Indice general

Indice general II

Indice de figuras IV

Indice de cuadros V

1. Sistema de ecuaciones lineales simultaneas 11.1. ExPi-SEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.2. Organizacion de argumentos . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.3. Definiendo Argumentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.4. Seleccion del metodo de solucion . . . . . . . . . . . . 3

1.1.4.1. Metodos de solucion directos . . . . . . . . . 41.1.4.2. Metodos de solucion iterativos . . . . . . . . . 4

2. Ecuaciones diferenciales ordinarias 62.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2. Metodos de un paso para la solucion de ecuaciones diferencia-

les ordinarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2.1. Metodo de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2.1.1. Metodo de Euler-cauchy . . . . . . . . . . . . 72.2.1.2. Metodo de hacia adelante . . . . . . . . . . . 8

2.2.2. Metodo de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3. Ejemplos de aplicacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4. ExPi-EDO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4.1. Caracterısticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4.2. Definiendo la ecuacion general . . . . . . . . . . . . . . 112.4.3. Definiendo los valores iniciales . . . . . . . . . . . . . . 122.4.4. Metodos de analisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4.5. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

ii

2.4.6. Resultados paso a paso . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3. Ecuaciones diferenciales parciales 153.1. Ecuaciones en derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2. Ecuaciones lineales de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . 153.3. Clasificacion de las ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.3.1. Hiperbolicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.3.2. Parabolicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.3.3. Elıpticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.4. Condiciones de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.4.1. Condiciones de frontera(valores iniciales) . . . . . . . . 173.4.2. Valores de frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.5. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.6. Aplicacion uno: Flujo en medio poroso . . . . . . . . . . . . . 19

3.6.1. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.6.2. Condiciones de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.6.3. Formulacion de elementos finitos para problemas de flujo 23

3.6.3.1. Division del domino en elementos . . . . . . . 243.6.3.2. Ecuacion del FEM para el elemento . . . . . . 243.6.3.3. Obtencion del sistema discreto . . . . . . . . 253.6.3.4. Introduccion de las condiciones de contorno

esenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.6.3.5. Resolucion del sistema lineal de las ecuaciones 263.6.3.6. Calculo de flujo en un contorno . . . . . . . . 26

3.6.4. ExPπFEMseep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.6.5. Ejemplo uno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.6.5.1. Preparacion de argumentos . . . . . . . . . . 283.6.5.2. Seccion transversal de la presa . . . . . . . . 283.6.5.3. Discretizacion del dominio completo . . . . . 313.6.5.4. Proceso de calculo . . . . . . . . . . . . . . . 313.6.5.5. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.6.6. Codigo fuente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.6.6.1. Codigo fuente en matlab . . . . . . . . . . . . 32

Bibliografıa 35

I Anexos 36

iii

Indice de figuras

1.1. Ventana principal de ExPi-SEL . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Menu datos ExPi-SEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Editar argumetnos ExPi-SEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4. Metodos de solucion directos ExPi-SEL . . . . . . . . . . . . . 51.5. Metodos de solucion iterativos ExPi-SEL . . . . . . . . . . . . 5

2.1. Ventana principal del programa ExPi-EDO . . . . . . . . . . . 112.2. Definir la funcion general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3. Definir valores iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4. Metodos de analisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.5. Boton calcular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.6. Resultado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.7. Resultados iteraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.1. Valores Iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2. Valores de frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.3. Valores de los distintos parametros de la ecuacion difusion-

conveccion en funcion del problema fısico estudiado . . . . . . 203.4. Ejemplo de flujo a traves de un medio poroso . . . . . . . . . 213.5. Condiciones de Contorno para infiltracion en presas . . . . . . 233.6. Discretizacion del dominio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.7. Elemento triangular de tres nudos . . . . . . . . . . . . . . . . 253.8. Ventana principal de la aplicacion . . . . . . . . . . . . . . . 273.9. Seccion transversal de la presa . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.10. Argumentos de la presa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.11. Regiones de la presa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.12. Region discretizado con elementos triangulares de tres nudos . 313.13. Cota piezometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.14. Presiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.15. Flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

iv

Indice de cuadros

3.1. Argumentos ordenados para la presa . . . . . . . . . . . . . . 30

v

Capıtulo 1

Sistema de ecuaciones linealessimultaneas

1.1. ExPi-SEL

Con la finalidad de presentar una aplicacion al tema Resolucion Numeri-ca de Ecuaciones Diferenciales ordinarias correspondiente a la AsignaturaMetodos Numericos en Ingenierıa1 se creo la aplicacion ExPπSEL, para laresolucion de sistemas de ecuaciones lineales simultaneas.

La ventana principal de la aplicacion muestra la Figura[1.1], en laque dispone de los elementos comunes de una aplicacion clasica para unainteraccion con el usuario final, mediante una ventana principal.

Las caracterısticas generales del programa son los siguientes:

Aplicacion para la solucion de sistemas de ecuaciones lineales si-multaneas.

