metode aritmetice de rezolvare a problemelor -...
TRANSCRIPT
Metode aritmetice de rezolvare a problemelorMetode aritmetice de
rezolvare a problemelor
Prof. Adriana Caţaron
Metoda figurativa• Metoda grafica( figurativa)-consta in
reprezentarea prin desen a necunoscutelor si fixarea relatiilor dintre cunoscutele problemei in desenul respectiv
• Problemele care se rezolva prin metoda figurativa le putem imparti in doua mari categorii– cu date sau marimi « discrete » , cand
acestea pot fi numarate cate una si se pot pune in corespondenta dupa anumite criterii : In acest caz figuram marimile prin simboluri
– cu date sau marimi « continui » , caz in care le figuram cu segmente
Exemplul 1 : Daca se aseaza cate un elev intr-o banca raman 14 elevi in picioare.Daca asezam cate 2 elevi intr-o banca raman 3 banci libere. Cati elevi si cate banci sunt?
REZOLVARE :Din analiza primei parti a enuntului desprindem ca multimea elevilor si multimea bancilor pot fi in asa fel “privite” incat elementele lor sa fie organizate astfel : fiecarui elev ii corespunde o banca , situatie in care 14 elevi raman in picioare,deci nu au loc.
…..…..
a) figuram aceasta situatie convenind sa reprezentam banca printr-un dreptunghi si elevul printr-un cerc.
de 14 ori
b) distribuim cate unul dintre cei 14 elevi ramasi in picioare in cate o banca. Se observa ca acestia vor ocupa 14 banci, deci se vor completa cu ei 14 banci cu cate 2 elevi.
de 14 ori
…. ………
c) dar pentru ca trebuie sa ramana trei banci libere inseamna ca din bancile cu un copil s-au ridicat inca trei elevi care au completat ca si ceilalti colegi ai lor trei banci cu 2 elevi.Recapituland , avem 14 banci cu cate 2 elevi completate de cei 14 elevi ce erau in picioare si inca trei banci, cu 2 elevi completate prin ridicare din 3 banci care trebuiau sa ramana libere.
……
de 14 ori
Deci erau in clasa :
14 + 3 + 3 = 20 banci si
20 + 14 = 34 elevi
Exemplul 2 : Suma a doua numere este 35 iar diferenta lor este cat a treia parte din numarul mai mic.Aflati cele doua numere.
REZOLVARE 1 :
a)Punem in evidenta “informatia” care ne spune ca diferenta numerelor este 1/3 din numarul mai mic, adica cel mic are 3 parti,celalalt 4 parti;b)Din desen rezulta ca 7 parti, fiecare egala cu a treia parte din b, reprezinta 35.c)O parte reprezinta atunci 35 : 7 = 5b = 3 · 5 = 15a = 35 – 15 = 20
REZOLVARE 2 :
a + b = 35
a – b = 1/3 · b => a = 4/3 · b
4/3 · b + b = 35 => b = 35 : 7 · 3 = 15
a = 4/3 · 15 = 20
Exemplul 3 : Petrica are de cinci ori mai multi lei decat Costica.Cati lei are fiecare din ei stiind ca daca Petrica ii da lui Costica 120 lei , atunci suma de bani a acestuia reprezinta jumatate din suma lui Petrica.
REZOLVARE :
6 parti egale cu
suma lui Costica
Dupa imprumut,suma totala este formata din
3 parti egale cu noua suma a lui Costica
Exemplul 4 : Un tata are de 5 ori varsta fiului.Cu doi ani in urma el avea de 6 ori varsta fiului.Care este varsta fiului?
b) Luand din fiecare segment un segment mai mic ce reprezinta 2 ani obtinem urmatorul desen:
Se va obtine un segment CD mai mare de 6 ori decat AB
c) Este necesar ca cele 4 parti intregi ale lui CD sa le descompunem in segmente egale cu AB si cel ce reprezinta 2 ani.
d) CD va fi format din 5 segmente egale cu AB si inca 4x2 = 8 ani.
e) Tinand seama ca tatal avea de 6 ori mai mult ca fiul deducem ca 5AB + 8 ani = 6AB ceea ce inseamna ca segmental AB reprezinta 8 ani.
• Exemplul 5 : Stiind ca o treime din lungimea unui segment este egala cu trei patrimi din lungimea altui segment si ca diferenta dintre cele doua segmente este de 35 de cm aflati lungimea fiecaruia.
