Metoda Analitičkih Hijerarhijskih Procesa (AHP)

Direktno merenje ili ocenjivanje vrednosti alternativa za neki kriterijum može predstavljati veliki

problem u procesu donošenja odluka jer su takve vrednosti vrlo osetljive na promene i kao

takve nisu precizne. Pored toga DO, iz psiholoških razloga, ne može da poredi veliki broj

alternativa istovremeno. Uzmimo za primer ocenjivanje univerziteta i kriterijum kvalitet nastave.

Direktnom procenom na skali od 1 do 5 DO bi došao do vrednosti prikazanih u tabeli ispod.

Ukoliko bi se jedna vrednost promenila, npr. London School of Economics na 6, vrednosti unutar

matrice odlučivanja bi se značajno promenile. Međutim, da li alternative koje imaju identične

vrednosti u potpunosti oslikavaju preferencije DO? Takođe, da li ocene na jednoj skali oslikavaju

preferencije DO?

Alternativa Direktna ocena Norm. Ocena Norm. ocena nakon

promene

FON 3 0,17 0,16

Politecnico di Milano 3 0,17 0,16

London School of Economics 5 (6) 0,28 0,32

Wharton 5 0,28 0,26

Mega 2 0,11 0,11

Uočeno je da čovek ne može da ocenjuje veći broj alternativa na jednoj skali, odnosno da ne

može precizno da vrši procenu. Zbog toga, predloženo je poređenje u parovima. Takođe, uočeno

je da skala koja je dovoljno precizna je skala od 1 do 9 (Likertova ili Satijeva skala). Drugim

rečima, manja skala nije dovoljna da iskaže razlike između alternativa, dok veća skala otežava

DO da iskaže razlike.

Poređenje alternativa u parovima po nekom kriterijumu se vrši u matricama procene.

Popunjavanje matrice procene se vrši tako što DO dodeljuje vrednosti od 1 do 9 čime vrši

poređenje alternativa. Vrednost 1 predstavlja jednaku preferenciju između alternativa koje se

porede, dok vrednost 9 predstavlja ekstremnu preferenciju alternative u odnosu na drugu

alternativu. Kako DO procenjuje preferencije, nije bitno kojeg je tipa ekstremizacije određeni

kriterijum, tj. DO dodeljivanjem vrednosti vrši poređenje alternativa relacijom „bolje od“ ili

„preferiram“. Primenom ovakvog načina ocenjivanja alternativa uvodi se maksimalna

subjektivnost DO u proces odlučivanja, bez eksplicitnog definisanja funkcije preferencije.

Prilikom popunjavanja matrice procene potrebno je popuniti samo gornji (ili donji) trougaoni

deo matrice. Na glavnoj dijagonali se nalazi vrednost 1 (DO je uvek indiferentan kada poredi

alternativu sa samom sobom). Ostatak matrice će se popuniti recipročnim vrednostima (pravilo

reciprociteta, tj.

). Na taj način obezbeđuje se recipročnost ocena ( ).

Vrednosti u matrici procene koje su prikazane u zagradama predstavljaju recipročne vrednosti

tog broja, tj. (5) predstavlja

. Prilikom popunjavanja matrice procene DO treba da vodi

računa o svojim ocenama, tj. treba da poštuje pravilo tranzitivnosti, koje glasi .

Ipak, u realnim primenama primećeno je da DO često ne poštuje konzistentnost u ocenjivanju

(pravilo tranzitivnosti) te je potrebno meriti stepen odstupanja od idealne konzistentosti. Kod

metode AHP se ova osobina meri indeksom nekonzistentnosti (biće objašnjena u nastavku

teksta)

Za primer ocene kvaliteta nastave DO je popunio sledeću matricu procene (za popunjavanje

matrice procene pogledati predavanja).

