таков, что ζ1 + ζ2 — водность для данной области (ζ1 соот-ветствует жидкой, а ζ2 — твердой фазе). Итак, S = S(p, T, ~η) строго
монотонна по T , поскольку∂S
∂T=cpT
, и cp > 0 . Значит, можно выразить
T через p , S , ~η , исключив тем самым аргумент T .
§ 6.13. Влажноадиабатический
температурный градиент. Конвекция
Пусть известны ρ = ρ(p, S, ~η) , T = T (p, S, ~η) . Влажноадиабатиче-ский температурный градиент определим как
γwa = −dTdz
∣∣∣S=const
.
В силу (2)
γwa = −dpdz
∂T
∂p= ρ(p, S, ~η)g
∂T (p, S, ~η)
∂p.
Здесь, как и ранее, ~η = η1 — удельная влажность. Таким образом, вид-но, что γwa < γa — это просто следует из определений температурныхградиентов.
Воздух, в котором присутствует водяной пар, имеет меньшую сум-марную плотность, поэтому на него действует архимедова сила, вытал-кивающая его вверх. В средних широтах уровню, на котором начинает-ся процесс кристаллизации частиц водяного пара воздуха соответствуеттемпература около −12C . Визуально наблюдаемое
”размывание“ верх-
ней части кучевого облака, располагающейся примерно на этом уровне,свидетельствует о том, что вскоре из облака пойдет дождь.
§ 6.14. Фен
Рассмотрим ситуацию, когда циклон пересекает горный хребет сред-ней высоты. Этот процесс служит примером изменения влажноадиаба-тической модели на сухоадиабатическую. Дело в том, что выпадение
46
осадков, сопровождающее преодоление горного хребта, влечет измене-ние удельной энтропии и удельной энтальпии. В частности, энтальпияменяется благодаря многим факторам. Это и диссипация энергии засчет сил трения, и работа, связанная с перепадом высот, и увеличениекинетической энергии (увеличение скорости ветра после прохожденияхребта). Удельная влажность падает, а температура, наоборот, растет.
47
Глава 7
Уравнение баланса ветра идавления. Двумернаясоленоидальная схема прогноза
§ 7.1. О классификации уравнений с
частными производными
Напомним, что равенство
F
(x, y, z,
∂z
∂x,∂z
∂y,∂2z
∂x2,∂2z
∂x∂y,∂2z
∂y2
)= 0 ,
снабженное граничными условиями, называется уравнением с частны-ми производными. Здесь z = z(x, y) — искомая функция. Если краткозаписать правую часть в виде F(x, y, z, p, q, r, s, t) , то формальный опре-делитель
D = det
(F′
r12F′
s12F′
s F′
t
)
будет характеризовать тип данного уравнения:1) если D > 0 , уравнение эллиптического типа;2) если D < 0 , уравнение гиперболического типа;3) если D = 0 в области, уравнение параболического типа;4) если D > 0 (D < 0) , и есть точки, в которых D = 0 , то уравнение
эллиптическое (гиперболическое) с вырождением;
48
5) если D меняет знак, уравнение смешанного типа.Уравнение линейно, если F линейна по аргументам z, p, q, r, s, t и ква-
зилинейно, если F линейна по аргументам r, s, t . Другими словами, ква-зилинейное уравнение имеет вид
A∂2z
∂x2+ 2B
∂2z
∂x∂y+ C
∂2z
∂y2+ F = 0 ,
где функции A,B,C, F зависят от x, y, z, p, q . Квазилинейное уравнениевида
det
(∂2z∂x2
∂2z∂x∂y
∂2z∂x∂y
∂2z∂y2
)+ A
∂2z
∂x2+ 2B
∂2z
∂x∂y+ C
∂2z
∂y2+ F = 0
носит название уравнения Монжа — Ампера.
§ 7.2. Приближенная теорема Ролля
В курсе математического анализа имеется следующая
Теорема 3. Пусть функция f = f(x) непрерывна на невырожденномотрезке [a, b] , дифференцируема в интервале (a, b) и f(a) = f(b) , то-гда в интервале (a, b) существует такая точка ξ , что f ′(ξ) = 0 ,
известная как теорема Ролля. Если потребовать, чтобы |f(a) − f(b)| < ε
для достаточно малого ε , то получим, что |f ′(ξ)| < ε
b− a.
§ 7.3. Бездивергентный средний уровень
тропосферы
Из (32) следует, что D + ζ ′ζ = 0 . Как показывают наблюдения, у
подстилающей поверхности, а также вблизи тропопаузы |ζ| значитель-но меньше, чем в средней тропосфере. Воспользовавшись приближен-ной теоремой Ролля, получим, что ζ ′ζ ≈ 0 (и следовательно D ≈ 0) при
некотором ζ = ζ . Это бездивергентный средний уровень тропосферы,который в моделях, как правило, принимается равным 0,5 или 0,7 .
49
§ 7.4. Функция тока
Пусть D = 0 . Рассмотрим дифференциальную форму v dx− u dy .Она является полным дифференциалом, так как (−u)′x − v′x = −D = 0
ввиду (32). Следовательно,
∫v dx− u dy =
∫dψ = ψ + const . Функция
ψ называется функцией тока, и v = ψ′
x , u = −ψ′
y .
§ 7.5. Уравнение баланса ветра и давления
Во второй локальной модели l = l(y) , β(y) = l′y . Перепишем еще разсистему (14) в виде
u′t + uu′x + vu′y + ζu′ζ − lv + Φ′
x = 0
v′t + uv′x + vv′y + ζv′ζ + lu+ Φ′
y = 0 .
Продифференцируем уравнения по x и y соответственно и сложим:
D′
t + u′xu′
x + 2u′yv′
x + v′yv′
y + uD′
x + vD′
y + ζD′
ζ+
+ζ ′xu′
ζ + ζ ′yv′
ζ + l(−v′x + u′y) + βu+ ∆Φ = 0 .
Предположим, чтоD = 0 не только в точке ζ , но и в некоторой ее окрест-ности. Иначе говоря, есть некоторый слой, в котором D = 0 , и поэтомууравнение примет вид
(u′x)2 + 2u′yv
′
x + (v′y)2 + ζ ′xu
′
ζ + ζ ′yv′
ζ + l(−v′x + u′y) + βu+ ∆Φ = 0 .
Перейдем от u и v к функции тока ψ . Получим
(−ψ′′
yx)2 +2(−ψ′′
yy)ψ′′
xx +(ψ′′
xy)2 + ζ ′xu
′
ζ + ζ ′yv′
ζ + l(−ψ′′
xx−ψ′′
yy)−βψ′
y +∆Φ = 0 .
Наконец, аналогично подобным случаям, пренебрежем величинойζ ′xu
′
ζ + ζ ′yv′
ζ . Тогда
det
(ψ′′
xx ψ′′
xy
ψ′′
xy ψ′′
yy
)+l
2∆ψ +
β
2ψ′
y =1
2∆Φ . (45)
В данном уравнении баланса ветра и давления все, что так или иначеотносится к ветру, находится в левой части. Правая часть характеризуетдавление.
50
§ 7.6. Связь уравнения баланса ветра и
давления с геострофическим
приближением
Пусть ε =1
lдля l 6= 0 , тогда из (45) следует
2ε det
(ψ′′
xx ψ′′
xy
ψ′′
xy ψ′′
yy
)+ ∆ψ + εβψ′
y =1
l∆Φ .
При ε → 0 сразу получим
∆ψ =1
l∆Φ .
В первой локальной модели частное решение будет ψ =1
lΦ , что, опять
же, соответствует геострофическому ветру ug = −ψ′
y , vg = ψ′
x .
§ 7.7. Исследование типа уравнения баланса
ветра и давления
Представим (45) в виде уравнения Монжа — Ампера
det
(ψ′′
xx ψ′′
xy
ψ′′
xy ψ′′
yy
)+ Aψ′′
xx + 2Bψ′′
xy + Cψ′′
yy + F = 0 ,
где A =l
2, B = 0 , C =
l
2, F =
1
2(−βu− ∆Φ) . В данном случае
D = det
(F
′
r12F
′
s12F′
s F′
t
)=l2
4+
1
2∆Φ +
1
2βu .
Тип уравнения будет определяться знаком этого выражения. В частно-сти, для циклона северных широт уровни Φ = const вогнуты, поэтому∆Φ > 0 .
51
§ 7.8. Некоторые модели для ветра в
тропиках и на экваторе
Выберем в качестве граничного условия на экваторе гипотезу”твер-
дая стенка“ (допускается только скольжение воздуха вдоль границы).1. Пусть Φ = Φ(y) , y — широта, ищем ψ в виде ψ(y) . Так как заранее
известно, что ψ от x не зависит, то (45) примет более простой вид, аименно
lψ′′
yy + l′yψ′
y = Φ′′
yy ,
или(lψ′
y)′
y = Φ′′
yy .
