metoda deformacija

8/13/2019 Metoda Deformacija

http://slidepdf.com/reader/full/metoda-deformacija 1/21

Teorija linijskih nosa~a II Metoda deformacija

6. METODA DEFORMACIJA

Metoda deformacija je metoda kojom se mogu prora~unati svi stati~ki uticaji kodlinijskih sistema, bez obzira na to kako su zadati rubni uvjeti. U su{tini metodomdeformacija se ra~unaju pomjeranja odre|enih ta~aka linijskog sistema iz uslovaravnoteè unutra{njih i vanjskih sila. Obzirom da se i metodom kona~nih elemenata

ra~unaju pomjeranja sloènijih sistema (linijskih, dvo- i trodimenzionalnih) iz uslovaravnoteè, poznavanje metode deformacija umnogome olak{ava shvatanje metodekona~nih elemenata, koja je danas u standardnoj primjeni pri analizi sloènihkonstrukcija. Stoga je zna~aj detaljnog poznavanja metode deformacija u poslednjevrijeme veoma porastao. Sve glavne procedure koje se vr{e pri kori{tenju metodedeformacija su i dio metode kona~nih elemenata.

6 1 Veza izme|u sila i pomjeranja {tapa Matrica krutosti {tapa

Jasno, da bi izra~unali pomjeranja iz uslova ravnoteè potrebno je izrazitiunutra{nje sile preko pomjeranja, odnosno uspostaviti direktnu vezu izme|u

pomjeranja i unutra{njih sila u pojedinim ta~kama osovine {tapa. Na osnovupretpostavke o linearnim konstitutivnim i geometrijskim jedna~inama, dobili smojedna~ine (3.15), (3.18), (3.22) i (3.23) za Bernoulli-jev model grede. Radijednostavnijeg izvo|enja, odvoji}emo uticaje pomjeranja ~vorova od uticaja vanjskogoptere}enja. Naime, svaki {tap je dio nekog sistema i kao takav ima pomjeranja u~vorovima i moè biti izloèn vanjskom optere}enju. Ukoliko èlimo izra~unati sile natom {tapu, moèmo iskoristiti princip superpozicije i izra~unati presje~ne sile odpomjeranja ~vorova i vanjskih uticaja odvojeno i poslije dobivene rezultate sabrati. Uprvom koraku pretpostavi}emo da posmatrani {tap nije izloèn optere}enju i promjenitemperature, pa pomenute jedna~ine imaju oblik:

( ) x EA

N u xu i

xi x +=

( ) ( x L EA

N u xu j

xj x −−= )

( )

( ) 2

32

2

62

x EI

T x

EI

M x

x EI

T x

EI

M xu xu

iii

iii yi y

−+=

−++=

ϕ ϕ

ϕ

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )2

32

2

62

x L EI

T x L

EI

M x

x L EI

T x L

EI

M x Lu xu

j j

j

j j

j yj y

−−−−=

−+−+−−=

ϕ ϕ

ϕ

Uvr{tavaju}i u prvu, tre}u i petu jedna~inu L x = , a u preostale 0= x ,dobivamo:

( xi xjii

xi xj uu L

EA N L

EA

N uu −=⇒+= )

( ) xi xj j

j

xj xi uu EA N L EA

N uu −=⇒−=

87




2

32

2

62

L EI

T L

EI

M

L EI

T L

EI

M Luu

iii j

iii yi yj

−+=

−++=

ϕ ϕ

ϕ

⇒

( )

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −++−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −++−=

L

uu

L

EI T

L

uu

L

EI M

yj yi

jii

yj yi

jii

26

32

2

2 ϕ ϕ

ϕ ϕ

2

32

2

62

L EI

T L

EI

M

L EI T L

EI M Luu

j j

ji

j j j yj yi

−−=

++−=

ϕ ϕ

ϕ

⇒( )

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −++−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −++=

L

uu

L

EI T

L

uu

L EI M

yj yi

ji j

yj yii j j

26

322

2 ϕ ϕ

ϕ ϕ

Ove jedna~ine su dobivene pod pretpostavkom da su pozitivne sile M, T i N uskladu sa inìnjerskom konvencijom, koja je prikazana na slici 6.1. Po{to se u metodideformacija postavlja ravnoteà kompletnog sistema, pogodno je predznake svih sila ipomjeranja definisati u odnosu na lokalni koordinatni sistem {tapa.

Mi

Ni Ti Tj

Nj

Mj

Slika 6.1.

To zna~i da pozitivne presje~ne sile na {tapu djeluju u pravcu koordinatnihosovina, kako je prikazano na slici 6.2. Ovakvu konvenciju za presje~ne sile }emokoristiti za metodu deformacija i ona je uobi~ajena za sve softverske pakete koji sluèza analizu konstrukcija. Napominje se da pravilo o crtanju momenata ostajenepromijenjeno, tj. momenti se crtaju na onoj strani gdje su zategnuta vlakna.

Mi

Ni Ti Tj

Nj

Mj

x

y

Slika 6.2.

To zna~i da }e se u gornjim jedna~inama promijeniti predznaci za sile:, {to daje:iii T M N ,,

( xj xii uu L

EA N −= )

( )

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −++=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −++=

L

uu

L

EI T

L

uu

L

EI M

yj yi

jii

yj yi

jii

26

32

2

2 ϕ ϕ

ϕ ϕ

Ukoliko dobivene jedna~ine za presje~ne sile u ~vorovima napi{emo umatri~nom obliku, dobivamo:

88




⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⋅

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−−

−

−

−

−

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

j

yj

xj

i

yi

xi

j

j

j

i

i

i

u

u

u

u

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI L

EI

L

EI

L

EI

L

EI L

EA

L

EA L

EI

L

EI

L

EI

L

EI L

EI

L

EI

L

EI

L

EI L

EA

L

EA

M

T

N

M

T

N

ϕ

ϕ

460

260

6120

6120

0000

260

460

6120

6120

0000

22

2323

22

2323

(6.1)

ili:

(6.2)⋅f = k u

Matrica k naziva se matrica krutosti {tapa. Matricom krutosti {tapa se povezujupresje~ne sile i pomjeranja osovine {tapa na njegovim krajevima u lokalnomkoordinatnom sistemu, tj. koordinatnom sistemu koji vrijedi za taj {tap. Dimenzijematrice krutosti i njen oblik zavise od pretpostavljenog stepena slobode kretanja {tapa.