FON Milano LSE Wharton Megatrend

FON 1 3 (5) (3) 5

Milano 1 (7) (5) 4

LSE 1 2 9

Wharton 1 7

Megatrend 1

Nakon popunjavanja preostalih vrednosti dobija se sledeća matrica (recipročne vrednosti su

prikazane u stvarnim vrednostima). Prvi korak u oceni alternativa u AHP metodi je

normalizacija. Koristi se L1 normalizacija, te ćemo izračunati sumu po kolonama. Zatim ćemo

svaku vrednost podeliti sa odgovarajućom sumom (sumom kolone u kojoj se vrednost nalazi).

FON Milano LSE Wharton Megatrend

FON 1 3 0,2 0,333 5

Milano 0,333 1 0,143 0,2 4

LSE 5 7 1 2 9

Wharton 3 5 0,5 1 7

Megatrend 0,2 0,25 0,111 0,143 1

Sum 9,533 16,25 1,954 3,676 26

Dobijamo sledeću matricu procene. Zatim računamo prosečnu vrednost po redu (alternativi)

koja nam predstavlja ocenu DO za zadati kriterijum, odnosno na ovom primeru ocenu kvaliteta

nastave na različitim fakultetima/univerzitetima. Ovako dobijena ocena se može tumačiti kao

prosečna preferencija jedne alternative u odnosu na ostale (analogno pozitivnom toku u

Promethee metodi).

FON Milano LSE Wharton Megatrend AVG

FON 0,105 0,185 0,102 0,091 0,192 0,135

Milano 0,035 0,062 0,073 0,054 0,154 0,076

LSE 0,524 0,431 0,512 0,544 0,346 0,471

Wharton 0,315 0,308 0,256 0,272 0,269 0,284

Megatrend 0,021 0,015 0,057 0,039 0,038 0,034

Ovakvim pristupom dobijamo preciznija i stabilnija rešenja. Preciznija su jer je vršeno poređenje

u parovima, a stabilnija su zato što mala promena u vrednostima neće izazvati velike promene u

konačnim ocenama. Ukoliko bi promenili jednu procenu, npr. da je FON bolji od Megatrenda za

6, promenila bi se recipročna vrednost a krajnja ocena bi se promenila za veoma malu vrednost.

Takođe, AHP omogućava ocenjivanje alternativa kod nejasnih i veoma subjektivnih kriterijuma.

Za svaku matricu procene se računa indeks nekonzistentnosti, koji predstavlja koliko je DO

dobro popunjavao matricu procene, tj. koliko je poštovao princip tranzitivnosti. Za računanje i

tumačenje indeksa nekonzistentnosti pogledati predavanja i knjigu.

Primer:

Na konkurs za posao za media planera prijavio se veliki broj kandidata. Nakon inicijalnog

intervjua ostalo je samo tri kandidata (nakon konjuktivne metode). To su Marko, Olivera i

Jovana. Potrebno je izabrati jednog kandidata, a kriterijumi su znanje, utisak i iskustvo. Iako su

kriterijumi kao što su znanje i iskustvo direktno merljivi, njima se može pristupiti poređenjem u

parovima kako bi se iskazale preferencije DO prema određenim vrednostima.

Prema znanju DO je popunio sledeću matricu procene. Prvi korak je normalizacija matrice

procene, te računamo sumu po kolonama i delimo svaku vrednost iz matrice procene sa sumom

kolone u kojoj se ta vrednost nalazi.

Znanje Marko Olivera Jovana

Marko 1 3 6

Olivera (3) 1 2

Jovana (6) (2) 1

Sum 1,5 4,5 9

Nakon normalizacije dobijamo sledeću matricu procene. Računanjem prosečne vrednosti po

redu dobijamo ocenu kandidata po znanju.

Znanje Marko Olivera Jovana AVG

Marko 0,667 0,667 0,667 0,667

Olivera 0,222 0,222 0,222 0,222

Jovana 0,111 0,111 0,111 0,111

Ukoliko bi pogledali dobijene ocene i uporedili sa inicijalnim ocenam DO videli bi da dobijene

ocene u potpunosti preslikavaju odnose koje je DO popunio u matricu procene, tj. preferencija

između Marka i Jovane je 6, a odnos ocena između Marka i Jovane je tačno 6. Ovo je indikator

da je matrica savršeno konzistentna.