Интегрирование дает
ψ′
y(y) = −u(y) =1
l(y)
(Φ′
y(y) − Φ′
y(0)), y 6= 0 .
Здесь учли, что l(0) = 0 .2. Перейдем к пределу в найденном решении:
u(0) = − 1
β(0)Φ′′
yy , β(0) > 0 .
Довольно часто вдоль экватора наблюдается так называемая барическаяложбина. Это означает, что Φ′′
yy > 0 . Но тогда u < 0 , и ветер должендуть с востока на запад (восточный перенос).
3. Допустим, что на экваторе есть область, где Φ не зависит от аргу-ментов x, y , D = 0 (существует функция тока ψ), u, v не зависят от x, yпри некоторых t (равенство (45) должно быть выполнено при каждомтаком t). Тогда от (45) останется лишь
βψ′
y = 0 ,
откуда следует, что uβ(0) = 0 , значит u = 0 , так как β(0) 6= 0 . Полу-чается, что ветер должен иметь строго меридиональное направление,что опровергает гипотезу
”твердая стенка“. Такое действительно имеет
место: течение Финлейтера (у Мадагаскара) как раз меридиональногонаправления.
52
§ 7.9. Схема прогноза
Отправной точкой будет уравнение (16):
dΩa
dt+ ΩaD + det
(ζ ′x ζ ′yu′ζ v′ζ
)= 0 .
Пренебрегая третьим слагаемым, а также учитывая, чтоD = 0 , получим
Ω′
t + uΩ′
x + vΩ′
y + ζΩ′
ζ +dl
dt= 0 ,
поскольку Ωa = Ω + l . Перейдем теперь к функции тока ψ : u = −ψ′
y ,v = ψ′
x , значит Ω = v′x − u′y = ∆ψ , во второй локальной моделиdl
dt= l′yv = βψ′
x . Тогда
(∆ψ)′t − ψ′
y(∆ψ)′x + ψ′
x(∆ψ)′y + βψ′
x = 0 ,
или
∆ψ′
t = det
((∆ψ)′x (∆ψ)′yψ′
x ψ′
y
)− β(y)ψ′
x . (46)
Уравнения (45), (46) лежат в основе схемы прогноза. Рассмотрим сред-ний уровень тропосферы.
1. Пусть в момент t = t0 на границе области сделаны метеонаблюде-ния.
2. По известным Φ, u, v определим значение функции тока
ψ = ψ0 +
∫v dx− u dy на границе.
3. Введем для (45) граничные условия Φ′
t = 0 и ψ′
t = 0 , а также по-требуем, чтобы D > D0 > 0 , где D0 выражается через l.
4. Решим поставленную задачу Дирихле (45). Так определим значе-ние ψ внутри области для фиксированного момента времени t0 .
5. Задачу (46) решаем шагами по времени ∆t . После каждого шагавычисляем из (45) геопотенциал, а затем и ветер.
Изложенная выше схема прогноза была предложена скандинавскимученым Болином. Численное решение задачи Дирихле (45) осуществ-лялось в ней с помощью 150–200 итераций. Двумерная соленоидальнаясхема дает удовлетворительный прогноз на сутки при ∆x = ∆y = 200 км,
53
∆t ≈ 30 мин. Подобная схема прогноза применялась в 1970–80 годах вНовосибирске.
Случай, когда D 6= 0 , сводится к подобному, поскольку при этомu = −ψ′
y + ϕ′
x , v = ψ′
x + ϕ′
y , и D = ϕ′′
xx + ϕ′′
yy .
Отметим, что полная (примитивная) система уравнений с∆x = ∆y = 150 км использовалась в 1970–х годах в Великобритании.Необходимость учитывать звуковые волны накладывает ограничение на
шаг по времени. Применявшийся ∆t был равен1
27,5 мин.
54
Введение
Вертикальный разрез атмосферы Земли
Вспомним график температуры атмосферы Земли (рис. I.1). Име-ет смысл рассматривать шкалу высот до так называемой нижней гра-ницы околоземного космоса (минимальная высота орбиты космическогоаппарата, на которой возможен полный виток вокруг Земли), составля-ющей 160–170 км. Напомним также сведения о газовом составе атмо-сферы. Приблизительно до мезопаузы сохраняется одинаковый составатмосферного воздуха без воды: азот — 78 %, кислород — 21 %, аргон —1 %, прочие газы — менее 1 % по объемным долям.
Об уравнении движения
В случае краткосрочного прогноза уравнения (I.5) было вполне до-статочно. Для построения долгосрочного прогноза в это уравнение необ-ходимо внести некоторые уточнения:
~V = −−−−−→gradW + 2[~V × ~ω] − 1
ρ
−−−→grad p+ ~N . (1)
Здесь первое слагаемое — все тот же, но по–другому записанный, вес(сумма двух потенциальных сил: тяготения и центробежной), а послед-нее — та часть ускорения частицы вещества, которая определяется дей-ствием силы вязкости.
56
Баротропность и бароклинность
Из эксперимента известно, что ~N = ~0 при ~V = ~0 . В жидкостях, вотличие от твердых тел, трения покоя нет. При ~V = ~0 имеем
~V = −−−−−→gradW − 1
ρ
−−−→grad p .
Возьмем ротор от обеих частей этого уравнения. Для этого обозначим~Ω = rot ~V и учтем, что для достаточно гладких f и ~F справедливы та-
кие свойства ротора как rot−−−→grad f = ~0 и rot(f ~F ) = [
−−−→grad f × ~F ] + f rot ~F .
Тогда получим
~Ω =1
ρ2
[−−−→grad ρ×−−−→
grad p].
Если−−−→grad ρ ‖ −−−→
grad p , то среда называется баротропной. В этом слу-
чае согласно уравнению состояния (I.1)−−−→grad ρ ‖ −−−→
grad p ‖ −−−−→gradT . Если−−−→
grad ρ ∦−−−→grad p , то среда называется бароклинной. Причиной тому может
быть, например, ее неравномерное нагревание. В этом случае имеет ме-сто вращательное движение в жидкой или газообразной среде, поскольку~Ω 6= ~0 .
57
Глава 1
Криволинейные ортогональныекоординаты
§ 1.1. Коэффициенты Ламе
Пусть O — начало координат, а X — текущая точка пространства,
тогда радиус–вектор ~X =−−→OX . Считаем, что ~X = ~X(u, v, w) , u = u(t) ,
v = v(t) , w = w(t) на траектории AB , и s =
∫
AB
| ~X′
t| dt . Дифференциал
дуги ds2 =(| ~X′
t| dt)2
=(~X′
t,~X′
t
)dt2 .
Так как ~X′
t = ~X′
u
du
dt+ ~X′
v
dv
dt+ ~X′
w
dw
dt, то для ds2 =
3∑
i,j=1
gij duiduj полу-
чим gij =(~X′
ui, ~X′
uj
)при (u1, u2, u3) = (u, v, w) .
В случае ортогональной системы координат дифференциал дуги при-
мет вид∑
i
gii du2i . Тогда gii = H2
i > 0 , и
~X′
ui= Hi~τi , (2)
где Hi — коэффициенты Ламе, а ~τi — единичные орты.
58
§ 1.2. Вспомогательные сведения из
дифференциальной геометрии
Пусть поверхность задана в виде z = (x, y) , где x , y — координаты вкасательной плоскости к этой поверхности в данной точке, z — по норма-ли. Из–за такого выбора системы координат тейлоровское разложениефункции в окрестности данной точки будет начинаться со 2–й степени.Слагаемые 2–й степени образуют так называемый соприкасающийся па-раболоид. Согласно характеристике точек C2–гладкой поверхности, еслисоприкасающийся параболоид является плоскостью или параболоидомвращения, данная точка называется омбилической; если соприкасаю-щийся параболоид является эллиптическим параболоидом, данная точканазывается эллиптической; если соприкасающийся параболоид являетсяпараболическим цилиндром, данная точка называется параболической;наконец, если соприкасающийся параболоид является гиперболическимпараболоидом, данная точка называется гиперболической. Заметим, ес-ли все точки поверхности являются омбилическими, то это сфера илиплоскость. Имеет место
Теорема 4. (Дюпен) Пусть дана поверхность в криволинейной орто-гональной системе координат. Тогда координатные поверхности пере-секаются по линиям кривизны.
Рассмотрим некоторые следствия теоремы Дюпена.1. Допустим, что на поверхности введена сеть из двух семейств
взаимно–ортогональных линий. Будем считать их координатными лини-ями. Продолжение полученной ортогональной системы в пространствоневозможно по теореме Дюпена.
2. С плоскости и со сферы такое продолжение возможно.