Jedna~inom (6.1) je prikazana matrica krutosti za {tap u ravni, ~iji ~vorovi imaju po tristepena slobode kretanja (dvije translacije i jedna rotacija). Ukoliko pretpostavimo da je{tap aksijalno krut, {to odgovara zanemarenju normalnih sila u metodi deformacija( ) A I , tada vektor pomjeranja {tapa ima samo ~etiri ~lana razli~ita od nule:

, , ,i i yju u jϕ ϕ , pa se preko pomjeranja mogu izraziti samo momenti i transverzalne sile

(normalne sile ne moraju biti jednake nuli!):

3 2 3 2

2 2

3 2 3 2

2 2

12 6 12 6

6 4 6 2

12 6 12 6

6 2 6 4

i y

i i

j y

j j

EI EI EI EI

L L L LT u EI EI EI EI

M L L L L

T u EI EI EI EI

L L L L M

EI EI EI EI

L L L L

i

j

ϕ

ϕ

⎡ ⎤−⎢ ⎥

⎢ ⎥⎧ ⎫ ⎧⎢ ⎥−⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪

= ⋅⎨ ⎬ ⎨⎢⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− − −⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎩ ⎭ ⎩

⎢ ⎥−⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

⎫⎪⎪⎬⎥⎪⎪⎭

(6.3)

Dakle, pod pretpostavkom da {tap u ravni nema aksijalnu deformaciju, matricakrutosti {tapa se reducira na 4x4. Ukoliko posmatramo {tap re{etke u ravni,pretpostavljamo da je taj {tap optere}en samo aksijalnim silam, {to zna~i da imaisklju~ivo pomjeranja u pravcu x lokalnog koordinatnog sistema. To zna~i da svaki ~vorima samo po jedan stepen slobode kretanja, tj. {tap ima ukupno dva stepena slobodekretanja. Posljedica je to da matrica krutosti ima dimenzije 2x2:

EA EA

L L

EA EA

L L

⎡ ⎤−⎢ ⎥

= ⎢⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎣ ⎦

k ⎥ (6.4)

89




[tap u prostoru ima ukupno 12 stepeni slobode kretanja, jer svaki ~vor ima po trirotacije i tri translacije, tako da matrica krutosti takvog {tapa ima dimenzije 12x12.Veza izme|u presje~nih sila i pomjeranja se mo`e izraziti jedna~inom:

11 11

11 11

33 33

33 33

55 56 55 56

56 66 56 67

55 56

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0

i

j

xi

xj

yi

zi

yj

zj

zi

yi

zj

yj

N k k

N k k

M k k

M k k

T k k k k

M k k k k

T k k k

M

T

M

T M

−⎧ ⎫⎪ ⎪ −⎪ ⎪

⎪ ⎪ −⎪ ⎪−⎪ ⎪

⎪ ⎪ −⎪ ⎪

−⎪ ⎪⎪ ⎪=⎨ ⎬

− −⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪

⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

55 56

56 67 56 66

77 78 77 78

78 88 78 89

77 78 77 78

78 89 78 88

0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0

xi

xj

xi

xj

yi

zi

yj

zj

zi

yi

zj

yj

u

u

u

uk

k k k k

uk k k k

k k k k

uk k k k k k k k

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

⎧⎡ ⎤⎪⎢ ⎥⎪⎢ ⎥

⎪⎢ ⎥ ⎪⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⋅ ⎨⎢ ⎥−⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥

− − −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

⎫⎪⎪

⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪

⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪

⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

gdje je: 11

EAk

L= , 33

xGI k

L= , 55 3

12 z EI k

L= , 56 2

6 z EI k

L= , 66

4 z EI k

L= , 67

2 z EI k

L=

77 3

12 y

EI k

L= , 78 2

6 y

EI k

L= , 88

4 y

EI k

L= , 89

2 y

EI k

L= .

Da bi dobili kona~ne izraze za presje~ne sile na {tapu koji je izlo`en djelovanju

optere}enja ili promjene temperature, posmatra}emo {tap prikazan na slici 6.3. Po{to supomjeranja na krajevima {tapa jednaka nuli, prakti~no se radi o obostrano uklje{tenom{tapu. Za takav {tap }emo ponovo primijeniti jedna~ine (3.15), (3.18), (3.22) i (3.23), stim da }e sada figurirati samo ~lanovi vezani za optere}enje.

( ) ( ) ( )0

0

10

L

i x xj t x

N u L u t L L s p s ds

EA EAα

⎛ ⎞= = + − − =⎜ ⎟

⎝ ⎠ ∫

( ) ( )0

0

10 0

L j

x xi t x

N u u t L sp s ds

EA EAα

⎛ ⎞= = − + − =⎜ ⎟

⎝ ⎠ ∫

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

32 3 2

0

22

0

1

02 6 6

10

2 2

L

i i y yj y t

L

i i j y

M T t

u L u L L L s p s ds L EI EI EI h

M T t L L L L s p s ds L

EI EI EI h

α

ϕ ϕ α

Δ

= = − + − + =

Δ= = − + − + =

∫

∫ t

( ) ( )

( ) ( )

2 3 3 2

0

2 2

0

10 0

2 6 6

10 0

2 2

L j j

y yi y t

L j j

i y

M T t u u L L s p s ds L

EI EI EI h

M T t L L s p s ds L

EI EI EI h

α

ϕ ϕ α

Δ= = + + + =

Δ= = − − − − =

∫

∫ t

90




Iz gornjih jedna~ina se jednostavno mogu dobiti vrijednosti presje~nih sila u~vorovima i . Uzimaju}i u obzir konvenciju za metodu sila (promjena predznakasila

i j

, ,i i iT N ) dobivamo:

( ) ( ) 0

0

1 L

i x N L s p s ds EA t

Lα = − − + =∫ n t i

( ) 0

0

1 L

j x t N sp s ds EA t

Lα = − − =∫ n j

( )2

0

1

L

i y t

s t M s p s ds EI

L hα

Δ⎛ ⎞= − − =⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ m i

( )2 3

0

1 3 2

L

i y

s sT p

L L

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦∫ t i s ds

( )2

0

1

1

L

j y

s t

M s p s ds EI L L hα

Δ⎛ ⎞

= − − − =⎜ ⎟⎝ ⎠∫ m t j

( )2 3

0

3 2

L

j y j

s sT p

L L

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦∫ t s ds

Dakle, gornjim jedna~inama su prikazani izrazi za presje~ne sile na krajevimaobostrano uklje{tenog {tapa uslijed djelovanja vanjskog optere}enja i promjenetemperature. Ove sile se obi~no i ra~unaju kao reakcije obostrano uklje{tene grede, ane preko prikazanih jedna~ina.