Esta desarrollado en MatLAB y utiliza el GUIDE en la preparacion dela interfaz de usuario.

Muestra el proceso de solucion paso a paso

Esta integrado todos los metodos de resolucion para sistemas de ecua-ciones

1De la Maestrıa en Ciencias con Mencion en Ingenierıa de Transportes, UniversidadNacional de Ingenierıa

1

Figura 1.1: Ventana principal de ExPi-SEL

Posibilidad de crear una base de datos en MS Excel desde el cual im-portar los argumentos.

Editar los argumentos directamente en los campos disenados.

. . .

1.1.1. Ejemplo

Resolver la siguiente ecuacion.

1x1 + 3x2 + 4x3 + 6x4 = 22

2x1 − 1x2 + 3x3 + 0x4 = 12

5x1 + 1x2 + 0x3 + 2x4 = 8

0x1 + 4x2 − 1x3 + 8x4 = 9

1.1.2. Organizacion de argumentos

Con la finalidad de resolver el sistema de ecuaciones definidas en laSeccion 1.1.1 es necesario organizar los argumentos de la siguiente manera:

2

Figura 1.2: Menu datos ExPi-SEL

Es necesario ordenar los coeficientes en un arreglo rectangular como lamostrada en la Ecuacion[1.1] ∣∣∣∣∣∣∣∣

1 3 4 62 1 3 05 1 0 20 4 1 8

∣∣∣∣∣∣∣∣ (1.1)

De igual manera, ordenar los valores independientes en un vector colum-na, para el ejemplo es la mostrada en la Ecuacion[1.2]

221289

(1.2)

1.1.3. Definiendo Argumentos

Los datos ordenados mediante las ecuaciones [1.1] y [1.2] se deben deeditar en la ventana mostrada en la Figura[1.3], al cual se accede desde elMenu Datos que es mostrado por la Figura[1.2].

Luego de editar los argumentos en conveniente aceptar los argumentospulsando en el Boton Confirmar, luego en Retornar para volver a la ventanaprincipal.

1.1.4. Seleccion del metodo de solucion

El programa esta implementado por los siguientes metodos ordenados enlos grandes grupos, y son:

3

Figura 1.3: Editar argumetnos ExPi-SEL

1.1.4.1. Metodos de solucion directos

Los metodos implementados son los siguientes y se muestran para suacceso en la Figura[1.4]

Eliminacion Gaussiana

Metodo de Gauss Jordan

Metodo de Doolite

Metodo de Crout

Metodo de Cholesky

Resolucion con MatLab

1.1.4.2. Metodos de solucion iterativos

Los metodos implementados son los siguientes y se muestran para suacceso en la Figura[1.5]

Metodo de Jacobi

4

Figura 1.4: Metodos de solucion directos ExPi-SEL

Figura 1.5: Metodos de solucion iterativos ExPi-SEL

Metodo de Gauss Seidel

Metodo de Sor

Metodo de Gradiente Conjugado

5

Capıtulo 2

Ecuaciones diferencialesordinarias

2.1. Introduccion

Las ecuaciones diferenciales aparecen naturalmente al modelar situacio-nes fısicas en las ciencias naturales, ingenierıa, y otras disciplinas, dondehay envueltas razones de cambio de una o varias funciones desconocidascon respecto a una o varias variables independientes. Estos modelos varıanentre los mas sencillos que envuelven una sola ecuacion diferencial parauna funcion desconocida, hasta otros mas complejos que envuelven sistemasde ecuaciones diferenciales acopladas para varias funciones desconocidas.Por ejemplo, la ley de enfriamiento de Newton y las leyes mecanicas querigen el movimiento de los cuerpos, al ponerse en terminos matematicosdan lugar a ecuaciones diferenciales. Usualmente estas ecuaciones estanacompanadas de una condicion adicional que especifica el estado delsistema en un tiempo o posicion inicial. Esto se conoce como la condicioninicial y junto con la ecuacion diferencial forman lo que se conoce como elproblema de valor inicial. Por lo general, la solucion exacta de un problemade valor inicial es imposible o difıcil de obtener en forma analıtica. Portal razon los metodos numericos se utilizan para aproximar dichas soluciones.

En matematicas, una ecuacion diferencial ordinaria1 (comunmenteabreviada ”EDO”) es una relacion que contiene funciones de una sola va-riable independiente, y una o mas de sus derivadas con respecto a esa variable.

Las ecuaciones diferenciales ordinarias se distinguen de las ecuaciones

1Seccion transcrita desde http://es.wikipedia.org/

6

diferenciales parciales, las cuales involucran derivadas parciales de variasvariables.

Las ecuaciones diferenciales ordinarias son importantes en diversas areasde estudio como la geometrıa, mecanica y astronomıa, ademas de muchasotras aplicaciones.

