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  • Manuel Fernando

    Castellar Alvis

  • El mtodo de la falsa posicin puede verse desde

    dos perspectivas, una es el mtodo de Newton y

    la otra es el mtodo de la biseccin. se

    convierten en civilizacin cuando los que

    pertenecen a ese conjunto tienen los mismos

    intereses y creencias y para comunicarse

    necesitan traducir de una cultura a otra.

  • Para el mtodo de Newton es el caso limite del

    mtodo de la falsa posicin, en el cual aparece

    la recta secante en lugar de la tangente.

    Supongamos que se conocen dos puntos

    (0, 0) (1, 1) en la vecindad de la

    interseccin con el eje x requerida. Si

    reemplazamos la curva por la secante que une

    estos dos puntos, la interseccin de sta con el

    eje x puede ser una mejor aproximacin a la raz

    requerida de la ecuacin.

  • Existen 2 tipos de cultura que son cultura

    alta y cultura popular, cada una se

    especializa en diferentes reas de acuerdo

    con Dwight McDonald, el argumenta que la

    cultura alta y popular no pueden ser

    comparadas ni analizadas de igual manera.

    Ya que ambas se refieren a practicas sociales

    diferentes, la cultura alta se refiere a

    dominar cosas mas difciles como tocar el

    piano o el violonchelo y la cultura popular es

    descrita por los gustos culturales mas

    populares como el bailar salsa y tocar la

    guitarra, es decir, ser mas comunes.

  • Partiendo de p el punto de interseccin se

    tiene que la pendiente es la misma para ambas

    semirrectas, desde p hasta p0 desde p hasta p1,esto es:

    x0(x0)

    =X1(X1)

  • De lo cual se obtiene

    = X0 -(X0)

    (X1)(X0)X1X0

    Esta ecuacin, es la que determina la

    aproximacin de P con respecto a x0 y x1 constituyeel mtodo de la falsa posicin.

  • La ecuacin de aproximacin de Newton resulta

    como caso limite cuando, pues el

    denominador del segundo termino del miembro

    derecho en la ecuacin tiende a (0) conforme

    = X0 -(X0)

    (X1)(X0)X1X0

  • Por otro lado tenemos el mtodo de biseccin,

    este mtodo al dividir el intervalo [, ] en mitades iguales no toma en cuenta la magnitud

    de () ().Ahora si por ejemplo si () es mucho mas cercana a cero que (), es lgico que la raz se encuentra mas cerca de que de .

  • Este mtodo alternativo que aprovecha la

    visualizacin grafica consiste en unir () y() con una lnea recta. La interseccin deesta lnea recta con el eje x en el punto P

    representa una mejor estimacin de la raz. El

    hecho de que se reemplace la curva por una

    lnea recta da una falsa posicin de la raz,de aqu el nombre del mtodo.

    Consideremos nuevamente la grafica anterior,

    donde la lnea recta une los puntos extremos

    de la grfica en el intervalo [, ].

  • En lugar de considerar el punto medio del

    intervalo, tomamos el punto donde la recta

    corta al eje x y es sta la idea central del

    mtodo de la falsa posicin. Es la nica

    diferencia con el mtodo de biseccin,

    puesto que en todo lo dems son

    prcticamente idnticos.

    Supongamos que tenemos una funcin ()que es continua en el intervalo [, ] yadems, () y () tienen signos opuestos.

  • Calculemos la ecuacin de la recta que une los

    puntos (, ()) y (, ()) , sabemos que lapendiente de esta recta es:

    = ()

    Luego la ecuacin de la recta es:

    y - f()= ()

    (x - )

    Para obtener el corte con el eje x se hace y=0,

    - f()= ()

    (x - )

  • Finalmente, encontramos x

    = ()()

    ()

    Este punto es el que toma el papel de P en

    lugar del punto medio del mtodo de

    biseccin.

  • El mtodo de la falsa posicin sigue los

    siguientes pasos:

    1. Encontrar valores iniciales a y b, tales que

    f(a) y f(b) tienen signos opuestos

    f(a).f(a)

  • 3. Evaluar, f(xr) y forzosamente debemos caer uno de

    los siguientes casos

    f(a).f(xr)< 0 En este caso, tenemos que f(a) y f(b) tienen signos opuestos, y por lo tanto la raz se

    encuentra en el intervalo [a, xr].

    f(a).f(xr)> 0 En este caso, tenemos que f(a) y f(b) tienen el mismo signo, lo que significa que f(xr)

    y f(b) tienen signos opuestos. Por lo tanto la raz se

    encuentra en el intervalo [xr,b]

    f(a).f(xr) = 0 En este caso se tiene que f(xr) =

    0 y por lo tanto ya encontramos la raz. El proceso

    se vuelve a repetir hasta que el error relativo entre

    dos aproximaciones del cero de f, cumpla con la

    tolerancia previamente establecida. cn cn1

    cn<

  • Ejemplo: Utilizar el mtodo de la falsa posicin

    para aproximar la raz de () = -

    Comenzando en el intervalo [1,2] y hasta que

    el error aproximado sea < %.

    solucin:

    La funcin f(x) es continua en el intervalo dado

    y al evaluarla toma signos opuestos en los

    extremos de dicho intervalo. Por lo tanto

    podemos usar el mtodo de la falsa posicin.

    Calculamos la primer aproximacin:

  • xr1 = ()()

    ()= 2

    2 21

    2 1= 1.397410482

    Puesto que solamente tenemos una aproximacin,

    debemos seguir con el proceso.

    As pues,

    xr1 = 1.397410482-ln(1.397410482)

    = - 0,087384509, por lo que la raz se

    encuentra en el intervalo [1, 1.397410482]

    La nueva aproximacin

    xr2 = 1.397410482 (1.397410482)(11,397410482)

    1 (1,397410482)

    xr2 = 1.321130513

  • en este momento, podemos calcular el primer

    error aproximado.

    error =1.3211305131.397410482

    1.321130513 100%

    = 5.77%

    Dado que la tolerancia an no se ha encontrado

    seguimos con el proceso.

    Evaluamos (xr2) = 1.321130513-ln(1.321130513)

    = 0.011654346

    Vemos que la raz se encuentra en el intervalo

    [1, 1.321130513] con el cual calculamos la siguiente aproximacin

  • xr3 = 1.321130513 (1.321130513)(11.321130513)

    1 (1.321130513)

    xr3 = 1.311269556

    Veamos cual es el error aproximado

    error =1.3112695561.321130513

    1.311269556 100%

    = 0.75%

    El valor 0.75% >1%, por lo tanto concluimos que la aproximacin buscada es

    xr3 = 1.311269556

  • En la siguiente tabla se aprecian las iteraciones

    que se realizan

    Iteracion a b f(a) f(b) xr f(xr) error1 1 2 0,36787944 -0,5578119 1,32974105 -0,08738451

    2 1 1,32974105 0,36787944 -0,08738451 1,32113051 -0,01165435 5,77%

    3 1 1,32113051 0,36787944 -0,01165435 1,31126956 -0,00151808 0,75%

  • GRACIAS