metod konaČnih elemenata
TRANSCRIPT
![Page 1: METOD KONAČNIH ELEMENATA](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012502/617becfc5764715eef5d0943/html5/thumbnails/1.jpg)
Univerzitet u BeograduGrađevinski fakultet
Katedra za tehničku mehaniku i teoriju konstrukcija
METOD KONAČNIH ELEMENATA
V. PROF. DR MARIJA NEFOVSKA‐DANILOVIĆ
![Page 2: METOD KONAČNIH ELEMENATA](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012502/617becfc5764715eef5d0943/html5/thumbnails/2.jpg)
Konstantno stanje napona i deformacija U analizama elemenata izloženih savijanju mreža konačnih elemenata je daje konstrukciju kruću od realne Ponašanje pri ravnom stanju deformacije
METOD KONAČNIH ELEMENATA 2
Nedostaci CST konačnog elementa
![Page 3: METOD KONAČNIH ELEMENATA](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012502/617becfc5764715eef5d0943/html5/thumbnails/3.jpg)
METOD KONAČNIH ELEMENATA 3
Nedostaci CST konačnog elementa
![Page 4: METOD KONAČNIH ELEMENATA](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012502/617becfc5764715eef5d0943/html5/thumbnails/4.jpg)
METOD KONAČNIH ELEMENATA 4
Nedostaci CST konačnog elementa
Ravno stanje deformacije
![Page 5: METOD KONAČNIH ELEMENATA](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012502/617becfc5764715eef5d0943/html5/thumbnails/5.jpg)
METOD KONAČNIH ELEMENATA 5
Deformacija
Nedostaci CST konačnog elementa
= 0.2 = 0.499
![Page 6: METOD KONAČNIH ELEMENATA](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012502/617becfc5764715eef5d0943/html5/thumbnails/6.jpg)
METOD KONAČNIH ELEMENATA 6
Nedostaci CST konačnog elementa
= 0.2
xy
= 0.499
![Page 7: METOD KONAČNIH ELEMENATA](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012502/617becfc5764715eef5d0943/html5/thumbnails/7.jpg)
METOD KONAČNIH ELEMENATA 7
x
Nedostaci CST konačnog elementa
= 0.2 = 0.2
y
![Page 8: METOD KONAČNIH ELEMENATA](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012502/617becfc5764715eef5d0943/html5/thumbnails/8.jpg)
METOD KONAČNIH ELEMENATA 8
Nedostaci CST konačnog elementa
= 0.499
y
= 0.499
x
![Page 9: METOD KONAČNIH ELEMENATA](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012502/617becfc5764715eef5d0943/html5/thumbnails/9.jpg)
Nedostaci konačnog elementa Q4
METOD KONAČNIH ELEMENATA 9
Q4 konačni element nije u stanju da opišenaponsko‐deformacijsko stanje pri čistomsavijanju “Shear locking”
Stvarna deformacija Deformacija konačnog elementa
![Page 10: METOD KONAČNIH ELEMENATA](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012502/617becfc5764715eef5d0943/html5/thumbnails/10.jpg)
Stvarno naponsko‐deformacijsko stanje pri čistom savijanju
METOD KONAČNIH ELEMENATA 10
3
32 2
0
b b bx
y xy
M My y E yb t I a
2
2
12
x
b
vu yx
vy yx
a
2
20
bx
by x
xy
ya
ya
2
31 1 22 2 3 2
bb x x y y xy xy x x
V V
b b b
A dV dV Et aba
W M
![Page 11: METOD KONAČNIH ELEMENATA](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012502/617becfc5764715eef5d0943/html5/thumbnails/11.jpg)
Polje pomeranja Q4 elementa
METOD KONAČNIH ELEMENATA 11
Pomeranje kao krutog tela
1u 5v 3 5
5 3
u y v x
Stanje konstantne deformacije
2u x 7v y 3 5u y v x
Savijanje
4u xy 8v xy
![Page 12: METOD KONAČNIH ELEMENATA](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012502/617becfc5764715eef5d0943/html5/thumbnails/12.jpg)
Deformacija konačnog elementa
METOD KONAČNIH ELEMENATA 12
,2
, 0
elu x y x ya
v x y
20
2
elx
y
elxy
ya
xa
2
2
1 2
1 2
2 1 2
elx
ely
elxy
E ya
E ya
E xa
2 23
2
1 1 2 112 2 1 2 3 2
elel x x y y xy xy x x xy xy
V V
el el el
Et ab aA dV dVa b
W M
![Page 13: METOD KONAČNIH ELEMENATA](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012502/617becfc5764715eef5d0943/html5/thumbnails/13.jpg)
“Shear locking”
METOD KONAČNIH ELEMENATA 13
2 2
2
2
2
1 11 2 1
1 11 2 1
el el el el el
b b b b b
el el
b b
A a W MA b W M
M aM b
2
21 1 1
1 2 1el
el b el bb
M a M MM b
2
21 1112
elel b el b
b
M Mab
![Page 14: METOD KONAČNIH ELEMENATA](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012502/617becfc5764715eef5d0943/html5/thumbnails/14.jpg)
Primer
METOD KONAČNIH ELEMENATA 14
4 x 1.0
1.0
M = 1
1D matematički modelM
![Page 15: METOD KONAČNIH ELEMENATA](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012502/617becfc5764715eef5d0943/html5/thumbnails/15.jpg)
METOD KONAČNIH ELEMENATA 15
F = 1
F = 1
Primer
2D matematički model
4 x 1.0
1.0
M = 1