§ 1.3. Градиент
Рассмотрим функцию f = f(X) , где текущая точка пространства
X = X(u1, u2, u3) . Вычислим−−−→grad f в локальной декартовой системе ко-
ординат с началом в точке X и ортами ~τj :
−−−→grad f =
∂f
∂x1~τ1 +
∂f
∂x2~τ2 +
∂f
∂x3~τ3 .
59
Обозначим через sj длину дуги по направлению ~τj , тогда∂f
∂xj=∂f
∂sj.
Кроме того ds2 =∑
j
H2j du
2j =
∑
j
ds2j , и dsj = Hj duj . Поэтому
−−−→grad f =
∑
j
∂f
∂sj~τj =
∑
j
df
Hj duj~τj =
∑
j
hj∂f
∂uj~τj , (3)
где hj =1
Hj
.
§ 1.4. Скорость движения
Считаем, что uj = uj(t) — криволинейные координаты движущейсяточки, t — время. Тогда скорость
~V =d
dt~X =
∑
j
∂~X
∂uj
duj
dt.
С помощью (2) получим
~V =∑
j
Hj~τj uj =∑
j
vj~τj ,
где vj = Hj uj .
§ 1.5. Деривационные формулы
Имеет место следующее разложение
∂~τi∂uj
=∑
k
ηijk~τk .
Коэффициенты ηijk образуют трехмерную матрицу размера 3 × 3 × 3 .
Обозначим hij =∂Hi
∂sj
= hj∂Hi
∂uj
.
60
Теорема 5. Все ηijk выражаются через коэффициенты Ламе и ихчастные производные 1–го порядка:
η112 = −h12, η113 = −h13, η122 = h21, η133 = h31,
η211 = h12, η221 = −h21, η223 = −h23, η233 = h32,
η311 = h13, η323 = h23, η331 = −h31, η332 = −h32,
остальные — нулевые.
§ 1.6. Ускорение
Определим полную производную ~a =d~V
dt, тогда
~a =
3∑
j=1
aj~τj =d
dt
(3∑
j=1
vj~τj
)=
3∑
j=1
(vj~τj + vj
d
dt~τj
).
Согласно деривационным формулам
d
dt~τi =
3∑
j=1
∂~τi∂uj
duj
dt=
3∑
j=1
(3∑
k=1
ηijk~τk
)uj ,
следовательно
~a =3∑
k=1
vk~τk +3∑
i=1
vi ~τi =3∑
k=1
vk~τk +3∑
i=1
(3∑
j=1
3∑
k=1
hjvjηijk~τk
)vi =
=
3∑
k=1
vk~τk +
3∑
k=1
~τk
(3∑
i,j=1
hjηijkvivj
),
или покомпонентно
ak = vk +
3∑
i,j=1
hjηijkvivj . (4)
Второе слагаемое здесь представляет собой несимметризованную квад-ратичную форму.
61
§ 1.7. Запись силы и ускорения Кориолиса
Аналогично § I.2.6 введем на сфере репер ~τ1, ~τ2, ~τ3, так что ~τ3 = ~n —нормаль к эквипотенциальной поверхности поля силы тяжести. Пустьθ — угол между векторами ~ω и ~n, а l = 2ω3 = 2|~ω| cos θ — параметр Ко-риолиса. Тогда
2[~V × ~ω] = (lv2 − 2ω2v3)~τ1 + (2ω1v3 − lv1)~τ2 + (2ω2v1 − 2ω1v2)~n .
При |v3| ≪√v21 + v2
2 можно считать
2[~V × ~ω] ≈ lv2~τ1 − lv1~τ2 + (2ω2v1 − 2ω1v2)~n .
С учетом (3) и (4) проекции (1) на ~τ1 и ~τ2 примут вид
vk = −3∑
i,j=1
hjηijkvivj + (−1)3−klv3−k −1
ρhk
∂p
∂uk
+Nk, k = 1, 2 . (5)
62
Глава 2
Вязкость и турбулентность
§ 2.1. Молекулярная вязкость
Известен следующий экспериментальный факт: на”твердой стенке“
наблюдается явление прилипания, т. е. ~V = ~0. Происходит обмен им-пульсом между силами, подгоняющими медленный слой вещества, и си-лами, тормозящими быстрый слой. Если считать, что ~V = ~V (z), гдекоордината z характеризует высоту слоя, то справедлива простая зави-симость
~Fvis = ηS∂~V
∂z.
Здесь S — площадь рассматриваемого участка”твердой стенки“, а η —
некий коэффициент. Разность между верхним и нижним слоем
~Ftop − ~Fbtm = δ
[ηS
∂~V
∂z
].
Располагающееся в левой части равенства приращение силы вязкостиможно проинтерпретировать иначе, воспользовавшись массой и разни-цей слоев δz ,
(S δz ρ) ~N = δ
[ηS
∂~V
∂z
].
Разделим обе части на выражение в скобках и перейдем к пределуδz → 0. В случае когда вектор скорости ~V перпендикулярен оси z,
63
получим
~N =∂
∂z
(ν∂~V
∂z
), (6)
где ν =η
ρ— кинематическая вязкость. Параметр η носит название
динамической вязкости. Для неподвижной системы координат при от-сутствии силы Кориолиса часто применяется аналог уравнения (1) вида
ρd~V
dt= −ρ−−−−→gradW −−−−→
grad p+ η∆~V +
(ζ +
1
3η
)grad div ~V .
Здесь ζ — так называемая вторая вязкость, а η считается постояннойвеличиной (хотя в некоторых случаях это не так). В метеорологическихзадачах используется
~N =∂
∂z
(ν1∂~V
∂z
)+ ν2∆~V .
На искривленной поверхности ∆ действует как оператор Бельтрами —Лапласа.
§ 2.2. Размерности. Число Рейнольдса
Известны размерности [z] = см, [S] = см2, [~V ] = см/сек, [∂~V
∂z] = 1/сек,
[ρ] = г/см3, [~F ] = г·см/сек2. Поэтому [η] = г/(см·сек) и [ν] = см2/cек. Втабл. 1 представлены величины вязкостей для некоторых веществ.
η, г/(см·сек) ν, см2/cек
ртуть 0,0156 0,0012вода 0,010 0,0010спирт 0,018 0,022глицерин 8,5 6,8воздух 0,00018 0,15
Табл. 1
Допустим, что задан характерный масштаб длины [L] = см и скорости
[u] = см/сек. Тогда безразмерная величинаLu
νносит название числа
Рейнольдса и обозначается Re.
64
§ 2.3. Скорость диссипации энергии
Рассмотрим частный случай ~V = u, 0, 0 и η = 0, тогда получимуравнение схожее с первым уравнением (I.6), а именно
ρdu
dt= −∂p
∂x. (7)
Если теперь η = const 6= 0 и u(0) = u(H) = 0 для z ∈ [0, H ] (горизонталь-ное движение между двух
”твердых стенок“), то
ρdu
dt= −∂p
∂x+ η
∂2p
∂z2. (8)
Допустим также, что среда несжимаема, т. е. ρ = const. Кинетическая
энергия для единицы объема E =1
2ρu2. Далее по (7) имеем
dE
dt= ρu
du
dt= −u∂p
∂x,
и следовательно
δE ≈(dE
dt
)δt = −∂p
∂x(uδt) = −∂p
∂xδx ≈ −δp .
Пусть энергия, равная работе сил давления, перешла в тепловую фор-му (произошла диссипация энергии). Значит δE = 0 . Из (8) следует
(uρdu
dt
)δt = −δt u∂p
∂x+
(uη∂2p
∂z2
)δt .
Проинтегрируем это равенство по параллелепипеду, разделим на объемH и на δt . Согласно предыдущим заключениям получим
1
H δt
H∫
0
δE dz =1
H δt
H∫
0
(−δp) dz +η
H δt
H∫
0
u∂2u
∂z2δt dz .
А так как δE = 0, то
1
H
H∫
0
δp dz =η
H
H∫
0
u∂2u
∂z2δt dz .
65
Проинтегрировав по частям, благодаря условию прилипанияu(0) = u(H) = 0, получим
1
H
H∫
0
(−δpδt
)dz =
η
H
H∫
0
(∂u
∂z
)2
dz . (9)
Если u = u(z), то можно считать, что
∣∣∣∣∂p
∂z
∣∣∣∣ =∣∣∣−−−→gradu
∣∣∣ . Согласно (9) по-
лучим, что для единицы объема
Diss = η
⟨(−−−→grad u
)2⟩,
а для единицы массы за единицу времени
E =Diss
ρ= ν
⟨(−−−→gradu
)2⟩.
