metnum4 pencocokan-kurva-interpolasi

PENCOCOKAN KURVA

(CURVE FITTING)

�� Interpolasi :Interpolasi :

• Interpolasi Linier

• Interpolasi Kuadratik

• Interpolasi Polinomial

• Interpolasi Lagrange

�� Regresi :Regresi :

• Regresi Linier

• Regresi Eksponensial

• Regresi Polinomial

INTERPOLASI

Interpolasi digunakan untuk menaksir nilai antara

(intermediate value) diantara titik-titik data yang

tepat.

Metode yang sering digunakan adalah interpolasi

polinomial yang terdiri dari beberapa orde sbb :

Interpolasi Linier

(orde 1)

Interpolasi Kuadratik

(orde 2)

Interpolasi Kubik

(orde 3)

INTERPOLASI LINIER

Tujuan : menentukan titik antara dari 2 titik data

dengan menggunakan garis lurus.

12

1

12

1

xx

xx

yy

yy

−−

=−−

Sehingga :

( )12

12

11 yy

xx

xxyy −

−−

+=

Semakin kecil interval

P1 & P2 semakin baik

hasil interpolasi.

INTERPOLASI LINIER

Algoritma interpolasi linier :

1. Tentukan 2 titik P1 dan P2 dg koordinat masing-

masing (x1,y1) dan (x2,y2)

2. Tentukan nilai x dari titik yang akan dicari (Q)

3. Hitung nilai y dengan :

4. Nilai titik yang baru (Q) adalah : (x,y)

( )12

12

11 yy

xx

xxyy −

−−

+=

INTERPOLASI LINIER

Contoh :

Taksirlah nilai ln(2) dengan interpolasi linier serta

hitunglah kesalahan relatifnya jika digunakan data :

a. ln(1) dan ln(6)

b. ln(1) dan ln(4)

Jawab (a) :

x1 = 1, y1 = ln(1) = 0

x2 = 6, y2 = ln(6) = 1,791759

x = 2

Nilai eksak y = ln(2) = 0,693147 → εr = 48,4%

0 1 2 3 4 5 6 7-0.5

0

0.5

1

1.5

2

y = ln(x)

( ) 0,358352791759,116

120ˆ =

−−

+=y

INTERPOLASI LINIER

Jawab (b) :

x1 = 1, y1 = ln(1) = 0

x2 = 4, y2 = ln(4) = 1,386294

x = 2


0 1 2 3 4 5 6 7-0.5

0

0.5

1

1.5

2

y = ln(x)

( ) 0,462098386294,114

120ˆ =

−−

+=y

INTERPOLASI KUADRATIK

Tujuan : menentukan titik

antara dari 3 titik data

dengan menggunakan

pendekatan fungsi kuadrat.

Bentuk umum persamaan

utk interpolasi kuadratik :

( ) ( )( )1020102 )( xxxxbxxbbxf −−+−+=

P0(x0,y0)

P1(x1,y1)

P2(x2,y2)

Q(x,y)

......... (1)


Bentuk umum tersebut jika ditulis dalam fungsi

kuadrat sbb :

dimana :

Bagaimana mendapatkan nilai b0, b1 dan b2 ?

2

2102 )( xaxaaxf ++=

22

120211

1020100

ba

xbxbba

xxbxbba

=

−−=

−−=


Untuk x = x0, persamaan (1) menjadi :

b0 = y0 .............. (2)

Untuk x = x1 dan substitusi pers. (2) kedalam (1) :

Untuk x = x2 dan substitusi pers. (2) dan (3)

kedalam (1) :

01

011

xx

yyb

−−

= ................. (3)

02

01

01

12

12

2xx

xx

yy

xx

yy

b−

−−

−−−

= ................. (4)


Selain menggunakan bentuk umum persamaan (1)

dengan nilai b0, b1 dan b2 pada persamaan (2) s/d

(4), untuk menghitung nilai y pada interpolasi

kuadratik bisa juga menggunakan persamaan sbb :

( )( )( )( )

( )( )( )( )

( )( )( )( )1202

102

2101

201

2010

210

xxxx

xxxxy

xxxx

xxxxy

xxxx

xxxxyy

−−−−

+

−−−−

+−−−−

=


Algoritma interpolasi kuadratik :

1. Tentukan 3 titik input P0(x0,y0), P1(x1,y1) dan

P2(x2,y2)

2. Tentukan nilai x dari titik yang akan dicari (Q)

3. Hitung nilai y dengan :

4. Nilai titik yang baru (Q) adalah : (x,y)

( )( )( )( )

( )( )( )( )