Se ha dedicado mucho estudio a la resolucion de este tipo de ecuaciones,estando casi completamente desarrollada la teorıa para ecuaciones lineales.Sin embargo la mayorıa de las ecuaciones diferenciales interesantes son no-lineales, a las cuales en la mayorıa de los casos no se les puede encontrar unasolucion exacta. Es en estos problemas que interviene la solucion numerica,obteniendo resultados aproximados.

2.2. Metodos de un paso para la solucion de

ecuaciones diferenciales ordinarias

La solucion numerica del problema de valor inicial:

y′ = f(t, y), sujeto a y(to) = yo (2.1)

donde t ∈ [to, b] y f(t, y) satisfacen las condiciones iniciales impuestas, demodo que se garantiza la existencia de una solucion unica, ademas, que f(t, y)es suficientemente diferenciable, esto es, que todas las derivadas usadas en elanalisis existen.

2.2.1. Metodo de Euler

Una de las tecnicas mas simples para aproximar soluciones de una ecua-cion diferencial es el metodo de Euler, o de las rectas tangentes. Los metodosde Euler se derivan partiendo del concepto basico de derivada numerica.Segun la manera de realizar esta derivada, el metodo tiene un esquema di-ferente. A continuacion se describen los dos mas usados y de deduccion massencilla.

2.2.1.1. Metodo de Euler-cauchy

Para ilustrar el concepto basico, una aproximacion simple por diferenciashacia adelante de una derivada se expresa de la siguiente manera.

7

uj+1 − ujh

= f(xj, uj) = yjn j = 0, 1, 2, . . . (N − 1) (2.2)

por simplicidad se escoge una red uniforme:

xj = xo + jh j = 0, 1, 2, 3 . . . N ; h =b− aN

la condicion inicial es:

uo = yo + eo

Este metodo se conoce como de Euler-Cauchy, tambien llamado metododel polıgono o regla trapezoidal.

2.2.1.2. Metodo de hacia adelante

La existencia de una solucion unica uj de la ecuacion diferencial lleva a:

uj+1 = uj + hf(xj, uj), j + 0, 1, 2, 3 . . . (N − 1)

por tanto, el metodo de Euler hacia adelante para la ecuacion y′ = f(y, t)se obtiene reescribiendo la aproximacion por diferencias hacia adelante,

yn+1 − ynh

∼= y′

n

despejando yn+1 se llega a:

yn+1 = yn + hy′

n

por tanto, finalmente se obtiene:

yn+1 = yn + hf(yn, tn)

para el caso de una ecuacion cuyas variables son (y, t) con condicionesiniciales (yo, to) se obtiene el esquema numerico.

y1 = yo + h(f(yo, to) (2.3)

y2 = y1 + hf(y1, t1)...

yn = yn−1 + hf(yn−1, tn−1)

8

2.2.2. Metodo de Runge-Kutta

El metodo de Runge-Kutta es un metodo generico de resolucion numericade ecuaciones diferenciales. Este conjunto de metodos fue inicialmente desa-rrollado alrededor del ano 1900 por los matematicos C. Runge y M. W. Kutta.

Los metodos de Runge-Kutta logran la exactitud del procedimiento deuna serie de Taylor sin requerir el calculo de derivadas superiores. Existenmuchas variaciones, pero todas se pueden denotar en la forma generalizadade la ecuacion:

yi+1 = yi + ϕ(xi, yi, h)h

Donde ϕ(xi, yi, h) es conocida como funcion incremento, la cual puedeinterpretarse como una pendiente representativa sobre el intervalo.

φ = a1k1 + a2k2 + . . .+ ankn

Donde las ”a” son constantes y las ”k” son:

k1 = f(xi, yi) (2.4)

k2 = f(xi + q1h, yi + q11k1h)

k3 = f(xi + q2h, yi + q21k1h+ q22k2h)

Observe que las k son relaciones de recurrencia, esto es, k1 aparece en laecuacion para k2, la cual aparece en la ecuacion para k3, etc.

Como cada k es una evaluacion funcional, esta recurrencia hace que losmetodos Runge-Kutta sean eficientes para la programacion. Existen variostipos de metodos Runge-Kutta al emplear diferentes numeros de terminosen la funcion incremento como la especificada por n.

Entre los metodos mas representativos tenemos:

Metodos de Runge-Kutta de segundo orden

Metodos de Runge-Kutta

Metodos de Runge-Kutta de tercer orden

Metodos de Runge-Kutta de cuarto orden

9

2.3. Ejemplos de aplicacion

2.3.1. Enunciado

La siguiente aplicacion se tomo de la Referencia: Metodos numericos conmatlab, Autores: A. Cordero Barbero (pagina 416)

Un proyectil de masa m = 0.11kg se lanza verticalmente hacia arribaen el aire con una velocidad inicial de 8m/s. Si la resistencia del aire esproporcional al cuadrado de la velocidad, satisface la ecuacion diferencialsiguiente:

v′ = −g − k ∗ v ∗ |v|/m (2.5)

donde:

la aceleracion de la gravedad es 9.8m/s2

coeficiente de resistencia de aire k = 0.002kg ∗m−1

masa del proyectil m = 0.11kg

sujeto a las condiciones iniciales:

para t = 0s se tiene una velocidad inicial v = 8m/s

se pide obtener la velocidad para t = 1s

El problema sera resuelto mediante ExPi− Edo, aplicacion creada parala resolucion de ecuaciones diferenciales ordinarias.