Sada se mogu napisati jedna~ine za presje~ne sile na krajevima optere}enog{tapa preko pomjeranja:

3 2 3 2

2 2

3 2 3 2

2 2

0 0 0 0

12 6 12 60 0

6 4 6 20 0

0 0 0 0

12 6 12 60 0

6 2 6 40 0

i xi

i yi

i i

j xj

j yj

j

EA EA

L L

EI EI EI EI N u

L L L LT u EI EI EI EI

M L L L L

N u EA EA

L LT u

EI EI EI EI M

L L L L

EI EI EI EI

L L L L

ϕ

⎡ ⎤−⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥−⎧ ⎫ ⎢ ⎥

⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎢ ⎥−⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥= ⋅⎨ ⎬ ⎢ ⎥⎪ ⎪ −⎢ ⎥⎪ ⎪

⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ − − −⎩ ⎭ ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎣ ⎦

i

i

i

j

j

j jϕ

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪

+⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭

n

t

m

n

t

m

(6.5)

ili: (6.6)⋅ +f = k u

Jedna~ine kojima se momenti izra`avaju preko pomjeranja nazivaju se jo{ iTakabey-eve jedna~ine. U jedna~ini (6.6) vektor se naziva vektor optere}enja {tapa.

Ova jedna~ina vrijedi za {tap koji je na oba kraja kruto vezan za neki drugi{tap. Posebni izrazi za presje~ne sile se mogu napisati za {tapove, koji na jednom kraju

91




imaju zadat rubni uvjet po silama. U su{tini takve jedna~ine se dobivaju tako da se izzadatog rubnog uvjeta po silama izrazi pomjeranje koje je vezano za tu silu, i onda setaj izraz ubaci u ostale jedna~ine. Ovaj postupak se ina~e naziva stati~ka kondenzacijai njime se, u op{tem slu~aju, mogu iz sistema jedna~ina izbaciti sve jedna~ine ~iji jeslobodni ~lan jednak nuli, uz eliminisanje svih nepoznatih koje se nalaze uzdijagonalne ~lanove izba~enih jedna~ina.

Pretpostavimo da je zadat sistem od n jedna~ina sa n nepoznatih:

( ) ( ) ( )1 1nxn nx nx=k u f

Ako m jedna~ina ima slobodan ~lan razli~it od nule, a k jedna~ina slobodan ~lanjednak nuli, tada gornju jedna~inu mo`emo napisati kao:

11

11

m mk mmxmxm mxk mx

km kk k kxkxm kxk kx

⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⋅ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥

⎩ ⎭⎣ ⎦ ⎩ ⎭

f k k u

0k k u

Iz druge matri~ne jedna~ine }emo izraziti pomjeranja koja su vezana za nulte slobodne

~lanove: 11 1

k kk kmkx kxk kxm mx

−⎡ ⎤= ⎣ ⎦u k k um

1i ubaciti ih u prvu:

1

1 1

m m mk kk km m

mxm mx mxk kxk kxm mx m

−

+⎡ ⎤− =⎣ ⎦k u k k k u f

( )1

1 1

m mk kk km m

mxm mxk kxk kxm mx mx

−⎡ ⎤− =⎣ ⎦k k k k u f k u⇒ ⋅ = f

Time je originalna matrica k kondenzovana u matricu k , ~iji je rang za manjiod ranga originalne matrice. Naravno, kondenzovanim sistemom jedna~ina nijemogu}e izra~unati nepoznate koje su izba~ene. U statici i dinamici konstrukcija, ovajpostupak se koristi ukoliko `elimo izra~unati presje~ne sile u svim ta~kama nekogsistema i samo ona pomjeranja koja su neophodna za prora~un presje~nih sila. Ovo}emo pojasniti na slijede}im primjerima.

k

[TAP SA ZGLOBOM NA JEDNOJ STRANI

E,A,I,Li j

Iz poznate ~injenice da momenat u ta~ki mora biti jednak nuli, imamo: j

( ) ( )3 1 32 02 2

j j j i yi yj j j i yi yj M k u u u u

L Lϕ ϕ ϕ ϕ ⎛ ⎞ ⎛

k = + + − + = ⇒ = − + − −⎜ ⎟ ⎜

⎝ ⎠ ⎝

m

m ⎞⎟ ⎠

, E 2 I k L

=

( )1

1.52

j

i i yi yj i M k u u L

ϕ ⎛ ⎞

= + − + −⎜ ⎟⎝ ⎠

m

m

( ) 31.5 1

2

j

i i yi yj i

k T u u

L L Lϕ

⎛ ⎞= + − −⎜ ⎟

⎝ ⎠

m

t +

( ) 31.5 1

2

j

j i yi yj j

k T u u

L L Lϕ

⎛ ⎞= − + − + +⎜ ⎟

⎝ ⎠ t m

Prisustvo zgloba nema uticaja na normalne sile.

92




Jedna~ina {tapa u matri~noj formi ima oblik:

3 2 3

2 2

3 2 3

0 0 0 0

12 6 12

0 0 0

6 4 60 0 0

0 0 0 0

12 6 120 0 0

0 0 0 0 0 0

i

i xi i

i yi

i i

j xj

j yj

j j

EA EA

L L

EI EI EI N u

L L LT u EI EI EI

M L L L

N u EA EA

T u L L

M EI EI EI

L L L

ϕ

ϕ

⎡ ⎤−⎢ ⎥

⎢ ⎥⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥

−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥−⎪ ⎪ ⎪ ⎪

= ⋅⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪

−⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎩ ⎭ ⎩ ⎭− −⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

n

t

+

3

2

2

3

2

0

j

j

i

j

j

j

L

L

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪

−⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪−⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪

+⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

m

m m

n

m t

(6.7)

[TAP SA NULTIM POLJEM ZA TRANSVERZALNU SILU

E,A,I,Li j

U su{tini primjenjujemo isti postupak. Transverzalna sila u ta~ki mora biti jednakanuli:

j

( )( )