§ 2.4. Закон Колмогорова — Обухова
Таким образом E =δE
ρ δt. Пусть λ — линейный масштаб, vλ —
перепад скоростей за счет вихря. Найдем такую комбинацию ве-личин λ и vλ, которая имела бы ту же размерность, что и[E] = (г/см3)·(см2/сек2)·(см3/г)·(1/сек) = см2/сек3 . Отсюда следует(см/сек)α · смβ = см2/сек3, а затем α + β = 2, −α = −3, поэтому α = 3,β = −1 . Тогда
v3λλ
−1 = CE,
где C — безразмерный коэффициент, постоянный для данного потока.Пусть C = c
3, тогда закон Колмогорова — Обухова (1941) запишетсятак:
vλ = c(λE)1/3 . (10)
§ 2.5. Внешний и внутренний масштабы
турбулентности
Если величина числа Рейнольдса превышает некоторое Recr, наблю-дается турбулентность. Пусть Recr = 100. Тогда в случае каменистой
66
поверхности для турбулентности достаточно относительно небольшого
среднего размера камней, поскольку Re =Lu
ν, где L — типичный раз-
мер камней, u — скорость ветра, ν = 0,15.Пусть l — размер самых крупных вихрей, λ0 — размер самых мелких
вихрей, λ — некий промежуточный размер. Тогда l и λ0 будут обозна-чать соответственно внешний и внутренний масштабы турбулентно-сти. Скорости обозначим через ∆u, vλ, vλ0
. Применяя (10), получим
(∆u)3
l= c
3E =
(vλ0)3
λ0,
откудаvλ0
= cE1/3λ0
1/3,
(vλ0)3
λ0=
∆u
l1/3λ0
−2/3 .
Но вместе с тем
Recr =vλ0
λ0
ν=
(vλ0)3
λ0
λ02
ν=
∆u
l1/3λ0
−2/3λ02
ν,
следовательно
λ0 =
(Recr ν
∆u
)3/4
l1/4 .
Например, если ветер за время τ = 20 сек плавно меняет свою скоростьв пределах от 7 м/сек до 13 м/сек, то ∆u = 6 м/сек, а l = τu, где средняяскорость u = 10 м/сек . Тогда λ0 ≈ 1 см.
§ 2.6. Турбулентная вязкость
В метеорологии часто используется такой параметр как турбулент-ная вязкость. В частности, для воздуха νturb = 4 ÷ 12 м2/сек, что,очевидно, не совпадает с соответствующим значением ν. Так как
E = ν
⟨(−−−→gradu
)2⟩
, то
E = ν
(vλ0
λ0
)2
= νλ
(vλ
λ
)2
= νturb
(∆u
l
)2
.
67
Отсюда cогласно (10)
νλ
ν=
(vλ0
λ0
)2
·(λ
vλ
)2
=
(cλ0
1/3
λ0
)2
·(
λ
cλ1/3
)2
=
(λ
λ0
)4/3
.
Поэтому при λ = l получим
νturb = ν
(l
λ0
)4/3
.
Так в предыдущем примере для l = 200 и λ0 = 1 турбулентная вязкостьνturb ≈ 8 м2/сек.
§ 2.7. Геострофический ветер
Рассуждая аналогично §§ I.3.6 – I.3.8, считаем, W = const, и получим
u = lv − lw − 1
ρ
∂p
∂x+ N1
v = − lu − 1
ρ
∂p
∂y+ N2
w = − g + lu − 1
ρ
∂p
∂z+ N3.
Геострофический ветер ~Vg = ug, vg, 0, где
ug = − 1
ρl
∂p
∂y, vg =
1
ρl
∂p
∂x.
§ 2.8. Планетарный пограничный слой и
свободная атмосфера
Рассмотрим в качестве упрощения следующую удобную в расче-тах модель: ~V = ~Cz2 . Сделаем небольшую прикидку: известно, что∣∣∣2[~V × ~ω]
∣∣∣ должно быть в несколько раз больше, чем∣∣∣ ~N∣∣∣ . Воспользовав-
шись (6), придем к выводу, что в данной упрощенной модели толщинаприземного слоя атмосферы будет порядка 1000 м.
68
16
30 50305090
6
@@R
BBBN
AAU
HHj * -@@R6
6
@@I
BBN
HHjHHHHHYHHj 6
?PPPq PPPq
PPPq -
6
6
стратосфералетомВысота, км
Широта, град
Рис. 1
§ 2.9. Задача о повороте ветра в
планетарном пограничном слое
Имеются следующие краевые условия:”прилипание“ у поверхности
Земли ~V = ~0 и геострофический ветер ~V = ~Vg на верхней границе слоя.
Значения l, ρ,∂p
∂x,∂p
∂yфиксируются в данной точке, и считается, что
u = u(z), v = v(z), w = 0 . В результате — система обыкновенных диф-ференциальных уравнений 2–го порядка. Если νturb = const, то решениебудет получено в эллиптических функциях, хотя на самом деле турбу-лентная вязкость νturb зависит от z и от других величин.
§ 2.10. Атмосферные фронты, циклоны и
антициклоны
Напомним, что в северных широтах геострофический ветер обходитциклоны против часовой стрелки (подробности см. в главе I.3).
69
§ 2.11. Задача о толщине тропосферы
В части I обсуждался лучистый теплообмен. Теперь используем дру-гой подход: циклоны и антициклоны ведь можно рассматривать как тур-булентности с масштабом l порядка нескольких сотен км. Тогда будетдругой турбулентная вязкость (обозначим ее νl) и увеличится толщинапограничного слоя. В упрощенной модели из § 2.8 толщина h тропо-
сферы пропорциональна1√l
(здесь l — параметр Кориолиса, нулевой на
экваторе и максимальный на полюсе). Фактически, это и есть зависи-мость толщины тропосферы от географической широты. На экваторезначение h достигает 17 км, а на полюсах оно около 8 км. На рис. 1 так-же изображена схема движения воздушых масс для тропосферы и длястратосферы северного полушария в летний период.
§ 2.12. Струйные течения и отрицательная
вязкость
Кроме того график (см. рис. 1) на самом деле имеет разрывы в обла-стях так называемых струйных течений. Эти течения обладают высо-кой скоростью, так что иногда приходится допускать νl < 0.
70
Глава 3
О построении примитивнойсистемы уравнений
§ 3.1. О примитивной системе уравнений
При построении системы уравнений (см. § I.1.5) будем опираться нафундаментальные физические законы: 1) сохранения вещества (второйзакон Ньютона и, следовательно, уравнение движения); 2) свойства ве-щества (уравнение состояния); 3) сохранения массы (уравнение нераз-рывности); 4) сохранения энергии (уравнение притока тепла); 5) балансавлажности. Независимые переменные: три пространственные координа-ты и время. Искомых скалярных функций семь: T , p, ρ, ~V = u, v, w,а также влагосодержание. Скалярных уравнений столько же, системазамкнута. К тому же в случае долгосрочного прогноза необходимо учи-тывать и другие воздушные примеси кроме воды.
§ 3.2. Уравнение неразрывности
Пусть S — некоторая неподвижная поверхность в потоке сплошнойсреды, ~n — единичный вектор нормали к ней. Обозначим через ~V ско-рость, а через ρ плотность сплошной среды. Если M = M(t) — массавыделенного объема G, то
M =
∫∫∫
G
ρ dU,
71
поэтомуdM
dt=
∫∫∫
G
∂ρ
∂tdU.
Изменение массы за промежуток времени δt есть
δM =
−
∫∫
S
(ρ~V , ~n) dS
δt,
значит производнаяdM
dt= −
∫∫
S
(ρ~V , ~n) dS.
Здесь ρ~V — так называемая массовая скорость. По формуле Гаусса —Остроградского
dM
dt= −
∫∫∫
G
div(ρ~V ) dU,
в итоге ∫∫∫
G
(∂ρ
∂t+ div(ρ~V )
)dU = 0
для любого объема G . Отсюда уравнение неразрывности
∂ρ
∂t+ div(ρ~V ) = 0. (11)
§ 3.3. Преобразование уравнения
неразрывности
Известно, что div(ρ~V ) = ρ div ~V + (−−−→grad ρ, ~V ). Тогда из (11)
∂ρ
∂t+ (
−−−→grad ρ, ~V ) + ρ div ~V = 0,
или объединяя в полную производную вдоль траектории,
dρ
dt+ ρ div ~V = 0.
72
Разделив на ρ > 0, получим другую форму уравнения неразрывности
d
dt(ln ρ) + div ~V = 0.
В частном случае, если сплошная среда несжимаема,
div ~V = 0.
