Microsoft Word - Course Note 2 - Numerical Method - Metode Bagi Dua

Halaman : 2

Course Note Numerical Method Akar Persamaan Tak Liniear.Dalam matematika terapan seringkali harus mencari selesaian persamaan yang berbentukf(x) = 0yakni bilangan xo sedemikian sehingga f(xo) = 0. Dalam hal ini f adalah persamaan/fungsi tak liniear. Nilai nilai x yang memenuhi persamaan tersebut disebut dengan akar atau titik nol dari persamaan.Persamaan f(x) dapat berbentuk sebagai berikut :Persamaan Aljabar

Contoh : persamaan polinom berordo lebih dari 2.anxn + a(n_1}x(n-1) +... + a2x2 + axx + a0 = 0, dengan an ^ 0, n > 2Persamaan Transenden

Persamaan yang memuat fungsi-fungsi trigonometri, logaritma atau eksponen.Contoh :e~x + sin x = 0Persamaan campuran : memuat baik persamaan polinom maupun persamaan transenden.

Contoh :x2 sin x + 3 = 0x2 + ln x = 0Dari contoh-contoh di atas terlihat bahwa rumus-rumus yang memberikan nilai eksak dari penyelesaian eksplisit hanya akan ada untuk kasus-kasus yang sederhana. Dalam banyak kasus, harus menggunaan metode hampiran, khususnya pada kasus dimana secara aljabar solusin eksaknya sulit ditemukan.Metode iterasi numeris adalah metode dimana kita memilih sebarang xo sebagai tebakan awal dan secara beruntun menghitung barisan x0, x1, x2, ... secara rekrusif dari relasi berbentuk xn+1 = .g'(xn) (n = 0, 1, 2, 3, ...)Dengan g didefinisikan dalam selang yang memuat x0 dan rentang g terletak dalam selang tersebut. Metode yang demikian khusunya cocok untuk komputer karena metode tersebut melibatkan pengulangan satu proses komputasi g(x).

Metode Bagi DuaMetode ini adalah metode untuk menentukan titik nol (akar) dari f bila f kontinu di suatu selang. Metode ini sangat sederhana tetapi kekonvergenannya lambat. Metode bagi dua didasarkan pada teorema nilai antara untuk fungsi kontinu, yaitu suatu selang [a, b] harus memuat suatu titik nol bila f(a) dan f(b) berlawanan tanda, misalnya f(a) < 0 dan f(b) > 0. Hal ini menyarankan metode pengulangan pembagiduaan selang dan dalam setiap langkah mengambil setengah selang yang juga memenuhi persyarata f(a). f(b) < 0.tengah selang [a,b], misal titik T dengan T=a+b2. Dua selang baru diperoleh, yakni [a, T] dan [T, b].Metode bagi dua memerlukan dua nilai sebagai tebakan awal. Sebut a dan b dengan a < b dan harus memenuhi syarat f(a). f(b) < 0. Selang [a, b] memuat satu akar. Mula-mula ditentukan titik

Salah satu dari selang ini diantaranya pasti memuat akar. Berikutnya yang ditinjau adalah selang yang memuat akar tersebut. Proses diulangi dengan membagi dua selang tersebut dan memeriksa setengah selang yang memuat akar. Pembagi-duaan selang ini dilanjutkan sampai lebar selang yang ditinjau cukup kecil.Dari gambar di atas titik p merupakan akar dari f(x). Titik p1 merupakan titik tengan selang [a,b]. Oleh karena f(a). f(p1) < 0, maka akar f(x) terletak di selang [a,p1]. Titik p2 merupakan titik

tengah [a, pj. Oleh karena f(p2). f(pi) < 0, maka selang [p2, pi] memuat akar f(x). Proses ini berlangsung secara terus menerus dan berhenti apabila mencapai eror yang telah ditentukan.Dari uraian di atas, penentuan setengah selang yang memuat akar dilakukan dengan memeriksa tanda dari hasil kali f(a).f(T) atau f(b).f(T).< 0, berarti akar pada (a,T)

f (a ).f (T)berarti akar : T

> 0, berarti akar pada (T,b)Dalam algoritma digunakan variabel-variabel sebagai berikut: a sebagai ujung kiri selang b sebagai ujung kanan selang T sebagai titik tengah Berikut algoritma Metode Bagi DuaAlgoritma Metode Bagi Dua1.2.3.4.Ta + b2Jika f(a).f(T) < 0, maka b : = T. Jika tidak a : Jika b - a < epsilon, maka hampiran akar : Ulangi kembali ke langkah 1.TT. SelesaiInput : f(x), a, b dan epsilon Output : hampiran akar Langkah-langkah:b - a2n< TolKarena metode ini selalu menghasilkan akar, maka dikatakan bahwa metode ini selalu konvergen. Besarnya epsilon tergantung pada ketelitian yang diinginkan. Semakin kecil epsilon semakin teliti hampiran akan yang diperoleh. Bila proses dilakukan sebanyak n iterasi, maka toleransi eror (Tol) yang diberikan adalahContoh 1 :Dengan menggunakan metode bagi dua, tentukan salah satu hampiran akan dari persamaan f (x) = ex - 4x di selang [0, 1]

Jawab :IterasiabTf(a)f(T)f(a).f(T)a barub baru10,0000001,0000000,5000001,000000-0,351279-0,3512790,0000000,50000020,0000000,5000000,2500001,0000000,2840250,2840250,2500000,50000030,2500000,5000000,3750000,284025-0,045009-0,0127840,2500000,37500040,2500000,3750000,3125000,2840250,1168380,0331850,3125000,37500050,3125000,3750000,3437500,1168380,0352260,0041160,3437500,37500060,3437500,3750000,3593750,035226-0,005066-0,0001780,3437500,35937570,3437500,3593750,3515630,0352260,0150370,0005300,3515630,35937580,3515630,3593750,3554690,0150370,0049740,0000750,3554690,35937590,3554690,3593750,3574220,004974-0,0000490,0000000,3554690,357422100,3554690,3574220,3564450,0049740,0024620,0000120,3564450,357422110,3564450,3574220,3569340,0024620,0012070,0000030,3569340,357422120,3569340,3574220,3571780,0012070,0005790,0000010,3571780,357422130,3571780,3574220,3573000,0005790,0002650,0000000,3573000,357422140,3573000,3574220,3573610,0002650,0001080,0000000,3573610,357422150,3573610,3574220,3573910,0001080,0000300,0000000,3573910,357422160,3573910,3574220,3574070,000030-0,0000090,0000000,3573910,357407170,3573910,3574070,3573990,0000300,0000100,0000000,3573990,357407Dengan ketelitian 0,00001, maka proses perhitungan berhenti di n17 dengan T = 0,357399

Contoh 2 :Persamaan f(x) = x3 + 4x2 - 10 = 0 memiliki akar di selang [1, 2], carilah hampiran akar sampai 5 iterasi. Kemudian tentukan nilai hampiran akar dan errornya.