3

2

260 2 12

yi yj

j i j j yj yi i j

u u EI L LT u u L L

ϕ ϕ ϕ ϕ

⎡ ⎤−

= − + + + = ⇒ = + + −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦t t j EI

( )2

i i j i j

EI L M

Lϕ ϕ = − + +m t

( )2

j j i j j

EI L M

Lϕ ϕ = − + +m t

i jT = +t t i

0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

4 20 0 0 0

2

0 0 0 00

0 0 0 0 0 0

2 4 20 0 0 0

i

i xi j

i y

i ji

j x j

j y

j j

j j

EA EA

L L N u

T u EI EI L M L L

N u EA EA

L LT u

M L

EI EI

L L

ϕ

ϕ

⎡ ⎤

−⎢ ⎥ ⎧⎢ ⎥ ⎪⎧ ⎫ ⎧ ⎫ +⎢ ⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪

+⎢ ⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥= ⋅⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭ +⎢ ⎥ ⎪⎩⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

n

t t

m t

n

m t

⎫i

i

i

j

j

+

⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭

(6.8)

93




Na isti na~in se mogu dobiti jedna~ine {tapa i za druge rubne uvjete nakrajevima ili za njihovu kombinaciju.

6 2 Identifikacija minimalnog broja nepoznatih pomjeranja sistema

Sve prikazane jedna~ine {tapa i matrice krutosti su izvedene pod pretpostavkomda je {tap izme|u ~vorova i i prav, konstantnog popre~nog presjeka i bez nultih

polja za bilo koju presje~nu silu. Drugim rije~ima, izme|u ~vorova i i linijapomjeranja je kontinualna i glatka. Ovim uvjetom se prakti~no definira minimalan brojta~aka-~vorova u kojima je potrebno izra~unati pomjeranja da bi se dobili ta~nirezultati metodom deformacija. Ukoliko ne postoje nulta polja za pomjeranja jedan~vor ima dvije translacije i jednu rotaciju, tj. tri nepoznata pomjeranja ili tri stepenaslobode kretanja. Na slici 6.3. prikazani su ~vorovi sa zglobovima (nultim poljem zamomenat) i odgovaraju}i broj stepeni slobode kretanja. U principu {tap koji je zglobnovezan za neki ~vor u tom ~vor ima ugao zaokreta koji je neovisan o uglu zaokreta~vora.

j

j

SSK=4SSK=3 SSK=6

Slika 6.3.

Dakle, za neki zadati linijski sistem u ravni, ukupan broj pomjeranja se ra~unakao zbir slobodnih translacija - pomaka i rotacija - uglova zaokreta ~vorova. Broj

pomaka je jednak broju ~vorova pomno`enom sa dva. Od ovog broja se oduzima brojpomaka koji je zadat rubnim uvjetima (pokretni i nepokretni oslonci). Broj uglovazaokreta je jednak broju ~vorova, uve}anom za broj zglobnih veza. Od ovog brojatreba oduzeti broj ~vorova gdje je rubnim uvjetima definisano uklje{tenje. Sve ovo semo`e predstaviti slijede}om jedna~inom:

; 2 ; p z SSK SP SU SP n r SU n s r = + = − = + − u

Primjeri:

a) n=6, rp =5, sz =0, ru=2, SP=7 SU=432

Nepoznata pomjeranja:

1 1 2 2 3 3 5, , , , , , x y x y x y xu u u u u u u

Nepoznate rotacije: 1 2 3 5, , ,ϕ ϕ ϕ ϕ

1

4 5 6

b) n=6, rp =6, sz =2, ru=1, SP=6 SU=7

Nepoznata pomjeranja:

1 1 2 2 3, , , , , 3 x y x y x yu u u u u u

Nepoznate rotacije: 1 2 1 2 5 2 3 3 4 5, , , , , ,ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ − − −

13

2

4 5 6

94




U nekim slu~ajevima mogu se uvesti dodatni ~vorovi, da bi se metodadeformacija mogla primijeniti. Tipi~an slu~aj je prora~un pomaka neke ta~ke obostranouklje{tene grede metodom deformacija. Uvo|enjem novog ~vora na mjestu gdje se traìpomak dobivamo ukupno tri ~vora, a nepoznate su pomaci i ugao zaokreta ~vora 3.

1 3 2

Identifikacija nepoznatih pomjeranja je prvi korak pri primjeni metodedeformacija. Prikazani metod utvr|ivanja broja nepoznatih pomjeranja zasniva se napretpostavci da su svi {tapovi deformabilni. Metoda deformacija zasnovana na ovakvojpretpostavci naziva se ta~na ili stroga metoda deformacija. Za razliku od nje postoji itehni~ka metoda deformacija, gdje se pretpostavlja da su {tapovi aksijalno kruti.Opravdanje za primjenu ove metode deformacija je isto kao pri zanemarenju uticaja

normalnih sila u metodi sila. Naime, u matrici krutosti {tapa, ~lanovi vezani za aksijalnapomjeranja i sile su mnogo ve}i od ostalih ~lanova. Utvr|ivanje broja nepoznatihpomaka je ne{to komplikovanije za tehni~ku metodu deformacija, jer broj nepoznatihpomjeranja zavisi od poloàja i broja {tapova. Po{to sada {tapovi imaju malu krutost nasavijanje u odnosu na aksijalnu krutost, ovaj zadatak se moè svesti na utvr|ivanjestepena slobode kretanja mehanizma sa krutim {tapovima. Naime, u svaki ~vor sistemase moè ubaciti fiktivni zglob, ~ime se dobiva mehanizam koji se obi~no nazivazglobna {ema. Sada se broj nepoznatih pomaka jednak stepenu slobode kretanja takvogmehanizma. U primjeru a) bi postojala dva nepoznata pomaka i to: horizontalni pomak~vora 5 i horizontalni pomak ~vorova 1,2 i 3. Jasno je da horizontalni pomak ovih

~vorova mora biti jedinstven radi aksijalne krutosti grede. Svi vertikalni pomaci sujednaki nuli radi toga {to su stubovi aksijalno kruti. Nepoznati uglovi zaokreta seodre|uju na isti na~in za tehni~ku i za ta~nu metodu deformacija.