2.4. ExPi-EDO

2.4.1. Caracterısticas

Con la finalidad de presentar una aplicacion al tema Resolucion Numeri-ca de Ecuaciones Diferenciales ordinarias correspondiente a la AsignaturaMetodos Numericos en Ingenierıa2 se creo la aplicacion ExPπEDO, para laresolucion de ecuaciones diferenciales ordinarias.

2De la Maestrıa en Ciencias con Mencion en Ingenierıa de Transportes, UniversidadNacional de Ingenierıa

10

Figura 2.1: Ventana principal del programa ExPi-EDO

La ventana principal de la aplicacion muestra la Figura[2.1], en laque dispone de los elementos comunes de una aplicacion clasica para unainteraccion con el usuario final, mediante una ventana principal.

Las caracterısticas generales del programa son los siguientes:

Aplicacion para la solucion de probelmas de ecuaciones diferencialesordinarias, dados sus condiciones de valores iniciales

Esta desarrollado en MatLAB y utiliza el GUIDE en la preparacion dela interfaz de usuario.

. . .

2.4.2. Definiendo la ecuacion general

En la ventana principal, se define la Ecuacion[2.5] que gobierna elfenomeno descrito, en la Figura[2.2] se especifica la region para la intro-duccion en lenguaje del Matlab cualquier funcion requerida.

11

Figura 2.2: Definir la funcion general

2.4.3. Definiendo los valores iniciales

En la misma venta principal mostrada en la Figura[2.1], se definen losvalores iniciales, las mismas que se muestran ampliado en la Figura[2.3]

Figura 2.3: Definir valores iniciales

2.4.4. Metodos de analisis

Luego de haber definido la ecuacion general y las restricciones y variablesnecesarias, el siguiente paso es elegir el metodo por el cual resolver el pro-blema definido, los metodo incluidos en la aplicacion son los siguientes y semuestra en la Figura[2.4]

Metodo de Euler

Metodo de Runge - Kutta 2

12

Metodo de Runge - Kutta 4

El metodo seleccionado se muestra en la parte superior central de laaplicacion principal.

Figura 2.4: Metodos de analisis

2.4.5. Resultados

Para obtener los resultados, desde la ventana principal pulsar el botoncalcular, mostrada por la Figura[2.5].

Figura 2.5: Boton calcular

El resultado obtenido se muestra en la Figura[2.6], que para el problemaplanteado y los valores iniciales es igual a v(t = 1s) = −2.12355 de acuerdoal numero de iteraciones y el metodo de solucion seleccionado.

13

Figura 2.6: Resultado

Figura 2.7: Resultados iteraciones

2.4.6. Resultados paso a paso

De igual manera es posible obtener las soluciones mostrando todas lasiteraciones, hasta obtener la convergencia adecuada, el resultado paso a pasoes mostrada por la Figura[2.7].

14

Capıtulo 3

Ecuaciones diferencialesparciales

3.1. Ecuaciones en derivadas parciales

En matematicas una ecuacion en derivadas1 parciales (a veces abreviadocomo EDP) es una relacion entre una funcion u de varias variables indepen-dientes x,y,z,t,... y las derivadas parciales de u respecto de esas variables. Lasecuaciones en derivadas parciales se emplean en la formulacion matematicade procesos de la fısica y otras ciencias que suelen estar distribuidos en el es-pacio y el tiempo. Problemas tıpicos son la propagacion del sonido o del calor,la electrostatica, la electrodinamica, la dinamica de fluidos, la elasticidad, lamecanica cuantica y muchos otros.

3.2. Ecuaciones lineales de segundo orden

Limitaremos nuestro estudio a las ecuaciones lineales parciales desegundo orden, concretamente en dos dimensiones, la misma que muestra laEcuacion[3.1].

La forma general de una ecuacion diferencial en derivadas parciales linealde segundo orden (EDP) con dos variables independientes x, y es:

A∂2µ

∂x2+B

∂2µ

∂x∂y+ C

∂2µ

∂y2+D

∂µ

∂x+ E

∂µ

∂y+ Fµ = G (3.1)

en que A, B, C, ... ,G son funciones de x, y. Cuando G(x, y) = 0, la

1Definicion segun http://es.wikipedia.org/

15

ecuacion se llama homogenea, en cualquier otro caso es no homogenea[[1],paginas 477], donde la funcion µ(x, y) es la incognita. La ecuacion seha escrito con las variables independientes x, y, sin embargo en muchosproblemas una de las variables independientes es el tiempo t, por lo que laecuacion sera escrita en terminos de x, t.