§ 3.4. Обсуждение вывода уравнения
неразрывности
Отметим, что вывод уравнения опирался на гипотезу, согласно ко-торой изменение массы M для данного объема G происходит только засчет движения со скоростью ~V . Есть случаи, когда это не так:
1) (астрофизический) потоки вещества и потоки электромагнитногоизлучения;
2) (гидрогеологический) пористые породы с трещинами;3) (метеорологический) ветер и дождь.В дальнейшем будем преобразовывать часть примитивной системы
уравнений с тем, чтобы в явной записи выделилось уравнение для при-земного давления p∗.
73
Глава 4
Уравнения в специальныхкоординатах
§ 4.1. Специальная замена координат
Пусть ξ1, ξ2, ξ3 — пространственные координаты, одна из которых —например, третья ξ3 = z — выделена. Будем рассматривать функции ар-гумента (X, t) = (ξ1, ξ2, ξ3, t). Применительно к атмосферному давлениюp(X, t) есть два замечательных параметра: типичное давление p0 = constна уровне моря (см. § I.2.2) и приземное давление p∗(ξ1, ξ2, t). Обозначим
ζ =p
p0, σ =
p
p∗.
Как ζ так и σ можно принять за новую координату по вертикальному
направлению. Здесь важно то, что p0 > 0, p∗ > 0 и∂p
∂zсохраняет знак.
Рассмотрим функцию f(ξ1, ξ2; σ; t), считая, что z = Z(ξ1, ξ2; σ; t). Произ-водная в новой системе координат будет выражаться через производнуюв старой системе как
f ′
ξk=∂f
∂ξk+∂f
∂zZ ′
ξk, f ′
σ =∂f
∂zZ ′
σ,
поэтому∂f
∂ξk= f ′
ξk−Z ′
ξk
Z ′
σ
f ′
σ, k = 1, 2. (12)
74
§ 4.2. Модель”тонкая атмосфера“
Введем на поверхности уровня W = const координаты ξ1, ξ2, z так,что ξ1, ξ2 — ортогональные координаты этой поверхности, а ось z на-правлена по нормали вверх. Модели
”тонкая атмосфера“ свойственны
следующие допущения:1) толщина атмосферы много меньше радиуса планеты;2) g = g(ξ1, ξ2) не зависит от z;3) метрика ds2 = H2
1dξ21 +H2
2dξ22 + dz2, где Hj = Hj(ξ1, ξ2), j = 1, 2.
§ 4.3. Геопотенциал
Поверхность W = const принимается за уровень Z = 0. Тогда в рам-ках модели
”тонкая атмосфера“ единичная масса обладает потенциаль-
ной энергией Φ =
z∫
0
g dz = gZ(ξ1, ξ2; σ; t). Это и есть геопотенциал.
§ 4.4. Условная вертикальная скорость
По аналогии с § I.2.5 обозначим σ =dσ
dt. Для представления
~V = v1~τ1 + v2~τ2 + w~n согласно (3) справедливо ξj = hjvj. Затем
w =dz
dt=dZ
dt= Z ′
ξ1
dξ1dt
+ Z ′
ξ2
dξ2dt
+ Z ′
σ
dσ
dt+ Z ′
t.
Следовательно
σ =1
Z ′
σ
(w − Z ′
t −2∑
j=1
Z ′
ξjhjvj
),
или
σ =1
Φ′
σ
(gw − Φ′
t − g
2∑
j=1
Z ′
ξjhjvj
). (13)
75
§ 4.5. Дивергенция в ортогональных
криволинейных координатах
Пусть дано векторное поле ~f =3∑
j=1
fj~τj (в нашем случае ~τ3 = ~n) и мет-
рика ds2 =3∑
j=1
H2j dξ
2j . Обозначим B = H1H2H3, b =
1
B(здесь использо-
вано сходство с hj =1
Hj). Тогда
div ~f = b3∑
j=1
∂
∂ξj(Bhjfj). (14)
§ 4.6. Гидростатическое приближение —
запись в σ–координатах
В модели”тонкая атмосфера“ ds2 =
2∑j=0
H2j dξ
2j + dz2, так как H3 = 1,
поэтому
−−−→grad p =
2∑
j=1
hj∂p
∂ξj~τj +
∂p
∂z~n.
Считаем, что вектор ~n направлен против силы тяжести, тогда из опре-деления σ
∂p
∂z=p′σZ ′
σ
=(p∗(ξ1, ξ2, t)σ)′σ
Z ′
σ
.
Из (I.2) следует, чтоp∗
Z ′
σ
= −ρg,
или
ρ = − p∗
Φ′
σ
. (15)
76
§ 4.7. Горизонтальная дивергенция
Займемся преобразованием дивергенции. Для ~V = v1~τ1 + v2~τ2 + w~n в(14) справедливо Bh1 = H2, Bh2 = H1, Bh3 = H1H2, поэтому
div ~V = b
(∂
∂ξ1(H2v1) +
∂
∂ξ2(H1v2) +H1H2
∂w
∂z
)=
= b
(∂
∂ξ1(H2v1) +
∂
∂ξ2(H1v2)
)+∂w
∂z.
Применяя (12), получим
div ~V = b
((H2v1)
′
ξ1+ (H1v2)
′
ξ2− 1
Z ′
σ
2∑
j=1
hjZ′
ξj(vj)
′
σ
)+∂w
∂z. (16)
Обозначим через Dσ~V = b((H2v1)
′
ξ1+ (H1v2)
′
ξ2
)— горизонтальную σ–
дивергенцию. Если w = 0, и если v1, v2 не зависят от z (тогда они не
зависят и от σ), то Dσ~V = div ~V .
§ 4.8. Вспомогательные преобразования
1. Из (15) известно, что Z ′
σ < 0. Значит
d
dtln |Z ′
σ| =d
dtln(−Z ′
σ) =1
Z ′
σ
(Z ′′
σt +2∑
j=1
Z ′′
σξj
dξjdt
+ Z ′′
σσσ
),
илиd
dtln |Z ′
σ| =1
Z ′
σ
(Z ′′
σt +
2∑
j=1
hjvjZ′′
σξj+ Z ′′
σσσ
).
2. На основе рассуждений из § 4
∂w
∂z=w′
σ
Z ′
σ
=
=1
Z ′
σ
(Z ′′
tσ + Z ′′
σσσ + Z ′
σ(σ)′σ +
2∑
j=1
(Z ′′
ξjσhjvj + Z ′
ξjhj(vj)
′
σ
))=
77
= (σ)′σ +1
Z ′
σ
2∑
j=1
Z ′
ξjhj(vj)
′
σ +d
dtln |Z ′
σ|.
3. Из предыдущего, а также из (16) следует
div ~V = Dσ~V + (σ)′σ +d
dtln |Z ′
σ|.
4. Наконец, на основе (15)
ln ρ = ln
(p∗
g
)− ln |Z ′
σ|.
§ 4.9. Уравнение неразрывности в
σ–координатах
Заметим, что
d
dt
(lnp∗
g
)=
(p∗)′tp∗
+2∑
j=1
(g
p∗
)(p∗
g
)′
ξj
hjvj .
Подставим теперь все вычисленные значения в уравнение неразрывностивида
d
dt(ln ρ) + div ~V = 0
и получим
(p∗)′t + p∗(σ)′σ + gDσp∗
g~V = 0. (17)
Следует отметить, что это уравнение — результат точного преобразова-ния формул без
”выбрасывания“ каких–либо величин.
§ 4.10. Уравнение неразрывности в
ζ–координатах
Рассуждая аналогично для ζ =p
p0, p0 = const в случае, когда
g = const получим(ζ)′ζ +Dσ~V = 0.
Таким образом, получается, что в пространстве координат ξ1, ξ2, ζ име-ется движущаяся несжимаемая сплошная среда.
78
§ 4.11. Граничное условие для σ
Будем считать, что z∗ = Z∗(ξ1, ξ2) — уровень рельефа планеты, и, со-ответственно, Φ∗ = gZ∗. Введем дополнительные предположения: пустьверхняя и нижняя границы рассматриваемой области пространства, атакже траектории воздушных частиц являются гладкими функциями.Тогда потребуем, чтобы σ = 0 на подстилающей поверхности (σ = 1) ина верхней границе (σ = 0).
§ 4.12. Уравнение для p∗
Проинтегрируем (17) по σ от 0 до 1, учитывая, что p∗ не зависит от σ,
(p∗)′t + g
1∫
0
Dσp∗
g~V dσ + p∗
1∫
0
(σ)′σ dσ = 0.