![Page 16: METOD KONAČNIH ELEMENATA](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012502/617becfc5764715eef5d0943/html5/thumbnails/16.jpg)
Rezultati – 2D model (4x1)
METOD KONAČNIH ELEMENATA 16
6max 3,081 10v m
2max 44 /x kN m
![Page 17: METOD KONAČNIH ELEMENATA](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012502/617becfc5764715eef5d0943/html5/thumbnails/17.jpg)
Rezultati – 2D model (4x1)
METOD KONAČNIH ELEMENATA 17
2max 15,6 /xy kN m
2max 13,3 /y kN m
![Page 18: METOD KONAČNIH ELEMENATA](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012502/617becfc5764715eef5d0943/html5/thumbnails/18.jpg)
Analiza i zaključak – 2D model (4x1)
METOD KONAČNIH ELEMENATA 18
Da li smo zadovoljni rezultatima numeričkeanalize? Kako se rezultati mogu popraviti? Progušćenjem mreže konačnih elemenataPromenom tipa konačnog elementa Promenom matematičkog modela
![Page 19: METOD KONAČNIH ELEMENATA](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012502/617becfc5764715eef5d0943/html5/thumbnails/19.jpg)
2D model – progušćenje mreže konačnih elemenata (16x4)
METOD KONAČNIH ELEMENATA 19
6max 4,0431 10v m
2max 59,7 /x kN m
![Page 20: METOD KONAČNIH ELEMENATA](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012502/617becfc5764715eef5d0943/html5/thumbnails/20.jpg)
METOD KONAČNIH ELEMENATA 20
2max 5,6 /xy kN m
2max 4,8 /y kN m
2D model – progušćenje mreže konačnih elemenata (16x4)
![Page 21: METOD KONAČNIH ELEMENATA](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012502/617becfc5764715eef5d0943/html5/thumbnails/21.jpg)
METOD KONAČNIH ELEMENATA 21
2D model – progušćenje mreže konačnih elemenata (32x8)
6max 4,516 10v m
2max 60,3 /x kN m
![Page 22: METOD KONAČNIH ELEMENATA](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012502/617becfc5764715eef5d0943/html5/thumbnails/22.jpg)
METOD KONAČNIH ELEMENATA 22
2D model – progušćenje mreže konačnih elemenata (32x8)
2max 2,9 /xy kN m
2max 2,5 /y kN m
![Page 23: METOD KONAČNIH ELEMENATA](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012502/617becfc5764715eef5d0943/html5/thumbnails/23.jpg)
Elementi sa kvadratnom aproksimacijom
LST – Linear Strain Triangle Q8 – Serendipity Q9 – Lagrange‐ov Q6 – Incompatible modes
METOD KONAČNIH ELEMENATA 23
![Page 24: METOD KONAČNIH ELEMENATA](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012502/617becfc5764715eef5d0943/html5/thumbnails/24.jpg)
METOD KONAČNIH ELEMENATA 24
LST konačni element
1
2
3
4
56 v2
v5
u2
u5
u3v3
u6v6
u4v4
u1
v1
LST – Linear Strain Triangle Element sa kvadratnom interpolacijompolja pomeranja i linearnom aproksimacijompolja deformacija
![Page 25: METOD KONAČNIH ELEMENATA](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012502/617becfc5764715eef5d0943/html5/thumbnails/25.jpg)
METOD KONAČNIH ELEMENATA 25
LST konačni element Interpolacione funkcije
![Page 26: METOD KONAČNIH ELEMENATA](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012502/617becfc5764715eef5d0943/html5/thumbnails/26.jpg)
Q8 konačni element (Serendipity)
METOD KONAČNIH ELEMENATA 26
![Page 27: METOD KONAČNIH ELEMENATA](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012502/617becfc5764715eef5d0943/html5/thumbnails/27.jpg)
Q9 konačni element (Lagrange‐ov)
METOD KONAČNIH ELEMENATA 27
![Page 28: METOD KONAČNIH ELEMENATA](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012502/617becfc5764715eef5d0943/html5/thumbnails/28.jpg)
Q6 nekompatibilni konačni element
METOD KONAČNIH ELEMENATA 28
su dodatni (unutrašnji) parametri pomeranja Polje pomeranja sadrži 6 interpolacionih funkcija Pored osnovnih modova elementa Q4, ovaj elementsadrži modove koji opisuju stanje konstantne krivine
41 gg
![Page 29: METOD KONAČNIH ELEMENATA](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012502/617becfc5764715eef5d0943/html5/thumbnails/29.jpg)
METOD KONAČNIH ELEMENATA 29
Q6 nekompatibilni konačni element
Element je nekompatibilan
Za neke slučajeve opterećenja neće biti ispunjenkontinuitet na granici između konačnih elemenata
![Page 30: METOD KONAČNIH ELEMENATA](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012502/617becfc5764715eef5d0943/html5/thumbnails/30.jpg)
METOD KONAČNIH ELEMENATA 30
2D model–model sa Q6 elementima
6max 4,571 10v m
F = 1
F = 1
![Page 31: METOD KONAČNIH ELEMENATA](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012502/617becfc5764715eef5d0943/html5/thumbnails/31.jpg)
METOD KONAČNIH ELEMENATA 31
2D model–model sa Q6 elementima2max 60 /x kN m
2max 0 /xy kN m 2max 0 /y kN m