Una manera simplificada[[2], pagina 160] de representar la Ecuacion[3.1]es la mostrada por la Ecuacion[3.2]

A(x, y)µxx +B(x, y)µxy +C(x, y)µyy +D(x, y)µx +E(x, y)µy +F (x, y)µ = G(x, y) (3.2)

Simplificando la representacion de una manera compacta[[3], pagina 328],se muestra en la Ecuacion[3.3]

Aµxx +Bµxy + Cµyy +Dµx + Eµy + Fµ = G (3.3)

3.3. Clasificacion de las ecuaciones

Las ecuaciones diferenciales parciales estan estan clasificadas en tres ca-tegorıas con base en sus caracterısticas o curvas de propagacion[[4], pagina349], estas son:

Hiperbolicas

Parabolicas

Elıpticas

La clasificacion esta establecido por el valor de ∆ = B2 − 4AC, cuyasvariables son los de la Ecuacion[3.1]. Una ecuacion en derivadas parciales es:

hiperbolica si ∆ > 0, como la ecuacion de onda.

parabolica si ∆ = 0, como la ecuacion de calor.

elıptica si ∆ < 0, como la ecuacion de Laplace.

16

3.3.1. Hiperbolicas

Un ejemplo prototipo de la ecuacion hiperbolica es la ecuacion de ondade una sola dimension, la cual se representa con la siguiente ecuacion.

∂2µ

∂t2= ν2

∂2µ

∂x2(3.4)

en la que µ es la propagacion de la onda y se mantiene constante.

3.3.2. Parabolicas

La ecuacion diferencial parcial representativa de las ecuaciones paraboli-cas es la ecuacion de difusion,

∂µ

∂t=

∂

∂x

(D∂µ

∂x

)(3.5)

donde D > 0 es el cociente de difusion.

3.3.3. Elıpticas

La ecuacion elıptica prototipo es la ecuacion de Poisson.

∂2µ

∂x2+∂2µ

∂y2= ρ(x, y) (3.6)

donde ρ(x, y) es la fuente conocida, si ρ(x, y) = 0 la ecuacion se conocecomo ecuacion de Laplace

3.4. Condiciones de contorno

Se distinguen problemas de valor inicial o de Cauchy definidas por lasecuaciones en derivadas parciales hiperbolicas y parabolicas, o los problemasde valor de frontera(o limıtrofe) denotados por las ecuaciones en derivadasparciales elıpticas2.

3.4.1. Condiciones de frontera(valores iniciales)

En problemas de valor inicial, la informacion de la variable dependienteµ en esquemas de primer orden, y adicionalmente su derivada respecto altiempo para esquemas de segundo orden, estan dadas en un tiempo inicial to

2Esta seccion esta Transcrito de la referencia [[4], pagina 350]

17

Valores Iniciales

Co

nd

icio

ne

s

de

fro

nte

ra

Figura 3.1: Valores Iniciales

para toda xy, entonces la ecuacion describe como se propaga µ(x, t) a travesdel tiempo. Ası, el objetivo de la implementacion numerica es calcular esaevolucion con alguna precision adecuada.

3.4.2. Valores de frontera

En problemas de valor de frontera, se encuentra una sola funcion estaticaµ(x, y) que satisface la ecuacion dentro de una region de interes (x, y). porconsiguiente, la meta de la implementacion numerica es buscar la convergen-cia a la solucion correcta en todas las partes de manera simultanea.

Valoresdefrontera

Figura 3.2: Valores de frontera

18

3.5. Aplicaciones

En la fısica e ingenierıa existen multitud de problemas que estan gober-nados por las ecuaciones de difusion-conveccion, algunas de ellas son:

distribucion de temperaturas a lo largo de un medio continuo, en regi-men estacionario o transitorio.

filtracion a traves de medios porosos, analogamente al caso de tempe-raturas se distingue entre el regimen estacionario y el transitorio.

problemas de torsion en barras prismaticas.

problemas de transporte(en los que se estudia el desplazamiento departıculas en un medio)

Todas estos problemas[[5], pagina 311], pese a tratarse de fenomenos fısi-cos diferentes se caracterizan por tener un comportamiento analogo de formaque la ecuacion que los caracteriza es la misma y se denomina ecuacion dedifusion-conveccion.

3.6. Aplicacion uno: Flujo en medio poroso

3.6.1. Generalidades

Este problema es especialmente importante en ingenierıa civil porqueuna de las acciones mas daninas y, en muchos ocasiones determinanteen la construccion de obras civiles(presas, muros, canales, tuberıas, etc.)se debe al efecto perjudicial del agua, tanto por sus efectos quımicos ycorrosivos (disolucion, reacciones quımicas, etc.), como por su efecto degra-dante( ciclos de hielo y deshielo), como por las sobrecargas que ejerce sobrelas estructuras debido a la presion hidrostatica (empujes, sifonamientos, etc.).

Para la obtencion de las ecuaciones que gobiernan el flujo se considerala seccion transversal de una presa como la mostrada en la Figura[3.4].para deducir la formulacion se parte del caso bidimensional y se supone unproceso estacionario.