Primjer:

Zglobna {ema

Prema ta~noj metodi deformacija prikazani sistem ima 8 nepoznatih pomaka - usvakom od slobodnih ~vorova po dva. Prema tehni~koj metodi deformacija isti sistemima jedan nepoznati pomak, jer je zglobna {ema mehanizam sa jednim stepenom

slobode kretanja, koje je {ematski prikazano na slici.

1 2

3

4

P2

2

1 3

95




6 3 Postavljanje uvjeta ravnoteè Asembliranje matrice krutosti

Kako je u uvodu ovog poglavlja re~eno, nepoznata pomjeranja se dobivaju izsistema jedna~ina koji se formira iz uslova ravnoteè. Presje~ne sile na krajevima{tapova, dakle u ~vorovima, su izraène preko pomjeranja ~vorova. Optere}enja ipromjene temperature koje djeluju na {tapove su, tako|er, redukovana na ~vorove

preko vektora optere}enja za svaki {tap. Postavljaju}i uvjete ravnoteè za svaki ~vorkoji ima pomjeranje dobivaju se jedna~ine u kojima su nepoznata pomjeranja. Uvjetiravnoteè se mogu postaviti na vi{e na~ina: direktno - isijecanjem ~vorova ipostavljanjem uvjeta da je suma sila (i momenata) za svaki ~vor jednaka nuli. Po{to seuslovi ravnoteè postavljaju u pravcu svakog nepoznatog pomjeranja, dobiva seonoliko jedna~ina koliko ima nepoznatih pomjeranja.

qPrimjer 1:

Prema ta~noj metodi deformacija ovaj sistem ima 5 nepoznatih pomjeranja:

2 2 3 2, , , , X Y X u u u 3ϕ ϕ . Uvjeti ravnoteè koji se mogu postaviti su:

0, 0, 0 M X Y = =∑ ∑ ∑ = za ~vor 2 i 0, 0 M X = =∑ ∑ za ~vor 3.

Rastavljaju}i sistem na ~vorove i {tapove, u ~vorovima postavljamo iste sile kao

na krajevima {tapova, sa suprotnim predznakom. To zna~i da su sile koje djeluju na~vor pozitivne ako: djeluju odozgo prema dolje, s desna u lijevo i u pravcu kazaljke nasatu, {to je upravo suprotno od konvencije koja vrijedi za {tap.

Lokalni koordinatni sistem {tapa 1 je zarotiran za ugao α u odnosu na globalni.Po{to su jedna~ine {tapa izvedene u lokalnom koordinatnom sistemu, potrebno jepomjeranja prikazati u lokalnom koordinatnom sistemu {tapa 1 (vidi jedna~nu 2.18):

2 2 2 2 2 2 1

22 2 2 2

cos sin cos sin

cos sin sin cos

x X Y x X

y y Y X Y

u u u u u

uu u u u

α α α α

α α α α

−= + ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤⎪

⇒ = ⋅ ⇒ =⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥= − −⎪ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭⎭u T ⋅ u

Radi kra}eg pisanja uve{}emo slijede}e oznake:

23

L221

L11 α

T3-2T3-2T2-3

N2-3

3M2-3

M2-3

2

N2-1

N2-1T2-1

M2-1

M2-1T2-1

N2-3

N3-2M3-2 M3-2

96




1 1 1 12 3

1 1 1

4 6 1; ; ; M T N T

EI EI EA EI k k k k

L L L= = = =

1

2

L

2 2

2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2

1 1 1

3 222 ; ;

y y

T N

u u EI x

T k N k u L L L

ϕ ϕ − −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − = − − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ −

Za {tap 2 imamo:

( )2 22 3 2 3 2 3 2 3 2 2 3 2 3 2 3 2 2 3

2 2 2

3 222 ; ;Y Y

T N

u u EI X X

T k N k u u L L L

ϕ ϕ ϕ ϕ − − − − −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + + = + + + = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦m t

( )2 23 2 3 2 3 2 3 2 2 2 3 3 2 3 2 2 3 2

2 2 2

3 222 ; ;Y Y

T N

u u EI M T k N

L L Lϕ ϕ ϕ ϕ − − − − −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + + = − + + + = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦m t X X k u u

gdje su:2

2 22 3 3 2 2 3 3 2

;12 2

qL qL− − − −= − = = =m m t t

Uslovi ravnoteè:

( ) ( )22 1 2 3 1 2 2 3 2 1 2 1 2 2 30 cos s

2

M M M T T Y T X

k M M k k k k u k uϕ ϕ α α − − −+ = ⇒ + + + − + + =m in 0

( ) ( )2 1 2 3 2 1

2 2

1 2 1 1 2 1 1 2 2 2 3

cos sin 0

sin cos sin sin cos 0T N T Y T N N X N

N N T

k k k u k k k u k u X

α α

αϕ α α α α

− − −+ − = ⇒

+ − + + + − =

2 1 2 1 2 3sin cos 0 N T T α α − − −+ + = ⇒

( ) ( ) ( )2 2

2 1 2 2 3 2 1 1 2 1 2 2 2 3cos sin cos sin cos 0T T T T N T Y N T X k k k k k k u k k uα ϕ ϕ α α α α −− + + + + + − +t =

23 2 2 3 2 2 2 3 2

0 02

M M T Y

k M k k uϕ ϕ − −= ⇒ + + + =m

3 2 2 3 2 20 0 N X N X N k u k u− = ⇒ − =

( )

( )

21 2 2 1 1

2 2 32

2 23 3 2

2 2 32 1 2 33 1 1

2

31 1 1 44 2

2 2

cos sin 02

0 02

sin 2cos 0

2 0

sin2 0sin 02

0 0 0

M M M T T T

M M T

Y T T T N T

X

X T N T N

N N

k k k k k k

k k k

uk k k d k k

u

uk k k d k

k k

α α

ϕ

ϕ

α α

α α

−

−

−

⎡ ⎤+ −⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⋅ +⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥− − ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥

⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎩ ⎭− −⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

m

m

t

0

0

0

0

0

⎧ ⎫⎪ ⎪

⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭

ili: (6.9)⋅ + =K u F 0

Matrica se naziva globalna matrica krutosti. To je uvijek simetri~na,kvadratna matrica ~iji je rang jednak broju nepoznatih pomjeranja. Globalna matrica

krutosti je izvedena iz uvjeta ravnoteè, koji su postavljeni direktno. Jasno, na ovajna~in se ne moè dobiti op{ti izraz za dobivanje globalne matrice krutosti.

