METODE NUMERIKDIFERENSIASI NUMERIK

http://maulana.lecture.ub.ac.id

Apersepsi

2Diferensiasi Numerik

Pendekatan Konsep Diferensiasi

3Diferensiasi Numerik

Jenis-Jenis Metode Diferensiasi

Metode Euler Metode Runge-Kutta Metode Taylor Metode Adam Metode Milne Metode Adam-Moulton Metode modifikasi Euler

4Diferensiasi Numerik

Metode Euler

Menghitung persamaan differensial melalui taksiran langsung dari slope xi diberi turunan pertama.

hyxfyy iiii ,1

5Diferensiasi Numerik

Metode Euler (Ex.)

Selesaikan persamaan differensial pada interval x = 0 s/d x = 1, h = ¼. Pada saat x = 0, nilai y = 1. Hitung kesalahan sebenarnya!

yxdxdy

6Diferensiasi Numerik

Metode Euler (Ex.) Untuk x = 0 y = 1 Untuk x = 0,25

yi+1 = yi + f(xi, yi).h= 1 + f(0,1).0,25== 1

Untuk x = 0,5yi+1 = yi + f(xi, yi).h

= 1 + f(0,25;1).0,25= = 1,0625

25,0101

25,0125,01

7Diferensiasi Numerik

Metode Euler (Ex.) Untuk x = 0,75

yi+1 = yi + f(xi, yi).h= 1,0625 + f(0,5;1,0625).0,25= = 1,1914

Untuk x = 1yi+1 = yi + f(xi, yi).h

= 1,1914 + f(0,75;1,1914).0,25= = 1,3961

25,00625,15,00625,1

25,01914,175,01914,1

8Diferensiasi Numerik

Metode Euler (Ex.)x y0 1

0,25 10,5 1,06250,75 1,1914

1 1,3961

9Diferensiasi Numerik

Metode Euler (Ex.)

Nilai eksakdxyxdyyx

dxdy

Cxy

dxxdyy

dxxdyy

dxxy

dy

2

21

21

212

0

0

0.

10Diferensiasi Numerik

Metode Euler (Ex.)

Pada saat x = 0; y = 1

Persamaan

202112 2 CC

2212 2 xy

11Diferensiasi Numerik

Metode Euler (Ex.)

Untuk x = 0,25

0315,1015625,1

0325,22

225,0212 2

yy

y

y

12Diferensiasi Numerik

Metode Euler (Ex.)

Untuk x = 0,5

1289,10625,1

25,0212 2

yy

y

13Diferensiasi Numerik

Metode Euler (Ex.)

Untuk x = 0,75

3010,1140625,1

275,0212 2

yy

y

14Diferensiasi Numerik

Metode Euler (Ex.)

Untuk x = 1

5625,125,1

21212 2

yy

y

15Diferensiasi Numerik

Metode Euler (Ex.)

x yEuler ysebenarnya t

0 1 1 0 %0,25 1 1,0315 3,0538 %0,5 1,0625 1,1289 5,8818 %0,75 1,1914 1,3010 8,4243 %

1 1,3961 1,5625 10,6496 %

%100

sebenarnya

sebenarnyaEulert y

yy

16Diferensiasi Numerik

Metode Heun

Untuk memperbaiki Metode Euler, digunakan Metode Heun dengan cara perbaikan dari perkiraan nilai slopenya.

Perbaikan perkiraan slope tersebut, ditempuh melalui nilai turunan dari slope-nya pada titik awal. Kemudian mencari turunan slope-nya pada titik akhir dan nilai tersebut dirata-ratakan.

17Diferensiasi Numerik

Metode Heun

Langkah-langkah Metode Heun:1. Mencari slope awal = f(xi, yi) 2. Slope awal pada no.1 digunakan untuk

ekstrapolasi nilai , dengan rumuso

1iy

hyxfyy iii

o

i ,1

18Diferensiasi Numerik

Metode Heun3. Persamaan prediktor ( ) digunakan untuk

mencari slope akhir (sebut dengan ), dengan rumus

4. Mencari slope rata-rata (sebut dengan )

o

1iy |

1iy

o

iii yxfy 11

|

1 ;

y

2

,, 11

o

iiii yxfyxfy

19Diferensiasi Numerik

Metode Heun5. Slope rata-rata ini yang sebenarnya digunakan

untuk mengekstrapolasikan yi ke yi+1

yi+1 = yi + (slope rata-rata).h

h

yxfyxfyy

o

iiii

ii

2

,, 11

1

20Diferensiasi Numerik

Metode Heun (Ex.)

Selesaikan persamaan differensial pada interval x = 0 s/d x = 1, h = ¼. Pada saat x = 0, nilai y = 1. Hitung kesalahan sebenarnya!

yxdxdy

21Diferensiasi Numerik

Metode Heun (Ex.)

22

Metode Heun (Ex.)

23

Metode Heun (Ex.)

24

Metode Heun (Ex.)

25

Metode Heun (Ex.)

x yHeun ysebenarnya t

0 1 1 0 %

0,25 1,0313 1,0315 0,01939 %

0,5 1,1284 1,1289 0,0443 %

0,75 1,3001 1,3010 0,06918 %

1 1,5608 1,5625 0,1088 %26Diferensiasi Numerik