Partiendo de un elemento de superficie diferencial dS = dxdy por el quediscurre un determinado flujo se va ha proceder a establecer el equilibriomasico (ecuacion de conservacion de la masas)de forma que la cantidad de

19

Figura 3.3: Valores de los distintos parametros de la ecuacion difusion-conveccion en funcion del problema fısico estudiado

20

Figura 3.4: Ejemplo de flujo a traves de un medio poroso

fluido que entra en el elemento a traves de los contornos, menos la que sale,ha de ser igual a la que se genera (fuente o sumidero). De esta forma seobtiene:

Qv +

[qx −

(qx +

∂qx∂x

dx

)]dy +

[qy −

(qy +

∂qy∂y

dy

)]= 0 (3.7)

Donde Qv es el volumen de agua que entra (positivo si se trata de unafuente o negativo si se trata de una sumidero u extraccion de agua) y q =(qxqy) es el vector flujo. Si se divide por el area del elemento la expresionanterior queda como:

Q− ∂qx∂x− ∂qy∂y

= 0 =⇒ Q−5T q = 0 (3.8)

donde en este caso Q es el volumen de agua generado por unidad de area.

La ley terminologica que rige el flujo a traves de una medio poroso es laley de Darcy que se expresa de la siguiente manera.

q = −k∂φ∂x

= −k5 φ (3.9)

donde q es el vector flujo del fluido por unidad de area y por unidadde tiempo, k es el tensor de permutabilidad (tensor de segundo orden) y φ

21

es la potencial, que en este caso representa la altura piezometrica (energıa)definida como:

φ = Y + pγ +υ2

2g(3.10)

donde p es la presion del fluido y υ es la velocidad del fluido, que en estetipo de problemas es despreciable por ser generalmente muy pequena (υ ≈ 0).En caso de que el material sea ortotropo, k se expresa de la siguiente manera:

k =

[kx 00 ky

](3.11)

donde kx y ky son los coeficientes de permeabilidad en las direcciones delos ejes coordenados x y y, respectivamente.

Reemplazando la Ecuacion[3.9] en la Ecuacion[3.8], se obtiene:

Q+∇Tk∇φ = Q+

[∂

∂x

∂

∂y

] [kx 00 ky

]∂φ∂x∂φ∂y

(3.12)

Q+∇Tk∇φ = Q+∂

∂x

(kx∂φ

∂x

)+

∂

∂y

(ky∂φ

∂y

)(3.13)

que es la ecuacion de difusion-conveccion particularizada para el caso deflujo en medios permeables, en dos dimensiones para problemas estacionariosque no dependen del tiempo.

Si el material es isotropo (kx = ky = k) la Ecuacion(3.13) se transfromaen la ecuacion de Poisson:

Q+∇2φ = Q+ k

(∂2φ

∂2x+∂2φ

∂2y

)= 0 (3.14)

mientras que si ademas, no existen fuentes (aportaciones de fluido) nisumideros (extraccion de caudal, bombeo) de fluido, la Ecuacion[3.13] setransforma en la Ecuacion de Laplace:

∇2φ = k

(∂2φ

∂2x+∂2φ

∂2y

)= 0 (3.15)

22

3.6.2. Condiciones de contorno

Las condiciones de contorno en este tipo de fenomenos son las que semuestra en la Figura[3.5], son:

Altura piezometrica conocida en un determinado contorno

Flujo conocido en una superficie.

Figura 3.5: Condiciones de Contorno para infiltracion en presas

3.6.3. Formulacion de elementos finitos para proble-mas de flujo

En este apartado se describe las relaciones fundamentales de la for-mulacion del metodo de los elementos finitos, para problemas de flujo enmedios permeables en dos dimensiones y para problemas estacionarios[[5],pagina 330]. Es necesario aclarar que en esta seccion solamente se mencionanlas relaciones fundamentales para la formulacion del metodo, para unainformacion pormenorizada es necesario revisar la bibliografıa.

Los pasos para la resolucion del problema mediante el metodo de loselementos finitos son los siguientes:

23

3.6.3.1. Division del domino en elementos

La region analizada, que representa el dominio completo, se divide enelementos finitos discretos Figura[3.6], en el caso del presente trabajo se uti-lizo los elementos triangulares de tres nudos.

Figura 3.6: Discretizacion del dominio

en las que las funciones de forma para el elemento rectangular de tresnudos[[6] pagina 115, [5] pagina 200] el que se muestra en la Figura[3.7] es elsiguiente.

N1(x, y) =1

2A(x(y2 − y3) + y(x3 − x2) + (x2y3 − x3y2))

N2(x, y) =1

2A(x(y3 − y1) + y(x1 − x3) + (x3y1 − x1y3)) (3.16)

N2(x, y) =1

2A(x(y1 − y2) + y(x2 − x1) + (x1y2 − x2y1))

3.6.3.2. Ecuacion del FEM para el elemento

La solucion del problema (altura piezometrica) en funcion de los valoresnodales se aproxima a traves de las funciones de forma descritas en laEcuacion[3.16].