( )( )( )( )1202

102

2101

201

2010

210

xxxx

xxxxy

xxxx

xxxxy

xxxx

xxxxyy

−−−−

+−−−−

+−−−−

=


Contoh :

Taksirlah nilai ln(2) dengan interpolasi kuadratik serta

hitunglah kesalahan relatifnya jika digunakan data ln(1),

ln(4) dan ln(6)

Jawab :

x0 = 1, y0 = ln(1) = 0

x1 = 4, y1 = ln(4) = 1,386294

x2 = 6, y2 = ln(6) = 1,791759

x = 2

Harga-harga tsb dimasukkan

kedalam rumus sehingga diperoleh :

ŷ = 0.565844


0 1 2 3 4 5 6 7-0.5

0

0.5

1

1.5

2

y = ln(x)

INTERPOLASI POLINOMIAL

Tujuan : menentukan titik antara dari n titik data

dg menggunakan pendekatan fungsi polinomial.

Metode yang bisa digunakan untuk memperoleh

hasilnya adalah interpolasi polinomial beda terbagi

Newton (divided difference interpolation polynomial

by Newton).

Bentuk umum persamaan interpolasi polinomial

Newton :

( ) ( )( )( )( ) ( )110

102010)(

−−−−+

+−−+−+=

nn

n

xxxxxxb

xxxxbxxbbxf

L

K


dimana :

f […,…] disebut beda

terbagi hingga

],,,,[

],,[

],[

011

0122

011

00

xxxxfb

xxxfb

xxfb

yb

nnn L

M

−=

=

=

=→ beda terbagi hingga ke 1

→ beda terbagi hingga ke 2

→ beda terbagi hingga ke n


Cara menghitung “beda terbagi hingga” :

0

02111011

01

0101

],,,[],,,[],,,,[

],[],[],,[

],[],[

xx

xxxfxxxfxxxxf

xx

xxfxxfxxxf

xx

yyxxf

xx

yyxxf

n

nnnnnn

ki

kjji

kji

ji

ji

ji

−−

=

−

−=

−

−=→

−−

=

−−−−

LLL

Dfj

D2fk

Dnf0

Simbol :


Langkah-langkah perhitungan interpolasi polinomial beda

terbagi Newton :

1. Tentukan n titik input untuk interpolasi orde n–1.

2. Buat tabel “beda terbagi hingga” untuk mendapatkan

koefisien bi

3. Masukkan koefisien bi kedalam bentuk umum

persamaan interpolasi polinomial Newton :

4. Tentukan nilai x dari titik yang akan dicari dan hitung

nilai y dari persamaan interpolasi polinomial Newton tsb.

( ) ( )( )( )( ) ( )110

102010)(

−−−−+

+−−+−+=

nn

n

xxxxxxb

xxxxbxxbbxf

L

K


Tabel beda terbagi hingga :

y1x11

Dfi

y3x33

y2x22

y0x00

D3fiD2fiyixii

23

232

xx

yyDf

−−

=

12

121

xx

yyDf

−−

=

01

010

xx

yyDf

−−

=

13

121

2

xx

DfDffD

−−

=

02

010

2

xx

DfDffD

−−

=03

0

2

1

2

0

3

xx

fDfDfD

−−

=


Contoh :

Taksirlah nilai ln(2) dengan interpolasi polinomial

serta hitunglah kesalahan relatifnya jika digunakan

data ln(1), ln(4), ln(5) dan ln(6)

Jawab :

x0 = 1, y0 = ln(1) = 0

x1 = 4, y1 = ln(4) = 1,386294

x2 = 5, y2 = ln(5) = 1,609438

x3 = 6, y3 = ln(6) = 1,791759


Tabel beda terbagi hingga :

-0,0204110,2231441,38629441

0,182322

0,462098

Dfi

1,79175963

1,60943852

0,007866-0,059739010

D3fiD2fiyixii


Sehingga persamaan interpolasi polinomialnya

adalah :

Masukkan harga-harga x kedalam persamaan :

x = 2, x0 = 1, x1 = 4, x2 = 5

Sehingga diperoleh : ŷ = 0,628769


( ) ( )( )( )( )( )210

1003

0,007866

0,0597390,4620980)(

xxxxxx

xxxxxxxf

−−−+

−−−−+=

INTERPOLASI LAGRANGE

Metode lain utk mendapatkan interpolasi polinomial

adalah model interpolasi Lagrange yg mengguna-

kan fungsi polinomial dalam kombinasi deret.