Prema utisku DO je popunio sledeću matricu procene.

Utisak Marko Olivera Jovana

Marko 1 1 (3)

Olivera 1 1 (2)

Jovana 3 2 1

Sum 5 4 1,833

Istim postupkom dobijamo sledeće ocene.

Utisak Marko Olivera Jovana AVG

Marko 0,2 0,25 0,182 0,211

Olivera 0,2 0,25 0,273 0,241

Jovana 0,6 0,5 0,545 0,548

Na kraju DO popunjava matricu procene za iskustvo.

Iskustvo Marko Olivera Jovana

Marko 1 (2) 2

Olivera 2 1 5

Jovana (2) (5) 1

Sum 3,5 1,7 8

Istim postupkom dobijamo sledeće ocene.

Iskustvo Marko Olivera Jovana AVG

Marko 0,286 0,294 0,25 0,277

Olivera 0,571 0,588 0,625 0,595

Jovana 0,143 0,188 0,125 0,129

Kako bi mogli da donesemo konačnu odluku ko je najprikladniji kandidat potrebno je još oceniti

vrednosti pondera. Stoga, na isti način kao i za alternative, računamo ocenu pondera.

Izbor kandidata Znanje Utisak Iskustvo

Znanje 1 2 (2)

Utisak (2) 1 3

Iskustvo 2 (3) 1

Sum 3,5 3,333 4,5

Istima postupkom dobijamo sledeće ocene.

Izbor kandidata Znanje Utisak Iskustvo AVG

Znanje 0,286 0,333 0,273 0,297

Utisak 0,143 0,167 0,182 0,164

Iskustvo 0,571 0,5 0,545 0,539 Kada smo izračunali sve ocene možemo da ih stavimo u matricu odlučivanja.

Znanje Utisak Iskustvo

Marko 0,667 0,211 0,277

Olivera 0,222 0,241 0,595

Jovana 0,111 0,548 0,129

Ponderi 0,297 0,164 0,539

Konačnu odluku koja alternativa je najbolja za posmatrani problem dobijamo otežanom sumom

(aditivnim težinama). Bitno je napomenuti da nema potrebe za daljom normalizacijom matrice

jer su sve vrednosti već normalizovane na istu skalu.

Alternativa Otežana suma Rang

Marko 0,667 * 0,297 + 0,211 * 0,164 + 0,277 * 0,539 = 0,382 2

Olivera 0,222 * 0,297 + 0,241 * 0,164 + 0,595 * 0,539 = 0,426 1

Jovana 0,111 * 0,297 + 0,548 * 0,164 + 0,129 * 0,539 = 0,192 3

Najveću vrednost ima Olivera, te zaključujemo da je Olivera najbolji kandidat.

Na prikazanom primeru, svi kriterijumi i ponderi su izračunati preko matrica procena, što nije

opšti slučaj. Češće se samo određeni kriterijumi računaju preko matrice procena i te vrednosti

se koriste u matrici odlučivanja.

Najveći nedostaci AHP metode jesu veliki broj ocena DO (za problem koji ima m kriterijuma i n

alternativa treba popuniti

procena) i moguća nekonzistentnost matrice

procene. Takođe, bitno je napomenuti da ukoliko postoje kriterijumi koji su međusobno

korelisani dolazi se do situacije da istu informaciju uključujemo više puta, te je kao rešenje ovog

problema predložena druga metoda od istog autora (Tomas Sati) koja se naziva ANP (eng.

Analytic Network Process).

Opšti koraci AHP metode:

Koraci u rešavanju AHP metode su:

1. Međusobno poređenje kriterijuma,

2. Međusobno poređenje alternativa po svakom kriterijumu,

3. Agregiranje korisnosti alternativa, i

4. Analiza osetljivosti.

Međutim, postoji više načina (1. aproksimativni pristup, 2. pristup preko sopstvenih vrednosti (originalni

pristup), i 3. grupna metodologija) nad kojima navedeni koraci mogu da se sprovedu, u cilju rešavanja

metode, te su u nastavku teksta dati primeri sa rešenjem.