K

97




Kako je pokazano u prethodnim poglavljima, uvjeti ravnoteè se mogu postaviti ina druge na~ine. Koriste}i Lagrange-ov princip virtuelnih radova ili energetski kriterijravnoteè, dobili smo slijede}u jedna~inu ravnoteè u matri~nom obliku:

T Tδq kq+ δq Q = 0 (6.10)

gdje se δ moè interpretirati ili kao vektor virtuelnih pomjeranja ili kao varijacija

vektora pomjeranja kompletnog sistema. Po{to su nepoznata pomjeranja stvarnapomjeranja ona su ujedno i virtuelna. Ako traèna pomjeranja ~vorova prikaèmopreko vektora pomjeranja , matricu krutosti ozna~imo sa i vektor generalisanih silakoje odgovaraju traènim pomjeranjima sa , jedna~ina (6.10) se moè napisati kao:

q

u K

k F

+T T

k δu Ku δu F = 0 (6.11)

Prvi sabirak jedna~ine (6.11) predstavlja rad unutra{njih sila na virtuelnim pomjeranjima~vorova, a drugi rad vanjskih sila koje djeluju u ~vorovima. Unutra{nje sile u ~vorovimasu prikazane pomo}u jedna~ine {tapa (6.6). U op{tem slu~aju linijski sistem se sastoji

od n {tapova. Za svaki {tap moèmo napisati jedna~inu {tapa:(6.12)i i i= ⋅ +f k u i

T

U gornjoj jedna~ini je vektor unutra{njih sila, je matrica krutosti {tapa i ,

je vektor pomjeranja, a vektor optere}enja {tapa. Kompletna jedna~ina je data u

lokalnom koordinatnom sistemu {tapa. Virtuelni rad unutra{njih sila na pomjeranjimamoè se izraziti kao suma virtuelnih radova unutra{njih sila na {tapovima. Podpretpostavkom da se sistem sastoji od n {tapova, imamo:

if ik iu

i

(6.13)1 1 1

n n n

i i i i i i i

i i i= = =

= ⋅ ⋅ +∑ ∑ ∑T Tδu f δu k u δu

Sada se Lagrange-ov princip ravnoteè moè napisati kombinovanjem jedna~ina(6.11) i (6.13):

(6.14)011

=+⋅+⋅⋅ ∑∑==

k

TTTFδuδuuk δu

n

i

ii

n

i

iii

Problem sa jedna~inom (6.14) je u tome da je rad unutra{njih sila dat prekovektora koji su definisani u lokalnim koordinatnim sistemima, a rad vanjskih sila prekovektora pomjeranja kompletnog sistema, tako da se ova jedna~ina na moè direktnoiskoristiti za prora~un pomjeranja. Da bi to bilo mogu}e potrebno je vektore pomjeranja

koji su dati u lokalnim koordinatnim sistemima prikazati preko jedinstvenog vektorapomjeranja koji se defini{e u jedinstvenom globalnom koordinatnom sistemu.

Prvi korak je na}i projekcije vektora pomjeranja {tapa u globalnomkoordinatnom sistemu. Jedna~ine {tapa su izvedene u lokalnom koordinatnom sistemu,koji je u op{tem slu~aju zarotiran za ugao α u odnosu na globalni koordinatni sistem.

98




Y

α

i

j

k

xy

X

Slika 6.4

Koriste}i jedna~ine za preslikavanje vektora iz lokalnog u globalni koordinatnisistem, koje su izvedene u drugom poglavlju, mo`emo izraziti vektor pomjeranja {tapau globalnom koordinatnom sistemu:

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⋅

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

k

Yk

Xk

j

Yj

Xj

k

yk

xk

j

yj

xj

u

u

u

u

u

u

u

u

ϕ

ϕ

α α

α α

α α

α α

ϕ

ϕ

100000

0cossin000

0sincos000

000100

0000cossin

0000sincos

ili: (6.15)e

iii uTu ⋅=

Matrica se naziva matrica transformacije {tapaiT i i zavisi isklju~ivo od nagiba

{tapa u odnosu na globalni koordinatni sistem. Vektor predstavlja vektor pomjeranja{tapa

e

iui u globalnom koordinatnom sistemu. O~igledno, kada se lokalni i globalni

koordinatni sistem poklapaju matrica transformacije je jedini~na. Istom matricomtransformacije se preslikavaju i vektori virtuelnih pomjeranja iz lokalnog u globalnikoordinatni sistem:

(6.16)T

i

T e

i

T

i Tδuδu =

Uvr{tavanjem jedna~ina (6.14) i (6.15) u jedna~inu (6.13) dobivamo:

(6.17)0

11

=+⋅⋅+⋅⋅⋅⋅ ∑∑==

k

TTTTTFδuTδuuTk Tδu

n

i

ii

e

i

n

i

iiii

e

i

U jedna~ini (6.17) vektori pomjeranja su dati u globalnom koordinatnomsistemu. Preostalo je vektore pomjeranja {tapova izraziti preko vektora pomjeranjakompletnog sistema. Svaki od {est ~lanova vektora predstavlja pomjeranje prvog ili

drugog ~vora {tapa

e

iu

i u pravcu osovina globalnog koordinatnog sistema. Po{to supomjeranja svih ~vorova u globalnom koordinatnom sistemu sadr`ana u vektorupomjeranja sistema, sve {to je potrebno uraditi je definisati mjesto svakog ~lana vektora

u vektoru pomjeranja sistema. To je mogu}e uraditi uspostavljanjem veze u obliku:e

iu

(6.18)uLu ⋅= i

e

i

99




Matrica naziva se matrica kompatibilnosti. Ova matrica ima {est vrsta, a brojkolona je jednak broju nepoznatih pomjeranja sistema. U svakoj vrsti ima najvi{e jedan~lan koji je jednak 1, dok su ostali jednaki nuli. Broj kolone (npr. u drugoj vrsti) u kojojse nalazi 1 jednak je broju vrste vektora pomjeranja sistema u kojoj se nalazipomjeranje {tapa na koje se druga vrsta odnosi. Dakle, matrica kompatibilnosti jednog{tapa ima onoliko jedinica koliko ~vorovi {tapa imaju pomjeranja (zna~i maksimalno{est), a sve ostalo su nule. Ukoliko je neko pomjeranje {tapa sprije~eno rubnim uvjetimapo pomjeranjima, tada su u odgovaraju}oj vrsti sve nule. Dakle, matrica kompatibilnostizavisi isklju~ivo od poloàja {tapa u sistemu {tapova i rubnih uvjeta.