В силу установленных граничных условий последнее слагаемое занулит-
ся. Введем обозначения: g
1∫
0
Dσ1
g~V dσ = Dσ~V и
1∫
0
vj dσ = vj. Тогда
после перегруппировки в уравнении получим
(ln p∗)′t + h1v1(ln p∗)′ξ1 + h2v2(ln p
∗)′ξ2 +Dσ~V = 0. (18)
§ 4.13. Уравнение состояния
Как известно, в уравнении состояния p = RρT идеального газа по-
стоянная R =R0
µ, где µ — средняя молекулярная масса смеси. Приме-
си характеризуются набором параметров ~η = (η1, . . . , ηn). Здесь ηj естьотношение массы j–й примеси к массе воздуха без примесей. Тогда вобщем случае ρ = ρ(p, T, ~η). Виртуальная температура, согласно § I.6.11,определяется как
Tv =p
Rρ(p, T, ~η),
где постоянная R соответствует воздуху без примесей. Если функцияρ(p, T, ~η) известна, то известна и виртуальная температура Tv(p, T, ~η).
79
Уравнение состояния примет вид
p = RρTv. (19)
§ 4.14. Преобразование слагаемого1
ρgrad p
в уравнении движения
Согласно (12) и (15)
−1
ρhj∂p
∂ξj~τj =
(−Φ′
σ
p∗
)hj
(p′ξj
−Z ′
ξj
Z ′
σ
p′σ
)~τj .
На основе (15) и (19) получим аналог равенства (I.11)
−σΦ′
σ = RTv,
поэтому
−1
ρhj∂p
∂ξj~τj = hj
(RTv(ln p
∗)′ξj+ g
(1
gΦ
)′
ξj
)~τj .
Здесь в правой части находятся Tv, p∗, Φ — искомые в примитивной
системе уравнений.
§ 4.15. Вычисление Φ
Рассмотрим два варианта постановки задачи для нахождения Φ.1. Пусть известна функция Tv = Tv(p, T, ~η), T и ~η как функции от σ
при фиксированных ξ1, ξ2, t, а также p∗ и z∗. Тогда будет известной ифункция
Φ∣∣∣σ=1
= g(ξ1, ξ2)z∗(ξ1, ξ2).
Следовательно
Φ(ξ1, ξ2; σ; t) = gz∗ −σ∫
1
RTv
σdσ.
2. Допустим, что имеет место случай идеального газа. Тогда Tv = T .Пусть известна температура T как функция от z. Будем искать функцию
80
Z, решая задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравне-ния
σgZ ′
σ +RT (Z) = 0, Z∣∣∣σ=1
= z∗.
Например, если T = T ∗ − γZ, z∗ = z1, g = const, то решение уравне-ния типа Эйлера
σZ ′
σ +R
g(T ∗ − γZ) = 0
в случае, когда p∗ = p0 (а значит, и σ = ζ), в виде геопотенциала приметоблик
Φ = Φ1ζγ + Φ
(1 − ζ γ
),
где Φ1 = gz1, Φ =gT ∗
γ, γ =
Rγ
g.
§ 4.16. Вычисление σ
Связь σ и w =dz
dtизвестна:
w = Z ′
t + Z ′
σσ +2∑
j=1
hjvjZ′
ξj=
1
g
(Φ′
t −RTvσ
σ
)+
2∑
j=1
hjvj
(1
gΦ
)′
ξj
,
однако сама величина w точному измерению не поддается (можно ска-зать, что это скорость порядка нескольких сантиметров в секунду). По-этому для вычисления σ вернемся к уравнению неразрывности (17). Про-изведем интегрирование его слагаемых (p∗)′t и p∗(σ)′σ по отрезкам [0, 1] и[0, σ] и, благодаря граничным условиям, получим
1∫
0
(p∗)′t dσ = (p∗)′t ,
σ∫
0
(p∗)′t dσ = σ(p∗)′t ,
1∫
0
p∗(σ)′σ dσ = 0,
σ∫
0
p∗(σ)′σ dσ = p∗σ.
Теперь из результатов интегрирования (17) по [0, 1] и по [0, σ] выразим
σ =g
p∗
σ1∫
0
Dσp∗
g~V dσ −
σ∫
0
Dσp∗
g~V dσ
.
81
§ 4.17. Об уравнении притока тепла
Пусть уравнение состояния ρ = ρ(p, T, η1, . . . , ηn). Рассмотрим про-странство координат p, U, T (см. § I.6.1), в котором задана поверхностьU = U(p, T ) для фиксированного ~η. Теплоемкость cp = cp(p, T, η1, . . . , ηn)также будем считать известной. Тогда согласно второму закону термо-
динамикиdQ
Tявляется полным дифференциалом. Обозначив его dS,
получим (см. § I.6.8), что
S = S(p0, T0) +
(p,T )∫
(p0,T0)
(−∂U∂T
dp+cpTdT
).
Ну а согласно постулату Нернста S∣∣∣T=0
= 0. Пусть E — приток тепла
к единице массы движущегося воздуха за время t. ЗначитdQ
dt= E, и
уравнение притока тепла в общем виде
dS
dt=E
T. (20)
Если допустить, что cp > 0, то и∂S
∂T> 0, и следовательно, в силу моно-
тонности S(T ), существует T (S). Соответственно виртуальная темпера-тура Tv = Tv(p, S, η1, . . . , ηn).
§ 4.18. Обсуждение примитивной системы
Итак, если рассматривать простейший случай, когда η = η1 толькодля водяного пара, то искомыми в примитивной системе будут семь ска-лярных функций ~V = u, v, w, ρ, p, T , η. Скалярных уравнений будет
столько же: (1), (11), (19), (20) и уравнение баланса влажности дляdη
dt.
Основные сопутствующие проблемы:1) густота сети пунктов наблюдения;2) граничные условия, в особенности, на подстилающей поверхности
в сложном рельефе;3) уточнение притока тепла E, турбулентной вязкости ~N , величин,
связанных с переносом влаги, испарением и конденсацией.
82
Глава 5
Полиномы Лежандра исферические функции
§ 5.1. Уравнения и полиномы Лежандра
Решения дифференциального уравнения
d
dµ
[(1 − µ2)
dy(µ)
µ
]+ n(n + 1)y(µ) = 0
будем называть полиномами Лежандра [3] Pn(µ). Справедливо рекур-рентное соотношение Pn+1(µ) = (2n+ 1)µPn(µ) − nPn−1(µ), P0(µ) = 1,P1(µ) = µ.
§ 5.2. Присоединенные функции Лежандра
Исходное дифференциальное уравнение можно переписать как
(1 − µ2)y′′ − 2µy′ + n(n+ 1)y = 0.
В результате m–кратного дифференцирования этого уравнения получим
(1 − µ2)x′′ − 2(m+ 1)µx′ + (n(n + 1) −m(m+ 1))x = 0,
где 0 6 m 6 n и x(µ) =dmy
dµm. Сделаем теперь замену
x(µ) =z(µ)(
−√
1 − µ2)m .
83
Тогда уравнение примет вид
d
dµ
[(1 − µ2)
dz(µ)
µ
]+
(n(n + 1) − m2
1 − µ2
)z(µ) = 0.
Но так как y(µ) = Pn(µ) — полином Лежандра, то соответственно
x(µ) = P(m)n (µ), и z(µ) =
(−√
1 − µ2)m
P(m)n (µ) = Pm
n (µ) — присоединен-
ные функции Лежандра. Условимся считать, что P 0n = Pn.
§ 5.3. Тригонометрическая форма
Пусть µ = sin ξ, тогда 1 − µ2 = cos2 ξ. Если |ξ| 6π
2, то
√1 − µ2 = cos ξ. Следовательно
Pmn (sin ξ) = (− cos ξ)mP (m)
n (sin ξ), n = 0, 1, 2, . . . , 0 6 m 6 n.
Посколькуd
dµ=
1
cos ξ
d
dξ, уравнение будет
(cos ξ)d
dξ
((cos ξ)
dz
dξ
)+(n(n + 1) cos2 ξ −m2
)z = 0. (21)
Отметим также одну вспомогательную формулу
(1 − µ2)(Pmn )′ =
1
2n+ 1
((n+ 1)(m+ n)Pm
n−1 + n(n−m+ 1)Pmn+1
). (22)
§ 5.4. Сферические функции
Введем координаты на сфере: долготу λ и широту ξ. Будем рассмат-ривать наборы сферических функций
Pn(sin ξ), Pmn (sin ξ) cosmλ, Pm
n (sin ξ) sinmλ.
Функции Pn(sin ξ) четны при четном n и нечетны — при нечетном. Ана-логично, функции Pm
n (sin ξ) cosmλ и Pmn (sin ξ) sinmλ четны при четном
(n+m) и нечетны в противоположном случае.
84
Глава 6
Околополюсный вихрь. Индексциркуляции
§ 6.1. О сферических координатах
Пусть ξ1 = λ — долгота, ξ2 = ξ — широта, ξ3 = z = r − r0, причем
радиус r0 задан. Тогда в метрике ds2 =
3∑
j=1
ds2j будет ds1 = r cos ξdλ,
ds2 = rdξ, ds3 = dz, т. е. H1 = r cos ξ,H2 = r,H3 = 1. Если ~τ1, ~τ2, ~τ3 = ~n—единичные векторы координатных линий , то согласно деривационнымформулам
∂~τi∂ξj
=3∑
k=1
ηijk~τk .