Aproksimativni pristup AHP Koraci u rešavanju:

1. Nakon popunjavanja matrice procene izračunati sume za svaku kolonu,

2. Svaka vrednost u koloni se deli sa odgovarajućom sumom (kolone),

3. Za svaki red se određuje prosečna vrednost koja predstavlja prioritet (težinu) određenog

kriterijuma/alternative,

4. Ponavljati korake 1-3 za svaku matricu procene, i

5. Izračunati očekivanu korisnost.

Primer:

Potrebno je odrediti poredak alternative A1, A2 i A3 koje su opisane preko kriterijuma K1, K2 i K3. Za

ocenu težina kriterijuma data je matrica procene ispod.

K1 K2 K3

K1 (2) 2

K2 3

K3

Takođe, date su matrice procene za kriterijume K1, K2 i K3.

K1 A1 A2 A3 K2 A1 A2 A3 K3 A1 A2 A3

A1 1 2 A1 (2) 2 A1 1 (2)

A2 2 A2 4 A2 (2)

A3 A3 A3

Prvo ćemo odrediti težine (pondere) kriterijuma. Prvo popunjavamo celu matricu procene. Znamo da su

na glavnoj dijagonali vrednosti 1, a na simetričnim mestima recipročne vrednosti (ovaj postupak nije

naveden kao korak u rešavanju). Nakon toga računamo sumu vrednosti za svaku kolonu (korak 1).

K1 K2 K3 K1 K2 K3 K1 K2 K3

K1 (2) 2 ⇒ K1 1 0.5 2 ⇒ K1 1 0.5 2

K2 3 K2 2 1 3 K2 2 1 3

K3 K3 0.5 0.33 1 K3 0.5 0.33 1

L1 3.5 1.83 6

Kada smo izračunali sume po kolonama, delimo svaku vrednost sa odgovarajućom sumom (korak 2). Na

kraju, na nivou reda računamo prosečnu vrednost (korak 3).

K1 K2 K3 Aritmetička sredina

K1 0.286 0.273 0.333 ⇒ K1 0.297

K2 0.571 0.545 0.500 K2 0.539

K3 0.143 0.182 0.167 K3 0.164

Ovako dobijene vrednosti predstavljaju težine, odnosno pondere kriterijuma. U opštoj metodologiji

dobijanje težina kriterijuma predstavlja korak 1 – Međusobno poređenje kriterijuma. Postupak

ponavljamo za svaku matricu procene i dobijamo:

Za K1:

K1 A1 A2 A3 K1 A1 A2 A3 K1 A1 A2 A3

A1 1 2 ⇒ A1 1 1 2 ⇒ A1 1 1 2

A2 2 A2 1 1 2 A2 1 1 2

A3 A3 0.5 0.5 1 A3 0.5 0.5 1

L1 2.5 2.5 5

K1 A1 A2 A3 K1 Aritmetička sredina

A1 0.400 0.400 0.400 ⇒ A1 0.400

A2 0.400 0.400 0.400 A2 0.400

A3 0.200 0.200 0.200 A3 0.200

Za K2:

K2 A1 A2 A3 K2 A1 A2 A3 K2 A1 A2 A3

A1 (2) 2 ⇒ A1 1 0.5 2 ⇒ A1 1 0.5 2

A2 4 A2 2 1 4 A2 2 1 4

A3 A3 0.5 0.25 1 A3 0.5 0.25 1

L1 3.5 1.75 7

K2 A1 A2 A3 K2 Aritmetička sredina

A1 0.286 0.286 0.286 ⇒ A1 0.286

A2 0.571 0.571 0.571 A2 0.571

A3 0.143 0.143 0.143 A3 0.143

Na kraju, za kriterjum K3 dobijamo:

K3 A1 A2 A3 K3 A1 A2 A3 K3 A1 A2 A3

A1 1 (2) ⇒ A1 1 1 0.5 ⇒ A1 1 1 0.5

A2 (2) A2 1 1 0.5 A2 1 1 0.5

A3 A3 2 2 1 A3 2 2 1

L1 4 4 2

K3 A1 A2 A3 K3 Aritmetička sredina

A1 0.250 0.250 0.250 ⇒ A1 0.250

A2 0.250 0.250 0.250 A2 0.250

A3 0.500 0.500 0.500 A3 0.500

Napomena: Prilikom računanja vrednosti nakon deljenja svake vrednosti sa sumom kolone nije

nužno da se dobiju uvek iste vrednosti po redu (kao što je u datom primeru za vrednosti alternativa

po kriterijumima). U takvim situacijama kažemo da je matrica procene konzistentna. Detaljniji opis

konzistentnosti matrice procene u daljem tekstu.

Kada smo dobili sve vrednosti iz matrica procene (sproveli korak 4 aproksimativnog pristupa), računamo

očekivanu korist. Dakle, dobili smo sledeću tabelu odlučivanja tako što smo prepisali vrednosti koje smo

dobili iz matrica procene u tabelu odlučivanja.

K1 K2 K3

A1 0.400 0.286 0.250

A2 0.400 0.571 0.250

A3 0.200 0.143 0.500

Težine 0.297 0.539 0.164

Odatle otežanom sumom dobijamo:

Očekivana korisnost

A1 0.400 * 0.297 + 0.286 * 0.539 + 0.250 * 0.164 = 0.314

A2 0.400 * 0.297 + 0.571 * 0.539 + 0.250 * 0.164 = 0.468

A3 0.200 * 0.297 + 0.143 * 0.539 + 0.500 * 0.164 = 0.218

Odavde zaključujemo da je alternativa A2 najprihvatljivija alternativa.

AHP preko sopstvenih vrednosti

Vektor težina kriterijuma/alternativa se dobija rešavanjem sledeće jednačine:

gde je matrica procene, vektor težina (prioriteta), a vektor sopstvenih vrednosti matrice procene.

Koraci AHP metode preko sopstvenih vrednosti su:

1. Vektorski pomnožiti matricu procene sa samom sobom, odnosno ,

2. Sabrati vrednosti kolona i uraditi normalizaciju,

3. Izračunati prosek reda (prva aproksimacija prioriteta), i

4. Ponavljati korake 1 i 2 do konvergencije prioriteta.

Primer:

Metodom sopstvenih vrednosti odrediti prvu i drugu aproksimaciju prioriteta matrice procene (matrica

procene je identična kao u prvom primeru).

K1 K2 K3

K1 (2) 2

K2 3

K3

Dobijanje prioriteta prve aproksimacije je prikazan u prvom primeru (aproksimativno rešavanje AHP

metode). Postupak je prikazan ispod.

K1 K2 K3 K1 K2 K3 K1 K2 K3

K1 (2) 2 ⇒ K1 1 0.5 2 ⇒ K1 1 0.5 2

K2 3 K2 2 1 3 K2 2 1 3

K3 K3 0.5 0.33 1 K3 0.5 0.33 1

L1 3.5 1.83 6

K1 K2 K3 Aritmetička sredina

K1 0.286 0.273 0.333 ⇒ K1 0.297

K2 0.571 0.545 0.500 K2 0.539

K3 0.143 0.182 0.167 K3 0.164

Da bi se dobila druga aproksimacija, potrebno je vektorski pomnožiti matricu procene sa samom sobom.

Ovaj korak će uvek biti moguć jer su matrice kvadratne i će rezultat će biti matrica istih dimenzija. Dakle,

imamo:

1 0.5 2

*

1 0.5 2

2 1 3 2 1 3

0.5 0.33 1 0.5 0.33 1

3 1.66 5.5

5.5 2.99 10

1.66 0.91 2.99

Zatim, potrebno je uraditi normalizaciju dobijene matrice, odakle dobijamo sledeću matricu.