iL

Primjenjuju}i jedna~inu (6.18) na virtuelna pomjeranja i uvr{tavaju}i je u jedna~inu(6.17) dobiva se:

(6.19)011

=+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ∑∑==

k

TTTTTTTFδuTLδuuLTk TLδu

n

i

iii

n

i

iiiii

Mnoè}i gornju jedna~inu sa dobivamo:1Tδu −

(6.20)011

=+⋅⋅+⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅⋅⋅ ∑∑

==k

TTTTFTLuLTk TL

n

i

iii

n

i

iiiii

Izraz u uglastoj zagradi u jedna~ini (6.20) predstavlja zbir kvadratnih matricadimenzija mxm, gdje je m broj nepoznatih pomjeranja. Druga suma je suma vektoraodgovaraju}ih dimenzija. Ako uvedemo oznake:

(6.21)k

TTTTFTLFLTk TLK +⋅⋅=⋅⋅⋅⋅= ∑∑

==

n

i

iii

n

i

iiiii

11

moèmo napisati:

0FuK =+⋅ (6.22)

Jedna~ina (6.22) predstavlja sistem jedna~ina iz kojeg se ra~unaju nepoznatapomjeranja, tj. odre|uje se vektor . Matricau K se naziva globalna matrica krutostisistema, i kako smo vidjeli, dobiva se iz uvjeta ravnoteè. Proces dobivanja globalnematrice krutosti iz matrica krutosti {tapova naziva se asembliranje. Vektor je vektorslobodnih ~lanova i predstavlja vanjsko optere}enje redukovano u ~vorove.

F

Ovakav na~in formiranja sistema jedna~ina metode deformacija }emo pokazati naprimjeru 1. Sistem se sastoji od dva {tapa. Za svaki {tap }emo napisati vektore sila,pomjeranja i optere}enja u lokalnom koordinatnom sistemu, te matrice krutosti,transformacija i kompatibilnosti. Koriste}i iste oznake primjenjene u primjeru 1.,imamo:

1

1

1 11 2

1 1 1 11 2

1 1 11 2 2

1 12 1

1 1 1 12 1

1 1 12 1 2

0 0 0 0 0

0 0 0

0 0 0; ;

0 0 0 0 0

0 0 0

0 0 0

M

M

N N

T T T T

k

T M T

N N

T T T T

k

T T M

k k N

k k k k T

k k k M

k k N

k k k k T

k k k M

−

−

−

−

−

−

−⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎪ ⎪ ⎪

= = ⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨−⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪

⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪− − −⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪

−

⎪= ⎬

⎪⎪⎪

⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎩ ⎭⎩ ⎭ ⎣ ⎦

1 1 1f k

100




1

1

1

2

2

2

x

y

x

y

u

u

u

u

ϕ

ϕ

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪

= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪

⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

1u ,

cos sin 0 0 0 0

sin cos 0 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 cos sin

0 0 0 sin cos

0 0 0 0 0

α α

α α

α α

α α

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−

⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

1T0

0

0

1

u

Matricu kompatibilnosti dobivamo na osnovu veze vektora pomjeranja {tapa 1 i vektorapomjeranja sistema:

1

1

1

2

2

2

X

Y

X

Y

u

u

u

u

ϕ

ϕ

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪

= =⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪

⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

e

1 1u L ;

2

2

3

Y

X

X

u

u

u

ϕ

ϕ

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪

= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪

⎪ ⎪⎩ ⎭

2

3

u

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 1 0

0 0 1 0 0

1 0 0 0 0

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

1L

Prve tri vrste su vezana za dva pomaka i rotaciju prvig ~vora {tapa 1. Po{to se u tom~voru nalazi uklje{tenje (rubni uvjet) sva ova pojmjeranja su jednaka nuli, pa u ovimvrstama nema jedinica. ^etvrtom vrstom se definira mjesto horizontalnog pomjeranjadrugog ~vora {tapa 1 (~vor 2). Po{to se to pomjeranja nalazi u 4. vrsti vektorapomjeranja sistema, jedinica se nalazi u 4. koloni. Istim rezonom se formiraju peta i{esta vrsta matrice kompatibilnosti {tapa 1.

( ) ( )

( ) ( )

2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1

sin 2 sin 2cos sin sin cos sin sin

2 2sin 2 sin 2

sin cos cos sin cos cos2 2

sin cos sin cos

N T N T T N T N T T

N T N T T N T N T T

T T M T T

T

k k k k k k k k k k

k k k k k k k k k k

k k k k k

α α

1 M k

α α α α α

α α

α

α α α α α

α α α α

+ − − − − − −

− + − − −

− −

⋅ ⋅ =

+

+

T k T

α

( ) ( )

( ) ( )

2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

/ 2

sin 2 sin 2cos sin sin cos sin sin

2 2

sin 2 sin 2sin cos cos sin cos cos

2 2

sin cos / 2 sin cos

N T N T T N T N T T

N T N T T N T N T T

T T M T T

k k k k k k k k k k

k k k k k k k k k k

k k k k k

α α

1 M k

α α α α α

α α

α

α α α α α

α α α α

− − − + + −

− + − − − − + −

− −

⎡⎢

⎢⎢⎢

⎣

⎤

α

⎥

⎥⎥⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎦

101




( )

( )

2 2

1 1 1 1

1 1

1 1 1

11 1 1 1 1

2 2

1 1

sin 2sin cos

2

sin 2

2

0 cos sin

0 0 0 0

cos 0 0

sin 0 cos sin 0

0 0 0 0

N T N T

N T

M T T

T T T

T N

k k k k

k k

k k k

k

k k

α α α

α

α α

α

α α

+ −

−

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

−⎢ ⎥⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =⎢ ⎥⎢ ⎥

+⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

L T k T L

1

0

0

0

T k α

2

2

2

2 22 3

22 2 2 22 3

2

2 2 22 3 2

2 2 2

2 23 2

2 2 2 23 2 2

2 2 23 2 22

2

0

0 0 0 0 20 0

0 0 12; ;