La Ecuacion[3.14] ha de cumplirse en todo el elemento y dado que lasolucion que se va ha calcular es aproximada, utilizando las funciones deforma como pesos a lo largo de todo el volumen del elemento S(e), es nudo.Por tanto, se cumple la siguiente condicion matematica.

24

Figura 3.7: Elemento triangular de tres nudos

∫S(e)

Ni

[∂

∂x

(kx∂φ

∂x

)+

∂

∂y

(ky∂φ

∂y

)+Q

]ds = 0 (3.17)

Debe notarse que la Ecuacion[3.17] representa la notacion de los residuosponderados a lo largo de todo el elemento. Desollando la ecuacion anteriorse llega a:

k(e)ij = p

(e)1i

+ p(e)2i

(3.18)

en la que:

k(e)ij es el termino (i, j) de la matriz de rigidez del elemento debido a la

integracion de la ecuacion de Poisson.

mientras que p(e)1i

y p(e)2i

son la influencia en el termino i−esimo del vec-tor de terminos independientes del elemento debido, respectivamente, ala presencia de un termino de generacion de fluido (fuente o sumidero)y al flujo conocido en un contorno.

La expresion completa de la matriz de rigidez en forma matricial quedade la siguiente manera.[

k(e)] {φ(e)}

={p(e)1

}+{p(e)2

}(3.19)

3.6.3.3. Obtencion del sistema discreto

Una vez las matrices de rigidez de cada uno de los elementos y los terminosindependientes, se continua con el procedimiento de ensamblaje. De estaforma es posible encontrar el siguiente sistema de ecuaciones.

25

{P} = [K]{φ} (3.20)

Donde P es el vector de terminos independientes, K es la matriz de rigidezdel sistema y φ la potencial.

3.6.3.4. Introduccion de las condiciones de contorno esenciales

Estas se introducen en el sistema ensamblado[3.20], que modifica la ma-triz de rigidez y el vector de terminos independientes de forma que se satis-fagan las condiciones de contorno asociados a los valores fijos de la alturapiezometrica.

3.6.3.5. Resolucion del sistema lineal de las ecuaciones

Una vez modificado el sistema discreto se procede a su resolucion, con locual se obtiene las alturas piezometricas nodales.

{φ} = [K]−1{P} (3.21)

3.6.3.6. Calculo de flujo en un contorno

Una vez obtenidas las alturas piezometricas nodales, que representa lasolucion general, se puede calcular el flujo a traves de un contorno diferencialdl, empleando la siguiente relacion.

qns = −nT

(k∂φ

∂x

)(3.22)

3.6.4. ExPπFEMseep

Con la finalidad de presentar una aplicacion al tema Resolucion Numericade Ecuaciones Diferenciales parciales correspondiente a la Asignatura Meto-dos Numericos en Ingenierıa3 se creo la aplicacion ExPπFEMseep, para laresolucion de ecuaciones diferenciales parciales elıpticas, especıficamente laecuacion de Laplace, que describe el flujo en medio poroso.

La ventana principal de la aplicacion muestra la Figura[3.8], en la que dis-pone de los elementos comunes de una aplicacion clasica para una interaccioncon el usuario final, mediante una ventana principal.

3de la Maestrıa en Ciencias con Mencion en Ingenierıa de Transportes, UniversidadNacional de Ingenierıa

26

Figura 3.8: Ventana principal de la aplicacion

Las caracterısticas generales del programa son los siguientes:

Aplicacion para la solucion de problemas de infiltracion en medio po-roso. Orientado para el analisis de presas.

Esta desarrollado en MatLAB.

. . .

3.6.5. Ejemplo uno

Se proyecta una presa de hormigon en masa con la seccion transversal quese muestra en la Figura[3.9] y cien metros de largo. Aguas arriba la presapresenta una cortina de tablestacas, que penetra seis metros en el terrenonatural, para reducir las perdidas por filtracion. Se ha trazado la red deflujo correspondiente obteniendose las curvas que se indican en la figura. ElSuelo de fundacion de la presa es una arcilla limosa con una coeficiente deconductividad hidraulica kh = kv = 5x10−6cm/s

Determinar el caudal filtrado por dıa bajo la presa.

Trazar el diagrama de sub presiones en el plano de contacto hormigoncimentacion y en base a el, verificar la seguridad a la flotacion de lapresa.

27

Figura 3.9: Seccion transversal de la presa

3.6.5.1. Preparacion de argumentos

De acuerdo a los argumentos establecidos en la Seccion[3.6.5], es necesarioordenar los argumentos como muestra la Tabla[3.1], en la que:

Cada columna representa una region.

La primera fila representa el coeficiente de infiltracion de cada regionconsiderado.

La segunda columna representa el numero de puntos que forman elpolıgono.

