EROR atau GALAT

PENDEKATAN AKARPERSAMAAN TAK LINIER

KELOMPOK 4 I Made Yudi Suardi(1313011054)Nyoman Pradnyaniti(1313011065)Ni Wayan Suarnithi(1313011075)Ni Luh Nilam Brahaneswari(1313011087)

PENDEKATAN AKARPERSAMAAN TAK LINIER

Metode ini merupakan metode tertutup artinya hasil pendekatan akar pasti diperoleh. walaupun termasuk lambat konvergen dalam perhitungan secara komputer namun metode ini sangat stabil.Metode bagi dua didasarkan pada teorema antara dari sebuah fungsi kontinyu yaitu: interval (a,b) memuat akar dari f(x) = 0 jika f(a) . f(b) < 0. ini berarti tanda dari f(a) berbeda dengan tanda dari f(b). Apa itu METODE BAGI DUA?

Dapat dilihat digambar, interval (a,b) dibagi dua menjadi (a,T) dan (T,b). Secara gambar sudah jelas mudah dilihat interval mana yang memuat akar, tetapi tanpa gambar, pengujian dilakukan dengan perbedaan tanda tanda f(a) dan f(t). Jika tanda keduanya berbeda berarti hasil kalinya negatif. Sebaliknya jika hasil kalinya positif, berarti akar berada dalam interval yang lain

Untuk menentukan interval yang memuat akar dilakukan dengan memeriksa tanda hasil kali f(a).f(T) atau f(T).f(b)

Input: f(x), a , b , tolOutput; akarLangkah-langkah.1) T1 = ( a + b)/22) Jika f(a).f(T) < 0 maka b = T. Jika tidak a = T3) Jika abs(b-a) < tol maka akar = T. Selesai4) Kembali ke langkah 1)Algoritma Metode bagi Dua

Contoh :Terapkan metode bagi dua sebanyak 3 iterasi untuk mencari pendekatan salah satu akar dari f(x) = ex - 4x. x f(x) 0+1-2-3+4+

Dengan menggunakan teknik grafik diperoleh interval (0,1) memuat akar f(x) = 0. Dapat juga menggunakan table sbb: Ada perbedaan tanda antara nilai fungsi di dua titik berurutan. Pertama di x = 0 dan x = 1 sehingga ada akar pada interval (0,1). Ke-dua, di x = 2 dan x = 3, sehingga ada akar pada interval (2,3)

Interval (0,1)Iterasi 1a = 0 dan b = 1, maka T = ( 0 + 1 ) /2 = . , f(T) < 0 f(a).f(T) < 0 maka b = TAkar terletak dalam (0, .)Iterasi 2a = 0 dan b = , maka T = ( 0 + )/2 = 0.25. f(T) > 0 f(a).f(T) > 0, maka a = TAkar terletak dalam ( ,.)

Iterasi 3a = 0.25 dan b = 1/2 , maka T = ( 0.25 + 0.5 ) /2 = 0.375. f(T) < 0 f(a).f(T) < 0 maka b = TAkar terletak dalam (,0.375). dst

Interval (2,3)Iterasi 1a = 2 dan b = 3, maka T = ( 2 + 3 ) /2 = 2.50 f(T) > 0 f(a).f(T) < 0 maka b = TAkar terletak dalam (2,2.50)Iterasi 2a = 2 dan b = 2.50, maka T = ( 2+2.50) = 2.25. f(T) > 0 f(a).f(T) > 0, maka a = TAkar terletak dalam ( 2.25,2.5.)Iterasi 3Teruskan.

PENDEKATAN AKARPERSAMAAN TAK LINIER

METODE POSISI PALSUMetode posisi palsu mensyaratkan diketahuinya interval letak akar yaitu (a,b). Hampiran akar persamaan memanfaatkan perpotongan garis yang melalui titik (a,f(a)) dan (b,f(b)) dengan sumbu x. Cara ini akan lebih cepat memperoleh hasil yang mendekati akar yang sebenarnya apabila posisi akar terletak dekat dengan ujung interval.

Perhatikan gambar diatas:Garis AB memotong sumbu x di titik a1. Garis A1B memotong sumbu x di a2. Garis A3B memotong di a4 dan seterusnya.

Persamaan garis AB adalah:

Titik potong garis dengan sumbu x:

Penghentian perhitungan dilakukan apabila titik ptong sudah dekat dengan akar sebenanrya yang dutandai dengan jarak anatara dua hasil uterasi berurutan sangat dekat memenuhi toleransi yang diberikan.

Metode Iterasi Titik TetapSebuah nilai x merupakan solusi dari persamaan f(x) = 0 jika ruas kiri sama dengan ruas kanan. Prinsip ini yang dipakai metode Iterasi titik tetap untuk mencari pendekatan akar.Persamaan f(x) = 0 diubah menjadi persamaan x = g(x). Akan dicari nilai x = x0 sedemikian hingga x0 = g(x0). Hal ini ditempun dengan memandang g(x0) sebagai x1, g(x1) sebagai x2 dst sehingga beda antara xi dan xi+1 memenuhi toleransi yang ditetapkan. namun metode ini tidak menjamin akan mendapatkan hasil yang diharapkan. kekonvergenan barisan x0, x1, x2, sangat dipengaruhi oleh pilihan awal dari nilai xo.

METODE NEWTON RAPHSONMetode newton-raphson merupakan metode yang didasarkan pada teorema kalukus yaitu turunan sebuah fungsi. metode ini dapat digunakan apabila fungsinya mempunyai turunan yang kontinyu. kecepatan metode ini sangta bagus namun ada kemungkinan gagal.Secara geometri, metode ini memanfaatkan garis singgung pada kurava di sebuah titik. garis singgung tersebut memotong sumbu x yang selanjutnya dipakai untuk menentukan garis singgung beriuktnya.

Secara sederhana langkah-langkah perhtiungan dalam metode ini sbb.Dimulai dengan tebakan awal x0, dibuat garis singgug pada y = f(x) di titik (x0,y0) yang memotong sumbu x di x1. Garis singgung kurva di titik (x1,y1)memotong sumbu x di x2, dan seterusnya hingga barisan xi yang terbentuk konvergen ke akar yang dicari.

METODE TALI BUSURMetode Tali Bususr disebut juga Metode Secant. Metode ini menggunakan perpotongan sebuahgari denga sumbu x. Untuk diperlukan dua titi tebakan awal untuk menentukan persamaan garisnya.Garis tersebut memotong sumbu x di sebuah titik sebagi pendekatan akarnya.Metode Tali bususr termasuk metode terbuka dan karenanya hasilnya tidak dijamin akan didapat. Pemilihan tebakan awal sangat menentukan apakah barisan xi yang diperoleh dari proses perhitungan konvergen atau divergen.

Rumus iterasi metode ini dapat diperoleh melalui persamaan garis melalui dua titik misalnya (x0,y0) dan (x1,y1) kemudian memotong sumbu x ( y = 0). Diperoleh rumus untuk titk ptongnya yaitu x. Dapat juga rumus iterasinya dicari dengan gradien garis singgung seperti dalam metode Newton tetapi dengan pendekatan turunan yang berbeda, yaitu:

Garis AB memotong sumbu x di titik x3. Seterusnya, garis BC memotong sumbu x di titk x4 dan seterusnya. Ada kemungkinan garis tersebut sejajar dengan sumbu x sehingga tidak ada titik potongnya. Dengan demikian proses gagal

THANKS