• REZOLVARE 1: a)Daca 1/3 din I reprezinta cat 3/4 din II, atunci tot intregul I reprezinta cat 3·3 patrimi din II, adica I =9 patrimi din II.
b)Din desen rezulta ca 9/4 - 4/4 = 5/4 din II care reprezinta 35 de cm.
Atunci : II=35:5·4=28(cm)
I=28+35=63-(cm)
sau I=35:5·9=63
REZOLVARE 2 :
Notam cu x lungimea primului segment
1/3x=3/4y|·3
X=9/4 y
X-Y =35
Obtinem : 9/4 y-y =35 =>5/4 y=35=>y=28=>x=63
Exemplul 6 : Suma a trei numere a, b, c este de sase ori mai mare decat a si de 3 ori mai mare decat b.
a) De cate ori este mai mare aceasta suma decat c?
b)Aflati numerele a si c daca b = 108
REZOLVARE :
Prima afirmatie
A doua afirmatie
Observati legatura dintre a si b !
b = 2a
c = 3a
Metoda falsei ipoteze Orice problema ale carei date sunt marimi proportionale,poate fi rezolvata prin metoda falsei ipoteze. Algoritm :
~ de regula se pleaca de la intrebarea problemei facand asupra marimii pe care o cautam o presupunere arbitrara, dar nu in contradictie cu datele din enunt;
~ se reface problema pe baza presupunerii facute si se ajunge la un rezultat care nu concorda cu cel real din problema.Este fie mai mare, fie mai mic decat acesta;
~ se compara rezultatul pe baza presupunerii cu cel real; din nepotrivirile obtinute se trage concluzia corecta de rezolvare a problemei.
Exemplul 1 : Cu 1300 de lei se pot cumpara 30 de bilete de autobuz de 30 de lei si 50 de lei.Cate bilete sunt din fiecare fel?
REZOLVARE :
a) Presupunem ca toate biletele costa 50 de lei.Atunci toate cele 30 bilete ar costa :
30 · 50 = 1500 lei
b) Comparand cu pretul real se obtine o diferenta:
1500 – 1300 = 200 lei in plus
c) Aceasta diferenta provine din faptul ca biletele de 30 de lei le-am considerat mai scumpe cu:
50 – 30 = 20 lei
d) La cate astfel de bilete am adaugat 20 de lei din suma ce a aparut in plus de 200 lei?
200 : 20 = 10 bilete
Dan cu 5 lei mai mult areDecat fratele cel mare.Daca fratele i-ar daUn leu,atunci Dan ar aveaO suma cu … mai mareDecat fratele cel mare.Socotiti si completati,Puncte goale nu lasati !
TEMA• Tema 1
• Probleme propuse pentru Cercul de matematica
• 3 octombrie 2015
• Prof. Adriana Caţaron
••• 1. Un grup de turisti intentioneaza sa ia pranzul la o cantina forestiera. Daca s-ar aseza cate 3 persoane la
masa, ar ramane 9 persoane in picioare, iar asezandu-se cate 4, la ultima masa ar ramane un singur turist. Cati turisti si cate mese are cantina?
• G.M. 2/2009• 2. In fata unui bloc se joaca 10 copii.• Cate fete si cati baieti sunt daca fiecare fata are 2 frati si numai 2 fete sunt surori?•
* * *• 3. La o discoteca se duc 74 elevi, baieti si fete. La sfarsitul petrecerii, Adina spune ca a dansat cu un singur
baiat, Bianca a dansat cu 3 baieti, Cristina a dansat cu 9 baieti, Daria a dansat cu 10 baieti, si asa mai departe, ultima fata, Mioara a dansat cu toti baietii. Cati baieti si cate fete au fost la discoteca?
• * * *• 4. De ziua sa, Irina a invitat colegii de clasa la petrecere. Au venit numai jumatate dintre acestia. Invitatilor
si sarbatoritei li s-au pus pe masa portocale si de trei ori mai multe banane. Fiecare a consumat cate doua portocale si 5 banane, iar la sfarsitul petrecerii au ramas 3 portocale si 24 de banane .
• Cati elevi sunt in clasa Irinei? Cate potocale si banane au fost la inceput?• Gazeta Matematica