Los ceros que completan cada columna es con la finalidad de completarel arreglo rectangular.

Los argumentos editados en el programa se muestra en la Figura[3.10]

3.6.5.2. Seccion transversal de la presa

Una vez definido los argumentos adecuadamente, es posible dibujar losbordes de las regiones establecidas, es necesario aclarar que en la aplicacion esconveniente establecer las regiones como se muestra en la Tabla[3.1], la apli-cacion esta pensado para definir cualquier numero de regiones, una muestraes la presentada en la Figura[3.11].

28

Figura 3.10: Argumentos de la presa

Figura 3.11: Regiones de la presa

29

R1 R2 R3 R40.00000005 0.00000005 0.00000005 0.00000005

2 2 2 26 4 7 100 30 31 30

30 31 74 3030 31 (74,1) 3030 30 44 31

(30,5) 0 44 310 0 31 440 15 31 440 15 0 44

15 0 0 3219 0 20 3020 0 20 2020 0 19 190 0 19 150 0 15 150 0 0 190 0 0 190 0 0 200 0 0 210 0 0 290 0 0 29

Cuadro 3.1: Argumentos ordenados para la presa

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Figura 3.12: Region discretizado con elementos triangulares de tres nudos

3.6.5.3. Discretizacion del dominio completo

Definido las regiones que conforman la seccion que caracteriza la zona deestudio, para la formulacion mediante el metodo de los elementos finitos esconveniente dividir la region que representa al domino completo, en regionespequenas, en este caso, como se muestra en la Figura[3.12].

La region es discretizada con elementos rectangulares de tres nudos quecumplen la condicion de Delaunay4 sobre los cuales se aplican las relacionesencontradas en la formulacion del metodo de los elementos finitos y triangulosde tres nudos para el analisis del fenomeno de infiltracion en medios porosos.

3.6.5.4. Proceso de calculo

Establecido los argumentos necesarios, el proceso de analisis se ejecutadesde el menu Calcular, el mismo que se muestra en la Figura[3.13]

3.6.5.5. Resultados

Los resultados obtenidos son los siguientes:

4Esta condicion dice que la circunferencia circunscrita de cada triangulo de la red nodebe contener ningun vertice de otro triangulo

31

Figura 3.13: Cota piezometrica

1. Cota piezometrica en cada nudo de los elementos discretizados.

2. Presiones en cada nudo de de los elementos discretizados.

3. Flujo y direcciones en cada elementos discretizado.

Los resultados son mostrados graficamente y en tablas como se muestraen las Figuras[3.13 3.14 3.15 ].

3.6.6. Codigo fuente

3.6.6.1. Codigo fuente en matlab

1 function K= MEMB H TOTAL()2 % FUNCION PARA OBTENER LA MATRIZ DE RIGIDEZ ENSAMBLADA3 % RESULTADOS:4 % H: MATRIZ DE RIGIDEZ DEL SISTEMA5 % OBSERVACIONES:6 % ORDEN DE LA MATRIZ H: 1*(NUMERO DE NUDOS)7 % NUMERO DE ITERACIONES: NUMERO DE ELEMENTOS VECES8

9 global tt pp10

32

Figura 3.14: Presiones

Figura 3.15: Flujo

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11 K=zeros((size(pp,1)));12

13 for M= 1:size(tt,1)14 % SE REPITE NUMERO DE LEMENTOS VECES15 % MATRIZ DE RIGIDEZ Hm(GLOBAL DEL ELEMENTO m)16 Hm=MEMB H(M);17 % GRADOS DE LIBERTAD DEL ELEMENTO m18 GDL=MEMB GrDL(M);19 %ensambla ke en K20 for c = 1:3 %controla columnas de ke21 kc=GDL(c);22 for f=1:3 %controla filas de ke23 kf=GDL(f);24 %proceso que ensambla25 K(kf,kc)=K(kf,kc)+Hm(f,c);26 end27 end28 end29 % save K K30 end

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Bibliografıa

[1] Dennis Z. Zill. Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelado.International Thomson Publishing, 1997.

[2] Javier Valdes. Notas resumidas de calculo iii. 2004.

[3] Eulalia martınez Molada Juan Ramon Torregrosa Sanchez Alicia Corde-ro Barbero, Jose Luıs Hueso pagoaga. Problemas Resueltos de MetodosNumericos. 2006.

[4] Juan Martın Casillas Gonzales Jose Alberto Gutierrez Robles, MiguelAngel Olmos Gomez. Analisis Numerico. 2010.

[5] Eduardo W. V. Chavez y Roberto Mınguez. Mecanica Computacional enla Ingenierıa con Aplicaciones en MatLAB. 2010.

[6] O. C. Zienkiewicz R. L. taylor. El Metodo de los Elementos Finitos enIngenierıa, Formulacion Basica y Problemas Lineales, volume 1. Cen-tro Internacional de Metodos Numericos en Ingenierıa - CIMNE, cuartaedition, 1993.

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Parte I

Anexos

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