0 0 0 0 0

0 0

20 0

12

M

M

N N

T T T T

k

T M T

N N

T T T T

k

T T M

qLk k N

k k k k T qL

k k k M

k k N

k k k k T qL

k k k M qL

−

−

−

−

−

−

⎧⎪⎪−⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎪

⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪−⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ −⎪ ⎪ ⎪

= = =⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨−⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪

⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪− − −⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪

−⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎣ ⎦⎪

−⎩

f k

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪

⎪ ⎪⎭

2

2

2

2

3

3

3

x

y

x

y

u

u

u

u

ϕ

ϕ

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪

= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪

⎪ ⎪⎩ ⎭

u , 2

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

T I2

0 0 0 1 0

0 0 1 0 0

1 0 0 0 0

0 0 0 0 1

0 0 0 0 0

0 1 0 0 0

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

L

[tap 2. ima sprije~eno samo vertikalno pomjeranje drugog ~vora (peta vrsta), amatrica transformacije je jedini~na. Stoga je:

2 2 2

T ⋅ ⋅ =T k T k 2

2

2

2 2

2

2 2

2 2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

0

0

0 02

0 02

0

0 0

0 0 0

T

M

M T

M

M T T T

T T

N N

N N

k

k k k

k k k

k k

k k

k k

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎣ ⎦

L T k T L

2

2

2

2

2 2 2

2

12

12

2

0

0

T T

qL

qL

qL

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪

−⎪ ⎪⎪ ⎪⋅ ⋅ = ⎨ ⎬

⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

L T

Uvr{tavaju}i dobivene rezultate u jedna~inu (6.21) dobivamo matricu krutostisistema i vektor ~vornih sila.

102




Sistem jedna~ina se mo`e jednostavno rije{iti, tako {to }e se prvo rije{itiprva jedna~ina sistema, koja ima samo jednu nepoznatu:

⋅ =S y F

1 1 y f =

Druga jedna~ina ima oblik:

21 1 2 2 s y y f + = Koriste}i rje{enje prethodne jedna~ine i ovo je jedna~ina sa samo jednomnepoznatom , koju je lako izra~unati. Nakon toga se prelazi na slijede}u jedna~inu

gdje se uz izra~unate i javlja opet samo jedna nepoznata . Postupak

pronala`enja vektora

2 y

1 y 2 y 3 y

y se zavr{ava kada se iz poslednje jedna~ine izra~una . Timese zavr{ava druga faza Gauss-ovog metoda., koja se nazivca i prednja redukcija.

n y

Tre}a, poslednja faza se naziva zadnja supstitucija i svodi se na rje{avanjesistema jedna~ina:

⋅ =R u y (6.27)Po{to je vektor y poznat, ovaj sistem jedna~ina se rje{ava od poslednje

jedna~ine koja ima oblik:

nnn n n n

nn

r u y ur

= ⇒ =

Pretposlednja jedna~ina sada ima samo jednu nepoznatu , koja se lakoizra~unava jednostavnim algebarskim operacijama. Ovaj postupak se nastavlja sve dokse iz prve jedna~ine ne izra~una {to je poslednja nepoznata datog sistema jedna~ina.

1nu −

1u

Primjer: Rije{iti sistem jedna~ina Gauss-ovom metodom.

1

2

3

4

2 4 0 1 26

4 5 2 3 16

0 2 1 4 12

1 3 4 6 36

u

u

u

u

⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎢ ⎥

⎧ ⎫⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

Rje{enje:

Prva faza.

{ } { }1 12 4 0 1 ; 1 2 0 0.5T T = =R S ( )2

0 0 0 00 3 2 1

0 2 1 4

0 1 4 5.5

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

K

{ } { }2 13 32 2

0 3 2 1 ; 0 1T T = − = − −R S ( )3

7 143 3

35143 6

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0

0 0

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

K

105




{ } { }7 143 33 3

0 0 ; 0 0 1 2T T = =R S ( )4

72

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥

−⎣ ⎦

K

{ } { }4 470 0 0 ; 0 0 0 1

2T T = − =R S

72 13 3

713 2

1 0 0 0 2 4 0 1

2 1 0 0 0 3 2 1;

0 1 0 0 0

0.5 2 1 0 0 0

−

−

⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥ ⎢ −⎢ ⎥ ⎢= =⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢

−⎣ ⎦ ⎣

S R 4

3

⎤⎥⎥⎥⎥⎦

2 13 31 2 3 426, 16 2 26 36, 12 36 12, 36 0.5 26 36 2 12 35 y y y y= = − ⋅ = − = − ⋅ = − = − ⋅ − ⋅ + ⋅ =

( )

( )

4

3

2

1

35 210

7

3 1412 10 14.86

7 3

136 2 14.86 10 18.57

3

126 10 4 18.57 19.142

u

u

u

u

⋅= − = −

⎛ ⎞= − + ⋅ =⎜ ⎟

⎝ ⎠

= − − − ⋅ + =

= + − ⋅ = −

{to su rje{enja gornjeg sistema jedna~ina.

Prednost ove metode je {to se unaprijed zna broj ra~unskih operacija koje jepotrebno izvr{iti za rje{avanje sistema jedna~ina, a samim tim i kompjuterskogvremena. Usavr{avanje ove metode ima cilj da se na najefikasniji na~in pohrajunjujusamo komponente razli~ite od nule, ~ime se posti`e zna~ajna u{teda u utro{kukompjuterskog vremena i prostora za prora~un velikih sistema jedna~ina.

6 5 Prora~un presje~nih sila u {tapovima

Rje{avanjem sistema jedna~ina dobivaju se pomjeranja svih ~vorova sistema, asamim tim i pomjeranja ~vorova svakog {tapa. Koriste}i jedna~ine {tapa mogu seizra~unati vektori presje~nih sila u svakom {tapu:

(6.28)i i i= ⋅ +f k u i

Jedini problem je {to gornja jedna~ina podrazumijeva da je vektor pomjeranjadat u lokalnom koordinatnom sistemu i-tog {tapa, a rje{avanjem sistema jedna~inadobili smo vektor pomjeranja sistema. Prema tome, potrebno je iskoristiti izraze kojimase povezuju vektori pomjeranja svakog {tapa sa vektorom pomjeranja sistema. Izjedna~ina (6.15) i (6.18) dobiva se:

106

metoda deformacija

Documents