В частности, ηi3k = 0, так какd~τidξ3
= ~0.
§ 6.2. Упрощенная сферическая модель
Будем придерживаться следующих допущений:1) подстилающая поверхность — сфера;
2) p∗ = p0 = const и ζ =p
p0;
3) ~N = ~0 — невязкая модель;4) гидростатическое приближение (см. § I.1.7);
85
5)dz
dt= w и
dζ
dt= ζ достаточно малы;
6) g = const.
Основываясь на них, для ~V =
3∑
k=1
vk~τk получим
(v1)′
t +1
r0
(1
cos ξv1(v1)
′
λ + v2(v1)′
ξ − (tg ξ)v1v2
)+
+1
r0 cos ξΦ′
λ − 2(ω sin ξ)v2 = 0,
(23)
(v2)′
t +1
r0
(1
cos ξv1(v2)
′
λ + v2(v2)′
ξ + (tg ξ)v21
)+
+1
r0Φ′
ξ + 2(ω sin ξ)v1 = 0.
§ 6.3. Частное решение — стационарный
зональный поток
Пусть Φ = Φ(ξ, ζ). Тогда существует решение системы (23), не за-
висящее от времени t и от долготы λ, так что скорость ~V направленапо параллели. Таким образом, v1 = U , v2 = 0 и, стало быть, (v1)
′
t = 0,(v1)
′
λ = 0, Φ′
λ = 0. От системы (23) останется одно уравнение
U2 tg ξ + 2(r0ω sin ξ)U + Φ′
ξ = 0 (24)
относительно U = U(ξ, ζ).
§ 6.4. Грубая модель температуры в
тропосфере
Для четной на[−π
2,π
2
]функции справедливо тейлоровское прибли-
жениеf(ξ) ≈ a0
2+ a1 cos 2ξ = (
a0
2− a1) + 2a1 cos2 ξ.
86
Используем эту аппроксимацию для температуры атмосферы одного по-лушария Земли: T = T0 + (δT ) cos2 ξ по широте и T = T ∗ − γz по высоте(на каждой из широт). Можно считать, что
T = T ∗
0 + (δT ∗) cos2 ξ − (γ0 + (δγ) cos2 ξ)z.
Примем также, что Tv = T . Для геопотенциала используем приближениев виде стационарного зонального потока Φ(ξ, ζ):
Φ ≈ Φst = Φ0(ζ) +B(ζ) cos2 ξ, Φ∣∣∣ζ=1
= Φ1.
Тогда Φ′
ξ = −2B cos ξ sin ξ, и из (24)
U2 tg ξ + 2(r0ω sin ξ)U − 2B cos ξ sin ξ = 0.
Решая квадратное уравнение, имеем
U =(√
(r0ω)2 + 2B − r0ω)
cos ξ = r0ωα,
где индекс циркуляции
α =
√(r0ω)2 + 2B − r0ω
r0ω.
Итак, имеет место так называемое твердотельное вращение: при каж-дом ζ воздух вращается как единое целое.
§ 6.5. Линеаризация
Полагаем v1 = U + u, v2 = v и Φ = Φst + r0ϕ cos ξ. Считая, что u, v,ϕ находятся в достаточно малой окрестности нуля, линеаризуем (23).Получим
u′t + αu′λ − 2ω1v sin ξ + ϕ′
λ = 0v′t + αv′λ + 2ω1u sin ξ + (ϕ cos ξ)′ξ = 0,
(25)
где ω1 = ω + α.
87
§ 6.6. Сезонные изменения индекса
циркуляции
В табл. 2 указаны примерные значения параметраα
ωв процентах для
трех ситуаций:1)
”лето“: T ∗ = 300 K, высота тропопаузы на экваторе 17,5 км
(T = 200 K), на полюсе — 9 км (T = −50C), γ0 = 4 градуса на км;2)
”зима“: то же, но для полюса — 8 км и −60C соответственно;
3)”зима, нижняя тропосфера“: то же, но для полюса −40C.
ζ”лето“
”зима“
”зима, ниж. тр–ра“
0,7 1,8 – ≈ 3
0,5 3,1 4,2 –0,3 4,6 6,5 –
Табл. 2
А в табл. 3 указаны значения того же параметра для северного полу-шария в среднем за год, максимальное и минимальное.
ζ среднегодовое max min
0,7 2,3 3 1,70,5 3,7 4,6 2,80,3 5,5 6,8 4,5
Табл. 3
88
Глава 7
Линейная теория длинных волнв средней тропосфере
§ 7.1. Бездивергентный средний уровень.
Функция тока
Согласно определению
Dσ~V = h1h2
((H2v1)
′
ξ1+ (H1v2)
′
ξ2
)=
=1
r20 cos ξ
((r0(U + u))′λ + ((r0 cos ξ)v)′ξ
)=
=1
r0 cos ξ
(u′λ + (v cos ξ)′ξ
),
где H1 = r0 cos ξ, H2 = r0, и hj =1
Hj
, j = 1, 2.
Из эксперимента известно, что на подстилающей поверхности и околотропопаузы |ζ| много меньше, чем в средней тропосфере, поэтому поприближенной теореме Ролля (см. § I.7.2) (ζ)′ζ = 0 для некоторого уровняζ . Благодаря уравнению неразрывности в ζ–координатах это означает,что Dσ~V = 0, а следовательно и
u′λ + (v cos ξ)′ξ = 0.
Это, в свою очередь, значит, что дифференциальная форма−u dξ + v cos ξ dλ является полным дифференциалом dψ. Здесь ψ —
89
функция тока, иψ′
ξ = −u, ψ′
λ = v cos ξ.
§ 7.2. Система уравнений для ψ, ϕ
Сделаем следующее преобразование: второе уравнение (25) продиф-ференцируем по λ и вычтем из него первое, домноженное на cos ξ и про-дифференцированное по ξ. Получим
(∇2ψ)′t + α(∇2ψ)′λ + 2ω1ψ′
λ = 0, (26)
где оператор Лапласа на сфере
∇2ψ =1
cos2 ξψ′′
λλ +1
cos ξ(ψ′
ξ cos ξ)′ξ,
так как
v′λ − (u cos ξ)′ξ =
(ψ′
λ
cos ξ
)′
λ
+ (ψ′
ξ cos ξ)′ξ = (cos ξ)∇2ψ.
Затем в первом уравнении (25) перейдем к функции тока
(ψ′′
ξt + αψ′′
ξλ) cos ξ + 2ω1ψ′
λ sin ξ = ϕ′
λ cos ξ. (27)
Система (25) распалась: уравнение (26) теперь не содержит неизвестнойфункции ϕ. Правда, это уравнение третьего порядка.
§ 7.3. Частное решение для функции тока
Будем искать функцию ψ в виде ψ(λ, ξ, t) = z(ξ) exp (im(λ− βt)), гдеβ = const. Тогда
ψ′
ξ = z′ξ exp (im(λ− βt)) , ψ′
λ = imz exp (im(λ− βt)) , ψ′′
λλ = −m2ψ,
∇2ψ = − m2ψ
cos2 ξ+
1
cos ξ
(z′ξ exp (im(λ− βt)) cos ξ
)′
ξ=
= exp (im(λ− βt))
(1
cos ξ(z′ξ cos ξ)′ξ −
m2z
cos2 ξ
).
90
В итоге (26) примет вид
im exp(im(λ− βt))
((−β + α)
(1
cos ξ(z′ξ cos ξ)′ξ −
m2z
cos2 ξ
)+ 2ω1z
)= 0.
(28)Считая, что β < α, обозначим
2ω1
α− β= n(n+ 1).
Тогда из (28) следует
1
cos ξ
(z′ξ cos ξ
)′
ξ+
(n(n+ 1) − m2z
cos2 ξ
)z = 0.
Согласно (21) этому уравнению удовлетворяет присоединенная функцияЛежандра z = Pm
n (sin ξ). Другими словами, существует решение
ψ = Pmn (sin ξ) exp (im(λ− βnt)),
где формула Гаурвица
βn = α− 2(ω + α)
n(n + 1).
§ 7.4. Частное решение для ϕ
Аналогично, будем искать ϕ в специальном видеϕ = z(µ) exp(im(λ− βnt)), где µ = sin ξ.
Подставим найденное решение ψ в левую часть (27), а в правую —функцию ϕ. Получим
((1 − µ2)(Pm
n (µ))′µ(im)(−βn + α) + 2ω1(imµ)Pmn (µ)
)exp (im(λ− βnt)) =
= exp (im(λ− βnt)) z(µ).