K1 K2 K3

⇒

K1 K2 K3

K1 3 1.66 5.5 K1 0.295 0.299 0.298

K2 5.5 2.99 10 K2 0.541 0.538 0.541

K3 1.66 0.91 2.99 K3 0.163 0.163 0.162

L1 10.167 5.584 18.5

Iz normalizovane matrice računamo prosečnu vrednost po redu i dobijamo:

Aritmetička sredina

K1 0.297

K2 0.540

K3 0.163

Napomena: Matrice procene, odnosno AHP metoda, može da se koristi u potpunosti samostalno (kao u prethodna dva primera), ali i u kombinaciji sa drugim metodama ili kao deo neke metode. Odnosno, moguće je koristiti matrice procene npr. samo za ocenu težina kriterijuma, a ostatak problema se može rešiti JAT metodom.

Grupni AHP

Česta je situacija kada odluku donosi grupa eksperata. Tada se javlja problem kako agregirati procene

članova grupe. Za agregaciju procena može da se koristi 1) geometrijska sredina ili 2) agregacija prioriteta

članova grupa.

Agregacija procena članova grupe geometrijskom sredinom

Vrednost u konačnoj matrici se dobija računanjem geometrijske sredine vrednosti iz svake od

pojedinačnih matrica procene (gemoetrijska sredina procenasvih DO). Geometrijska sredina se koristi

kod grupne agregacije matrica procena radi očuvanja osobine reciprociteta u agregiranoj matrici.

Primer:

Potrebno je agregirati procene tri DO koji su popunili sledeće matrice procena.

A B C A B C A B C

A 2 3 A 3 5 A 4 3

B 4 B 2 B 2

C C C

Prvo ćemo popuniti preostale vrednosti u matricama procene.

A B C A B C A B C

A 1 2 3 A 1 3 5 A 1 4 3

B 0.5 1 4 B 0.333 1 2 B 0.25 1 2

C 0.333 0.25 1 C 0.2 0.5 1 C 0.333 0.5 1

Zatim računamo geometrijsku sredinu za svako polje matrice procene. Formula geometrijske sredine je:

gde je vrednost koju računamo, iterator kroz vrednosti (kojih ima ), a vrednost koja se dobija za

vrednost iz elementa .

Dakle, za prvi element matrice (poređenje A-A) geometrijska sredina se dobija preko formule

. Za poređenje A-B geometrijska sredina je

. Koristeći formulu za

preostale članove matrice dobijamo sledeću agregiranu matricu procene.

A B C

A 1 2.884499 3.556893

B 0.346681 1 2.519842

C 0.281144 0.39685 1

Identična procedura, odnosno agregacija procena, može da se koristi za konačne procene, odnosno

konačne ocene alternativa.

Agregacija prioriteta članova grupa

Za razliku od geometrijske sredine, kod agregacije prioriteta članova grupa koristi se aritmetička sredina,

gde je moguće svakom DO dodeliti težinu (važnost).

Primer:

Potrebno je agregirati tri procene prioriteta DO, pri čemu DO1 i DO2 imaju težinu 0.3, a DO3 ima težinu

0.4. DO su odredili konačne ocene alternativa.

DO1 DO2 DO3

A 0.512 0.625 0.620

B 0.360 0.222 0.224

C 0.128 0.111 0.156

Težine 0.3 0.3 0.4

Otežanom aritmetičkom sredinom dobijamo:

Otežana aritmetička sredina

A 0.512 * 0.3 + 0.625 * 0.3 + 0.620 * 0.4 = 0.5891

B 0.360 * 0.3 + 0.222 * 0.3 + 0.244 * 0.4 = 0.2642

C 0.128 * 0.3 + 0.111 * 0.3 + 0.156 * 0.4 = 0.1341

Generalno gledano, uvek se koristi otežana aritmetička sredina koja se računa preko formule:

Ukoliko je = 1, onda imenilac nema potrebe da postoji (kao u ovom primeru). Ukoliko ne postoje

težine DO, to možemo da posmatramo kao da su svi DO podjednako bitni i tada računamo aritmetičku

sredinu.