Bentuk umum persamaan interpolasi Lagrange :

∏

∑

≠=

=

−

−=

=

n

ijj ji

j

i

n

i

ii

xx

xxxL

xLyy

0

0

)(

)(

dengan :


Dari persamaan tersebut dpt dirumuskan beberapa

interpolasi orde n sbb :

• Interpolasi linier (orde 1) :

• Interpolasi kuadratik (orde 2) :

01

01

10

10

xx

xxy

xx

xxyy

−−

+−−

=

( )( )( )( )

( )( )( )( )

( )( )( )( )1202

102

2101

201

2010

210

xxxx

xxxxy

xxxx

xxxxy

xxxx

xxxxyy

−−−−

+

−−−−

+−−−−

=


• Interpolasi kubik (orde 3) :

dimana :

33221100 LyLyLyLyy +++=

( )( )( )( )( )( )

( )( )( )( )( )( )

( )( )( )( )( )( )

( )( )( )( )( )( )231303

2103

321202

3102

312101

3201

302010

3210

xxxxxx

xxxxxxL

xxxxxx

xxxxxxL

xxxxxx

xxxxxxL

xxxxxx

xxxxxxL

−−−−−−

=−−−−−−

=

−−−−−−

=−−−−−−

=


Contoh :




Jawab :

x0 = 1, y0 = ln(1) = 0

x1 = 4, y1 = ln(4) = 1,386294

x2 = 5, y2 = ln(5) = 1,609438

x3 = 6, y3 = ln(6) = 1,791759


0,628769ŷ =

1,0750560.61,79175963

-3,218876-21,60943852

2,77258921,38629441

00.4010

yiLi

Li

yi

xi

i



Ada cara lain untuk mendapatkan persamaan

polinomial pada interpolasi polinomial, yaitu dengan

cara menyusun sistem persamaan linier simultan

dari nilai-nilai x dan y yang diketahui.

Jika ada n titik data yaitu P1(x1,y1) s/d Pn(xn,yn) maka:

1

1

2

210

1

31

2

323103

1

21

2

222202

1

11

2

121101

−−

−−

−−

−−

++++=

++++=

++++=

++++=

n

nnnnn

n

n

n

n

n

n

xaxaxaay

xaxaxaay

xaxaxaay

xaxaxaay

K

M

K

K

K


Penyelesaian persamaan linier simultan tersebut

adalah nilai-nilai a0, a1, a2, …, an-1 yang merupakan

koefisien dari persamaan polinomial sbb :

Sehingga dengan memasukkan nilai x pada

persamaan tersebut akan didapatkan nilai y dari titik

yang akan dicari.

1

1

2

210

−−++++= n

n xaxaxaay K


Penyelesaian persamaan linier simultan tersebut

dapat menggunakan metode-metode yang telah

dipelajari, seperti metode eliminasi Gauss atau

metode eliminasi Gauss Jordan dengan menyusun

matriks sbb :

=

−−

−

−

−

nnn

nnn

n

n

n

y

y

y

y

a

a

a

a

xxx

xxx

xxx

xxx

MM

L

MMMMM

L

L

L

3

2

1

1

2

1

0

12

1

3

2

33

1

2

2

22

1

1

2

11

1

1

1

1


Contoh :




Jawab :

x0 = 1, y0 = ln(1) = 0

x1 = 4, y1 = ln(4) = 1,386294

x2 = 5, y2 = ln(5) = 1,609438

x3 = 6, y3 = ln(6) = 1,791759


Dengan metode Gauss Jordan, Augmented matrix :

1,7917592163661

1,6094381252551

1,386294641641

01111

B2-B1

B3-B1

B4-B1

1,7917592153550

1,6094381242440

1,386294631530

01111

B2/3


B1-B2

B3-4B2

B4-5B1

−

−

−−−

0,5187311101000

0,23895540400

0,46209821510

0,46209820401

B3/4

1,7917592153550

1,6094381242440

0,46209821510

01111


B1+4B3

B2-5B3

B4-10B3

−

−

−

0,07865510000

0,05973910100

0,76079129010

0,70105320001

B4/10

−

−

−−−

0,5187311101000

0,05973910100

0,46209821510

0,46209820401


B1-20B4

B2+29B4

B3-10B4

−

−

0,0078661000

0,1383940100

0,9888920010

0,8583630001

−

−

−

0,0078661000

0,05973910100

0,76079129010

0,70105320001


Sehingga diperoleh persamaan polinomial sbb :

Untuk x = 2, diperoleh : ŷ = 0,628769


32 0,0078660,1383940,9888920,858363 xxxy +−+−=

metnum4 pencocokan-kurva-interpolasi

Documents