Пусть
Hmn (µ) = µPm
n (µ) +1 − µ2
n(n+ 1)(Pm
n (µ))′µ.
Следовательноz(µ) = 2ω1H
mn ,
91
иϕ = 2ω1H
mn (sin ξ) exp (im(λ− βnt)).
Для вычисления (Pmn )′µ можно воспользоваться формулой (22), полагая,
что Pmn ≡ 0 при m > n.
Например,
H13 (µ) =
1
8(45µ2 − 1)µ
√1 − µ2,
или
H13 (sin ξ) =
45
8
(sin2 ξ − 1
45
)sin ξ cos ξ.
§ 7.5. Планетарные волны
Итак, после разделения вещественных и мнимых частей, полученысерии решений
ψImn = Pm
n (sin ξ) cosm(λ− βnt),
ϕImn = 2(ω + α)Hm
n (sin ξ) cosm(λ− βnt),
(29)
ψIImn = Pm
n (sin ξ) sinm(λ− βnt),
ϕIImn = 2(ω + α)Hm
n (sin ξ) sinm(λ− βnt),
поскольку ω1 = ω + α. По сути дела эти решения соответствуют волнам,движущимся вдоль параллели при m 6 n. Это перемещение происходитсогласно формуле Гаурвица.
§ 7.6. Разложение геопотенциала и схема
прогноза
Сначала делается допущение, что Φ нечетен по ξ. Поэтому в разло-жении Φ в начальный момент времени по сферическим функциям будутприсутствовать только такие, у которых сумма индексов нечетна. На-пример, по (22)
H11 =
1
6P 1
2 , H13 =
3 · 34 · 7P
14 +
4 · 43 · 7P
12 , . . . .
92
Зафиксировав при t = 0 геопотенциал в виде Φ = Φst +Hmn , затем
включим в рассмотрение решения (29) при t отличном от нуля. В частно-сти, для среднего уровня ζ = 0, 5 по ним можно определить геопотенциал(а значит, давление) и ветер в определенный момент времени.
§ 7.7. Некоторые комментарии
Данная схема не учитывает взаимодействие атмосферных явлений наразных высотах. Нечетность Φ означает, что вблизи экватора Φ = Φst —стационарный зональный поток. В качестве дальнейшего развития дан-ного подхода, можно сразу иметь дело с разложениями по сферическимфункциям всех величин, входящих в примитивную систему.
§ 7.8. Ультрадлинные волны
Среди величин Hmn выделяют несколько групп. Так, при m = 5 вол-
ны фактически неустойчивые, быстро разрушающиеся после появле-ния. Наиболее хорошо подчиняются линейной теории волны с m = n + 2,m = n + 4 при m > 5. Части с m≪ n и m = n появляются в разложени-ях с малыми коэффициентами и вносят, в целом, незначительный вклад.Ультрадлинные волны (m = n+ 2, m = n + 4 при m < 5) присутствуютпостоянно, но линейной теории не подчиняются.
§ 7.9. Блокирующие ситуации
Если βn = 0, то
α =2(ω + α)
n(n + 1),
и следовательноα
ω=
2
n(n + 1) − 2.
В частности, для n = 8 и m = 6 (хороший линейный случай)α
ω≈ 2,8 %.
Судя по табл. 3, это, в сущности, минимум для среднего уровня ζ = 0, 5.Значит, волна должна практически стоять на месте, так как угловая ско-рость минимальна. Такая блокировка имела место, когда каждая волна
93
была примерно по 60 вдоль всей параллели, и три крупных антициклонас центрами над Британскими островами, Восточно–Европейской равни-ной и Якутией в течение длительного срока не меняли своего положения.
94
Глава 8
Верхняя атмосфера. Проблемадолгосрочного прогноза
О долгосрочном прогнозе
Основная задача долгосрочного прогноза (2–3 недели и более) — вы-явить отклонения от нормы для усредненной по региону месячной (де-кадной) температуры и для осадков. О точном прогнозировании в дан-ном случае говорить не приходится. Например, известно, что циклысолнечной активности оказывают влияние на тропосферу Земли. Понят-но, что в целях получения более точного прогноза на длительный срок,неплохо было бы учитывать и данные о вспышках на Солнце. Другоедело, как спрогнозировать сами вспышки.
Ионосфера
Термосфера простирается от 85–90 км и приблизительно до 600 км.Весь этот слой входит в состав ионосферы, нижняя граница которойнаходится на высоте около 60 км днем и 80 км ночью. Ионосфера харак-теризуется наличием свободных электронов, хотя и сам состав
”воздуха“
меняется с высотой: появляются группы OH и атомарный кислород O.Верхняя граница ионосферы составляет около 1000 км.
95
Приложение
Программа первой части курса
1. Центробежная сила и сила Кориолиса. Уравнение движения. Пер-вая локальная модель. Гидростатическое приближение. Геострофиче-ский ветер.
2. Изменение с высотой атмосферного давления. Геопотенциал. Пе-реход в уравнениях к ζ–координатам.
3. Уравнение вихря скорости. Приближенное уравнение для тенден-ции геопотенциала. Двумерная геострофическая схема прогноза.
4. Первый закон термодинамики. Удельные теплоемкости идеаль-ного газа. Потенциальная температура. Сухоадиабатический темпера-турный градиент. Устойчивые и неустойчивые стратификации сухоговоздуха.
5. Тепловая энергия атмосферы. Уравнение притока тепла.6. Преобразование уравнения притока тепла в геострофическом при-
ближении. Постановка граничных условий для трехмерной геострофи-ческой схемы прогноза.
7. Уравнение неразрывности в ζ–координатах (без вывода). Уточнен-ное уравнение для тенденции геопотенциала. Трехмерная геострофиче-ская схема прогноза.
8. Цикл Карно. КПД обратимой тепловой машины. Энтропия.9. Тепловая машина со сменяющимся рабочим веществом. Энталь-
пия. Вычисление удельной энтальпии и удельной энтропии.10. Прогноз обложных осадков в трехмерной геострофической схеме.
Влажноадиабатический температурный градиент. Влияние влажностина развитие тепловой конвекции.
11. Бездивергентный средний уровень тропосферы. Функция тока.Уравнение баланса ветра и давления; исследование его типа. Модели
96
ветра в тропиках и у экватора.12. Связь геострофического приближения с уравнением баланса вет-
ра и давления. Вторая локальная модель. Запись уравнения вихря сфункцией тока. Двумерная соленоидальная схема прогноза.
Программа второй части курса
1. Сила давления в жидкости. Потенциал силы тяжести. Уравнениедвижения. Гидростатическое приближение. Геострофический ветер.
2. Баротропность и бароклинность. Молекулярная вязкость. ЧислоРейнольдса. Турбулентность; диссипация энергии в турбулентном пото-ке.
3. Закон Колмогорова — Обухова. Внешний и внутренний мас-штаб турбулентности, турбулентная вязкость. Планетарный погранич-ный слой. Задача о повороте ветра в пограничном слое.
4. Ортогональные криволинейные координаты, коэффициенты Ла-ме, формулировка теоремы Дюпена. Выражения для градиента и дляскорости. Деривационные формулы (без вывода), выражения для уско-рения.
5. Уравнение состояния. Специальная замена переменных. Геопо-тенциал и его вычисление в σ–координатах.
6. Преобразование уравнения движения к σ–координатам. Условнаявертикальная скорость.
7. Запись дивергенции в ортогональных криволинейных координа-тах. Уравнение неразрывности и его запись в декартовых и в криволи-нейных координатах.
8. Преобразование уравнения неразрывности к σ–координатам.9. Уравнение для приземного давления. Вычисление σ и w.10. Энтропия; формула для ее вычисления (без вывода); уравнение
притока тепла. Примитивная система уравнений.11. Полиномы Лежандра, присоединенные и сферические функции.
Теоремы о разложении по сферическим функциям (без доказательства).12. Упрощенная сферическая модель. Частное решение — стацио-
нарный зональный поток. Индекс циркуляции. Линеаризация.13. Следствие из теоремы Ролля. Бездивергентный средний уровень.
Функция тока. Вывод системы уравнений для среднего уровня в линеа-ризованной модели.
97
14. Частное решение для функции тока. Формула Гаурвица.15. Частное решение для геопотенциала. Планетарные волны. Схема
прогноза.
98
Список литературы
[1] Бабаджанов П. Б. Метеоры и их наблюдение. — М.: Наука, 1987.
[2] Ферри А. Аэродинамика сверхзвуковых течений. — М., Л.:
Гостехиздат, 1952.
[3] Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции (Формулы, гра-фики, таблицы). — М.: Наука, 1968.
c© Э. Р. Розендорн, 2004c© George "epsgam" Epishin, конспект, 2003–2006
99