Računanje konzistentnosti ocena

Računanje konzistentnosti ocena je veoma bitan korak u AHP metodi. Ukoliko je matrica procene

nekonzistentna, to predstavlja veoma jak signal da matrica procena nije ispravno popunjena, što može

dovesti do donošenja neispravne odluke. Ocena konzistentnosti matrice procene se dobija na sledeći

način.

1. Odrediti težine kriterijuma/alternative (aproksimativnim pristupom ili preko sopstvenih

vrednosti),

2. Pomnožiti svaku kolonu matrice procene pripadajućom težinom i sabrati dobijene vektore,

3. Podeliti dobijeni vektor vektorom težina,

4. Izabrati najveću sopstvenu vrednost ( ) vektora iz koraka 2,

5. Izračunati indeks konzistentnosti (CI), i

6. Izračunati racio nekonzistentnosti (CR).

Primer:

Izračunati konzistentnost matrice procene.

A B C

A 4 (3)

B (7)

C

Prvo računamo težine matrice procene.

A B C A B C A B C

A 4 (3) ⇒ A 1 4 0.333 ⇒ A 1 4 0.333

B (7) B 0.25 1 0.143 B 0.25 1 0.143

C C 3 7 1 C 3 7 1

L1 4.25 12 1.476

A B C Aritmetička sredina

A 0.235 0.333 0.226 ⇒ A 0.265

B 0.059 0.083 0.097 B 0.080

C 0.706 0.583 0.678 C 0.656

Zatim množimo dobijene težine sa odgovarajućim vrednostima iz početne matrice procene, odnosno:

A B C Aritmetička sredina

A 1 4 0.333 0.265

B 0.25 1 0.143 0.080

C 3 7 1 0.656

Dobijeni vektor delimo vektorom težina (aritmetičke sredine dobijene u prvom koraku). Deljenje se vrši

po redovima vektora. Dobijamo:

/

=

Biramo najveću sopstvenu vrednost i to je 3.062. Tu vrednost koristimo za računanje indeksa

konzistentnosti. Pored potreban nam je i . Kako nam je dimenzionalnost matrice, znamo da je

njegova vrednost 3 (imamo tri kriterijuma/alternative).

Na kraju, računamo racio nekonzistentnosti.

imamo izračunato iz prethodnog koraka, dok vrednost uzimamo iz sledeće tabele:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 0 0.58 0.9 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49

Ukoliko imamo jednu alternativu/kriterijum nema potrebe da sprovodimo bilo kakvu metodu odlučivanja

(odluka se već zna). Ako imamo dve alternative/kriterijuma, ne možemo da dođemo u situaciju da DO

nekonzistentno popuni matricu procene (popunjava samo jednu vrednost, a druga je recipročna

vrednost te vrednosti). Stoga, racio nekonzistentnosti se ne računa za

jedan ili dva. Ukoliko imamo preko deset kriterijuma/alternativa, vrlo verovatno je problem pogrešno

postavljen. Odnosno, potrebno je problem raščlaniti na manje probleme.

U našem primeru dobijamo:

Pravilo koje se koristi za tumačenje racija nekonzistentnosti jeste da je vrednost manja od 0.1. To

može da se protumači kao da je matrica procene nekonzistentna manje od 10%, odnosno, konzistentna

je preko 90%. Kako je u našem primeru vrednost manja od 0.1, smatramo matricu procene

konzistentnom.

AHP i VAO

Primena AHP metode može se poistovetiti sa JAT metodom kod koje su kriterijumi normalizovani L1

normom i gde su vrednosti za svaki kriterijum procenjene korišćenjem alata matrice procene, uz istu

procenu i težinskih koeficijenata kriterijuma (pondera).

Korišćenje matrice procene za procenu vrednosti kriterijuma ima svoje prednosti:

veća preciznost u izraženim ocenama eksperta;

veća sigurnost eksperta u svoje izražene ocene;

manja osetljivost na greške u pojedinim ocenama.

Sa druge strane matrice procene imaju i svoje nedostatke:

veći napor u vršenju procena, jer je potrebno oceniti sve kombinacije parova alternativa; ovo zna biti veliko ograničenje, posebno kada je veći broj alternativa koje se ocenjuju;

moguća nekonzistentnost u unešenim ocenama.

Stoga je preporučljivo da se matrica procene koristi kod onih kriterijuma kod kojih se veći napor

ocenjivanja matricom procene isplati, tj. gde preciznost u oceni ima veliki značaj. To se posebno odnosi

na:

kriterijume koji imaju veliku važnost (ponder) kriterijume koje je teško proceniti direktno (zbog svoje složenosti) kriterijume kod kojih izmerene vrednosti ne reprezentuju dobro njihovo stvarno poređenje (npr.

broj megapiksela kao mera kvaliteta kamere) računanje težinskih koeficijenata (pondera), čija je uloga u odlučivanju vrlo značajna.

Svi kriterijumi koji nemaju ove osobine moguće je oceniti na neki drugi (brži) način, poput ocenjivanja

skalom 1-5 ili direktnim merenjem (npr. cena).

U sledećem primeru odlučivanja o izboru kandidata za posao se može ilustrovati ovakav pristup.

Zapošljavanje Znanje Iskustvo

(god) Utisak

Aleksej ? 6 2

Lav ? 9 3

Luka ? 3 5

PONDERI 0.3 0.5 0.2

Kriterijum iskustva je merljiv kriterijum, gde godine iskustva u oblasti za koje kandidat konkuriše dosta

dobro odražavaju nivo stečenog iskustva. Kriterijum "Utisak" predstavlja utisak koji je kandidat ostavio

na intervjuu i zahteva ekspertsku procenu. Ipak, s obzirom na malu važnost kriterijuma, on se može

proceniti i direktnom ocenom na skali 1-5, što je manje precizno od korišćenja matrica procene, ali

dodatni napor da bi se stekla preciznost manje bitnog kriterijuma možda nije opravdan. Najzad,

kriterijum znanja je više bitan i takođe zahteva ekspertsku procenu, pa će on biti ocenjen matricom

procene, datom u nastavku:

Znanje Aleksej Lav Luka

Aleksej 1 3 5

Lav (3) 1 2

Luka (5) (2) 1

Rešavanjem ove matrice procene dobijaju se ocene alternativa za kriterijum "Znanje":

Aleksej Lav Luka AVG

Aleksej 0.652 0.667 0.625 0.648

Lav 0.217 0.222 0.250 0.230

Luka 0.130 0.111 0.125 0.122

Takođe, iskazani ponderi u početnoj tabeli nisu dovoljno precizni. Dosta precizniju ocenu važnosti

kriterijuma možemo dobiti korišćenjem matrice procene:

PONDERI Znanje Iskustvo Utisak

Znanje 1 0.333333333 3

Iskustvo 3 1 5

Utisak 0.333 0.2 1

čijim rešavanjem se dobijaju prezicniji ponderi:

Znanje Iskustvo Utisak AVG

Znanje 0.231 0.217391304 0.333333 0.260

Iskustvo 0.692 0.652 0.555556 0.633

Utisak 0.077 0.130 0.111111 0.106

Nakon čega tabela odlučivanja izgleda:

Zapošljavanje Znanje Iskustvo

(god) Utisak

Aleksej 0.648 6 2

Lav 0.230 9 3

Luka 0.122 3 5

PONDERI 0,260 0,633 0,106

Daljom primenom JAT metode, uz predhodnu normalizaciju L1 metrikom (ili druge adekvatne metode

višeatributivnog odlučivanja) dobija se i konačan rang alternativa:

Zaposljavanje Ocena

Aleksej 0.401

Lav 0.379

Luka 0.220